Integrais exponenciais

Alguns integrais úteis de funçþes exponenciais Michael Fowler Mostråmos que a derivação da função exponencial simplesmente a multiplica por uma constante do expoente, isto Ê, �� ���� �� = ���� ���� . ����

A integração da exponencial tem, obviamente, o efeito inverso: divide-a pela constante do expoente: � �� ���� ���� =

tal como podes verificar facilmente por derivação.

1 đ?‘Žđ?‘Žđ?‘Žđ?‘Ž đ?‘’đ?‘’ , đ?‘Žđ?‘Ž

Um integral definido (com limites) muito importante ĂŠ ∞

ďż˝ đ?‘’đ?‘’ −đ?‘Žđ?‘Žđ?‘Žđ?‘Ž đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘ = 0

1 . đ?‘Žđ?‘Ž

Repara no sinal menos no expoente: ĂŠ necessĂĄrio que o integrando diminua com đ?‘Ľđ?‘Ľ quando đ?‘Ľđ?‘Ľ vai para infinito, caso contrĂĄrio o prĂłprio integral seria infinito. Para visualizar este resultado, representamos graficamente đ?’†đ?’†âˆ’đ?’™đ?’™ e đ?’†đ?’†âˆ’đ?&#x;‘đ?&#x;‘đ?&#x;‘đ?&#x;‘ . Repara que a linha verde forma a hipotenusa de um triângulo rectângulo de ĂĄrea 1, e parece bastante plausĂ­vel que a ĂĄrea total abaixo da curva đ?’†đ?’†âˆ’đ?’™đ?’™ seja a mesma, isto ĂŠ, 1 tal como devia. A curva đ?’†đ?’†âˆ’đ?&#x;‘đ?&#x;‘đ?&#x;‘đ?&#x;‘ tem abaixo de si ĂĄrea 1/3 (đ?‘Žđ?‘Ž = 3).

Agora para algo um pouco mais desafiante: como ĂŠ que calculamos o integral ∞

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đ??źđ??ź(đ?‘Žđ?‘Ž) = ďż˝ đ?‘’đ?‘’ −đ?‘Žđ?‘Žđ?‘Ľđ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘ ? −∞

(đ?‘Žđ?‘Ž tem de ser positivo, claro.) O integral nĂŁo ĂŠ definitivamente infinito: decresce com igual rapidez para đ?‘Ľđ?‘Ľ positivo ou negativo, e para đ?‘Ľđ?‘Ľ maior que 1, ĂŠ menor que đ?‘’đ?‘’ −đ?‘Žđ?‘Žđ?‘Žđ?‘Ž , que jĂĄ sabemos que converge.

Para ver melhor o aspecto desta função, representamos graficamente para �� = 1 (vermelho) e �� = 4 (azul).

Repara primeiro no quĂŁo mais rapidamente esta função descresce do que a função đ?‘’đ?‘’ −đ?‘Ľđ?‘Ľ . Repara tambĂŠm que a curva azul, đ?‘Žđ?‘Ž = 4, tem cerca de metade da ĂĄrea total da curva đ?‘Žđ?‘Ž = 1. De facto, a ĂĄrea vai com 1/√đ?‘Žđ?‘Ž. As linhas verdes ajudam-nos a ver que a ĂĄrea abaixo da curva vermelha (positiva mais negativa) ĂŠ ligeiramente menor que 2, de facto ĂŠ √đ?œ‹đ?œ‹ = 1.77 aproximadamente. Mas – nĂŁo ĂŠ assim tĂŁo fĂĄcil de calcular! HĂĄ um truque: calcula o quadrado. Isto ĂŠ, escreve

Este produto de integrais ao longo de rectas, o integral em �� e o integral em ��, Ê exactamente o mesmo que o integral num plano, o plano (��, ��), extendendo-se atÊ ao infinito em todas as direcçþes. Podemos reescrevê-lo

2

Mas de facto esta abordagem nĂŁo ĂŠ mais fĂĄcil que o problema original – o truque ĂŠ reparar que đ?‘’đ?‘’ đ?‘Žđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘&#x; tem simetria circular: para cada circumferĂŞncia centrado na origem (0,0), tem o mesmo valor em qualquer ponto da circumferĂŞncia. Para explorar isto, nĂŁo devĂ­amos estar a dividir o plano (đ?‘Ľđ?‘Ľ, đ?‘Śđ?‘Ś) em pequenos quadradinhos, mas em regiĂľes cujos pontos estejam Ă mesma distância da origem.

Estas sĂŁo chamadas regiĂľes “anularesâ€?: a ĂĄrea entre dois cĂ­rculos concĂŞntricos na origem, um de raio đ?‘&#x;đ?‘&#x; e outro de raio ligeiramente superior đ?‘&#x;đ?‘&#x; + đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘. Tomamos đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘ muito pequeno, portanto trata-se de uma fina tira circular de comprimento 2đ?œ‹đ?œ‹đ?œ‹đ?œ‹ (o perĂ­metro da circumferĂŞncia) e largura đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘, sendo a ĂĄrea total 2đ?œ‹đ?œ‹đ?œ‹đ?œ‹đ?œ‹đ?œ‹đ?œ‹đ?œ‹ (desprezando termos como đ?‘‘đ?‘‘đ?‘&#x;đ?‘&#x; 2 , que se tornam neglicenciĂĄveis para đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘ suficientemente pequeno). 2

Portanto, a contribuição de uma destas regiĂľes anulares ĂŠ đ?‘’đ?‘’ −đ?‘Žđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘&#x; 2đ?œ‹đ?œ‹đ?œ‹đ?œ‹đ?œ‹đ?œ‹đ?œ‹đ?œ‹ , e o integral completo sobre todo o plano ĂŠ:

Este integral ĂŠ fĂĄcil de calcular: faz a mudança de variĂĄvel đ?‘˘đ?‘˘ = đ?‘&#x;đ?‘&#x; 2 , đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘ = 2đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘&#x; vindo

Portanto calculando a raiz quadrada

Alguns integrais Ăşteis na Teoria CinĂŠtica dos Gases Podemos facilmente geral mais resultados derivando a expressĂŁo anterior para đ??źđ??ź(đ?‘Žđ?‘Ž) em relação a đ?‘Žđ?‘Ž!

Derivando uma vez:

Logo

e derivando este resultado em relação a �� obtemos

A razão entre estes dois integrais surge na teoria cinÊtica dos gases durante o cålculo da energia cinÊtica mÊdia de uma molÊcula com a distribuição de velocidades de Maxwell.

Calcular esta razĂŁo sem fazer os integrais: É interessante notar que esta razĂŁo poderia ter sido encontrada com muito menos trabalho, de facto sem sequer calcular os integrais, do seguinde modo: Faz a mudança de variĂĄvel đ?‘Śđ?‘Ś 2 = đ?‘Žđ?‘Žđ?‘Ľđ?‘Ľ 2 , đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘ = √đ?‘Žđ?‘Žđ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘ e

onde C ĂŠ uma constante independente de đ?‘Žđ?‘Ž, porque đ?‘Žđ?‘Ž desapareceu completamente do integral em đ?‘Śđ?‘Ś. (Sabemos que đ??śđ??ś = √đ?œ‹đ?œ‹/2 , mas isso deu-nos muito trabalho.) Agora, o integral em đ?‘Ľđ?‘Ľ 4 em vez de đ?‘Ľđ?‘Ľ 2 descobre-se derivando o integral em đ?‘Ľđ?‘Ľ 2 em ordem a đ?‘Žđ?‘Ž e multiplicando por -1, tal como discutido acima. Portanto, derivando o lado direito da equação anterior, concluimos que o integral em đ?‘Ľđ?‘Ľ 4 ĂŠ simplesmente 3 ďż˝2ďż˝ đ??śđ??śđ?‘Žđ?‘Žâˆ’5/2 , e C cancela na razĂŁo entre os integrais. Contudo, hĂĄ uma altura em que temos mesmo de fazer os integrais: a normalização da distribuição de velocidades faz-se requerendo que

e isto de facto determina A, usando os resultados encontrados anteriormente, vindo

Um último truque... Isto não foi necessårio na aula de teoria cinÊtica dos gases, mas Ê uma pena falar em integrais de exponenciais sem mencionar este. É fåcil fazer o integral

Pode-se escrevĂŞ-lo

onde no Ăşltimo passe se mudou de variĂĄvel para đ?‘Śđ?‘Ś = đ?‘Ľđ?‘Ľ − đ?‘?đ?‘?/2đ?‘Žđ?‘Ž.

Isto pode mesmo ser usado para calcular, por exemplo,

escrevendo o cosseno como uma soma de exponenciais.

Tradução/Adaptação Casa das Ciências 2009