Um plano que intersecte um cubo em mais do que um ponto produz nele uma
SECÇÃO que é uma figura plana limitada por segmentos de reta. Estes
segmentos resultam da interseção das faces do cubo com o plano secante ou plano de corte.
Para determinar as secções produzidas por cada plano deve ter-se em conta, entre outras propriedades já estudadas, que: Dois pontos definem uma reta. Dois planos concorrentes intersectam-se segundo uma reta.
Um plano intersecta dois planos paralelos segundo duas retas paralelas.
(A)
(B)
(C) Z
Z
Z
X
(D)
Y
X
Y
X
Z
Y
X
Y
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Que polígonos é possível obter por corte de um cubo?
Para cada um desses polígonos indica a posição do plano de corte relativamente a algum(s) elemento(s) do cubo.
SE O PLANO INTERSETAR APENAS TRÊS FACES DO CUBO, A SECÇÃO É UM TRIÂNGULO.
SE O PLANO INTERSETAR QUATRO FACES DO CUBO, A SECÇÃO É UM QUADRILÁTERO.
SE O PLANO INTERSETAR CINCO FACES DO CUBO, A SECÇÃO É UM PENTÁGONO.
SE O PLANO INTERSETAR SEIS FACES DO CUBO, A SECÇÃO É UM HEXÁGONO. Poder-se-á obter um heptágono, um octógono, …?
Tentando imaginar (visualizar) o corte e, tendo em atenção as propriedades estudadas, em particular, um plano corta planos paralelos segundo retas paralelas, desenha a secção obtida segundo um plano passando em P, Q e R. Identifica, para cada um dos cubos qual a figura plana obtida e, atendendo aos dados das figuras, classifica-as quanto aos lados.
1. Q
Q P
P
R
R
Triângulo escaleno
2. B
B
Q A
Q A
P
P
R
R
AP = BQ
AP = BQ
Triângulo isósceles O plano é paralelo a uma diagonal facial do cubo. Recorda Um plano é paralelo a uma reta, se nele existir uma reta paralela à reta dada.
3. B
B Q
Q A
A
P
P
R
R
C AP = BQ = CR
AP = BQ = CR
C
Triângulo equilátero O plano é paralelo a duas diagonais faciais do cubo, concorrentes no mesmo vértice. Recorda Dois planos são paralelos se num deles existirem duas retas concorrentes e paralelas ao outro.
4. Q
Q P
P
R
R
TrapÊzio O plano interseta duas faces paralelas do cubo. θ
Recorda Um plano interseta planos paralelos segundo retas paralelas.
5.
Q
P
R
Q
P
R
Trapézio isósceles Obtém-se um trapézio isósceles, quando…? O plano interseta quatro faces do cubo, das
quais duas são paralelas e é paralelo a uma diagonal facial.
6.
R
R Q
P
Q
P
Paralelogramo
7.
Q P
R
Q P
R
Ret창ngulo
MOSTRAR QUE: SE O PLANO INTERSETAR QUATRO FACES E FOR PARALELO A UMA ARESTA DO CUBO, A SECÇÃO É UM RETÂNGULO POR TER OS ÂNGULOS TODOS RETOS Seja RPQ o plano secante paralelo à aresta [AB] Q
P
Como [AB] é perpendicular aos planos suporte das faces de cima e de baixo do
A
cubo, os lados [PR] e [QS] da secção também o são; logo, são perpendiculares a S
todas as retas desses planos, em particular, são perpendiculares a [PQ] e [RS].
R
B
Do exposto podemos concluir que a secção é um retângulo, por ter os ângulos todos retos.
Nota: Há uma posição em que o retângulo tem os lados iguais e, portanto, é um quadrado.
8.
Q
Q P
P
R
R
Quadrado
9.
Q P
Q P
R
R
Losango
10.
Q
Q
P
R
P
R
Pentรกgono
Poderá a secção ser um
Pentágono Regular? Justifica. Ao intersetar cinco faces, o plano de corte interseta sempre duas faces (pelo menos); portanto, a secção é um pentágono irregular, pois dois dos seus lados (pelo menos) são paralelos.
11.
Q
Q P
P
R
R
Hexรกgono
Recorda Uma reta é perpendicular a um plano, se for perpendicular a duas retas concorrentes desse plano. e… Se uma reta é perpendicular a um plano, é perpendicular a todas as retas desse plano.
Poder-se-á obter um Hexágono Regular? Em que situação? A secção produzida num cubo pelo plano que passa no seu centro e é perpendicular a uma diagonal espacial é um hexágono regular.
O Jogo do “X” Determina as secções produzidas no cubo por um plano que, em cada caso, contenha o ponto X e seja paralelo à secção produzida no cubo pelo plano ABC (o triângulo [ABC] é equilátero). Identifica a figura plana obtida em cada um dos casos.
C
X A
B
X
C
Experimenta colocar o “X” noutras posições!
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Na figura está representado um cubo e a secção nele produzida pelo plano IJG o cubo tem 4 cm de aresta I é o ponto médio de [CD] J é o ponto médio de [BC] Calcula: a)a área da secção. Corte em perspetiva
Representações em verdadeira grandeza G
I I 4 cm
M
J G
C
J
4 cm
I
C
b) o volume da pir창mide [CIJG] Pir창mide noutra perspetiva
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a
B
Q
3. Então, a área do hexágono é igual a …... × área do triângulo [ABC]
D
P
P
d S
S
a
A
A
1. Justifica que D = 2 x d 2. Qual a razão de semelhança das áreas dos triângulos equiláteros [ABC] e [PQR]? Justifica.
R
C
R
C
4. Determina em função de a, medida do comprimento da aresta do cubo, as áreas do hexágono e do triângulo [ABC]
Q P
Qual a amplitude do ângulo QPR? Justifica.
R H
E D
Determina a amplitude do menor ângulo determinado por duas diagonais espaciais do cubo.
Îą F A
G B
Bibliografia Tudo o que há num cubo ... Eduardo Veloso Revista “Educação e Matemática” nº 26, 1993 Geometria Temas Atuais Eduardo Veloso Brochura: Geometria – 10º ANO Cristina Loureiro, Franco de Oliveira, Elfrida Ralha, Rita Bastos Ministério da Educação, 1997 Matemática A – 10º ANO Ana Jorge | Conceição Alves | Cristina Cruchinho | Graziela Fonseca | Judite Barbedo | Manuela Simões XEQMAT – Matemática A - 10º ano Cristina Viegas, Francelino Gomes, Yolanda Lima Maria José Vaz da Costa