LABORATÓRIO DE MATEMÁTICA
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8º ANO
4ª Sessão. Na sessão de hoje, vamos começar por recordar uma actividade já desenvolvida no 7º Ano, a propósito da decomposição simultânea de dois números nos respectivos factores primos. Depois, estudaremos duas apliquetas; a primeira, permitindo pôr em evidência uma propriedade característica de uma certa classe de sucessões numéricas; a segunda, permitindo visualizar uma curva que com elas se relaciona. Terminaremos com a visualização de alguns vídeos que se debruçam sobre o tema desta relação.
Actividade 1: propõe uma prática – dirigida e interactiva – da técnica da decomposição em factores primos usada para determinar mínimos múltiplos comuns e máximos divisores comuns. Objectivos: a) rever conteúdos programáticos do 7º Ano; b) reforçar a aprendizagem e a compreensão das regras de determinação de mínimo múltiplo e máximo divisor comuns. Método: decomposição em factores primos assistida por computador. Pressupostos: a) conhecimento da técnica da decomposição em factores primos, bem como das definições de conjuntos de divisores e de múltiplos de um número; b) noções de reunião e de intersecção de conjuntos; c) acesso à internet. Passo 1 – Entre no sítio http://nlvm.usu.edu e seleccione a entrada “Algebra – 6-8” na tabela que surgir. Passo 2 – Localize e clique em “Factor Tree”:
.
Passo 3 – Observe o ecrã. Depois, escreva, no campo em branco, o 1º factor primo do número que estiver no cimo da árvore. Por exemplo:
(Enter )
. Continue enquanto puder…
Passo 4 – Tome nota da decomposição que fez. Em seguida, clique e seleccione “User”:
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A iniciativa, agora, é sua! Escreva um número, por exemplo, entre 500 e 600, no campo em branco (acima, onde o cursor pisca) e proceda como no exercício anterior. Tome nota do que fez. Passo 5 – Mantendo a opção “User” activa, clique e seleccione também a opção Two:
A iniciativa continua a ser do utilizador, quer dizer, sua! Tem agora dois campos a preencher (“enter” após o primeiro, “enter” após o segundo) mas o processo de resolução (isto é, de decomposição em factores primos) é o mesmo. Execute-o, inserindo dois números compostos pares, com valores, por exemplo, entre 3 e 50. Deverá ter obtido duas árvores que pode mover, se quiser, clicando sobre elas e arrastando-as... E por baixo? Veja o passo 6. Passo 6 – Terminada a decomposição, os factores de cada árvore devem ser arrastados para o seu lugar no diagrama de Venn que surge em baixo. Exemplo:
Certo! Clicando e arrastando: os factores comuns para a zona verde; os outros para as zonas de cor correspondente. Deverá receber uma mensagem de erro se se enganar nisto.
Passo 7 – Os campos em branco que surgiram,
, por
baixo, destinam-se à escrita, da esquerda para a direita, respectivamente, do máximo divisor comum, M.d.c.(6,40) (em inglês GCF), e do mínimo múltiplo comum, m.m.c.(6,40) (em inglês, LCM). Quais são? Veja o passo seguinte. Passo 8 – Afaste a sua atenção do ecrã e pegue num lápis; abra o seu caderno. Construa os conjuntos dos divisores de cada um dos dois números que introduziu. Construa também os conjuntos dos primeiros (dez, digamos) múltiplos desses números. Após inspecção desses 2
conjuntos, dois a dois, aponte, no caderno, o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum a cada par. Passo 9 – Volte a olhar para o ecrã. Calcule o produto de todos os factores primos que arrastou, das árvores para o diagrama de Venn. Calcule também o produto de todos os que estão na zona verde e só aí. Finalmente, compare os resultados com os números que anotou no passo 9º. Passo 10 – Volte atrás, ao passo 6, mas dê a iniciativa ao computador:
O computador escolhe os números ao acaso. Prossiga como até aqui, trabalhando com eles da mesma maneira… Discuta os resultados, tentando generalizar o que observou! Em particular, reflicta sobre aquilo que, no método seguido, pode ser usado para justificar a sua generalização.
Actividade 2: propõe uma prática – dirigida, interactiva e essencialmente aberta – de investigação no âmbito das sucessões numéricas e das respectivas aplicações à modelização. Objectivos: a) consolidar a aprendizagem de sucessões definidas por recorrência; b) estimular nos alunos o sentido e o gosto pela descoberta matemática; c) proporcionar aos alunos condições de intuição da universalidade da matemática, na sua aplicação à construção de modelos da realidade. Método: a) observação e análise de apliquetas simulando, ora o crescimento de algumas sucessões, ora o traçar de uma espiral logarítmica; b) visualização de vídeos. Pressupostos: a) conhecimento prévio das definições e da nomenclatura elementares associadas à teoria das sucessões; b) gosto pela exploração disciplinada e pela descoberta; c) acesso à internet. Passo 1 – Volte à página inicial do sítio de internet onde está a trabalhar e seleccione a entrada “Number & Operations – Grades 9-12” na tabela de apresentação. Depois, localize e clique em
A sucessão 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ..., chama-se sucessão de Fibonacci. O primeiro e o segundo termos são ambos iguais a 1, sendo cada um dos termos seguintes igual à soma dos dois termos que lhe são imediatamente anteriores. 3
Neste caso, a apliqueta accionada oferece a visualização: a) da ordem dos termos da sucessão (n); b) dos termos da sucessão (Fn); e c) dos quocientes, ou razões entre termos consecutivos (F n+1 /F n) . Passo 2 – Usando os botões
, explore os termos de ordem superior desta sucessão, bem
como as razões entre termos consecutivos que lhe estão associadas. Em particular, para valores crescentes de n, compare estas razões com o Número, ou Razão de Ouro:
Passo 3 – Repita o passo 2 com outras sucessões, como sejam aquelas que pode obter se inserir outros valores inteiros (que não 1 e 1) nos campos
(clicando antes no botão
). Os dois números que escrever podem ser iguais ou diferentes.
Passo 4 – Numa composição escrita, sem exceder 15 linhas, descreva cuidadosa e resumidamente o resultado desta experiência.
Passo 5 – Navegue para trás, para a última página com lista de apliquetas que visitou. Localize e clique agora sobre
Esta nova apliqueta permite-lhe visualizar o enrolamento dinâmico de uma espiral chamada “logarítmica”, no interior de um rectângulo perfeito (ou de ouro… mas perfeito porquê?). 4
Explore a interactividade que se oferece. Depois, faça uma nova entrada no seu caderno, registando nele a localização do centro da espiral cujo enrolamento observou (esta localização deve ser feita usando apenas os elementos geométricos que são visualizáveis na apliqueta).
Passo 6 – Aceda à página inicial do
, em http://www.youtube.com/. Depois, no
campo de pesquisa disponibilizado, escreva as seguintes combinações de palavras: a) Número ouro (ou golden number); b) Sucessão Fibonacci (ou Fibonacci sequence); c) Rectângulo ouro (ou golden rectangle). Escolha um ou mais dos vídeos/resultados que forem listados e estude-os. Se tiver dúvidas na escolha peça sugestões ao seu professor. Passo 6’ (alternativa) – Siga algumas das hiperligações seguintes e estude os vídeos a que elas dão acesso (testadas pela última vez em 26/12/2008): a) http://www.youtube.com/watch?v=-8wCmDz2ITA ; b) http://www.youtube.com/watch?v=SUSyRUkFKHY; c) http://www.youtube.com/watch?v=ZWjK_NFy3nI ; d) http://www.youtube.com/watch?v=-ncEEXekZek; e) http://www.youtube.com/watch?v=7Cx9ApVus1g&feature=related; f) http://www.youtube.com/watch?v=_w19BTB5ino&feature=related . Passo 7 – Forme um grupo de trabalho e projecte um trabalho de investigação. Objectivos: a) descobrir a ligação matemática entre a sucessão de Fibonacci e a espiral logarítmica; b) explicar a ligação entre a concha de um nautilus e a forma de algumas galáxias; c) encontrar outros exemplos, naturais ou não, em que a estrutura matemática da sucessão de Fibonacci se revela.
Bom trabalho! 5