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Guia para a Utilização do Compêndio de Matemática, 2º e 3º volumes, Indução Experimental e Indução Matemática

J. SEBASTIÃO E SILVA

Indução Experimental e Indução Matemática

Curso Complementar do Ensino Secundário

Edi<;;'io G EP l.lSBOA

Guia para a Utilização do Compêndio de Matemática, 2º e 3º volumes, Indução Experimental e Indução Matemática

1. SEBASTIÃO E SILVA

GUIA PARA A UTILIZAÇÃO

COMPÊNDIO DE

MATEMATICA (2. 0 83. 0 VOLUMES)

CURSO COMPLEMENTAR DO ENSINO SECUNDARIO

197 7

GABINETE DE ESTUDOS E PLANEAMENTO DO MINIST~RIO DA EDUCAÇÃO E INVESTIGAÇÃO CIENTíFICA Av. Milucl Bombarda, 20-Lisboa

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ADVERTeNCIA PRtVIA

o Compêndio de Matemática é destinado a servir, não s6 como auxiliar de estudo para o aluno, mas ainda como complemento de formação para o professor. Da/ o desenvolvimento e o pormenor com que foi escrito. Cabe, pois, ao critério e ao bom senso do professor dosear a densidade do ensino com base no Compêndio. Este, por outro lado, não contém todos os assuntos a desenvolver nas turmas experimentais do 7.° ano. Em alguns casos será necessário recorrer aos livros adoptados, tal como se indica no presente Guia e no pr6prio Compêndio.

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texto deste Guia foi utilizado no 5mbito de uma experiência de modernização do ensino da matemática em Portugal, dirigida pelo Prof. Sebastião e Silva e realizada pelo Ministério da Educação Nacional em colaboração com a O.C.D.E. (Projecto Especial STP-4/SP) . Nesta experiência estiveram envolvidos alu- · nos dos antigos 6. 0 e 7. 0 anos do ensino liceal (idades entre 15 e 17 anos). Nos termos do acordo estabelecido entre a O.C.DE e Portugal t§ proibida a reprodução total ou parcial deste texto por terceiros.

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CONSIDERAÇOES DE ORDEM GERAL

Convém chamar 8 atenção para alguns pontos que já foram focados no Guia anterior, mas que importa salientar sob novos aspectos. No que se refere à questão crucial dos exercícios, nunca é de mais insistir nas seguintes recomendações:

preciso combater o excesso de exerclcios que, como um

cancro, acaba por destruir o que pode haver de nobre e vital no ensino. 2)

preciso evitar certos exerclcios artificiosos ou compli-

cados. especialmente em assuntos simples. 3)

A melhor maneira de memorizar fórmulas e teoremas (quando

fOf neceS8~fio) é aprender IJ deduzir sem hssitllçlo essas fórmul" e esses teoremas, em vez de resolver listas festidiosss de exerclcios. como prstexto. tantas vezes forçado. para pó, B provI tais conhecimentos. O prOffJSSOf dsve incitar os alunos a serem desembaraçados nas deduçlJBS. tanto como nos cálculos. NAo quer isto dizer, de modo nenhum, que não seja indispen· s'vel resolver bons exerclcios, para esclarecimento de diversos aS8untos e para a aquisição de técnicas úteis e necessárias. () que se

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impõe é não cair no excesso - a obsessão do exerclcio - e adaptar um critério de escolha que elimine exercicios supérfluos e exercícios estapafúrdios, que tenham como equivalente, no ensino das Iinguas vivas, a retroversão de frases deste género: 'As sobrinhas dos capitães brincavam no jardim com as netas dos juizes'. Nem sequer o ridiculo tem conseguido vencer estas e outras incongruências, que certamente não contribuem para estimular o bom senso e o bom gosto do aluno. ~ mais proveitoso reflectir várias vezes sobre um mesmo exer-

cicio que tenha interesse, do que resolver vários exercicios diferentes, que não tenham interesse nenhum. No entanto, é essencial que o aluno consiga, ele próprio, sem

ajuda, resolver exercicios pela primeira vez. Todo o problema nov~, com interesse, tem uma ideia-chave, um abre-te Sésamo que ilumina o espirito· de súbita alegria: a clássica ideia luminosa que faz gritar 'Eureka 1'. Ora, é esse momento áureo de alegria que o aluno precisa de conhecer alguma vez: só por essa porta se entra no segredo da matemática, se descobrem os seus tesouros, se aprendem as suas recOnditas harmonias. Vistos por esse mágico prisma, todos os assuntos, desde os mais modestos, se transformam como por encanto, ganhando vida e beleza. Diga-se a verdade: é de vida, é de alma, que o ensino está necessitado - porque tudo nele se reduz afinal

a ... matéria que vem para exame. Ensino vital de ideias, eis o que se impõe - em vez de exposição mecânica de matérias. Entre os exercicios que podem ter mais interesse, figuram aqueles que se aplicam a situações reais, concretas. O nosso ensino tradicional não enferma unicamente de fraca (e quantas vezes nula) insistência em demonstrações, e de insuficiente rigor lógico: peca

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também por ausência de contacto com o húmus da intuição e com a realidadde concreta. Ora, um dos pontos assentes em reuniões internacionais de professores, promovidas pela O.C.D.E.,ê que o professor de matemática deve ser, primeiro que tudo, um professor de matematização, isto é, deve habituar o aluno a reduzir situações concretas

a modelos matemáticos e, vice-versa, aplicar os esquemas lógicos da matemática a problemas concretos. É preciso não esquecer Que o extremo rigor lógico, em vez de

formativo, pode tornar-se perigosamente deforma dor, . criando inibições por vezes insuperáveis - se não for precedido de uma boa motivação intuitivo-concreta e equilibrado com o referido processo de matematização. A crítica dos fundamentos da matemática, inciada no século passado, conduziu a esse grau de rigor lógico, cuja necessidade se impunha; mas criou ao mesmo tempo um estado de espírito favorável a atitudes rígidas, demasiado platónicas. Seguiu-se uma reacção, por vezes também excessiva, mas em parte salutar, dos chamados 'matemáticos empiristas'. Neste sentido, são dignas de reflexão as seguintes palavras de Guido Castelnuovo, proferidas em 1912, num congresso de professores em Gênova :

'Nós ensinamos a desconfiar da aproximação, que é realidade, para adorar o ídolo de uma perfeição, que é ilusória. Nós re presentamos o universo como um edifício, cujas linhas têm perfeição geométrica, e nos parecem desfiguradas e enevoadas, apenas por causa da imprecisão dos nossos sentidos, quando, pelo contrário, deveríamos incitar os alunos a reconhecerem que as formas incertas reveladas pelos sentidos constituem a única realidade acessível - realidade que, para satisfazer certas exigências do nosso espírito, substituímos por uma precisão ideal [ ... ]. Não há melhor maneira de alcançar o objectivo [do ensino científico] do que conjugar a cada passo a teoria com a experiência, a ciência com a aplicaçAo [ ... l'.

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Esta atitude pode parecer anti-racionalista; na verdade, só o é na medida em que se opõe a um platonismo ultrapassado. Mas pode talvez notar-se um excesso de zelo utilitarista nas palavras seguintes, relativas aos deveres do professor para com os alunos:

'São-nos confiados pelos pais, para que façamos deles homens aptos a compreender a vida das nações modernas e a participar nessa vida. Se nós não temos em consideração estas exigências; se, por amor da cultura, sufocamos nos alunos o sentido prático e o espírito de iniciativa, estamos a faltar ao maior dos nossos deveres'. Esta crítica é justa apenas em relação a certo tipo de cultura. Embora seja vago o significado da palavra 'cultura', podemos dizer que a cultura cientlfíca resulta precisamente da síntese dos dois termos complementares: a teoria e a prática. E, mesmo quando à

cultura geral, que inclui os aspectos filosófico, literário, artístico e humano, tem-se verificado que a sua ausênci.a prejudica seriamente a formação de bons técnicos e de bons cientistas( 1). E mais ainda a de bons dirigentes. O que é ·preciso é não confundir cultura com erudição e sobretudo com o enciclopedismo desconexo, imensa manta de retalhos mal cerzidos, que vão desde as guerras púnicas até ao sistema nervoso da mosca. É esse, a bem dizer, o tipo de cultura que tende a produzir o ensino tradicional, baseado num sistema de exames que só permite apreciar memorizações e automatismos superficiais, mais ou menos próximos do psitacismo. Um dos objectlvos fundamentais da educação é, sem dúvida, criar no aluno hábitos e automatismos úteis, como, por exemplo, os

( 1)

Castelnuovo . foi ele mesmo um exemplo do cientista culto, na mais

elevada acepção da palavra.

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automatismos de leitura, de escrita e de cálculo. Mas trata-so ai, manifestamente, de meios, não de fins. ~ certamente útil saber falar com fluência línguas estrangeiras

ou tocar piano - como é útil saber nadar, escrever à máquina, conduzir automóvel ou jogar futebol. Mas também estas prendas (como se dizia antigamente) são apenas meios e não fins - a não ser que se tenha em vista escolher uma dessas actividades como profissão (mesmo assim, será ' um meio de ganhar a vida). E note-se, de passagem, que a melhor maneira de ensinar a ler ou a dominar uma língua estrangeira não é obrigar a ler trechos sem qualquer , interesse ou a fazer exercfcios absurdos. Os referidos automatismos são, pois, meios para atingir certos fins: são precisamente meios de acesso à cultura. A sua finalidade é a de aumentar o poder e a liberdade do verdadeiro pensamento, que não é substituível pela máquina e sem o qual o homem se reduz a perigoso escravo das máquinas, como se tem observado infelizmente. ·Um ensino que não estimule o espírito e que, pelo contrário, o obstrua com as clássicas matérias para exame, só contribui para produzir máquinas em vez de homens. E não é assim que se curam os males de que está sofrendo o mundo .

•

Na ADVERT~NCIA do Compêndio de Matemática, 2.° volume, propõe-se que os assuntos dos dois volumes do 7.° ano sejam tratados em paralelo, no regime de bifurcação, com três horas por semana destinadas a um dos volumes, e três horas por semana ao outro. O objectivo é evitar que os assuntos tratados num dos volumes sejam relegados em bloco para a última parte do ano, em que a receptividade dos alunos é sempre menor, por razões óbvias. Porém, o estudo dos assuntos do Compêndio de Matemática,

3.° volume, terá de ser precedido de uma introdução à trigonometria. 11

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Convém, pois, começar por indicações relativas à maneira de fazer essa introdução, tirando partido do Compêndio de Trigonometria · adoptado. Mas impõem-se, antes disso, algumas considerações de ordem geral relativas a este assunto. O ensino tradicional da trigonometria nos liceus tem uma amplitude e uma orientação que já não se justificam nos tempos actuais. Há assuntos como, por exemplo, a resolução de triângulos obliquângulos, que s6 virão no futuro interessar a uma fraca minoria de alunos. Além disso, tais assuntos têm modesto valor formativo, comparados com outros, cuja ausência se faz sentir cada vez mais. Acresce ainda a circunstância de ser fácil encontrar as f6rmulas usuais de resolução de triângulos (quer planos quer esféricos) em qualquer boa tábua de logaritmos. Para que é preciso então. estudá. . -

-Ias, se há tantos outros assuntos de maior interesse? Basta pois saber utilizá-Ias. Mas isso qualquer aluno dotado de inteligência me- . diana deve estar em condições de aprender por si s6, desde que conseguir, é porque o esteja interessado no assunto . . (1). Se (, não . ensino não chegou a conferir-lhe aquele grau de autonomia mental que se requer de um aluno do 7.° ano: · é porque falhou o ensino. Resta o problema das tábuas. Existem tabelas de f6rmulas (chamadas 'formulários'), como existem tabelas numéricas, listas telef6nicas, catálogos ou enciclopédias. A finalidade é sempre a mesma: evitar um esforço inútil e mesmo incomportável de mem6ria, dando maior grau de liberdade ao pensamento. Sem dúvida, há f6rmulas e tabelas numéricas que o aluno deverá sempre ter presentes, atendendo à frequência com que é preciso utilizá-Ias: por exemplo, as f6rmulas trigonométricas de adição de ângu-

(')

Pode mesmo, se tiver curiosidade, procurar saber como se deduzem , 8 . .81 fórmulas.

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GUIA DO

COMP~NDlO

DE MATEMATICA

los e as tabuadas das operações elementares da aritmética. É tudo, afinal, uma questão de medida e de bom senso. Quanto aos dois teoremas em que se baseia habitualmente a dedução das fórmulas de resolução de triângulos obliquângulos - o teorema dos senos e o teorema dos co-senos (ou de Carnot) - tem algum interesse fazer a sua dedução no curso piloto. Aliás, o último teorema deverá ficar ligado à noção de produto interno de dois vectores, que tem adquirido cada vez maior importância em matemática, quer pura quer aplicada.

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v INDUçAo EXPERIMENTAL E INDUçAo MATEMATICA

.1..' A introdução de novos assuntos . no

program~

liceal só é

possível, obviamente, eliminando outros que eram desenvolvidos tradicionalmente. Um d.os•.assuntos que, infelizmente,·se torna. forçoso . ' sacrificar em grande parte é o da . chamada 'artimética racio'1al'. E dizemos 'infelizmente',porque esta é o exemplo simples de ul)la teoria dedutiva, baseada numa axiomática categórica,.. muito embora suceda, na maior parte dos casos, que por falta de tempo . ou por outras razões, o ensino da, aritmética racional se tenha reduzido..quase , ,

unicamente à resolução de mais uns tantos exercícios-cliché, muitos deles desprovidos de qualquer interesse. Mas há um mlnimo da aritmética dos inteiros. que é necessário - . .

preservar - e nesse míniino achamos por bem induir ~ método ' de indução matemática. Simplesmente, este método deve ser tratado agora com maior largueza de vistas, em 'Intima ligação com assuntos situados fora do âmbito estrito da aritmética; especialmehteoS que se referem aos fundamentos matemáticos do método experimental, que o devem preceder (ver capitulo anterior). Pois se é verdade, como parece, que a matemática está a assumir cada vez mais as funções de FILOSOFIA DAS

CI~NCIAS

- onde podem estes assuntos ser tratados de

maneira conveniente senão no programa de matemática do 3.0 ciclo?

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O estudo do método de indução mé!temática deve ser ampla-

mente motivado, como tema de filosofia · das ciências, se quisermos que tenha alguma eficácia e não seja mais uma forma de doutrina

imposta, a que o espírito do aluno não adere espontaneamente. Um dos moc(os possíveis de introduzir naturalmente este assunto é o que vamos sugerir. Apresente-se, como tema de discussão, a seguinte pergunta: .

que é mais. valioso: descobrir um teorema ou demonstrar esse teorema 'I Poderá objectar-se, desde logo, que um teorema não está definitivamente descoberto, enquanto não for demonstrado com todo o rigor: antes disso não temos a certeza de que seja verdadeiro e de que seja, portanto, um teorema autêntico. Mas várias vezes temos lembrado que, na investigação matemática, a intuição precede normalmente a lógica, isto é, começa-se por ter o pressentimento dos factos e s6 depois este pressentimento (ou intuição) é confirmado ou confirmado por demonstração. Consideremos, por exemplo, a seguinte proposição:

'Se uma função tem derivada positiva em todos os pontos de um intervalo, a .função é crescente nesse intervalo'.

No Compêndio de Álgebra, 6.° ano, pp. 242-243, este facto é admitido como verdadeiro apenas por intuição geométrica (considerando

° gráfico da função), do mesmo modo que se podem admi-

tir como verdadeiros, por exemplo, os seguintes factos: 'Dados um ponto e um plano, existe sempre um plano 8 um s6 que passa pelo ponto dado e é paralelo ao plano dado'.

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'Dados um ponto e um plano, existe sempre uma infinidade de rectas que passam pelo ponto e são paralelas ao plano; e a reunião dessas rectas é um plano paralelo ao plano dado'. Nestes casos, a intuição senslvel apresenta-nos os factos com tal grau de evidência, que nos parece desnecessário demonstrá-los. E, todavia, só podemos ter a certeza de que são verdadeiros (relativamente aos axiomas adaptados). uma vez que sejam demonstrados com todo o rigor lógico. prescindindo por completo da intuição

baseada em figuras. Aliás, esses factos são triviais, isto é. podem ser descobertos por qualquer pessoa que não seja desprovida de intuição geométrica: é bastante mais diflcil demonstrá-los, do que descobri-los. Mas os factos com real interesse em matemática. como por exemplo o teorema de Pitágoras. certas regras de derivação ou integração. etc., não são geralmente triviais. não são evidentes, e não podem, portanto. ser descobertos por qualquer pessoa. Por isso mesmo. vários teoremas. fórmulas ou métodos que foram descobertos antes de serem demonstrados rig.orosamente, têm o nome dos matemáticos que os descobriram, mesmo que estes não os tenham demonstrado. pelo menos de maneira completa. A bem dizer, quase todos os teoremas, fórmulas e méto-

dos descobertos em análise infinitesimal, desde Newton até Lagrange, figuram nessa categoria.

3. Assim, a demonstração. constitulda por uma cadeia de silogismos, segundo as regras da lógica dedutiva, é um processo técnico que se usa em matemática para distinguir o verdadeiro do falso, o certo do errado - e nAo propri,mBntB um método que permita

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chegar a resultados essencialmente novos. A criação cientHica, tal

como

criação artlstica; não obedece a regras.

Podemos, pois, dizer que as técnicas da demonstração representam para o matemático, o que as técnicas de experimentação representam para o trsico: são meios para confirmar ou infirmar hipóteses, concebidas

priori. Sob este aspecto são comparáveis às provas das

operações aritméticas: prova dos nove em fisica, prova real em matemática. Todavia, a demonstração (tal como a experiência), é muitas vezes o ponto de partida para novas descobertas: uma vez demonstrado o que tinha apenas pressentido, o matemático começa a ver as questões de maneira muito mais clara, e assim lhe ocorrem novas ideias, que o fazem progredir, por vezes com maior vigor. Não é, portanto, exacto dizer que a lógica nada tem que ver com a descoberta - que a razão não influi no processo de criação. Na verdade o matemático, quando disciplinado pelo raciocrnio, no processo dialéctico intuição-lógica,

lógica~intuição,

acaba por refinar a

sua própria intuição, adquirindo uma espécie de intuição supra-senslvel que o torna muito mais apto a apreender novos factos. A esta quase poderiamos chamar intuição racional (apesar da aparente contradição nos termos), pois que, na realidade, não há uma fronteira nitida entre intuição e lógica: não se pode dizer exactamente onde acaba uma e começa a outra.

4. Também não se pode dizer exactamente onde acaba a indução e começa a dedução. A matemática é, todos o sabemos, essencialmente dedutiva na confirmação dos seus resultados. Mas isto não impediu o electrotécnico Heaviside (a quem se devem progressos importantes em matemática) de proclamar em dado momento:

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matem~tica ~

um" cilncia tlxptlrimentlll.

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GUIA. DO OOMPllNDIO DE MA.TEMATIOA

Ora tal afirmação é em parte verdadeira: há, com efeito, diversos factos que, em

matemática~

se apresentam primeiro por indução, a

partir de experíéncías feitas com figuras, com slmbolos, etc. Come-" çaremos por apresentar três ·exemplos históricos (1): 1.° exemplo (TEOREMA DAS QUATRO CORES). Consideremos o .

seguinte problema: Pretende-se colorir um mapa, de modo que dois pals8$ figurem representados com cores diferentes, desde que tenham fronteira comum e que essa fronteira não se reduza a pontos isolados. Quantas cores são necessárias, no mlnimo, para tal fim 7

Têm-se experimentado os mais diversos mapas, relativamente a palses reais ou imaginários e o resultado tem sido sempre o mesmo: Não são precisas mais de 4 cores para colorir o mapa de modo que seja verificada a referida condição.

( ') Eates exemplos poderio, eventualmente, como ..me de leltur••

ler

econl8lhados

801

alunos

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J. SEBASTIAO E SILVA

Podemos pois, segundo o método de indução experimental, admitir que esta conclusão é válida em qualquer caso. Estamos assim em presença de uma lei, a que é costume chamar 'TEOREMA DAS QUATRO CORES'. Mas ninguém, até hoje, conseguiu demonstrar

tal teorema, embora tenham sido já apresentadas algumas supostas demonstrações, que, depois de uma análise lógica mais ou menos profunda, se verifica estarem erradas. Como se pode então chamar 'teorema' a uma proposição que não foi ainda demonstrada 7 Quem nos garante que não se venha a descobrir um mapa para o qual sejam precisas mais de 4 cores nas referidas condições 7 Trata-se pois, quando muito, de uma hipótese

de teorema, a não ser que convencionemos chamar teoremas também a proposições falsas ou duvidosas. Verdadeiro ou falso, o TEOREMA DAS QUATRO CORES diz respeito a um novo ramo importante da geometria - chamado

topologia - em que s6 interessam as propriedades topológicas das figuras, isto é, as propriedades de posição relativa que não se alteram por deformação contInua (1).

2. 0

exemplo (TEOREMA DE PITÁGORAS). Ao que parece, o

teorema de Pitágoras foi sendo a pouco e pouco desvendado por via experimental. Assim, os Eglpcios tinham verificado o seguinte facto, milhares de anos antes de Cristo: 'Se os três lados de um triângulo medem respectivamente 3 unidades, 4 unidades e 5 unidades, o triângulo é rectângulo, sendo os dois primeiros lados os catetos'.

( ')

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Dito de maneira intuitiva, sem preten.G,. d, rigor.

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GUIA DO OOMPSNDIO DE MATEMATlOA

Estaca

0---0--0---0

Estaca

Os Egfpcios utilizavam, na prática, este facto experimental para construir ângulos rectos, recorrendo a uma corda com vários nós equidistantes. Fixavam, por exemplo, dois desses nós por meio de estacas, deixando 3 nós intermédios, e procuravam depois formar com a corda um triângulo como se indica na figura. Ao que parece, foi este o processo utilizado para construir as bases quadradas das pirâmides: assim, o referido facto será já conhecido há cerca de 500 anosl Verificava-se ao mesmo tempo o seguinte:

e, analogamente, para outros ternos de números tais como (6, 8, 10) (9, 12, 15), etc., aos quais os Egípcios atribulam carácter místico. Por sua vez, os Indianos e os Chineses, em épocas também muito remotas, tinham observado que, para construir um ângulo recto, se podia utilizar uma corda dividida em partes de comprimentos 5, 12, 13 ou em partes de comprimentos 8, 15, 17. E também nestes casos acontecia que 62+122=132,82+152=172

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J. SBBASTIAO B SILVA

Estranhas e curiosas coincidências estas, que não podiam deixar de impressionar vivamente a imaginação poética, mitol6gica, dos antigos, inclinados naturalmente a ver em tais coincidências SrMBOLOS MIsTICOS,

reveladores de uma divina harmonia subjacente à natu-

reza. Mas estava-se então apenas numa fase emplrica, em que não se conseguia sequer subir, por indução, dos factos particulares observados, a uma lei experimental ( 1). O salto para a fase racional foram os Gregos que o deram, começando por admitir, como hipóteses, o seguinte facto geral: '0 quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos'.

Foi. segundo se diz, Pitágoras, quem primeiro demonstrou este facto, partindo de outros que são (ou parecem) evidentes. Hoje, o TEOREMA DE PITÁGORAS pode ser demonstrado com o máximo rigor lógico. sem apelo à intuição. a partir de uma axiomática bem definida da geometria euclidiana. como por exemplo a axiomática de Hilbert. Porém, a demonstração que se atribui a Pitágoras tem um carácter fortemente intuitivo, que nos rende à evidencia, fazendo-nos ver. num relance. a veracidade do teorema. Os factos evidentes a que tal demonstração reduz o teorema são essencialmente propriedades intuitivas das áreas, que poderiam ser tomadas como

(1) Ainda hoje. em algumas regiões, por exemplo no Sul da França, os camponeses aplicam o referido mltodo de corde, como simples lece/tll emplllclI, transmitida por tradiçio, desde tempos imemoriais. Sobre este assunto, veja-se I bela obra da Prot. o Emma Castelnuovo, 'La Geometria' (Ed. La Nuova ItaUa, Firenza), para a Escola Média ItaUana, corr..pondente aos 3 primeiros anos dos nOllOl

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liceuI.

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GUIA. DO COMPgNDIO DB MA'l'EMÁ.'l'ICA

c c B

axiomas (numa axiomática larga, não independente), mas que é diflcil demonstrar a partir dos axiomas usuais. Assim apareceu o

M~TODO

DA DEMONSTRAÇÃO MATEMÁTICA,

que consistia em provar um facto geral, sem recorrer à experiência, mas apenas por dedução, reduzindo esse facto a outros que são (ou parecem ser) evidentes. As provas por este método, ao contrário das que se baseavam na experiência, davam um sentimento de

certeza absoluta. Por isso mesmo, a sua descoberta - que marca o nascimento histórico do racionalismo e da matemática como ciência dedutiva - foi causa de deslumbramento para os pitagóricos, que se sentiam assim mais pr6ximos dos deuses. Aos referidos ternos de números naturais, que verificam a equação em três incógnitas X2+y2=:Z2

chamados hoje números pitagóricos, e a que eram atribuldas, desde os Eglpcios, virtudes mágicas, induziram naturalmente os filósofos da escola de Pitágoras a admitir como certa uma outra hipótese mais ousada: 'Qualquer que seja o triAngulo rectAngulo, é sempre posslvel escolher uma unidade de comprimento tal que as medidas dos cate13~

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tos e da hipotenusa sejam números inteiros [portanto números pitagóricos]'. Mais geralmente· ainda, foram ao ponto de admitir que toda a linha é formada por um número finito de unidades indivislveis(a que poder/amos chamar 'átomos' ou 'mónadas') e que, portanto, dois comprimentos são sempre comensuráveis entre si (cf. Compêndio de Algebra. 'Nota Histórica' do Capo I).

Assim, aos pitagóricos, a natureza aparecia como um ente geométrico perfeito, em que as relações entre todas as coisas, desde os corpos celestes aos sons· musicais, se podiam exprimir harmonicamente por meio de números - e -precisamente números inteiros. Era isso, no fundo, o que eles queriam dizer quando afirmavam: 'Os números são a essência de todas as coisas' .. Mas foi o próprio teorema de Pitágoras que, por ironia, os levou a descobrirem que era falsa a hipótese segundo a qual duas grandezas são sempre comensuráveis entre sil Assim, caia pela base esta pri-

meira tentativa da matematizaçãodo universo - e compreende-se bem o drama que tal descoberta representou, atendendo ao carácter religioso que os pitagóricos atribuíam à sua teoria. Foram portanto eles, provavelmente, os primeiros seres humanos que, depois de terem descoberto, com deslumbramento, as potencialidades do método racional, conheceram em seguida o seu rigor inexorável e as amargas desilusões a que conduz - ao verem ruir, à luz crua desse método, as generalizações apressadas a que os tinha conduzido o seu entusiasmo. Quais Icaros ingénuos, lançados na aventura do esplrito, o sol da Razão derreteu-lhes a cera com que tinham colado as asas do pensamento. 3.° exemplo (TEOREMA DE FERMAT). ~ fácil ver que existe

uma infinidade de soluções inteiras e positivas da equação x 2 + y 2

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.. Z 2

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GUIA. DO aOMPlbNDIO DE MA'J.'EMATICA.

(números pitagóricos), dadas pelas fórmulas:

x = yUV

u- v 2

, z=

u+v

em que u e v são números naturais arbitrários (distintos).

Neste momento, ocorre naturalmente considerar equações tais como X3

+ Y3

=Z3

+ Y4

=Z4

+. Y5

=Z5

etc.

e procurar ternos de números naturais que as verifiquem. Ora, por mais tentativas que se façam, não se consegue encontrar nenhum terno de números nessas condições, o que leva a admitir como hipótese o seguinte facto:

Qualquer que seja o número natural n > 2, não existe nenhum terno de números naturais x, y, z tal que x" + y" = z"; isto é, simbolicamente:

ne IN 1\ n > 2 ~

'" 3 (x, y, z)

IN 3 : x" + y" = z"

Esta proposição é hoje conhecida com o nome de ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT. A razão é a seguinte:

Durante as leituras de uma edição da aritmética de Diofanto, Fermat tinha, por hábito, escrever observações à margem do livro. Ora, precisamente quando Diofanto trata do problema das soluções inteiras da equação x 2 + y2 = Z2, Fermat observa que o problema análogo é imposslvel para equações da forma x" + y" = z", sendo n um número natural > 2, e acrescenta, a propósito deste facto: 'J'ai découvert une démonstration vraiment admirable que cette marge e8t trop petite pour contenir'.

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.1. BEBASTIAO E BILVA

Já lá vão três séculos e nenhum matemático conseguiu até hoje encontrar uma demonstração de tal teorema I No entanto, Fermat disse que tinha uma demonstração admirável. Mais ainda, em todos os outros casos em que omitiu as demonstrações dos seus teoremas, estes acabaram por ser demonstrados, por vezes com dificuldade. Que pensar então 1 Vários matemáticos estão convencidos de que Fermat se enganou, dessa vez, ao dizer que tinha descoberto uma demonstração do facto enunciado. Porém, até hoje, o teorema (se podemos chamar-lhe assim) ainda não foi desmentido. Mais do que isso, já pôde ser demonstrado, no caso particular em que o expoente n é um número primo < 14000 e em que nenhum dos números x, y, z é múltiplo de n, o que, do ponto de vista da indução experimental, aumenta em nós a convicção de que é verdadeiro no caso geral. Mas continuamos a não ter a certeza absoluta (ou antes, a certeza mate-

mática), de que a proposição geral seja de facto verdadeira. Acontece até que certos matemáticos, nomeadamente os INTUICIONISTAS, se inclinam para a seguinte

Existem proposições a respeito das quais é imposslvel demonstrar se são verdadeiras ou falsas. HIPÓTESE:

chamado 'teorema de Fermat' poderia estar, precisamente,

nestas condições, e, sendo assim, não seria nem verdadeiro nem falso, pois que, segundo os intuicionistas, só é verdadeiro ou falso em matemática, aquilo que se pode demonstrar como tal ('). Chama-se

indecidlvel um problema que não se pode decidir nem pela afirmativa

(')

Neste ponto, o intúiclonismo transporta para a matem6tlca o PRINCiPIO

DE MACH, atribuindo à

lJ8

demonstreçlo o papel de verlflceçlo ex"lmente/.

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GUIA. DO OOMPSNDIO DE MATEMATIOA

nem pela negativa. Exemplo de uma questão indecidível pode ser precisamente a seguinte:

Saber se a hip6tese anterior é verdadeira ou fa/s8.

Tem-se verificado, porém, que uma questão pode ser indecidível num dado formalismo (com determinados processos de demonstração) e tornar-se decidível num formalismo mais rico (com processos mais potentes de demonstração). Na verdade, a matemática é apta a criar para seu uso - sobretudo graças à lógica simbólica - sistemas de linguagem precisa (chamadas 'formalismos rigorosos') cada vez mais ricos, que oferecem novos processos de demonstração (e, portanto; novos tipos de silogismo) cada vez mais potentes. 'sto é semelhante ao que sucede com a aparelhagem da física experimental; que $e torna cada vez mais complexa e poderosa. Entre os processos de demonstração que se tornam progressivamente mais complexos figuram os MFrODOS DE INDUçAo MATEMÁTICA, de que bastará apresentar o caso mais

simples no ensino liceal. Mas, antes di$So, impõem-se ainda mais algumas observações:

O facto de haver problemas que são indecidíveis num dado

formalismo e depois se tornarem decidíveis em formalismos mais potentes veio pÔr em evidência o poder criador do esplrito humano e o carácter dialéctico do desenvolvimento da matemática, cuja evolução é em parte imprevisível, tal como a evolução do mundo físico. Para os intuicionistas, o chamado 'teorema de Fermat' é comparável a uma frase como a seguinte:

'No dia 12 de Março do ano 3000, chove em Lisboa pelas 3 horas da tarde'.

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J. 8EBASTIAOE 8ILVA

Que é que nos leva, inconscientemente, a convencer-nos de que o teorema de Fermat é, por força, verdadeiro ou falso? Apenas a ideia

plat6nica de que, experimentando todos os posslveis ternos (x, V, z) de números naturais e todos os números naturais n maiores que 2, se pode saber se existe ou não algum terno (x, V, z) e algum número n > 2 tal que xn+Vn = zn. Mas essas verificações seriam em número

infinito e, portanto, irrealizáveis na sua totalidade (1). Assim: Uma demonstração só é válida quando é constituida por uma cadeia finita de silogismos.

carácter finitista das demonstrações matemáticas é exigido

não só pelos intuicionistas (escola de Brouwer), mas também pelos

formalistas (escola de Hilbert). Mas estes, ao contrário dos primeiros, aceitam o PRINCiPIO DO TERCEIRO EXCLUIDO (e até o PRINCiPIO DE ZERMELO) como axiomas da lógica (ver Compêndio de Matemá-

tica,2.0 volume, p. 103). Note-se que os intuicionistas não afirmam nem negam explici-

tamente a existência de um terceiro valor lógico. Há, no entanto, lógicas que admitem explicitamente a existência de mais de dois valores

(lógicas plurivalentes).

Platão e os filósofos neoplatónicos, em especial Santo Agostinho, diriam neste caso: 'Os números existem desde a Eternidade, independentes de n6s, no Mundo das Ideias, onde são abrangidos, na lua totalidade, pela Inteligência Divina'. Note-se como este ponto de vista é semelhante ao de Laplace ao formular o determinismo mecanicista (1. 0 volume, 2. 0 tomo, p. 223). No fundo, o determinismo absoluto na frsica, assim como o fix/smo em biologia, são formas de racionalismo plat6nico. Mas já é diferente o ponto de vista de Aristóteles, depois retomado por S. Tomás de Aqulno (ver no Complndlo, 2.· volume, a nota sobra nominalismo e re,lilmo, p. 371). (1)

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GUIA DO COMPIlNDIO DE MATEMATICA

11.

Os exemplos anteriores mostram que, em certos casos excep-

cionais, é mais importante .encontrar a demonstração de um teorema do que descobrir o próprio teorema. Assim, por exemplo, se algUém vier a descobrir uma demonstração do 'teorema das 4 cores' ou do 'último teorema de Fermat', esse alguém ficará para sempre, ipso · facto, na históriada matemática. Mas nunca se aconselhe um prin-

cipiante a tentar a sua chance contra esses baluartes praticamente inexpugnáveis I Vários matemáticos, altamente experimentados, têm já tentado o mesmo. Alguns obtiveram resultados parciais importantes; por exemplo Kummer, nas suas tentativas de demonstração do teorema de Fermat, foi levado a introduzir novos conceitos que fizeram progredir grandemente a álgebra e a teoria dos números; Mas as investigações sobre este caso parece terem chegado a ponto morto - a não ser que surjam inesperadamente novos métodos de ataque. Em 1908 um professor alemão deixou em testamento um prémio de 100000 marcos para quem conseguisse demonstrar o último teorema de Fermat; mas a inflação consecutiva à 1. 8 Grande Guerra reduziu quase a zero esse prêmio. 111. Como regra, um jovem que deseje fazer investigação em qualquer ramo da ciência, deve procurar ser encaminhado para a fronteira do conhecimento, onde se desenvolvem 3S mais recentes pesquisas,

procurando evitar campos muito explorados, onde é extremamente improvável obter resultados positivos, que não tenham sido já obtidos por outrem no passado.

5. A última observação anterior aplica-se, em particular, a uma tentativa de investigação do aluno Hélio Bernardo Lopes, de uma turma clássica do 7.° ano do Liceu D. João de Castro. Essa tentativa , .em dúvida interessante, pelo que representa de imaginação

141

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J. BEBASTIAO E BILVA

e de esforço prometedor da parte de um aluno liceal, e pode constituir um centro de interesse eficaz, como motivação para introduzir o método de indução matemática. Meditando sobre a propriedade

(g) = (nj;') + (g: ~),

que des-

pertou o seu interesse, o referido aluno começou a fazer experiências com o triângulo de Pascal e concluiu, por indução experimental, que deve ser válida a seguinte fórmula sobre arranjos: mA P

= P (m-'A p-l

1 + m-2A p-l + ... + P-1A) p-l · para m " P p f?

A sua professora, a quem apresentou este resultado, em vez de o desencorajar, aconselhou o aluno, e muito bem, a tentar demons-

trar a fórmula, indicando-lhe, para esse fim, o método de indução matemática. Passado algum tempo, o aluno conseguiu, por este método, provar o que se pretendja ~ A demonstração, que se reduz à aplicação simples do referido método, será apresentada mais adiante; Entretanto, surge a questão:

Será esta fórmula um resultado novo? Num campo tão explorado e tão elementar como o da análise combinatória, a probabilidade de encontrar um resultado essencial-

mente novo é muito pequena. A única dificuldade pode estar em descobrir um livro, um artigo, uma enciclopédia, onde se encontre esse resultado ou um outro equivalente. No caso presente não foi necessário procurar muito: a fórníula em questão deduz-se trivialmente da seguinte, já conhecida, relativa a combinações( '): (W)

= (W:~)

(W:l>

+ .. . + (~:n

para m;> p ;> 1

(') No Complndlo de AII/ebre faz-.. uma breve refer'nela a nta ",0","dede, em linl/uegem comum.

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GUlA DO OOMPibNDIO DE MATEMATICA

Basta multiplicar ambos os membros por factorial de p. Mas o aluno Hélio Lopes ganhou alguma coisa com esta sua primeira tentativa: 1.°, ficou a ter uma primeira ideia de como se pode fazer investigação, que proporciona a aventura do espírito e a conhecer as emoções - alegrias e desenganos; 2.°, tornou-se muito mais consciente da necessidade da demonstração matemática, assim como do significado e do alcance do método de indução matemática;

3.°, aprendeu que, para conseguir resultados essencialmente novos, é preciso evitar assuntos que não estejam na fronteira actual do conhecimento. E, para que não fique desanimado, bastará dizer-lhe o seguinte: Mesmo trabalhando na fronteira do conhecimento, um investigador arrisca-se a encontrar resultados que já foram obtidos por outrem, algum tempo antes. Por vezes, os resultados são exactamente iguais, sem que tenha havido a mínima influência de um investigador sobre o outro. ~ por isso mesmo que, quando um matemático encontra resultados novos que lhe parecem importantes, se apressa a publicá-los, a fim de não perdera prioridade: muitas vezes anuncia-os, antes disso, sem demonstração, em breves comunicações a Academias ou Congressos. E, antes ainda de fazer qualquer espécie de publicação, tem geralmente o cuidado de se informar com colegas e de averiguar se não há referência a resultados análogos, em certas revistas internacionais, que fazem mensalmente um resumo de quase todos os trabalhos de matemática que se publicam no mundo inteiro, incluindo as simples comunicações.

Ficam atrás sugeridas várias possiveis maneiras de motivar

o estudo do método de indução matemática. O professor poderá aproveitar estas sugestões, na medida em que a sua experiência • o

88U

bom senso o aconselharem.

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.1. SEBABTI.I.O E SILVA

A introdução do referido método pode fazer·-se como no Capo 111 do 2.° volume. tentando traduzir por sim bolos na lógica matemática a seguinte propriedade, que o aluno conhece intuitivamente:

o número 1 gera todos os outros números naturais, por adiçio sucessiva: 1+1,1+1+1, · 1+1+1+1,1+1+1+1+1, ... . A

tradução

simbólica

desta

propriedade - O PRINCrPIO DE

INDUÇÃO MATEMÁTICA EM IN - é feita no n.O 2 desse capitulo em

termos de conjuntos. Não interessa, por enquanto, tratar da propriedade VI, nem das restantes que caracterizam o grupóide aditivo IN. Pode apresentar-se, depois, a seguinte definição por recorrência (de uma sucessão un):

u, = -

1 2

+, = 2-u1

, un

• Vn e IN

Pede-se ao aluno que determine alguns termos e que indique uma posslvel expressão do termo geral (isto é, uma expressã(J anal/-

tica desta função de n). A expressão sugerida será: . n un = - n+1

Verifica-se que, para muitos valores de n, tal expressão é efectivamente válida. Mas resta provar que é válida para todos os valores de n, isto é, que se tem de facto:

un = n +1 144

, Vn E IN

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GUIA. DO COMPBNDIO DE MATEMATIOA

Para isso, há que recorrer ao METODO DE INDUÇÃO MATE-

MÁTICA, baseado no princfpio anterior. Mas antes é preciso formular

este princIpio em termos de compreensão, tal como se faz no n.O 3 (substituindo o exemplo que se considera nesse número, pelo anterior). Repare-se na metáfora dos soldados de chumbo. Essa imagem preciosa, como tantas outrasque se devem utilizar no ensino, àsemeIhança do que se faz na investigação, estimula a imaginação (como

imagem que é). Como já temos observado, uma das graves deficiências do ensino tradicional, sobretudo entre nós, é a de não falar

à imaginação dos alunos. Uma vez posto o princfpio da indução sob a forma de silogismo, pode-se demonstrar o que se pretendia. Em geral começa-se por provar a premissa menor e só depois se prova a premissa maior. Neste caso P(n) é a propriedade

un = - -

n+1

Esta propriedade é, evidentemente, verificada para n

= 1:

1 1 u1 =--=-

1 +1

Seja, agora, k um determinado número natural, tomado arbitra-

riamente (1), e suponhamos que a propriedade P(n) é verificada para n ..:. k, isto é, que

k+1'

(hipótese de indução)

( ') O Ilmbolo k ..r6 POli, nllte ceiO, time con,t.nt. "bltr'rl.,

145

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J. SEBABTIAO E SILVA

Trata-se de provar que a propriedade é verificada também para n = k + 1. Ora tem-se, por definição,

donde, pela hipótese de indução,

Uk+1

1 . .... k

2- k+1

- k+2 k+1

portanto

k+1

Uk+1

=----(k+1) + 1

Ficou, assim, provado que a referida propriedade é hereditária e, como além disso, é verificada para n = 1, fica provado que é verificada para todo o n E IN, q. e. d. Um segundo exemplo pode ser o da definição de recorrência U1 =

5 ;

Un+ 1 =

un + 3 , 'o'n

Trata-se, como se vê, da progressão aritmética cujo primeiro termo é 5 e cuja razão é 3. O aluno já sabe que a expressão do termo geral, neste caso, é: Un

= 5 + 3(n-1)

Mas ainda não conhece uma demonstraçlo Ilgolosa desttl facto. Uma tal demonstraçlo pode ser dada pelo método de t46

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GUIA DO COMPSNDIO DE MATEMATICA

indução matemática, cuja aplicação, neste caso, é muito simples. Em seguida pode passar-se ao caso geral da definição: U 1

; un + 1

= un + r

, Vn e IN

em que a e r são constantes arbitrárias (progressão aritmética cujo primeiro termo é a e cuja razão é r). Prova-se então, pelo mesmo método, que, neste caso, un =a+(n-1)r , nelN

; a, relR

(Mais geralmente ainda, a e r podem ser elementos de um

m6dulo qualquer). Depois virá o caso geral da progressão geométrica: u,=a; un + 1 =u nr ,

VnelN'

que difere do caso anterior apenas em que a linguagem aditiva é

substituIda pela linguagem multiplicativa. A propósito destes exemplos simples, Q aluno terá aprendido a distinguir as constantes arbitrárias das variáveis de indução, nas demonstrações por indução matemática. Será depois mais fácil tratar dos exemplos I e II directamente, sem ser já necessário particularizar

a8 constantes arbitr6rias. Devem seguir-se os exemplos 111, IV, V e VI. Note-se que os exemplos IV e V têm a vantagem" sempre importante, de constituirem novidade para o aluno, sendo ' por isso mais aptos a despertar o seu interesse. Mas importa levá-lo a reconhecer que, nestes casos, o método de indução matemática é, cem por cento, uma técnica de demonstração, que nada nos diz sobre a maneira de chegar a elSas fórmulas - sobre a id,is que conduziu ao resultado. Para isso, é bom comparar, por exemplo, a deduçlo

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J. BEBASTIAO E SILVA

intuitiva habitual das fórmulas dos exemplos 111 e VI, com a demonstração por indução matemática ( ').

E chegou agora o momento, por certo emocionante, de de-

monstrar por indução matemática a fórmula redescoberta pelo ôluno Hélio Lopes. Vamos expô-Ia tal qual este aluno a apresenta numa sua nota.

1.· parte: m = p

Está então verificado que PA p = P • P - , Ap _ , 2. 8 parte:

- (mA p_, +m-'A p_, + ... +P-'A p_, ) Tese.. · m+'A p-P P ( mA p_,+ m - 'A p_, +m-2A p-,+"'+ P-'A) P-' =

=p. mA p-,+P (m-'A P_'+ m-2A p-,+"'+ P-'A) p-,

(') I: tamb6m muito importante - 6 mesmo impresclndlvel - saliente r que a induçAo matemática nllo 6 induçlo (no sentido experimentai), mas 11m deduçio: 6 uma das muitas formas de racloclnio dedutivo, embora menol trivial do que as de tipo cld..lco.

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GUIA DO aOMPSNDlO DE MATEMÁTICA

== p. mAp _1 + mAp

= p.

m I (p +m - p + 1) (m-p+1)1

(m - p + 1)!

ml (m-p+1)

ml (m-p+1)!

= p.

(m - p + 1)!

ml(m+1) (m - p + 1) I

= .-

(m - p) I ml p+ml(m-p+1) (m - p + 1) I (m + 1) I (m - p + 1) I

_ m+1A P

Está assim provado que mAp-p - (m-1AP-1'" + +P-1Ap-1 )

rn+1A P-pernAp-1'" + +P-1Ap-1 )

Como se vê, a demonstração é perfeitamente correcta, mas o método não foi aplicado com o aspecto habitual. Para o aplicar, tal como foi indicado, haverá que pOr m = p + n e tomar

para variável de indução, sendo p uma constante arbitrária. Por outro lado, teremos de fazer a indução em IN o e não em IN. Assim, na 1. 8 parte demonstrou-se que a fórmula é verdadeira para n = O, pois que então n+PAp = PA p e

Por sua vez, na 2. 8 parte, demonstrou-se que, se a fórmula é verdadeira para m = p + n, também é verdadeira para m = p + (n + 1), quaisquer que sejam n E IN o

p E IN.

No ensino deste método, como em geral no ensino da

aritmética, convém alternar os assuntos es,enc/s/mente novos, de

149

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J. SEBABTIAO E SILVA

interesse palpitante (como o anterior), com assuntos já conhecidos do aluno, que se trata agora de demonstrar com todo o rigor lógico (1). Mas, até neste caso, convém introduzi-los de maneira imprevista, como problemas que o aluno terá de resolver por si (sempre de acordo com o método activo e heurlstico I). Resolvam-se primeiro os exercicios I e V do n.o 2 do 2.° volume (Cap. 111), que põem o aluno em contacto com diversas modalidades de definições de recorrência. Note-se que é infinita a variedade de tais definições e que esse infinito é qualitativo, isto é: estão sempre a surgir novas formas imprevislvels de definição por recorrência (assim como novas formas imprevislveis de demonstração por indução matemática). Note-se também que não existe nenhuma expressão usual para a sucessão cp do exerclcio 11: este facto não é excepção, mas sim a regra, em sucessões definidas por recorrência. Posto isto, proponha-se ao aluno o seguinte exerclcio: determinar vários termos das sucessões f e g, definidas em INo pelo seguinte sistema de condições: g(O) = O , f(O)

g(n+1) = g{n) + 1 <= g(n) < 3 g(n+1) =O<=g(n) =3 f(n+ 1) = f(n) <= g(n) < 3 f(n+1) = f(n) + 1 <= g(n) = 3

(') O••auntoa d••t. nllm.ro a6 •• rlo tr.tadoa

•'0

houver t.mpo par. 1110•

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GUIA DO aOMPSNDIO DE MATEMÁTICA

Pode começar-se pela sucessão g; os seus 20 primeiros termos são:

O, 1, 2, 3, O, 1, 2, 3, O, 1, 2, 3, O, 1., 2, 3, O, 1, 2, 3, ... Os 12 primeiros termos da sucessão f são:

O, O, O, O, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2,

2, ...

Por indução experimental, o aluno verá que f(n) = quociente inteiro da divisão de n por 4 g(n)

= resto

da divisão de n por 4

Que quer isto dizer? Recordemos que o PROBLEMA DA DIVISÃO INTEIRA consiste no seguinte:

Dados dois números a E IN o e b E IN, determinar dois números q, r E IN o tais que a :;:: bq + r

r<b

sendo

Os números q e r serão chamados, respectivamente, quociente

inteiro e resto, da divisão de a por b. Ora no caso presente tem-se a q

= f(n)

= g(n).

e quer-se provar que

Pretende-se, pois, provar que

n = 4 f(n) + g(n)

(1 )

= n,

g(n) < 4

'In

IN o

A demonstração será feita por indução matemática:

f(O)

, g(O) = O ... O = 4 f(O) + g(O)

, g(O) < 4

lSI

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.T. SEBA8TI.AO E 8ILV A

Hipótese de indução: n = 4 f(n) + g(n)

, g(n) < 4

Tese de indução: n+1 =4 f(n+1) +g(n+1)

, g(n+1) <4

Para provar esta, há que distinguir dois casos: 1. 0 caso: g(n) < 3. Então: g(n+1) = g(n) + 1 < 4 , f(n+1) = f(n) . . 4f(n+1) + g(n+1) = 4f(n) + g(n)+1 = n+1 n+1 =4f(n+1) +g(n+1)

, g(n+1) < 4

2. 0 caso: g(n) = 3. Então: g(n+1)=0<4, f(n+1)=f(n)+1 .'. 4f(n+1) + g(n+1) = 4f(n) + 4 = 4f(n) + g(n) + 1 = n+1 .'. n+1=4f(n+1)+g(n+1} , g(n+1)<4 q.e.d.

!: claro que, em vez do número 4, se pode considerar um outro numero natural qualquer: as considerações serão perfeitamente análogas. Mas agora surge-nos, de improviso, uma nova ideia: Deve ser possivel demonstrar, por este processo, que o problema DA DIVISÃO INTEIRA é sempre poss/vel e determinlldo, isto

é, que: Va

152

IN o

' b E IN , 3 q,r E IN o : a - bq

+ r Ar <

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GUIA DO COMPlbNDIO DE MATEMATICA

Para a demonstração convém tomar a para variável de indução, b para constante arbitrária e pOr: (1 )

= f(a)

, r

o problema exige que se tenha

= g(a)

q, r E IN o e

a = bq + r , com r< b

(2)

Então é óbvio que, sendo a = O, só pode ser q

e r = O,

isto é: (3)

f(O)

e q(O)

Por outro lado, se o dividendo aumenta de uma unidade, dois casos se podem dar: ou aumenta o resto ou aumenta o quociente. Mais precisamente, de (1) e (2) deduz-se: g(a) < b-1 => f(a+1) = f(a) !\ g(a+1) = g(a) + 1

(4) g(a) = b-1 => f(a+1)

= f(a)

+ 1 !\ g(a+1) = O

Como é fácil ver, estas fórmulas definem por recorrência duas funções f e 9 em IN o para cada b E IN. Ora, como no caso particular anterior, demonstra-se, por indução matemática, que, para todo o a E IN o, os números q = f(a) e r=- g(a) constituem de facto uma solução do problema. Por outro lado, essa solução é única, visto que as condições (3) e (4) são impostas pelo problema. Como já foi dito a propósito dos métodos de iteração, o estudo dos processos de recorrência tornou-se muito importante e tem-se desenvolvido com a expando do uso dos computadores.

IS3

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J. SEBASTIÃO E SILVA

8. Uma vez terminado o estudo do método de indução matemática, convirá que o professor refira, sem entrar em pormenores, que as propriedades A 1-A5 consideradas no n.o 6 caracterizam a estrutura do grupóide (IN, +). Quer isto dizer o seguinte: qualquer outro

grupóide (A, 6) que verifique tais propriedades, com A no lugar de N e 6 no lugar de +, é necessariamente isomorfo a (IN,+). Daí resulta que qualquer outra proposição vérdadeira em IN (que não seja definição) é consequência lógica das proposições A 1-A5 (e das definições que porventura forem introduzidas). Sendo assim,

as proposições A1-A5 podem ser tomadas para axiomas da teoria dos números naturais e. ~ntão as outras (que não forem definições) chamam-se teoremas. O facto de qualquer grupóide que verifique a axiomática A1-A5 ser isomorfo a (I N, +) exprime-se dizendo que esta axiomática é categórica. Pelo contrário, a axiomática dos grupóides, a dos grupos,

a dos anéis, a dos corpos, a dos conjuntos ordenados, a dos eSpaços vectoriais, etc., etc., são axiomáticas não categóricas, embora sejam compatlveis (isto é, existem realizações de cada uma dessas axiomá-

ticas não isomorfas entre si). Convém, por último, apresentar a axiomática de Peano, tal como esta aparece no Compêndio.

9. Há um assunto que ainda não ficou inteiramente esclarecido no Guia do 6. 0 ano e que convém, de futuro, ir a pouco e pouco precisando, a propósito do exemplo do BAILADO DAS HORAS e outros análogos: é o da noção de congruência. Note-se que em l a definição deste conceito pode ser a seguinte:

Dados a, b, mel, sendo m "" 0, diz-se que a é congruente com b módu/p m, 88.e a-bé múltiplo de m.

154

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GUIA DO

OOMP~NDIO

DE MATEMATIOA

Mas Elsta definição não é facilmente adaptável a IN o , visto que, nesse caso, a-b só existe se a ~ b.

Quanto às classes de congruência, é claro que não serão as mesmas em IN, em IN o e em l. Suponhamos por, exemplo, m = 3; então as classes de congruência em IN o serão os conjuntos de valores que toma cada uma das expressães 3n, 3n+1, 3n+2, quando n

varia em INo, ou seja: {3n} = {O, 3, 6, 9, "'}' {3n+1}= {1, 4, 7,10, "'}' {3n+2}= {2, 5, 8,11, "'}' ao passo que, em 71.., são os conjuntos de valores que tomam aquelas mesmas expressões, quando n varia em il., ou seja: {3n} = {O, 3, -3, 6, -6, ... } {3n+1} = {1, 4, -2, 7, -5, ... } {3n+2} = {2, 5, -1, 8, -4, ... } A propósito do estudo dos anéis (no 6.° ano) convém demonstrar as seguintes propriedades, relativamente a um módulo m qualquer: a == a' 1\ b == b' => a + b

=a' + b'

a == a' 1\ b == b' => ab - a'b' A demonstração é mais c6moda em 71.. do que em JN o' As fórmulas a = a' (mod m), b = b' (mod m) significam então que a - a' e b - b' são móltiplos de m ou seja: 3pel:.a-a'=mp,

3qel: b-b'=mq

ISS

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.T. 8EBA8TIAO E 81LVA

Por sua vez as fórmulas a - a' às seguintes: a = a'

+ mp

= mp,

b - b'

= mq

equivalem

= b' + mq

donde a + b = a' + b' + m(p+q) ab = a'b' + m(a'q + b'p + mpq),

ou seja, pondop + q = h

a' q + b' q + mpq = k:

(a+b) - (a' +b') = mh ab - a'b' = mk o que prova as teses, visto que h, k E Z. Estas propriedades permitem provar que são unlvocas as seguintes operações definidas no conjunto das classes de congruência módulo m:

As mesmas propriedades permitem justificar a PROVA DOS NOVE, notando que 10 = 1 (mod 9). Bastará fazer a justificação com exemplos numéricos, como o seguinte: 375=3 x 10 2 +7 x 10+5,57=5 x 10+7 375 x 57 = 21375 = 2 x 10 4 + 10 3 + 3

156

10 2 + 7 x 10 + 6

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GUIA DO COMPIlNDlO DE MATEMATICA

donde se deduz, relativamente ao módulo 9:

375 '" 3 + 7 + 5 3

1O.

, 57 '" 5 + 7 '" 3

6 = 18 '" O , 21375 = 2 + 1 + 3 + 7 + 5 '" O

Um outro ponto que ficou em suspenso foi o que se refere

ao conceito de partição. A nossa opinião actual é que este conceito deve ser introduzido logo no 6.0 ano, ou mesmo mais cedo, se a modernização do ensino da matemática se estender aos dois primeiros ciclos. Como sempre, convém partir de exemplos concretos e sugestivos. A classificação dos vertebrados em mamlferos, aves, répteis, batrá-

quios, peixes e ciclóstomos pode constituir um primeiro exemplo. Pondo ('):

v = {vertebrados} R = {répteis} , B

, M

= {mamlferos}

= {batráquios}

, A

= {aves},

, P = {peixes} , C = {ciclóstomos}

vê-se que, pelo menos em teoria: 1)

os conjuntos M,

A. R, B, P, C são disjuntos dois a dois

e nenhum deles é vazio,

V = M u A u R U B U PU C.

(1)

Não esquecer que a expressA0 {vertebrados} se lê 'conjunto dos verte-

brados', e analogamente para .s outras do mesmo tipo.

157

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J. 8EBASTIAO E 8ILVA

Exprime-se este facto dizendo que . o conjunto de conjuntos {M. A. R. B. P. C.} é uma partição (ou uma classificação) do conjunto V. Analogamente. o conjunto. T. das turmas de um liceu. é uma partição de conjunto.

A. dos alunos do liceu. visto que:

1) as turmas são conjuntos não vazios de alunos. disjuntos dois a dois; 2) a reunião desses conjuntos é A. Por sua vez. o conjunto

{{1. 2} • {3. 4. 5} . {6} , {7. 8. 9. 10}} é. por idênticas razões. uma partição de conjunto

{1. 2. 3, 4. 5. 6. 7, 8. 9. 10} A propósito. convém observar o seguinte: uma coisa é aquele

conjunto de conjuntos. outra coisa é a sua reunião; o primeiro é de tipo 2 e o segundo de tipo 1. em relação a IN. Convirá. ainda. que os alunos indiquem outras partições do mesmo conjunto. Consideremos. agora os seguintes conjuntos. no universo U dos

portugueses: C = {casados} , E = {empregados} , M= {maiores de 5 anos} Imediatamente se reconhece que o conjunto {C. E. M} não é uma partição de U. Mas cada um destes conjuntos com o seu complementar constitui uma partição (ou classificação) do universo U:

{C , C} , {E ,

, {M

rvt}.

Chamam-se classificações dicot6micBs as partições deste tipo (são também dicotómicas a clsssificaçAo dOI animais em vertebrado.

158

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GUIA DO OOMP8NDIO DE 14.A.TEMA.TIOA

e invertebrados, a das plantas em fanerogâmicas e criptogamicas, etc.). Por sua vez, intersectando os conjuntos C, C,E,t M, M três a três, obtém-se a seguinte ·partição deU: {C EM , C EM, C~ M

C EM, C É M

M,. CE M,

(:~M.}

Por exemplo, C~M = {casadps, desempregados e maiores de25 anos}. Posto isto, o aluno será conduzido a reconhecer, também com exemplos (como se indica no Guiado 6.° ano), que toda a relação de equivalência definida num universo U determina uma partição de U (em classes de equivalência). Tal conclusão é

assim obtida por indução experimental. Vamos em seguida dar a demonstração rigorosa do facto, a tItulo de curiosidade. Seja p uma relação de equivalência definida em U e ponhamos ('): K(a) = {x: x p a}, 'ri a EU Assim, a cada elemento 8 de U o operãdor K faz corresponder um conjunto K(a), que não é vazio, visto que a E K(a) (porquê?). Notemos, agora, que: a p b <=> K(a) = K(b)

(1 )

Com efeito, suponhamos a p b e seja x um elemento qualquer de K(a). Então x p a e, como a p b, também x pb (porquê?), isto é, XE K(b). Seja agora y um elemento qualquer de K(b). Então y p b e, como b pa (porquê?), também em ypa, ou seja yEK(b). Logo K(a) =K(b). Reciprocamente, se K(a) = K(b), tem-se a E K(b) e portanto a p b.

(' )

Para comodidade, 8 e"pre••ilo xpV pode ler-se 'x • equiw/ent• • V'.

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J. BEBABTIAO B SILVA

Posto isto, sejam a e . a' dois elementos quaisquer ele U e suponhamos que K(a) '" K(a'). Vamos . ver que, neste caso, K(a) · e K(a') são disjuntos. Com efeito, se tal não sucede, existe um x tal que

x E K(a)

e x E K(a'), ou seja tal que xI' a e

x I' a',

donde a' I' x e

portanto a' I' a (porqu81). Mas então, segundo a conclusão anterior K(a') = K(a), o que é contra a hipótese. Assim, todos os conjuntos K(a), K(a'), · K(a"), ... , tais que a,a',

ala", a',a", ... são disjuntos dois a dois (e não vazios). Além disso, a reunião desses conjuntos é U, visto que cada elemento x de U pertence a um deles: o conjunto K(x). Por conseguinte, esses conjuntos (classes de equivalência) constituem uma partição de U,

q, e.d. ~ evidente que, reciprocamente,

toda a partiçio de um conjunto U determina uma relaçio de equival8ncla em U, cuj~s classes de equivalência são os conjuntos da partição. Por exemplo, à partição do conjunto dos alunos de um liceu em turmas corresponde a relação de equivalência:

x pertence à mesma turma que y Em resumo:

Qualquer que seja o conjunto U não vazio, cada relaçio de equivalência I' em U determina uma partiçio P de U tal que TEOREMA.

x I' Y<:> 3 C E rp: x, y E C Reciproclimente. c.d. partiçlo de U determln. um. re'.ç'o d.

160

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GUIA DO OOMPIlNDIO DE MATEMATIOA

equivallncia p em U que verifica esta condiç§o. Em qualquer dos casos, .pondo K(x)

= {v:

y p x} .

K é uma aplicação de U sobre (j). Como já foi observado no 6. 0 ano, a , propósito das defininições por abstracção, é mais natural, em muitos casos,considerar, em vez das classes de equivalência, as propriedades que definem essas !classes (ou conjuntos). Neste caso, p"dfamos I definir Kcomo o operador que faz ·corresponder a cada a E U a propriedade que é comum a todos os elementos x tais que x p a

(8 só a esses). Em qualquer dos casos, diremos que K é um operador de abstracção. São exemplos de operadores de abstracção os seguintes: direcção de. forma de, comprimento de, cor de, volume de, peso de, nacionalidade de. etc. Assim, tem-se:

rIIs

direcção de r

(f- ..... {}. ~ forma de sendo r, s rectas e

= direcção de s

íf- = forma

de {}., etc.

r;., {}. figuras quaisquer de ().

Em qualquer dos casos, o operador de abstracção converte a relação de equival§ncia em relação de identidade. Por isso mesmo se chama 'operador de abstracção', visto que abstrai, por assim dizer das diferenças que há entre dois elementos equivalentes. Recordemos, ainda, o seguinte exemplo: A é equivalente a B <:>

'*' A = '*' B 161

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J. 8EBA8TIAO E 8ILVA

sendo A e B conjuntos quaisquer. Neste caso, como também já foi observado no Guia do 6.° ano, o universo não é um conjunto, mas sim uma classe (a classe de todos os conjuntos), na acepção mais larga atribuida à palavra 'classe'.

11.

No decurso das suas aulas - e em especial no 6.° ano, a

propósito do estudo da lógica - o professor deverá recordar como se definem os conceitos de divisor, de múltiplo, de máximo divisor

comum, de mlnimo múltiplo comum e de número primo (de preferência em IN). Convirá definir 'máximo divisor comum' e 'mini mo múltiplo comum', atribuindo às palavras 'máximo' e 'minimo' o sentido usual, ligado à relação de grandeza. Deverá ainda ser recordado o algoritmo de Euclides para o m. d. c., bem como o facto de um número natural ser sempre decomponivel em factores primos (e de um só modo, à parte a ordem).

Quanto a demonstrações, poucas são necessárias e podem ser feitas no 6.° ano, após o capitulo 111 do Compêndio, com introdução heurlstica: 1.

CENTRO DE INTERESSE:

Redescobrir o algoritmo de Eucli-

des. São dados dois números naturais a, b e pretende-se achar o m. d. c. (a, b). Suponhamos a;;. b. Dois casos se podem dar: 1)

a é divislvel por b. Qual é então o máximo divisor comum 7

Evidentemente, b. 2)

a não é divislvel por b. Seja, então, q o quociente inteiro e r

o resto da divisão de a por b ('): a=bq+r

(1 )

(')

Admite·.e ne.ta altura que o PROBLEMA DA DIVISÃO INTEIRA é

sempre passlvel e determ~nado.

162

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GUIA DO COMP8NDIO DE MATEMÁTICA.

Seja, agora, n um divisor comum qualquer de a e de b. Será n também divisor de r7 Parece que

sim~

Vamos ver se é verdade.

Designemos por a' e b' os quocientes de a e de b por n: a = a'n, b

= b'n

Então de (1) vem: a'n = b'nq + r donde: r = (a' - b'q)n

Portanto n também é divisor de r, como se previu. Seja por sua vez m um divisor comum qualquer de b e de r. Será também divisor de a 7 Designemos por f) e r' os quocientes de b e de r por m: b

= b'm

Então, a= b'mq + r'm

, r = r'm

= (b'q + r')m

logo m -f a, como se previu. CONCLUSOES QUE O ALUNO DEVE TIRAR POR SI:

o conjunto

dos divisores comuns de a e b é o mesmo que o conjunto dos divisores comuns de b e r (porquê?). logo

m. d. c. (a, b) - m. d. c. (b, r)

(porqu8?) 163

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.T. BEBABTIAO E BILV A

Pergunta-se': Que ideia nos sugere este resultado para achar o m. d. c. (a, b) 7 A resposta deve partir espontaneamente do aluno('):

o problema

de achar o m. d. c. (a, b) foi reduzido ao de achar o m. d. c. (b, r). Seja b=rq'+r' , com r'<r (q'elN, r'eIN o ). Se r' = O, então r -l b e, portanto, r = m. d. c. (b, r) = m. d. c. (a, b). Se r' -# O, seja r = r'q" + r"

, com r" < r' (q" e IN, r" e IN o ).

E, agora, a situação repete-se. Pergunta-se:

Pode acontecer que nunca se chegue" resto zero por este caminho 1 !: preciso lembrar que ' " > ... a> b >r>r Ora, se nunca se chegasse a resto zero, teriamos assim uma sucesslo infinita decrescente de números naturais, o que é impossrvel. Impossivel porquê 7 O aluno sabe-o por intuição ou por experiência. Mas o facto só pode ser demonstrado por indução matemática, o que não interessa fazer no 6. 0 ano (2). Por consguinte, o referido processo (algoritmo de Euclldll ou método da$ divisões sucessivas) conduz, sempre, a um resto ....;

•

(')

Antes das considerações gerais que vlo seguir-se, agora, conv6m con-

siderar um caso particular, por exemplo a = 960 e b - 144. ( 2) Ver-..-6 maia adiante.

164

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GUIA DO aOMP8NDIO DE MATEMÁTIOA

nulo:· o último resto não nulo que se obtém fi precisamente o

m. d. c. (a, b). Posto isto, nova pergunta:

que acontece quando, numa divisão inteira, se multiplica o dividendo e o divisor por um mesmo número natural? ~ provável que o aluno já não se lembre da resposta; mas é

talvez melhor assim, porque pode então redescobri-Ia. Sejam a, bE IN e

= bq + r

com q, r E IN o

e r<b

Multiplicando por qualquer k E IN, virá então: ak = (bk)q + rk

, rk < bk

Conclusão: o quociente não muda e o resto vem multiplicado

por k. E agora:

Que propriedade pode resultar daqui para o m. d. c. ? Multiplicando a e b por k, os sucessivos restos, no algoritmo de Euclides vêm todos multiplicados por k e, portanto, o mesmo acontece ao m. d. c. Conclusão: m. d. c. (a, b)

=> m. d. c. (ak, bk)

= kD

(Traduzir em linguagem comum) Suponhamos, agora, que k é um divisor comum de a e de b, e seja a - a'k , b

= b'k

, m. d. c. (a', b')

= D' 165

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SEBAS'I'I~O

B SILVA

Então, pela propriedade anterior:

m. d. c. (a'k, b'k) = kD'

Conclusão: Se k -la e k -t b , então k -f m. d. c. (a, b) e

m. d. c. (a, b)

= D => m. d. c.

(a/k ,b/k)

= D/k

(Traduzir tudo isto em linguagem comum) Por outro lado, como (1) k-im.d.c. (a,b)=>k-ta!\k-tb

segue-se a

propriedadecaracterlstica do m.d.c.: k -t a !\ k -t b<:> k -f m. d. c. (a, b)

Recorde-se, agora, a DEFINiÇÃO:

Diz-se que a é

primo com b , sse m. d. c. (a, b)

(') ~ conveniente mostrar que a relaçllo -I definida em IN duma relaçlo de ordem parcial lata. t: costume ular o sinal I como abreviatura de 'divide'. Mu, tratando-se de uma relaçllo que nllo é Ilmétrlca, parece-nol preferlvel o Ilnal que adoptamol. Nelte C.IO, o Ilnal H Ilgnlflcar' 'o mllltlplo de' (relaçlo: Inver.. da primeira),

166

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GUIA DO aOMPfkNDlO DE MATEMATlOA

Posto isto, apresente-se a seguinte hipótese em IN,: k -I ab A k é primo com a e procure-se levar o aluno a uma conclusão. Que quer dizer 'k é primo com a '7 Resposta: m. d/c. (a, k) = 1 Que se conclui daqui para o produto ab 7 Resposta: m. d. c. (ab, kb)

(porqul7)

Mas olhe-se de novo para a hipótese: k -I ab. Ora k -I kb. Logo k -I b (porquê?).

RECAPITULANDO:

k-l ab A k é primo com a => k-l b Traduzindo em linguagem comum:

Se um número divide um produto de dois factores e é primo com um deles, então divide o outro factor.

Este é o importante TEOREMA DE EUCLIDES, que nos vai servir de base para o estudo a seguir. 2.°

CENTRO DE INTERESSE: Redescobrir

o teorema da decom-

posiç60 d,e um número em lactores primos.

167

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J . 8EBA8TIAO 1!1 SILVA

Muitas vezes, interessa decompor um número natural em factores tão pequenos quanto posslve!. mas todos diferentes de 1. Por exemplo: 20 = 2 x 10 = 2 x 2 x 5 90 = 2 x 45 = 2 x 9 x 5 = 2 x 3 x 3 x 5, etc.

Verificou-se então o seguinte: acaba-se por chegar sempre a factores que já não se podem decompor mais, e a última decomposição assim obtida é sempre a mesma qualquer que seja o modo como se faz a decomposição. Mas trata-se, por enquanto, de uma verificação experimental. Pergunta-se: Será posslvel demonstrar rigorosamente estes factos, com toda a gEneralidade?

Os factores indecomponíveis a que se chega (a que poderlamos chamar os átomos da decomposição) têm o nome de números primos ('). Portanto, um número natural a diz-se primo, sse é diferente de 1 e não pode decompor-se num produto: a=mxn,

com m;ó1 e n;ó1

~ Llaro que esta definição equivale à seguinte:

DEFINiÇÃO. Diz-se que um número a

é primo, sse é diferente

de 1 e 56 é divislvel por 1 e por a.

(')

Etimologicamente, 'número primo' significa 'n"mero primeiro' (ou

'número primitivo').

168

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GUIA DO COMP8NDIO DE MATEMATICA

Simbolicamente (no universo IN):

a é primo ~ a :F 1 /\ (~ -I a => x ~

V x

= a)

Um número diz-se composto (ou decomponlve/), sse é diferente de 1 e não é primo. Seja a um número composto. Então existem m:F 1 e n :F 1, tais que a

=m x

n , sendo portanto .m < a e n < a

(porquê?)

Se m e n são primos, u número a está decomposto em !actores primos. Se não, um pelo menos dos números m, n não é primo; seja por exemplo m; então existem m' =F 1 e n' :F 1, tais que m

= m'

x n';

portanto:

a = .,,: x n' x n

(m' < m , n' < m)

Se os números m', n', n são primos, o número a está decomposto

em !actores primos. Se não, um pelo menos dos factores é decomponfvel como no caso anterior. E assim sucessivamente. Enquanto houver um factor que não seja primo, o processo continuará. Pergunta-se agora:

Este processo poderá não ter fim? O que aconteceria se o processo não mais terminasse? A resposta é,naturalmente: Nesse caso, as sucessivas decomposições davam origem a uma infinidade de números oada vez mais pequenos, o que já sabemos que é impossfvel. Logo:

número acaba sempre por ficar decomposto em !actores

primos.

169

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J. BEBA.8TIAO E BIL V A.

Agora resta s6 um ponto a esclarecer:

Se fizermos a decomposição de um número a em factores primos por caminhos diferentes, os resultados poderão ser diferentes 1 Suponhamos que se obteve, por dois processos:

sendo p l' ... , Pm,q l' ... qn númeiOs primos. Então

(2) Suponhamos, por exemplo, m ~ n e vejamos se p 1 é igual a algum dos factores do 2. 0 membro. Se p 1 -# q l' então p 1 é primo com q 1

(porquê 1) e como divide o produto de q 1 por q 2... q n ' então divide q 2" ·qn· Se p 1 -# q 2' então p 1 é primo com q 2 e, portanto, divide q 3'" qn' E assim sucessivamente, até chegar qn' Logo p 1 tem de ser

igual a um dos números ql, ... ,qn' Como o produto é comutativo, podemos, por comodidade, supor escolhida a ordem dos factores de modo que seja p 1

= q l'

Então de (2) vem:

Raciocinando de modo análogo, concluimos que p 2 é igual a um dos factores do 2. 0 membro e podemos supor escolhida a ordem dos factores de modo que seja P2

= q2'

Procedendo assimsucessi-

vamente, conclui-se que

Ora m" n, por hip6tese. Poderá ser m < n 7 Não, porque, nesse 08.0,

170

Guia para a Utilização do Compêndio de Matemática, 2º e 3º volumes, Indução Experimental e Indução Matemática

GUIA DO COMPSNDlO DE MATEMATIOA

dividindo ambos os membros do (2) por P, ... Pm obtfnhamos 1

= qm+'

... qn' o que é imposslvel (porquê 1). Em conclusão:

TEOREMA. Um número composto admite sempre uma e uma s6

decomposição em lactores primos (ã parte a ordem destes). (Normalmente os factores são escritos por ordem crescente de grandeza, em sentido lato.)

claro que a demonstração anterior (aliás a seguida no ensino

tradicional) tem carácter parcialmente intuitivo. Uma demonstração rigorosa s6 poderia ser dada no 7.° ano, pelo método de indução matemática; mas não vale a pena fazê-lo. Convém ainda recordar o proceeso usual, para decompor um número em factoresprimos, e apontar o teorema segundo o qual o conjunto dos números primos é infinito (pode omitir-se a demonstração). Designemos por Pn o número primo de ordem n, para cada n elN. Fica, assim, definida a sucessão dos números primos: P, = 2 , P2 = 3 , . P3 =5 ,

o teorema

anterior equivale a dizer o seguinte:

Para cada número composto a, existe sempre uma e uma s6 sucessão xn de números inteiros absolutos tal que

sendo xn = O a partir de certa ordem. Por exemplo, se a = 20, tem-se x,

= 2,

= O,

x 3 = 1, x n = O

para n > 3.

171

Guia para a Utilização do Compêndio de Matemática, 2º e 3º volumes, Indução Experimental e Indução Matemática

J. BBBABTIAO li BILVA

Deste modo, como se vê, a sucessão dos nlÃmeros primos desempenha, no semigrupo multiplicativo IN, um papel análogo ao de uma base de um espaço vectorial' de dimensão infinita. Então os expoentes x l' X 2' ... , xn' ... da decomposição em factores primos são comparáveis às componentes de um vector nessa base;

multiplicar dois elementos de IN equivale a somar ordenadamente as respectivas componentes. Isto mostra bem como é diferente a estrutura dos semigrupos (IN, +) e (IN, .); uma caracterização axiomática do segundo é, com certeza, muito mais complicada que a do primeiro (1).

12. A determinação do m. m. c. a partir do m. d. c. ou a determinação de ambos por decomposição em factores primos podem também ser assuntos a recordar no 6.° ano (há 40 anos, estes assuntos faziam parte do programa do ensino primário I). O que deve intei-

ramente abolir são clássicos problemas-cliché, sem interesse algum, a que acabou por se reduzir quase todo o ensino da aritmética racional no 3.° ciclo, desvirtuando-se por completo a sua finalidade. Mas a inclusão destes assuntos, mesmo abreviadamente, como atrás se indica, no moderno 6.° ano, levanta o eterno problema do tempo: para o tratar de maneira satisfatória, há que eliminar uma outra parte do programa. Propomos que esta parte a suprimir seja a introdução à geometria analitica no espaço.

Não nos parece grave dispensar, no ensino liceal, o estudo da geometria anaHtica no espaço. Pelo contrário, o teorema da decomposi9ão em factores primos é essencial para poder justificar a intro-

(') o

semigrupo (IN, +) admite um Ilnico automorfilmo: a identidade. O lemigrupo (I N, .) admite uma infinidade de automorfllmol, determlnadol por todas ai aplicaç~el biunlvoclI do conjunto dOI nllmerol prlmol sobre Ii m..mo.

172

Guia para a Utilização do Compêndio de Matemática, 2º e 3º volumes, Indução Experimental e Indução Matemática

GUIA. DO ODMP8NDIO DB .JfATEMATIOA

dução dos números irracionais e deve, por esse e putros motivos, fazer parte da cultura geral que compete ao ensino secundário. O aluno a quem se consegue despertar oesplrito critico e a curiosidade intelectual, de acordo com as finalidades do ensino, sente vivamente a necessidade de uma tal justificação e

mostra~seinsatisfeito

quando não a encontra. Poderiam ser apresentados vários exemplos, em prova desta afirmação. Não devem ser precisos milagres, para convencer os incrédulos... Entre outros casos, é de assinalar a tentativa do aluno Fernando Saraiva de uma turma-piloto do Liceu de Oeiras, para demonstrar o seguinte

Sendo a e n números naturais, se nio existe nenhum número natural x tal que xn = a, também nio existe nenhum número fraccionárioque verifique a mesma condiçio (isto 6, nio existe ~a em (a). TEOREMA:

Para isso, o referido aluno estabeleceu previamente um outro teorema · e um corolário, de maneira . bastante curiosa, revelando qualidades muito apreciáveis, que devem ser encorajadas. Mas os seus racioclnios omitem um ponto: admite implicitamente, em certa passagem, sem o mencionar, o segUinte facto essencial:

Se um número primo divide um produto, divide pelo menos . um dos faetores do produto.

Este teorema ( , ), consequência imediata do TEOREMA DE EUCLI-

( t)

Mais precisamente, o aluno· utiliza o chamado 'teorema de GaU8S',

caIO particular deite aqui enunciado (cf. 'Compêndio de Aritmética Racional', do Dr. J. J. Gonçalves Calado).

173

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J. 8EBA8TIAO E 8ILVA

DES, pode ser usado directamente para demonstrar o teorema ante-

rior. Bastará fazê-lo num caso particular, para dar a ideia: Seja a = 5 · e n = 3. É claro que não existe nenhum número n!~tural x tal que x 3 =5 (porquê?). Suponhamos agora que existe um número fraccionário x tal que x 3

= 5.

Esse número poderá ser

representado por uma 'racção irredutlvel m/n, isto é, tal que m e n sejam primos entre si. Tem-se então (~) 3 · 5 ou seja (1 )

Mas, nesse caso, 5 -I m 3 e portanto 5 -I m (porquê?). Existe pois um ke IN tal que m

= 5k

e, assim, atendendo a (1),

Então 5 ~ n 3 e portanto 5 -I n. Ora já vimos que 5 -I m. Mas isto é absurdo, porque tfnhamos suposto que m e n são primos entre si. Logo,.., 3 x e (0+ : x 3

= 5;

e, como também não existe nenhum

x < O tal que x 3 = 5, conclui-se:

Não existe iY'S em (O. O referido teorema, caso particular do teorema de Euclides, pode apresentar-se com o seguinte aspecto:

o anel AI'

das classes de congruência módulo !.L não tem divisores de zero, sse IL é primo. A partir daqui, demonstra-se que: ~

174

tf um corpo, 55" !.L ff primo.

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GUIA DO COMPENDIO DE MATEMÁTICA

Com efeito, suponhamos que !.l é primo e seja a um elemento qualquer de AI" diferente de O. Então, a aplicação

é injectiva (porquê?) e, como AI" é finito, a aplicação é sobrejectiva. Logo existe um elemento x de AI" (e um só) tal que ax = 1,

q. e. d. Como aplicação do TEOREMA DA DECOMPOSiÇÃO EM FACTORES PRIMOS convém ainda propor, aos alunos, o seguinte exerclcio:

Demonstrar que, se um número natural a não é potência de expoente inteiro de 10, então log, oa é um número irracional.

13. Vamos terminar este capítulo com mais uma observação, Várias vezes temos salientado, invocando o testemunho de grandes cientistas, que o processo da criação cientifica começa pela intuição; e temos insistido em que o ensino de qualquer assunto deve igualmente começar pela fase intuitiva. Mas a fase racional, que se lhe segue, é igualmente indispensável. Especialmente em matemática, nenhum resultado pode merecer inteira confiança, enquanto não for sancionado pela razão, isto é, demonstrado logicamente. Por isso, se é muito importante estimular no aluno a intuição e a imaginação criadora, não menos importante é desenvolver nele o esplrito critico, o hábito da análise lógica e do raciocinio rigoroso. Numa tentativa de demonstração, tal como num cálculo, basta um pequeno lapso - a simples ausência de um elo quase imperceptlvel - para faslear o resultado. Por isso, todos os pormenores da

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Guia para a Utilização do Compêndio de Matemática, 2º e 3º volumes, Indução Experimental e Indução Matemática

J. 8BBAS'1'IAO E SILVA

demonstração devem ser analisados, por assim dizer, à lupa. De con-

trário, o aluno será capaz de aceitar como verdadeiras várias proposições falsas, ap6s uma cadeia de racioclnios que lhe pareçam impecáveis. Note-se bem: Esta situação é muito mais frequente do que possa parecer

à primeira vista I Um dos principais deveres do ensino é ensinar o aluno a pensar. E todo o aluno deve ambicionar adquirir autonomia mental e esplrito critico suficiente, para não se deixar facilmente convencer com argumentos errados - e menos ainda com argumentos de

autoridade.

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Indice Plg,. Considerações de ordem geral ., . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I - Introdução à trigonometria ............•..........•........

11 - Observações acerca do capitulo I do 2. 0 volume .............

111 - Observações ao capitulo 11 do 2. 0 volume ...................

IV - Probabilidades. estatistica e ciência experimental ..............

V ....;.. Indução experimental e indução matemática..................

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VI - Racionalização matemática do continuo ...............•.....

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