Medir o Sistema Solar Michael Fowler Universidade de Virgínia, Departamento de Física Neste texto, vamos descrever como os gregos efetuaram as primeiras medições de distâncias astronómicas: o tamanho da Terra e a distância à Lua, ambas determinadas com precisão, e a distância ao Sol, onde a melhor estimativa que efetuaram corresponde a metade do valor real. Quão grande é a Terra? A primeira determinação razoável do tamanho da Terra foi feita por Eratóstenes, um grego que vivia em Alexandria, no Egipto, no terceiro século a.C.. Ele sabia que um pouco para Sul, na cidade de Siene (a atual Assuão, onde há uma grande barragem no rio Nilo) existia um poço bastante fundo e, ao meio-dia de 21 de Junho, a luz do Sol era refletida pela água que se encontrava no fundo do poço, o que não acontecia nos restantes dias do ano. Apenas nesse momento, a luz do Sol era exatamente vertical em relação ao solo. Eratóstenes também sabia que a luz do Sol nunca era exatamente vertical ao solo na cidade de Alexandria. Nesta cidade, o mais próximo deste acontecimento ocorria também a 21 de Junho, mas com um desvio de aproximadamente 7.2º em relação à vertical, tal como ele determinou ao medir a sombra de uma vara. A distância de Alexandria a Siene era de 5000 estádios (cada estádio corresponde a aproximadamente 152 metros – 500 pés) ficando Siene aproximadamente a Sul de Alexandria. A partir daqui, e da diferença de ângulo da luz solar ao meio-dia de 21 de Junho, Eratóstenes foi capaz de determinar o perímetro da Terra.
Alexandria
α
Siene
Luz do Sol
Se o Sol está diretamente “acima” de Siene, e o ângulo entre uma vara vertical e a sua sombra é α, então α é também o ângulo entre o prolongamento das varas de Siene e Alexandria até ao centro da Terra.
É claro que considerou que a Terra tinha uma forma esférica, e que o prolongamento “vertical e para baixo” de qualquer linha seguiria em direção ao centro da Terra. Assim, duas varas verticais, uma em Alexandria e a outra em Siene, não eram de todo paralelas. Por outro lado, os raios de Sol que iluminavam os dois locais eram paralelos. Assim sendo, se os raios de Sol eram paralelos a uma vara vertical em Siene (já que esta não apresentava sombra), o ângulo que faziam com a vara em Alexandria seria igual à distância angular de Alexandria a Siene, medida a partir do centro da Terra.
De acordo com o historiador grego Cleômedes, Eratóstenes determinou que o ângulo entre a luz do Sol e a vara ao meio-dia do dia de Solstício de Verão era de 7.2º, ou 1/50 de um círculo completo. É evidente, ao representar num esquema a situação, que este é o mesmo ângulo entre Alexandria e Siene, medido a partir do centro da Terra, e por isso a distância entre estas cidades, 5000 estádios, deve correponder a 1/50 do perímetro da Terra, que é assim igual a 250 000 estádios, cerca de 37 500 Km (23 300 milhas). O perímetro correto da Terra é de aproximadamente 40 000 Km (25 000 milhas), e de fato Eratóstenes pode ter-se aproximado mais deste valor do que foi demonstrado aqui – não se tem a certeza sobre a dimensão de um estádio, e alguns académicos consideram-no equivalente a 158.5 metros (520 pés), o que leva a que o resultado de Eratóstenes esteja ainda mais próximo do valor real. Quão Alta está a Lua? Por onde começar para determinar a distância da Terra à Lua? Uma ideia óbvia é determinar o ângulo efetuado entre a reta perpendicular ao solo e a reta que contém a Lua (com ambas as retas a passarem pelo ponto onde nos encontramos), em duas cidades diferentes e ao mesmo tempo, e construir um triângulo semelhante ao de Tales para determinar a distância a que se encontra um navio. Infelizmente, a diferença entre os ângulos determinados de dois pontos a algumas centenas de quilómetros de distância era demasiado pequena para ser determinada pelas técnicas utilizadas na antiguidade, e por isso este método não poderia funcionar. Apesar disso, os astrónomos gregos, a começar por Aristarco de Samos (310 – 230 a.C., aproximadamente), apresentaram um método inteligente de descobrir a distância à Lua, a partir da observação atenta de um eclipse lunar, que ocorre quando a Terra se “atravessa” entre a Lua e o Sol. Nota: Para visualizar uma animação sobre eclipses da Lua clique por favor em: Eclipse da Lua
Para melhor visualizar um eclipse lunar, imagine que segura uma moeda (de diâmetro aproximadamente 2.5 cm (1 polegada no original)) à distância onde bloqueia, para um olho, os raios de luz do Sol. É óbvio que não se deve tentar fazer isto, pois pode levar a lesões no olho! Mas pode-se tentar com a Lua cheia, que tem o mesmo tamanho aparente do Sol na esfera celeste. A distância a que a lua fica oculta atrás da moeda é de aproximadamente 274 cm (108 polegadas). Se a distância da moeda ao olho for maior que este valor, o seu tamanho não é suficientemente grande para bloquear a luz. Se a distância ao olho for menor que os 274 cm, então bloqueará totalmente a luz numa pequena área circular que aumentará com a proximidade ao olho. Assim, a zona do espaço onde a luz é totalmente bloqueada corresponde a um cone, tal como um grande cone de gelado, onde o vértice se encontra a 274 cm atrás da moeda. Este espaço delimitado pelo cone é rodeado por uma área designada de “penumbra”, onde a luz é apenas parcialmente bloqueada. A área que se encontra totalmente na sombra designa-se de “umbra” (palavra que deriva do Latim para designar sombra). Se prender a moeda na ponta de uma vara estreita e a apontar corretamente para o Sol, poderá ver estas diferentes áreas de sombra. Questão: Se substituirmos a moeda com 2.5 cm de diâmetro por uma mais pequena com, por exemplo, 1cm de diâmetro, quão longe do olho teríamos que a segurar para bloquear nesse olho a luz proveniente da Lua Cheia? Como é que as diferentes distâncias se relacionam com os tamanhos relativos das duas moedas? Desenhe um diagrama onde represente as duas sombras cónicas. Agora imagine que se encontra no espaço, a uma determinada distância da Terra, e a observar a sobra da Terra. (Obviamente só seria possível ver esta sombra se lançasse uma nuvem de pequenas partículas e
observasse quais destas partículas seriam iluminadas pelo Sol e quais ficariam na sombra.) A sombra da Terra deve ser claramente cónica, tal como a sombra da moeda. E deve também ser semelhante à da moeda num sentido mais técnico – deve ter uma sombra com comprimento igual a 108 diâmetros da Terra 1! Isso acontece porque o vértice do cone corresponde ao ponto mais afastado da Terra para o qual esta bloqueia a luz do Sol, e a relação entre a distância do vértice e o diâmetro é determinada pelo “diâmetro angular” do Sol que se encontra bloqueado. Isso significa que o cone terá um comprimento igual ao de 108 diâmetros do planeta Terra, estando o vértice a aproximadamente 1 390 500 km (864 000 milhas) da Terra.
Durante um eclipse total da Lua, esta move-se no interior deste cone de sombra. Mesmo quando a Lua se encontra totalmente no interior do cone de sombra, ainda pode ser vista, porque reflete a luz dispersa pela atmosfera da Terra. Ao observar atentamente a Lua durante um eclipse, e a forma como entrou na zona de sombra, os gregos concluíram que o diâmetro do cone de sombra da Terra à distância a que se encontra a Lua era de aproximadamente 2.5 vezes o diâmetro da próprio Lua. Nota: É possível chegar a esta estimativa mesmo a partir da observação de uma fotografia da Lua a penetrar na zona de sombra da Terra ou, melhor, pela observação de um eclipse. Questão: Os gregos conheciam o tamanho da Terra (uma esfera com aproximadamente 12875 Km de diâmetro) e assim também conheciam o comprimento do cone de sombra da Terra (o comprimento será 108 x 12875 Km). Sabiam que quando a Lua passava através da sombra, o diâmetro da sombra a essa distância correspondia a 2.5 vezes o diâmetro da Lua. Será esta informação suficiente para descobrir a que distância se encontra a Lua? 1
No original, 1 moeda de diâmetro 1 polegada permite obter uma sombra cónica, sendo a (menor) distância desde o vértice à base de 108 polegadas. Se a Terra ou outro corpo semelhante tem um diâmetro x, então a menor distância desde o vértice do cone de sombra à base será de 108x, tal como acontece com a moeda.
A partir destes dados, os gregos sabiam que a Lua não podia estar a uma distância superior a 108 x 12875 Km 1 390 500 Km, de outro modo a Lua não passaria pela sombra da Terra. Mas pelo que foi dito até ao momento, poderia ser uma Lua pequena quase a 1 390 500 Km de distância, a atravessar o cone de sombra muito próximo do vértice. Contudo, uma Lua assim tão pequena nunca seria capaz de provocar um eclipse solar. De fato, como os gregos bem sabiam, a Lua tem o mesmo tamanho aparente do Sol na esfera celeste. Este foi um dado crucial para determinar a distância da Lua à Terra. Resolveram o problema utilizando geometria, e construindo a figura anterior. Nesta figura, o fato de a Lua e o Sol terem o mesmo tamanho aparente na esfera celeste significa que o ângulo ECD é igual a EAF. Repare que o comprimento FE corresponde ao diâmetro da sombra da Terra à distância a que se encontra a Lua, e o comprimento ED corresponde ao diâmetro da Lua. Os gregos descobriram, através da observação do eclipse lunar, que a relação entre FE e ED era de 2.5 para 1, e portanto ao observar os triângulos semelhantes FAE e DCE, deduz-se que AE é 2.5 vezes maior que EC, e portanto AC é 3.5 vezes maior que EC. Mas os gregos sabiam que AC deve corresponder a 108 vezes o diâmetro da Terra, e sabendo que o diâmetro da Terra é de 12875 Km, o vértice do cone de sombra, A, está a 1 390 500 Km da Terra. Do argumento acima, isto corresponde a 3.5 vezes a distância a que está a Lua, e por isso a distância à Lua é 1 390 500 Km /3.5, cujo resultado é aproximadamente 397 000 Km. O valor obtido é relativamente próximo do valor real. A maior fonte de erro é provavelmente a estimativa da relação entre o diâmetro da Lua e o diâmetro da sombra da Terra à distância a que a Lua se encontra da Terra. Quão longe está o Sol? Esta foi uma questão que os astrónomos gregos colocaram, ainda mais difícil que as anteriores, e a que não foram capazes de responder corretamente. Formularam um método engenhoso de determinar a distância ao Sol, mas que provou ser demasiado exigente pois não eram capazes de medir com precisão suficiente o ângulo necessário. Ainda assim, aprenderam através desta abordagem que o Sol estava muito mais afastado que a Lua e, consequentemente, uma vez que o tamanho aparente na esfera celeste é o mesmo, deverá ser muito maior que a Lua ou a Terra. A ideia para medir a distância ao Sol era muito simples. Sabiam, claro, que a Lua brilhava por refletir a luz do Sol. Assim sendo, concluíram que quando a face visível da Lua corresponde a metade 2, a linha que une a Lua ao Sol deve ser exatamente perpendicular à linha que une a Lua ao observador (observe a figura seguinte para compreender melhor esta relação). Portanto, se um observador na Terra, ao observar a Lua nesta situação medir cuidadosamente o ângulo entre a direção da Lua e a direção doSol, o ângulo α na figura, deve ser capaz de construir um longo e estreito triângulo, com a base a coincidir com a distância entre a Terra e a Lua. Os ângulos entre a base e os segmentos de reta que passam pelo Sol terão valor 90º e α (assinalado na figura). Deste modo é possível encontrar a relação entre a distância ao Sol e a distância à Lua.
2
Fase de quarto crescente ou minguante.
O problema desta abordagem é o fato de o valor do ângulo α diferir de 90º em apenas 1/6 de grau, e portanto muito pequeno para ser medido com precisão. A primeira tentativa foi de Aristarco, que estimou que o ângulo seria de 87º. Esta estimativa colocava o Sol a apenas a cerca de 8 milhões de quilómetros (5 milhões de milhas). Ainda assim sugeria que o Sol tinha um diâmetro muito maior que a Terra. Foi provavelmente esta conclusão que levou Aristarco a sugerir que o Sol, e não a Terra, era o centro do Universo. As tentativas posteriores realizadas pelos gregos para determinar a distância ao Sol encontraram valores próximos de metade do valor correto, que é de aproximadamente 150 milhões de Km (92 milhões de milhas).
Esta apresentação é semelhante à de Eric Rogers, Physics for the Inquiring Mind, Princeton, 1960.
© Michael Fowler, Universidade de Virgínia
Casa das Ciências 2013 Tradução/Adaptação de Nuno Machado e Manuel Silva Pinto