ESCOLA SECUNDÁRIA FRANCISCO
DE
HOLANDA
Matemática
ESTATÍSTICA
– PARTE II
Maio 2012
MEDIDAS DE LOCALIZAÇÃO É frequente haver vantagem em determinar valores numéricos que possam “representar” a diversidade dos valores que constituem uma distribuição com uma variável quantitativa, dando, por si só, uma indicação sugestiva da ordem de grandeza daqueles valores. É este o papel desempenhado pelas medidas de localização que vamos estudar a seguir: a moda, a média e a mediana. Retomando o exemplo (1) anterior: Classificações obtidas por uma turma de 24 alunos num trabalho de matemática:
i
Variável Classificações xi
Frequência Absoluta (ni)
1
12.8
1
2
13.2
4
3
13.9
3
4
14.2
5
5
15.0
4
6
15.6
3
7
16.0
4
xi . ni
N = S ni = 24
- Qual é a moda na distribuição das classificações dos alunos? Moda:
Qual é a classificação média? A média aritmética:
A fórmula anterior pode assumir outro aspecto, mais simplificado, se recorrermos aos valores das frequências absolutas de cada um dos k valores diferentes de xi:
Escreve os valores das classificações por ordem crescente e indica as classificações que ocupam o lugar central nessa lista (neste exemplo, o número de dados é par). A média aritmética desses dois valores centrais é a mediana da distribuição. A mediana:
Para n ímpar:
Para n par:
Se considerarmos os dados em bruto ordenados por ordem crescente
Dados em tabela (com frequência absoluta acumulada)
2
12.8 13.2 13.2 13.2 13.2 13.9 13.9 13.9 14.2 14.2 14.2 14.2 14.2 15.0 15.0 15.0 15.0 15.6 15.6 15.6 16.0 16.0 16.0 16.0
1
12.8
1
Ni (frequênc ia absoluta acumulad a) 1
2
13.2
4
5
3
13.9
3
8
4
14.2
5
13
5
15.0
4
17
6
15.6
3
20
7
16.0
4
24
i
xi
ni
Mas …, claro, temos também a calculadora para fazer isto!
Quartis – diagramas de extremos e quartis
3
12.8 13.2 13.2 13.2 13.2 13.9 13.9 13.9 14.2 14.2 14.2 14.2 14.2 15.0 15.0 15.0 15.0 15.6 15.6 15.6 16.0 16.0 16.0 16.0
Quartis 6 dados
6 dados
6 dados
6 dados
Q1 = xk
k=
n +1 (*) 4
4
Q1 = xk n k= 2
Q2 = x% =
x k + xk + 1 2
n +1 2 Q2 = x% = x k 3n + 2 k= (*) 4 Q3 = xk k=
n +1 (*) 4 Q3 = xk
k = 3×
(*) Quando estas fórmulas não conduzem a números inteiros, calcula-se a média aritmética dos valores que ocupam as posições dadas pelos números inteiros mais próximos do valor obtido. Por exemplo, se n = 17, vem:
▪
Q1
k=
▪
x +x 17 + 1 = 4,5 Q1 = 4 5 4 2 então
Q3
k = 3×
x1 13,9 x24
x +x 17 + 1 = 13,5 Q3 = 13 14 4 2 então
Diagrama de extremos e quartis
Classificações 12,8 Q1 14,2 15,6 16,0
5
Q3
x%
Imagina que o professor de Matemรกtica pede um novo trabalho aos 24 alunos e os resultados sรฃo os seguintes: 1ยบ Trabalho 12.8 13.2 13.2 13.2 13.2 13.9 13.9 13.9 14.2 14.2 14.2 14.2 14.2 15.0 15.0 15.0 15.0 15.6 15.6 15.6 16.0 16.0
2ยบ Trabalho
Quartis
10.0 11.0 11.2 11.5 12.0 12.0 12.0 12.3 12.3 12.3 12.5 12.5 13.5 15.0 16.0 16.3 16.5 17.0 17.0 17.0 18.0 18.0
6
16.0 16.0
19.0 19.0
13,9 12 12,8 10 14,2 13 16 19 15,6 17 1ยบ Trabalho 2ยบ Trabalho x1 x24 Q1 Q3 x1 x24 Q1
E com os dados agrupados em classes? Vamos Retomar o exemplo (2) anterior: Estaturas de 80 estudantes do 12ยบ ano
7
Classes
ni
Marca de classe (x ) i
xn i i
[1,65 ; 1,70[
6
1,675
10,05
[ 1,70 ; 1,75[
12
1,725
20,70
[ 1,75 ; 1,80[
30
1,775
53,25
[ 1,80 ; 1,85[
22
1,825
40,15
[ 1,85 ; 1,90[
8
1,875
15,00
[ 1,90 ; 1,95[
2
1,925
3,85
N =
6
∑n i =1
i
= 80
6
∑xn i =1
i
i
Classe Modal:
Classe Mediana:
Média aritmética:
= 143
0 20 40 60 80 100 Alturas (em m) Fi (%) 25% 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95 Q3 1,65 1,95 Q1 Polígono de frequências relativas acumuladas 50% 75%
8
° x
Vantagens e inconvenientes das medidas de localização Depois de estudadas as medidas de localização, podemos reter algumas das suas características mais marcantes que nos podem orientar, caso a caso, quanto à adequação e utilidade do uso de cada uma delas. A moda é adequada para caracterizar situações em que sejam visados os “casos mais usuais”.
9
è
Por exemplo, um fabricante de calçado pode estar interessado em saber as medidas de sapatos que mais se vendem. Em linguagem corrente pode dizer-se que escolher a moda é equivalente a dizer que “ganha a maioria”, como acontece, por exemplo, nas eleições presidenciais. Há ainda outras situações em que a escolha é também feita pela moda, mas impõe-se que ela atinja determinada frequência. É o que acontece, por exemplo, no nosso país, para que seja viável a Revisão Constitucional: à moda, tem de corresponder uma frequência igual a, pelo menos, 2/3 do número de deputados eleitos.
è
É importante ter-se a noção de que a escolha da média, da moda ou da mediana de uma distribuição depende da natureza do problema em estudo. A mediana tem vantagens: é pouco sensível aos valores extremos discrepantes, é uma medida mais resistente.
A média depende, ao contrário da mediana e da moda, na totalidade dos valores da distribuição. Tem, no entanto, o inconveniente de ser particularmente sensível aos valores extremos, quando discrepantes, pelo que, nestes casos, é necessário muito cuidado na sua interpretação.
Mas se média tem este inconveniente, qual a razão de ser tão utilizada? Para além de ser uma medida estatística muito simples de calcular, acontece que, em certo tipo de distribuição que surge com muita frequência e tem grande importância – a distribuição normal – a melhor medida de localização é a média. Por outro lado:
•
Dada uma distribuição cuja média é x , se adicionarmos uma constante k a todos os valores observados, a média da nova distribuição obtida, y , é igual à média da y = x+k
anterior adicionada de k.
•
Mas se multiplicarmos todos os valores observados por uma constante a média vem multiplicada por k y = k. x
10 Escola Secundária Francisco de Holanda Olívia Canedo