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1.1 INTRODUÇÃO ÀS MODERNAS TEORIAS ALGÉBRICAS (Apenas o esboço dum curso de iniciação)

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CAPíTULO II TRANSITIVIDADE E HOMOMORFIA 18. Relações de equivalência; repartições dum conjunto

Diz-se que, num dado conjunto A, é definida uma relação binária p, quando se tenha fixado um critério, pelo qual, dados dois quaisquer elementos x, y de A (distintos ou coincidentes), se apresenta sempre uma, e uma só, das seguintes hipóteses: 1) os elementos x, y, na ordem por que estão escritos, verificam a relação p; 2) os elementos x, y, na ordem por que estão escritos, não verificam a relação p. No primeiro caso também se diz que o par ordenado (x, y) verifica a relação p, e, para o indicar, escreve-se xpy.

Assim, por exemplo, a relação < é definida no conjunto dos números reais; a relação múltiplo de é definida no conjunto dos números inteiros ou mesmo no conjunto dos polinómios, etc. Em Geometria euclideana, a relação de paralelismo é definida no conjunto das rectas, no conjunto dos planos ou mesmo na reunião dos dois conjuntos, mas já o não é no conjunto dos pontos, pois que não faz sentido dizer que dois pontos sejam ou não paralelos. Sendo p uma relação definida num conjunto A, diz-se que: I) a relação p é reflexiva, quando se tem: x p x, qualquer que sejaxEA;

II) a relação p é simétrica, quando, todas as vezes que se tem x p y, se tem igualmente y p x; III) a relação é transitiva, quando, todas as vezes que se tem simultaneamente x p y e y p z, se tem igualmente x p z. Para exprimir que uma dada relação p é ao mesmo tempo reflexiva, simétrica e transitiva, costuma dizer-se que p é uma relação de equivalência. Como exemplo de relação de equivalência, apresenta-se em primeiro lugar a relação lógica de identidade, expressa pelo símbolo "=". No campo da Geometria euclideana, além da relação de identidade (ou coincidência), são relações de equivalência a de igualdade geométrica (ou congruência), a de semelhança, a de afinidade, a de paralelismo (considerando a coincidência como um caso particular do paralelismo), etc., etc. Mas já a relação de perpendicularidade não é uma relação de equivalência, porque não é reflexiva nem transitiva. Posto isto, seja p uma relação de equivalência definida num conjunto A. Dado um elemento a qualquer de A podemos imaginar reunidos num conjunto todos os elementos de A equivalentes a a (segundo p), conjunto que designaremos por Ka' Como Ka contém necessariamente a (pela reflexividade de p), segue-se que a reunião de todos os conjuntos Ka assim obtidos, quando a percorre A, é precisamente o conjunto A. Por outro lado, tem-se que: 1) Se a é equivalente a b (segundo p), então Ka =Kb' Com efeito, em virtude da transitividade e da simetria de p, se a é equivalente a b, todo o elemento x equivalente a a (isto é, pertencente a K) é também equivalente a b (isto é, pertencente a K b ) e, reciprocamente, todo o elemento de Kb será um elemento de Ka' 2) Se a não é equivalente a b (segundo p), então os conjuntos Ka e Kb são disjuntos. Com efeito, se os conjuntos Ka e Kb tivessem um elemento comum c, ter-se-ia ao mesmo tempo a p c, cp b, e portanto a p b, contra a hipótese. Deste modo, o conjunto A fica decomposto numa farmlia 5 de conjuntos Ka' Kb' ... , disjuntos dois a dois e cuja reunião é A. A uma tal farmlia dá-se, genericamente, o nome de repartição de A, e aos conjuntos que a constituem, o nome de elementos, células ou classes da repartição. Do que precede resulta então que:

Condição necessária e suficiente para que se tenha a p b é que a, b pertençam à mesma célula de repartição determinada em A porp. Reciprocamente, é manifesto que, dada uma repartição j= do conjunto A, ficará definida em A uma relação p de equivalência, desde que se ponha, por definição: x p y, se, e só se, x, y pertencem à mesma classe de repartição j=.

Exemplos: a) Como se sabe, dados três números inteiros, x, y, p, diz-se que x é congruente a y relativamente ao módulo p, e escreve-se x

= y (modp),

quando x - y é um múltiplo de p. Uma vez fixado o número p, fica assim definida uma relação binária entre as variáveis x, y, relação manifestamente reflexiva, simétrica e transitiva: uma relação de equivalência. Seja, por exemplo, p = 3; então, o conjunto dos inteiros (positivos e negativos, incluído o zero) ficará repartido em três classes: a dos números que divididos por 3 dão resto 0, a dos números que divididos por 3 dão resto 1 e a dos números que divididos por 3 dão resto 2. b) Consideremos agora a relação de paralelismo, definida no conjunto das rectas. E" fácil ver que esta relação determina, em tal conjunto, uma repartição, cujos elementos são as diferentes direcções - se chamarmos direcção duma recta à classe de todas as rectas que lhe são paralelas. (Segundo a acepção corrente, a direcção duma recta não é propriamente a classe das rectas que lhe são paralelas, mas sim aquilo que há de comum a todas essas rectas - ou, como se diz, a entidade abstracta de que qualquer dessas rectas é uma representação. Mas trata-se aqui duma distinção puramente psicológica, que se revelou inessencial em Matemática). c) A relação de semelhança entre figuras geométricas determina no conjunto de tais figuras uma repartição, cujos elementos são as diferentes formas - se chamarmos forma duma figura, à classe das figuras que lhe são semelhantes. (Observação análoga à precedente).

d) Diz-se que dois conjuntos são equipotentes ou igualmente numerosos, quando é possível estabelecer entre os elementos dum e do outro uma correspondência biunívoca. Trata-se ainda aqui duma relação de equivalência, que conduz, por abstracção, à ideia de número (cardinal). e) Consideremos finalmente o conjunto M = {a, b, c, d}.

Uma repartição deste conjunto será, por exemplo, a fanu1ia

= {{ a, c}, {b, d}}.

A relação de equivalência definida por tal repartição será a relação p descrita no seguinte quadro: xpy

c d

* *

em que, a presença ou ausência do asterístico no cruzamento da linha x com a coluna y está a indicar que o par ordenado (x, y) verifica ou não a relação p. Em particular as células da repartição definida num conjunto A podem reduzir-se aos elementos de A: neste caso, a relação será, manifestamente, a relação de identidade. Por outro lado, toda a relação de equivalência se traduz numa relação de identidade: a identidade entre as classes da repartição correspondente. Assim, por exemplo, dizer que duas rectas são paralelas equivale a dizer que têm a mesma direcção (equivalência entre as rectas, identidade entre as respectivas direcções); analogamente dizer que 2 figuras são semelhantes equivale a dizer que têm a mesma forma, etc., etc ..

19. Equivalência a respeito dum grupo. Sistemas de transitividade Seja A um conjunto qualquer e designe G um grupo de transformações reversíveis do conjunto A sobre si mesmo. Diz-se que dois elementos x, y de A são equivalentes a respeito de G, e escreve-se, para o indicar,

x - y(G), quando existe pelo menos uma transformação 9 pertencente a G, que transforme x em y: 9(x) = y. Uma vez fixado o grupo G, podemos escrever simplesmente x - y, em vez de x - y(G). A relação expressa então pelo símbolo "-" é efectivamente uma relação de equivalência, como mostram as considerações seguintes: 1) x - x, qualquer que seja x EA. Com efeito, existe em G o elemento /, que faz corresponder a x o próprio x. 2) Se x - y, também y - x. Com efeito, se x - y, quer dizer que existe em G um elemento 9 tal que 9 (x) =y. Mas então será

e, como 9-1 E G (visto ser G um grupo), segue-se que também y - x. 3) Se x - y e y - z, então x - z. Com efeito, se existem em G dois elementos cr, 9 tais que cr(x)=y, 9(y)=z, então ter-se-á 9(cr(x))=z, ou seja (9 cr) (x)

=z ,

e, como 9 cr E G, segue-se que x - z. A relação expressa pelo sinal "-" é pois uma relação de equivalência que, como tal, determina em A uma repartição. Ora bem, chamam-se sistemas de transitividade de G (sobre A), precisamente, as classes de tal repartição. O sistema de transitividade a que pertence um dado elemento x de A será pois, o conjunto de todos os elementos de A em que x pode ser transformado por meio de transformações pertencentes a G.

58 4

Fig. 4

Consideremos, por exemplo, o grupo L 4 do losango [1 2 3 4], (Fig. 4). Ter-se-á L4 = {I, (1 3), (24), (1 3) (24)}.

Os sistemas de transitividade deste grupo serão, manifestamente, os conjuntos {I ,3} e {2,4}. (Ao mesmo grupo pertence, por exemplo, a função ZI Z3 - Z2 Z4)· Pode acontecer, em particular, que o grupo G admita, como único sistema de transitividade, o próprio conjunto A: em tal hipótese, todos os elementos de A serão equivalentes a respeito de G. Diz-se então que o grupo G é transitivo (sobre A) ou que o conjunto A é homogéneo a respeito de G; caso contrário, diz-se que G é intransitivo. Assim, por exemplo, o espaço euc1ideano R3 é homogéneo a respeito do grupo das translacções, e portanto, a respeito do grupo dos deslocamento~ do grupo das semelhanças, etc.; por sua vez, o espaço projectivo R3 (que resulta de R3 pela adjunção dos chamados pontos impróprios ou pontos do infinito) não é homogéneo a respeito do grupo das semelhanças ou do grupo das afinidades, mas já é homogéneo a respeito do grupo das colineações. (Chamam-se colineações as transformações pontuais biunívocas do espaço R3 sobre si mesmo que respeitam a noção de recta, isto é, que transformam rectas em rectas. Chamam-se afinidades as colineações que transformam pontos impróprios em pontos impróprios e, portanto, rectas paralelas entre si em rectas paralelas entre si. A respeito do espaço euc1ideano R3' as afinidades podem ser definidas simplesmente como as transformações biunívocas de R3 sobre si mesmo que transformam rectas em rectas).

A anterior definição de equivalência a respeito de G, é susceptível de generalização, passando dos elementos para os conjuntos. Dados dois subconjuntos M, N de A, diz-se que M é equivalente a N, a respeito de G, quando existe em G pelo menos uma transformação e que transforme M em N: e(M) = N. Assim, por exemplo, duas rectas serão equivalentes a respeito do grupo das translações, se, e só se, forem paralelas. É curioso observar como o grupo das translações, sendo transitivo sobre o conjunto R3 dos pontos, não o é sobre o conjunto das rectas. Todavia, este último conjunto já é homogéneo a respeito do grupo dos deslocamentos, visto que é sempre possível passar duma recta para outra recta por meio duma rotação.

20. Alusão ao programa de Erlangen

Duas figuras geométricas dizem-se iguais (ou congruentes ou sobreponíveis), quando são equivalentes entre si a respeito do grupo Gd dos deslocamentos; dizem-se semelhantes, quando equivalentes entre si a respeito do grupo Gs das transformações de semelhança (gerado pelas homotetias e pelos deslocamentos); dizem-se afins, quando equivalentes entre si a respeito do grupo Ga das afinidades, dizem-se homeomorfas, quando equivalentes a respeito do grupo Gh dos homeomorfismos (ou transformações bicontínuas), etc., etc. Ter-se-á:

designando por !!7 o grupo que se reduz à identidade e por S (R3 ) o grupo total. E claro que dois conjuntos de pontos serão equivalentes a respeito de !!7, se, e só se, forem coincidentes, e serão equivalentes a respeito de S (R3 ), se, e só se, forem equipotentes (isto é, com o mesmo número de elementos). A cada geometria corresponde um grupo: o grupo das transformações que respeitam os conceitos estudados por essa geometria. A cada grupo corresponde uma geometria: a geometria dos conceitos que se mantêm invariantes para todas as transformações desse grupo. ~

Ao grupo Gs corresponde a geometria euclideana, que estuda os conceitos definíveis, em última análise, a partir das noções de "recta", "situado entre" e "equidistância". Ao grupo Ga corresponde a geometria afim, que estuda apenas as noções afins, isto é, as noções exprimíveis nos conceitos de "recta" e de "situado entre". Ao grupo Gh corresponde a topologia, que estuda as noções definíveis a partir do conceito de "limite", tais como a de "interior", "exterior", "fronteira", "conjunto fechado", "conjunto conexo", etc., etc. Ao grupo S(R3) corresponde a lógica formal (para os conjuntos de pontos), que estuda noções tais como as de "contido", "intersecção", "reunião", etc., etc. Observemos ainda que, reportando-nos ao espaço projectivo R3' o grupo afim se pode considerar contido no grupo projectivo Gp (constituído pelas colineações) que é o grupo característico da geometria projectiva. Por sua vez, Gp está contido no grupo Gh dos homeomorfismos de R3' que dá a topologia do espaço projectivo, diferente da topologia do espaço euc1ideano. Tal é, em linhas muito gerais, a ideia da sistematização das geometrias mediante o conceito de "grupo", exposta por FELIX KLEIN no célebre programa de Erlangen.

21. Funções conjugadas duma função dada. Conceito de subgrupo invariante Consideremos uma função <p(ZI' Z2' ... , zJ e um grupo G, qualquer, de substituições sobre ZI' Z2' ... , zn. Quais as substituições de G que deixam <p invariante? Designando por G* o grupo da função <p, a intersecção G n G* será, manifestamente, o subgrupo H de G constituído por todas as substituições de G que deixam <p invariante. Diremos então que <p pertence ao grupo H em G. Efectuando sobre as variáveis ZI' Z2' ... , zn todas as substituições de G obter-se-ão várias funções a partir de <p (desde que seja H G). Sejam <p, <P2' <P3' ••• , <Pm todas as funções distintas assim obtidas: diremos então que <P, <P2' ••• , <Pm são as funções conjugadas de <P em G, (ou simplesmente, as funções conjugadas de <P, se G é o grupo simétrico).

Seja, por exemplo, a função

já considerada, cujo grupo designámos por Q4 - grupo de ordem 8 que pode ser gerado pelas substituições (1 3) e (1 2 3 4). Consideremos, por outro lado, o grupo alternante A4. O grupo da função <P em A4 será a intersecção A4 n Q4' ou, seja o grupo constituído pelas substituições pares de Q4' que são: I, (1 2) (3 4), (1 4) (2 3), (1 3) (24); mas estas são, precisamente, as substituições do grupo V4 do rectângulo; tem-se pois:

Quanto às funções conjugadas de <P em A4' elas serão, como é fácil ver: <PI (ZI' Z2' Z3' Z4)

= <P (ZI' Z2' Z3' Z4) = ZI Z3 + Z2 Z4

=<P (Z2' Z3' ZI' Z4) =Z2 ZI + Z3 Z4' <P3 (ZI' Z2' Z3' Z4) =<P (ZI' Z3' Z4' Z2) =ZI Z4 + Z3 Z2· <P2 (ZI' Z2' Z3' Z4)

Posto isto, tornemos a considerar uma função <P qualquer das variáveis zI' Z2' ... , zn' cujo grupo em G seja H e cujas funções conjugadas em G sejam <PI (= <p), <P2' ... , <Pn; e propunhamo-nos resolver o seguinte problema: Dada uma função <Pi' conjugada de <P em G, determinar todas as substituições de G que fazem passar de <P para <Pi . Seja então ai uma das substituições de G que convertem <P em <Pi' isto é, tal que

Se for rc; uma outra substituição que produza o mesmo efeito, ter-se-á

62 donde A substituição 8i- 1 rc deixa pois invariante a função <p, o que quer dizer que tal substituição pertence ao grupo H: 8 i- 1 rcEH,

ou seja, pondo 8i- 1 rc = (J' :

Reciprocamente, toda a substituição de G da forma 8 i (J', com (J' E H, converte <P em <Pi :

Podemos pois concluir que, se for 8i uma substituição de G que converte <P em <Pi' as substituições de G que produzem este efeito serão todas aquelas da forma 8 i (J', em que (J' representa uma qualquer substituição de H. Segundo a convenção do n.o 17, o conjunto de tais substituições poderá representar-se por 8 i H. Suponhamos que se tem

será então

Fazendo agora variar i de la m (sendo m o número dos conjugados de <P em G) e tomando, para maior simplicidade, 81 = /, o grupo G ficará repartido em m conjuntos, de p elementos cada um: /, (J'2' (J'3' ••• ,(J'p

82, 82 (J'2' 82 (J'3'

.•• ,

(<p ~ <p)

82 (J'p (<p ~

<P2)

Estes conjuntos chamar-se-ão classes laterais de H em G. Mas deste assunto trataremos mais a fundo no número seguinte.

Procuraremos agora resolver uma questão mais geral do que a precedente: Dadas duas quaisquer funções <Pi' <Pk conjugadas de <P em G, determinar todas as substituições de G que fazem passar de <Pi para <Pk. Seja então "{ uma substituição de G que converta <Pi em <Pk:

Sendo agora Si' Sk duas substituições de G que convertam <Pi respectivamente em <Pi e em <Pk' virá:

ou seja

A substituição Sk- 1 "{Si deixa pois a função <P invariante, o que quer dizer que tal substituição pertence a H: Sk- 1 "{Si E H,

ou sej a, pondo

Sk- 1 "{Si

= cr :

"{=SkcrSk-t, com crEH.

Reciprocamente, toda a substituição de G da forma Sk cr Sk-1, com cr E H, converte <Pi em <Pk:

Podemos assim concluir que, se forem Si' Sk duas substituições de G que convertem <P respectivamente em <Pi e em <Pk' as substituições de G que fazem passar de <Pi para <Pk serão todas aquelas da forma

64 em que O representa uma qualquer substituição de H. O conjunto de tais substituições será pois

8k H 8i- 1 • Em particular: O grupo a que pertence a função <Pi em G (isto é, o conjunto das substituições de G que convertem <Pi em <Pi) será

8. H 8.-1 I

ou seja (n. o 17), o grupo transformado de H por meio de 8i .

Como exemplo, consideremos de novo a função

cujo grupo em A4 é, como vimos,

V4 = {I, (12) (34), (14) (2 3), (1 3) (24)}. Uma das substituições de A4 que convertem a função u na sua conjugada

é o ciclo (1 2 3); o grupo a que pertence a função u2 em A4 será portanto (1 2 3) V4 (1 3 2). Para determinar as substituições deste grupo não temos mais do que efectuar sobre os elementos dos ciclos representativos das substituições de V4 a substituição (1 2 3): (1 23) V4 (1 23)-1

= {I, (2 3) (14), (24) (3 1), (2 1) (3 4)}.

Observa-se, porém, este facto notável: o grupo transformado de V4 por meio do ciclo (1 2 3) - isto é, o grupo a que pertence a função u2 em A4 - coincide com V4 • Analogamente se reconhece que o grupo transformado de V4 por meio do ciclo (2 3 4) - grupo a que pertence a função

- coincide com V4 •

Ter-se-á portanto

qualquer que seja

Dum modo geral, diz-se que um subgrupo H dum grupo G é invariante ou normal em G, quando se tem

8 H8- 1 = H, para todo o 8 E G. O grupo V4 é pois invariante em A4' mas já, por exemplo, o grupo Q4 não é invariante em S4' como é fácil reconhecer.

22. Classes laterais dum grupo Designe G um grupo qualquer de transformações e seja H um seu subgrupo. Dadas duas transformações 81' 82 de G, diz-se que 8 1 é congruente a 82 , a respeito de H, e escreve-se

quando o cociente 8;1 81 é um elemento de H; por outras palavras: quando exista uma transformação a E H, tal que

Uma vez fixado o grupo H, pode escrever-se simplesmente 8 1 = 82 , em vez de 8 1 = 8 2 (H). A relação binária "=" assim definida é uma relação de equivalência, como se conclui do que segue:

1) 8 8, qualquer que seja 8 E G. Com efeito, tem-se 8 = 8/, pertencendo / a H.

2) Se 9 1 9 2 , também 9 2 9 1 , Com efeito, se 9 1 9 2 (a respeito de H), quer dizer que existe em H um elemento a tal que 9 1 = 92 a. Mas então virá

e, como a-I E H, segue-se que 9 2 9 1 • 3) Se 9} = 92 e 92 = 9 3 , também 9 1 = 9 3 , Com efeito, se existem duas transformações a, a * de H tais que

9 1 = 9 2 a, 92 = 9 3 a*, ter-se-á 9 1 = (9 3 a*) a

= 93 (a* a)

e, portanto

9 1 = 93 , visto que a*a EH. A relação "=" determina portanto uma repartição no grupo G; aos elementos dessa repartição dá-se o nome de classes laterais de H em G(I). Seja 9 um elemento qualquer de G: a classe lateral (de H em G) a que pertence 9 será, manifestamente, o conjunto de todas as transformações da forma 9 a, com a E H - ou seja o conjunto 9 H. Podemos agora estabelecer o seguinte: Teorema - As classes laterais de H em G têm todas o mesmo número de elementos (número finito ou infinito). Com efeito, a fórmula a* = 9 a define uma transformação biunívoca a ----7 a* de H sobre 9 H: a cada elemento a de H fica a corresponder um, e um só, elemento a* = 9 a de 9 H, e a cada elemento a* de 9 H fica a corresponder o elemento a = 9- 1 a * de H, e só esse.

(1) - Mais precisamente: classes laterais esquerdas, porque se apresenta ainda o conceito de "classe lateral direita". Podemos todavia limitar-nos ao primeiro conceito, o que torna dispensável a especificação.

67 Em particular, se 8 E H (e só então), tem-se 8 H = H: uma das classes laterais de H em G é pois o próprio grupo H. Seja agora 8 2 uma transformação pertencente a G, mas não a H: será 8 2 H uma classe lateral de H em G, distinta de H; seja por sua vez 8 3 um elemento de G não pertencente a H nem a 8 2 H: será 8 3 H uma classe lateral de H em G, distinta de H e de 8 2 H; e assim sucessivamente. Poderá então escrever-se:

G=HU82 HU83 HU ... ' sendo os conjuntos H, 82 H, 8 3 H, .. . distintos entre si 2 a 2. Importa ainda notar que, excepto H, nenhuma das classes laterais de H em G pode ser um grupo, pois que nenhuma dessas classes contem a identidade. Do teorema precedente resulta imediatamente o seguinte corolário importante: Se o grupo G é finito, a ordem do subgrupo H de G é um divisor da ordem de G. Na hipótese do grupo G ser finito, chama-se índice de H em G .ao cociente r /p da ordem r de G pela ordem p de H. E fácil constatar agora, recordando o que foi dito no n.o anterior, que, se for cp uma função pertencente a H em G, o número das conjugadas de cp em G será precisamente igual ao índice de H em G. Um outro facto a salientar é o seguinte: Quando a ordem de G é um número primo, os únicos subgrupos possíveis de G são o próprio G e o grupo idêntico /, donde resulta que G será então um grupo cíclico. Por conseguinte, encontra-se em tais condições todo o grupo gerado por uma transformação 8 cujo período seja um número primo - facto este que irá intervir de maneira essencial na teoria da resolubilidade por meio de radicais. Convém ainda ilustrar as anteriores considerações com um exemplo intuitivo. Consideremos o octaedro regular [1 2 3 4 5 6] (Fig. 5), cujo grupo designaremos por 06' Um subgrupo de 06 é, por exemplo, Q4' constituído pelas substituições de 06 que transformam em si mesmo o quadrado [1 2 3 4] - grupo da ordem 8, conforme o

que se viu no n. o 13. A substituição e = (1 5) (3 6) transforma [1 2 3 4] em [5 2 6 4] e a substituição 1:: = (2 5) (4 6) transforma [1 2 3 4] em [1 5 3 6]. Ter-se-à então

4 ~---T----+:'

Fig. 5

o grupo 0 6 é portanto da ordem 24. As substituições de G que deixam o quadrado [5 264] invariante são manifestamente as do grupo

e as que deixam invariante o quadrado [1 5 3 6] são as do grupo

Como exercício, propomos ainda a demonstração dos seguintes factos: I - O grupo alternante An é um subgrupo normal do grupo simétrico, Sn' qualquer que seja n = 2, 3, .... As classes laterais de An em Sn são: An (conjunto das substituições pares) e (1 2) An (conjunto das substituições ímpares). II - Todo o subgrupo dum grupo comutativo G é invariante em G. III - O grupo constituído pela identidade é invariante em qualquer grupo.

69 23. O conceito de homomorfismo entre grupos Continuemos a considerar como exemplo o grupo 0 6 do octaedro e, para brevidade de expressão, designemos respectivamente por rI' r 2, r 3os quadrados diagonais [1 2 3 4], [264 5], [1 5 3 6]. É de observar que cada substituição O' de 0 6 (executada sobre os vértices 1, 2, 3, 4, 5, 6) determina uma substituição O' sobre os quadrados rI' r 2, r 3. Assim, por exemplo, a substituição (1 23 4) sobre os vértices determina a substituição (r2 r) sobre os quadrados diagonais; a substituição (1 4 5) (2 6 3) sobre os vértices traduz-se na substituição (rIr2r 3) sobre os quadrados diagonais, etc. Mais ainda: é fácil ver que uma mesma substituição sobre os quadrados diagonais pode ser determinada por quatro substituições distintas sobre os vértices; por exemplo, a substituição I sobre os quadrados rI' r 2' r 3pode provir de qualquer das seguintes substituições sobre os vértices: I, (1 3), (24), (1 3) (24). As substituições assim obtidas sobre os quadrados rI' r 2' r 3constituem manifestamente um grupo (que facilmente se reconhece ser o grupo simétrico sobre os três elementos rI' r 2' r 3)' grupo que designaremos por 0 6 • Além disso, fica assim estabelecida uma transformação unívoca O' ~ O' de 0 6 sobre 0 6 , com a seguinte particularidade notável: Sejam 0'1' 0'2 duas substituições quaisquer de 0 6 e sejam 0'1' 0'2' as substituições que lhes correspondem respectivamente em 0 6 • Pois bem, ao produto 0'1 ·0'2 corresponderá precisamente em 0 6 o produto 0'1 . 0'2 : 0'1 ~ 0'1 0'2 ~ 0'2 0'1 . 0'2

0'1 . 0'2·

Exprime-se este facto dizendo qu~tal transformação é um homomorfismo do grupo 0 6 sobre o grupo 0 6• Dum modo geral, sejam H, H duas farrulias quaisquer de transformações (sobre os mesmos elementos ou sobre elementos diversos). Dada uma transformação unívoca T de H sobre H, diz-se que T é um homomorfismo (de H sobre H), quando verifica as duas seguintes condições:

70 1) Para cada elemento O' de H, há, pelo menos, um elemento de H que é transformado em O' por T (isto é, tem-se T(H) = H). 2) Quaisquer que sejam ai' 0'2 E H, tem-se

Suponhamos agora que o conjunto H é um grupo. Vamos provar, em primeiro lugar, que T transforma necessariamente a identidade na identidade e o inverso no inverso. Com efeito, designando por O' um qualquer elemento de H, tem-se /.0'=0'

donde, aplicando T a ambos os membros desta igualdade e atendendo à propriedade 2): / . O' = 0',

ou seja / =

O' . O' -1 = /

como tinhamos afirmado. Por outro lado, tem-se, para cada elemento O' de H: O' 0'-1 = /,

donde T(O') . T(O'-I) = /,

T( 0'-1) = [T( 0')]-1

como se tinha dito. Podemos agora demonstrar que, se H é um grupo, também H é um grupo. Sejam, com efeito, 0', ij dois elementos quaisquer de H; a o' corresponderá em H pelo menos um elemento o' e a ij pelo menos um elemento 8; ao produto o' . ij corresponderá, pela propriedade 2), o produto o' 8; mas, se H é um grupo o' 8 pertence a H - logo 0'. ij pertencerá a H, visto que H é constituído pelos transformados de todos os elementos de H. Analogamente se demonstra que o inverso - de cada elemento de H é ainda um elemento de H e que portanto H é um grupo (na hipótese de H o ser).

Em resumo: I - A imagem homomórfica dum grupo é sempre um grupo. II - Se T é um homomorfismo dum grupo H sobre um grupo H, então

T(l) = /, T( a-I) = [T( a)]-I .

Posto isto, sejam G, G', G" três grupos, e T, S, dois homomorfismos, respectivamente de G sobre G' e de G' sobre G". Dados dois elementos a, 8 quaisquer de G, virá, aplicando sucessivamente as transformações T, S do produto a 8: ST(a· 8)

=S(T(a) . T(8» =ST(a) . ST(8),

isto é: O produto de dois homomorfismos é também um homomorfismo. Dados dois grupos G, G', diz-se que G' é homomorfo a G, e escreve-se, para o indicar, G - G',

quando é possível definir um homomorfismo de G sobre G'. Em virtude do resultado precedente, tem-se que, se G - G' e G' - G", também G - G"; por outros termos: a relação de homomorfia, expressa pelo símbolo "_", é transitiva.

24. Isomorfismos e automorfismos

Quando um homomorfismo entre dois grupos é uma transformação rever,sível, toma a designação particular de isomorfismo. Desde logo se reconhece que: A transformação inversa dum isomorfismo é também um isomorfismo. Seja com efeito T um isomorfismo entre dois grupos G, G e sejam aI' a 2 dois elementos arbitrários de G. Em G existirão dois elementos, aI' a 2 que corresponderão respectivamente a aI' ()2

segundo T- I • Ora, como T é um isomorfismo, segue-se que, ao produto (JI • (J2 ~corresponderá segundo T o produto (JI • (J2. Mas, por sua vez, como T é reversível, ao produto (JI • (J2 corresponderá segundo T-I o produto (JI . (J2' isto é:

Dados dois grupos Gp G2 , diz-se que G I é isomorfo a G2 , e escreve-se, para o indicar,

quando é possível definir um isomorfismo de G 1 sobre G2 • A relação de isomorfia, expressa pelo símbolo "-", é transitiva, (visto ser um caso particular da homomorfia); é simétrica (visto que a transformação inversa dum isomorfismo é ainda um isomorfismo); é finalmente reflexiva (pois basta fazer corresponder a cada elemento (J de G esse mesmo elemento (J, para ficar definido um isomorfismo de G sobre G). Em resumo: a relação de isomorfia é uma relação de equivalência. Chamam-se automorfismos dum grupo G os isomorfismos do grupo G sobre si mesmo. Visto que o produto de dois automorfismos é ainda um automorfismo e a transformação inversa dum automorfismo é também um automorfismo, segue-se que o conjunto G de todos os automorfismos do grupo G é também um grupo - o grupo dos automorfismos de G. Como exemplo, consideremos de novo o grupo V4 do rectângulo e o grupo L4 do losango:

V4 = {I, (1 2) (3 4), (1 4) (2 3), (1 3) (24)}, L4 = {I, (13), (24), (13) (24)}. Se pusermos

= (1 2) (3 4),

= (1 3) (24), tI = (1 3),

t2 = (24), t3 = S3'

= (1 4) (2 3),

e estabelecermos a correspondência

ficará definido, como é fácil ver, um isomorfismo de V4 sobre L4' Mas tanto V4 como L4 admitem vários automorfismos. Para V4 , por exemplo, ter-se-ão os seguintes automorfismos:

Cada uma destas substituições, multiplicada pelo isomorfismo anterior de V4 sobre L4' dará, manifestamente, um novo isomorfismo de V4 sobre L4 •

25. Propriedades algébricas e propriedades específicas. Isomorfismos internos

As propriedades dum grupo G, bem como as dos seus elementos (tomados 1 ai, 2 a 2, ... ) podem ser divididas em duas categorias: 1) propriedades que se mantêm invariantes para todas as possíveis transformações isomórficas de G; 2) propriedades que não são necessáriamente respeitadas pelos isomorfismos de G. As primeiras são chamadas propriedades algébricas: as segundas, propriedades específicas. Por exemplo, o facto de uma dada transformação ter período f..L; o facto de duas transformações serem permutáveis entre si; o facto de um dado subgrupo ser invariante, etc., etc., são propriedades algébricas. Mas o facto de uma dada transformação ser ou não cíclica, o facto de um dado grupo ser ou não transitivo, etc., etc., são propriedades específicas. Que a transitividade não é propriedade algébrica podemos reconhecê-lo no exemplo do número anterior: os grupos V4 e L4 são isomorfos, sendo o primeiro transitivo e o segundo intransitivo. Dum modo geral, as propriedades algébricas são todas aquelas que podem em, última análise, ser definidas a partir do conceito de "produto" (conceito algébrico fundamental da teoria dos grupos).

Retomemos o exemplo do grupo L4. Tem-se:

Vê-se, pois que, do ponto de vista algébrico, nada distingue entre si as substituições t], t 2 , t 3 , as quais, por isso mesmo, são transformadas umas nas outras pelos automorfismos de L4. E, contudo, as substituições ti' t2 são cíclicas (transposições), enquanto t3 o não é. Se em vez de L4 considerarmos V4 , as regras de multiplicação serão precisamente as mesmas que as anteriores (bastaria substituir tI' t2 , t3 por sI' S2' S3' em qualquer ordem) - o que está de acordo com o facto dos grupos V4 e L4 serem isomorfos. Por isso, quando dois grupos são isomorfos, diz-se ainda que têm a mesma estrutura algébrica ou que definem o mesmo grupo abstracto. Sejam agora A, A dois conjuntos quaisquer e G um grupo de transformações biunívocas do conjunto A sobre si mesmo. Seja por outro lado e uma transformação biunívoca de A sobre A. Já no n.O 16 vimos o que se entende por transformado dum elemento a de G por meio de e. O transformado eG e-I de G por meio de e é, como vimos, um outro grupo, G. Nestes termos~o operador e traduz-se numa transformação biunívoca de G sobre G; ~ cada elemento a de G corresponde o elemento e[a] =ea e-I de G, e a cada elemento a de G corresponde o elemento

e-I [a] = e-I a e de G. Por outro lado, vimos que se tem

quaisquer que sejam a!, qz E G. Uma tal transformação e é pois um isomorfismo de G sobre G, mas um isomorfismo de naturez~parti cular, proveniente duma transformação definida entre A e A. Aos isomorfismos deste tipo dá-se o nome de isomorfismos internos. Assim, por exemplo, os isomorfismos atrás estudados entre V4 e L4 não são internos.

É ainda de observar que, entre os automorfismos de V4 (atrás indicados), só a identidade é um automorfismo interno. Facilmente se reconhece agora que certas propriedades não algébricas, como por exemplo a da transitividade, são respeitadas por todos os isomorfismos internos.

26. Primeira noção de grupo cociente

Consideremos uma função <P (ZI' Z2' ... , zn) e designe G um grupo qualquer de substituições sobre as variáveis ZI' Z2' ... , Zn. Seja por outro lado H o grupo a que pertence <P em G e sejam <PI (= <p), <P2' <P3' ... , <Pm as funções conjugadas de <P em G (será pois m o índice de H em G). Vej amos o que acontece quando se efectua uma substituição 8 de G sobre as variáveis zI' Z2' ... , zn. A função <PI será então convertida numa das suas conjugadas em G. Mas que efeito produz sobre as restantes funções <P2' ... ' <Pm essa mesma substituição 8? Consideremos, por exemplo, a função <P2; o facto de <P2 ser uma conjugada de <PI em G, significa que existe uma substituição 82 de G que converte <PI em <P2; efectuar a substituição 8 em <P2 equivale portanto a efectuar a substituição 882em <PI:

Mas, como 8 E G e 82 E G, também 882 E G, visto que G é, por hipótese, um grupo; logo, a função 8 {<P2} será ainda uma conjugada de <PI em G. Análoga conclusão para as restantes funções <P3' ... , <Pm. Ponhamos então:

E claro que não poderá ser 8 {<Pi} = 8 {<Pk} com i "# k, visto que, efectuando 8- 1 nos dois membros, viria <Pi =<Pk. Podemos pois garantir que os índices de iI' i2 , ••• , im são ainda os números 1, 2, ... m dispostos numa ordem possivelmente diversa, mas sem omissão nem repetição. Em resumo: cada substituição 8 sobre os zz determina uma substituição 8 sobre os <p<p:

isto é: 8(<p) = 8{<pJ, para i = 1,2, .. . , m.

Note-se bem: 8 é uma substituição sobre os zz, enquanto 8 é a substituição correspondente sobre os <p<p. A correspondência 8 --7 8 é unívoca, mas não necessariamente reversível: veremos que se pode ter 8 1 = 82 , com 8 1 *" 82 , Além disso, ao produto O' 8 de duas quaisquer substituições de G, corresponde precisamente o produto das substituições correspondentes sobre os <p<p: O'

8 (<p)

= (0'8){<pJ = 0'{8{<pJ} =O' (8(<p) = (0'8)(<p).

Daqui se conclui que: aLa correspondência 8 --7 8 é um homomorfismo; b) o conjunto G de todas as substituições 8 obtidas sobre os <P<P é um grupo (visto que G também o é). Ocorre agora investigar quais as substituições de G que se traduzem na identidade em G, isto é, ocorre determinar aquelas substituições de G (efectuadas sobre os zZ), que convertem <PI em <PI' <P2 em <P2' ... , <Pm em <Pm' Ora, já sabemos que as substituições de G que deixam invariante cada função <pj são precisamente as do grupo transformado

designando por 8 uma das substituições de G que convertem <PI em <pj e por H, como dissemos, o grupo a que pertence <PI em G (i = 1, 2, ... , m). As substituições de G que se traduzem na identidade sobre os <P<P são pois as substituições comuns aos grupos j

8j H 8iI, para i = 1,2, ... , m,

isto é, serão os elementos do grupo 1 N=Hn8H8n ..m ·n8 H8-m 1• 22

77 Em particular, pode ter-se 1 1 H=8H8=···=8 22 m H8m

e portanto H = N. Já sabemos que, neste caso, o grupo H se diz invariante ou normal em G. Pois bem: nesta última hipótese, o grupo G, considerado como grupo de substituições sobre os índices 1, 2, ... , m (dos <p<p), chama-se grupo cociente de G por H e designa-se pela notação GIH. Ilustremos estes factos com um exemplo. Consideremos, por um lado, o grupo alternante A4 e, por outro lado, a função u =ZI Z3 + Z2 Z4' pertencente ao grupo V4 em A4 . As conjugadas desta função em A4 são

N o quadro seguinte estão indicadas, na coluna à esquerda, as substituições de A4 (sobre os zz) e, na coluna à direita, as substituições correspondentes sobre os uu:

/, (1 2) (3 4), (1 3) (24), (1 4) (2 3)

(l 2 3), (1 3 4), (24 3), (1 4 2)

(123)

(1 3 2), (1 4 3), (2 3 4), (1 24)

(132)

o grupo A4 é pois constituído pelas potências do ciclo (1

2 3) e, como V4 é invariante em A4' podemos escrever A4 =A 41V4. Na coluna à esquerda, os elementos de A4 encontram-se repartidos em três classes, que são precisamente as classes laterais de V4 em A4' a saber: V4, (1 2 3) V4 e (1 3 2) V4. Consideremos agora, em vez de A4' o grupo simétrico S4. Já sabemos que, em S4' a função

pertence ao grupo Q4 do quadrado. Mas Q4 não é invariante em S4: as substituições de S4 que deixam invariantes, ao mesmo tempo, as três funções UI' u2' u3 são as da intersecção

Neste caso, as substituições obtidas sobre os uu, são, além de /, (1 2 3), (1 3 2), ainda as transposições (1 2), (1 3), (2 3). Mas então o grupo S4' constituído por estas 6 substituições, coincidirá com S3. Verifica-se pois, em particular, que

27. Teoremas sobre homomorfismos. Noção geral de grupo cociente (1) Convém, previamente, observar o seguinte facto: Para que um subgrupo H de G seja invariante em G, é necessário e suficiente que o transformado

e (J e-I de cada elemento (J de H por meio de cada elemento ainda um elemento de H; isto é, em símbolos:

e de G seja

eH e-I c H, qualquer que seja eEH. A condição é evidentemente necessária, pois que, por definição, o grupo H se diz invariante em G quando resulta,

eH e-I = H, para todo o eE G. (1) A leitura deste número não é indispensável para a compreensão do capítulo seguinte.

Suponhamos então que se tem

eH e-I c H, qualquer que seja eE

Multiplicando ambos os membros, desta inclusão, à esquerda por e-I e à direita por e, virá,

(4) Mas -se-á

Hce- 1 He.

e-I é um elemento de G; logo, em virtude da hipótese, tere-I H(e- 1)-1c H,

donde, por confronto com (4): e- 1 He=H

ou ainda H = eHe-l, qualquer que seja e E G.

A condição enunciada é pois suficiente. Para comodidade de linguagem, convém ainda introduzir a seguinte noção: Dada uma transformação unívoca rc dum conjunto A sobre um conjunto B, chamaremos imagem inversa completa de um qualquer elemento x de B, segundo rc, e representaremos por r c (-I )

(x),

o conjunto de todos os elementos de A que são transformados em x por meio de rc; analogamente, chamaremos imagem inversa completa dum subconjunto M de B, e representaremos por r c (- I )

(M),

o conjunto de todos os elementos de A que são transformados em elementos de M por meio de rc .

Posto isto, podemos demonstrar o seguinte teorema: Em todo o homomorfismo G ~ G, a imagem inversa completa do elemento I de G é um grupo N invariante em G; a imagem inversa completa de cada elemento 8 de G é uma das classes laterais de NemG. Seja com efeito T um homomorfismo de G sobre G e seja No conjunto de todos os elementos de G que são transformados em I por meio de T (diz-se então que N é o núcleo do homomorfismo T). Ora, dados arbitrariamente a, 8 E N, virá T( a 8) = T( a) . T(8) = I . I = I; logo também a 8 E N. Por outro lado T(a - I )

= [T(a)] -I =I,

e portanto a-I E N. Podemos pois concluir que N é um grupo. Sejam agora a um elemento qualquer de N e 8 um elemento qualquer de G. Virá T(8 a 8-1) = T(8) T( a) [T(8)]-1 = 8 . I . 8-1 = I

donde 8 a 8-1 E N, o que significa que N é invariante em G. Resta-nos provar a segunda parte do teorema. Seja 8 um elemento qualquer de G e seja 8 um dos elementos de G tais que T(8) = 8. Proponhamo-nos então determinar todos os elementos ç de G tais que T( ç) = 8. Ora tem-se T(8- 1ç) = [T(8)]-1 T( ç) = 8-1 8 = I,

e portanto 8- 1 çE N ou seja çE8N.

A imagem inversa completa de 8, isto é, o conjunto de todos os elementos ç de G que são transformados em 8 por meio de T, é pois a classe lateral 8H de H em G, q.e.d .. Somos agora conduzidos a este outro resultado:

Se existem dois homomorfismos T, T' dum mesmo grupo G sobre dois grupos G, G, respectivamente, e se os núcleos dos dois homo= morfismos coincidem, podemos concluir que G é isomorfo a G. Sejam com efeito T, T' dois homomorfismos nas condições do enunciado e seja N o núcleo comum de T e T'. Então, segundo o teorema precedente, existirá uma correspondência biunívoca 9 ~ 9 N entre os elementos de G e as classes laterais de N em G; e, analogamente, uma correspondência biunívoca 9 N ~ 9, entre as classes laterais de Nem G e os elementos de G; podemos assim definir directamente uma correspondência biunívoca 9 ~ 9 entre os elemen= tos de G e os de G. Ora esta correspondência é isomórfica. Com efeito, dados arbitrariamente 91' 9 2 E G, existirão em G pelo menos dois elementos 91' 8 2 , tais que

então virá

e, por outro lado,

Logo, ao produto 9 1 9 2 não pode deixar de corresponder em G o produto 9 1 9 2 , o que prova a afirmação feita. Surge entretanto o seguinte problema: Dados arbitrariamente um grupo G e um seu subgrupo invariante N, existirá sempre um homomorfismo de G sobre um segundo grupo G, de modo que o núcleo desse homomorfismo seja precisamente N? A esta questão responde-se afirmativamente, com a introdução de um conceito geral de "grupo cociente".

A noção de "grupo cociente" dada no n.o anterior tem o inconveniente de fazer intervir funções de ZI' Z2' ... , Zn' o que restringe a sua aplicabilidade aos grupos de substituições. Ora nós podemos definir tal noção com inteira generalidade: basta, para isso, fazer com que o papel das funções <PI' <P2'·.·' <Pm seja desempenhado pelas classes de H em G. Seja pois G um grupo qualquer (finito ou infinito) e seja H um seu subgrupo invariante. As classes laterais de H em G:

e H, e H, ...

serão agora em número finito ou infinito. Ponhamos em geral

e designemos por A a família destas classes Hi. Seja agora e um elemento qualquer de G; multiplicando à esquerda por e cada classe Hi' obter-se-á ainda uma classe lateral de H em G:

Ficará pois assim definida uma transformação unívoca rmlia A sobre si mesma:

e da fa-

e = ( eH, ee H, ee H, ... ), 2

e2 H,

e3 H, .. .

ou seja, abreviadamente: (5)

e(H) = e·H

paracadaHiEA.

Ora facilmente se reconhece que esta transformação voca; a sua inversa, e-I, é precisamente, e-l(H) =

e-I. Hj'

para cada ~ E A.

e é biuní-

Podemos pois assentar em que, a cada elemento e de G, fica deste modo a corresponder uma transformação biunívoca e da família A sobre si mesma. Ora a correspondência e ~ e assim definida é um homomorfismo, pois que se tem, atendendo a (5) ( (j

e) (H) = ((j e) . Hi = (j . (e . H) =

= (j (e (R)) = ((j e) (H), isto é, (j e = (j e, quaisquer que sej am (j, eE G. O conjunto G de todas as transformações e assim obtidas (sobre a farm1ia A) é portanto um grupo, ao qual chamaremos, precisamente, o grupo cociente, G/H, de G por H. Vejamos agora qual o núcleo do homomorfismo G ~ G, isto é, procuremos determinar a totalidade dos elementos ç de G que se traduzem na identidade G :

çHi = Hi' qualquer que seja Hi E A . Ora esta igualdade é equivalente à seguinte

que é, por sua vez, equivalente a esta outra

Então, pondo

segue-se que 11 é um elemento de H (pois que só nessa hipótese 11H = H). Mas tem-se

logo, também ç será um elemento de H, visto ser H invariante em G. Podemos pois concluir que o núcleo do homomorfismo G ~ GIH coincide com H. A tal homomorfismo dá-se, precisamente, o nome de homomorfismo natural de G, com o núcleo H. Em resumo: Dados um grupo G e um seu subgrupo invariante H, existe sempre um homomorfismo de G com o núcleo H: o homomorfismo natural G ~ GIH. Para qualquer outro homomorfismo G ~ G' com o mesmo núcleo H, tem-se, necessariamente: G'~

GIH.

Esta última proposição é conhecida como o teorema fundamental dos homomorfismos. Como exercício propomos a demonstração dos seguintes factos: I - Em todo o homomorfismo G ~ G, cada elemento e de G com período finito é transformado num elemento e de G cujo período é um divisor do período de e. II - O grupo cociente SnlAn é isomorfo ao grupo S2' qualquer que seja n = 2, 3, ....

III - O grupo T das translações é um subgrupo invariante no grupo Gd dos deslocamentos, o qual, por sua vez, é invariante no grupo Gs das semelhanças. O grupo Gdl T é isomorfo ao grupo Rc das rotações em torno dum ponto c. O grupo GsIGd é isomorfo ao grupo Hc das homotetias em relação a um mesmo centro c.

NOTAS FINAIS

A) Sobre o teorema de LAGRANGE.

O teorema de LAGRANGE generalizado pode ainda ser apresentado sob a seguinte forma, particularmente cómoda para a aplicação à teoria de GALOIS: Consideremos uma equação algébrica fez) = 0, de raízes aI' a 2 , · · · , a n , com os coeficientes num dado corpo Ll, e seja G um seu grupo admissível a respeito de Ll. Consideremos, por outro lado, uma função racional ~ = <p (aI' a 2 , ••• , aJ das raízes desta equação, com os coeficientes em Ll e pertencente em sentido restrito a um grupo H em G. Nestas condições, qualquer outra função racional das raízes,

com os coeficientes em Ll, que fique formalmente invariante para as substituições de H, terá o valor em Ll(~). A técnica da demonstração é inteiramente análoga à que seguimos nos n.OS 30 e 32. Sejam ~1 (= ~), ~2'···' ~m as funções conjugadas de ~ em G, e

as funções correspondentes obtidas a partir de y. Tomando para incógnitas cp c2 , ••• , cm' O determinante do sistema

é o determinante de VANDERMONDE em ~l' ~2'·.·' ~m e portanto "# O. Por outro lado, qualquer substituição e de G sobre os aa não faz mais do que produzir uma substituição sobre os ~~ e a substituição

180

correspondente sobre os Y'!, provocando assim, quando muito, uma alteração da ordem das equações (27). Os coeficientes cp c2 , ... , cm são pois, por intermédio dos ~~ e dos Y'!, funções racionais dos aa, com os coeficientes em ~ que se mantêm formalmente invariantes para as substituições de G. Mas G é, por hipótese, um grupo admissível da equação fez) = O a respeito de ~. Logo, tem-se

o que prova a afirmação feita.

B) Sobre as equações cíclicas.

Nas considerações desenvolvidas no n. o 37 sobre a resolução algébrica da equação cíclica, há um ponto a rectificar. A função das raízes, n

rok-1a , k

k=l

só pertencerá em sentido restrito ao grupo .9'" em H, se for ~ "* O. Esta dificuldade pode ser removida do seguinte modo: se os aa são todos distintos, existe necessariamente um expoente Jl tal que

com efeito, se assim não fosse, as equações roO a; + roa; + ... + ro n - 1a: = O (r =O, 1, ... , n - 1),

considerando roo, ro, ... , ro n - 1como incógnitas, formariam um sistema determinado, tendo por única solução roO = ro =... =ro n - 1=O, o que é absurdo. Pode então tomar-se para valor de ~ o somatório n

.L..J

k=l

rok-1a fl

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em vez do primeiro. Deste modo se evita o inconveniente indicado, e todos os raciocĂnios podem seguir como foi dito no n.o 37.

182

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íNDICE INTRODUÇÃO ÀS MODERNAS TEORIAS ALGÉBRICAS CAP. I - Generalidades sobre conjuntos e transformações 1. Noção geral de conjunto e as relações lógicas primitivas ..........

2. Operações lógicas sobre conjuntos ............................................

3. Conjuntos formados dum só elemento e conjuntos de conjuntos

4. A noção de conjunto vazio ......................................................... 22 5. O conceito geral de transformação.............................................

6. Transformações entre conjuntos finitos ..................................... 26 7. Produto de duas transformações ................................................ 28 8. Propriedades gerais dos produtos de transformações ................ 31 9. Potências dum operador ............................................................. 34 10. Período duma transformação ..................................................... 35

11. Substituições cíclicas ...................... .. ......................................... 37 12. Conceito de grupo de transformações ........................................ 39 13. Grupos de substituições ............................................................. 40 14. Grupo duma função ................................................................... 42 15. Intersecção de dois ou mais grupos. Geradores dum grupo ....... 46 16. Imagem dum conjunto; imagem duma transformação ............... 47 17. Transformado dum grupo........................................................... 51

184 CAP. II - Transitividade e Homomorfia 18. Relações de equivalência; repartições dum conjunto ................. 19. Equivalência a respeito dum grupo. Sistemas de transitividade. 20. Alusão ao programa de Erlangen ............................................... 21. Funções conjugadas duma função dada. Conceito de subgrupo invariante .................................................................................... 22. Classes laterais dum grupo ......................................................... 23. O conceito de homomorfismo entre grupos ............................... 24. Isomorfismos e automorfismos .................................................. 25. Propriedades algébricas e propriedades específicas. Isomorfismos internos ................................................................ 26. Primeira noção de grupo cociente .............................................. 27. Teoremas sobre homomorfismos. Noção geral de grupo cociente

53 57 59 60 65 69 71 73 75 78

CAP. III - Resolubilidade por meio de radicais (1 8 parte) 28. O teorema das funções simétricas .............................................. 29. Equações resolventes. Transformações de TSCHIRNHAUS ..... 30. Teorema de LAGRANGE .......................................................... 31. Consequências do teorema de LAGRANGE ............. .... .... ........ 32. Generalização do teorema de LAGRANGE .. ........ .... ....... ......... 33. Noção de corpo numérico .......................................................... 34. Funções pertencentes a um grupo em sentido restrito ............... 35. O grupo de GALOIS duma equação .......................................... 36. Pesquisa do grupo de GALOIS duma equação .......................... 37. Equações do terceiro grau. Equações cíclicas............................ 38. Condição suficiente de resolubilidade por meio de radicais ......

85 92 95 98 102 104 106 111 114 116 122

CAP. IV - Resolubilidade por meio de radicais (28 parte) 39. Redutibilidade dos polinómios. Corpos algebricamente fechados ..................................................................................... 133 40. Teorema fundamental da irredutibilidade. Componentes dum número num dado corpo ............................... ............................. 135

185 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52.

Isomorfismos e automorfismos entre corpos.............................. Teorema fundamental dos isomorfismos entre corpos algébricos O grupo de GALOIS como grupo de automorfismos ................ Estudo da redutibilidade através do grupo de GALOIS ............. Equações binómias ..................................................................... Teorema de GALOIS sobre adjunções ....................................... Equações ciclotómicas ............................................................... Critério geral de resolubilidade por meio de radicais ................ Equações com coeficientes variáveis ......................................... Corpos de funções ...................................................................... Equação geral de grau n ............................................................. O grupo SI!' para n > 4, não é resolúvel .....................................

140 142 146 150 152 153 156 159 161 162 164 165

CAP. V - Noções Gerais de Grupo e Corpo 53. Axiomatização do conceito de grupo ......................................... 54. Primeiras consequências da axiomática dos grupos ............. ..... 55. Representação dum grupo qualquer mediante um grupo de transformações ........................................................................... 56. Axiomatização do conceito de corpo .........................................

169 172 174 176

Notas finais ..................................................................................... 179 Índice ............................................................................................... 183