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Guia para a Utilização do Compêndio de Matemática, 2º e 3º volumes, Observações ao Capítulo II do 2º volume

J. SEBASTIÃO E SILVA

Observações ao Capítulo II do 2º volume

Curso Complementar do Ensino Secundário

Edi<;;'io G EP l.lSBOA

Guia para a Utilização do Compêndio de Matemática, 2º e 3º volumes, Observações ao Capítulo II do 2º volume

1. SEBASTIÃO E SILVA

GUIA PARA A UTILIZAÇÃO

COMPÊNDIO DE

MATEMATICA (2. 0 83. 0 VOLUMES)

CURSO COMPLEMENTAR DO ENSINO SECUNDARIO

197 7

GABINETE DE ESTUDOS E PLANEAMENTO DO MINIST~RIO DA EDUCAÇÃO E INVESTIGAÇÃO CIENTíFICA Av. Milucl Bombarda, 20-Lisboa

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ADVERTeNCIA PRtVIA

o Compêndio de Matemática é destinado a servir, não s6 como auxiliar de estudo para o aluno, mas ainda como complemento de formação para o professor. Da/ o desenvolvimento e o pormenor com que foi escrito. Cabe, pois, ao critério e ao bom senso do professor dosear a densidade do ensino com base no Compêndio. Este, por outro lado, não contém todos os assuntos a desenvolver nas turmas experimentais do 7.° ano. Em alguns casos será necessário recorrer aos livros adoptados, tal como se indica no presente Guia e no pr6prio Compêndio.

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texto deste Guia foi utilizado no 5mbito de uma experiência de modernização do ensino da matemática em Portugal, dirigida pelo Prof. Sebastião e Silva e realizada pelo Ministério da Educação Nacional em colaboração com a O.C.D.E. (Projecto Especial STP-4/SP) . Nesta experiência estiveram envolvidos alu- · nos dos antigos 6. 0 e 7. 0 anos do ensino liceal (idades entre 15 e 17 anos). Nos termos do acordo estabelecido entre a O.C.DE e Portugal t§ proibida a reprodução total ou parcial deste texto por terceiros.

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CONSIDERAÇOES DE ORDEM GERAL

Convém chamar 8 atenção para alguns pontos que já foram focados no Guia anterior, mas que importa salientar sob novos aspectos. No que se refere à questão crucial dos exercícios, nunca é de mais insistir nas seguintes recomendações:

preciso combater o excesso de exerclcios que, como um

cancro, acaba por destruir o que pode haver de nobre e vital no ensino. 2)

preciso evitar certos exerclcios artificiosos ou compli-

cados. especialmente em assuntos simples. 3)

A melhor maneira de memorizar fórmulas e teoremas (quando

fOf neceS8~fio) é aprender IJ deduzir sem hssitllçlo essas fórmul" e esses teoremas, em vez de resolver listas festidiosss de exerclcios. como prstexto. tantas vezes forçado. para pó, B provI tais conhecimentos. O prOffJSSOf dsve incitar os alunos a serem desembaraçados nas deduçlJBS. tanto como nos cálculos. NAo quer isto dizer, de modo nenhum, que não seja indispen· s'vel resolver bons exerclcios, para esclarecimento de diversos aS8untos e para a aquisição de técnicas úteis e necessárias. () que se

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impõe é não cair no excesso - a obsessão do exerclcio - e adaptar um critério de escolha que elimine exercicios supérfluos e exercícios estapafúrdios, que tenham como equivalente, no ensino das Iinguas vivas, a retroversão de frases deste género: 'As sobrinhas dos capitães brincavam no jardim com as netas dos juizes'. Nem sequer o ridiculo tem conseguido vencer estas e outras incongruências, que certamente não contribuem para estimular o bom senso e o bom gosto do aluno. ~ mais proveitoso reflectir várias vezes sobre um mesmo exer-

cicio que tenha interesse, do que resolver vários exercicios diferentes, que não tenham interesse nenhum. No entanto, é essencial que o aluno consiga, ele próprio, sem

ajuda, resolver exercicios pela primeira vez. Todo o problema nov~, com interesse, tem uma ideia-chave, um abre-te Sésamo que ilumina o espirito· de súbita alegria: a clássica ideia luminosa que faz gritar 'Eureka 1'. Ora, é esse momento áureo de alegria que o aluno precisa de conhecer alguma vez: só por essa porta se entra no segredo da matemática, se descobrem os seus tesouros, se aprendem as suas recOnditas harmonias. Vistos por esse mágico prisma, todos os assuntos, desde os mais modestos, se transformam como por encanto, ganhando vida e beleza. Diga-se a verdade: é de vida, é de alma, que o ensino está necessitado - porque tudo nele se reduz afinal

a ... matéria que vem para exame. Ensino vital de ideias, eis o que se impõe - em vez de exposição mecânica de matérias. Entre os exercicios que podem ter mais interesse, figuram aqueles que se aplicam a situações reais, concretas. O nosso ensino tradicional não enferma unicamente de fraca (e quantas vezes nula) insistência em demonstrações, e de insuficiente rigor lógico: peca

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também por ausência de contacto com o húmus da intuição e com a realidadde concreta. Ora, um dos pontos assentes em reuniões internacionais de professores, promovidas pela O.C.D.E.,ê que o professor de matemática deve ser, primeiro que tudo, um professor de matematização, isto é, deve habituar o aluno a reduzir situações concretas

a modelos matemáticos e, vice-versa, aplicar os esquemas lógicos da matemática a problemas concretos. É preciso não esquecer Que o extremo rigor lógico, em vez de

formativo, pode tornar-se perigosamente deforma dor, . criando inibições por vezes insuperáveis - se não for precedido de uma boa motivação intuitivo-concreta e equilibrado com o referido processo de matematização. A crítica dos fundamentos da matemática, inciada no século passado, conduziu a esse grau de rigor lógico, cuja necessidade se impunha; mas criou ao mesmo tempo um estado de espírito favorável a atitudes rígidas, demasiado platónicas. Seguiu-se uma reacção, por vezes também excessiva, mas em parte salutar, dos chamados 'matemáticos empiristas'. Neste sentido, são dignas de reflexão as seguintes palavras de Guido Castelnuovo, proferidas em 1912, num congresso de professores em Gênova :

'Nós ensinamos a desconfiar da aproximação, que é realidade, para adorar o ídolo de uma perfeição, que é ilusória. Nós re presentamos o universo como um edifício, cujas linhas têm perfeição geométrica, e nos parecem desfiguradas e enevoadas, apenas por causa da imprecisão dos nossos sentidos, quando, pelo contrário, deveríamos incitar os alunos a reconhecerem que as formas incertas reveladas pelos sentidos constituem a única realidade acessível - realidade que, para satisfazer certas exigências do nosso espírito, substituímos por uma precisão ideal [ ... ]. Não há melhor maneira de alcançar o objectivo [do ensino científico] do que conjugar a cada passo a teoria com a experiência, a ciência com a aplicaçAo [ ... l'.

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Esta atitude pode parecer anti-racionalista; na verdade, só o é na medida em que se opõe a um platonismo ultrapassado. Mas pode talvez notar-se um excesso de zelo utilitarista nas palavras seguintes, relativas aos deveres do professor para com os alunos:

'São-nos confiados pelos pais, para que façamos deles homens aptos a compreender a vida das nações modernas e a participar nessa vida. Se nós não temos em consideração estas exigências; se, por amor da cultura, sufocamos nos alunos o sentido prático e o espírito de iniciativa, estamos a faltar ao maior dos nossos deveres'. Esta crítica é justa apenas em relação a certo tipo de cultura. Embora seja vago o significado da palavra 'cultura', podemos dizer que a cultura cientlfíca resulta precisamente da síntese dos dois termos complementares: a teoria e a prática. E, mesmo quando à

cultura geral, que inclui os aspectos filosófico, literário, artístico e humano, tem-se verificado que a sua ausênci.a prejudica seriamente a formação de bons técnicos e de bons cientistas( 1). E mais ainda a de bons dirigentes. O que é ·preciso é não confundir cultura com erudição e sobretudo com o enciclopedismo desconexo, imensa manta de retalhos mal cerzidos, que vão desde as guerras púnicas até ao sistema nervoso da mosca. É esse, a bem dizer, o tipo de cultura que tende a produzir o ensino tradicional, baseado num sistema de exames que só permite apreciar memorizações e automatismos superficiais, mais ou menos próximos do psitacismo. Um dos objectlvos fundamentais da educação é, sem dúvida, criar no aluno hábitos e automatismos úteis, como, por exemplo, os

( 1)

Castelnuovo . foi ele mesmo um exemplo do cientista culto, na mais

elevada acepção da palavra.

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automatismos de leitura, de escrita e de cálculo. Mas trata-so ai, manifestamente, de meios, não de fins. ~ certamente útil saber falar com fluência línguas estrangeiras

ou tocar piano - como é útil saber nadar, escrever à máquina, conduzir automóvel ou jogar futebol. Mas também estas prendas (como se dizia antigamente) são apenas meios e não fins - a não ser que se tenha em vista escolher uma dessas actividades como profissão (mesmo assim, será ' um meio de ganhar a vida). E note-se, de passagem, que a melhor maneira de ensinar a ler ou a dominar uma língua estrangeira não é obrigar a ler trechos sem qualquer , interesse ou a fazer exercfcios absurdos. Os referidos automatismos são, pois, meios para atingir certos fins: são precisamente meios de acesso à cultura. A sua finalidade é a de aumentar o poder e a liberdade do verdadeiro pensamento, que não é substituível pela máquina e sem o qual o homem se reduz a perigoso escravo das máquinas, como se tem observado infelizmente. ·Um ensino que não estimule o espírito e que, pelo contrário, o obstrua com as clássicas matérias para exame, só contribui para produzir máquinas em vez de homens. E não é assim que se curam os males de que está sofrendo o mundo .

•

Na ADVERT~NCIA do Compêndio de Matemática, 2.° volume, propõe-se que os assuntos dos dois volumes do 7.° ano sejam tratados em paralelo, no regime de bifurcação, com três horas por semana destinadas a um dos volumes, e três horas por semana ao outro. O objectivo é evitar que os assuntos tratados num dos volumes sejam relegados em bloco para a última parte do ano, em que a receptividade dos alunos é sempre menor, por razões óbvias. Porém, o estudo dos assuntos do Compêndio de Matemática,

3.° volume, terá de ser precedido de uma introdução à trigonometria. 11

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Convém, pois, começar por indicações relativas à maneira de fazer essa introdução, tirando partido do Compêndio de Trigonometria · adoptado. Mas impõem-se, antes disso, algumas considerações de ordem geral relativas a este assunto. O ensino tradicional da trigonometria nos liceus tem uma amplitude e uma orientação que já não se justificam nos tempos actuais. Há assuntos como, por exemplo, a resolução de triângulos obliquângulos, que s6 virão no futuro interessar a uma fraca minoria de alunos. Além disso, tais assuntos têm modesto valor formativo, comparados com outros, cuja ausência se faz sentir cada vez mais. Acresce ainda a circunstância de ser fácil encontrar as f6rmulas usuais de resolução de triângulos (quer planos quer esféricos) em qualquer boa tábua de logaritmos. Para que é preciso então. estudá. . -

-Ias, se há tantos outros assuntos de maior interesse? Basta pois saber utilizá-Ias. Mas isso qualquer aluno dotado de inteligência me- . diana deve estar em condições de aprender por si s6, desde que conseguir, é porque o esteja interessado no assunto . . (1). Se (, não . ensino não chegou a conferir-lhe aquele grau de autonomia mental que se requer de um aluno do 7.° ano: · é porque falhou o ensino. Resta o problema das tábuas. Existem tabelas de f6rmulas (chamadas 'formulários'), como existem tabelas numéricas, listas telef6nicas, catálogos ou enciclopédias. A finalidade é sempre a mesma: evitar um esforço inútil e mesmo incomportável de mem6ria, dando maior grau de liberdade ao pensamento. Sem dúvida, há f6rmulas e tabelas numéricas que o aluno deverá sempre ter presentes, atendendo à frequência com que é preciso utilizá-Ias: por exemplo, as f6rmulas trigonométricas de adição de ângu-

(')

Pode mesmo, se tiver curiosidade, procurar saber como se deduzem , 8 . .81 fórmulas.

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GUIA DO

COMP~NDlO

DE MATEMATICA

los e as tabuadas das operações elementares da aritmética. É tudo, afinal, uma questão de medida e de bom senso. Quanto aos dois teoremas em que se baseia habitualmente a dedução das fórmulas de resolução de triângulos obliquângulos - o teorema dos senos e o teorema dos co-senos (ou de Carnot) - tem algum interesse fazer a sua dedução no curso piloto. Aliás, o último teorema deverá ficar ligado à noção de produto interno de dois vectores, que tem adquirido cada vez maior importância em matemática, quer pura quer aplicada.

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111 OBSERVAÇOES AO CAPrTULO 11 DO 2. 0 VOLUME

1. A análise infinitesimal é, sem dúvida, uma das mais belas e úteis criações do espírito, impondo-se quer pela elegância e fecundidade dos métodos, quer pela importância das aplicações.

Mais é sobretudo no cálculo integral que estes aspectos adquirem vulto. Foi pelo cálculo integral que o método matemático afirmou, desde Newton, as suas altas potencialidades, numa das mais audaciosas tentativas da inteligência humana para interpretar o devir do mundo físico, de modo a ser capaz de prever, tanto quanto possível, os fenómenos naturais e de intervir no curso dos acontecimentos. produzindo-os ou evitando-os, conforme interessa. Não foi sem razão que Newton deu à sua obra o titulo PHILOSOPHIAE NATURALlS PRINCIPIA MATHEMATlCA (').

Daí o elevado valor formativo do cálculo integral, desde que seja ensinado de maneira conveniente (2). Exclui-lo por completo do ensino liceal é privar os alunos de um dos factores essenciais de

(')

Princlpios Matemáticos da Filosofia Natural.

(2)

Não se deve no entanto minimizar o interesse do cálculo diferencial,

que permitiu a Newton deduzir das leis de Kepler a lei da gravitação universal.

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formação de cultura cientlfica, condicionando-os demasiado à ciência imobilista dos Gregos, que não puderam ir além da geometria e da estática. E quem diz 'cultura científica', diz 'cultura moderna'. Pois pode haver cultura sem base científica, na era em que vivemos? Por outro lado, é preciso ter presente que o cálculo integral e o cálculo diferencial nasceram conjuntamente como frutos da mesma intuição, como aspectos complementares do mesmo método e como meios para o mesmo fim: a aplicação da matemática ao estudo dos fenómenos naturais. Portanto, separá-los inteiramente no ensino é uma amputação deplorável, um erro pedagógico que se irá repercutir mais tarde em inibições mais ou menos profundas no espírito do aluno. E recordemos uma vez mais este facto várias vezes apontado: a análise infinitesimal nasceu com a física e com esta assumiu rápido incremento, num processo típico de interacção. Grandes matemáticos - tais como Newton, Lagrange, Fourier, Gauss, Hamilton, etc.foram ao mesmo tempo grandes físicos. E ainda hoje é da física que a análise recebe o estímulo mais vigoroso. Mantêm viva actualidade as seguintes palavras de Henri Poincaré na sua obra intitulada

'La valeur de la science': Les môthématiques ont un triple but. Elles doivent fournir un instrument pour I'étude de la nature. Mais ce n'est pas tout: elles ont un but philosophique et, rose le dire, un but esthétique. Elles doivent aider le philosophe à approfondir les notions de nombre, d'aspace, de temps. Et surtout leurs adeptes y trouvent des jouissances analogues-à celles que donnent la peinture et la musique. IIs admirent la délicate harmonie des nombres et des formes; ils s:émerveillent quand une découverte nouvelle leur ouvre une perspective inattendue; et la joie qu'ils éprouvent ainsi n'a-t-elle pas le caractêre esthétique, bien que les sens n'y prennent aucune par!? Peu de privilégiés sont appalés à la goQter pleinement, cela est vrai, mais n'est-ce pas ce qui arrive pour las arts las plus nobles 7

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GUIA DO COMP2NDlO DE MATEMÁTICA

C'est pourquoi je n'hésite pas à dire que les mathématiques méritent d'être cultivées pour elles-mêmes et que les théories qui ne pouvent être appliquées à la phvsique doivent I'être comme les autres. Quand même le but phvsique et le but esthétique ne seraient pas sol ida ires, nous ne devrions sacrifier ni I'un I'autre. Mais il V a plus: ces deux buts sont inséparables et le meilleur moven d'attein· dre I'un c'est de viser I'autre, en du moins de ne jamais le perdre de vue. C'est ce que je vais m'efforcer de démontrer en précisant la nature des rapports entre la science pure et ses applicatinos. Le mathématicien ne doit pas être pour le phvsicien un simple fournisseur de formules; il faut qu'iI V ait entre eux une collaboration plus intime.

. La phvs;que mathématique et I'analvse pure ne sont pas seulement des puissances limitrophes, entretenant des rapports de bon voisinage; elles se pénétrent mutuellement et leu r esprit est le même. C'est ce que I'on comprendra mieux quand j'aurai montré ce que la phvsique reçoit de la mathématique et ce que la mathématique, en retour, emprunte à la phvsique'.

Poincaré indica primeiro o que a física deve à matemática: 'Le phvsicien ne peut demander à I'analvste de lui révéler une vérité nouvelle; tout au plus celui-ci pourrait-il I'aider à la pressentir. 11 V a longtemps que personne ne songe plus à devancer I'experience, ou à construire le monde de toutes piêces sur quelques hvpothêses hatives. De toutes ces constructions ou I'on se complaisait encore naivement iI V a un siêcle, li ne reste plus aujourd'hui que des ruines. Toutes les lois sont donc tirées de I'expérience; mais pour les énoncer, il faut une langue spéciale; le langage ordinaire est trop pauvre, iI est d'ailleurs trop vague, pour exprimer des rapports si délicats, si riches et si précis. Voilà donc une premiêre raison pour laquelle le phvsicien ne peut se passer des mathématiques: elles lui fournissent la seule langue qu'il puisse parler'.

E mais adiante: 'Mais ca n'ast pas tout; la loi sort de I'expérience, mais elle n'ensort pas imméçliatement. L'expérience est individuelle, la loi qu'on en tire est générale;

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I'expérience n'est qu'approchée, la loi est précise ou du moins prétend I'être. l'expérience se fait dans des conditions toujours complexes, I'énnoncé de la loi élimine ces complications. C' est ce qu' on appelle «corriger les erreurs svstématiqueslt. En un mot, pour tirer la loi de I' expérience, iI faut gén.éraliser; c' est une nécessité qui s'impose à I'observateur le plus circonspect. Mais comment généraliser7 Toute vérité particuliêre peut évidemment être étendue d'une infinité de maniêres. Entre ces mille chemins qui s'ouvrent devant nous, iI faut faire un choix, au moins provisoire; dans ce choix, qui nous guidera1 Ce ne pourra être que I'analogie. Mais que ce mot est vaguei L'homme primitif ne connait que les analogies grossieres, celles qui frappent les sens, celles des couleurs ou des sons. Ce n'est pas lui qui aurait songé à rapprocher par exemple la lumiêre de la chaleur ravonnante. Qui nous a appris à connaitre les analogies véritables, profundes, celles que les veux ne voient pas et que la raison devine 7 C'est I'esprit mathématique, qui dédaigne la matiêre pour ne s'attacher qu'à la forme pure. C'est lui qui nous a enseigné à nommer du même nom des êtres qui ne diffêrent que par la matiêre, à nommer du même nom par exemple la multiplicatíon des quaternions et celle des nombres entíers. Si les quaternions, dont je víens de parler, n'avaient été si promptement utilisés par les phvsiciens anglais, bien des personnes

n'v verraient sans doute

qu'une rêverie oíseuse, et pourtant, en nous applenant à rapprocher ce que les apparences séparent, ils nous auraient déjà rendus plus aptes à pénétrer les secrets de la nature. Voilà les services que le phvsicien doit attendre de l'ana1vse, mais pour que cette science puisse les lui rendre, iI faut qu' elle soit cultivée de la façon la pltJs large, sans préoccupation immédiate d'utilité, iI faut que le mathématicien ait travaillé en artiste, Ce que nous lui demandons c'est de nous aider à voir, à discerner notre chemin dans le dédale qui s'offre à nous. Or, celui qui voit le mieux, c'est celui qui s' est élevé le plus haut I

E, depois de examinar alguns exemplos históricos que ilustram O

seu ponto de vista (a lei da gravitação universal de Newton, a

teoria matemática do electromagnetismo de Maxwel,que precedeu

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de 20 anos a descoberta experimental das ondas hertzianas, e as analogias matemáticas que permitiram aproximar a hidrodinâmica, do electromagnetismo e da termodinâmica), Poincaré conclui: 'Ainsi les analogies mathématiques, non seulement peuvent nous faire pressentir les analogies physiques, mais encore ne cessent pas d'être utiles, quand ces dernieres font défaut, En résumé, le but de la physique mathématique n'est pas seulement de faciliter au physicien le calcul numérique de certaines constantes ou I'intégration de certaines équations différentielles, 11 est encore, iI est surtout de lui faire connaitre I'harmonie cachée des choses en les lui faisant voir d'un nouveau biais, De toutes les parties de I'analyse, ce sont les plus élevées, ce sont les pIus puras, pour ainsi dira, qui saront las plus fécondes antre les mains de ceux qui savant s'an servir!

Em seguida Poincaré aponta o que a matemática deve à física: 'li faudrait avoir complêtamant oublié I'histoire de la scianca pour na pas sa rappeler qua la dásir da connaitra la natura a ou sur la dévaloppement das mathématiques I'influance la plus constanta at la plus haureuse, En premiar lieu, la physician nous pose des problemes dont il attend de nous la solution, Mais an nous les proposant, iI nous a payé largement d'avance le service que nous pourrons luirendre, si nous parvenons à les résoudre. Si I'on vaut ma permettre de poursuivre ma comparaison ave c les beaux-arts, le mathématicien pur qui oublierait I'existenca du monde extérieur, serait semblable à un pointre qui saurait harmonieusemant combiner les couleurs et les formes, mais à qui les modeles feraiaht défaut. Sa puissance créatrice serait bientOt tarie:

E mais adiante: 'Mais ca n'ast pas tout; la physique na nous donne pas seulement I'occas.ion de résoudra des problêmas; elle nous aide à an trouver les moyens, et cela de deux manlAres,

EII. nouI falt pr....ntlr la lolution; alie nous suggêre des raisonnaments,

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J. SEBASTIAO E SILVA J'ai parlé plus haut de I'équation de Laplace que I'on rencontre dans une foule de théories physiques fort éloignées les unes des autres. 00 la retrouve eri géométrie, dans la théorie de la représentation conforme et en analyse pure, dans celle des imaginaires. De ceUe façon, dans I'étude des fonctions de variables complexes, I'analyste, à cÔté de I'image géométrique, qui est son instrument habituei, trouve plusieurs images physiques dont il peut faire usage avec le même succes. Grâce à ces images, iI peut voir d'un coup d'oeil ce que la déduction pure ne lui montrerait que successivement. /I rassemble ainsi les éléments épars de la solution, et par une sorte d'intuition devine avant de pouvoir démontrer, Deviner avant de démontrerl Ai-je besoin de rappeler que c'est ainsi que se sont faites toutes les découvertes importantes? Combien de vérités que les analogies physiques nous permeUent de pressentir et que nous ne sommes pas en état d'établir par un raisonnement rigoureuxl'

É, portanto, útil que o ensino da análise não seja inteiramente

dissociado do das ciênicas flsico-naturais. Torna-se aqui bem evidente o facto a que diversas vezes temos aludido e que Poincaré deixou expresso em termos lapidares: a intuição precede geralmente a lógica, no processo de criação matemática. E o ensino deve respeitar esta ordem, se não quisermos abafar no aluno o esplrito de pesquisa, obrigando-o a admirar passivamente (ou a detectar) uma construção acabada e perfeita. Convém recordar, por outro lado, que os métodos da análise se tornavam inaplicáveis em muitos casos - sobretudo no domínio da técnica - por originarem cálculos numéricos inexequíveis. Mas os computadores trouxeram a possibilidade de vencer grande parte dessas dificuldades, com repercussões no progresso técnico-científico, hoje patentes ao mundo inteiro. Assim, para estar de acordo com o espírito da época, a iniciação na análise infinitesimal - e, mais ainda, no cálculo integral - deve subordinar-se, tanto quanto possível, ao ponto de vista do cálculo numérico automático.

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3. ~ claro que, dos elementos de cálculo integral, s6 podemos exigir, no ensino secundário, · o quantum satis. Mas a escolha terá de ser muito criteriosa, para que não se esteja a fazer sementeira inútil ou, pior ainda, prejudicial. O qbjectivo é lançar algumas ideias mestras, de maneira que possam realmente germinar. Exactamente o oposto do que se está fazendo cada vez mais: afogar desde logo as ideias em cálculos puramente formais, que o aluno acabará por executar mecanicamente - e mal. Não quer isto .dizer, de modo algum, que não se devam também fazer alguns cálculos I Suc.ede até que os exerc[cios de primitivação, especialmente os de primitivação ime-

diata, oferecem uma excelente oportunidade para que o aluno se possa aperfeiçoar nas técnicas de cálculo, que requerem uma certa iniciativa e um certo desembaraço, quando se trata de transformar uma dada expressão numa outra equivalente, adaptando-a ao fim em vista. Mas é na motivação concreto-intuitiva do conceito de integral e na sua definição que se deve pôr o máximo de empenho, procurando fazer sentir ao aluno a beleza e o interesse empolgante do assunto. O que é essencial aqui, mais uma vez, é acender-lhes no esp[rito a chama da ideia: o resto virá por acréscimo. Que estejam seguros desta verdade eterna os mestres a quem comece a minguar a fé, o que é aliás compreenslvel, atendendo ao condicionalismo geral do nosso ensino. Se não houver tempo - o que ·é bem provável - podem-se omitir as demonstrações. O que importa, por enquanto, são as intuições: essas de modo nenhum devem faltar, pelas razões acima invocadas.

Quanto aos métodos elementares de primitivação, pode-se,

em caso de necessidade, omitir, na prática, os dois últimos: primitivaçAo por partes eprimitivação por substituição. Importa, no entanto,

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fazer-lhes uma breve referência, dizendo que provêm, respectivamente, das regras de derivação do produto e da função composta, e dando um ou dois exemplos, mas só de primitivação por partes. Isto pode

ser feito antes de introduzir o conceito de integral, ao contrário do que se indica em nota no Compêndio, uma vez que se gaste pouco tempo com o assunto.

t certo que aparecem depois exemplos importantes em que intervém o método de substituição. Um desses exemplos é o da função exponencial integral, dada pela fórmula Ei(x) = Li(eX); mas nesse caso basta verificar directamente (aplicando a regra de derivação das funções compostas) que se tem, pondo eX DxEi(x)

= DuLi(u)

= u,

• Dxu

eX • eX = -

log u

e que, portanto, Ei(x) é uma primitiva de eX/x. O outro exemplo é o cálculo da área da elipse, por meio do integral

Mas ai pode-se evitar o cálculo do integral por meio da primitiva, notando que o valor de

é precisamente a área de um quarto de circulo de centro O e raio a. Ter-se-á, pois:

Ya 2

- X2

= -8

r o

Ya 2

- X2

b 1ta 2

= -8- = -4 4

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GUIA DO a014P8NDIO DE 14ATEMATIOA

e, ass'm, a área pedida será 1tab (cf. n.O 6 deste Guia). É claro que neste cálculo intervém a propriedade segundo a qual o integral do produto de uma constante por uma função é igual ao produto da constante pelo integral da função.

Deste . modo se evita submergir desde logo o aluno em cálculos mais ou menos fastidiosos, o que, como se observou atrás, só contribui para lhe ·ocultar o mais importante, que são as . ideias.

5. No exemplo da p. 240 do Compêndio, houve um erro curioso, e convém desde já mostrar o partido que se pode muitas vezes tirar, pedagogicamente, de certos erros. Está subentendido, no texto, que os valores aproximados foram obtidos segundo a fórmula

Sn=

b-a

(Yo+Y'+ ... +Yn-,)

em que Yo ' Y'" ... , Yn _, são os valores da função integranda f nos extremos inferiores dos intervalos de decomposição:

Yo = f(x,)

, y, = f(x,)

, ... . , Yn-, = f(x n _,)

Se, em vez disso, considerarmos os valores de f nos extremos superiores dos referidos intervalos, obtemos, para o cálculo dos

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valores aproximados do integral, a fórmula

Tn =

b-a n

(y 1 + Y2 + ... + Yn)

em que Yn =f(xn)· Ora sucede que, neste caso, a função integranda, eX/x, é eres-

. eente no intervalo de integração [1.5], como se pode ver facilmente por meio da derivada. Ter-se-á, pois:

Yo < Y 1 < ... < Yn-1 < Yn donde se conclui que

Cn =4)

Yo Xo

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Mais ainda, o significado geométrico do integral mostra-nos claramente que se tem, neste caso:

para todo o valor de n. Então, um majorante do erro de Sn' como valor aproximado do integral, será:

=--

ou seja:

Ora, no caso em 'estudo, tem-se

f(1} = e

( 1)

a= 1 , b

~ 150 27 , f(5) .__ e5 ._

e (')

Basta utilizar a régua de cálculo.

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J. BEBABTIAOE BILVA

donde, para n = 1280: '

T - S ~ 4 x 27,3 < 110 < 0,1 n n 1280 1280

erro será, portanto, infeiior a 0,1 e a observação da figura

mostra que não deve andar longe de metade de 0,1, ou seja 0,05. Assim, o último valor obtido por este processo só deveria estar aproximado até às décimas, ou seja com 3 algarismos exactos (38,2). Como se explica que, pelo contrário, apareça com 5 algarismos exactos (ou mesmo 6), nos cálculos efectuados? A razão, que depois apurámos, é a seguinte: Pela força do 'hábito, o programa elaborado para este fim no L.N.E.C. não mandava calcular os valores da função nos extremos inferiores nem nos extremos superiores - mas sim nos

pontos médios dos intervalos parciais! Dai resultou, sem qualquer agravamento de trabalho para a máquina, uma precisão muito maior, o que aliás se compreende recorrendo mais uma vez à figura: neste caso, cada rectângulo estará compreendido entre dois, correspondentes aos dois casos anteriores, o que dá uma compensação considerável dos respectivos erros. Este simples exemplo mostra como, por vezes, uma ligeira modificação no método de cálculo numérico adaptado, pode aumentar grandemente a sua eficiência. E mostra também como a prática do cálculo automático pode chamar a atenção para factos i mportante$. Na verdade, o uso dos computadores tem

vindo a acentuar a importância do método experimental na investigação matemática, permitindo aperfeiçoar processos ou mesmo abrir caminhos inteiramente novos. Interessa, agora, ver quais os valores .aproximados que se obtêm

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GUIA DO COMPtbNDIO DE MATEMÁTICA

pelos dois primeiros processos indicados. São os seguintes, para n = 40, 80, 160, 320, 640, 1280:

36,961691 37,620962 37,954306 38,121906 38,205937 38,248011

39,658128 38,969180 38,628415 38,458961 38,374465 38,332275

Como se vê, o último valor é de facto aproximado apenas até às décimas. Surge, entretanto, a ideia de tomar como valores aproximados as semi-somas de Sn com Tn. Ora

Sn + Tn

b-a (Yo +2Y' + Y, +Y2 ---+ n 2

... +Yn-, - -+Yn) -2

Assim, os valores obtidos serão as somas dos números

b-a n

•

Yo+Y'

...

b- a

Yn-1 + Yn

que dão as áreas de sucessivos trapézios de altura (b-a)/n e de bases Yo'Y 1'''''Yn: trata-se do método dos trapézios, que consiste em substituir a função integranda, em cada intervalo parcial, pela

função linear que toma o mesmo valor nos extremos, o que equivale a substituir o gráfico pela respectiva corda (Cf. p. 291 do Compêndio).

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J. 8EBA8TIAO E 8ILVA

Os valores obtidos por este método são os seguintes: 38,309909 38,285071 38,291361 38,290433 38,290201 38,290143 Comparando-os com os valores obtidos pelo primeiro processo (p. 240 do Compêndio), vê-se que não houve vantagem sensrvel. Há, no entanto, um método bastante mais potente que o dos trapézios, para o cálculo de integrais: é a regra de Simpson, que consiste em substituir a função integranda, em cada par de intervalos sucessivos, pela função quadrática que toma os mesmos valores nos três extremos consecutivos (Cf. p. 292 e 196-197 do Compêndio). 38,290137 (n

= 40)

38,290125 (n = 80) 38,290124 (n Estes valores dente a n

= 40,

= 160)

mostram que, logo no primeiro,

correspon-

se obteve a mesma aproximação que com os

primeiros - ou sejam precisamente 5 algarismos exactos. Neste caso, como se vê, a vantagem da regra de Simpson é grande. Observe-se que o menor número de parcelas diminui consideravelmente os erros de arredondamento, permitindo-nos agora garantir que o algarismo das décimas milésimas é efectivamente exacto. Mas, neste caso, em que a função integranda é eX Ix, o método mais aconselhável é de longe o método de integração por séries, que se pode aplicar a esta função (Cf. p. 304-305 do

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Compêndio). Neste caso, o tempo de cálculo na máquina é insignificante: praticamente, o que conta é o tempo da teleimllressão. Aliás, convém aqui observar que a maior parte dos cálculos automáticos a que se referem os exemplos do Compêndio foram programados em linguagem Algol, que é muito cómoda para o programador, mas exige bastante mais tempo do que o

c6dlgo de máquina. Observe-se ainda como bastou um exemplo, tomado como

centro de interesse, para pôr imediatamente o aluno em contacto com várias linhas mestras do cálculo integral, do ponto de ·vista teórico-prático, e para mostrar em que consiste afinal, no campo da análise, a verdadeira prática, muito diferente da pseudoprática dos cursos tradicionais, secundários ou universitários, feita à base de inúmeras receitas que na maioria dos casos nunca virão a ser aplicadas. Haveria muitrssimo a lucrar em que o ensino destes assuntos fosse normalmente orientado a partir de . centros de interesse como o anterior - e tanto quanto posslvel laboratorial, isto é, baseada no uso de computadores, existentes nas próprias escolas ou fora destas, em laboratórios de cálculo.

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Indice Plg,. Considerações de ordem geral ., . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I - Introdução à trigonometria ............•..........•........

11 - Observações acerca do capitulo I do 2. 0 volume .............

111 - Observações ao capitulo 11 do 2. 0 volume ...................

IV - Probabilidades. estatistica e ciência experimental ..............

V ....;.. Indução experimental e indução matemática..................

131

VI - Racionalização matemática do continuo ...............•.....

1 81

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