Fluidos - Dados e Problemas

T.P.C. Fluidos Michael Fowler 1. A pressĂŁo atmosfĂŠrica varia de dia para dia, mas 1 atm ĂŠ definida como 1.01 x 105 Pa. Calcula quanto ĂŠ que esta pressĂŁo faria subir uma coluna de ĂĄgua num “barĂłmetro de ĂĄguaâ€?. (Isto ĂŠ, um longo tubo de vidro invertido, com o topo selado e contendo vĂĄcuo no interior acima da superfĂ­cie da ĂĄgua, e a extremidade inferior mergulhada numa tina com ĂĄgua, cuja superfĂ­cie fora do tubo estĂĄ sujeita Ă pressĂŁo atmosfĂŠrica.) 2. A densidade do ar Ă temperatura ambiente ĂŠ cerca de 1.29 kg/m3. Usa esta informação e a definição de 1 atm para encontrar a constante C na Lei das Atmosferas đ?‘ƒđ?‘ƒ(â„Ž) = đ?‘ƒđ?‘ƒ0 đ?‘’đ?‘’ −đ??śđ??śđ??śđ??śâ„Ž . Usa o teu resultado para estimar a pressĂŁo atmosfĂŠrica no topo na Serra da Estrela (2000m), Serra Nevada (3500m) e Monte Evereste (8800m). 3. Como medirias a densidade do ar numa sala de um modo prĂĄtico? De facto, isso foi feito por Galileo nos anos 1600. Consegues imaginar como ĂŠ que ele procedeu? (O seu resultado estava errado por um factor de dois, mas mesmo assim foi muito bom!) 4. Uma bola flutua na ĂĄgua, exactamente meio submersa, como mostra o diagrama. Deita-se azeite, lentamente, de modo a formar uma camada sobre a ĂĄgua sem misturar. A camada cobre completamente a bola. O centro da bola estĂĄ agora acima, abaixo ou sobre a fronteira ĂĄgua-azeite? 5. Um balĂŁo atmosfĂŠrico ĂŠ feito de latex, e foi enchido com hĂŠlio (mas sem esticar o material) de modo a poder levantar uma carga de 10 kg, incluindo o prĂłprio peso do balĂŁo. (Estes balĂľes podem atingir os 30 km de altitude). a. Qual ĂŠ, aproximadamente, o volume do balĂŁo? b. Se o balĂŁo subir lentamente atĂŠ 6 km de altitude, onde a pressĂŁo atmosfĂŠrica desceu para metade, qual ĂŠ so seu tamanho agora? Assume (falsamente) que a temperatura do ar ĂŠ constante. c. Como ĂŠ que se alterou a capacidade do balĂŁo em levantar carga comparativamente ao seu valor no chĂŁo? 6. Fiz um molho de salada numa garrafa cĂłnica, larga na base e estreitando atĂŠ ao gargalo. Primeiro deitei 100 cc de vinagre e depois acrescentei 100 cc de azeite. O azeite formou uma camada sobre o vinagre. De seguida agitei vigorosamente para que os dois lĂ­quidos se misturassem. Como ĂŠ que se alterou a pressĂŁo no fundo da garrafa

(antes e depois de agitar) 7. Se um cubo de gelo estiver a flutuar num copo a transbordar de ĂĄgua, o que ĂŠ que acontece ao nĂ­vel da ĂĄgua Ă medida que o gelo derrete? A tua resposta seria a mesma de o cubo de gelo estivesse preso ao copo e totalmente submergido? 8. a. Escreve a Lei das Atmosferas: a equação que relaciona a densidade do ar com a altitude acima da superfĂ­cie da Terra. (NĂŁo tens de a deduzir, sĂł escrever.) đ?‘ƒđ?‘ƒ = đ?‘ƒđ?‘ƒ0 đ?‘’đ?‘’ −đ??śđ??śđ??śđ??śâ„Ž

b. Sabendo que a densidade do ar a 3500 metros ĂŠ aproximadamente 2/3 do valor ao nĂ­vel do mar, esboça o grĂĄfico da densidade atĂŠ uma altitude de 14000 metros. (Considera que a densidade ao nĂ­vel do mar ĂŠ 1.3 kg/m3.) c. Em 1804, um quĂ­mico francĂŞs chamado Gay-Lussac subiu atĂŠ aos 7000 metros no balĂŁo para estudar a quĂ­mica da atmosfera. O balĂŁo estava cheio de hidrogĂŠnio. Faz uma estimativa grosseira do tamanho do balĂŁo (atribui um valor ao peso do GayLussac, e assume que o balĂŁo era trĂŞs vezes mais pesado). 9. Um moderno balĂŁo de ar quente pesa cerca de 4 toneladas, totalmente carregado. A temperatura mĂĄxima de operação do ar interior ĂŠ 120 ÂşC, pois acima disso o nylon do revestimento interior começa a deteriorar-se. Assume que o ar estĂĄ a 100 ÂşC e que a temperatura exterior ĂŠ zero graus. Se o balĂŁo estiver no limiar da sua capacidade de levantar vĂ´o, qual ĂŠ o seu tamanho? 10. Tens um cilindro sĂłlido de altura â„Ž, secção recta đ??´đ??´ e densidade đ?œŒđ?œŒ, em repouso com uma das bases sobre uma mesa. Qual ĂŠ a pressĂŁo na mesa por baixo do cilindro? SupĂľe agora que aqueces o cilindro e que este se expande pela mesma percentagem em todas as direcçþes (e portanto mantendo a forma e proporçþes) ficando com altura â„Ž + Δℎ. Qual ĂŠ agora a pressĂŁo na mesa? 11. Imagina que estĂĄs a caminhar debaixo de ĂĄgua, respirando por um tubo cuja outra extremidade ĂŠ mantida Ă superfĂ­cie por um qualquer objecto flutuante. O objectivo ĂŠ determinar a profundidade mĂĄxima a que ĂŠ seguro ires.

a. Primeiro considera que estås fora de ågua, deitado de costas, com um dado peso distribuído uniformemente sobre o teu peito. A partir de que peso começas a sentir dificuldade em respirar? b. Agora faz uma estimativa da årea do teu peito sobre os pulmþes, e calcula a profundidade à qual a pressão da ågua no teu peito se torna perigosa. 12. Calcula a årea total de um pneu de um automóvel estacionado que estå em contacto com o chão.

13. Qual Ê, aproximadamente, a pressão que os teus sapatos exercem no chão quando estås de pÊ? Estima a pressão exercida por uma mulher de saltos altos. 14. Um gobelÊ com ågua Ê colocado sobre uma balança. De seguida, coloca-se uma rolha de cortiça com 10 gramas e densidade 200 kg/m3, que fica a flutuar sem tocar nas paredes do recipiente. a.

Em que Ê que isso altera a leitura da balança?

b. Uma vara fina ĂŠ usada para forçar o mergulho da rolha, novamente sem contacto com as paredes. A leitura altera-se? Explica o teu raciocĂ­nio. c. E se a rolha for mantida debaixo de ĂĄgua por um fio preso no meio da base do recipiente? Qual ĂŠ a leitura da balança neste caso? A tensĂŁo do fio desempenha algum papel? 15. Uma criança segura um balĂŁo cheio de hĂŠlio por um fio, dentro de um carro a alta velocidade numa autoestrada. O balĂŁo estĂĄ em repouso relativamente Ă criança e nĂŁo toca no tecto do carro. De seguida o condutor acelera. Como se move o balĂŁo? Explica o teu raciocĂ­nio. 16. a. Explica como ĂŠ que um jacto de ar nĂŁo vertical pode suster uma bola de praia no ar. b. DĂĄ valores ao peso e tamanho da bola de praia (muito leve) e estima e velocidade do ar necessĂĄria para a suster. 17. No sensor de fluxo da figura, o ar flui de um tubo com 10 cm2 de secção recta para outro com 40 cm2. O manĂłmetro contĂŠm ĂĄgua, sendo a diferença de alturas nos dois braços de 5 cm. A que taxa flui o ar? 18. Um grande barril de cerveja de altura đ??ťđ??ť e secção recta đ??´đ??´1 estĂĄ cheio de cerveja. O topo estĂĄ exposto Ă pressĂŁo atmosfĂŠrica. No fundo existe uma torneira horizontal de secção đ??´đ??´2 , muito menor que đ??´đ??´1 . a. Mostra que quando a altura da cerveja ĂŠ

ℎ, a velocidade com que flui da torneira Ê aproximadamente �2��ℎ.

b. Mostra que na aproximação đ??´đ??´2 ≪ đ??´đ??´1 , a taxa de variação da altura â„Ž ĂŠ dada por đ??´đ??´2 đ?‘‘đ?‘‘â„Ž = − ďż˝2đ?‘”đ?‘”â„Ž đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘ đ??´đ??´1 c. Encontra â„Ž como função do tempo se â„Ž = đ??ťđ??ť a đ?‘Ąđ?‘Ą = 0.

d. Encontra o tempo total necessĂĄrio para esvaziar o barril se đ??ťđ??ť = 2 m, đ??´đ??´1 = 0.8 m2 e đ??´đ??´2 = 10−4 đ??´đ??´1 .

19. a. Escreve a equação que define o coeficiente de viscosidade đ?œ‚đ?œ‚. b. c.

Por anĂĄlise dimensional da equação, encontra as dimensĂľes đ?‘€đ?‘€? đ??żđ??ż? đ?‘‡đ?‘‡ ? de đ?œ‚đ?œ‚.

Quais sĂŁo as dimensĂľes do fluxo de sangue numa artĂŠria?

d. Quais são as dimensþes do gradiente de pressão (diferença de pressão por unidade de comprimento) numa artÊria? e. Assumindo que o fluxo de sangue depende apenas do gradiente de pressão, da viscosidade e do raio �� da artÊria, mostra que o fluxo Ê proporcional a �� 4 , usando apenas anålise dimensional mas indicando todos os passos. f. Se a acumulação de plaquetas numa artÊria reduzir o seu raio em 10%, estima a redução do fluxo se a pressão arterial se mantiver. 20. Uma simples banheira com lados verticais tem 1 metro de ågua e 4 metros quadrados de årea. Tem um ralo no fundo, uma abertura circular com 3 cm de raio. Quando se puxa a tampa, a ågua escoa unicamente devido à gravidade. a. Qual Ê a velocidade do fluxo de ågua atravÊs da abertura circular, imediatamente após o puxar da tampa? (Ignora a viscosidade: assume que a velocidade da ågua Ê a mesma em toda a årea do buraco.) b. A que velocidade estå o nível de ågua na banheira a descer imediatamente após o puxar da tampa? c. A que velocidade estå o nível da ågua a descer quando a banheira estå jå meia vazia? d.

Quanto tempo demora a banheira a esvaziar completamente?

21. Considera uma massa �� de um fluido movendo-se com velocidade ��1 na direcção ��, que se mistura com uma outra massa �� com velocidade ��2 na mesma direcção. A conservação do momento linear diz-nos que a mistura de massa 2��

se move a diminuiu.

đ?‘Łđ?‘Ł1 +đ?‘Łđ?‘Ł2 2

. Mostra que a se đ?‘Łđ?‘Ł1 e đ?‘Łđ?‘Ł2 forem diferentes, a energia cinĂŠtica total

22. Apenas com anĂĄlise dimensional, deduz a dependĂŞncia na profundidade do escoamento estacionĂĄrio de um rio largo sujeito Ă gravidade. (Nota: o fluxo apropriado ĂŠ em metros cĂşbicos por segundo por metro de largura do rio.) 23. Representa graficamente o perfil de velocidades para dois rios, um com profundidade â„Ž e outro com profundidade 2â„Ž, ambos com os mesmos valores de đ?œŒđ?œŒ, đ?‘”đ?‘”, đ?œƒđ?œƒ, đ?œ‚đ?œ‚. Qual ĂŠ a razĂŁo entre as velocidades Ă superfĂ­cie para estes dois rios? SupĂľe que a um metro de profundidade num dos rios, a ĂĄgua flui a menos 0.5 đ?‘šđ?‘šđ?‘ đ?‘ −1 do que Ă superfĂ­cie. Isso tambĂŠm seria verdade no outro rio? 24. Assumindo que o padrĂŁo do fluxo no diagrama tem as mesmas proporçþes para raios diferentes (portanto para esferas maiores o padrĂŁo ĂŠ o mesmo mas aumentado), como ĂŠ que o gradiente de velocidade perto do “equadorâ€? da esfera se altera se se duplicar o raio? (Assume que ambas as esferas caem Ă mesma velocidade.) Argumenta que a maior parte do atrito viscoso ĂŠ sentido numa banda da esfera junto ao equador (tipo a zona tropical da Terra). Torna entĂŁo plausĂ­vel que o atrito viscoso total ĂŠ proporcional ao raio da esfera, e nĂŁo ao quadrado do raio.

25. Um velho professor a limpar vigorosamente um quadro preto levanta uma nuvem de pĂł de giz que demora vĂĄrios minutos a assentar. Com esta informação, estima o tamanho das partĂ­culas de giz na nuvem de pĂł. A força de atrito devido ao ar ĂŠ principalmente viscosa ou inercial (para o ar đ?œ‚đ?œ‚ = 2 Ă— 10−5 Pa.s)?

26. Imagina um dia de nevoeiro, com o ar parado. O nevoeiro Ê na realidade composto por pequenas gotas esfÊricas de ågua. É óbvio que o nevoeiro não cai ao chão rapidamente. Usa este facto para estimar com alguma probabilidade o tamanho måximo das gotas de ågua.

27. a. Um spray ambientador espalha uma neblina de minúsculas gotas de ågua (contendo um neutralizador de odores que tem um efeito desprezåvel na densidade das gotas). Dizem que a neblina ficarå no ar durante 30 minutos. Assumindo que não hå correntes de ar na sala, e desprezando uma possível evaporação das gotas, calcula o tamanho aproximado das gotas de ågua do spray. b.

Justifica qualquer fĂłrmula que uses encontrando um nĂşmero de Reynolds.

28. ApĂłs uma tempestade, alguns rios e lagos ficam lamacentos. Assume que as partĂ­culas de lama tĂŞm a densidade da rocha vulgar, por exemplo 2500 kg por metro cĂşbico, e assume tambĂŠm que sĂŁo esfĂŠras em boa aproximação. Se num lago de 1 metro de profundidade demorar 2 dias para que as partĂ­culas de lama se depositem no fundo, usa a Lei de Stokes para estimar o tamanho das partĂ­culas de lama. 29. Observa um bebida com gĂĄs e estima o tamanho e velocidade de uma das bolhas de ar. Escolhe uma das mais pequenas que conseguires ver e tenta estimar a sua velocidade. Qual ĂŠ, aproximadamente, o nĂşmero de Reynolds para o escoamento do lĂ­quido em torno da bolha? A subida da bolha ĂŠ atrasada principalmente por forças inerciais ou viscosas? (Usa o valor de đ?œ‚đ?œ‚ para a ĂĄgua Ă temperatura ambiente, 1 mPa.s.) 30. Estima qual seria a altura mĂĄxima de uma parede que pudesses saltar e estar confiante de aterrar no outro lado sem partir nada (nĂŁo me responsabilizo se tentares isto!) e, dessa estimativa, calcula o diâmetro de um paraquedas razoĂĄvel. 31. Considera o seguinte modelo simples de um paraquedista em queda livre: supĂľe que Ă medida que ele cai o ar que se move na sua direcção ĂŠ deflectido como se reflectido, imaginando que o seu perfil tem a forma de um V. Estimando razoavelmente o tamanho e peso do paraquedista, calcula a sua velocidade terminal. 32. a. Escreve a definição de nĂşmero de Reynolds. b. Estima o nĂşmero de Reynolds para o escoamento do ar em torno de um carro movendo-se numa auto-estrada a 20 metros por segundo, num dia sem vento. c.

Dessa estimativa, qual a importância da viscosidade na resistência do ar?

d. Se assumirmos que a força de resistĂŞncia do ar đ??šđ??š sĂł depende da densidade do ar đ?œŒđ?œŒ, das dimensĂľes do carro đ?‘Žđ?‘Ž e da velocidade do carro đ?‘Łđ?‘Ł, mostra por anĂĄlise dimensional que đ??šđ??š = đ??śđ??śđ??śđ??śđ?‘Žđ?‘Ž2 đ?‘Łđ?‘Ł 2 , onde đ??śđ??ś ĂŠ uma constante.

e. Toma đ??śđ??ś = 0.2 e dĂĄ uma estimativa desta força no teu carro. Podes tomar um valor de đ?œŒđ?œŒ com uma casa decimal de precisĂŁo. Afirma claramente o que consideras para đ?‘Žđ?‘Ž2 .

f. Qual Ê a potência, em kilowatts, dispendida pelo carro para superar esta força de resistência do ar a 20 ms-1? g.

Por quanto aumentaria este valor se a velocidade duplicasse?

33. a. Prova por anĂĄlise dimensional que a força de resistĂŞncia do ar numa esfera em queda tem a forma đ??šđ??šđ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘&#x; = đ??śđ??śđ??śđ??śđ?‘Žđ?‘Ž2 đ?‘Łđ?‘Ł 2 , onde đ??śđ??ś ĂŠ uma constante, đ?œŒđ?œŒ ĂŠ a densidade do ar, đ?‘Žđ?‘Ž ĂŠ o raio da esfera e đ?‘Łđ?‘Ł ĂŠ a sua velocidade.

b. EstĂĄs a correr a milha em 7.5 minutos sob chuva ligeira. NĂŁo hĂĄ vento, mas a chuva parece-te vir a um ângulo de 45Âş. A que velocidade estĂĄ a chuva a cair, em milhas por hora e metros por segundo? (1 milha = 1.6 km) c. Para gotas de chuva, a constante đ??śđ??ś na fĂłrmula da alĂ­nea a) ĂŠ aproximadamente 1. Usa isto para encontrares o tamanho das gotas de chuva na alĂ­nea b). (densidade do ar = 1.3 kg/m3, đ?‘”đ?‘” = 10 ms-2) d. Encontra o nĂşmero de Reynolds. Foi correcto desprezar-se o atrito viscoso?

e. Esperarias uma resposta diferente para o tamanho das gotas de chuva se estivesses a correr sob condiçþes idênticas, vendo o mesmo ângulo, mas a uma altitude diferente? Porquê?

Tradução/Adaptação Casa das Ciências 2009