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LABORATÓRIO DE MATEMÁTICA
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7º ANO
4ª Sessão. Hoje, vamos aprender a trabalhar com um programa de geometria dinâmica (Geometer’s Sketchpad). Em particular, vamos usá-lo para construir figuras geométricas e para estudar algumas das suas possíveis transformações: as semelhanças. Actividade: propõe-se uma prática – dirigida e interactiva – tendente à familiarização com um programa de geometria dinâmica, no âmbito do estudo das transformações de semelhança e, em particular, das homotetias. Objectivos: a) aprender a transformar figuras realizando homotetias e estudar as propriedades destas últimas; b) realizar e adquirir familiaridade com algumas transformações de simetria; c) aprender a usar e adquirir perícia no uso de um programa de geometria dinâmica. Método: a) construção de uma figura complexa, implicando a realização de translações e reflexões; b) redução, por homotetia, da figura construída; c) medição de comprimentos, determinação de uma razão de semelhança e verificação de propriedades das homotetias. Pressupostos: a) conhecimento das definições de relação e de razão de semelhança; b) instalação do programa Geometer’s Sketchpad .
Passo 1. Abra o programa Geometer’s Sketchpad, clicando em
no ambiente de
trabalho. Maximize as janelas que se abrirem e estude-as com atenção. Em cima e à esquerda, pode observar o menu principal do programa (na horizontal) e uma coluna de botões de ferramentas (a começar por
)
A execução dos passos seguintes vai permitir-lhe construir dois segmentos de recta com uma extremidade comum e alguns pontos equidistantes ao longo deles: Passo 2. Usando o botão
(clique sobre ele para activar esta ferramenta, de construção de
pontos) construa dois pontos, A e, à direita, B (basta levar o cursor para o lugar em que quiser criar os pontos e clicar aí). Para inserir as letras, active
; escreva-as longe da
posição em que criou os pontos (depois, para as arrastar até eles, terá de activar
):
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Passo 3. Seleccione ambos os pontos A e B, por esta ordem (se for preciso: a tecla ‘shift’ faz aqui o papel da tecla ‘ctrl’ nas aplicações mais comuns). Em seguida, vá ao menu principal, opção ‘Transform’ e, aberta a janela correspondente, clique sobre ‘Mark Vector’. Passo 4. Seleccione agora somente o ponto B:
. Volte a ‘Transform’ e clique sobre ‘Translate’. Confirme esta instrução, na janela de “pop-up” que se abrir, clicando sobre o respectivo botão
. Deverá obter
, →
ou seja, o resultado será um novo ponto (translação de B pelo vector AB ). Passo 5. Repita o procedimento anterior até obter 10 pontos:
Passo 6. Clique sobre o ponto B e arraste-o devagar, para ver como isso afecta os restantes pontos construídos… Certo! Aparte A, todos eles ‘acompanham’ o movimento! Passo 7. Procedendo como fez para B, construa agora um ponto C, acima de A:
Passo 8. Repita, para A e C, exactamente o mesmo que fez para A e B nos passos 2 a 5. O resultado deverá ser o que se mostra na imagem seguinte, à esquerda. Depois, active a ferramenta
e use-a para construir segmentos de recta, tal como se mostra também na
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imagem seguinte, mas à direita (activada a ferramenta, bastará clicar sobre os pontos a ligar, dois a dois...). Assinale os pontos nas extremidades com as letras D e E:
→
Passo 9. Seleccione simultaneamente todos os pontos visíveis, à excepção de A, B, C, D e E . Em seguida, vá ao menu principal, opção ‘Display’ e, aberta a janela correspondente, clique sobre ‘Hide Points’. Pode usar esta mesma opção do menu para colorir os seus segmentos (depois de os seleccionar com a ferramenta
e um clique...).
Passo 10. Faça duplo clique sobre o segmento que passa pelos pontos A e C (isto fará com que ele fique “marcado” como eixo para uma simetria de reflexão). Em seguida, seleccione simultaneamente toda a figura (usando
, clique ligeiramente à direita e abaixo de “E”,
mantenha o botão do rato em baixo e “abra” a janela de selecção). Anule a selecção das letras. Finalmente, volte ao menu principal, opção ‘Transform’ e, aberta a janela correspondente, clique sobre ‘Reflect’. Deverá obter algo como o que se mostra nas figuras seguintes:
→
→
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Passo 11. Seleccione toda a figura que obteve e arraste-a para o canto superior direito do ecrã. (de maneira a que fique totalmente visível). Depois, anule a selecção e, usando o botão
(clique sobre ele para activar esta ferramenta, de construção de pontos), construa
um ponto K (botão
!) próximo do canto inferior esquerdo do ecrã:
Passo 12. Clique duas vezes sobre o ponto K (para o “marcar” como centro da homotetia que vai fazer). Depois, seleccione como antes, toda a figura que deslocou para o canto superior direito; anule a selecção das letras, tal como fez antes, no passo 10. Volte ao menu principal, abra a opção ‘Transform’ e clique sobre ‘Dilate’. Confirme a instrução na janela de pop-up (figura à direita). O resultado deverá ser parecido com o da imagem abaixo:
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Passo 13. Active a ferramenta ,
,
,e
e use-a para construir os segmentos de recta
,
,
:
Passo 14. Um a um, seleccione cada um destes segmentos. Com um, e só um seleccionado, escolha a opção “Measure” (significa ‘medida’) do menu principal e clique sobre “Lenght” (significa ‘comprimento’). Verá surgir no ecrã algo como (neste caso para a distância entre D e E):
Ou seja, a distância entre os pontos D e E, cada um deles o 8º transformado dos pontos C e B (pelas translações iniciais) é de 8,84 cm!
Passo 15. Compare, usando a calculadora, as razões
,
,
. O que conclui?
Explore mais: Abra um novo ‘sketch’ e faça novas experiências usando este método. Experimente outras variantes (outras reflexões, rotações, ampliações, etc.).
Bom trabalho!