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Guia para a Utilização do Compêndio de Matemática, 1º volume, Observações ao Capítulo I

J. SEBASTIÃO E SILVA

Observações ao Capítulo I

Curso Complementar do Ensino Secundário

Ediçio ti EP LISBOA

Guia para a Utilização do Compêndio de Matemática, 1º volume, Observações ao Capítulo I

GUIA PARA A UTILIZACÃO .

COMPÊNDIO DE

MATEMÁTICA

Guia para a Utilização do Compêndio de Matemática, 1º volume, Observações ao Capítulo I

J. SEBASTIÃO E SILVA

GUIA PARA A UTILIZAÇÃO

COMPÊNDIO DE

MATEMÁTICA (1 . 0 VOLUME)

CURSO COMPLEMENTAR DO ENSINO SECUNDÁRIO

1975

GABINETE

ESTUDOS E PLANEAMENTO DO MINIST~RIO DA EDUCAÇÃO E INVESTIGAÇÃO CIENTÍFICA Av. Miguel Bombarda, 20- L1SBOA-1

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o texto deste

Compêndio toi utilizado no âmbito de uma

experiência de modernização do ensino da matemática em Portugal, dirigida pelo Prot. Sebastião e Silva e realizada pelo Ministério da Educação Nacional em colaboração com a O.C.D.E. (Profecto Especial STP-4/SP). Nesta experiência estiveram envolvidos alunos dos antigos 6. 0 e 7. o anos do ensino liceal (idades entre 15 e 17 anos). Nos termos do acordo estabelecido entre a O.C.D.E. e Portugal é proibida a reprodução total ou parcial deste texto por terceiros. 7

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ADVERTÊNCIA PRf:VIA

Compêndio de Matemática é destinado a servir, não só como

auxiliar de estudo para o aluno, mas ainda como complemento de formação para o professor. Daí o desenvolvimento e o pormenor com que foi escrito. Cabe pois ao critério e ao bom senso do professor dosear a densidade do ensino com base no Compêndio. Este, por outro lado, não contém todos os assuntos a desenvolver nas turmas experimentais do 6.° ano (1). Em alguns casos será necessário recorrer aos livros adoptados, tal como se indica no presente Guia (2) e no próprio Compêndio.

(1) Refere-se o autor às turmas do ensino liceal nas quais, na altura da primeira edição fotocopiada do presente Guia, se desenvolveu a experiência pedagógica de modernização do ensino da matemática. (I) Este Guia corresponde ao 1.0 volume do Compêndio de Matemática (1. 0 e 2.° tomos).

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NORMAS GERAIS 1. A modernização do ensino da matemática terá de ser feita não só quanto a programas, mas também quanto a métodos de ensino. O professor deve abandonar, tanto quanto possível, o método expositivo tradicional, em que o papel dos alunos é quase cem por cento passivo, e procurar, pelo contrário, seguir o método activo, estabelecendo diálogo com os alunos e estimulando a imaginação destes, de modo a conduzi-los, sempre que possível, à redescoberta. 2. A par da intuição e da imaginação criadora, há que desenvolver ao máximo no espírito dos alunos o poder de análise e o sentido crítico. Isto consegue-se, principalmente, ao tratar da definição dos conceitos e da demonstração dos teoremas, em que a participação do aluno deve ser umas vezes parcial (em diálogo com o professor) e outras vezes total (encarregando cada aluno de expor um assunto, após preparação prévia em trabalho de casa). 3. Muito raramente se deve definir um conceito sem ter partido de exemplos concretos e, tanto quanto possível, sugestivos. Se a preparação psicológica tiver sido bem conduzida, será muitas vezes o aluno quem acabará por definir espontaneamente o conceito, com ou sem ajuda do professor. Em qualquer caso, este deverá enca-

minhar o aluno para o rigor de linguagem, que equivale a dizer, de pensamento. Para isso, será de grande auxílio a introdução à lógica matemática, feita logo de início. 4. Quanto à demonstração dos teoremas, deve seguir-se com frequência uma norma semelhante à anterior. É altamente desejável que o aluno seja muitas vezes posto em condições de ver o teorema antes de o demonstrar e que essa visão o encaminhe a construir por si mesmo a demonstração, mais ou menos impecável do ponto de vista lógico. Não esquecer que, na investigação mate-

mática, a intuição precede normalmente a lógica. 5. A ordem lógica na apresentação dos assuntos não é muitas vezes a mais aconselhável dO ponto de vista didáctico. Normalmente o aluno só pode tomar consciência da necessidade de certo grau de rigor, depois de ter compreendido os assuntos em primeira aproximação ou de modo intuitivo, exactamente como sucede na inves-

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tigação. Assim, em vez da ordem lógica, haverá que seguir de preferência a dialéctica do intuitivo-racional e do concreto-abstracto, em que o grau de rigor lógico se irá elevando progressivamente, com a adesão espontânea do aluno. 6. Para desenvolvimento do sentido crítico, é essencial encorajar o aluno à discussão livre e disciplinada, habituando-o a expor com calma e sem timidez os seus pontos de vista e a examinar serenamente e com interesse as opiniões dos outros. 7. Ao seguir o método activo, o professor deve evitar que os alunos falem todos ao mesmo tempo. Quando um aluno tiver algo a dizer, levantará o braço. Compete então ao professor escolher entre vários. Muitas vezes o professor chamará um aluno à secretária ou à pedra. O aluno deverá então movimentar-se rapidamente e com o minimo rurdo. Deste modo se estabelece o dinamismo disciplinado, que caracteriza a vida em corpo são, e que é indispensável ao êxito do método activo. Não esquecer que o ruido é desfavorável à concentração intelectual, e que tentar conciliar as duas coisas reverte geralmente em prejuízo do sistema nervoso, contribuindo para o desenvolvimento de um dos maiores flagelos da nossa época. A melhor sala de aula será muitas vezes a que estiver mais afastada da via pública (1). 8. A matemática não se reduz a ciência isolada platonicamente de tudo o resto. t: também um instrumento ao serviço do homem nos mais variados ramos da ciência e da técnica. O professor deve sempre ter presente este facto e tentar estabelecer, sempre que possível, as conexões da matemática com outros domínios do pensamento, atendendo a que muitos dos seus alunos irão ser físicos, químicos, biólogos, geólogos, engenheiros, economistas, agrónomos ou médicos. 9. Na aprendizagem da matemática não basta ter intuição, compreender, definir e raciocinar. t: também indispensável adquirir (I) Estão infelizmente a multiplicar-se os casos de alunos com depressões nervosas de (ndole grave. Se um dia se proceder, como se impõe, ao estudo sério deste problema, há-de chegar-se provavelmente à conclusão de que uma das causas preponderantes desse fenómeno é o ruído de que o aluno vive geralmente rodeado.

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certos automatismos psicológicos. Isto vale, especialmente, no que se refere a técnicas de cálculo. Tais técnicas são mais perfeitamente assimiladas quando o aluno conhece bem os fundamentos teóricos das mesmas. Mas esse conhecimento não basta: o professor deve

insistir para que os alunos se treinem bastante em exercícios equilibrados, que requeiram a aplicação das referidas técnicas. 10. O treino recomendado na norma anterior não deve confundir-se de modo nenhum com a mecanização do aluno na resolução de exercícíos por meio de receitas, aplicadas sem qualquer conhecimento de causa. Essa prática, tal como se tem generalizado entre nós, só contribui para desvirtuar completamente a finalidade do ensino da matemática, .habituando o aluno a não pensar e destruindo nele toda a iniciativa e toda a espontaneidade para a resolução de problemas essencialmente novos, como os que são postos a cada passo pela ciência, pela técnica e pela vida corrente. 11 . Alunos e professor devem assumir nas aulas uma atitude descontraída (1), que afaste tanto quanto possível do espírito dos alunos a ideia da nota que irão ter no fim do período (lembrando que o seu interesse principal é aprender) e modere no espírito do professor a ide ia de que é juiz (lembrando que a sua missão é, acima de tudo, ensinar). Assim, o que deve dominar nas aulas é o interesse pelos assuntos tratados. Estes não têm necessariamente de ser todos reduzidos à forma de exercícios escritos (o que é muitas vezes um modo de os tornar abomináveis). Especialmente no que se refere a demonstrações - um aspecto em que é preciso insistir muito - o professor deverá recorrer de preferência ao sistema de

chamadas breves. 12. É dialogando com os alunos que o professor acaba muitas vezes por esclarecer, para si próprio, certos assuntos que pretende ensinar. Isto não vem senão corroborar um velho preceito:

A melhor maneira de aprender é ensinar. Haja em vista os Diálogos de Platão. No «Teeteto» é definida explicitamente por Sócrates a missão do mestre: ajudar a virem à luz 8S ideias na mente do discípulo. E quantas vezes, no mesmo instante, não se ilumina a mente do professor! (I)

Descontracção não implica má-criação.

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13. Nesta ordem de ideias, o professor deve combater no aluno, e em si próprio, o receio de errar, enquanto se trata de fazer um esforço sincero para aprender ou ensinar. Porque só errando se aprende verdadeiramente. Ai daqueles que não aprendem à custa da própria experiência e dos próprios erros, porque esses pouco ou nada aprendem, na verdade. 14. O método heurístico (ou de redescoberta) só a princIpIo poderá parecer mais moroso. A criança que aprende a andar com aparelhos ou a pessoa que aprende a nadar com flutuadores só ilusoriamente aprende mais depressa: na realidade aprende mais devagar e pior. 15. São por vezes obstáculos à aplicação do método heurístico os dois casos extremos que podem surgir numa turma: alunos muito bons e alunos francamente maus, especialmente os repetentes. Os primeiros estão sempre prontos a responder, não deixando tempo aos restantes para pensar (vide norma 7). Os segundos criam uma atmosfera de desinteresse, porventura mesmo de indisciplina, ou então já conhecem a receita, que aprenderam no ano anterior, acabando assim por viciar o processo heurístico. Cabe ao bom senso do professor encontrar uma solução de equilíbrio, tendo presente a norma 7. 16. Terminaremos estas considerações, traduzindo algumas das medidas preconizadas na América para a renovação do ensino geral: a) O ensino em todos os graus terá de se tornar mais flexível, mais adaptado, quer às solicitações dum mundo em rápida evolução, quer às aptidões dos indivíduos. b) Necessitamos de métodos aperfeiçoados para descobrir talentos e levá-los a atingir a plena maturidade. Não devemos encorajar, seja de que modo for, qualquer sistema de ensino que tenda a criar uma geração de bárbaros, incapazes de apreender uma ideia que não lhes seja «programada» por outro cérebro ('). c)

Alusão aos programas feitos pelo homem para os «cérebros» electr6nicos, que não pensam, mas se limitam a executar mecanicamente esses programas. (I)

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OBSERVAÇÕES AO CAPíTULO 1. A lógica matemática é um meio poderoso para habituar o aluno à clareza e ao rigor, tanto da linguagem como do pensamento. Esta introdução constitui, ao mesmo tempo, uma excelente oportunidade para despertar no aluno o interesse pela discussão bem conduzida, o gosto da dialéctica. A experiência dos anos anteriores tem demonstrado que este capítulo, bem como o seguinte, encontram a melhor aceitação por parte dos alunos. O professor poderá portanto tratá-lo relativamente depressa, tanto mais que todas as noções aqui introduzidas serão depois constantemente utilizadas nos capítulos seguintes. 2. A distinção entre designação e designado (em particular a distinção entre 'racção e número 'raccionário) é importante, mas basta que fique esclarecida na aula, neste momento e mais tarde, quando venha a propósito. Não é contudo necessário fazer deste assunto um cavalo-de-batalha e incluí-lo em exercícios escritos. 3. Quanto à noção de conjunto (ou classe), introduzida intuitivamente nos n.O S 5, 6, 7 e 8, convém notar que a palavra 'classe' é usada hoje, tecnicamente, por lógicos matemáticos, com um significado ainda mais geral que o da palavra 'conjunto', para evitar o paradoxo de Russell da teoria dos conjuntos. Mas a distinção é inacessível nesta fase elementar e pode por enquanto evitar-se, utilizando a distinção em tipos lógicos. Aliás, o próprio assunto dos tipos lógicos deverá ser apenas tocado ao de leve, porquanto o aluno ainda não tem suficiente receptividade para este género de questões. Pelo contrário, o professor necessita de ter ideias bem claras e assentes sobre o assunto. 4. O aluno deverá, logo a partir da 3. a ou 4.a lição, ser familiarizado com as operações lógicas elementares. Inicialmente, as

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tabelas de verdade poderão ser apresentadas com aspecto mais acessível do que no Compêndio. Por exemplo, para a conjunção, para a disjunção inclusiva, para a disjunção exclusiva e para a implicação, poderão usar-se as seguintes disposições:

p;\q

p Vq

p=>q

5. Quanto às propriedades das operações (págs. 32 e 33, 1. 0 tomo), convém acrescentar as propriedades da idempotência da conjunção e da disjunção, que consistem no seguinte: a ;\ a = a , a V a = a

(qualquer que seja a).

Estas propriedades podem ser estabelecidas directamente ou deduzidas das restantes (como se faz na pág. 186 do 2. 0 tomo, o que pode agora dispensar-se).

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São de grande interesse e actualidade os exercícios sobre logigramas (desenhos de circuitos correspondentes a dadas expressões lógicas) . Para isso pode ver-se o exercício X do final do Capítulo VI do Compêndio (págs. 194-195,2.° tomo). 6. O termo 'polissilogismo' é introduzido no n.O 17 com significado mais geral do que lhe é atribuído em lógica tradicional. ~ talvez preferível substituí-lo aqui por 'cadeia de silogismos'. Dum modo geral, os exemplos em linguagem comum consomem tempo excessivo quando escritos na pedra. Este inconveniente pode ser atenuado, recorrendo de vez em quando a cartões em que se tenham escrito previamente os exemplos, ou utilizando directamente o próprio Compêndio. 7. A propósito dos universos N e IR (pág. 57, 1.° tomo), o professor deve certificar-se de que o aluno tem conhecimento intuitivo, adquirido em anos anteriores, desses e outros universos numéricos. Podem também ser introduzidos já os símbolos z (conjunto dos números inteiros relativos: O, 1, - 1, 2, - 2, ... ), o (conjunto dos números racionais, inteiros - os anteriores - e fraccionários:

~, -~, 3

2,57, - 2,57, etc.),

(conjunto dos

racionais positivos) e IR+ (conjunto dos reais positivos). Quanto a números irracionais, bastará por enquanto que o aluno conserve a noção, adquirida no 2.° ciclo, de que as dízimas infinitas não periódicas (e só essas) representam números irracionais. Devem recordar-se os exemplos clássicos do número 7t e dos números Y2, v' 3, ~ 2, etc., bem como dos respectivos simétricos, ficando para mais tarde a demonstração da irracionalidade · de alguns deles (o professor dirá 'prova-se que .. : e, se houver alunos muito interessados, poderá antecipar a demonstração da irracionalidade de ti). Por outro lado, deverá recordar-se como se faz, intuitivamente.

a representação geométrica dos números reais. Já nas normas gerais se observou que a intuição precede a lógica e que a ordem lógica não coincide muitas vezes com a ordem didáctica mais recomendável. Seria um erro grave evitar, neste momento, falar de números naturais, números racionais e números reais, quando o aluno já desde o ensino primário veio adquirindo noções intuitivas sobre estas diferentes espécies de números. Tais li

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noções só a pouco e pouco, directa ou indirectamente, poderão ir sendo esclarecidas e aperfeiçoadas, do ponto de vista lógico. 8. Logo após o n. o 23 do Capitulo I, deverão reservar-se algumas aulas à aplicação dos conhecimentos adquiridos ao estudo de equações e inequações, embora esse estudo venha a ser depois retomado no Capítulo VI, em termos de muito maior generalidade, a respeito de equações em corpos abstractos. Será este um óptimo pretexto para aperfeiçoar técnicas de cálculo adquiridas no 2,0 ciclo e revistas agora em condições de maior rigor lógico. Os enunciados dos princípios de equivalência para equações em IR (incluindo o princípio de decomposição) são, mutatis mutandis, os que se apresentam no Capítulo VI, págs. 91-98, 2. 0 tomo; em vez de 'elemento de K' diremos agora simplesmente 'número'. A ideia das demonstrações é também a mesma que se apresenta nessas páginas. As propriedades dos números reais que intervêm nessas demonstrações já são conhecidas intuitivamente pelos alunos. (Os princípios lógicos de equivalência devem ser tratados após o n,O 23.) Nesta fase será usado sistematicamente o sinal de equivalência (quando aplicável), podendo no entanto dispensar-se o ponto indicativo de que a equivalência é formal, quando não haja lugar para dúvida ou confusão. Exemplo:

X-4)' ( 2 Ç>

Xl -

= 4

Xl -

= O Ç>

8x + 16

4 X

(x - 8)

= 4 Ç>

= O Ç>

Xl -

8x + 1 6

=OV

= 16

O aluno indicará onde e como intervêm os princípios de equivalência. Mais tarde, o próprio sinal de equivalência poderá ser dispensado: não é necessário ficar acorrentado a um slmbolo, quando este for utilizado apenas para esclarecimento didáctico. 9. Os princípios de equivalência para as inequações em IR enunciam-se e demonstram-se de modo análogo. O 2. 0 princípio baseia-se nas conhecidas propriedades:

a+b<cÇ>8<C-b

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Estas são uma consequência directa da propriedade:

x<y

<o>

x+z<y+z

Para o reconhecer, basta aplicar esta propriedade às fórmulas a + b < c, a < b + c, com x = a + b, y = c, z = _ b no 1. 0 caso e x = a, y = b + c, Z = _ b no 2. 0 caso, atendendo à associatividade da adição e à definição do simétrico. O 3. 0 princípio de equivalência para inequações assenta nas seguintes propriedades, já conhecidas do aluno: Se k > O, então a < b ~ ak < bk, quaisquer que sejam a, b. Se k < O, então a < b ~ ak > bk, quaisquer que sejam a, b. Quanto ao princípio de decomposição para inequações, o seu aspecto é diferente daquele com que se apresenta para equações. Não vale a pena procurar enunciá-lo de modo geral; basta mostrar como se aplica na prática. No fundo, o que intervém aqui é apenas a regra dos sinais para a multiplicação de números reais. Seja por exemplo a inequação x 2 < 9. Tem-se, aplicando os dois primeiros princípios de equivalência: Xl

1. 0

x 2- 9 < O

(x - 3) (x + 3) < O

Procuram-se pois os valores de x que tornam negativo o membro da equação. Ora, segundo a regra dos sinais, será:

(x - 3) (x + 3) < O sse

{X-3>0 {X-3<0, x + 3 < O V x+3>0

isto é (1):

(x-3) (x+3) <0 <0> (x-3> 01\x+3 <O) V (x-3 <O 1\ x+3> O). Como o primeiro sistema é impossível, segue-se que Xl

(1)

<o> -

3 <x <3

Nilo esquecer que a chaveta desempenha o papel do sinal de conjunção.

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Na prática pode sempre adoptar-se o seguinte esquema bem conhecido (uma vez compreendida a sua justificação, o que é quase imediato):

-3 x

+ +

x - 3

x' - 9

É claro que este processo pode ser aplicado a produtos com mais de dois factores ou ainda a quocientes. Por outro lado, convém considerar também condições de outros tipos, em que, no lugar dos sinais =, < , > , figurem os sinais ~ , ~ ou #.

Seja por exemplo a condição: 1 - x' 2x· - 1

---~O

(1 )

a qual é manifestamente equivalente a (x

+ 1) (x - 1) (x' + 1)

-'---~-'---'----'-----'- ~

(1')

(x +

(x - ;2)

Tem-se agora o seguinte quadro: 1

- 1

x + 1 x - 1 x' + 1 x+ x-

V2 1

1.° membro de (1')

O +

+ + +

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Para x

= - -1V2

1 e para x = - - , a expressão não assume

nenhum valor em Ilt Virá, pois:

1 - x' - - - > 0 -= 2x'-1

-1~x<--- V--- < x ~ 1

mesmo quadro mostra que

1 - x' ---<0-=x<-1V2x 3 -1 1-

1 <x< - -

v x>1,

- - - :cp O -= x :cp 1 1\ x :cp - 1, etc. 2x' -1

E claro

que, entre o primeiro exemplo e o segundo, o professor tor6 o cuidado de intercalar exemplos graduados de complexidade crescente. Convém insistir em exemplos simples, como os seguintes:

x' :cp 4 -= x :cp 2 1\ x :cp - 2 x2

1 -

=O é

- 2 -x -> O -= x+2

impossível

x < - 2 V x

> 2,

etc.

10. Até aqui temos considerado apenas exemplos em que a decomposição se faz rapidamente, aplicando propriedades elementares. Pode-se ir mais longe e fazer directamente a factorização de trinómios de 2.° grau de coeficientes numéricos. Esta prática é muito recomendável, para evitar cair, desde logo, nas clássicas receitas sobre o trinómio, que o aluno aplica mecanicamente. Se o ensino for bem conduzido, o próprio aluno irá redescobrir, espontaneamente, 80 fim de 81guns exercícios, os teoremas sobre o sinal da função quadrática (é claro que muitos dos exercícios poderão e deverão ser trabalhos de casa).

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Seja, por exemplo, a inequação Xi - 6x + 5 < O. x2

=x' - 2 x 3 • x + 9 - 9 + 5 - (x - 3)2 - 4 = (x - 3 - 2) (x = (x - 5) (x - 1)

Tem-se: 3

+ 2)

Portanto: x2

6x + 5 < O

(x - 5) (x - 1) < 0=>1 < x < 5

<o>

Analogamente, para x 2 x' - 7x

7x + 10 > O, tem-se:

+ 10 = x' - 2 x - . x + - - - - - + 10

~r-:

=(x= (x -

=(x-

~- ~) (x-~

5) (x - 2)

donde x2

+ 10 > O

<o>

(x - 5) (x - 2) > O <o>

< 2 V x> 5

Outro exemplo: x' - 6x

+9> O

<:>

(x - 3)2> O

<:>

x#-3

Por sua vez, para a inequação x" - 6x + 14 > O, vem: x' - 6x

+ 14

= (x -

3)2 - 9

+ 14

= (x -

3)"

Como (x - 3)" é maior ou igual a zero para todo o valor de x, segue-se que x' - x + 1 ;:;:: O qualquer que seja x: a condição dada é portanto universal. Ao mesmo tempo se reconhece que as condições x' - 6x + 14 < O , x' - 6x + 14 = O , x' + 14 .;; 6x são impossíveis, etc.

Não se fala por enquanto de raízes imaginárias. Bastará dizer que a equação x' - 6x + 14 = O não tem raízes em R Os números imaginários pouco ou nenhum préstimo têm na teoria das equações do 2.° grau.

Deve dizer-se ao aluno que, se deseja ser conduzido a uma boa compreensão da matemática, que lhe será muito útil no futuro, terá conveniência em seguir esta orientação, evitando a princípio todo o uso de fórmulas ou regras mecanizantes. 22

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11. Será vantajoso introduzir desde já, antes do n.O 24 do Compendio, o conceito de implicação formal, directamente, como se fez para a equivalência. Só mais tarde se verá como a implicação formal se exprime por meio da implicação material e do quantificador universal, ponto este delicado, que será abordado no n. o 28, págs. 76-79, 1. 0 tomo. Sejam, por exemplo, as ·condições: x é peixe (1)

, x tem guelras

Pergunta-se aos alunos: são estas condições equivalentes? Seguir~ -se-á uma breve discussão, em que serão certamente invocados conhecimentos biológicos e a resposta acabará por ser negativa, visto que todo o peixe tem guelras, mas há animais que têm guelras , não são peixes (quais 1). O mais que se pode dizer agora é que 8 primeira condição implica formalmente a segunda, isto é, que todo o individuo que verifica a primeira também verifica a segunda. Exprime-se este facto, escrevendo: x é peixe => x tem guelras •

por analogia com o que se fez para a equivalência formal (muitas vezes, quando não há perigo de confusão, omite-se o ponto, o que, no entanto, será sempre um abuso de escrita). Importa mais uma vez salientar que as expressões proposicionais exprimem propriedades (ou atributos) e convém apresentar exemplos de implicação formal em linguagem comum:

Ser peixe implica ter guelras (isto é, o atributo ser peixe implica o atributo ter guelras). Ser dalt6nico implica não poder conduzir autom6vel. Ser homem implica ser mortal. Ser casado implica não ser solteiro. Ser múltiplo de 6 implica ser múltiplo de 3. Ser múltiplo de 15 implica ser múltiplo de 3 e de 5. Ser múltiplo de 3 e de 5 implica ser múltiplo de 15. Ser triângulo equilátero implica ser triângulo equiângulo. Mau comportamento na aula implica falta de civilização. Ser peixe implica ter escamas e respirar por guelras. Ser homem implica ser b/pede implume. (I)

Subentende-se 'peixe vivo, nllo amputado',

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Nova discussão se poderá seguir, sobre o valor lógico de tais proposições e sobre os casos em que há equivalência formal. (Convide-se o aluno a traduzir algumas destas frases em escrita simbólica.) Convém também apresentar desde já exemplos de implicações formais, entre condições com mais de uma variável: x é irmão de y 1\ y é mãe de z X ofendeu Y

=;..

•

=;..

•

x é tio de z

X deve pedir desculpa a Y

a>bl\b=c

=;..

•

a>c

etc. Não esquecer que, nestes casos, o símbolo =;- se pode ler 'implica formalmente', 'implica necessariamente' ou simplesmente 'implica'. Também se pode traduzir pela condicional 'se' anteposta à primeira condição ou mais precisamente por 'se ... então necessariamente' ou ainda por 'se ... então' (tudo isto será dito ao aluno, a propósito dos exemplos). 12. As considerações anteriores estendem-se imediatamente à relação ~ ('é implicado formalmente por' ou 'é implicado por') e devem desde logo ser aplicadas ao estudo de equações e inequações. Por exemplo:

x2 < 4 ~ x < 2 , Xl = 4 <=: X = 2 x <2/\x>-2 x < 2 ~ x2 < 4 x2 + y2 = 1 ~ - 1 .:;; x .:;; 1 (em IR) etc. (Convidar o aluno a reconhecer quais destas proposições são verdadeiras e quais são falsas.) É esta a melhor preparação para o estudo das equações irracionais e mais um meio de esclarecer o conceito de equivalência. O 2.° princípio lógico de equivalência estende-se, mutatis mutandis, à implicação formal, nos seguintes termos:

Se uma condição implica formalmente outra condição, a implicação formal mantém-se no mesmo sentido, substituindo uma ou mais variáveis por quaisquer outras expressões designatórias (1). A implicação material é considerada como caso particular de implicação formal. (1)

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(Estes princlplos Irao depois aparecer como consequência das regras de substituição de variáveis aparentes, relativas a quantifi(;adores universais, como se indica no n.O 25, pág. 70.) Considere-se, por exemplo, a proposição

(1 )

=;>

= b!

(no universo IR)

que é reconhecidamente verdadeira. Pergunte-se ao aluno: Será também verdadeira a reciproca? Em caso de hesitação apresente-se .um contra-exemplo, como o seguinte: Tem-se 52 = (- 5)2. Podemos concluir que 5 = - 5? Seja agora a equação

Tem-se 2 + V x = x ~ Vx = x - 2. Ora, substituindo a e b em (1) respectivamente por V x e x - 2, vem, segundo o princípio anterior: Vx = x _ 2 =;> x = (x _ 2) 2 Por sua vez: x = (x - 2) B

~ X =

x' - 4x + 4

x' - 5x + 4 = O

Virá, portanto: 2 +

Vx =

=;>

x 2 - 5x + 4 = O

Mas a segunda equação não implica a primeira. Com efeito, as raizes da segunda são 1 e 4, e destas só 4 é raiz da primeira como se pode verificar directamente. (Note-se: há duas raízes quadradas de 1, que são 1 e - 1, mas o símbolo V1 designa unicamente a raiz não negativa, ou seja 1.) Por conseguinte, a equação proposta tem uma s6 raiz, que é 4: ao elevar ao quadrado ambos os membros de Vx = x - 2, introduziu-se a solução estranha 1. Virão depois outros exemplos de equações com um ou, no máximo, dois radicais quadráticos (ver Compêndio de Algebra, 7. o ano, os exemplos e exercicios mais simples do Capítulo XVIII). 13. Tratando-se da equação x x -

V Xl +

V x' + 2

2 = 1 => 2x

= 1, conclui-se que

= O

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A segunda tem uma única raiz, que é - -

Ora, verifica-se que 2 Logo a equação proposta não tem

- _1_ não é raiz da primeira. 2 nenhuma raiz: é uma equação impossível. que é preciso focar bem:

Surge porém a dúvida,

Fará sentido dizer que uma condição impossível implica outra que é possível?

Segundo a definição anterior, diz-se que uma condição implica outra, quando toda a solução da primeira também é solução da segunda. Ora, na linguagem comum, quando se diz 'toda a solução da primeira', parece subentender-se que a primeira tem pelo menos uma solução. É este mais um dos inconvenientes lógicos da linguagem comum. Para evitar dúvidas, a definição de implicação formal, entre condições comuns com uma variável, poderia ser enunciada do seguinte modo, em linguagem comum: Uma condição implica outra, quando todo o elemento que verifica a primeira também verifica a segunda, ou quando todo o elemento que não verifica a segunda também não verifica a primeira.

Segundo esta definição é fácil ver que: Uma condição impossível implica qualquer outra condição.

Porém, como se verá posteriormente, o conceito de implicação formal ficará rigorosamente definido a partir dos conceitos de implicação material e de quantificador universal. A vantagem duma antecipação em linguagem comum é, naturalmente, de ordem didáctica. Ver-se-á depois que a propriedade anterior se obtém aplicando a PROPRIEDADE DA CONVERSÃO à seguinte, que é evidente: Uma condição universal é implicada por qualquer outra condição.

Por exemplo, em IR, tem-se:

x <1 26

~ Xl

+ 1 > O donde x' + 1

:o:;;

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14. A parte restante do Capítulo I, relativa a quantificadores e suas relações com as operações lógicas elementares, pode agora ser tratada em melhores condições de rendimento para os alunos. Convém insistir nos exemplos de quantificação múltipla e de aplicação das 2. 8S leis de De Morgan. Segue-se a já aludida conexão entre implicação formal e implicação material (e analogamente para a equivalência). Trata-se de um ponto delicado que importa esclarecer, mas agora em melhores condições. Na experiência feita em 1964-65 verificou-se que, só com auxilio destas noções, a maior parte dos alunos compreendeu pela primeira vez a distinção entre os conceitos de condição neces-

slria e condição suficiente. Para melhor compreender a relação entre os conceitos de implicação material e implicação formal, é muito útil dar exemplos de negação de implicações formais, como os seguintes: '" (n é par '" (x é peixe

~ •

n não é primo)

x tem guelras)

<o>

3 (n é par A n é primo) n

3 (x é peixe A x não tem guelras)

É também conveniente apresentar exemplos de implicação (ou equivalência), que sejam formais relativamente a certas variáveis, e não relativamente a outras. Por exemplo, a propriedade em que se baseia o 2.° princípio de equivalência das equações pode ser traduzida simbolicamente do seguinte modo:

k #- O

<o>

= kb)

a. b

Analogamente para as inequações: k> O

(a > b

k <O

~ k

<o>

ka > kb)

a. b

(a < b

<o>

ka < kb)

a. b

Note-se que, em qualquer dos casos, a equivalência é formal relativamente às variáveis a, b, mas não relativamente a k. Por sua vez, a primeira implicação considerada é formal relativamente à única variável livre que resta: a variável k. Registe-se ainda a definição de número primo que é dada simbolicamente na pág. 83, 1.° tomo.

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15. A propósito das abreviaturas das relações de parentesco (pág. 83, 1.0 tomo), é talvez preferível adoptar as seguintes: F= I = S= T=

é é é é

filho ou filha de, irmão ou irmã de, sobrinho ou sobrinha de, tio ou tia de.

O número 31 do Capítulo I, pág. 84, 1.° tomo, relativo a ,existência e unicidade, é também muito importante. Se a turma não estiver em atraso, é talvez conveniente introduzir, desde já, o 16.

símbolo de explicitação, tal como se faz no n.O 20 do Capítulo IV (págs. 211-212, 1.° tomo) mas começando por exemplos colhidos fora do âmbito restrito da matemática. Seja a condição: x inventou a lâmpada eléctrica (de incandescência)

Como existe um único indivíduo que verifica esta condição (existência em sentido intemporal), podemos designá-lo pela expressão LX (x inventou a lâmpada eléctrica), que se lê 'aquele indivíduo x tal que x inventou a lâmpada eléctrica' ou, em linguagem corrente, 'o indivíduo que inventou a lâmpada eléctrica' ou ainda 'o inventor da lâmpada eléctrica'. A designação habitual deste indivíduo é 'Edison', de modo que podemos escrever: Lx

(x inventou a lâmpada eléctrica)

= Edison

Porém a expressão Lx

(x é um homem 1\ x foi à Lua)

não tem sentido, porque não existe nenhum elemento x que verifique a condição entre parêntese; e a expressão Lx

(x é satélite de Marte)

'não tem sentido, porque existe mais de um satélite de Marte. Analogamente para a expressão LX

(x inventou o telefone)

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Podem seguir-se os exemplos numéricos dados nas págs. 211-212,. excluindo, por enquanto, os que utilizam o símbolo {x:}. Faça-se o aluno notar que 2 Lx (3x = 2) =

mas que as expressões Lx (O· X = 2) e Lx (O· X = O) não têm sentido em ~. O papel do operador de explicitação é muitas vezes desempenhado em linguagem comum por pronomes relativos. Exemplos:

poeta que escreveu Os Lusíadas, O aluno a respeito do qual falámos ontem, O número positivo cujo quadrado é 2, etc. As designações indirectas como estas (em linguagem comum ou simbólica) são chamadas descrições, por Bertrand Russe", a quem se deve a teoria de tais designações.

ADITAMENTO AO N.' 8. pAG. 18. DESTE GUIA

No estudo das equações, devem surgir naturalmente ao aluno' equações impossíveis e equações indeterminadas, como as do exercício I da pág. 100, 2.° tomo, do Compêndio. O aluno não terá dificuldade em reconhecer que as equações Ox = a, com a i= O. e Ox = O, às quais se reduzem as propostas, são respectivamente, impossível e universal.

29'

Guia para a Utilização do Compêndio de Matemática, 1º volume, Observações ao Capítulo I

(NOICE

PA,•.

Advertência prévia ..... ... ... .. ... ..... ... ....... .. ......... ........... .. .

Normas gerais ... ..... .. ... .. ... ... ... ....... ... .. ...... ....... .. ... ...... ....

1- Observações ao Capitulo I .. ....... ...... ......... ..... ........

II - Observações ao Capitulo 11 .......................... .. .......

III-Introdução

à geometria analítica (assunto não

tratado no Compêndio) .. ....... ...... .... .. ... ..... ...... .. ..

IV - Observações ao Capitulo 111 ............... .. .. ......... ......

V - Observações ao Capitulo IV. .. ..... ...... ...... .. .. .. ... ....

114

VI- Observações ao Capitulo V ............................ ... ...

121

VII- Observações ao Capitulo VI .... ... ..... ......... .. ....... .. .

134

VII I- Observações ao Capitulo VII .... .......... ............... .. ..

143

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GABINETE DE ESTUDOS E PLANEAMENTO DO MINISrtRIO DA EDUCAÇÃO E INVESTIGAÇÃO CIENTíFICA