ESCOLA SECUNDÁRIA FRANCISCO DE HOLANDA Matemática
ESTATÍSTICA
– PARTE III
Maio 2012
Medidas de dispersão Amplitude total – Variância – Desvio Padrão Sendo a média um número que se usa para representar toda uma distribuição, não é, por vezes, suficiente para a caracterizar. Assim, para avaliar o grau de variabilidade ou dispersão dos valores de uma distribuição , usaremos certas medidas estatísticas, as medidas de dispersão, que nos proporcionam melhor conhecimento do fenómeno que analisamos, permitindo fazer comparações entre fenómenos da mesma natureza.
Exemplo: Resultados de um teste diagnóstico apresentado, no início do ano lectivo, a duas turmas do mesmo ano. Turma A
7
7
7
8
8
8
9
9
10
12
12
12
12
13
13
Turma B
1
2
3
4
7
8
8
9
12
12
12
12
18
19
20
Verificou-se que em ambas as turmas se tem: Média: Moda: Mediana: Em qual destas duas turmas vos parece haver uma maior variabilidade de dispersão de resultados? Vamos recorrer às chamadas medidas de dispersão para confirmar que a turma B é mais heterogénea do que a turma A. Amplitude total: total:
Turma A:
Turma B:
Amplitude Interquartis: Interquartis:
Turma A:
Turma B:
Desvio médio ou desvio absoluto médio Turma A xi
ni
7
3
7 - 9,8 = -2,8
8
3
8 - 9,8 = -1,8
9
2
9 - 9,8 = -0.8
10
1
10 - 9,8 = 0,2
12
4
12 - 9,8 = 2,2
13
2
13 - 9,8 = 3,2
N = 15 Desvio médio:
xi − x
xi − x
|-2,8| = 2,8
Fi ×xi − x 3 x 2,8 = 8,4
Turma A:
Turma B:
Variância e desvio-padrão Turma A xi
ni
7
3
7 - 9,8 = -2,8
8
3
8 - 9,8 = -1,8
9
2
9 - 9,8 = -0.8
10
1
10 - 9,8 = 0,2
12
4
12 - 9,8 = 2,2
13
2
13 - 9,8 = 3,2
xi − x
( x − x)
2
i
(
Fi × xi − x
(-2,8)2 = 7,84
)
2
3 x 7,84 = 23,52
N = 15 Variância Turma A: Desvio padrão Turma A:
Variância Desvio padrão É importante reter que o desvio padrão nunca é negativo e quanto mais afastado de zero estiver, maiores serão os quadrados dos desvios, pelo que maior é a dispersão dos dados relativamente à média. Do mesmo modo que a média, também o desvio padrão é uma medida pouco resistente, resistente ou seja, é muito influenciado por valores ou muito maiores ou muito menores do que os restantes (o que, aliás, seria de esperar, já que, na sua definição, entra a média).
Propriedades: Sejam x1, x2, x3, …., xn, n dados quantitativos em que a média é x e o desvio-padrão é s. ▪
Se adicionarmos um número real k a todos os dados o desvio-padrão mantém-se e a média passa a ser x + k .
▪
Se multiplicarmos todos os dados por uma número real k, a média passa a ser k × x e o desviopadrão k × s .
Calcula a variância e o desvio-padrão para a os dados da Turma B. Turma B xi
ni
xi − x
( x − x) i
2
(
Fi × xi − x
)
2
Escola Secundária Francisco de Holanda Olívia Canedo Maria José Vaz da Costa