Guia para a Utilização do Compêndio de Matemática, 2º e 3º volumes, Observações Acerca do Capítulo I do 2º volume
J. SEBASTIÃO E SILVA
Observações Acerca do Capítulo I do 2º volume
Curso Complementar do Ensino Secundário
Edi<;;'io G EP l.lSBOA
Guia para a Utilização do Compêndio de Matemática, 2º e 3º volumes, Observações Acerca do Capítulo I do 2º volume
1. SEBASTIÃO E SILVA
GUIA PARA A UTILIZAÇÃO
DO
COMPÊNDIO DE
MATEMATICA (2. 0 83. 0 VOLUMES)
CURSO COMPLEMENTAR DO ENSINO SECUNDARIO
197 7
GABINETE DE ESTUDOS E PLANEAMENTO DO MINIST~RIO DA EDUCAÇÃO E INVESTIGAÇÃO CIENTíFICA Av. Milucl Bombarda, 20-Lisboa
Guia para a Utilização do Compêndio de Matemática, 2º e 3º volumes, Observações Acerca do Capítulo I do 2º volume
ADVERTeNCIA PRtVIA
o Compêndio de Matemática é destinado a servir, não s6 como auxiliar de estudo para o aluno, mas ainda como complemento de formação para o professor. Da/ o desenvolvimento e o pormenor com que foi escrito. Cabe, pois, ao critério e ao bom senso do professor dosear a densidade do ensino com base no Compêndio. Este, por outro lado, não contém todos os assuntos a desenvolver nas turmas experimentais do 7.° ano. Em alguns casos será necessário recorrer aos livros adoptados, tal como se indica no presente Guia e no pr6prio Compêndio.
Guia para a Utilização do Compêndio de Matemática, 2º e 3º volumes, Observações Acerca do Capítulo I do 2º volume
o
texto deste Guia foi utilizado no 5mbito de uma experiência de modernização do ensino da matemática em Portugal, dirigida pelo Prof. Sebastião e Silva e realizada pelo Ministério da Educação Nacional em colaboração com a O.C.D.E. (Projecto Especial STP-4/SP) . Nesta experiência estiveram envolvidos alu- · nos dos antigos 6. 0 e 7. 0 anos do ensino liceal (idades entre 15 e 17 anos). Nos termos do acordo estabelecido entre a O.C.DE e Portugal t§ proibida a reprodução total ou parcial deste texto por terceiros.
s
Guia para a Utilização do Compêndio de Matemática, 2º e 3º volumes, Observações Acerca do Capítulo I do 2º volume
CONSIDERAÇOES DE ORDEM GERAL
Convém chamar 8 atenção para alguns pontos que já foram focados no Guia anterior, mas que importa salientar sob novos aspectos. No que se refere à questão crucial dos exercícios, nunca é de mais insistir nas seguintes recomendações:
1)
t
preciso combater o excesso de exerclcios que, como um
cancro, acaba por destruir o que pode haver de nobre e vital no ensino. 2)
t
preciso evitar certos exerclcios artificiosos ou compli-
cados. especialmente em assuntos simples. 3)
A melhor maneira de memorizar fórmulas e teoremas (quando
fOf neceS8~fio) é aprender IJ deduzir sem hssitllçlo essas fórmul" e esses teoremas, em vez de resolver listas festidiosss de exerclcios. como prstexto. tantas vezes forçado. para pó, B provI tais conhecimentos. O prOffJSSOf dsve incitar os alunos a serem desembaraçados nas deduçlJBS. tanto como nos cálculos. NAo quer isto dizer, de modo nenhum, que não seja indispen· s'vel resolver bons exerclcios, para esclarecimento de diversos aS8untos e para a aquisição de técnicas úteis e necessárias. () que se
7
Guia para a Utilização do Compêndio de Matemática, 2º e 3º volumes, Observações Acerca do Capítulo I do 2º volume
J. SEBASTIAO E SILVA
impõe é não cair no excesso - a obsessão do exerclcio - e adaptar um critério de escolha que elimine exercicios supérfluos e exercícios estapafúrdios, que tenham como equivalente, no ensino das Iinguas vivas, a retroversão de frases deste género: 'As sobrinhas dos capitães brincavam no jardim com as netas dos juizes'. Nem sequer o ridiculo tem conseguido vencer estas e outras incongruências, que certamente não contribuem para estimular o bom senso e o bom gosto do aluno. ~ mais proveitoso reflectir várias vezes sobre um mesmo exer-
cicio que tenha interesse, do que resolver vários exercicios diferentes, que não tenham interesse nenhum. No entanto, é essencial que o aluno consiga, ele próprio, sem
ajuda, resolver exercicios pela primeira vez. Todo o problema nov~, com interesse, tem uma ideia-chave, um abre-te Sésamo que ilumina o espirito· de súbita alegria: a clássica ideia luminosa que faz gritar 'Eureka 1'. Ora, é esse momento áureo de alegria que o aluno precisa de conhecer alguma vez: só por essa porta se entra no segredo da matemática, se descobrem os seus tesouros, se aprendem as suas recOnditas harmonias. Vistos por esse mágico prisma, todos os assuntos, desde os mais modestos, se transformam como por encanto, ganhando vida e beleza. Diga-se a verdade: é de vida, é de alma, que o ensino está necessitado - porque tudo nele se reduz afinal
a ... matéria que vem para exame. Ensino vital de ideias, eis o que se impõe - em vez de exposição mecânica de matérias. Entre os exercicios que podem ter mais interesse, figuram aqueles que se aplicam a situações reais, concretas. O nosso ensino tradicional não enferma unicamente de fraca (e quantas vezes nula) insistência em demonstrações, e de insuficiente rigor lógico: peca
8
Guia para a Utilização do Compêndio de Matemática, 2º e 3º volumes, Observações Acerca do Capítulo I do 2º volume
GUIA DO COMPSNDIO DE MATEMATlCA
também por ausência de contacto com o húmus da intuição e com a realidadde concreta. Ora, um dos pontos assentes em reuniões internacionais de professores, promovidas pela O.C.D.E.,ê que o professor de matemática deve ser, primeiro que tudo, um professor de matematização, isto é, deve habituar o aluno a reduzir situações concretas
a modelos matemáticos e, vice-versa, aplicar os esquemas lógicos da matemática a problemas concretos. É preciso não esquecer Que o extremo rigor lógico, em vez de
formativo, pode tornar-se perigosamente deforma dor, . criando inibições por vezes insuperáveis - se não for precedido de uma boa motivação intuitivo-concreta e equilibrado com o referido processo de matematização. A crítica dos fundamentos da matemática, inciada no século passado, conduziu a esse grau de rigor lógico, cuja necessidade se impunha; mas criou ao mesmo tempo um estado de espírito favorável a atitudes rígidas, demasiado platónicas. Seguiu-se uma reacção, por vezes também excessiva, mas em parte salutar, dos chamados 'matemáticos empiristas'. Neste sentido, são dignas de reflexão as seguintes palavras de Guido Castelnuovo, proferidas em 1912, num congresso de professores em Gênova :
'Nós ensinamos a desconfiar da aproximação, que é realidade, para adorar o ídolo de uma perfeição, que é ilusória. Nós re presentamos o universo como um edifício, cujas linhas têm perfeição geométrica, e nos parecem desfiguradas e enevoadas, apenas por causa da imprecisão dos nossos sentidos, quando, pelo contrário, deveríamos incitar os alunos a reconhecerem que as formas incertas reveladas pelos sentidos constituem a única realidade acessível - realidade que, para satisfazer certas exigências do nosso espírito, substituímos por uma precisão ideal [ ... ]. Não há melhor maneira de alcançar o objectivo [do ensino científico] do que conjugar a cada passo a teoria com a experiência, a ciência com a aplicaçAo [ ... l'.
9
Guia para a Utilização do Compêndio de Matemática, 2º e 3º volumes, Observações Acerca do Capítulo I do 2º volume
J. SEBASTIAO 1iJ SILVA
Esta atitude pode parecer anti-racionalista; na verdade, só o é na medida em que se opõe a um platonismo ultrapassado. Mas pode talvez notar-se um excesso de zelo utilitarista nas palavras seguintes, relativas aos deveres do professor para com os alunos:
'São-nos confiados pelos pais, para que façamos deles homens aptos a compreender a vida das nações modernas e a participar nessa vida. Se nós não temos em consideração estas exigências; se, por amor da cultura, sufocamos nos alunos o sentido prático e o espírito de iniciativa, estamos a faltar ao maior dos nossos deveres'. Esta crítica é justa apenas em relação a certo tipo de cultura. Embora seja vago o significado da palavra 'cultura', podemos dizer que a cultura cientlfíca resulta precisamente da síntese dos dois termos complementares: a teoria e a prática. E, mesmo quando à
cultura geral, que inclui os aspectos filosófico, literário, artístico e humano, tem-se verificado que a sua ausênci.a prejudica seriamente a formação de bons técnicos e de bons cientistas( 1). E mais ainda a de bons dirigentes. O que é ·preciso é não confundir cultura com erudição e sobretudo com o enciclopedismo desconexo, imensa manta de retalhos mal cerzidos, que vão desde as guerras púnicas até ao sistema nervoso da mosca. É esse, a bem dizer, o tipo de cultura que tende a produzir o ensino tradicional, baseado num sistema de exames que só permite apreciar memorizações e automatismos superficiais, mais ou menos próximos do psitacismo. Um dos objectlvos fundamentais da educação é, sem dúvida, criar no aluno hábitos e automatismos úteis, como, por exemplo, os
( 1)
Castelnuovo . foi ele mesmo um exemplo do cientista culto, na mais
elevada acepção da palavra.
10
Guia para a Utilização do Compêndio de Matemática, 2º e 3º volumes, Observações Acerca do Capítulo I do 2º volume
GUIA DO COMP8NDIO DE MATEMÁTICA
automatismos de leitura, de escrita e de cálculo. Mas trata-so ai, manifestamente, de meios, não de fins. ~ certamente útil saber falar com fluência línguas estrangeiras
ou tocar piano - como é útil saber nadar, escrever à máquina, conduzir automóvel ou jogar futebol. Mas também estas prendas (como se dizia antigamente) são apenas meios e não fins - a não ser que se tenha em vista escolher uma dessas actividades como profissão (mesmo assim, será ' um meio de ganhar a vida). E note-se, de passagem, que a melhor maneira de ensinar a ler ou a dominar uma língua estrangeira não é obrigar a ler trechos sem qualquer , interesse ou a fazer exercfcios absurdos. Os referidos automatismos são, pois, meios para atingir certos fins: são precisamente meios de acesso à cultura. A sua finalidade é a de aumentar o poder e a liberdade do verdadeiro pensamento, que não é substituível pela máquina e sem o qual o homem se reduz a perigoso escravo das máquinas, como se tem observado infelizmente. ·Um ensino que não estimule o espírito e que, pelo contrário, o obstrua com as clássicas matérias para exame, só contribui para produzir máquinas em vez de homens. E não é assim que se curam os males de que está sofrendo o mundo .
•
•
•
Na ADVERT~NCIA do Compêndio de Matemática, 2.° volume, propõe-se que os assuntos dos dois volumes do 7.° ano sejam tratados em paralelo, no regime de bifurcação, com três horas por semana destinadas a um dos volumes, e três horas por semana ao outro. O objectivo é evitar que os assuntos tratados num dos volumes sejam relegados em bloco para a última parte do ano, em que a receptividade dos alunos é sempre menor, por razões óbvias. Porém, o estudo dos assuntos do Compêndio de Matemática,
3.° volume, terá de ser precedido de uma introdução à trigonometria. 11
Guia para a Utilização do Compêndio de Matemática, 2º e 3º volumes, Observações Acerca do Capítulo I do 2º volume
J. 8EBA8TIAO E 8ILVA
Convém, pois, começar por indicações relativas à maneira de fazer essa introdução, tirando partido do Compêndio de Trigonometria · adoptado. Mas impõem-se, antes disso, algumas considerações de ordem geral relativas a este assunto. O ensino tradicional da trigonometria nos liceus tem uma amplitude e uma orientação que já não se justificam nos tempos actuais. Há assuntos como, por exemplo, a resolução de triângulos obliquângulos, que s6 virão no futuro interessar a uma fraca minoria de alunos. Além disso, tais assuntos têm modesto valor formativo, comparados com outros, cuja ausência se faz sentir cada vez mais. Acresce ainda a circunstância de ser fácil encontrar as f6rmulas usuais de resolução de triângulos (quer planos quer esféricos) em qualquer boa tábua de logaritmos. Para que é preciso então. estudá. . -
-Ias, se há tantos outros assuntos de maior interesse? Basta pois saber utilizá-Ias. Mas isso qualquer aluno dotado de inteligência me- . diana deve estar em condições de aprender por si s6, desde que conseguir, é porque o esteja interessado no assunto . . (1). Se (, não . ensino não chegou a conferir-lhe aquele grau de autonomia mental que se requer de um aluno do 7.° ano: · é porque falhou o ensino. Resta o problema das tábuas. Existem tabelas de f6rmulas (chamadas 'formulários'), como existem tabelas numéricas, listas telef6nicas, catálogos ou enciclopédias. A finalidade é sempre a mesma: evitar um esforço inútil e mesmo incomportável de mem6ria, dando maior grau de liberdade ao pensamento. Sem dúvida, há f6rmulas e tabelas numéricas que o aluno deverá sempre ter presentes, atendendo à frequência com que é preciso utilizá-Ias: por exemplo, as f6rmulas trigonométricas de adição de ângu-
(')
Pode mesmo, se tiver curiosidade, procurar saber como se deduzem , 8 . .81 fórmulas.
12
Guia para a Utilização do Compêndio de Matemática, 2º e 3º volumes, Observações Acerca do Capítulo I do 2º volume
GUIA DO
COMP~NDlO
DE MATEMATICA
los e as tabuadas das operações elementares da aritmética. É tudo, afinal, uma questão de medida e de bom senso. Quanto aos dois teoremas em que se baseia habitualmente a dedução das fórmulas de resolução de triângulos obliquângulos - o teorema dos senos e o teorema dos co-senos (ou de Carnot) - tem algum interesse fazer a sua dedução no curso piloto. Aliás, o último teorema deverá ficar ligado à noção de produto interno de dois vectores, que tem adquirido cada vez maior importância em matemática, quer pura quer aplicada.
13
Guia para a Utilização do Compêndio de Matemática, 2º e 3º volumes, Observações Acerca do Capítulo I do 2º volume
11 OBSERVAÇOES ACERCA DO CAPrTULO I DO 2.° VOLUME
1.
O n.O 1 deve constituir assunto para discussão na aula e
leitura em casa. A 'Nota Histórica' do Capo IV do Compêndio de
Algebra (6.° ano), relativamente a filósofos gregos, bem como as palavras de Castelnuovo citadas no inicio deste Guia, também deveriam ser motivo de leitura e reflexão.
Aliás, logo na primeira aula se deve começar (ou recomeçar) o uso da régua de cálculo, que põe o aluno em contacto directo com a ideia de aproximação. Numa outra aula deverá dizer-se que há dois tipos princicipais de computadores (ou ca.lculadores): os computadores
numéricos (ou digtiais)
e os computadores analógicos.
Os pri-
meiros fornecem directamente os resultados dos cálculos com algarismos exactos em maior ou menor número; os segundos baseiam-se na medição de grandezas (tais como comprimentos, tensões eléctricas, etc.), geralmente com um grau de aproximação não muito elevado, variável e pouco preciso. Os computado-
res digitais vão desde a simples máquina de somar de Pascal até
49
Guia para a Utilização do Compêndio de Matemática, 2º e 3º volumes, Observações Acerca do Capítulo I do 2º volume
J. 8EBA8TIAO A! 8ILV A
aos modernos computadores electrónicos, com transistores. Os computadores analógicos vão desde a simples régua de cálculo até aos computadores análógicos modernos, igualmente transistorizados. Em particular, os métodos gráficos, cujo estudo sistemático se chama nomografia, podem ser inclufdos na classe dos sistemas analógicos. E a propósito, chamando a atençAo dos alunos para um campo de pesquisa hoje em rápida expansAo, convém citar os sistemas analógicos da autoria da Senhora Or. a O. Marília de Lima Monteiro, bem como os computadores eléctricos de valores lógicos da autoria dos alunos do Liceu O. João de Castro, Senhores António Vitor Adragão Anunciada e Lufs Henrique Borges de Almeida.
2. . No n.O 1 fala-se já de probabilidades. Embora este assunto, segundo aconselha a experiência adquirida, deva ser reservado para o final do 7,° ano, conviria que o conceito emplrico de probabilidades fosse dado mais cedo, de maneira informal, em conversa, partindo de exemplos sugestivos, susceptíveis de despertar curiosidade e conduzir a discussão. Um tal exemplo poderia ser a seguinte frase:
'e. pequena
a probabi/;dade de ouvir boa músiea em emis-
sores portugueses de radiodifusão'
Não se trata agora de discutir o valor lógico desta afirmação, mas apenas o seu significado. Compare-se esta frase com as seguintes:
'e imposslvel
ouvir boa música em emissores portugueses
de radiodifusão'
'S raro ouvir boa música em emissores portugutlses de ,.diodllu,'o'
Guia para a Utilização do Compêndio de Matemática, 2º e 3º volumes, Observações Acerca do Capítulo I do 2º volume
GUIA DO
o aluno
OOMP~NDIO
DE MATEMATIOA
imediatamente reconhece que a primeira · não equivale
à segunda, mas tem praticamente o significado da terceira. Como definir esse significado 7 Primeiro que tudo, é preciso supor que se dispõe de um critério que permita distinguir música boa de música que não
i
boa (critério
necessariamente discutível). Posto isto, teria de se procedera uma
estatlstiea, que consistiria em sintonizar um receptor ao acaso, em numerosas ocasiões com emissores portuguesse. Se for m o número de provas (ou experiências) em que se ouviu boa música e n o número total de provas em que se ouviu música, o número m/n (que se pode exprimir em percentagens) dará um valor aproximado da
probabilidade de ouvir boa música em emissores portugueses - valor este que será tanto mais aproximado quanto maior for n. Suponhamos que o valor achado foi cerca de 4 % (ou 0,04), isto é, que, em 100 emissões de música, há em média 4 que dão música boa. Será pequena neste caso a probabilidade 7 Parece bem que sim: mas é claro que este juízo terá igualmente carácter subjectivo. Tudo isto pode ser desenvolvido em diálogo. Não quer
dizer que deva ser logo numa das primeiras aulas, mas sim num momento oportuno, em que convenha variar de assunto para amenizar. Numa outra ocasião, poderá fazer-se a experiência do lançamento da mo~da ou da punaise (por exemplo, cada aluno fará 20 provas e reúnem-se depois numa única as estatísticas parciais). Assim, quando mais tarde se iniciar o estudo sistemático das probabilidades, já o aluno estará mentalizado para o assunto e o rendimento será bem maior.
3.
A majoraçlo do erro duma soma, dum produto ou dum quo-
ciente, e o. re.pectlvos problemas inversos, são assuntos centrais,
SI
Guia para a Utilização do Compêndio de Matemática, 2º e 3º volumes, Observações Acerca do Capítulo I do 2º volume
J. SEBASTIAO
]f
SILVA
aos quais é preciso dedicar uma atenção especial. Aliás, o assunto só começa a adquirir um certo grau de dificuldade (e portanto maior interesse), no problema inverso relativo ao produto (n. o 9).
A orientação seguida no texto não é cem por cento heurlstica. As seguintes observações permitirão ao professor aproximar-se mais deste tipo de orientação, com vantagem para o aluno, que entrará assim muito mais facilmente no assunto.
Depois de formular o problema como se faz na pg. 32 e de o esclarecer como vem nas últimas cinco linhas da pg. 33, pergunta-se ao aluno:
Qual é a fórmula que parece indicada para resolver este problema?
o aluno
dirá certamente que é a fórmula deduzida no número
anterior: I~(xy)
I ~ xl
~x
I +y I ~ y I
Mas deve ser usada em sentido contrário, raciocinando do seguinte modo: Se
I ~x I <
e: e
I fl.y 1<
e:, então
I ~(xy) I ~ (x+y) Logo, para que seja
I ~(xy) I < 8, basta que seja (x+y)
52
e:
e: < ô
Guia para a Utilização do Compêndio de Matemática, 2º e 3º volumes, Observações Acerca do Capítulo I do 2º volume
GUIA DO aOMPISNDIO DE MATEMATICA
ou,
O
que é equivalente,
z <
(1 )
o
x+y
problema parece pois resolvido, mas não está. Porquê? Tem
de intervir neste momento o esplrito crítico. O que são Segundo a convenção anterior,
x é um majorante de
y é um majorante de I Y I e de I y, I.
Mas
xe
y?
I x I, enquanto
y, é precisamente um dos
valores procurados. Portanto, a fórmula (1) não permite, sem mais, determinar
€,
visto que não se conhece ainda y,. A dificuldade está
pois neste pequeno pormenor, à primeira vista insignificante (podem mudar-se os papéis de x e de y, mas a dificuldade subsiste). Para simplificar o problema, comecemos por supor x e y positivos. Então
I x I == x , I y I = y.
Em que consiste a ideia-chave aqui? Em obrigar primeiro
x e y às condições x>x
" y>y
e em procurar depois um número positivo
€,
que verifique não s6 a
condição (1), mas também a seguinte:
Se Y1 é um valor positivo aproximado de y a menos de €, então y, < y (deste modo y ficará a ser, automaticamente, majorante de IYI e de Iy, 1). Impõe-se, neste momento, recorrer à intuição geométrica para acabar de resolver o problema. Convide-se o aluno a representar sobre um eixo y e
O
y de
modo que se verifique a relação O < x y
< y: 9
---------------1------1-S3
Guia para a Utilização do Compêndio de Matemática, 2º e 3º volumes, Observações Acerca do Capítulo I do 2º volume
J. BEBASTIAO E SILVA
o
problema está, agora, reduzido ao seguinte:
A que condições deve satisfazer e: para que todo o valor aproximado de y a menos de e: seja menor que y?
Olhando para a figura não é difícil responder:
A condição
e: <
y-
y.
Convide-se o aluno a indicar na mesma figura uma vizinhança
(e:) de y nestas condições. Por exemplo:
o
v-e:
y
y+e:
9
----------1-::::=:::::=11-::.=====jl---I-O raciocínio, pode agora, aparecer sob forma puramente lógica, independente da intuição geométrica: Se e: ~
y-
y, tem-se y + e: (y. Então, se Y 1 é valor aproximado
de y a menos de e:, tem-se: . Y1 < Y +
e portanto
e:
y1 <
Y
Assim, o problema está resolvido quando se consideram apenas números positivos: basta tomar e: de modo que se tenha simultaneamente
8 E~~--
x+v
sendo
x ; ;. x
e
9> y.
e:~ Y-y
Guia para a Utilização do Compêndio de Matemática, 2º e 3º volumes, Observações Acerca do Capítulo I do 2º volume
GUIA DO OOMPSNDlO DE MATEMATICA
No caso geral de nómeros reais quaisquer (e não apênas nómeros positivos), é preciso passar aos módulos e basta então aplicar o ttiorema 2 ds pg. 26. plJrlJ o problema ficar reduzido ao caso anterior. E assim se chega ao teorema da pg. 35.
Vale a pena gastar tempo com este teorema porque, uma
vez esclarecido o assunto, tudo o resto virá com facilidade, por acréscimo. Podemos mesmo diter que este é um dos teoremas-chave da teoria dos limites: o tipo de raciocinio que exige vai repetir-se várias vezes com pequenas variantés.
Uma dessas variantes aparece logo no n.O 11. a propósito do problema análogo para o quociente. Neste caso, o bom aluno já será
capaz de caminhar facilmente pelo seu próprio pé, Problemas análogos se apresentam depois a propósito da potên-
°
cia e da raiz. Mas 81 não vslerlJ a pena fazer as deduç{Jes para problem/) inverso: .bastará indicar o resultado (que não será precilo fixar no caso da pot8ncia).
Note-se que à demonstraçâo,' aliás facultativa. do teorema dó n.O 13, pg. 47, é feita segundo uma oriéntação diametralmente oposta à do metodo hellrrstico. Como se pode verificar, e8sa demonstraçâo oculta a génése das ideias, não deixando traços do caminho seguido fia investigaçâo, para chegar àquele resultado. As demonstrações como esta - do tipo expositivo clássico - apresentam a matemática como ciência feita, está-
tica, cem por cento lógica, e não como ciência em via de crescimento, impulSionada pela intuição criadora. Tal orientação só permite ao aluno conhecer a matemática por fora, dando-lhe a impressAo de que Jamais poderia colaborar na construção deata ciência.
Guia para a Utilização do Compêndio de Matemática, 2º e 3º volumes, Observações Acerca do Capítulo I do 2º volume
J. SEBASTIÃO E SILVA
3.
As fórmulas aproximadas dos desvios têm a vantagem de
familiarizar desde logo o aluno com regras de derivação (ou diferenciação), que só mais tarde virá a identificar como tais. Em particular, a fórmula aproximada do desvio da raiz será utilmente aplicada, logo a seguir, na redescoberta do método de Newton para raízes de Indice qualquer. Quanto a erros relativos, bastará que o aluno adquira a noção. Será interessante dizer-lhe, a propósito, que os melhores computadores analógicos permitem uma aproximação da ordem de 0,05 %, o que
já pode ser considerado muito bom para certos fins. Também haverá interesse em que o aluno aprenda, de modo informal que o desvio relativo do produto é aproximadamente igual à soma dos desvios relativos dos factores, etc.
4. O assunto do n.o 18 coloca o aluno imediatamente em contacto com a ideia dos métodos de aproximação, que domina toda a análise numérica moderna, ligada ao uso de computadores. Constitui,
por isso também, uma excelente motivação concreta para a introdução do conceito de convergência duma sucessão. O aluno sente que tal conceito é algo de real e de importante, que interessa estudar a fundo. Convém, pois, dedicar um interfJsse especial ao referido assunto,fazendo-o surgir
edesenvolver-~e
de modo acentuadamente
heurlstico. Como? Discorrendo mais ou menos.- do seguinte modo: Uma vez que tenhamos um valor aproximado, XI, de quadrado,
x~,
Va,
o seu
será um valor aproximado de a. Então, se designar-
mos x ~ por aI, a fórmula aproximada do desvio da raiz dá( 1):
( ')
Há, aqui, apenas uma troca entre . os papéis de
li fórmula que foi dada. Mas
Q
a e a" relativamente
alúno já está habituado a essa espécie de simetria
daI fórmulas, em relação ao valor aproximado e ao valor · exacto (consequência do principio de substituição de variáveis aparentes em quantificadores universais).
S6
Guia para a Utilização do Compêndio de Matemática, 2º e 3º volumes, Observações Acerca do Capítulo I do 2º volume
GUIA DO
OOMP~NDIO
./-
DE MATEMA.TIOA
a-a, 2v' a,
.~ va-va,~-=~
ou seja
Va - x,
a _x 2
~---' 2Xl
ou ainda
x 2 -a Va ~x, - - ' - 2x,
(1 )
Mostra a experiência (e depois se verá porquê) que é sempre mais eficaz começar com um valor x, aproximado por excesso: foi, por isso, que escrevemos x~-a em vez de a-x~, mudando o sinal. Mas a fórmula (1) é apenas aproximada. Quer dizer, se pusermos:
x 2 -a
2x, . x 2 será um novo valor aproximado de seja mais próximo de
Va-.
Va que Xl'
O quê interessa é que x 2
Vamos ver se isso acontece, na hipótese em que x ~
> a.
Neste
caso, a fórmula (1) mostra imediatamente que x 2 < x,. Resta saber se
Va- < x 2 .
Para isso, basta considerar a diferença x 2 -
Va
e ver
que é positiva, como se fez no Compêndio.
Surge, agora, espontânea a ideia de proceder para x 2 como se fez para x" pondo:
57
Guia para a Utilização do Compêndio de Matemática, 2º e 3º volumes, Observações Acerca do Capítulo I do 2º volume
J. 8EBASTIAO 1i1 8ILVA
e para
x 3 como se fez para x 2' pondo:
e assim sucessiva e indefii1idamente.
Deste modo se gera uma sucessão, cujo primeiro termo é x, e cujos termos seguintes são dados pela fórmula de recorr8ncia Xn2 -a
(2)
\fn
2xn
E
IN
e fica automaticamente provado, pelo principio de substituiçãO das variáveis aparentes, que
Va < xn
+1
<
Xn
Posto isto, o aluno pressente que os valores aproximados x 1'X 2'''' são cada. vez mais próximos de a, isto é, tem a intuição de que a sucessão assim definida converge para" a-o Uma pri- · meira justificação intuitiva deste facto é dada nas páginas 57 e 58 do texto, mas pode ser omitida (os exemplos numérico. dados a seguir já são bastante esclarecedores, nesta fase
intro~
dut6ria). A demonstração rigorosa s6 pode ser dada por meio da teoria dos limites, que tem assim, no estudo anterior, uma boa motivação.
5.
Os processos de recorrência (baseados no· principio da Indu-
ção matemática, que depois será estudado em pormenor) constituem um dos muitos assuntos da matemática que têm sido postos na ordem do dia pelos computadores.
58
Guia para a Utilização do Compêndio de Matemática, 2º e 3º volumes, Observações Acerca do Capítulo I do 2º volume
GUIA DO OOMP1!JNDIO DE MATEMÁTIOA
Uma vez escolhido o valor inicial X" da sucessão atrás c0!lsiderada, a determinação dos valores x 2'X 3"" segue-se automaticamente
- mecanicamente - por meio da fórmula de recorrência. E é esse automatismo, essa rotina, que o computador - como servo fidelissimo do homem - executa com velocidade prodigiosa. Vê-se neste exemplo, bem delimitado, o que compete à máquina e o que compete ao homem(') . Convirá talvez, para esclarecimento do assunto, que o aluno resolva um exercício, no caso da raiz quadrada, efectuando os cálculos pelos processos usuais. Mas não fará sentido maçá-lo com cálculos fastidiosos que competem à máquina. Nas cidades onde haja computadores electrónicos acessíveis à população escolar, será do maior interesse que se organizem visitas de
estudo, em que os alunos vejam como a máquina executa programas, relativos a problemas desta ou de outra natureza.
6.
A teoria dos
lim i tes~
que se começa a desenvolver no n.o 19
com todo o rigor lógico moderno, está na base do cálculo infini-
tesimal (ou análise infinitesimal). Mas convém, na devida oportunidade (nota da pg. 71), analisar o significado etimológico da palavra ' infinitésimo', em ligação com a história do cálculo infinitesimal, que
( 1)
Também se pode dizer, num certo sentido, que os computadores mais
evoluidos são capazes de efectuar escolhas e tomar decisões. Uma análise aprofundada do assunto permitirá mostrar que tudo isso é feito segundo planos preestabelecidos pelo homem e em que não se exclui eventualmente a intervenção do acaso, seg!Jndo as leis do cálculo das probabilidades. Mas isto conduz-nos ao campo da cibernética, em que as opiniões se dividem: há quem pretenda que o cérebro humano não é mais do que um computador extremamente evoluldo e há quem considere essa hipõtlilse simplesmente absurda.
59
Guia para a Utilização do Compêndio de Matemática, 2º e 3º volumes, Observações Acerca do Capítulo I do 2º volume
J. SEBABTIAO E SILVIA tamb~m
poderíamos chamar 'cálculo de infinitésimos' (ou 'de ,quan-
tidades infinitamente pequenas'). O aluno já sabe o que significa 'um décimo', 'um centésimo', 'um milésimo', etc. Por exemplo, um milésimo de uma dada grandeza, que se toma para unidade, é a grandeza que se obtém dividindo a unidade por 1000 (ou, como também se diz, em mil partes iguais). O que será então um infinitésimo? Deveria ser a grandeza que se obtém dividindo a unidade num número infinito de partes iguais. Mas o que se pode obter, dividindo por exemplo um segmento de recta num número infinito de partes iguais? Obtêm-se pontos, dirão os alunos. Como o comprimento dos pontos é nulo, um infinitésimo deveria ser então uma grandeza nula. Mas como pode um comprimento não nulo resultar da soma de comprimentos nulos? A intuição diz-nos que tal não é possível: somando grandezas nulas, por maior que seja o seu número, apenas se obtêm grandezas nulas. Mas é pensando assim que se chega ao paradoxo da seta - um dos três paradoxos com os quais Zenão pretendia provar que o movimento é uma ilusão dos sentidos. Por isso, os precursores do cálculo infinitesimal foram levados
a- conceber um infinitésimo como algo que é ao mesmo tempo nulo e não nulo (o que é impossível, segundo o PRINCrPIO DA NÃO CONTRADiÇÃO), ou então como algo que está numa posição inter-
média entre ser nulo e não ser nulo (o que é impossível, segundo o PRINCIpIO DO TERCEIRO EXCLUIDO). Esses matemáticos tinham mais ou menos consciência de que tal conceito era ilógico; mas, como, por outro lado, conseguiam obter assim facilmente resultados certos e úteis, não se preocupavam com a validade dos meios, atendendo apenas aos resultados.
t verd.ade que está hoje posta de lado essa ideia contraditória de infinitésimo (chamado 'infinitésimo actual'), a qual foi substitulda pela ideia de 'infinitésimo potencial' (como variável que tende pllrll zBro). Mas, no fundo, continua-se muitas vezes, em consideraç6es de
60
Guia para a Utilização do Compêndio de Matemática, 2º e 3º volumes, Observações Acerca do Capítulo I do 2º volume
GUIA DO OOMP'SNDIO DE MATEMÁTICA
ordem intuitiva (sobretudo em matemática aplicada e em física), a fazer uso implícito de tal ideia, como veremos a propósito de conceito de diferencial. Nesses casos, chama-se 'infinitésimo' a uma quantidade tão pequena que pode ser considerada como nula para certos efeitos (embora não seja necessariamente nula). Como quer que seja. o método dos infinitésimos conserva um valor heurístico considerável, do qual há que tirar partido no ensino da matemática, se queremos que este seja autenticamente vivo e fecundo - ensino de ciência que se faz e não ensino de ciência feita.
Na 'Nota Histórica' do capitulo V do Compêndio de Algebra indica-se como o método dos infinitésimos pode ser usado para descobrir a fórmula da área do círculo (uma vez conhecida a fórmula
do perimetro). Poder-se-ia então encorajar os alunos a redescobrirem por este método a fórmula do volume da esfera, supondo já conhe- . cidas as fórmulas que dão o volume do cone e a área da esfera ( 1). Mas isto, afinal, já deveria ter sido feito no 2.° ciclo, antes de se passar à demonstração pelo método dos limites, que, como é sabido, permite alcançar mais tarde um completo rigor lógico. Na verdade, o interesse do aluno será muito maior, quando se trata de redescobrir um facto que seja realmente novo para ele. Um exemplo simples e sugestivo, no 3.° ciclo, será o da fórmula da área da elipse, redescoberta pelo referido método, a partir da fórmula da área do circulo.
(')
Estas considerações pQdem ser transmitidas ao aluno sob a forma de
leitura8, ante8 de 8e entrar no cálculo integral.
61
Guia para a Utilização do Compêndio de Matemática, 2º e 3º volumes, Observações Acerca do Capítulo I do 2º volume
.T. SEBASTIAO E SILVA
y
b
o
x
Consideremos uma elipse de equação
num referencial ortonormado ( 1). Resolvendo a equação em ordem 8 y obtém-se:
(1 )
y=
( ')
b
± -Ya 2 -x 2 a
Não é indispensável que. nesta altura. já tenha sido feito o estudo
sistemático das c6nicas. Basta que o aluno saiba que é esta a equação da elipse. quando se tomam para eixos coordenados os eixos de simetria da elipse, ficando o eixo maior (de cqmprimento 2a) sobre o eixo dos x, e o eixo menor (de comprimento 2b) sobre o eixo dos y. Antecipações informais como esta podem mesmo ser úteis do ponto de vista didáctico.
62
Guia para a Utilização do Compêndio de Matemática, 2º e 3º volumes, Observações Acerca do Capítulo I do 2º volume
GUIA DO
OOMP~NDIO
DE MATEMATICA
Consideremos, por outro lado, a circunferência de equação
Resolvendo esta em ordem a y obtém-se, agora: y=±Ya 2 -x 2
(2)
Comparando (2) com (1), vê-se que se passa afinal da circunferência para a elipse, por meio da transformação que transforma cada ponto da circunferência no ponto da elipse de igual abcissa, sendo a ordenada desta igual ao produto da ordenada da primeira por b/a. Como b/a é constante, vê-se que as ordenadas são assim todas reduzidas na mesma proporção, enquanto as abcissas se mantêm inalteradas (esta transformação é pois uma afinidade, como poderá ser reconhecido mais tarde). Consideremos, agora, várias rectas paralelas ao eixo dos y, muito próximas entre si. O círculo limitado pela circunferência e o domínio limitado pela elipse ficam assim decompostos em tiras muito estreitas, que se aproximam de rectângulos. Usando a linguagem intuitiva dos infinitésimos, pode então dizer-se que cada um dos referidos domínios fica decomposto numa infinidade de rectângulos de bases infinitésimas. Então a área de cada um desses domínios. é a soma das áreas dos respectivos rectângulos. Ora a área de cada rectângulo é o produto da base pela altura respectiva. Além disso, a cada rectânguio em que fica decomposto o circulo corresponde na elipse um rectângulo de igual base e de altura igual à do primeiro multiplicada por b/a. Logo a área limitada pela elipse será igual ao produto da área do círculo por b/a (1). Representando a primeira por A,
(')
Subentende-se que o aluno é levado a fazer por si todas estas con-
siderações, de contrário o método perderá o seu interesse, que é essencialmente
heurlstico.
63
Guia para a Utilização do Compêndio de Matemática, 2º e 3º volumes, Observações Acerca do Capítulo I do 2º volume
J. BEBABTIAO E BILVA
virá, pois:
(3)
b A=--7ta 2 =7tab
a
Assim, a validade desta fórmula surge clara ao nosso espirito, por via da intuição. É como se estivéssemos a vê-Ia directamente
com os olhos do esplrito (usando a linguagem de Platão). Mas impõe-se depois a análise critica do resultado, lembrando mais uma vez o seguinte: o método usado é intuitivo, mas não rigoroso; não devemos confiar inteiramente na intuição, pois esta por vezes ilude-nos. A fórmula (3) pode ser estabelecida com rigor, pelo método dos limites. Aliás, como se verá depois, o cálculo integral oferece meios por assim dizer mecânicos, para ,
a dedução desta e de outras fórmulas de áreas e de volumes. Trata-se porém de técnicas de cálculo, sem dúvida muito valiosas, e que por isso mesmo convém aprender e dominar, mas que
não iluminam o esplrito com aquele lampejo de visão intuitiva imediata, própria do método heurlstico dos infinitésimos. . Foi aplicando este método que o frade italiano Cavalieri, professor de matemática na Universidade de Bolonha a partir de 1629, conseguiu descobrir várias fórmulas novas de áreas e de volumes. Em 1627, Cavalieri escrevia a Galileu, de quem fora aluno: 'Aperfeiçoei uma obra de geometria [ ... ] e é coisa nova, não só quanto às coisas encontradas, mas também quanto ao modo de encontrá-Ias, por ninguém utilizado até agora, que eu saiba'.
Mas, de acordo com o que sucede geralmente na história da ciência, a novidade do método de Cavalieri é relativa. Ele próprio admite como seu precursor Kepler, e é muito provável que tenha
64
Guia para a Utilização do Compêndio de Matemática, 2º e 3º volumes, Observações Acerca do Capítulo I do 2º volume
GUIA DO
COMP~NDIO
DE MATEMATICA
sido também influenciado por Galileu. O método dos indivislveis foi aperfeiçoado por Torricelli, que o aprecia nos seguintes termos: 'A nova teoria dos indivisíveis vai pelas mãos dos doutos como milagre de ciência, e por ela aprendeu o mundo que os séculos de Arquimedes e de Euclides foram os anos da infância para a ciência da nossa adulta geometria!'
Mas, como era inevitável, começaram a chover as críticas ao novo método, às quais respondia Pascal do seguinte modo em 1568: 'Tout ce qui est démontré par les véritables regles des indivisibles se démontrera aussi à la riguer et à la maniere des anciens. Et c'est pourquoi je ne fera i aucune difficulté, dans la suite, d'utiliser ce langage'.
Aliás, é muito provável que também os antigos, em especial Arquimedes, tivessem seguido na investigação caminho semelhante ao deste método e o que só depois tivessem procurado demonstrar com rigor, aliás relativo, os resultados obtidos. Note-se que os fundadores do cálculo infinitesimal foram fortemente influenciados por Cavalieri. Assim, por exemplo, Newton adoptou os termos 'fluentes' e'fluxões' (introduzidos por Cavalieri), para designar, respectivamente, as funções e as respectivas derivadas. E os indivisiveis reaparecem sob a forma de diferenciais com Leibniz, que introduziu o sinal f de integral (deformação da letra S, inicial de 'soma'), para representar a soma dos indivisiveis, segundo Cavalieri. A análise infinitesimal procurava exprimir o que, segundo os antigos, era inexprimivel: a mudança, o eterno fluir da realidade, também chamado devir (do francês 'devenir'), simbolizado por Heráclito na sua célebre imagem do rio que nunca é o mesmo. Para os <
65
Guia para a Utilização do Compêndio de Matemática, 2º e 3º volumes, Observações Acerca do Capítulo I do 2º volume
J. BEBABTIAO E SILVA
filósofos racionalistas
(OU
filósofos do Ser), cujo pensamento se reflecte
na estruturação lógica da geometria, a mudança (e, em particular, o movimento) é uma série de contradições (ver os paradoxos de Zenão). Não é, pois, de admirar que tais contradições reÇlpareçam no método dos infinitésimos cujo objectivo era nada menos do que matematizar o fluir do mundo físico. Ainda em fins do século XVIII Lagrange resumia nos seguintes termos o estado da análise infinitesimal (ver 'Nota Histórica' do Capo V, Compêndio de Algebra): 'Esta ciência é um formigueiro de contradições e se, apesar disso, conduziu a grandes resultados, é poque a infinita clemência de Deus dispôs as coisas de modo que os erros se compensassem uns aos outros'.
Tais contradições só puderam ser completamente eliminadas em fins do século passado, depois de se ter construído a análise sobre uma teoria dos limites, deduzida logicamente de uma axiomática não contraditória (p. ex. a das grandezas ou a dos números reais). Mas, note-se bem: aquelas contradições não impediram que a análise, associada à física, tivesse sido até então o mais rico manancial de ideias e de resultados, em toda a história da matemática. Mais, ainda, na logificação da análise, perde-se um elemento precioso, sem o qual é impossível qualquer progresso na ciência: o dinamismo da intuição criadora. Por isso mesmo, é de toda a conveniência que, na fase inicial
da investigação, bem como na fase heurfstica do ensino, e nas aplicações concretas, se continue a usar a linguagem intuitiva, embora contraditória, dos infinitésimos, como se pode ver claramente a propósito dos integrais. Se não se proceder assim, corre-se o grave risco de criar sucessivas gerações deformadas mentalmente, inibidas de criar, por uma preocupação intempestiva de rigor lógico.
66
Guia para a Utilização do Compêndio de Matemática, 2º e 3º volumes, Observações Acerca do Capítulo I do 2º volume
GUIA DO COMPeNDIO DE MATJ!JMATlOA
7.
A teoria dos limites de sucessões, tal como se desenvolve
no Compêndio, em estreita ligação com o cálculo numérico aproximado, estabelece desde logo uma slntese da teoria com a prática, na forma em que esta se apresenta com mais viva actualidade: a do cálculo numérico por meio de computadores. Escusado será acentuar quanto esta orientação deverá contribuir para despertar o interesse do aluno, que reage quase sempre com desagrado ao aspecto exclusivamente teórico eabstracto de uma teoria dos limites dada a prior/, sem qualquer motivação. E note-se que, ao estímulo prático-intuitivo, se segue depois uma estruturação lógica perfeitamente rigorosa. tclaro que falta ainda, como base, uma teoria dos números reais. Mas esta só deve ser dada a posteriori, segundo o método analítico da investigação, tal como se indica na
ADVERT~NCIA.
E, deste modo,tam-
bém se estará a seguir em parte a ordem histórica. No n.O 30 faz-se o estudo do limite da função exponencial a", definida em IN, depois aplicado ao estudo da série geométrica no n.<> 31. Desnecessário salientar a importância destes assuntos. No que se refere às expressões sinónimas 'crescimento exponencial' e 'crescimento em
progressão geométrica' bastará
lembrar que estas fazem hoje parte da linguagem das pessoas cultas; e adquiriram actualidade, aliás, inquietante, a propósito da tendência para crescímento exponencial que se manifesta hoje na população do Globo, e, por isso, também na populaçã.o escolilr (fenómeno conhecido por 'explosão escolar'), no consumo da energia eléctrica, etc.
O exemplo histórico do tabuleiro de xadrez deveria ser familiar a todos os alunos que passam pelo ensino secundário. Aliás, estes e outros assuntos deveriam ser tratados logo no 2.° ciclo, por via intuitivo-racional, como se fazia há cerca de 35 anos.
O programa de matemática no 2.° ciclo era então bastante mais desenvolvido e, sem dúvida dúvida., mais interessante, mais rico em sugestões e em ligações com o concreto, portanto mais atraente e
Guia para a Utilização do Compêndio de Matemática, 2º e 3º volumes, Observações Acerca do Capítulo I do 2º volume
.T. SEBASTIAO E SILVA
formativo. É certo que o regime de 3 tempos lectivos por semana não chegava para um desenvolvimento eficaz desse · programa. Mas três circunstâncias concorriam para que os bons professores pudessem cumpri-lo de maneira satisfatória, pelo menos em relação aos alunos bem dotados: 1) menor número médio de alunos por turma; 2) inexistência de colecções de exercícios-cliché, como as que se difundem actualmente, criando a ansiedade de os resolver, em número cada vez maior, para se conseguir passar no exame; 3) menor extensão dos programas de carácter informativo, que exigem grande esforço de memória e bloqueiam o esprrito do aluno, impedindo-o de se concentrar e reflectir. Nos tempos actuais o já referido fenómeno da explosão escolar, aumentando rapidamente a quantidade dos alunos, tende a degradar a qualidade do ensino.
A instituição de turmas-piloto, como está a ser feita em vários parses, tem exactamente por fim salvar da avalanche a qualidade do ensino.
8.
Impõe-se aqui uma observação quanto aos exercícios J,
b), d), e) da p. 110 do 2. 0 volume. Bastará considerar o primeiro. Uma vez resolvido o exercrcio I, a), o aluno não terá dificuldade em
descobrir a ideia-chave do que se lhe segue. Tem-se:
VI
5" + 2"
=
V
5" [1 + (
~ )"] = 5
V
Ora
2 1 + (-)" -+ 1 + O = 1 5
68
1+(
~ )"
Guia para a Utilização do Compêndio de Matemática, 2º e 3º volumes, Observações Acerca do Capítulo I do 2º volume
GUIA DO OOMPeNDIO DE MATEMÁTICA
Por intuição ou por hábito em situações análogas, o aluno aceitará em seguida que
Dum modo geral ele aéeitará que (1 )
X n -7
1 =>
V' x n -7 1
qualquer que seja a sucessão x n que tenda para 1. Porém, a demonstração rigorosa deste facto não é tão fácil como à primeira vista parece. O que se pode e convém é levar sucessivamente o aluno a tomar consciência do seguinte: 1.°
Nenhum dos anteriores teoremas sobre limites permite
demonstrar (1), pois que, no caso presente, o radicando e o indice da raiz são ambos variáveis. 2.°
Utilizando, por exemplo, logaritmos decimais, tem-se:
donde se deduz
0/ Xn
, -7
10õ5"
= 1, admitindo que
(2)
lim (Iog u n ) = log (Iim u n )
(3)
lim 10
U
n
I"
= 10 1m un
quaisquer que sejam as sucessões convergentes u n e v n ' sendo Un
> O, 'In.
(1 ')
Mais geralmente, vê-se deste modo que X n -7
a => ~ X n
-7
1
, 'Ia
E
IR
+
69
Guia para a Utilização do Compêndio de Matemática, 2º e 3º volumes, Observações Acerca do Capítulo I do 2º volume
J. SEBASTIÃO E SILVA
3.°
Não vale a pena demonstrar, por enquanto, os factos intui-
tivos (2) e (3), aos quais se reduz a demonstração de (1 '). Estaremos assim, mais uma vez, a proceder à semelhança do que se faz em investigação. Se
porventura
Newton,
Leibniz,
Euler, Lagrange, Laplace e outros mais tivessem ficado à espera de uma demonstração rigorosa dos seus resultados antes de os publicarem, não teriam sido possíveis os enormes progressos que, desde então até hoje, se têm realizado em matemática e nas ciências afins.
Os referidos exerclcios conduzem, de modo natural, a redescobrir um método geral para o cálculo numérico de todas as raízes de uma equação algébrica: o método de Graffe. Os fundamentos deste método, relativamente elementar, são acesslveis a qualquer bom aluno que, porventura, sinta curiosidade pelo assunto. Por outro lado, as dificuldades de cálculo numérico inerentes ao método estão hoje em grande parte removidas pelos computadores electr6nicos. Por isso não resistimos à tentação de o inserir no texto, a titulo facultativo, com exemplos numéricos, pensando sobretudo numa das várias incongruências que se verificam no ensino universitário da matemá-
tica: os alunos aprendem ai teorias, mais ou menos profundas, relativas a equações algébricas; mas se alguém lhes perguntar como se calculam todas as raízes de uma dada equação algébrica, de grau arbitrário, com a aproximação que se queira, terão de reconhecer que não sabem. Isto dá bem a nota de quanto o ensino tradicional da matemática tem sido afastado da realidade.
9.
Para um ensino realista e actual da matemática, afigura-se
indispensável a slntese da análise numérica com a análise infinitesimal. .
70
Guia para a Utilização do Compêndio de Matemática, 2º e 3º volumes, Observações Acerca do Capítulo I do 2º volume
GUIA DO COMPSNDIO DE MATEMÁTICA
A separação dos dois aspectos parece-nos um erro pedagógico, pelo menos na fase de iniciação.
Já se viu como os teoremas de cálculo numérico aproximado, de
que se tratou
no capítulo
I, servem para demonstrar os
teoremas do limite da soma, do produto, etc. No fundo, esses teoremas dizem-nos que as funções x + y, XV, (com p
E
xlv
(com y =P O) e
\Ix
IN) são contínuas, tal como se observa no n.O 39,
p. 147-148. Depois, as fórmulas dos desvios, em que esses mesmos teoremas se baseiam, vão-nos fornecer as regras de derivação da soma, do produto, do quociente e da raiz. Deste modo, a coesão entre os diversos assuntos é reforçada consideravelmente e estamos a aproximar-nos de um dos .ideais em ciência e pedagogia, que é: A UNICIDADE NA MULTIPLICIDADE.
Ma,s a ideia inicial, lançada no § 1. do capítulo I, ainda não foi explorada completamente. Para apreender todas as suas potencialidades, há que introduzir o conceito de diferencial. Aliás, este é indispensável para realizar eficazmente a síntese da análise infinitesimal com as ciências experimentais (em especial com a física), o que se impõe igualmente na fase de iniciação. E é ainda o ponto de vista do cálculo numérico que nos permitirá introduzir tal conceito de modo simples e natural, tornando-o palpável. Eis pois .a orientação que propomos, para corrigir o aspecto demasiado formal com que o conceito é introduzido no texto. Consideraremos, por exemplo, as FÓRMULAS APROXIMADAS DOS DESVIOS DA POT!:NCIA E DA RAIZ:
Como se vê, os coeficientes de ~x são, respectivamente, as
derivada~ de xn e de
Vx
em ordem a x. Assim, dum modo geral.,
71
Guia para a Utilização do Compêndio de Matemática, 2º e 3º volumes, Observações Acerca do Capítulo I do 2º volume
J . SEBASTIAO E SILVA
dada uma função f que admita derivada finita num ponto x, é-se levado a considerar como f6rmula aproximada do desvio de f(x) a seguinte: M(x) ~ f'(x) Ll x ou ainda, pondo f(x) = y : Lly
(1 )
~
f'(x) Llx
sendo Lly o desvio (ou acréscimo) correspondente a Llx, isto é: Lly = f(x + Llx) - f(x) Resta, porém, saber qual o grau de aproximação que a fórmula (1) pode fornecer. Para isso, recordemos que
f(x) =
. Lly IIm ~x~o Llx
Então, se pusermos
-
Lly Llx
-f(x) = r
vê-se, por um lado, que r ~ O quando
Llx ~ O
e, por outro lado, que (2)
72
Lly = f'(x) Llx + r Llx
Guia para a Utilização do Compêndio de Matemática, 2º e 3º volumes, Observações Acerca do Capítulo I do 2º volume
GUIA DO
OOMP~NDlO
DE MATEMÁTIOA
Mas o termo r~x, dividido por ~x, tende para
° com
~x.
Portanto, passa-se da fórmula exacta (2) para a fórmula aproximada (1), desprezando o termo
r~x,
que é um infinitésimo com
~x
de ordem
superior à de ~x. Na prática, isto quer dizer o seguinte:
o erro que se comete ao adaptar a fórmula ~y
(1) para calcular
torna-se desprezável quando I~xl é suficientemente pequeno.
Mas, o significado desta afirmação não será devidamente apreendido pelo aluno, se não se der logo em seguida um exemplo numérico simples. Seja
= x2
y
,
X
= 1,3
,
~x
= 0,02
Então y' = 2x e, assim:
(3)
~y ~ 2x~x =
2 x 1,3 x 0,03 = 0,052
Ter-se-á, pois: ;
y
+
~y ~
x 2 + 2x ~x = 1,3 2 + 0.052 = 1,742
Por outro lado, o valo~ exacto de ~y =
o
(x +
~x) 2 -
x2 =
/iy
2x· ~x
é:
+
(~x) 2 =
erro que se comete usando (3) é portanto
0,0524
(~x) 2 =
0.0004, e
será desprezável se quisermos apenas o resultado amenos de 0,001.
Posto isto, podem 'seguir-se as considerações da p. 155 do texto, a partir da linha 13, assim como a do n.O 42 sobre as 73
Guia para a Utilização do Compêndio de Matemática, 2º e 3º volumes, Observações Acerca do Capítulo I do 2º volume
ol. SEBASTIAO E SILVA
regras de diferenciação. A propósito destas convém talvez chamar desde já a atenção do aluno para o seguinte: A fim de simplificar as notações, convenciona-se escrever dx 2 em vez de (dx) 2, dx 3 em de (dx) 3, etc. Assim, sendo n um número n natural qualquer, a potência n de dx será representada por dx e o diferencial de xn por d(xn), isto é: d(x n)
= nxn- 1 dx
Por isso, também conviria escrever a fórmula aproximada do desvio da potência sob a forma
74
Guia para a Utilização do Compêndio de Matemática, 2º e 3º volumes, Observações Acerca do Capítulo I do 2º volume
,
Indice Plg,. Considerações de ordem geral ., . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
I - Introdução à trigonometria ............•..........•........
19
11 - Observações acerca do capitulo I do 2. 0 volume .............
53
111 - Observações ao capitulo 11 do 2. 0 volume ...................
79
IV - Probabilidades. estatistica e ciência experimental ..............
95
V ....;.. Indução experimental e indução matemática..................
131
VI - Racionalização matemática do continuo ...............•.....
1 81
199