Issuu

Ficha T´ ecnica Projecto Faraday Projecto de interven¸caõ no ensino da F´ısica no secundário. Financiamento Funda¸caõ Calouste Gulbenkian. Execu¸ c˜ ao Departamento de F´ısica, Faculdade de Ciências da Universidade do Porto. Escolas Participantes • ES Filipa de Vilhena • ES Fontes Pereira de Melo • ES Garcia de Orta • ES da Maia • ES de Santa Maria da Feira Coordena¸ c˜ ao • J. M. B. Lopes dos Santos • Manuel Joaquim Marques i

ii Portal URL: http://www.fc.up.pt/faraday

Texto do 10o Ano Redactor Principal J. M. B. Lopes dos Santos Colabora¸ c˜ ao e revis˜ ao • Elisa Arieiro • Carlos M. Carvalho • Manuel Joaquim Marques

Actividades Autores • Carlos M. Carvalho • Elisa Arieiro • J. M. B. Lopes dos Santos • Manuel Joaquim Marques • Nuno Alexandre Vaz • Nuno Nunes Colabora¸ c˜ ao • Joaquim Agostinho Moreira

Pref´ acio Caro aluno(a): Ao preparar estes materiais, fomos guiados por um objectivo modesto: mudar a tua visão do mundo. Não a maneira como te relacionas com outras pessoas, ou as tuas conviçco˜es religiosas, sociais ou pol´ıticas, ou sequer a tua postura pessoal. Não é disso que trata a F´ısica. Trata, sim, do funcionamento do mundo que te rodeia, daquilo que vês, ouves e sentes, dos objectos e instrumentos que utilizas, e, sobretudo, de muito que está por ´ que este mundo trás, e explica, o mundo que experimentamos. E f´ısico é muito diferente do que parece a` primeira vista. O que queremos com este projecto é que experimentes um pouco dos métodos e atitudes que nos permitiram compreender e perceber uma variedade imensa de fenómenos, em termos de um conjunto muito reduzido de princ´ıpios e leis. Compreender e perceber, não decorar e executar tarefas sem sentido para ti. Esperamos que, com estes materiais e com as aulas que os teus professores prepararam, te encontres, muitas vezes, perplexo, a pensar sobre o que observaste e mediste. Porque, ao fim e ao cabo, esse é o trabalho mais importante e mais eficiente que podes fazer nesta disciplina. Os autores

iii

Parte I

ENERGIA E MOVIMENTO

Conte´ udo

Ficha T´ecnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Pref´acio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

ENERGIA E MOVIMENTO

1 Energia

1 11

1.1

A ciˆencia e o dia-a dia . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2

Consumo de Energia . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.1

Consumos em Portugal e no Mundo . . . .

1.2.2

A energia gasta-se? . . . . . . . . . . . . . .

Conserva¸ca˜o de Energia . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.1

A descoberta do neutrino . . . . . . . . . .

1.4

Consumo ou conserva¸ca˜o? . . . . . . . . . . . . . .

1.5

Actividades, problemas e exerc´ıcios . . . . . . . . .

1.3

2 Trabalho e energia 2.1

Transferˆencias de energia . . . . . . . . . . . . . .

2.1.1

No¸ca˜o de Sistema1 . . . . . . . . . . . . . .

2.2

Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3

Energia potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.1

Energia potencial grav´ıtica . . . . . . . . .

2.3.2

Energia potencial e trabalho de for¸cas internas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.3

´ CONTEUDO

4 2.3.4 2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9

M´aquinas simples . . . . . . . . . . . . . . .

Energia cin´etica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4.1

Express˜ao da energia cin´etica . . . . . . . .

2.4.2

O teorema trabalho-energia cin´etica . . . .

For¸cas dissipativas . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5.1

Resistˆencia do ar . . . . . . . . . . . . . . .

2.5.2

For¸cas dissipativas . . . . . . . . . . . . . .

Estudo de um caso: Bungee Jumping . . . . . . . .

2.6.1

O que ´e um modelo? . . . . . . . . . . . . .

2.6.2

For¸ca el´astica . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6.3

Energia num salto de bungee.

. . . . . . .

Quando o trabalho ´e nulo. . . . . . . . . . . . . . .

2.7.1

For¸ca sem deslocamento . . . . . . . . . . .

2.7.2

For¸cas perpendiculares ao deslocamento . .

For¸cas e deslocamentos n˜ao colineares . . . . . . .

2.8.1

Trabalho e energia num “escorrega” . . . . .

2.8.2

Trabalho de for¸cas n˜ao colineares com deslocamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Actividades, quest˜oes e problemas . . . . . . . . .

2.9.1

Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.9.2

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.9.3

Desafios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Colis˜ oes 3.1

3.2

Colis˜oes em F´ısica . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.1

. . . . . . . . . . . .

Conserva¸ca˜o de energia em colis˜oes . . . . . . . . .

3.2.1

Movimento da mol´ecula de O2 . . . . . . .

3.2.1.1

Centro de massa . . . . . . . . . .

Energia cin´etica de transla¸ca˜o e centro de massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

O modelo de part´ıcula material . . . . . . .

3.2.2 3.2.3

O que ´e uma colis˜ao?

´ CONTEUDO 3.2.4

3.3

5 Coeficiente de restitui¸ca˜o . . . . . . . . . .

3.2.4.1

Colis˜ao com um objecto fixo . . .

Actividades, quest˜oes e problemas . . . . . . . . .

3.3.1

Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3.2

Problemas e quest˜oes

. . . . . . . . . . . .

´ CONTEUDO

Lista de Figuras 1.1

Sala de geradores da Central da Barragem de Hoover, no Colorado [4]. . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2

Esquema de um aproveitamento hidroel´ectrico (adaptado de [4]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3

Um espectro de decaimento β do 210 Bi (à data conhecido por Rádio E). A energia do electrão emitido pode variar entre 0 e um valor máximo (1.05 MeV). Tirado de um dos artigos clássicos, C.D Ellis e W. A Wooster, Proc. R. Soc. (London) A117 109 (1927).

Wolfgang Pauli (1900–1958), a` esquerda, f´ısico austr´ıaco que sugeriu a existˆencia do neutrino. Enrico Fermi (1901–1954), a` direita, f´ısico italiano, desenvolveu a ideia de Pauli e deu o nome definitivo ao neutrino. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Como o neutrino quase não interage com nada, para o detectar usam-se tanques subterrâneos gigantescos, cheios de a´gua. A figura mostra o enchimento de um dos maiores, o Super-Kamiokande no Japão. ´ vis´ıvel um pequeno bote com duas pessoas do E lado direito (Foto do ICRR, Institute for Cosmic Ray Research, The University of Tokyo). . . . . .

Esquema poss´ıvel de alguns dos n´ıveis de energia de um n´ ucleo, antes e depois de um decaimento β. .

2.1

Testando a conserva¸ca˜o de energia. . . . . . . . . .

2.2

Arqueiro retesando um arco. . . . . . . . . . . . . .

2.3

Aterragem do Vaiv´em com p´ara-quedas de travagem. 25

2.4

Elevar o corpo de peso P requer energia. . . . . . .

1.4

1.5

1.6

LISTA DE FIGURAS 2.5 2.6

2.7 2.8 2.9

interaçco˜es m´ utuas entre A e B não podem alterar a energia total do sistema S. . . . . . . . . . . . . Se o sistema é constitu´ıdo pelo corpo e pela Terra, o peso é uma for¸ca interna (a tracejado), que não pode alterar a energia do sistema. Uma for¸ca externa F~ (a cheio), aplicada ao corpo, pode alterar a energia do sistema corpo–Terra. . . . . . . . . . A for¸ca F~ necessária para equilibrar o corpo é apenas metade do seu peso. . . . . . . . . . . . . . . . ` altura z parte da energia potencial inicial é agora A energia cinética. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30 32 33

Um corpo que se desloca num fluido fica sujeito a uma for¸ca de sentido oposto ao seu deslocamento. .

2.10 For¸ca el´astica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.11 Um salto bungee. O saltador está inicialmente a uma altura h do solo; o comprimento em repouso dos elásticos é l. Quando a distância z ao solo é inferior a h1 = h − l , os elásticos estão distendidos.

2.12 Quando seguramos um peso, sem o mover, n˜ao fazemos trabalho? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.13 Os trabalhos realizados entre A e B e entre B e C s˜ao iguais. Ser˜ao diferentes de zero? . . . . . . . .

2.14 O trabalho da reaçcaõ normal da mesa e do peso serão diferentes de zero? . . . . . . . . . . . . . . .

2.15 Num escorrega as for¸cas sobre o utilizador são a reaçcaõ normal da superf´ıcie e o peso do cliente. Os escorregas são desenhados para reduzir o atrito, a componente da for¸ca da superf´ıcie paralela a esta.

2.16 Decomposi¸ca˜o de uma for¸ca segundo direc¸co˜es perpendiculares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.17 A for¸ca de contacto que a superf´ıcie exerce sobre ~ , e uma o corpo tem uma componente normal, N componente paralela a` superf´ıcie de contacto, F~a , a for¸ca de atrito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.18 No caso (a) o trabalho da for¸ca é positivo (o carrinho recebe energia), no caso (b) negativo (cede energia). Em qualquer dos casos é dado por F ∆r cos θ em que F e ∆r são os módulos da for¸ca e do deslocamento, respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . 49

LISTA DE FIGURAS

2.19 O arqueiro puxa a seta de uma distˆancia x. . . . .

2.20 Salto de esqui. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1

Fotografia aérea do CERN, junto ao lago Genebra. Estão marcados na foto alguns dos anéis aceleradores deste laboratório. O maior ocupa um t´ unel de 27 km de per´ımetro [2]. . . . . . . . . . . . . . . .

3.2

Exemplo de um evento registado no CERN. As trajectórias das part´ıculas são reconstru´ıdas por computadores a partir de sinais electrónicos nos detectores[2]. 60

3.3

Os magnetos impedem os carros de se aproximarem demasiado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(a) Numa transla¸caõ, os dois a´tomos de oxigénio têm o mesmo deslocamento e a mesma velocidade; (b)num movimento mais geral têm velocidades diferentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A molécula de O2 , após a colisão, tem movimentos de rota¸caõ e de vibra¸caõ, sobrepostos ao de transla¸caõ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4

3.5

LISTA DE FIGURAS

Cap´ıtulo 1

Energia 1.1

A ciˆ encia e o dia-a dia

Alguma vez nos interrogámos porque é que Ciência, e a F´ısica em particular, tem tantos conceitos e ideias estranhas e dif´ıceis de compreender? Por que é que, mesmo quando usa palavras comuns, como for¸ca, energia, ou trabalho, elas parecem significar uma coisa muito diferente do que significam no dia-a-dia? O mundo apresenta-se-nos com uma riqueza e variedade de fenómenos esmagadoras. A F´ısica, descobriu ao longo dos u ´ ltimos 300 anos—Galileu e Newton são considerados os seus fundadores— que é poss´ıvel uma compreensão unificada desses fenómenos, em termos de um conjunto reduzido de leis. Essa compreensão está manifesta na capacidade que a Humanidade adquiriu de intervir na Natureza e a modificar profundamente, quer para seu proveito e benef´ıcio quer para seu preju´ızo. Mas houve um pre¸co a pagar por essa compreensão. As referidas leis dizem respeito a entidades e objectos tão pequenos, a acontecimentos tão rápidos, que não são acess´ıveis a` nossa percep¸caõ imediata. Por isso, os extraordinários fenómenos desencadeados por um gesto tão simples como ligar um interruptor, por exemplo, (ver a caixa 1.1 da página 12) passam totalmente fora da nossa consciência. As ideias e conceitos da F´ısica vão, pois, muito para além da nossa experiência quotidiana; temos que estar preparados para surpresas. Não é poss´ıvel compreender a F´ısica apenas a partir de ideias e conceitos da nossa experiência de todos os dias. Mas, como veremos, s´ o é poss´ıvel compreender e fazer sentido da nossa experiência a partir das ideias e conceitos da F´ısica. 11

CAP´ITULO 1. ENERGIA

X acendeu a luz X acordou num quarto em plena escuridão. Seguiu a sua rotina diária desencadeando, sem o saber, uma sequência de acontecimentos extraordinários. O seu primeiro acto foi o de acender a luz do candeeiro de cabeceira. Ao fechar o interruptor dois fios de cobre tocaram-se. Imediatamente o movimento desordenado de um n´ umero incontável de electrões se modificou (incontável para qualquer um não apenas para o sonolento X), passando a ter sobreposta uma oscila¸caõ de 50 vezes por segundo. Esse movimento decorria com facilidade em todo o fio de cobre. Mas este estava interrompido por um pequeno filamento de tungsténio onde os electrões colidiam com muito maior frequência com a´tomos a quem cediam energia. O movimento dos electrões persistia, no entanto, a agita¸caõ aumentava até que a emissão de radia¸caõ compensava a energia que os a´tomos do fio de tungsténio recebiam dos electrões e o quarto se enchia de luz. A luz vinda do filamento, quase instantaneamente, pôs em movimento outros electrões, no abat-jour do candeeiro, nas paredes, no tecto, nas portas dos armários, nas roupas da cama. Estes voltaram a emitir radia¸caõ que agora preenchia o quarto vinda de todas as direçco˜es (embora com maior intensidade do filamento de tungsténio). X não notou nada disto. Estes acontecimentos extraordinários passaram-se tão depressa que para ele nenhum tempo passou desde que fechou o interruptor até que o n´ umero de part´ıculas de luz que atingiam a sua retina, aumentou subitamente, vindas já de todo o lado. O resultado foi um conjunto ainda mais complexo de reaçco˜es qu´ımicas e f´ısicas que terminaram (ninguém sabe como) no pensamento de X: “tenho que mudar esta lâmpada: tem uma luz demasiado forte!”

Caixa 1.1: O que acontece ao ligar um interruptor.

1.2. CONSUMO DE ENERGIA

1.2

Consumo de Energia

Um dos conceitos mais importantes da F´ısica é o de energia. Também aqui vemos um caso de um vocábulo comum, que adquire uma dimensão muito diferente quando usado no contexto cient´ıfico.

Figura 1.1: Sala de geradores da Central da Barragem de Hoover, no Colorado [4].

Se pedirmos a alguém que diga a primeira palavra que lhe vem a` cabe¸ca a propósito de energia, ouviremos com frequência: consumo. A energia gasta-se! Vejamos por exemplo de onde vem a energia gasta no candeeiro da história da Caixa 1.1. Os fios de cobre do candeeiro referido na história estão ligados a outros que vêm da rua. Seguindo-os, encontramos grandes bobinas de fio enrolados a` volta de massas de ferro; enrolado a` volta da mesma massa de ferro está mais fio de cobre noutras bobinas. Seguindo estes fios poderemos chegar a uma central eléctrica onde, mais uma vez, encontramos gigantescas bobinas de fio de cobre dentro de geradores, quase do tamanho de uma pequena casa (Fig. 1.1). No seu interior um conjunto de magnetos (´ımanes) é posto em movimento por torrentes de a´gua que descem do topo da barragem numa queda de centenas de metros até a`s pás de uma turbina ligada aos magnetos; o movimento desses magnetos é que movimenta os electrões nos enrolamentos de cobre e, em u ´ ltima análise, permite a X, e a muitos milhões de outras pessoas, encontrar o caminho no seu quarto iluminado.

CAP´ITULO 1. ENERGIA

CENTRAL HIDROELÉCTRICA Albufeira

Central

Barragem

Transformador

L. Alta Tensão

Gerador

Conduta forçada Tomada água Comporta

Turbina

Conduta de fuga

Figura 1.2: Esquema de um aproveitamento hidroel´ectrico (adaptado de [4]).

1.2.1

. Actividade 1.1

Consumos em Portugal e no Mundo

Os gestos de pessoas como X são repetidos todos os dias. As ´ actividades humanas estão dependentes de fontes de energia. E interessante reflectir um pouco nos n´ umeros de consumo energético ´ a vários n´ıveis. E uma boa oportunidade para recordar os conceitos de potência e as respectivas unidades. Em casa Os electrodomésticos indicam entre as suas caracter´ısticas a respectiva potência, isto é, a energia consumida por unidade de tempo, quando ligados a` rede eléctrica. A unidade SI de potência é o watt. Consideremos a seguinte lista de consumos t´ıpicos de uma casa: • ilumina¸caõ, de potência total 300 W, 4 horas por dia; • fogão eléctrico, 2 kW, 1 hora por dia; • televisão, 400 W, 4 horas por dia;

1.2. CONSUMO DE ENERGIA

• máquinas de lavar, 1 kW, 3 horas por dia; • outros electrodomésticos (torradeiras, varinhas mágicas), 200 W, 1 hora por dia; • aquecimentos, 2 kW, 2 horas por dia. O consumo diário correspondente é cerca de 12 kWh, ou seja 360 kWh em cada mês. No Pa´ıs A energia eléctrica é fornecida aos consumidores a partir da rede eléctrica nacional, gerida por um empresa com o mesmo nome (REN) do grupo EDP. No website desta empresa é poss´ıvel obter informa¸co˜es sobre os consumos nacionais de energia eléctrica [5], algumas das quais estão resumidas na Caixa 1.2 da página 16. A esta escala, a unidade corrente de potência é o gigawatt, GW, que corresponde a um milhão de kW. Quantidades de energia são referidas em gigawatt-hora (GWh). O consumo diário em Portugal, 121 GWh, é cerca de 10 milhões de vezes superior ao que estimámos para um lar comum. Só para a produ¸caõ de energia hidroeléctrica é necessário turbinar diariamente cerca de 300 milhões de toneladas de a´gua. Nas centrais térmicas alimentadas a carvão, onde é produzida a maior parte da energia eléctrica consumida em Portugal (34% do total), são queimadas cerca de 16 mil toneladas de carvão por dia. No Mundo Segundo dados da Agência Internacional de Energia Atómica (IAEA) [1], são produzidos por dia em todo o mundo 41 terawatts-hora de energia eléctrica. Isto é, 41 mil milhões de kWh, quase 340 vezes mais do que em Portugal. Não é fácil imaginar as quantidades fabulosas de carvão, petróleo, gás natural, a´gua turbinada, combust´ıvel nuclear, que todos os dias são consumidos, com inevitáveis impactes ambientais, para satisfazer esta insaciável fome de energia.

1.2.2

A energia gasta-se?

Afinal que acontece a`s prodigiosas quantidades de energia postas em jogo todos os dias? Não recuperamos os milhões de milhões de

. Actividade 1.2

CAP´ITULO 1. ENERGIA

Dados sobre consumo de energia el´ ectrica Re´ unem-se aqui alguns dados sobre consumos energ´eticos recolhidos da REN– Rede El´ectrica Nacional [5] e da IAEA– Internacional Atomic Energy Agency [1]. S˜ ao usadas as seguintes unidades:

• gigawatt, 1 GW = 109 W; • kilowatt-hora , 1 kWh = 3, 6 × 106 J; • gigawatt-hora, 1 GWh = 106 kWh; • terawatt-hora, 1 TWh = 109 kWh. Descri¸ca ˜o

Valores

Fonte

Consumo mensal por habita¸ca ˜o

360 kWh

Estimada

Potˆencia instalada em Portugal

8, 7 GW

REN

Consumo nacional di´ ario

121 GWh

REN

Produ¸ca ˜o hidroel´ectrica di´ aria

21 GWh

REN

di´ ariaa

84 GWh

REN

Produ¸ca ˜o di´ aria, outras fontes

16 GWh

REN

Consumo mundial di´ ario

41 TWh

IAEA

Produ¸ca ˜o em t´ermicas

Um ju´ızo sobre o significado destes consumos pode ser feito a partir dos seguintes dados:

• O volume de a´gua turbinado em m´edia, por kWh, ´e cerca de 15 m3 [6];

• o conteúdo energético do carvão é cerca de 6, 1 kWh por quilograma de carv˜ ao. Mas uma central térmica s´ o consegue transformar em energia eléctrica cerca de 40% dessa energia, 2, 4 kWh kg−1 . a

O combust´ıvel de uma t´ermica pode ser carv˜ ao, g´ as ou fuel.

Caixa 1.2: Alguns n´ umeros sobre consumo de energia el´ectrica.

˜ DE ENERGIA 1.3. CONSERVAC ¸ AO

toneladas de carvão, petróleo ou gás natural, usados todos os dias neste processo. A radia¸caõ solar que incide na Terra encarrega-se de evaporar diariamente milhões de milhões de toneladas de a´gua e de a transportar de novo para o cimo das montanhas. E isso é apenas uma fraçcaõ ´ınfima da energia total da radia¸caõ que chega a` Terra. Mas passado um dia, um mês, um ano, ou mesmo um século, a Terra não mudou assim tanto. Há tanta a´gua no mar, na atmosfera ou nas montanhas como antes. As montanhas estão no mesmo ´ certo que se fizeram algumas casas, há mais carros, etc., s´ıtio. E mas as quantidades de energia postas em jogo nesses processos são quase patéticas a` escala planetária. Basta ver o que pode acontecer a essas constru¸co˜es num modesto estremecimento da Terra. Que está a acontecer a esta energia toda? Está a desaparecer, a deixar de existir? Gasta-se, um pouco como o dinheiro do nosso bolso? Ou vai para algum lado?

1.3

Conserva¸ c˜ ao de Energia

Se pedirmos a um f´ısico que diga a primeira palavra que lhe vem a` cabe¸ca a propósito de energia, responderá com grande probabilidade: conserva¸ c˜ ao. Em ciência o conceito de energia está intimamente associado ao de conserva¸caõ. O que o Princ´ıpio de Conserva¸caõ da Energia afirma, é que em qualquer transforma¸ca õ na Natureza, há uma quantidade cujo valor antes e depois da transforma¸caõ não se altera—a energia. Esta ideia tornar-se-á, gradualmente, mais precisa e será sempre verdade que: energia é uma quantidade que se conserva. Afinal, gasta-se ou conserva-se?

1.3.1

A descoberta do neutrino

A descoberta do neutrino é um excelente exemplo de aplica¸caõ do princ´ıpio de conserva¸caõ de energia. Certos n´ ucleos instáveis emitem electrões no decaimento—decaimento tipo beta. Um exemplo é o isótopo de n´ umero de massa 210 do

CAP´ITULO 1. ENERGIA

Bismuto, 210 Bi. Ao decair transforma-se no isótopo 210 de Polónio, 210 Po, e emite um electrão. Pensava-se que o decaimento era: 210 83 Bi

− → 210 84 Po + e

O electrão tem uma massa muito menor que a do n´ ucleo e fica com quase toda a energia do decaimento; do mesmo modo que quando uma pistola dispara uma bala a energia fica (quase) toda na bala 1 . Ora, como os estados do n´ ucleos antes ( 210 Bi) e depois (210 Po) do deca´ımento são sempre os mesmos, a energia com que os electrões são emitidos devia também ser a mesma, para todos os decaimentos de um dado isótopo. Mas não são; os electrões emitidos podem ter energias que variam continuamente desde 0 até um valor máximo (Fig. 1.3). Esta dificuldade pode ser ilustrada por uma analogia. Um canhão ´ carregado sempre com de 20 toneladas dispara balas de 10 kg. E muni¸co˜es idênticas. Mas de cada vez que dispara a velocidade dos projécteis é diferente. Os estados iniciais e finais do canhão não revelam quaisquer diferen¸cas em cada disparo. As muni¸co˜es também não. Por que é que a velocidade de sa´ıda dos projécteis varia desde quase zero até uma velocidade máxima? Se as muni¸co˜es têm energia suficiente para disparar as balas com a velocidade máxima, o que acontece a essa energia quando saem mais lentas?

Figura 1.3: Um espectro de decaimento β do 210 Bi (` a data conhecido por R´ adio E). A energia do electr˜ ao emitido pode variar entre 0 e um valor m´ aximo (1.05 MeV). Tirado de um dos artigos cl´ assicos, C.D Ellis e W. A Wooster, Proc. R. Soc. (London) A117 109 (1927). 1

Se a energia ficasse na pistola o disparo causaria mais danos em quem tinha a pistola, o que at´e nem era mau!

˜ DE ENERGIA 1.3. CONSERVAC ¸ AO

Unidades de energia Os f´ısicos e qu´ımicos usam, com frequência, unidades de energia diferentes do joule, em particular quando se referem a processos microsc´ opicos que envolvem part´ıculas elementares, n´ ucleos, a ´tomos e moléculas. Uma das mais usadas é o electr˜ ao-volt (eV) que vale 1 eV = 1, 6 × 10−19 J. A energia necess´ aria para ionizar um a ´tomo de hidrogénio no seu estado fundamental, nesta unidade, é de 13, 6 eV. A energia necess´ aria para destruir uma liga¸ca õ qu´ımica, na generalidade das moléculas, é da ordem de grandeza de 1 eV. No caso dos n´ ucleos, as energias t´ıpicas s˜ ao da ordem do milh˜ ao de electr˜ ao-volt, isto é, mega electr˜ ao-volt, abreviatura MeV (lido como méve). Por exemplo, a energia necess´ aria para separar os prot˜ oes (2) e neutr˜ oes (2) do n´ ucleo de hélio (part´ıcula α) é de 28, 3 MeV.

Caixa 1.3: Unidades de energia

O espectro de um decaimento β − está representado na Fig. 1.3. No eixo das abcissas representa-se a energia do electrão emitido. A ordenada, a cada energia, é proporcional a` fraçcaõ de electrões emitidos com essa energia, quando observamos um grande n´ umero de decaimentos. A solu¸caõ deste mistério foi sugerida por Wolfgang Pauli, um f´ısico austr´ıaco, em 1930, numa curiosa carta escrita aos participantes de um congresso a que Pauli não pode estar presente 2 . Pauli preferiu postular a existência de uma part´ıcula, a que chamou neutrão e que ninguém tinha detectado, a admitir que a energia não era conservada. A energia total do decaimento era distribu´ıda entre o electrão e esta misteriosa part´ıcula de tal modo que a soma das respectivas energias fosse constante. Como a part´ıcula fantasma de Pauli não era detectada, a energia parecia não ser conservada. Três anos mais tarde, Enrico Fermi explicou a forma do espectro observado e rebaptizou a part´ıcula de Pauli de neutrino; entretanto tinha sido descoberto o neutrão (uma part´ıcula neutra com massa semelhante a` do protão) e Fermi sabia que o neutrino (neutrão 2

A raz˜ ao invocada por Pauli foi que era necess´ aria a sua presen¸ca num baile!

postular: afirmar como verdade, ainda que sem prova, uma proposi¸ca˜o n˜ao evidente.

CAP´ITULO 1. ENERGIA

pequenino) tinha que ter uma massa muito mais pequena.

Figura 1.4: Wolfgang Pauli (1900–1958), a ` esquerda, f´ısico austr´ıaco que sugeriu a existˆencia do neutrino. Enrico Fermi (1901–1954), a ` direita, f´ısico italiano, desenvolveu a ideia de Pauli e deu o nome definitivo ao neutrino.

Acontece que o neutrino é uma das part´ıculas mais abundantes do universo, embora seja tão dif´ıcil de detectar que isso só foi conseguido 23 anos após a sugestão de Pauli. A ideia de Pauli pode ter parecido um expediente, de natureza duvidosa, para “salvar” a lei de conserva¸caõ da energia. Mas a Natureza deu razão a` fé de Pauli nessa lei. O neutrino existe mesmo e pôde mais tarde ser observado, quer em decaimentos beta quer em outros processos (Fig. 1.5) O século XX assistiu a modifica¸co˜es radicais da nossa concep¸caõ do mundo f´ısico. Mas o princ´ıpio da conserva¸caõ de energia mantevese e, no caso do neutrino e em muitos outros, como o efeito fotoeléctrico, guiou-nos na descoberta de aspectos novos da realidade, mesmo antes de ser poss´ıvel uma visão coerente da mesma. Hoje em dia, o conceito de energia (e outros com ele directamente relacionados) continua a ter um papel fundamental na ciência.

1.4

Consumo ou conserva¸ c˜ ao?

Afinal, em que ficamos: a energia gasta-se ou conserva-se? Veremos ao longo deste curso, que a energia, de facto, se conserva: sempre! O que acontece é que, tal como na história do neutrino, em muitos processos f´ısicos é preciso olhar com muito cuidado para descobrir para onde foi a energia. Se não o fizermos, há parcelas que nos escapam, e no fim pensamos que temos menos energia do que quando come¸camos.

1.5. ACTIVIDADES, PROBLEMAS E EXERC´ICIOS

Figura 1.5: Como o neutrino quase n˜ ao interage com nada, para o detectar usam-se tanques subterrˆ aneos gigantescos, cheios de a ´gua. A figura mostra o enchimento de um dos maiores, o Super-Kamiokande no Jap˜ ao. ´ vis´ıvel um pequeno bote com duas pessoas do lado direito (Foto do E ICRR, Institute for Cosmic Ray Research, The University of Tokyo).

Ao longo deste curso, iremos, progressivamente, descobrindo novas maneiras de contabilizar a energia envolvida em diversos processos f´ısicos. E acabaremos por descobrir que o princ´ıpio de conserva¸caõ de energia é fundamental, até para compreender os processos do dia-a-dia em que, aparentemente, “consumimos” energia.

1.5

Actividades, problemas e exerc´ıcios

1.1. Unidades de energia e potˆ encia Recordar conceito de potência e respectiva unidade no SI. Ver Ficha de Actividade A1. 1.2. Energia hidroel´ ectrica Investigar alguns dados referentes ao consumo de energia hidroeléctrica no Pa´ıs e no mundo. Ver ficha de actividade A2. 1.3. O que gasta uma lˆ ampada de 100 W? Consequências das necessidades energéticas. Ver Ficha de Actividade A3.

CAP´ITULO 1. ENERGIA

1.4. Espectro de decaimento β. Imagine-se um n´ ucleo com os n´ıveis de energia representados a` esquerda da Figura 1.6. Depois do decaimento o n´ ucleo resultante tem o conjunto de n´ıveis da direita. Como seria o espectro de decaimento β (ver Fig 1.3), se apenas fosse emitido um electr˜ao (sem neutrino) e o n´ ucleo estivesse inicialmente no seu estado de mais baixa energia, E 0 ?

E2 E1 E0

E’2 E’1 E’0 Antes

Depois

Figura 1.6: Esquema poss´ıvel de alguns dos n´ıveis de energia de um n´ ucleo, antes e depois de um decaimento β.

Cap´ıtulo 2

Trabalho e energia 2.1

Transferˆ encias de energia

Como medir energia? Acreditamos que um litro de gasolina tem uma certa energia. Dois litros terão, seguramente, o dobro. Mas como comparar a energia da gasolina com a de uma pilha? Ou com a da a´gua, que desce uma montanha e faz mover uma turbina? Ou com a do vento, que acciona um moinho? Em muitas situa¸co˜es em que acreditamos haver transferência de energia conseguimos identificar dois factores, for¸ca e movimento: • A a´gua empurra e faz rodar as pás de uma turbina; • uma grua exerce um for¸ca sobre uma carga e eleva-a a uma dada altura; • um jogador de andebol estica o bra¸co, exercendo uma for¸ca sobre a bola e imprimindo-lhe uma certa velocidade; • os elásticos de bungee jumping travam a queda de um corajoso saltador, primeiro distendendo-se e depois contraindose, reenviando-o para novo voo. Mas há outros tipos de transferência de energia em que não parece haver movimento: • o aquecimento de a´gua com uma chama, ou com outro corpo mais quente, como uma resistência eléctrica; • o arrefecimento da sopa quente, quando exposta ao ar; 23

CAP´ITULO 2. TRABALHO E ENERGIA

• o aquecimento do asfalto das ruas, quando 1exposto ao sol. Qualquer um de n´os ´e capaz de imaginar muitas outras situa¸co˜es. Neste cap´ıtulo vamos discutir situa¸co˜es do primeiro tipo.

2.1.1

No¸ c˜ ao de Sistema1

Se falamos em transferência é porque: • estamos a considerar pelos menos dois corpos e faz sentido falar da energia de cada um; • está impl´ıcita a ideia de conserva¸ c˜ ao; algo transfere-se se passa de um s´ıtio para outro. Se a energia de um corpo aumenta, a energia de outro diminui. Para discutir transferências 1de energia, temos, então, que identificar os sistemas entre os quais essa transferência ocorre. Os f´ısicos usam frequentemente esta palavra mas raramente se preocupam em precisar o seu significado. Na verdade, é muito mais u ´ til saber analisar casos particulares do que ter uma defini¸caõ geral de sistema. Digamos apenas que, ao analisar processos f´ısicos, podemos, em geral, ignorar a maior parte do Universo (gra¸cas a Deus). Na parte que nos interessa é poss´ıvel identificar corpos, regiões, conjuntos de part´ıculas—numa palavra, sistemas–-para os quais é poss´ıvel definir uma energia; as influências m´ utuas entre esses sistemas, as interaç co ˜es, originam a transferência de energia entre eles. No caso do salto com elásticos, bungee jumping, por exemplo, o saltador no campo grav´ıtico da Terra constitui um sistema. Este sistema interage com outro, os elásticos, que o impede de se estatelar. Há transferências de energia entre estes dois sistemas. Figura 2.1: Testando a conserva¸ca õ de energia.

. Actividades 2.1 e 2.2

Mas não são defini¸co˜es gerais que nos fazem compreender estas no¸co˜es de sistema e interaçcaõ; é a prática. Estes conceitos ficarão mais claros a` medida que formos analisando situa¸co˜es concretas.

2.2

Trabalho

Se reflectirmos um pouco nas situa¸co˜es de transferˆencia de energia que envolvem for¸cas e movimentos, chegaremos a` seguinte conclus˜ao:

2.2. TRABALHO

Se uma for¸ca actua num corpo no sentido em que este se desloca, a sua energia aumenta; se actua no sentido oposto, a sua energia diminui.

Consideremos, por exemplo, o tiro ao arco. Ao retesar o arco, o arqueiro puxa a seta. Exerce uma for¸ca no mesmo sentido em que desloca a corda do arco: a energia do arco aumenta. Os sistemas são, neste caso, o arco e a flecha, por um lado, e o arqueiro, pelo outro. Essa energia é depois usada para impulsionar a flecha. Nessa situa¸caõ o arco exerce uma for¸ca sobre a flecha no mesmo sentido em que ela se desloca: logo, a energia da flecha aumenta. Agora, os sistemas que estamos a considerar são a flecha, por um lado, e o arco, pelo outro.

Figura 2.2: Arqueiro retesando um arco.

Um outro exemplo é o da travagem do Vaivém espacial na aterragem. O cabos do pára-quedas de travagem puxam o Vaivém com uma for¸ca que tem o sentido oposto ao do respectivo deslocamento: a energia do Vaivém diminui. Pensando noutros casos semelhantes chegaremos a` mesma conclusão; quando a for¸ca sobre um corpo actua no sentido do deslocamento, a sua energia aumenta; se o sentido é oposto, a energia diminui. Mas de quanto? Como podemos medir essa quantidade de energia transferida? A resposta a esta pergunta é dada pela no¸caõ de trabalho de uma for¸ ca:

O trabalho de uma for¸ca de módulo F , constante, exercida sobre um corpo, num deslocamento de d, na direçcaõ e sentido da for¸ca, é F × d e é igual a` energia transferida para o corpo por açcaõ dessa for¸ca.

Se designarmos por ∆E = Ef −Ei , a varia¸ca˜o de energia do corpo, energia final menos energia inicial 1 , temos: ∆E = w ≡ F d. 1

Esta nota¸ca õ ser´ a usada muitas vezes ao longo do curso. Numa qualquer transforma¸ca õ, com um estado final e um estado inicial, a varia¸ca õ de uma grandeza A, ser´ a designada por ∆A e é sempre o valor final menos o inicial, ∆A = Af − Ai .

Figura 2.3: Aterragem do Vaiv´em com p´ ara-quedas de travagem.

CAP´ITULO 2. TRABALHO E ENERGIA

E se a for¸ca tiver o sentido oposto ao do deslocamento? Como vimos, nesse caso, a energia do corpo diminui: E f < Ei ; a varia¸caõ de energia é negativa, ∆E < 0. Define-se, nesse caso, o trabalho como w = −F d e continua a ser a varia¸caõ de energia do corpo.

O trabalho de uma for¸ca de módulo F , constante, exercida sobre um corpo, num deslocamento de d na direçcaõ da for¸ca e sentido oposto, é −F × d e é igual a` energia transferida para o corpo por açcaõ dessa for¸ca.

Note-se que em F´ısica falamos de energia transferida para o corpo, como sendo a varia¸caõ de energia, ∆E, mesmo quando esta é negativa! Em linguagem comum dir´ıamos que a energia é transferida do corpo. Deste modo, podemos usar sempre a mesma linguagem e as mesmas equa¸co˜es, qualquer que seja o sinal das grandezas que nelas ocorrem. Em particular, a equa¸caõ ∆E = w vale, quer w seja positivo quer negativo. Mas será verdade? Como é que sabemos que esta é a maneira correcta de medir a energia transferida por açcaõ de uma for¸ca?

2.3 Figura 2.4: Elevar o corpo de peso P requer energia.

2.3.1

Energia potencial Energia potencial grav´ıtica

Consideremos um sistema simples de um motor que enrola uma corda e, através de uma roldana, eleva um corpo de peso P = mg (Fig. 2.4). Este processo requer energia; o motor gasta combust´ıvel. Vamos supor uma eleva¸caõ muito lenta, com velocidade nula no estado final. Deste modo não temos energia associada ao estado de movimento. Mas, tal como a a´gua retida numa barragem pode em queda accionar turbinas, um corpo elevado também pode ser usado para transferir energia para outros corpos. A sua energia

2.3. ENERGIA POTENCIAL

Componente de uma for¸ ca Aparentemente demos duas defini¸co ˜es de trabalho, distinguindo os casos de for¸ca e deslocamento com o mesmo sentido ou sentidos opostos. Introduzindo o conceito de componente de uma for¸ca, podemos simplificar a defini¸ca õ. Um deslocamento rectil´ıneo assim como uma for¸ca, s˜ ao caracterizados por um m´ odulo (intensidade) e ainda por uma direçca õ e um sentido: s˜ ao grandezas vectoriais. O m´ odulo, por defini¸ca õ é expresso por um n´ umero positivo. Na maior parte dos casos que vamos considerar as direçco ˜es s˜ ao as mesmas. O sentido da for¸ca pode ser o mesmo, ou oposto, ao do deslocamento. Se uma for¸ca de m´ odulo F tem a mesma direçca õ e sentido do deslocamento, dizemos que a componente da for¸ca segundo o deslocamento é F ; se o sentido é oposto, a componente é −F. Assim a componente é positiva ou negativa conforme a for¸ca tenha o mesmo sentido ou o sentido oposto do deslocamento. Com este conceito de componente podemos resumir as duas defini¸co ˜es que demos de trabalho numa s´ o, sem precisar de distinguir as duas situa¸co ˜es: O trabalho de uma for¸ca de m´ odulo constante, exercida sobre um corpo, num deslocamento de comprimento d com a mesma direçca õ da for¸ca, é o produto da componente da for¸ca segundo o deslocamento por d. Com efeito, se os sentidos s˜ ao idênticos, a componente da for¸ca é F , em que F é o m´ odulo da for¸ca (F > 0). Esta defini¸ca õ d´ a w = F × d. Se os sentidos s˜ ao opostos, a componente da for¸ca é −F e o trabalho w = (−F ) × d = −F × d. Mais tarde veremos que esta defini¸ca õ continua a ser v´ alida mesmo se a for¸ca e o deslocamento n˜ ao forem colineares.

Caixa 2.1: O conceito de componente de uma for¸ca.

CAP´ITULO 2. TRABALHO E ENERGIA

aumentou em resultado da sua eleva¸caõ. A este tipo de energia, associado a` posi¸caõ, chamamos energia potencial. Uma possibilidade, para medir a energia transferida para o corpo, é determinar a quantidade de combust´ıvel gasto. Só que, naturalmente, uma medida desse tipo dependeria do tipo de motor e mesmo do tipo de combust´ıvel. Ora, não estamos aqui interessados em saber quanta energia gastou o motor; o que nos interessa é medir a que foi transferida para o corpo. Isso envolve um processo simples: a aplica¸caõ de uma for¸ca e um deslocamento. O que se passa no motor é muito mais complicado. A for¸ca que a corda tem que exercer, para um deslocamento muito lento, é igual em módulo, e oposta em sentido, ao peso, P = mg. Podemos, assim, ignorar qualquer varia¸caõ de energia associada ao estado de movimento do corpo e considerar apenas a energia associada a` sua posi¸caõ, energia potencial, E p . A nossa defini¸caõ de trabalho diz: ∆Ep = F d = mg∆z em que ∆z = zf − zi é a varia¸caõ da altura do corpo. Faz sentido, a varia¸caõ de energia ser proporcional ao peso, mg, e a` varia¸caõ de altura, ∆z? Como o peso do corpo não varia com a altura, o processo de elevar o corpo de 5 m para 6 m ou de 10 m para 11 m de altura é exactamente o mesmo: o motor recolhe um metro de corda, exercendo a mesma for¸ca. Logo transfere a mesma energia. Assim sendo, a varia¸caõ de energia do corpo deve ser idêntica, por cada metro de eleva¸caõ do mesmo. Isso significa que a varia¸caõ de energia é proporcional ao n´ umero de metros de eleva¸caõ, isto é, a ∆z. E a proporcionalidade de ∆E ao peso mg? Podemos sempre elevar um corpo de peso 2mg dividindo-o em duas partes iguais e elevando uma parte de cada vez. Gastar´ıamos a energia necessária para elevar duas vezes um corpo de peso mg. Parece natural que a varia¸caõ de energia seja também proporcional ao peso. Em resumo: a nossa defini¸caõ de trabalho é razoável. Vale a pena ver onde nos pode levar. Para já, obtivemos uma expressão para a varia¸caõ de energia potencial grav´ıtica de um corpo de massa m, quando a sua altura varia de ∆z: ∆Ep = mg∆z. . Energia potencial grav´ıtica

(2.1)

2.3. ENERGIA POTENCIAL

Exemplo: se um oper´ ario tiver que elevar 60 kg de tijolos para um terceiro andar, a 15 m do solo, ter´ a que dispender (pelo menos) uma energia de: ∆E = 60 × 10 × 15 = 9000 J.

Escolha do zero de energia Ainda não obtivemos uma expressão para a energia potencial, mas apenas para a varia¸ca õ de energia potencial. O princ´ıpio de conserva¸caõ de energia, de facto, só envolve varia¸co ˜es de energia. Por essa razão, podemos definir a energia potencial para uma dada posi¸caõ como quisermos. Por exemplo, podemos dizer que para a altura z = 0, a energia potencial é E p (0) = 0. Claro que essa escolha só pode ser feita para uma dada posi¸caõ, pois as varia¸co˜es de energia potencial são conhecidas. Para qualquer outra posi¸caõ de altura z, teremos: ∆Ep ≡ Ep (z) − Ep (0) = mg∆z = mg(z − 0) = mgz. Como Ep (0) = 0, obtemos Ep (z) = mgz. Se escolhêssemos Ep (0) = a, ter´ıamos Ep (z) = mgz + a, mas as varia¸co˜es de energia potencial continuariam a ser dadas pela Eq.2.1. Note-se ainda que a altura é z = 0 onde quisermos escolher a origem do eixo zz. Não é nenhuma altura particular: tanto pode ser o n´ıvel médio do mar, como o chão da cabine de um avião comercial a voar a 10 km de altitude.

S A

2.3.2

Energia potencial e trabalho de for¸ cas internas.

For¸ cas internas Na discussão anterior, quando elevamos um corpo aplicando uma for¸ca contrária ao peso, dissemos que transferimos energia para o corpo. O sistema que fornece energia é o que exerce essa for¸ca (nós, ou o motor e o respectivo cabo de suspensão do corpo). O corpo, no campo grav´ıtico, é o sistema a que fornecemos energia.

Figura 2.5: interac¸co ˜es m´ utuas entre A e B n˜ ao podem alterar a energia total do sistema S.

CAP´ITULO 2. TRABALHO E ENERGIA

E o peso do corpo não realizou trabalho? Não temos de o contabilizar? A interaçcaõ entre dois corpos manifesta-se nas for¸cas que exercem um sobre o outro, que permitem a transferência de energia entre eles. Mas uma for¸ca interna, exercida por uma parte de um sistema noutra parte do mesmo sistema, não pode variar a energia deste sistema. Isso violaria o princ´ıpio de conserva¸caõ de energia. Porquê? Porque, se a energia varia num sistema, varia também fora dele. Se assim não fosse, a energia não se conservava. For¸cas internas não actuam sobre o exterior do sistema e por isso não podem originar mudan¸cas em que a energia do exterior varie. O peso como for¸ ca interna O peso de um corpo pode ser considerado uma for¸ca interna: o sistema é o corpo no campo grav´ıtico da Terra. Ou, melhor ainda, o corpo e a Terra constituem o nosso sistema. O que chamamos energia potencial do corpo é na verdade uma energia do sistema corpo–Terra, devida a` interaçcaõ grav´ıtica. Como o estado de movimento da Terra não é alterado (massa da Terra muito maior do que a do corpo), podemos calcular essa energia de interaçcaõ em termos da posi¸caõ do corpo relativamente a` superf´ıcie da Terra, a altura, z. Por isso, podemo-nos referir a esta energia como sendo a energia potencial do corpo.

F Sistema P TERRA

Figura 2.6: Se o sistema ´e constitu´ıdo pelo corpo e pela Terra, o peso ´e uma for¸ca interna (a tracejado), que n˜ ao pode alterar a energia do sistema. Uma for¸ca externa F~ (a cheio), aplicada ao corpo, pode alterar a energia do sistema corpo–Terra.

Quando elevamos o corpo, exercemos uma for¸ca externa que ´e oposta ao peso. O seu trabalho resulta numa varia¸ca˜o de energia potencial do corpo (ou, como dissemos acima, energia potencial

2.3. ENERGIA POTENCIAL

grav´ıtica do sistema corpo–Terra): ∆Ep = wext = F × ∆z Mas como esta for¸ca externa equilibra o peso (para que o corpo não acelere) o trabalho do peso é o simétrico do trabalho da for¸ca externa: se a for¸ca F~ tem o sentido do deslocamento, o peso tem o sentido oposto e vice-versa. Logo wint = −wext = −P × ∆z. Portanto, como P = mg ∆Ep = −wint = −mg∆z.

(2.2)

Esta equa¸caõ relaciona a varia¸caõ de energia potencial com o trabalho das for¸cas internas numa altera¸caõ de posi¸caõ: não exprime uma transferência de energia de um outro sistema através da realiza¸caõ de trabalho. Mais tarde veremos que nem sempre é poss´ıvel estabelecer uma rela¸caõ deste tipo entre for¸cas internas e energia potencial. As for¸cas, como o peso, para as quais isso é poss´ıvel designam-se por for¸ cas conservativas.

2.3.3

Unidades

Em que unidades se mede a grandeza energia? Como a unidade de for¸ca é o newton, N, e a de comprimento o metro, m, o trabalho e, portant1o, a energia podem medir-se em N m, unidade designada por joule, J. O que é um joule? A expressão para o trabalho de uma for¸ca, w = F d, mostra que o trabalho realizado por um for¸ca de 1 N, num deslocamento de 1 m, é 1 J. O peso de uma massa de 100 g é, aproximadamente, 1 N pois a acelera¸caõ da gravidade é perto de 10 m s −2 (P = mg = 0, 1×10 = 1 N). Um joule é, pois, a energia necessária para elevar cerca de 100 g de 1 m, a` superf´ıcie da Terra.

. Problema 2.1.

CAP´ITULO 2. TRABALHO E ENERGIA

2.3.4

M´ aquinas simples

Roldana m´ ovel Podemos levantar um peso de 20 N exercendo uma for¸ca de apenas 10 N. Como? Veja-se o sistema de roldana móvel da Fig. 2.7. O módulo, F, da for¸ca aplicada no ponto A da Fig. 2.7, é apenas metade do módulo do peso do corpo, P/2 (por simplicidade desprezamos o peso ´ verdade, como se vê, facilmente, experimenda roldana móvel). E tando! Para compreender porquê, basta notar que a roldana móvel está suportada por duas cordas: cada uma delas exerce uma for¸ca de módulo P/2 para equilibrar o peso.

. Actividade 2.3

Que o´ptima ideia para obter energia de gra¸ca! Uma vez que F é metade de P , então, o trabalho que realizamos para elevar o corpo, puxando em A, seria metade do que se o fizéssemos directamente. Por metade do trabalho (energia que transferimos) obtemos a mesma varia¸caõ de energia do corpo! ´ que quando deslocamos A, para Era bom, mas não funciona. E baixo, de uma distância d, realizando um trabalho (P/2) × d, o corpo s´ o sobe uma distˆ ancia d/2. A varia¸caõ de energia potencial do corpo é P ×(d/2), exactamente o trabalho que realizámos. Não há almo¸cos grátis!

F P

Figura 2.7: A for¸ca F~ necess´ aria para equilibrar o corpo ´e apenas metade do seu peso.

O sistema da roldana móvel é apenas um de muitos exemplos de dispositivos de desmultiplica¸caõ de for¸cas, como uma alavanca, uma caixa de velocidades, o sistema de transmissão e mudan¸cas de uma bicicleta, etc. São sistemas de grande utilidade prática, porque nos permitem realizar tarefas com for¸cas menores. Mas não poupam energia. Se reduzimos a for¸ca necessária para metade o ´ mais uma deslocamento correspondente aumenta para o dobro. E confirma¸caõ que a defini¸caõ de trabalho faz sentido: doutro modo estas máquinas permitiriam a cria¸ca õ de energia!

2.4

Energia cin´ etica

Elevemos um corpo de massa de 1 kg a uma altura de dois metros. Sabemos que aumentamos a respectiva energia de (g ≈ 10 m s −2 ): ∆Ep = mgh = 1 × 10 × 2 = 20 J. Se largarmos o corpo, ele cai. Se cair precisamente 2 m, a sua energia potencial volta ao valor inicial. Onde est´a a energia que transferimos para o corpo ao elev´a-lo?

Â´ 2.4. ENERGIA CINETICA

Neste caso o corpo caiu livremente. NËœao o movemos lentamente, mantendo o peso equilibrado com uma forÂ¸ca externa. NËœao houve pois trabalho externo sobre o corpo. Como vimos anteriormente, o peso Âé considerado uma forÂ¸ca interna; faz parte do sistema, corpo+campo gravÂ´ Äątico. Se o corpo caiu livremente, tem uma velocidade diferente de zero e parece claro que devemos associar a esse estado de movimento um certa energia. Vamos designar essa energia por energia cinÂética, Ec , e supor que ela pode ser expressa em termos da velocidade do corpo. Qual Âé a expressËœao de Ec (v)?

h z

` altura z parte da energia potencial inicial Â´e agora energia Figura 2.8: A cinÂ´etica.

2.4.1

ExpressËœ ao da energia cinÂ´ etica

Vamos, imediatamente, responder a` questËœao anterior dando a definiÂ¸caËœo de energia cinÂ´etica de um corpo. Dessa definiÂ¸caËœo, usando conservaÂ¸caËœo de energia, tiraremos algumas conclusËœoes sobre o modo como varia a velocidade de um corpo em queda livre. Na Actividade 2.4 investigaremos experimentalmente essa relaÂ¸caËœo. Teremos assim um pequeno exemplo de como funciona a CiË†encia. Primeiro a definiÂ¸caËœo de energia cinÂ´etica:

A energia cinÂ´etica, Ec , de um corpo de massa m e velocidade de mÂ´ odulo v, Â´e dada pelo produto da sua massa m pelo quadrado do mÂ´ odulo da sua velocidade v, dividido por dois, Ec = mv 2 /2.

Consideremos entËœao um corpo, como o da Fig. 2.8, inicialmente parado a` altura h: a sua energia potencial Â´e mgh e a sua energia

CAP´ITULO 2. TRABALHO E ENERGIA

cinética nula, pois a sua velocidade é zero. A sua energia total é, então, E = mgh. Quando estiver a uma altura z, a sua energia potencial é mgz. Como z < h a sua energia potencial diminui. Se houver conservaçaõ de energia, a energia cinética, associada ao movimento, será: Ec = mgh − mgz.

(2.3)

Usando a defini¸ca˜o de energia cin´etica,

v2 = mgh − mgz. 2

(2.4)

Resolvendo esta equa¸ca˜o em ordem a v 2 , obtemos v 2 = 2g(h − z).

(2.5)

Chegamos, então, a uma previsão concreta: um corpo, em queda livre a` superf´ıcie da Terra, partindo do repouso e depois de cair uma distância d = h − z, tem uma velocidade v 2 = 2gd.

. Actividade 2.4

Esta rela¸caõ é investigada experimentalmente na Actividade 2.4, sobre queda livre. A sua confirma¸caõ refor¸ca a coerência das defini¸co˜es que demos de trabalho, energia potencial e energia cinética. Em palavras mais simples: tudo bate certo. A expressão da energia cinética de um corpo de massa m e velocidade v é, então: 1 Ec = mv 2 . 2

(2.6)

As expressões das Eqs.(2.3) e (2.6) têm uma natureza muito diferente. Ambas são “fórmulas”, mas têm estatutos muito diferentes. A segunda é uma expressão de validade geral—a defini¸caõ de energia cinética—enquanto a primeira, como express˜ ao para energia cinética, aplica-se apenas a um corpo em queda livre. Exprime a conserva¸caõ de energia nessa situa¸caõ particular e não pode ser confundida com uma defini¸caõ de energia cinética.

´ 2.4. ENERGIA CINETICA

2.4.2

O teorema trabalho-energia cin´ etica

Nas seçco˜es anteriores considerámos dois casos: a) A for¸ca externa é equilibrada pelo peso e o corpo desloca-se muito lentamente. O trabalho da for¸ca externa é a varia¸caõ de energia que, neste caso, é apenas energia potencial, ∆Ep = wext . b) A for¸ca externa é nula e o corpo move-se apenas sob açcaõ do seu peso. A energia total não varia, ∆Ec + ∆Ep = 0, o que significa que a varia¸caõ de energia cinética é simétrica da varia¸caõ de energia potencial, ∆Ec = −∆Ep . No caso geral, a for¸ca externa não é nula, nem oposta ao peso. No movimento do corpo sob a açcaõ do seu peso e da for¸ca externa a velocidade varia. A varia¸caõ de energia do corpo tem um termo cinético e um termo potencial. O trabalho da for¸ca externa é a energia transferida para o sistema, ou seja, a varia¸caõ da energia total: ∆Ec + ∆Ep = wext . Se quisermos saber a varia¸caõ de energia cinética, ∆Ec = wext − ∆Ep .

(2.7)

Vimos atrás, na Eq. 2.2 da página 31, que a varia¸caõ de energia potencial se pode exprimir em termos do trabalho do peso, w int , como, ∆Ep = −wint . Substituindo este resultado na Eq. 2.7, obtemos ∆Ec = wext + wint . A varia¸caõ de energia cinética é igual ao trabalho de todas as forças aplicadas ao corpo. Este resultado é conhecido como o teorema do trabalho-energia cin´ etica.

CAP´ITULO 2. TRABALHO E ENERGIA

2.5

For¸ cas dissipativas

2.5.1

Figura 2.9: Um corpo que se desloca num fluido fica sujeito a uma for¸ca de sentido oposto ao seu deslocamento.

Resistˆ encia do ar

Temos vindo a admitir que a soma das energias cinética e potencial grav´ıtica de um corpo em queda livre era conservada. Isto é verdade se o sistema corpo + campo grav´ ıtico da Terra não interagir com outros sistemas. Na realidade, o corpo move-se na atmosfera e interage com ela. Essa interaçcaõ manifesta-se na for¸ca de resistência do ar. Se esta for¸ca realizar trabalho, existirá uma transferência de energia entre o corpo e o ar da atmosfera. Quando um corpo se desloca relativamente a um fluido, como o ar ou a a´gua, este exerce sobre ele uma for¸ca oposta ao deslocamento do corpo. Quem tenha posto a mão fora de um automóvel em movimento, sabe que essa for¸ca pode ser considerável. Se a for¸ca tem sentido oposto ao do deslocamento, o seu trabalho sobre o corpo é negativo: wr < 0. Voltemos a considerar o caso da queda de um corpo num campo grav´ıtico, incluindo agora o efeito da resistência do ar. A energia inicial é mgh (corpo em repouso a` altura h). Quando está a` altura z será, 1 mv 2 + mgz. 2 Mas como houve interaçcaõ com o ar a energia do corpo variou. A energia transferida foi o trabalho da for¸ca de resistência do ar. Então: Energia final = Energia inicial + trabalho de resist^ encia do ar. Isto é:

1 mv 2 + mgz = mgh + wr . (2.8) 2 Como wr < 0 a energia do corpo diminui. Podemos reescrever esta equa¸ca˜o usando o m´odulo de wr , uma quantidade positiva. Como wr = − |wr |, 1 mv 2 = mg(h − z) − |wr | . 2

2.5. FORCAS ¸ DISSIPATIVAS

O primeiro termo do segundo membro é o que ter´ıamos se não houvesse interaçcaõ com o ar: a velocidade de queda é menor do que seria na ausência da atmosfera. Só podemos ignorar o termo de resistência do ar se w r for muito menor que a varia¸caõ de energia potencial. Para um berlinde ou uma bola de ping-pong, numa queda até um metro, essa aproxima¸caõ é razoável. Para uma folha de papel ou uma pena, é muito má.

2.5.2

For¸ cas dissipativas

Poderemos fazer com a for¸ca de resistência do ar o que fizemos com o peso? Considerá-la como um for¸ca interna de um sistema que agora inclui o ar e definir mais um termo de energia potencial, Er , de modo que ∆Er = −wr ? (2.9) Se assim fosse, a Eq. 2.8 teria a forma ∆Ec + ∆Ep + ∆Er = 0, já que ∆Ec = mv 2 /2 (velocidade inicial nula) e ∆Ep = mg(z − h). Voltar´ıamos a ter um sistema em que a energia se conserva. Não é poss´ıvel definir uma tal energia potencial E r . A razão é a seguinte. A energia potencial está associada a uma determinada posi¸caõ do corpo. Se o corpo se desloca, mas volta a` mesma posi¸caõ, a sua varia¸caõ de energia potencial é nula. Mas no caso da for¸ca de resistência do ar o trabalho correspondente não é nulo. Quando o corpo desce, o trabalho é negativo, pois a for¸ca é oposta ao deslocamento. Quando o corpo volta a subir, o trabalho ainda é negativo pois a for¸ca continua a ser oposta ao deslocamento. A soma de duas grandezas negativas não pode dar zero! A igualdade da Eq. 2.9 seria violada pois o primeiro membro seria nulo e o segundo positivo. Em resumo, a interaçcaõ entre o ar da atmosfera e um corpo que nele se desloca não pode exprimir-se através de uma energia potencial, como no caso do peso. For¸cas como a resistência do ar dizem-se dissipativas. Significa isto que quando há for¸cas dissipativas a energia não se conserva?

CAP´ITULO 2. TRABALHO E ENERGIA

Não esque¸camos que a resistência do ar é uma interaçcaõ entre dois sistemas. De facto, a energia do corpo no campo grav´ıtico da Terra não se conserva; mas apenas porque parte da respectiva energia é transferida para outro sistema. Mais tarde veremos como se manifesta essa energia transferida. Para já, a u ´ nica coisa que sabemos é que não tem uma rela¸caõ simples com a posi¸caõ do corpo, como acontece no caso do campo grav´ıtico. Por isso não é poss´ıvel definir uma energia potencial associada a esta for¸ca.

2.6 2.6.1

Estudo de um caso: Bungee Jumping O que ´ e um modelo?

Para ilustrar os conceitos anteriores, vamos estudar, do ponto de vista de transferências de energia, um dos desportos radicais mais populares: o salto com elásticos ou bungee jumping. Um salto real é um processo bem complicado. A resistência do ar está presente, o saltador não se move só na direçcaõ vertical, a orienta¸caõ do seu corpo pode variar. Por isso vamos construir um modelo deste processo: uma representa¸caõ simplificada que esperamos permita compreender os aspectos gerais mais salientes deste tipo de salto. Supomos que a energia do saltador no campo grav´ıtico se pode escrever na forma: 1 (2.10) Es = mv 2 + mgz 2 em que a coordenada z mede a sua altura em rela¸caõ ao solo. Ignoramos as suas varia¸co˜es de posi¸caõ (deitado, de pé, de cabe¸ca para baixo), o seu esbracejar, o facto de também se poder movimentar na horizontal e, ainda, a resistência do ar. Mas há, seguramente, um sistema que não podemos ignorar: os elásticos! Se os ignorássemos, chegar´ıamos a` conclusão que o saltador se estatelaria no chão sem apelo nem agravo: um resultado muito diferente do observado em (quase) todos os saltos. Na parte inicial da queda os elásticos nada fazem. Depois de o saltador cair uma distância igual ao comprimento de repouso (sem tensão) dos elásticos, estes come¸cam a distender-se. A sua energia aumenta. Podemos inclu´ı-los no nosso sistema definindo uma energia potencial dos elásticos E el (z): E = Es + Eel (z).

(2.11)

2.6. ESTUDO DE UM CASO: BUNGEE JUMPING

Em resumo: o nosso modelo consiste em supor que: • o saltador se move na vertical apenas; • a sua energia ´e dada pelas Eqs. 2.11 e 2.10; • a energia se conserva. Precisamos, no entanto, de saber como exprimir E el (z).

2.6.2

For¸ ca el´ astica

. Actividade 2.5

Ao esticarmos um elástico temos que exercer for¸cas nas suas pontas. As for¸cas têm o sentido em que as respectivas pontas se deslocam. Logo realizamos um trabalho positivo sobre o elástico—a sua energia aumenta. Ao deixarmos o elástico contrair-se de novo, lentamente, a for¸ca que exercemos tem sentido oposto ao deslocamento. O trabalho que realizamos é negativo: o elástico transfere energia para nós e a sua energia diminui. Se chamarmos x ao aumento de comprimento do elástico, relativamente ao seu comprimento sem for¸cas aplicadas, teremos uma energia Eel (x), que aumenta com o valor de x. Podemos considerar que Eel (0) = 0. Como o princ´ıpio de conserva¸caõ de energia envolve apenas varia¸co ˜es de energia o valor que tomamos para Eel (0) pode ser qualquer um. Quando esticamos lentamente o elástico, a for¸ca que temos que exercer é tanto maior quanto maior for a deforma¸caõ do elástico. Desde que não seja esticado para além de um certo limite, o elástico comporta-se como uma mola. A for¸ca necessária para o manter distendido de um comprimento x é proporcional a x, Fext = kx. A for¸ca que o próprio elástico exerce sobre o corpo que o distende é oposta: F = −kx. Na Actividade 2.5, discutimos como calcular o trabalho de for¸cas cujo valor varia durante o deslocamento. No caso presente, o gráfico da componente da for¸ca externa na direçcaõ do deslocamento tem a forma da Fig. 2.10. O trabalho realizado pela for¸ca externa é a a´rea do triângulo sombreado: Eel (x) = w =

1 1 kx × x = kx2 . 2 2

Fext Kx

Figura 2.10: For¸ca el´ astica.

CAP´ITULO 2. TRABALHO E ENERGIA

Agora que sabemos calcular a energia de deforma¸caõ elástica, voltemos a` análise do salto bungee.

2.6.3

Energia num salto de bungee.

l z

h1−z h1 = h−l

Figura 2.11: Um salto bungee. O saltador est´ a inicialmente a uma altura h do solo; o comprimento em repouso dos el´ asticos ´e l. Quando a distˆ ancia z ao solo ´e inferior a h1 = h − l , os el´ asticos est˜ ao distendidos.

Comecemos por designar alguns parâmetros. A Fig. 2.11 ajuda a compreender as respectivas defini¸co˜es: • altura inicial relativamente ao solo, h; • comprimento sem tensão dos elásticos, l; • altura acima do solo, em que os elásticos come¸cam a ser esticados, h1 = h − l; • altura do saltador acima do solo durante o salto, z; • peso do saltador, mg; • constante de for¸ca dos elásticos, k. Seguindo os passos da Caixa 2.2 da página 41, chegamos a` conclusão que, quando o saltador está a uma distância do solo menor que h1 , a respectiva energia é: 1 1 E = mv 2 + mgz + k (h1 − z)2 2 2

z < h1

Estamos agora em posi¸ca˜o de responder a uma pergunta de interesse capital para o saltador:

2.6. ESTUDO DE UM CASO: BUNGEE JUMPING

Energia num salto com el´ asticos. Como podemos calcular a energia para um salto bungee como o da Fig. 2.11? Tentemos construir a respectiva express˜ ao passo a passo. Quest˜ ao 1: qual é energia potencial inicial ? Resposta: é apenas a energia potencial grav´ıtica do saltador. A sua energia cinética é zero e os el´ asticos n˜ ao est˜ ao distendidos. E0 = mgh Quest˜ ao 2: quando a altura do saltador relativamente ao solo é superior a h1 , qual é a energia do sistema? Resposta: se os el´ asticos n˜ ao se distenderam, a sua energia el´ astica é nula. Se n˜ ao considerarmos a sua varia¸ca õ de energia potencial grav´ıtica (supomos que a respectiva massa é pequena comparada com a do saltador), a energia total ser´ a apenas a soma das energias cinética e potencial grav´ıtica do saltador. E=

1 mv 2 + mgz 2

se z > h1

Quest˜ ao 3: qual é a energia do sistema quando o saltador se encontra abaixo de h1 ? Resposta: Agora os el´ asticos est˜ ao distendidos de uma distˆ ancia que é h1 − z (ver Fig. 2.11c). A respectiva energia é Eel =

1 k (h1 − z)2 . 2

A energia total ´e E=

1 1 mv 2 + mgz + k (h1 − z)2 2 2

z < h1

Caixa 2.2: C´ alculo da energia num salto com el´ asticos.

CAP´ITULO 2. TRABALHO E ENERGIA

O saltador p´ara antes de atingir o solo, ou estatela-se? Se a energia se conservar devemos ter: E = E0 ou, 1 1 mv 2 + mgz + k (h1 − z)2 = mgh. 2 2 Podemos daqui calcular a velocidade do saltador quando atinge o solo, em z = 0. Substituindo z = 0: 1 1 mv 2 + kh21 = mgh 2 2 ou, 1 1 mv 2 = mgh − kh21 . 2 2

(2.12)

Esta equa¸caõ só terá uma solu¸caõ se o segundo membro for positivo, pois m > 0 e v 2 > 0. Nesse caso o saltador chega ao chão com uma velocidade: r k v = 2gh − h21 . m Este não é o resultado desejado! Para que o saltador não chegue ao chão e páre antes que isso aconte¸ca, devemos ter 1 mgh − kh21 < 0 2 ou seja, 1 2 kh > mgh. 2 1 Antes de saltar é melhor verificar se isto é verdade! Neste caso a Eq. 2.12 não tem solu¸caõ: isto significa que z = 0 não é uma altura poss´ıvel, pois implicaria uma energia cinética negativa. O saltador pára e volta a subir antes de chegar ao solo. Esta condi¸caõ é muito interessante e muito simples de interpretar. O primeiro membro é a energia elástica quando o saltador chega ao solo (z = 0): os elásticos estão distendidos de h 1 . O segundo membro é a energia inicial. Se kh21 /2 > mgh, não há energia suficiente no sistema para esticar os elásticos até ao chão. Quase pod´ıamos ter adivinhado este resultado!

Â´ NULO. 2.7. QUANDO O TRABALHO E

2.7 2.7.1

Quando o trabalho Â´ e nulo.

ForÂ¸ ca sem deslocamento

Se pegarmos num garrafËœao de aÂ´gua de 5 litros e o levantarmos a` altura do peito, ao fim de poucos minutos os mÂ´ usculos comeÂ¸cam a tremer, as forÂ¸cas faltam e temos de o pousar. De acordo com a nossa definiÂ¸caËœo de trabalho, enquanto seguramos o garrafËœao numa posiÂ¸caËœo fixa, nËœao realizamos trabalho: nËœao transferimos energia. Por que Âé que ficamos cansados, entËœao? Segurar um peso nËœao Âé trabalho? Comecemos por notar que uma mesa ou uma corda amarrada a um gancho no tecto seguram um peso durante o tempo que for necessÂário. NËœao parece haver realmente qualquer â€œconsumoâ€? de energia. Na indÂ´ ustria de construÂ¸caËœo civil Âé habitual deixar cargas suspensas nas gruas durante as interrupÂ¸coËœes de trabalho. Se isso consumisse energia, as empresas pensariam duas vezes antes de adoptar esse procedimento. Mesmo no caso em que somos nÂós a segurar um peso, hÂá um aspecto que Âé claro: nËœao transferimos energia para o peso se nËœao o deslocarmos. A energia do corpo que seguramos nËœao aumenta com o tempo em que o estamos a segurar. A energia que podemos obter, deixando-o cair, por exemplo, nËœao aumenta por ele ter estado elevado mais tempo. A conceito fÂ´Äąsico de trabalho pretende medir a transferË†encia de energia para o corpo sobre o qual actua a forÂ¸ca. Se nËœao houver deslocamento essa transferË†encia Âé nula. No entanto, cansamo-nos. O esforÂ¸co muscular, mesmo sem deslocamento, consome, efectivamente, reservas energÂéticas do corpo. PorquË†e? A razËœao tem a ver com a maneira como os mÂ´ usculos funcionam. As cÂélulas musculares, chamadas fibras, tË†em a forma de cilindros alongados e podem contrair-se exercendo forÂ¸cas nas extremidades. Mas sËœao um complexo sistema bioquÂ´Äąmico, cujo funcionamento Âé muito diferente de uma mola ou de um elÂástico. A contraÂ¸caËœo requer movimento de filamentos de proteÂ´Äąna no interior da cÂélula e isso requer energia. A contracÂ¸caËœo Âé apenas temporÂária e a fibra rapidamente perde a tensËœao. Para manter um mÂ´ usculo contraÂ´Äądo, mesmo sem deslocamento, como quando seguramos um peso, Âé necessÂário contrair regularmente novas fibras para substituir as Â´ este processo que consome a energia do corpo. que se distendem. E Mas essa energia nËœao Âé transferida para a carga que o mÂ´ usculo

10 kg Figura 2.12: Quando seguramos um peso, sem o mover, nËœ ao fazemos trabalho?

CAP´ITULO 2. TRABALHO E ENERGIA

sustenta: acaba distribu´ıda no nosso corpo e pode manifestarse por um aumento de temperatura local. Por isso é correcto dizer que o trabalho realizado sobre a carga é nulo. No artigo Funcionamento dos m´ usculos [3], dispon´ıvel no portal do projecto Faraday, está uma explica¸caõ mais detalhada deste processo.

2.7.2

For¸ cas perpendiculares ao deslocamento

Até ao momento só considerámos o cálculo de trabalho em situa¸co˜es em que a for¸ca tem a direçcaõ do deslocamento. Mas nem sempre isso acontece. Nos dois exemplos seguintes, as for¸cas são perpendiculares aos deslocamentos. Como veremos, nesse caso o trabalho é nulo. Movimentos de planetas ou sat´ elites. C

B θ θ

Sol

A Terra

Figura 2.13: Os trabalhos realizados entre A e B e entre B e C s˜ ao iguais. Ser˜ ao diferentes de zero?

Sabemos que os planetas se movem em torno do Sol sob a açcaõ da for¸ca grav´ıtica. As o´rbitas dos planetas são quase circulares, com centro no centro do Sol. No 9o ano aprendemos que a for¸ca grav´ıtica que o Sol exerce nos planetas tem a direçcaõ do raio da o´rbita, com sentido dirigido para o centro do Sol. O deslocamento do planeta é, em cada instante, perpendicular a` for¸ca. Será que esta for¸ca realiza trabalho? Reparemos no esquema da Fig 2.13. Suponhamos que entre os dois pontos A e B a for¸ca grav´ıtica do Sol realizava um trabalho

´ NULO. 2.7. QUANDO O TRABALHO E

w sobre o planeta. Evidentemente, o trabalho entre B e C seria o mesmo, uma vez que o aˆngulo percorrido é o mesmo, o valor da for¸ca é o mesmo, o aˆngulo com o deslocamento também, etc. O trabalho numa rota¸caõ completa seria W =w×

360 θ

pois 360/θ é o n´ umero de aˆngulos iguais a AB (θ) em que podemos dividir o arco completo (360o ). Mas, para uma revolu¸caõ completa, o trabalho realizado tem que ser nulo; o planeta ocupa a mesma posi¸caõ com a mesma velocidade. Logo W = 0 e w = 0. Como os pontos A e B são quaisquer, temos que concluir que o trabalho de uma for¸ca perpendicular ao deslocamento é nulo.

Movimento horizontal de um corpo sobre uma superf´ıcie. Quando um carrinho se desloca sobre o tampo horizontal de uma mesa o seu peso é cancelado pela reaçcaõ normal da mesa. Se não houver atrito, estas são as u ´ nicas for¸cas sobre o carrinho. Será que realizam trabalho? A pergunta parece pouco interessante. Mesmo que a resposta fosse sim, os trabalhos do peso e da reaçcaõ da mesa devem cancelar-se, pois as for¸cas têm sentidos opostos e o mesmo valor. Por isso a energia do carrinho não deve variar. Com efeito, se não houver atrito, ele mantém sempre a mesma velocidade. No entanto, ao contrário do que parece a` primeira vista, supor que os trabalhos do peso, wp , e da reaçcaõ normal, wn , são diferentes de zero, mesmo que a sua soma seja zero, w p + wn = 0, tem consequências. O peso é uma for¸ca exercida pela Terra; a reaçcaõ normal é exercida pela mesa. Se, por exemplo, w p > 0, há transferência de energia entre a Terra e o carrinho. Sendo w n = −wp , teremos wn < 0: isto implica uma transferência de energia entre o carrinho e a mesa. Ou seja, haveria energia a passar da Terra para o carrinho e deste para a mesa. Mas não há qualquer evidência dessa passagem; não há altera¸caõ do estado da mesa que indique que está a receber energia quando um carrinho desliza sobre ela sem atrito. Estes dois exemplos permitem-nos concluir com confian¸ca:

#"! #"! #"! #"! #"! #"! #"! #"! #"! #"! #"! #"! #"! #"! #"! #"! #"! #"! #"! #"! #"! #"! #"! #"! #"! #"! #"! #"! #"! #"! #"! #! P

Figura 2.14: O trabalho da reac¸ca ˜o normal da mesa e do peso ser˜ ao diferentes de zero?

CAP´ITULO 2. TRABALHO E ENERGIA

Quando uma for¸ ca ´ e perpendicular ao deslocamento o trabalho realizado pela for¸ca ´e nulo.

2.8

For¸ cas e deslocamentos n˜ ao colineares

Discutimos os casos de for¸cas colineares e ortogonais a deslocamentos. Para completar, podemos agora considerar o caso geral em que a for¸ca e o deslocamento definem um aˆngulo qualquer. Este t´opico ser´a estudado de novo, com mais pormenor, no 11 o ano.

2.8.1

Trabalho e energia num “escorrega”

Os parques aquáticos têm como principal motivo de atraçcaõ os “escorregas”. Um fio de a´gua reduz o atrito entre a superf´ıcie do “escorrega” e os seus utilizadores, que podem assim atingir velocidades suficientemente elevadas para fazer correr a adrenalina. Mas qual é realmente a velocidade que se pode atingir ao descer um escorrega? Tomemos o comprimento do escorrega como sendo d e o desn´ıvel entre o in´ıcio e o fim como sendo h (ver Fig. 2.15). Valores t´ıpicos são h = 8 m e d = 20 m. Comecemos por considerar este problema do ponto de vista de conserva¸caõ de energia. N P cosθ

θ h

θ d

&%$ &%$ &%$ &%$ &%$ &%$ &%$ &%$ &%$ &%$ &%$ &%$ &%$ &%$ &%$ &%$ &%$ &%$ &%$ &%$ &%$ &%$ &%$ &%$ &%$ &%$ &%$ &%$ &%$ &%$ &%$ &%$ &%$ &%$ &%$ '%'%'%&$ (%(%''(%' (%(%''(%' (%(%''(%' (%(%''(%' (%(%''(%' (%(%''(%' (%(%''(%' (%(%''(%' (%(%''(%' (%(%''(%' (%(%''(%' ((''(' '%'%'%(%(%''(%' (%(%''(%' (%(%''(%' (%(%''(%' (%(%''(%' (%(%''(%' (%(%''(%' (%(%''(%' (%(%''(%' (%(%''(%' (%(%''(%' ((''(' '%'%'%(%'(%'(%' (%'(%'(%' (%'(%'(%' (%'(%'(%' (%'(%'(%' (%'(%'(%' (%'(%'(%' (%'(%'(%' (%'(%'(%' (%'(%'(%' (%'(%'(%' ('('(' '%'%'%(%'(%'(%' (%'(%'(%' (%'(%'(%' (%'(%'(%' (%'(%'(%' (%'(%'(%' (%'(%'(%' (%'(%'(%' (%'(%'(%' (%'(%'(%' (%'(%'(%' ('('(' Figura 2.15: Num escorrega as for¸cas sobre o utilizador s˜ ao a reac¸ca ˜o normal da superf´ıcie e o peso do cliente. Os escorregas s˜ ao desenhados para reduzir o atrito, a componente da for¸ca da superf´ıcie paralela a esta.

˜ COLINEARES 47 2.8. FORCAS ¸ E DESLOCAMENTOS NAO Sendo a velocidade inicial nula, a energia inicial é potencial grav´ıtica. Tomando a altura final como n´ıvel de referência (z f = 0), a energia inicial é E = mgh em que m é a massa do utilizador do “escorrega”. No fim da descida a energia é 1 1 E = mv 2 + mgzf = mv 2 . 2 2 Se a energia se conserva, teremos 1 mv 2 = mgh 2 ou v 2 = 2gh. Para h = 10 m obtemos v = 14, 1 m s −1 = 51 km h−1 . Trabalho na descida de um escorrega O cálculo anterior, que como veremos está efectivamente correcto, pode, no entanto, levantar algumas interroga¸co˜es: • Neste movimento há deslocamento horizontal, não apenas vertical. A expressão da energia potencial grav´ıtica, E p = mgz, continua a ser válida quando as coordenadas x e/ou y variam também, além de z? • A for¸ca exercida pela superf´ıcie do escorrega não realiza trabalho? Se a resposta for sim, a energia total da pessoa que desce, potencial grav´ıtica mais cinética, varia. Comecemos por responder a` segunda pergunta. Uma for¸ca, tal como um deslocamento rectil´ıneo, é caracterizada não apenas por um módulo (intensidade), mas também por uma direçcaõ e um sentido: é uma grandeza vectorial. Isto significa, entre outras coisas, que podemos decompor uma for¸ca segundo duas direçco˜es arbitrárias, desde que não sejam colineares. Por exemplo, a for¸ca F~ da Fig. 2.16 pode ser decomposta nas for¸cas F~k e F~⊥ , usando o método habitual de projeçcaõ de vectores: o efeito da for¸ca F~ é o mesmo que teriam, em conjunto, as for¸cas F~k e F~⊥ . Quando um corpo desliza sobre uma superf´ıcie esta exerce sobre o corpo uma for¸ca com duas componentes:

F θ

F||

Figura 2.16: Decomposi¸ca ˜o de uma for¸ca segundo direc¸co ˜es perpendiculares.

CAP´ITULO 2. TRABALHO E ENERGIA

i) uma perpendicular a` superf´ıcie, que impede o corpo de se movimentar para dentro da superf´ıcie, chamada reaçcaõ normal. O seu sentido (a não ser que a superf´ıcie tenha cola) é para o exterior. ii) uma paralela a` superf´ıcie, com sentido oposto ao deslocamento, a for¸ca de atrito. N

)) * )) * )) * )) * )) * )) * )) * )) * )) * )) * )) * )) * )) * )) * )) * )) *)) * )* ) * )* ) * )* ) * )* ) * )) * )) * )) * )) * )) * )) * )) * )) * )) F* )) a * )) * * )) * )) * )) * )) * )) **)) *) *) * )* ) * )* ) * )* ) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ) * ) * ) * ) * ) * ) * ) * ) * ) * ) * ) * ) * ) * ) * ) * ) **) * )) * )) * )) v* )) * )) * )) * )) * )) * )) * )) * )) * )) * )) * )) * )) * )) * )) * )) * )) * )) *)) * * ) * * ) * * ) * * ) * * ) * ) * ) * ) * ) * ) * ) * ) * ) * ) * ) * * ) * ) * ) * ) * ) **) *) * ) * ) * ) * * * * * * * * * * * * * * * *

Os escorregas são desenhados para reduzir o mais poss´ıvel esta segunda componente. No caso ideal só existe a reaçcaõ normal e, como vimos atrás, uma for¸ca perpendicular ao deslocamento não realiza trabalho.

Figura 2.17: A for¸ca de contacto que a superf´ıcie exerce sobre o corpo tem uma componente normal, ~ , e uma componente N paralela a ` superf´ıcie de contacto, F~a , a for¸ca de atrito.

Sendo assim, só o peso do utilizador do escorrega realiza trabalho. Se decompusermos o peso segundo a direçcaõ do deslocamento, P~k , e segundo a direçcaõ perpendicular, P~⊥ , s´ o a primeira realiza ~ trabalho. Como Pk é colinear com o deslocamento já sabemos calcular o respectivo trabalho. Se for θ o aˆngulo entre a vertical e o plano do escorrega (ver − → Fig. 2.15), o módulo de Pk é P cos θ = mg cos θ. O trabalho realizado pelo peso é wp = Pk × d = mg cos θ × d. Como cos θ = h/d obtemos wp = mgh. A varia¸caõ de energia cinética é o trabalho do peso, já que a reacçaõ normal da superf´ıcie não realiza trabalho, 1 mv 2 = mgh. 2 Este é exactamente o resultado que t´ınhamos obtido por conserva¸caõ de energia. A expressão da energia potencial grav´ıtica E p = mgz continua a ser válida no caso geral em que o deslocamento não é na vertical. O trabalho da componente do peso paralela ao deslocamento é mgd cos θ, em que θ é o aˆngulo entre o deslocamento e a direçcaõ vertical, sentido descendente. Ora, d cos θ = −∆z, o simétrico da varia¸caõ da altura, o que dá wp = mg∆z. Se recordarmos que wp = −∆Ep , vemos que de facto ∆Ep = mg∆z.

˜ COLINEARES 49 2.8. FORCAS ¸ E DESLOCAMENTOS NAO

θ ∆r

+-, +-, +-, +-, +-, +-, +-, +-, +-, +-, +-, +-, +-, +-, +-, +-, +-, +-, +-, +-, +-, +-, +-, +-, +-, +-, +-, +-, +-, +-, +-, -, + -, + -, + -, + -, + -, + -, + -, + -, + -, + -, + -, + -, + -, + -, + -, + -, + -, + -, + -, + -, + -, + -, + -, + -, + -, + -, + -, + -, + -, + -, + -+-+

(a)

180−θ

∆r

., ./, ./, ./, ./, ./, ./, ./, ./, ./, ./, ./, ./, ./, ./, ./, ./, ./, ./, ./, ./, ./, ./, ./, ./, ./, ./, ./, ./, ./, ./, ./, .,/, . /, . /, . /, . /, . /, . /, . /, . /, . /, . /, . /, . /, . /, . /, . /, . /, . /, . /, . /, . /, . /, . /, . /, . /, . /, . /, . /, . /, . /, . /, . /./. (b)

Figura 2.18: No caso (a) o trabalho da for¸ca ´e positivo (o carrinho recebe energia), no caso (b) negativo (cede energia). Em qualquer dos casos ´e dado por F ∆r cos θ em que F e ∆r s˜ ao os m´ odulos da for¸ca e do deslocamento, respectivamente.

2.8.2

Trabalho de for¸ cas n˜ ao colineares com deslocamento

Este exemplo mostrou-nos como podemos calcular o trabalho quando as for¸cas e os deslocamentos não são colineares. Temos apenas de calcular o trabalho da componente da for¸ca na direçcaõ do deslocamento. No caso da Fig. 2.18-a o módulo da projeçcaõ da for¸ca na direçcaõ do deslocamento, Fk , é Fk = F cos θ em que F é o módulo da for¸ca. O trabalho da for¸ca é (F cos θ)∆r = F ∆r cos θ em que ∆r é o módulo do deslocamento. No segundo caso, o módulo da projeçcaõ da for¸ca na direçcaõ do deslocamento é Fk = F cos(180 − θ) = −F cos θ (cos θ é negativo, pois θ > 90o ). O trabalho é w = −F cos(180 − θ)∆r = F ∆r cos θ.

CAP´ITULO 2. TRABALHO E ENERGIA

Em resumo, sendo θ o aˆngulo entre uma for¸ca constante de módulo F e o deslocamento de módulo ∆r, o trabalho da for¸ca é w = F ∆r cos θ. Aten¸caõ: esta defini¸caõ só está correcta se θ for o aˆngulo entre os sentidos da for¸ca e do deslocamento (ver Fig. 2.18). Se alguma vez isto parecer confuso, basta recordar: se a for¸ca contribuir para aumentar a velocidade na direçcaõ do deslocamento, o trabalho é positivo e a energia aumenta. Se a for¸ca retardar o movimento, o trabalho é negativo e a energia diminui.

2.9 2.9.1

Actividades, quest˜ oes e problemas Actividades

2.1. Lan¸ camento de bola Atirar uma bola (ténis) e apanhá-la outra vez, suavemente. (a) Quais são os sistemas em interaçcaõ? (b) Quando é que a bola recebe energia da mão e quando é que cede? (c) Representar num gráfico (esquemático) a velocidade e a energia da bola durante a interaçcaõ. (d) Em alguns momentos da interaçcaõ, representar em esquema as for¸cas da mão sobre a bola. (e) Identificar o sentido da transferência de energia entre a mão e a bola no lan¸camento e na recep¸caõ. Relacionar o sentido de transferência de energia com os sentidos relativos de for¸ca e deslocamento no lan¸camento e na recep¸caõ da bola. 2.2. Compress˜ ao/distens˜ ao de uma mola Pegar numa mola com as mãos, distendê-la e comprimi-la. (a) A energia da mola aumentou ou diminuiu? (b) Qual o sistema que transferiu energia para a mola? (c) Qual a direçcaõ e o sentido da for¸ca sobre a mola? (d) Qual a direçcaõ e o sentido do deslocamento do ponto onde foi aplicada a for¸ca?

˜ 2.9. ACTIVIDADES, QUESTOES E PROBLEMAS

(e) Relacionar as respostas a`s al´ıneas anteriores com o conceito de trabalho como transferência de energia. 2.3. M´ aquinas simples Explora¸caõ do funcionamento de máquinas simples do ponto de vista de conserva¸caõ de energia. Ver Ficha de actividade A4. 2.4. Conserva¸ c˜ ao de energia em queda livre. Medi¸caõ da velocidade em fun¸caõ da altura de queda de um corpo. Ver Ficha de Actividade A5. 2.5. Trabalho de for¸ cas vari´ aveis Como se calcula o trabalho de uma for¸ca se esta variar durante o deslocamento? Ver Ficha de Actividade A6.

2.9.2

Problemas

Nos problemas seguintes, a não ser que explicitamente indicado, tome o valor da acelera¸caõ da gravidade g = 10 m s −2 . 2.1. Joule-lunar Um joule-lunar, unidade inventada pelo Dr. E. X. Cêntrico, é a energia necessária para elevar um peso de um newton, de uma distância de um metro na superf´ıcie da Lua (peso medido na Lua, onde g ≈ 1, 7 m s−2 ). (a) Quantos joule vale um joule-lunar? (b) Se o Dr. E. X. Cêntrico tivesse definido o joule-lunar como a energia necessária para elevar 100 g de um metro na superf´ıcie da Lua, quantos joule valeria? 2.2. Trabalho na Lua Elevar um dado corpo na Terra necessita de um trabalho de 10 kJ. Que trabalho é necessário para o elevar da mesma distância na Lua? (glua ≈ 1, 7 m s−2 ). 2.3. Estimativas de energias cin´ eticas. Estimar energias cinéticas de transla¸caõ de diversos corpos. Para fazer algumas destas estimativas pode ser necessário pesquisar alguns valores de massas e velocidades. O objectivo não é ter um valor exacto mas uma ordem de grandeza. (a) uma bola de um desporto (ténis, futebol, vólei, etc);

CAPÍTULO 2. TRABALHO E ENERGIA (b) uma bala de pistola; (c) um atleta em corrida de 100 m; (d) um ciclista e um automóvel ligeiro, ambos a 40 km h −1 ; (e) um meteoro de 1 kg com a velocidade de escape 11 km s −1 (a velocidade a que atingiria a superf´ıcie da Terra se ca´ısse de uma distância infinita no campo grav´ıtico da Terra); (f) a Terra no seu movimento orbital; (g) um protão a 1/10 da velocidade da luz;

2.4. Empurrar um carro ´ muito mais dif´ıcil pôr um automóvel em movimento, parE tindo do repouso, do que mantê-lo em movimento, com uma velocidade constante. (a) Qual é o trabalho necessário para pôr o automóvel em movimento (v ≈ 1, 5 m s−1 , m = 1000 kg), partindo do repouso, se ignorarmos os atritos? (b) Qual é o trabalho necessário para manter o automóvel em movimento, se ignorarmos os atritos? 2.5. Saltos plataforma de 10 m Calcular a velocidade com que um saltador de plataforma de 10 m entra na a´gua. Supor que cai na vertical, sem velocidade inicial, e que tem uma massa de 70 kg. E se for uma crian¸ca de massa 45 kg? 2.6. Queda de bola de ping-pong Numa medi¸caõ cuidadosa, verifica-se que a velocidade de uma bola de ping-pong (m = 2 g), ao fim de uma queda de 2 m de altura, é de 5, 66 m s−1 (g = 9, 8 m s−1 ). (a) Qual seria a velocidade se houvesse conserva¸caõ de energia, potencial grav´ıtica mais cinética? (b) Qual foi o trabalho das for¸cas de resistência do ar durante a queda? 2.7. Velocidade de proj´ ecteis Um revólver, como os usados pela pol´ıcia norte-americana, dispara projécteis de massa m = 7, 4 g com uma velocidade de sa´ıda da arma de 303 m s−1 . (a) Qual é a energia cinética de uma bala a` sa´ıda da arma?

˜ 2.9. ACTIVIDADES, QUESTOES E PROBLEMAS

(b) Se a bala for disparada na vertical e pudermos desprezar a resistência do ar, que altitude atingiria? Ao cair, seria mais ou menos perigosa que ao sair da arma? (c) Na prática, o efeito da resistência do ar, é muito importante para projécteis a altas velocidades: a bala só sobe cerca de 500 m. Qual foi o trabalho das for¸cas de resistência do ar na subida? Obter uma estimativa, por excesso, da velocidade da bala ao atingir de novo o solo. 2.8. Distˆ ancia de paragem A distância de travagem de um ve´ıculo é aproximadamente proporcional a` respectiva energia cinética. Se um automóvel a 30 km h−1 consegue parar em 10 m, qual é a distância de paragem se a sua velocidade for o dobro, 60 km h −1 ? 2.9. Potˆ encia de uma atleta Ao correr, uma atleta consome parte das suas reservas energéticas. A energia por unidade de tempo que o seu corpo disponibiliza para a tarefa de corrida é a potência da atleta. Seja essa potência P em esfor¸co máximo, para uma atleta de 55 kg. (a) Se correr em esfor¸co máximo 400 m em trajecto plano, ou os mesmos 400 m com uma subida de 20 m em qual dos casos dispenderá a atleta mais energia? (b) Que energia adicional tem que fornecer para elevar a sua altura de 20 m relativamente a` posi¸caõ inicial ? (c) Se a potência em esfor¸co máximo é a mesma nas duas corridas, como pode a energia dispendida aumentar? (d) A atleta demora mais 9 s na segunda corrida do que na primeira. Qual é sua potência de esfor¸co máximo? 2.10. Energia Hidroel´ ectrica Numa barragem hidroeléctrica é armazenada a´gua a uma certa altitude. Para produzir energia a a´gua cai para uma cota mais baixa e acciona as turbinas. A energia de rota¸caõ das turbinas origina corrente eléctrica. Temos um exemplo claro de energia potencial grav´ıtica como “fonte” de energia. (a) Se o desn´ıvel entre a cota inicial e final for de 50 m, qual é a máxima energia que é poss´ıvel produzir por m 3 de a´gua descarregada?

CAPÍTULO 2. TRABALHO E ENERGIA (b) Para um caudal de descarga de 200 m 3 s−1 qual é a energia máxima produzida por segundo? Qual a potência em MW? (c) Por que é que se usou a designa¸caõ m´ axima nas al´ıneas a) e b)? (d) No cap´ıtulo 1, refere-se que são necessários em média 15 m3 de a´gua por quilowatt-hora (kWh) de energia produzida. A que altura de queda efectiva corresponde este valor?

2.11. O salto bungee (1) Num salto bungee podemos distinguir as seguintes fases abaixo enumeradas. Para cada uma delas discutir as varia¸co˜es de todos os termos que constituem a energia total do sistema: se aumentam, se diminuem, ou se se mantêm constantes. Fase 1: desde o in´ıcio até os elásticos come¸carem a esticar. Fase 2: desde que os elásticos come¸cam a esticar até terminar a queda. Fase 3: durante o per´ıodo em que os elásticos se contraem de novo até ao seu comprimento sem tensão. Fase 4: em que o saltador está de novo apenas sujeito a` for¸ca grav´ıtica. 2.12. O salto bungee (2) Quando o saltador chega a` posi¸caõ em que os elásticos come¸cam a esticar (altura h1 , ver Fig. 2.11), a sua velocidade come¸ca a dominuir, continua a aumentar ou passa a ser constante? Justificar. 2.13. O salto bungee (3) Um elástico bungee com uma constante elástica k = 100 N m −1 tem um comprimento, sem tensão, de 10 m. O elástico está suspenso a 30 m de altura.

Figura 2.19: O arqueiro puxa a seta de uma distˆ ancia x.

(a) O salto é seguro para uma crian¸ca com uma massa de 40 kg? (b) E para um adulto com massa de 80 kg? 2.14. O arco e flecha A rela¸caõ entre o módulo da for¸ca que um arqueiro exerce, F , e a distância, x, que deslocou para trás a corda do arco é quase linear, F = kx. Dados de um arco concreto são

˜ 2.9. ACTIVIDADES, QUESTOES E PROBLEMAS

F = 171 N para um deslocamento de 43 cm. A massa de uma flecha é de 20, 1 g [7]. (a) Qual é o trabalho realizado pelo arqueiro para tensionar o arco? (b) Se a flecha partir com toda a energia elástica armazenada no arco, com que velocidade partirá? (c) Na realidade a eficiência de uma arco moderno de competi¸caõ anda a` volta de 70%. Isto é, só cerca de 70% da energia fornecida no acto de tensionar o arco acaba como energia cinética da flecha. Qual é a velocidade de sa´ıda da flecha? 2.15. Saltos de esqui Os esquiadores podem sair de uma rampa de salto de esqui a uma velocidade de cerca de 90 km h−1 . O aˆngulo da rampa com a horizontal é cerca de 30o . Com estes dados e supondo que a for¸ca de atrito da rampa é desprezável calcular: (a) O desn´ıvel entre a posi¸caõ de partida e a posi¸caõ onde é iniciado o salto, h. (b) O comprimento da rampa de sa´ıda; (c) Que dado é necessário para poder calcular o trabalho do peso do esquiador durante a descida da rampa para o salto? 2.16. Um avião, voando 300 m de altitude, a uma velocidade de 400 km h−1 , larga uma bomba de 200 kg. (a) Qual é a energia cinética da bomba ao ser largada? (b) Qual é a energia cinética da bomba ao atingir o solo, se ignorarmos a resistência do ar? 2.17. Saltos de mota Um motociclista executa um salto, subindo um rampa que faz um aˆngulo de 15o com a horizontal. A sua velocidade a` sa´ıda da rampa é de 90 km h−1 . No seu voo, sobe até 2 m acima do topo da rampa (medidos na vertical). Que velocidade tem o motociclista ao passar a essa altura máxima? 2.18. Mentira desmascarada por um f´ısico. Um condutor causou um acidente ao entrar num cruzamento a 60 km h−1 . Disse em tribunal que estava parado no seu

Figura 2.20: Salto de esqui.

CAP´ITULO 2. TRABALHO E ENERGIA

carro a 50 m do cruzamento e que ficou sem travões; como a rua descia, o carro embalou e ele nada pôde fazer. Um investigador da companhia de seguros foi ao local, fez uma medi¸caõ e provou que o condutor estava a mentir. (a) Que medi¸caõ fez o perito? (b) Que inclina¸caõ2 teria que ter a estrada para que o perito não pudesse tirar a conclusão que tirou?

2.9.3

Desafios

2.1. Consumo autom´ ovel A for¸ca de resistência do ar ao movimento de um automóvel pode calcular-se pela seguinte expressão F = cρAv 2 em que: • c é o coeficiente aerodinâmico, sem dimensões, e vale entre 0.3 ∼ 0, 4. • ρ é a massa vol´ umica do ar; • A é a a´rea da seçcaõ recta do automóvel; • v é a velocidade do automóvel. (a) Para um automóvel que se desloca a 90 km h −1 qual é a energia transferida devido a` resistência do ar em 1 h de viagem (c = 0, 35)? (estimar a a´rea da seçcaõ recta). (b) Se o consumo de gasolina for essencialmente devido a esta transferência, e o automóvel gastar 7 litros de combust´ıvel aos 100 (km), em terreno horizontal, qual será o consumo se o automóvel fizer um trajecto de uma hora, a` mesma velocidade de 90 km h−1 , mas com uma subida de 1000 m ? (c) Na realidade, se o motor funcionar, o automóvel consome gasolina mesmo parado. Calcular o consumo na subida, conhecendo: i. o consumo C1 com o automóvel parado, mas com o motor a funcionar em regime semelhante ao que é necessário para obter 90 km h−1 ; 2 Em Portugal, a inclina¸ca õ, i, de uma estrada é dada em percentagem do seguinte modo: i = 100 × (h/d) em que h é varia¸ca õ de altitude para um tro¸co de estrada de comprimento d.

˜ 2.9. ACTIVIDADES, QUESTOES E PROBLEMAS

ii. o consumo C2 em terreno horizontal a 90 km h−1 . 2.2. Tempos de subida e descida Se um corpo é lan¸cado na vertical verifica-se que o tempo que demora até atingir a altura máxima é igual ao tempo que demora a descer a` altura de lan¸camento, se não houver resistência do ar. (a) Porquê? Que rela¸caõ tem esse facto com a conserva¸caõ de energia? (b) E se houver resistência do ar, os dois tempos continuam a ser iguais? Se não, qual é o maior: o de subida ou de descida? Sugest˜ ao: pensar na velocidade com que o corpo passa a uma dada altura na subida e na descida.

CAP´ITULO 2. TRABALHO E ENERGIA

Cap´ıtulo 3

Colis˜ oes 3.1

Colis˜ oes em F´ısica

Na fronteira entre a Fran¸ca e a Su´ı¸ca, junto ao Lago Genebra, existe um t´ unel de 27 km de comprimento. Não serve para apressados motoristas atravessarem complicadas passagens de montanha com mais rapidez. Se o percorremos integralmente, voltaremos ao lugar de partida: é um anel. Faz parte do maior laboratório de F´ısica de part´ıculas do mundo, o CERN.

Figura 3.1: Fotografia a´erea do CERN, junto ao lago Genebra. Est˜ ao marcados na foto alguns dos an´eis aceleradores deste laborat´ orio. O maior ocupa um t´ unel de 27 km de per´ımetro [2].

O t´ unel está repleto de material cient´ıfico, magnetos, câmaras de radio-frequência, detectores. No interior de um tubo de alto vácuo, 59

˜ CAP´ITULO 3. COLISOES

circularam1 os u ´ nicos viajantes deste t´ unel, electrões e positrões, guiados e aceleradas até velocidades próximas da luz, por uma combina¸caõ judiciosa de campos eléctricos e magnéticos. Para quê? Os electrões (carga negativa) e os positrões (carga positiva) eram acelerados no t´ unel em sentidos opostos. Em alturas determinadas, os dois feixes colidiam em zonas do anel equipadas com detectores de part´ıculas. As enormes quantidades de energia dos feixes materializavam-se em part´ıculas que emergiam da zona da colisão, para serem detectadas e medidas nos detectores. Foram conseguidas, por este processo, várias descobertas muito importantes, sobre a constitui¸caõ mais fundamental da matéria. Figura 3.2: Exemplo de um evento registado no CERN. As traject´ orias das part´ıculas s˜ ao reconstru´ıdas por computadores a partir de sinais electr´ onicos nos detectores[2].

O uso de colisões para estudar a constitui¸caõ da matéria e as interaçco˜es entre os seus constituintes é, contudo, muito anterior a` constru¸caõ de aceleradores de part´ıculas como os do CERN. Em 1911, Ernest Rutherford, um f´ısico neo-zelandês, a trabalhar em Inglaterra, descobriu a existência do n´ ucleo atómico, estudando o modo como as part´ıculas α eram desviadas em colisões com a´tomos de uma folha de ouro. Há uma enorme quantidade de conceitos de f´ısica envolvidos na análise das colisões do CERN, ou mesmo nas mais modestas colisões estudadas por Rutherford. Neste cap´ıtulo, far-se-á apenas uma muito breve introdu¸caõ a conceitos relacionados com a conserva¸caõ de energia em colisões.

3.1.1

O que ´ e uma colis˜ ao?

O que é uma colisão entre duas bolas de bilhar? As bolas aproximam-se uma da outra, cada uma movendo-se como se a outra não existisse, até se tocarem. Depois afastam-se com velocidades modificadas. A interaçcaõ entre elas parece ser instantânea, ou, pelo menos, ter uma dura¸caõ tão curta, que dela não nos apercebemos. A colisão de uma bola de basquetebol com o solo é semelhante. Estes exemplos poderiam levar-nos a associar a no¸caõ de colisão a uma interaçcaõ de contacto muito breve. Mas, o conceito de “contacto” não existe ao n´ıvel atómico. O tamanho de um a´tomo, cerca de 1 ˚ A = 10−10 m, é essencialmente determinado pela distância a que os electrões se movem em torno do n´ ucleo; o a´tomo é, 1 Neste momento n˜ ao correm experiências, porque este t´ unel est´ a a ser modificado para instalar um novo acelerador de part´ıculas, o LHC, Large Hadron Collider, previsto para entrar em funcionamento em 2007.

˜ 3.1. COLISOES EM F´ISICA

Equa¸ c˜ ao de Einstein Além do princ´ıpio de conserva¸ca õ de energia, que temos discutido, existe um outro, descoberto h´ a mais tempo, que é a lei de conserva¸ca õ de massa, de Lavoisier. Se as part´ıculas que constituem a matéria (electr˜ ao, prot˜ ao, neutr˜ ao, etc) existissem para sempre, a lei de conserva¸ca õ de massa seria uma consequência de o n´ umero destas part´ıculas ser constante. Sabemos, hoje, que é poss´ıvel criar e destruir part´ıculas, transform´ a-las em outras part´ıculas ou em radia¸ca õ. Einstein descobriu que n˜ ao havia duas leis de conserva¸ca õ separadas, massa e energia, mas apenas uma. Aos termos de energia que j´ a conhecemos, associados a movimento, ou interaçco ˜es, juntou um termo, para cada part´ıcula de massa m, chamado a energia em repouso e dada pela mais célebre f´ ormula da F´ısica: E = mc2 , em que c é a velocidade da luz. A massa n˜ ao é conservada (as part´ıculas podem ser destru´ıdas e criadas) mas a energia total é, se incluirmos os termos de energia em repouso. Nas colis˜ oes electr˜ ao-positr˜ ao dos aceleradores do CERN, as energias cinéticas do electr˜ ao e do positr˜ ao s˜ ao t˜ ao elevadas (velocidades pr´ oximas da luz), que é poss´ıvel criar um grande n´ umero de part´ıculas, de massa muito mais elevada que as do electr˜ ao ou do positr˜ ao. Se a massa total das part´ıculas emergentes da colis˜ ao for M , a conserva¸ca õ de energia implica que 2me c2 + Ec = M c2 + Ec0 , em que Ec é a energia cinética total do electr˜ ao e positr˜ ao que colidem e Ec0 é a energia cinética total das part´ıculas que resultam da colis˜ ao, mais a energia da radia¸ca õ. Como explicar, ent˜ ao, a lei de Lavoisier? As part´ıculas mais leves que se conhecem s˜ ao os electr˜ oes e positr˜ oes. Para criar um par (n˜ ao é poss´ıvel criar um electr˜ ao sem criar um positr˜ ao), é necess´ ario dispor de uma energia de: 2me c2 = 2 × 9, 1 × 10−31 × (3 × 108 )2 = 1, 6 × 10−13 J = 106 eV. Nas reaçco ˜es qu´ımicas entre duas moléculas s˜ ao libertadas energias da ordem de 1 eV. Nunca h´ a energia suficiente para criar, sequer, a part´ıcula mais leve. Da´ı que a massa seja conservada. Mas se a energia for suficientemente elevada, ou se juntarmos uma part´ıcula com a sua anti-part´ıcula, como nos aceleradores do CERN, isso deixa de ser verdade.

Caixa 3.1: Rela¸ca ˜o de Einstein e conserva¸ca ˜o de energia.

˜ CAP´ITULO 3. COLISOES

sobretudo, espa¸co vazio. As for¸cas que os a´tomos (neutros) exercem uns sobre os outros são muito fracas, quando as distâncias são grandes comparadas com o tamanho atómico, mas tornam-se muito fortes, e repulsivas, quando a distância é da ordem, ou menor, que o tamanho atómico. Por isso nos parece que objectos como bolas de bilhar só interagem quando se tocam. magnetos

210210 210210 210210 210210 210210 210210 210210 210210 210210 210210 210210 210210 210210 210210 210210 210210 210210 210210 210210 210210 210210 210210 210210 210210 210210 210210 210210 210210 210210 210210 210210 210210 210210 210210 210210 2020 Figura 3.3: Os magnetos impedem os carros de se aproximarem demasiado.

No outro extremo, os astrof´ısicos estudam colisões entre galáxias, em que as distâncias entre as estrelas que as compõem são da ordem do tamanho de uma galáxia e a colisão pode durar 100 milhões de anos. Na actividade 3.2, observam-se colisões entre carros, numa calha de alum´ınio, sem que estes realmente se toquem. Na extremidade de cada carro existem dois magnetos. Quando os carros se aproximam demasiado, as for¸cas repulsivas entre os magnetos tornam-se elevadas e, num curto intervalo de tempo, o movimento dos carros é alterado. Se os carros não se tocam, será que deveremos chamar a isto uma colisão? Quando se reflecte um pouco em todos estes exemplos, chegamos a` conclusão que, o que importa, realmente, neste tipo de interaçcaõ, é que existe um tempo durante o qual os objectos se movem independentemente um do outro, sem for¸cas m´ utuas; depois interagem durante um intervalo de tempo limitado e finalmente emergem da interaçcaõ (eventualmente modificados), de novo livres de interacço˜es m´ utuas.

. Actividade 3.1

Em resumo, o que caracteriza uma colisão, é que há um antes e um depois em que o movimento é fácil de descrever porque não há interaçco˜es. Por esta razão, princ´ıpios de conserva¸caõ, como o da energia, são muito importantes na análise e discussão de colisões. O que acontece durante a colisão, pode ser complexo e extremamente dif´ıcil, ou imposs´ıvel, de descrever. Mas as grandezas conservadas, como a energia, não podem mudar e permitem-nos relacionar os estados inicial e final do sistema.

3.2 . Actividade 3.2

Conserva¸ c˜ ao de energia em colis˜ oes

Para ser concreto, tomemos uma colisão entre dois carros como os da Actividade 3.2. Quando os carros estão afastados, não interagem. A respectiva energia potencial é constante, pois não há for¸cas m´ utuas que possam realizar trabalho. Como vimos atrás,

˜ DE ENERGIA EM COLISOES ˜ 3.2. CONSERVAC ¸ AO

podemos tomar essa constante como zero. A energia dos carros antes da colisão é cinética: E=

1 1 m1 v12 + m2 v22 . 2 2

m1 e m2 são as massas dos dois carros e v1 e v2 as respectivas velocidades antes da colisão. Se as velocidades depois da colisão forem v 10 e v20 , a energia será: 1 1 2 2 E 0 = m1 v 0 1 + m2 v 0 2 . 2 2 Havendo conserva¸caõ de energia, ter´ıamos: E = E0. Na Actividade 3.2 verifica-se que, em geral, isto não acontece. O mais frequente é ter-se E 0 < E, embora seja poss´ıvel preparar situa¸co˜es em que se verifica o contrário 2 . Vejamos exemplos: a) Se dois carros idênticos colidem com velocidades de módulo igual e sentidos opostos e ficam juntos (colados), a respectiva velocidade final é nula. Senão, repare-se: dois carros iguais, a mover-se com velocidades de módulo igual, um em direçcaõ ao outro. Colidem e ficam juntos. Por que razão haveriam de se mover num sentido e não no sentido oposto? Ou ´ nico resultado compat´ıvel com a simetria da situa¸caõ é uma velocidade final nula. Neste caso a energia cinética final é zero. b) Uma bola de basquete, vólei, ou ténis, nunca sobe a` altura inicial se for deixada cair sobre uma superf´ıcie r´ıgida. Isso significa que perdeu energia cinética ao colidir com o solo. Se partiu do repouso, a sua energia inicial era E = mgh. Se atingir a altura h0 , a sua energia é E 0 = mgh0 (a velocidade é nula no ponto de altura máxima). A maior parte da energia perdida, mg(h − h0 ), é devida a` colisão com o solo. Estas colisões, em que não há conserva¸caõ de energia cinética, chamam-se inelásticas. As colisões entre objectos macroscópicos, em geral, são inelásticas, em maior ou menor grau. O que acontece a` energia? Numa colisão inelástica não há conserva¸caõ de energia? 2 Eis um exemplo: prepara-se um carrinho com uma mola comprimida na extremidade. Se a mola for libertada na colis˜ ao a energia cinética do conjunto pode aumentar.

˜ CAP´ITULO 3. COLISOES

3.2.1

Na Actividade 3.3 consideram-se vários exemplos de colisões inelásticas em que se torna evidente que a energia cinética perdida pode ser transferida para outros movimentos, que não o de transla¸caõ do corpo.

. Actividade 3.3

O O

(a)

(b)

Movimento da mol´ ecula de O2

O O

Figura 3.4: (a) Numa transla¸ca õ, os dois a ´tomos de oxigénio têm o mesmo deslocamento e a mesma velocidade; (b)num movimento mais geral têm velocidades diferentes.

Para compreender melhor esta situa¸caõ, vamos considerar um corpo muito simples, a molécula de O2 . Tem dois a´tomos de oxigénio a` ˚ A massa da molécula é quase exclusivamente distância de 1, 48 A. devida a` massa dos dois n´ ucleos, cujas dimensões são muito inferiores a` da própria molécula. Assim, a energia cinética associada ao movimento da molécula é, no essencial, a energia cinética dos dois n´ ucleos3 : 1 1 EO2 = mO v12 + mO v22 . (3.1) 2 2 Se as velocidades dos dois n´ ucleos forem iguais (em módulo, direçcaõ e sentido), a molécula tem um movimento dito de transla¸ c˜ ao. Nesse caso podemos dizer que a velocidade da molécula é v = v 1 = v2 e 1 1 EO2 = (2mO )v 2 = mO2 v 2 . 2 2 Mas, o movimento de transla¸caõ é uma situa¸caõ muito especial. Os a´tomos de oxigénio podem rodar ou oscilar em torno da posi¸caõ média. As velocidades de cada a´tomo são, em geral, diferentes e v1 6= v2 . O que é, nesse caso, a velocidade da mol´ ecula? 3.2.1.1

Centro de massa

O ponto médio entre os dois n´ ucleos (sobre o segmento que os une, a distância igual dos dois n´ ucleos) é designado por centro de massa da molécula de O2 . O movimento dos dois n´ ucleos implica que o ponto médio entre eles também se desloque. Podemos tomar a sua velocidade, vcm , como sendo a velocidade da molécula, como um todo. A vantagem desta escolha particular é que a energia cinética total da molécula se pode escrever na forma 4 : 1 2 + E0. EO2 = mO2 vcm 2 3

A contribui¸ca õ electr´ onica para a energia da molécula é importante e uma parte significativa dessa energia é energia cinética dos electr˜ oes. Mas essa energia s´ o varia se houver uma mudan¸ca de estado electr´ onica, uma altera¸ca õ da nuvem electr´ onica. Em geral, isso n˜ ao acontece numa colis˜ ao entre duas moléculas ou com outros a ´tomos a baixas energias. 4 A demonstra¸ca õ deste resultado ser´ a feita no 11o ano.

˜ DE ENERGIA EM COLISOES ˜ 3.2. CONSERVAC ¸ AO

O primeiro termo é exactamente o que esperar´ıamos, se a molécula fosse uma part´ıcula simples, com movimento definido pela posi¸caõ de um ponto. Isto é, se a molécula fosse uma part´ıcula material. O segundo termo é a energia cinética dos n´ ucleos no seu movimento relativo ao centro de massa. Ou seja, 1 1 2 2 E 0 = mO v 0 1 + mO v 0 2 . 2 2 As velocidades v10 e v20 são medidas tomando como origem de coordenadas o centro de massa, ponto médio entre os dois n´ ucleos. Imaginemos agora uma colisão desta molécula com um a´tomo de Hélio, por exemplo, conforme se mostra na Fig. 3.5.

O O O

O He He

Figura 3.5: A molécula de O2 , ap´ os a colis˜ ao, tem movimentos de rota¸ca õ e de vibra¸ca õ, sobrepostos ao de transla¸ca õ.

Se não olharmos para “dentro” da molécula de O 2 , e seguirmos apenas o movimento do seu centro de massa, usando um modelo de part´ıcula material, será de esperar que se conserve a energia cinética, 1 1 2 2 + mHe vHe mO2 vcm ? 2 2 Na geometria da Fig. 3.5, a molécula de O 2 terá, certamente, um movimento de rota¸caõ em torno do seu centro; a sua energia cinética total não será apenas o termo associado ao movimento do centro de massa. Em geral, haverá até uma oscila¸caõ dos dois n´ ucleos em torno da posi¸caõ de equil´ıbrio e teremos uma contribui¸caõ de energia potencial, resultante da interaçcaõ entre eles. A equa¸caõ do balan¸co da energia terá de incluir todos os termos que podem variar na interaçca õ: 1 1 2 2 + E 0 + Ep = const. mHe vHe + mO2 vcm 2 2

. Part´ıcula material: um sistema f´ısico numa situa¸ca ˜o em que o seu movimento pode ser descrito pela posi¸ca ˜o de um ponto.

˜ CAP´ITULO 3. COLISOES

Em resumo: não há conserva¸caõ da soma das energias cinéticas do a´tomo de hélio e da molécula de O2 , considerados como part´ıculas materiais. Mas há conserva¸caõ de energia quando levamos todos os movimentos em considera¸caõ.

3.2.2

Energia cin´ etica de transla¸ c˜ ao e centro de massa

Veremos no 11o ano que o conceito de centro de massa é aplicável a qualquer sistema complexo de massas, desde um a´tomo até uma galáxia. Trata-se de um ponto cuja posi¸caõ é determinada, em cada instante, pelas posi¸co˜es da massas do sistema e cuja velocidade, ~vcm , permite a seguinte decomposi¸caõ da energia cinética total do corpo:

A energia cinética total de um corpo pode escrever-se na forma: 1 2 + E0 Ec = M vcm 2 em que: • M é a massa total do corpo; • ~vcm é a velocidade do centro de massa; • E 0 é a energia cinética de movimento relativo ao centro de massa.

Para objectos geometricamente regulares, com distribui¸caõ simétricas de massa (esferas, cilindros, cubos), a posi¸caõ do centro de massa coincide com o centro geométrico do corpo. Não vamos, de todo, considerar situa¸co˜es mais complexas. O termo de energia cinética associado ao movimento do centro de massa é designado por energia cin´ etica de transla¸ c˜ ao.

3.2.3

O modelo de part´ıcula material

Mesmo sem o sabermos, us´amos, em todo o cap´ıtulo 2, um modelo de part´ıcula material para descrever o movimento dos corpos. Ao falarmos na velocidade de um corpo estamos a supor que

˜ DE ENERGIA EM COLISOES ˜ 3.2. CONSERVAC ¸ AO

o seu movimento pode ser descrito pela varia¸caõ de posi¸caõ de um ponto. Os corpos macroscópicos podem ter movimentos muito mais complexos. Aquilo a que chamámos energia cinética de um corpo era, realmente, apenas a energia cinética de transla¸caõ, determinada pelo movimento do centro de massa. Se só esse termo variar num determinado processo, o modelo de part´ıcula material é apropriado. Por exemplo, no movimento orbital da Terra em torno do Sol, é muito boa aproxima¸caõ considerar apenas as varia¸co˜es de energia associadas ao movimento de centro de massa da Terra: o modelo de part´ıcula material é aplicável. Já numa colisão de uma molécula de O2 com um a´tomo de He, este modelo pode não ser adequado. Estes exemplos mostram que o modelo de part´ıcula material nada tem a ver com o tamanho ou a complexidade do sistema. Tem apenas a ver com o facto de, em muitas situa¸co˜es, as varia¸co˜es de energia poderem ser caracterizadas em termos do movimento do centro de massa. 2 /2, ´ A energia cinética de transla¸caõ, M v cm e apenas um dos termos associados ao movimento de um corpo. Quando dois corpos interagem, em geral, a soma das respectivas energias cinéticas de transla¸caõ não se conserva, podendo haver transferência de energia do movimento de transla¸caõ de cada um dos corpos para outros ´ isto que se passa numa colisão inelástica. tipos de movimento. E

3.2.4

Coeficiente de restitui¸ c˜ ao

Numa colisão, que quantidade de energia cinética pode ser transferida para outros modos? Toda? Só uma parte? Na Actividade 3.2 investigamos colisões entre dois carros de iguais massas, m. Algumas são colisões fortemente inelásticas: perde-se uma parte substancial (ou mesmo a totalidade) da energia cinética. Temos duas maneiras de escrever a energia cinética dos dois carros (ver Caixa 3.2) : a) Como a soma das energias de cada um dos carros: 1 1 Ec = mv12 + mv22 . 2 2 b) Como a soma da energia cinética de transla¸caõ do sistema dos dois carros com a energia cinética de movimento relativo

˜ CAP´ITULO 3. COLISOES

C´ alculos de energia cin´ etica de transla¸ c˜ ao Exemplo 1: Se os dois carros se aproximam um do outro com velocidades de sentido oposto e igual m´ odulo, v, a energia cinética total é 1 1 Ec = mv 2 + mv 2 = mv 2 . 2 2 O centro de massa (ponto médio entre os dois carros) n˜ ao se move, porque os carros deslocam-se a mesma distˆ ancia em tempos iguais. Assim, vcm = 0. A energia cinética de transla¸ca õ do sistema de dois carros é nula. Toda a energia cinética é de movimento relativo: E 0 = Ec . Exemplo 2: Se um dos carros est´ a parado e o outro se aproxima com velocidade v, a energia cinética total é Ec =

1 mv 2 . 2

Quando o carro em movimento avan¸ca de x, o ponto médio entre os dois carros avan¸ca de x/2. Logo, a velocidade do centro de massa é v/2. A energia cinética de transla¸ca õ é Etr =

v 2 1 1 = mv 2 (2m) 2 2 4

ou seja, metade da energia cin´etica total. d/2

d/2 CM

543 543 543 543 543 543 543 543 543 543 543 543 543 543 543 543 543 543 543 543 543 543 543 543 543 543 543 543 543 543 543 543 543 543 543 543 543 543 543 543 543 543 543 543 543 543 543 543 543 543 543 543 543 53 Exemplo1

d/2 d v

v/2

746 746 746 746 746 746 746 746 746 746 746 746 746 746 746 746 746 746 746 746 746 746 746 746 746 746 746 746 746 746 746 746 746 746 746 746 746 746 746 746 746 746 746 746 746 746 746 746 746 746 746 746 746 76 Exemplo 2

Caixa 3.2: Exemplos de c´ alculo da energia cin´etica de transla¸ca ˜o de um sistema de dois corpos.

˜ DE ENERGIA EM COLISOES ˜ 3.2. CONSERVAC ¸ AO

ao centro de massa (que é o ponto médio entre os carros, como no caso da molécula de O2 ): 1 2 + E0 Ec = (2m)vcm 2 ´ muito importante distinguir a energia de transla¸caõ do sistema E dos dois carros, da soma das energias cinéticas de transla¸caõ de cada carro. Para dois carros iguais, a posi¸caõ do centro de massa do sistema é o ponto médio entre os dois carros. A velocidade do centro de massa do sistema é a velocidade desse ponto. Por exemplo, se os carros se aproximarem um do outro com velocidades de módulo igual, v, o ponto médio entre eles não se desloca: ~v cm = 0 e a energia cinética de transla¸caõ do sistema é nula (ver Caixa 3.2 da página 68). Mas a energia cinética de transla¸caõ de cada carro é mv 2 /2. Veremos, no 11o ano, que as leis do movimento de Newton implicam a conserva¸caõ da energia cin´ etica de transla¸ c˜ ao de um sistema isolado (os dois carros no nosso exemplo). A u ńica parte que pode variar numa colis˜ ao é a energia cinética de movimento relativo ao centro de massa, E 0 . ´ habitual caracterizar o grau de inelasticidade de uma colisão pelo E respectivo coeficiente de restitui¸ c˜ ao, e, definido do seguinte modo. A razão entre as energias cinéticas de movimento relativo depois e antes de uma colisão, Ef0 e Ei0 , é o quadrado de e: e2 =

Ef0 Ei0

Quando os corpos que colidem ficam juntos após a colisão, a velocidade de cada corpo é também a velocidade do centro de massa: não há movimento relativamente ao centro de massa. Neste caso, Ef0 = 0 e e = 0: a colisão diz-se perfeitamente inelástica. Se houver conserva¸caõ de energia cinética, E f0 = Ei0 e e = 1: a colisão é elástica. 3.2.4.1

Colis˜ ao com um objecto fixo

Uma colis˜ao com um objecto fixo, como uma parede, pode ser inclu´ıda, da seguinte forma, na discuss˜ao anterior.

˜ CAP´ITULO 3. COLISOES

Um objecto fixo funciona como um corpo de massa infinita (a parede está fixa a` casa, que por sua vez está rigidamente ligada ao solo, etc.). Neste caso, o centro de massa do sistema pode ser considerado como sendo o centro de massa do objecto de massa infinita, que permanece imóvel; logo, v cm = 0. O quadrado do coeficiente de restitui¸caõ é simplesmente: mvf2 /2 vf2 Ef = = 2, e = Ei mvi2 /2 vi 2

em que m é a massa do sistema que colide com a parede e v i e vf são as suas velocidades, antes e depois da colisão. Sendo assim, o coeficiente de restitui¸caõ é e=

3.3

vf . vi

Actividades, quest˜ oes e problemas

3.3.1

Actividades

3.1. Colis˜ ao de bola com superf´ıcie Considerar a colisão entre uma bola e uma superf´ıcie nas seguintes situa¸co˜es limite: i) Uma superf´ıcie muito deformável (como um membrana elástica) e uma bola r´ıgida (como uma bola de bilhar). ii) Uma superf´ıcie muito r´ıgida (parede) e uma bola (muito) deformável. Para estes dois casos: (a) Fazer uma representa¸caõ esquemática da configura¸caõ dos dois corpos, em fun¸caõ do tempo, incluindo vários instantes durante a colisão. (b) Representar, nesses esquemas, as for¸cas que a superf´ıcie e o corpo exercem mutuamente. (c) Fazer um gráfico qualitativo da energia cinética da bola em fun¸caõ da sua posi¸caõ relativamente a` parede. Relacionar as varia¸co˜es de energia cinética da bola com o trabalho das for¸cas que a parede exerce sobre ela. 3.2. Colis˜ oes entre carrinhos Ver ficha de actividade A7.

˜ 3.3. ACTIVIDADES, QUESTOES E PROBLEMAS

3.3. Colis˜ oes inel´ asticas Ver ficha de actividade A8. 3.4. Ensaio Um colega, faz a seguinte afirma¸caõ: “Quando atiro uma bola de plasticina a` parede, a energia que imprimi a` bola perde-se: a energia não é conservada”. Escrever um texto (máximo de uma página A4) rebatendo essa conclusão, recorrendo a exemplos e a situa¸co˜es análogas a` apontada pelo colega.

3.3.2

Problemas e quest˜ oes

3.1. Colis˜ ao de ´ atomos de h´ elio Dois a´tomos de hélio, no respectivo estado fundamental, colidem com velocidades de 100 m s−1 . (a) Qual é a energia cinética total em electrões-volt? (b) Sabendo que o primeiro estado excitado de um a´tomo de hélio está quase 20 eV acima do fundamental, esta colisão será elástica ou inelástica? 3.2. Colis˜ oes entre autom´ oveis (1) Como classificar uma colisão frontal entre dois automóveis? (a) Elástica; (b) fracamente inelástica (e . 1); (c) fortemente inelástica (e ≈ 0). 3.3. Colis˜ oes entre autom´ oveis (1) Considerar as seguintes colisões frontais entre automóveis idênticos (m = 1000 kg): i) Um carro a 45 km h−1 colide com outro parado. ii) Dois carros colidem com velocidades de 30 km h −1 de sentidos opostos. (a) Calcular as energias cinéticas totais iniciais. (b) Calcular as energia cinéticas iniciais de movimento relativo ao centro de massa. (c) Qual destas colisões seria classificada de mais violenta (causadora de maiores danos nos automóveis e seus ocupantes)? Justificar.

˜ CAP´ITULO 3. COLISOES

3.4. Bola de basquete Uma bola de basquetebol, largada do repouso de uma altura 1 m, só sobe a uma altura de 80 cm. (a) Qual é o coeficiente de restitui¸caõ da colisão com o solo? (b) O coeficiente de restitui¸caõ, em boa aproxima¸caõ, é independente das velocidades iniciais dos corpos que colidem. A que altura subirá a bola de basquete no segundo ressalto do solo? 3.5. Sucesso do CERN Um dos objectivos dos aceleradores de part´ıculas é obter a máxima energia poss´ıvel para permitir a cria¸caõ de part´ıculas de massa mais elevada. Por que é que uma configura¸caõ de dois feixes a viajar em sentidos opostos é mais eficaz do que uma colisão de um feixe com um alvo estacionário?

Bibliografia [1] Internacional Atomic Energy Agency. Energy, electricity and nuclear power estimates for the period up tp 2020. Technical report, IAEA, http://www.iaea.org, 2001. [2] CERN. URL: www.cern.ch. [3] Manuel Joaquim Marques. Funcionamento dos m´ usculos. Projecto FARADAY, Departamento de F´ısica, Faculdade de Ciências, Universidade do Porto, 2003. [4] HSW Media Networks. Howstuffworks. http://people. howstuffworks.com/hydropower-plant.htm. [5] REN. Rede eléctrica nacional, informa¸caõ técnica. http:// www.ren.pt/sections/tecnica/maparen/default.asp. [6] United States Geological Survey. Water science for schools. http://ga.water.usgs.gov/edu/. [7] C. Tuijn and B. W. Kooi. The measurement of arrow velocities in the student’s laboratory. Eur. J. Phys., 13:127, 1992.