Matemática Uma aproximação à verdade (aceite para publicação em 11 de Janeiro de 2011)
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Créditos e autoria
Quid est veritas? (o que é a verdade?) :Definição
Algo que, estando presente em certas proposições, alimenta a convicção dos matemáticos de que pode ser provado! Objecção! Esta convicção é, obviamente, de natureza sentimental, ou metafísica! Para recuar clique neste botão:
Fonte: BOURBAKI, N., Théorie des Ensembles, Masson, 1990, E IV.43.
A objecção pode ser vencida… mas
a) Que certas proposições são aquelas? (…)
b) Que significa “ser provado”? mmmhh… vejamos um étimo afim: “prova”
… prosseguindo:
(…)
b) (…)
“prova”
a) Que certas proposições
… vem de “probus”, a palavra latina
são aquelas?
para “algo que é recto, honesto”, etc… … a qual, por sua vez, deu origem a (…)
“probare”, a palavra latina para “testar, pôr em julgamento”, etc…
Recuando mais no tempo… b) … “probus” e “probare”, por sua vez, pelo (…)
que significam, inspiram-nos as perguntas:
a) Que certas proposições são aquelas?
(…)
- Como dar a ver (em julgamento) aquilo que se quer mostrar (porque é recto, honesto, ou… verdadeiro)? Como, e onde (tribunal)?
- “Visão” e “lugar”…?
Até à época da civilização grega clássica … à qual remontam o étimo thea (ver) e o sufixo tron (lugar), cuja combinação nos trouxe: (…) a) Que certas proposições
são aquelas?
(…)
Thea + tron theatron:
O teatro, o lugar onde se vê. Online Etymology Dictionary
‌ onde uma constelação de outros Êtimos afins, como
(‌)
a) thÊôros – espectador, o que contempla; b) thÊôroi – espectåculos, festas solenes; c) thÊôrikon – subvenção para o thÊôros pagar entradas e ter acesso ao que se vê nos thÊôroi;
a) Que certas proposiçþes são aquelas?
Ei-las:
‌ Ê uma constelação que se forma, podemos imaginar, drenando os respectivos sentidos, no molde de uma só palavra:
theĂłrđ?’†ma - teorema
A palavra theór�ma (teorema) significando, sucessivamente: a) A instância (espectåculo) onde, ou a proposição com a qual,
Por isto ĂŠ que, naqueles tempos, dizer “teoremaâ€? era dizer
b) Se visa mostrar, demonstrar ou
“demonstraçãoâ€?
dar a ver, Por isto ĂŠ que, desde entĂŁo,
c) A verdade que o matemĂĄtico contempla.
dizer “matemĂĄticaâ€? ĂŠ dizer “demonstraçãoâ€?
A forma talvez mais comum destas proposições a que chamamos teoremas, é a seguinte:
“Se uma certa hipótese, A, é verificada, então, uma determinada tese, ou conclusão, B, também é”. Formulações abreviadas equivalentes:
“ Se A, então B ” ;
“ A implica B ” ;
“ A B ”.
Vamos estudar dois métodos de prova
1º método (prova directa) Nota: Faz-se, ou recomenda-se a prova directa quando a hipótese contém informação suficiente para construir
um
encadeamento
de
passos que conduz à conclusão.
Hipótese (A): Sejam α e β dois números ímpares e seja α + β a sua soma. (clique aqui para ver a hipótese implícita)
Exemplo (provar que a soma de dois números ímpares não é um número ímpar)
Tese (B): α + β não é um número ímpar.
Prova: Sendo Îą e β nĂşmeros Ămpares, eles nĂŁo sĂŁo divisĂveis por 2: quando tentamos essa divisĂŁo obtemos quocientes inteiros (t e s, digamos) e restos nĂŁo nulos. Sem perda de generalidade,
pode entĂŁo escrever-se: Îą = đ?&#x;?đ?’• + đ?&#x;?
e
β = đ?&#x;?đ?’” + đ?&#x;? .
Logo, Îą + β = đ?&#x;?đ?’• + đ?&#x;? + đ?&#x;?đ?’” + đ?&#x;? = đ?&#x;? đ?’• + đ?’” + đ?&#x;? . Ora, o nĂşmero p = đ?’• + đ?’” + đ?&#x;? ĂŠ inteiro (porque t e s sĂŁo inteiros). Logo, Îą + β = đ?&#x;?đ?’‘ , com p inteiro; Logo, Îą + β ĂŠ divisĂvel por 2 ; logo, Îą + β nĂŁo ĂŠ Ămpar, tal como querĂamos demonstrar.
2Âş mĂŠtodo (prova indirecta) (ou pelo contrarrecĂproco, ou converso, tambĂŠm dita prova por contradição ou por redução ao absurdo)
Nota: Este mĂŠtodo baseia-se na equivalĂŞncia lĂłgica entre “ đ?‘¨ ď‚” đ?‘Š â€? e
HipĂłtese (A):
đ?’™ďƒŽQ e đ?’š
(clique aqui para ver a hipĂłtese implĂcita)
“ ~ đ?‘Š ď‚” ~ đ?‘¨ â€?. Clique aqui para uma discussĂŁo desta equivalĂŞncia.
Tese (B): đ?’™ + đ?’š ďƒ? Q. Exemplo (provar que a soma de um nĂşmero racional com um nĂşmero irracional nĂŁo ĂŠ um nĂşmero racional)
Q.
(đ?‘„ denota o conjunto dos nĂşmeros racionais)
Prova : Suponhamos que B ĂŠ falsa. Ou seja, suponhamos, ~ đ?‘Š, que
đ?’™ + đ?’š ďƒŽ đ?‘„.
EntĂŁo, por definição, existem inteiros, đ?’? e đ?’‘ , com đ?’‘ ≠đ?&#x;Ž, tais que đ?’™+đ?’š=đ?’?
đ?’‘
,
e tambĂŠm, aliĂĄs por hipĂłtese, inteiros đ?œś e đ?œˇ , com đ?œˇ ≠đ?&#x;Ž, tais que
đ?’™=đ?œś
đ?œˇ.
Logo, đ?’™+đ?’š=
đ?’? đ?’‘
ď‚–
đ?œś đ?œˇ
+đ?’š=
đ?’? đ?’‘
ď‚–
đ?’š=
đ?’? đ?’‘
−
đ?œś đ?œˇ
ď‚–
com đ?’‘đ?œˇ ≠đ?&#x;Ž (đ?‘?đ?‘œđ?‘–đ?‘ đ?’‘ ≠đ?&#x;Ž e đ?œˇ ≠đ?&#x;Ž) (continua)
đ?’š =
đ?’?đ?œˇâˆ’đ?œśđ?’‘ đ?’‘đ?œˇ
,
(continuação)
Ora, tanto đ?’?đ?œˇ − đ?œśđ?’‘ como đ?’‘đ?œˇ sĂŁo nĂşmeros inteiros (porque đ?œś, đ?œˇ, đ?’? e đ?’‘ o sĂŁo), logo,
đ?’š ĂŠ um đ??§Ăşđ??Śđ??žđ??Ťđ??¨ đ??˘đ??§đ??đ??žđ??˘đ??Ťđ??¨ , logo, ď ž A ĂŠ verdadeira ,
logo,
A ĂŠ falsa .
Ou seja, assumindo a negação da tese, concluĂmos pela negação da hipĂłtese: ď žB ď‚” ď žA Logo, A ď‚” B (tal como querĂamos demonstrar) exercĂcio : ď‚Š
ExercĂcios (demonstração de dois teoremas). A compreensĂŁo, de verdades matemĂĄticas simples pode revolucionar a visĂŁo que temos do
mundo. Por vezes, com consequências‌ Foi o que sucedeu com a descoberta – intelectual – de que certas grandezas naturais, como sejam, certas distâncias, não se podem exprimir como razþes: os seus valores são irracionais!
1. Seja đ?’‚ um nĂşmero inteiro. Usando o mĂŠtodo directo, prove que: Se đ?’‚đ?&#x;? ĂŠ divisĂvel por 2, entĂŁo, a ĂŠ divisĂvel por 2
(isto ĂŠ, que đ?&#x;?|đ?’‚đ?&#x;? ď‚” đ?&#x;?|đ?’‚ )
2. Usando o resultado do exercĂcio 1, prove, pelo mĂŠtodo indirecto, que:
Resolução de 1
Resolução de 2
đ?&#x;? ďƒ? đ?‘¸
(ver nota)
1. Dado qualquer đ?’‚ ďƒŽ Z, đ?&#x;?|đ?’‚đ?&#x;? ď‚” đ?&#x;?|đ?’‚ . HipĂłtese: đ?’‚ ďƒŽ Z ď‚™ ď‚™ 2|đ?‘Ž2
Prova:
Se đ?‘Ž ďƒŽ Z, entĂŁo, para algum đ?‘› ďƒŽ Z,
đ?’‚ = đ?&#x;?đ?’?
ou
đ?‘Ž = 2đ?‘› + 1
logo, HipĂłtese: đ?‘Ž ďƒŽ Z đ?&#x;?|đ?’‚đ?&#x;? ď‚™ ď‚™
đ?’‚đ?&#x;? = đ?&#x;’đ?’?đ?&#x;? ou đ?‘Ž2 = 4đ?‘›2 + 4đ?‘› + 1 logo,
đ?’‚đ?&#x;? = đ?&#x;’đ?’?đ?&#x;?
logo, đ?’‚ = đ?&#x;?đ?’? logo Tese ď‚™ ď‚™
đ?&#x;?|đ?’‚
2.
đ?&#x;? ďƒ? Q
Negação da tese 
Prova:
Suponhamos que đ?&#x;? ďƒŽ Q. EntĂŁo, đ?&#x;? pode escrever-se como uma fracção irredutĂvel, digamos, đ?’‘ đ?’’, com đ?’’ ≠đ?&#x;Ž. Ora, đ?’‘ đ?’’
Logo, đ?’‘ = đ?&#x;?đ?’“.
=
đ?&#x;?
ďƒž
đ?’‘đ?&#x;? đ?’’đ?&#x;?
đ?&#x;?|đ?’‘đ?&#x;? . Logo, đ?&#x;?|đ?’‘
=đ?&#x;?
Contradição  
đ?’‘đ?&#x;? = đ?&#x;?đ?’’đ?&#x;?
(pelo exercĂcio 1).
EntĂŁo, đ?’‘đ?&#x;? = đ?&#x;?đ?’’đ?&#x;? ď‚• đ?&#x;’đ?’“đ?&#x;? = đ?&#x;?đ?’’đ?&#x;?
Logo, đ?&#x;?|đ?’’đ?&#x;? . Logo, đ?&#x;?|đ?’’
ď‚•
Logo, existe r tal que
ď‚• 2đ?’“đ?&#x;? = đ?’’đ?&#x;? .
(novamente pelo exercĂcio 1).
Logo, p e q tĂŞm đ?&#x;? como factor comum e
đ?’‘
đ?’’
nĂŁo ĂŠ irredutĂvel !
… pelo teorema de Pitágoras
Clique aqui para voltar aos exercícios.
… pois, que a verdade é um valor, isto é algo que todos sentimos; e é este sentimento que nos determina a procurá-la.
… então, continuemos, com um clique aqui
Hipótese implícita: Valem, para α e para β, as propriedades das operações com
números inteiros.
Clique aqui para voltar à prova.
Hipótese implícita: Valem, para x e para y, as propriedades das operações com números reais. Clique aqui para voltar à prova.
Tabelas de verdade
A
B
AB
A
V
V
V
lê-se “não A”
V
F
F
V
F
F
V
V
F
V
F
F
V
A
(Clique aqui para retroceder
para a apresentação do 2º método)
A
B
B
A
AB
B A
V
V
F
F
V
V
V
F
V
F
F
F
F
V
F
V
V
V
F
F
V
V
V
V
d|n lĂŞ-se “d divide nâ€? Recorde-se que, por definição, Dados dois nĂşmeros inteiros, đ?’… e đ?’?,
đ?’…|đ?’?
ď‚– đ?’? = đ?’„đ?’… ,
para algum nĂşmero inteiro đ?’„ (dito quociente de d por n).
Clique aqui para voltar ao enunciado do exercĂcio.
Irracionais, sim… mas nem por isso menos razoáveis
Recorde-se que, no nosso contexto, irracionalidade significa
apenas impossibilidade de expressão como razão, ou quociente!
Clique aqui para voltar ao enunciado dos exercícios.
Fontes e referências para esta aula/apresentação: ALLENDOERFER, C.B., OAKLEY, C.O., Principles of Mathematics, 2nd ed., McGraw-
Hill, 1963. BOURBAKI, N., Théorie des Ensembles, Masson, 1990. CUPILLARI, A., The Nuts and Bolts of Proofs, 2nd ed., Academic Press, 2001. DAREMBERG, CH., SAGLIO, EDM., Dictionnaire des Antiquités Grecques et Romaines, Librairie Hachette, 1877 (pode ser consultado aqui) GRIZE, J.-B., Lógica Moderna, Livraria Civilização, 1984. MACHADO, J.P., Dicionário Etimológico da Língua Portuguesa, 6ª ed., Livros Horizonte, 1990.
PETITOT, J., “Local/Global”, in GIL, F., coord., Enciclopédia Einaudi, vol. 4, INCM, 1985. Voltar ao início
Autor: Luís G.D.C. Borges Ano lectivo de 2010/2011; Escola Secundária c/3º Ciclo EB de Pedro Nunes.
Publicação sob uma licença Creative Commons da Casa das Ciências.
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