O Passeio AleatĂłrio unidimensional Michael Fowler Atira a moeda ao ar, dĂĄ um passo O passeio aleatĂłrio a uma dimensĂŁo constrĂłi-se do seguinte modo: Andas sobre um recta, cada passo com o peso comprimento. Antes de cada passo, atiras uma moeda ao ar. Se for caras, dĂĄs um passo em frente. Se for coroas, dĂĄs um passo atrĂĄs. A moeda nĂŁo estĂĄ viciada, portanto a probabilidade de caras ou coroas ĂŠ a mesma. O problema consiste em calcular a probabilidade de estar numa dada posição ao fim de um certo nĂşmero de passos e, em particular, calcular a distância mĂŠdia Ă origem. Mas porque ĂŠ que este jogo nos interessa? O passeio aleatĂłrio ĂŠ central na FĂsica EstatĂstica. É essencial para prever quĂŁo rapidamente um gĂĄs se difunde num outro, quĂŁo rĂĄpido o calor se propaga num sĂłlido, quĂŁo grandes sĂŁo as flutuaçþes de pressĂŁo num pequeno recipiente e muitos outros fenĂłmenos estatĂsticos. Einstein usou o passeio aleatĂłrio para calcular o tamanho dos ĂĄtomos a partir do movimento Browniano. A probabilidade de estar numa dada posição ao fim de n passos Comecemos com um passeio de alguns passos, de comprimento unitĂĄrio, e procuremos um padrĂŁo. Definimos a função probabilidade đ?’‡đ?’‡đ?‘ľđ?‘ľ (đ?’?đ?’?) como sendo a probabilidade de que num passeio de N passos unitĂĄrios, aleatoriamente para trĂĄs ou para a frente sobre a recta, começando em 0, acabemos na posição n. Dado que temos de terminar em algum sĂtio, a soma sobre n destas probabilidades tem de ser igual a 1. Vamos listar apenas probabilidades nĂŁo nulas. Para um passeio de zero passos, đ?‘“đ?‘“0 (0) = 1.
Para um passeio de um passo, đ?‘“đ?‘“1 (−1) = 1/2, đ?‘“đ?‘“1 (1) = 1/2. 1
1
Para um passeio de dois passos, đ?‘“đ?‘“2 (−2) = 4 , đ?‘“đ?‘“2 (0) = 2 , đ?‘“đ?‘“2 (2) = 1/4.
Talvez seja útil enumerar a sequência de lançamentos da moeda que originam uma dada posição.
Para um passeio de trĂŞs passos, CCC termina em 3, CCc, CcC e cCC termina em 1, e para os nĂşmero negativos ĂŠ sĂł trocar C e c. HĂĄ um total de 23 = 8 passeios de 3 passos diferentes, portanto a probabilidade das diferentes posiçþes finais ĂŠ: đ?‘“đ?‘“3 (−3) = 1/8 (sĂł um passeio), đ?‘“đ?‘“3 (−1) = 3/8 (trĂŞs 3 passeios possĂveis), đ?‘“đ?‘“3 (1) = 8 , đ?‘“đ?‘“3 (3) = 1/8.
Para um passeio de quatro passos, cada configuração de C’s e c’s tem uma probabilidade de (1/2)4 = 1/16. Portanto đ?‘“đ?‘“4 (4) = 1/16 dado que hĂĄ apenas um passeio compatĂvel – CCCC.
��4 (2) = 1/4 porque hå 4 passeios diferentes que terminam em 2 – CCCc, CCcC, CcCC, cCCC.
đ?‘“đ?‘“4 (0) = 3/8, - CCcc, CcCc, CccC, ccCC, cCCc, cCcC.
Probabilidades e o Triângulo de Pascal Ignorando o factor (1/2)đ?‘ đ?‘ , hĂĄ um padrĂŁo nestas probabilidades:
Isto ĂŠ o Triângulo de Pascal – cada entrada ĂŠ a soma das duas diagonalmente acima. Estes nĂşmero sĂŁo de facto os coeficientes que aparecem na expansĂŁo binomial de (đ?‘Žđ?‘Ž + đ?‘?đ?‘?)đ?‘ đ?‘ .
Por exemplo, a linha de 25 ��5 (��) tem os coeficientes binomiais:
(đ?‘Žđ?‘Ž + đ?‘?đ?‘?)5 = đ?‘Žđ?‘Ž5 + 5đ?‘Žđ?‘Ž4 đ?‘?đ?‘? + 10đ?‘Žđ?‘Ž3 đ?‘?đ?‘? 2 + 10đ?‘Žđ?‘Ž2 đ?‘?đ?‘? 3 + 5đ?‘Žđ?‘Žđ?‘?đ?‘? 4 + đ?‘?đ?‘? 5
Para vermos como ĂŠ que estes coeficientes binomiais se relacionam com o nosso passeio aleatĂłrio, escrevemos: (đ?‘Žđ?‘Ž + đ?‘?đ?‘?)5 = (đ?‘Žđ?‘Ž + đ?‘?đ?‘?) Ă— (đ?‘Žđ?‘Ž + đ?‘?đ?‘?) Ă— (đ?‘Žđ?‘Ž + đ?‘?đ?‘?) Ă— (đ?‘Žđ?‘Ž + đ?‘?đ?‘?) Ă— (đ?‘Žđ?‘Ž + đ?‘?đ?‘?)
e pensamos nisto como a soma de todos os produtos que se podem escrever escolhendo um termo de cada parĂŞntisis. HĂĄ 25 = 32 termos desses (escolhendo um dos dois de cada dos cinco parĂŞntisis), portanto o coeficiente de đ?‘Žđ?‘Ž3 đ?‘?đ?‘? 2 deve ser o nĂşmero de termos desses 32 que tĂŞm 3 đ?‘Žđ?‘Žâ€™s e 2 đ?‘?đ?‘?’s.
Mas isso ĂŠ o mesmo que o nĂşmero de diferentes sequĂŞncias que se podem escrever rearranjando CCCcc, logo ĂŠ claro que as probabilidades do passeio aleatĂłrio e os coeficientes binomiais sĂŁo o mesmo conjunto de nĂşmeros (excepto que as probabilidades tĂŞm de ser divididas por 32 para que a sua soma seja um).
Calcular as probabilidades usando a função Factorial O modo mais eficiente de calcular estes coeficientes ĂŠ usar a função factorial. SupĂľe que temos cinco objectos distintos, A,B,C,D,E. Quantas sequĂŞncias diferentes podemos formar: ABCDE,ABDCE,BDCAE,etc? Bom, o primeiro elemento da sequĂŞncia pode ser qualquer um dos cinco. O seguinte ĂŠ um dos restantes quatro, etc. Portanto, o nĂşmero total de sequĂŞncias diferentes ĂŠ 5 Ă— 4 Ă— 3 Ă— 2 Ă— 1, que ĂŠ chamado “cinco factorialâ€? e escreve-se 5!.
Mas quantas sequĂŞncias diferentes podemos fazer com CCCcc? Por outras palavras, se escrevĂŞssemos todas as 5! (120) sequĂŞncias, quantas delas seriam realmente diferentes? Uma vez que os dois c’s sĂŁo iguais, nĂŁo serĂamos capazes de distinguir as sequĂŞncias em que eles aparecessem trocados, por isso baixamos logo de 120 para 60. Mas os trĂŞs H’s tambĂŠm sĂŁo idĂŞnticos, e se fossem diferentes haveria 3!=6 maneiras diferentes de os arranjar. Como sĂŁo iguais, essas 6 maneiras correspondem a uma sĂł, pelo que dividimos 60 por 6, restando apenas 10 sequĂŞncias diferentes com 3 C’s e 2 c’s. O mesmo argumento se aplica a qualquer nĂşmero de C’s e c’s. O nĂşmero total de diferentes sequĂŞncias de m C’s e n c’s ĂŠ (đ?‘šđ?‘š + đ?‘›đ?‘›)!/((đ?‘šđ?‘š!)(đ?‘›đ?‘›!)) , onde os factoriais no denominador traduzem o facto de que trocar os C’s ou os c’s entre si dĂĄ a mesma sequĂŞncia.
TambÊm vale a pena mencionar que no passeio de cinco passos que termina em -1, o qual tem probabilidade 10/25 , o quarto passo teve de ser 0 ou -2. Olhando para o Triângulo de Pascal, vemos que a probabilidade de um passeio de quatro passos terminar em 0 Ê 6/24 e a de terminar em -2 Ê 4/24 . Em qualquer dos casos, a probabilidade do passo seguinte ser -1 Ê ½ , logo a probabilidade total de chegar a -1 1 6 4 em cinco passos Ê 2 × 24 + 1/2 × 24 . Portanto a propriedade do Triângulo de Pascal de que qualquer entrada Ê a soma das duas diagonalmente acima Ê consistente com as nossas probabilidades. A Distribuição de Probabilidade Vale a pena visualizar esta distribuição de probabilidade para ganhar intuição sobre o passeio aleatório. Para 5 passos, temos:
Consideremos agora uma passeio maior. ApĂłs 100 passos, qual ĂŠ a probabilidade de terminar num inteiro n?
Isto acontecerĂĄ se o nĂşmero de passos para a frente exceder em n o nĂşmero de passos para trĂĄs (n pode ser um nĂşmero negativo). Isto ĂŠ,
de onde �������������� =
đ?‘›đ?‘›đ?‘“đ?‘“đ?‘“đ?‘“đ?‘“đ?‘“đ?‘“đ?‘“đ?‘“đ?‘“đ?‘“đ?‘“ − đ?‘›đ?‘›đ?‘Ąđ?‘Ąđ?‘Ąđ?‘Ą ĂĄđ?‘ đ?‘ = đ?‘›đ?‘› đ?‘›đ?‘›đ?‘“đ?‘“đ?‘“đ?‘“đ?‘“đ?‘“đ?‘“đ?‘“đ?‘“đ?‘“đ?‘“đ?‘“ + đ?‘›đ?‘›đ?‘Ąđ?‘Ąđ?‘Ąđ?‘Ąđ?‘Ąđ?‘Ąđ?‘Ąđ?‘Ą = 100
1 (100 + ��), 2
đ?‘›đ?‘›đ?‘Ąđ?‘Ąđ?‘Ąđ?‘Ą ĂĄđ?‘ đ?‘ =
1 (100 − đ?‘›đ?‘›) 2
Repara que, no caso geral, se o nĂşmero total de passos N for par, đ?‘›đ?‘›đ?‘“đ?‘“đ?‘“đ?‘“đ?‘“đ?‘“đ?‘“đ?‘“đ?‘“đ?‘“ , đ?‘›đ?‘›đ?‘Ąđ?‘Ąđ?‘Ąđ?‘Ą ĂĄđ?‘ đ?‘ sĂŁo ambos pares ou ambos Ămpares, logo đ?‘›đ?‘›, a diferença entre eles, ĂŠ par. Analogamente N Ămpar implica đ?‘›đ?‘› Ămpar. O nĂşmero total de caminhos que terminam no ponto đ?‘›đ?‘› ĂŠ, pelo argumento cara/coroa anterior, 100!
ďż˝đ?‘›đ?‘›đ?‘“đ?‘“đ?‘“đ?‘“đ?‘“đ?‘“đ?‘“đ?‘“đ?‘“đ?‘“đ?‘“đ?‘“ !ďż˝(đ?‘›đ?‘›đ?‘Ąđ?‘Ąđ?‘Ąđ?‘Ą ĂĄđ?‘ đ?‘ !)
=
100!
1 1 ďż˝2 (100 + đ?‘›đ?‘›)ďż˝ ! ďż˝ (100 − đ?‘›đ?‘›)ďż˝ ! 2
.
Para encontrarmos a probabilidade de terminarmos em đ?‘›đ?‘› apĂłs 100 passos, precisamos de saber qual a fracção de caminhos que terminam em đ?‘›đ?‘›. (dado que o lançamento da moeda ĂŠ puramente aleatĂłrio, tomamos as probabilidades de todos os caminhos idĂŞnticas). O nĂşmero total de caminhos com 100 passos possĂveis ĂŠ 2100 ≅ 1.26 Ă— 1030 . UsĂĄmos o Excel para representar graficamente esta a razĂŁo: (nĂşmero de caminhos que terminam em đ?‘›đ?‘›)/(nĂşmero total de caminhos) para caminhos de 100 passos:
A probabilidade de terminarmos na origem ĂŠ cerca de 8%, tal como (aproximadamente) a probabilidade de terminarmos 2 passos para a esquerda ou direita. A probabilidade de terminarmos a menos de 10 passos do inĂcio ĂŠ maior que 70%, e a de estarmos afastados mais do que 20 passos ĂŠ bem menor que 5%. (Nota: ĂŠ fĂĄcil construĂres tu prĂłprio este grĂĄfico no Excel. Escreve -100 em A1, depois =A1+2 em A2, depois =(FACT(100))/(FACT(50-A1/2)*FACT(50+A1/2))*2^-100 em B1, e arrasta uma cĂłpia desta fĂłrmula atĂŠ Ă linha 101. Depois selecciona as duas colunas, clica no Assistente de GrĂĄficos, etc.) TambĂŠm vale a pena fazer um grĂĄfico logarĂtmico, para obter uma ideia mais clara do modo como as probabilidades diminuem para valores de đ?‘›đ?‘› afastados da origem.
Isto parece uma parĂĄbola – e ĂŠ! Bom, para ser preciso, o logaritmo da distribuição de probabilidade tende para uma parĂĄbola quando N se torna muito grande, desde que đ?‘›đ?‘› seja muito menor que N, e de facto este ĂŠ o limite importante em FĂsica EstatĂstica.
O logaritmo natural da probabilidade de terminarmos o caminho em đ?‘›đ?‘› tende para ln đ??śđ??ś − đ?‘›đ?‘›2 /200, onde a constante C ĂŠ a probabilidade (100!/50! 50!)/2100 de terminarmos exactamente onde começåmos. Isto significa que a probabilidade đ?‘ƒđ?‘ƒ(đ?‘›đ?‘›) ĂŠ dada por: đ?‘ƒđ?‘ƒ(đ?‘›đ?‘›) =
đ?‘›đ?‘› 2 − 200 đ??śđ??śđ?‘’đ?‘’ ,
đ??śđ??ś ≅ 0.08
Esta Ê chamada uma distribuição de probabilidade Gaussiana. O ponto importante a ter em conta Ê que a probabilidade decai drasticamente quando a distância à origem Ê superior a 10. Diminuir um espaço vertical Ê um factor de 100!
Derivação do resultado usando a FĂłrmula de Stirling Para đ?‘ đ?‘ muito grande, a dependĂŞncia exponencial em đ?‘›đ?‘›2 pode ser derivada matematicamente usando a FĂłrmula de Stirling ln đ?‘›đ?‘›! ≅ đ?‘›đ?‘› ln đ?‘›đ?‘› − đ?‘›đ?‘›, que resulta de: đ?‘›đ?‘›
ln đ?‘›đ?‘›! = ln 1 + ln 2 + ln 3+. . + ln đ?‘›đ?‘› ≅ ďż˝ ln đ?‘Ľđ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘ = [đ?‘Ľđ?‘Ľ ln đ?‘Ľđ?‘Ľ − đ?‘Ľđ?‘Ľ]đ?‘›đ?‘›0 = đ?‘›đ?‘› ln đ?‘›đ?‘› − đ?‘›đ?‘›. 0
Para um passeio de N passos, o número total de caminhos que terminam em �� Ê
đ?‘ đ?‘ !
.
1 1 ďż˝ (đ?‘ đ?‘ +đ?‘›đ?‘›)ďż˝!ďż˝ (đ?‘ đ?‘ −đ?‘›đ?‘›)ďż˝! 2 2
Para acharmos a probabilidade đ?‘ƒđ?‘ƒ(đ?‘›đ?‘›) de tomarmos um destes caminhos, dividimos pelo nĂşmero total de caminhos que ĂŠ 2đ?‘ đ?‘ .
Aplicando a fĂłrmula de Stirling
E aproximando
(usando ln(1 Âą đ?‘Ľđ?‘Ľ) ≅ Âąđ?‘Ľđ?‘Ľ − đ?‘Ľđ?‘Ľ 2 /2 para đ?‘Ľđ?‘Ľ pequeno) o lado direito fica simplesmente – đ?‘›đ?‘›2 /2đ?‘ đ?‘ .
Na realidade, podemos atĂŠ obter o factor multiplicativo para o limite de N elevado (đ?‘›đ?‘› muito menor que N) 1 usando uma versĂŁo mais rigorosa da fĂłrmula de Stirling, ln đ?‘›đ?‘›! ≅ đ?‘›đ?‘› ln đ?‘›đ?‘› − đ?‘›đ?‘› + 2 2đ?œ‹đ?œ‹đ?œ‹đ?œ‹. Isto dĂĄ-nos đ?‘ƒđ?‘ƒ(đ?‘›đ?‘›) =
2
√2đ?œ‹đ?œ‹đ?œ‹đ?œ‹
�� 2
đ?‘’đ?‘’ −2đ?‘ đ?‘ .
Para N=100, vem đ?‘ƒđ?‘ƒ(0) = 0.08 mais ou menos 1%, tal como vimos com o Excel. A normalização pode ser verificada usando o resultado conhecido para o integral Gaussiano, lembrando que đ?‘ƒđ?‘ƒ(đ?‘›đ?‘›) sĂł ĂŠ nĂŁo nulo se đ?‘ đ?‘ − đ?‘›đ?‘› for par.
EntĂŁo, a que distância esperar acabar? Como os passos para a frente e para trĂĄs sĂŁo equiprovĂĄveis em qualquer instante, a posição final mĂŠdia esperada ĂŠ de volta Ă origem. A questĂŁo interessante ĂŠ quĂŁo longe da origem, em mĂŠdia, esperas acabar, independentemente da direcção. Para nos livrarmos da direcção, calculamos o valor esperado do quadrado da distância final Ă origem, a “distância quadrĂĄtica mĂŠdiaâ€?, e de seguida tomamos a raiz quadrada. Esta chama-se a distância rms (“root mean squareâ€?). Por exemplo, pegando nas probabilidades para o passeio de cinco passos, e somando +5 com -5 etc, o valor esperado de đ?‘›đ?‘›2 ĂŠ: 2∙
5 10 2 160 1 ∙ 52 + 2 ∙ ∙ 32 + 2 ∙ ∙1 = = 5. 32 32 32 32
Isto ĂŠ, a distância rms Ă origem ao fim de 5 passos ĂŠ √5. De facto,
A distância rms Ă origem apĂłs um passeio aleatĂłrio de đ?’?đ?’? passos unitĂĄrios ĂŠ √đ?’?đ?’?.
Uma boa maneira de provar este resultado para qualquer nĂşmero de passos ĂŠ introduzindo a ideia de variĂĄvel aleatĂłria. Se đ?‘Ľđ?‘Ľ1 for uma dessas variĂĄveis, entĂŁo toma o valor +1 ou -1 com igual probabilidade da cada vez que a verificarmos. Por outras palavras, se me perguntares “Qual ĂŠ o valor de đ?‘Ľđ?‘Ľ1 ?â€? eu lanço uma moeda ao ar, e respondo “+1â€? se sair cara ou “-1â€? se sair coroa. Por outro lado, se me perguntares “Qual ĂŠ o valor de đ?‘Ľđ?‘Ľ12 ?â€? eu digo imediatamente “1â€? sem me dar ao trabalho de lançar a moeda. Usaremos parĂŞntisis <> para denotar valores mĂŠdios (isto ĂŠ, valores esperados). Portanto para uma moeda nĂŁo viciada, < đ?‘Ľđ?‘Ľ1 >= 0, < đ?‘Ľđ?‘Ľ12 >= 1. O ponto final de um passeio aleatĂłrio de đ?‘›đ?‘› passos pode ser escrito como uma soma de đ?‘›đ?‘› variĂĄveis destas: đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘? đ?‘“đ?‘“đ?‘“đ?‘“đ?‘“đ?‘“đ?‘“đ?‘“đ?‘“đ?‘“ = đ?‘Ľđ?‘Ľ1 + đ?‘Ľđ?‘Ľ2 + â‹Ż + đ?‘Ľđ?‘Ľđ?‘›đ?‘›
O valor esperado do quadrado do comprimento do caminho ĂŠ entĂŁo:
< (��1 + ��2 + ��3 + ⋯ + ���� )2 >
Se quadrarmos o termo lå dentro, ficamos com ��2 termos. Destes, �� são do tipo < ��12 > logo iguais a 1. Todos os outros são do tipo < ��1 ��2 >. Mas isto Ê o produto de dois lançamentos diferentes, e tem valor +1 para CC e cc, e -1 para Cc e cC. Portanto a mÊdia Ê zero, e podemos eliminar todos estes termos. Então < (��1 + ��2 + ��3 + ⋯ + ���� )2 >= ��,
Isto ĂŠ, a distância rms ĂŠ √đ?’?đ?’? no caso geral.
Flutuaçþes de densidade num pequeno volume de gĂĄs SupĂľe que temos uma pequena caixa contendo N molĂŠculas de gĂĄs. Assumimos que a interacção entre as molĂŠculas ĂŠ desprezĂĄvel, e que elas ressaltam dentro da caixa independentemente. Se num dado instante inserirmos uma divisĂľria exactamente a meio da caixa, esperamos encontrar em mĂŠdia 50% das molĂŠculas na metade direita da caixa. A questĂŁo ĂŠ: quĂŁo perto de 50%? Qual ĂŠ o desvio que esperamos encontrar? 51% ĂŠ muito improvĂĄvel? Uma vez que as N molĂŠculas se estĂŁo a mover aleatoriamente dentro da caixa, podemos atribuir uma variĂĄvel aleatĂłria đ?‘Śđ?‘Śđ?‘›đ?‘› a cada molĂŠcula, onde đ?‘Śđ?‘Śđ?‘›đ?‘› = 1 se a đ?‘›đ?‘›đ?‘Ąđ?‘Ąâ„Ž molĂŠcula estiver do lado direito ou igual a zero estiver do lado esquerdo, e os valores 0 e 1 sĂŁo igualmente provĂĄveis. O nĂşmero total de molĂŠculas đ?‘ đ?‘ đ?‘…đ?‘… na metade direita da caixa ĂŠ entĂŁo: đ?‘ đ?‘ đ?‘…đ?‘… = đ?‘Śđ?‘Ś1 + đ?‘Śđ?‘Ś2 + â‹Ż + đ?‘Śđ?‘Śđ?‘ đ?‘ .
Esta soma de đ?‘ đ?‘ variĂĄveis aleatĂłrias parece-se muito com o passeio aleatĂłrio! De facto, sĂŁo equivalentes. Define uma variĂĄvel aleatĂłria đ?‘Ľđ?‘Ľđ?‘›đ?‘› por: đ?‘Śđ?‘Śđ?‘›đ?‘› =
1 (1 + ���� ) 2
Dado que đ?‘Śđ?‘Śđ?‘›đ?‘› toma valor 0 ou 1 com igual probabilidade, đ?‘Ľđ?‘Ľđ?‘›đ?‘› toma os valores -1 e 1 com igual probabilidade – entĂŁo đ?‘Ľđ?‘Ľđ?‘›đ?‘› ĂŠ idĂŞntica Ă nossa variĂĄvel do passo no passeio aleatĂłrio. Logo, đ?‘ đ?‘ đ?‘…đ?‘… = đ?‘Śđ?‘Ś1 + đ?‘Śđ?‘Ś2 + â‹Ż + đ?‘Śđ?‘Śđ?‘ đ?‘ =
1 đ?‘ đ?‘ + đ?‘Ľđ?‘Ľ1 + đ?‘Ľđ?‘Ľ2 + â‹Ż + đ?‘Ľđ?‘Ľđ?‘ đ?‘ 2
É evidente que a soma de um passeio com N passos dĂĄ o desvio do nĂşmero de molĂŠculas em metade do recipiente de N/2. Portanto, da nossa anĂĄlise do passeio aleatĂłrio concluimos que o valor esperado deste desvio ĂŠ √đ?‘ đ?‘ . Por exemplo, se o recipiente contiver 100 molĂŠculas, esperamos um desvio de cerca de 10% em cada medição. Mas qual o desvio esperado num recipiente suficientemente grande que se veja, cheio de molĂŠculas de ar Ă temperatura ambiente? Tomemos um cubo com 1mm de lado. ContĂŠm cerca de 1016 molĂŠculas. Portanto, o nĂşmero de molĂŠculas do lado direito flutua no tempo por um valor da ordem de √1016 = 108 . Este ĂŠ um nĂşmero grande, mas como fracção do nĂşmero total, ĂŠ sĂł uma parte em 108 ! A probabilidade de flutuaçþes maiores ĂŠ incrivelmente pequena. A probabilidade de um desvio de đ?‘šđ?‘š do valor mĂŠdio đ?‘ đ?‘ /2 ĂŠ: 2đ?‘šđ?‘š 2 đ?‘ đ?‘ .
đ?‘ƒđ?‘ƒ(đ?‘šđ?‘š) = đ??śđ??śđ?‘’đ?‘’ −
Portanto a probabilidade de uma flutuação de uma parte em 10000000, que seria 10√đ?‘ đ?‘ , ĂŠ da ordem de đ?‘’đ?‘’ −200 , ou cerca de 10−85 . Se verificarmos o gĂĄs a cada trilionĂŠsimo de segundo durante toda a idade do
Universo não nos levaria nem perto de vermos isto acontecer. É por isto que, à escala humana, os gases são tão suaves e contínuos. Os efeitos cinéticos não se manifestam em flutuações de densidade e pressão observáveis – uma das razões pela qual levou tanto tampo à teoria atómica para ser geralmente aceite.
Tradução/Adaptação Casa das Ciências 2009