Exercícios sobre Complexos Michael Fowler 1. Localize no plano complexo os números
e escreva-os na forma
2. Escreva a regra de multiplicação de dois números complexos da forma calcular o inverso de um número complexo, isto é, exprima
como
termos de
e
. Dica: multiplique
por
e descubra como . , exprima
3. Descubra como inverter um número na outra notação: se
.
e
em
.
4. Mostre, num diagrama, onde está a raiz cúbica de -1, chamemos-lhe . Quantas raízes cúbicas tem -1? Mostre todas as possibilidades no diagrama. De seguida, faça o mesmo para as raízes cúbicas de 1. (Nota: é usualmente usado para a raiz cúbica de -1; nós também a usamos para frequência angular, claro. Tenha cuidado e não os confunda.) 5. Desenhe um número complexo
como um vector (apontando da origem para
desenhe no mesmo diagrama os vectores 6. Usando
e
(sendo
), e depois
a raiz cúbica de -1).
deduza as fórmulas para
7. Suponha que o ponto se move no plano complexo de um modo tal que no instante com real e . Onde está em ? E em ?E ?E ? Descreva o movimento no tempo. Como é que se alteraria a sua resposta se A fosse um imaginário puro em vez de real? 8. Considere novamente
. Derive ambos os lados para encontrar uma
expressão para a velocidade à medida que o ponto se move ao longo da sua trajectória. Qual a relação entre o vector velocidade e o vector posição? Derive novamente para achar o vector aceleração, e comente a sua direcção e sentido. 9. Descreva brevemente o comportamento de no tempo se para real. Como se alteraria este comportamento se tivesse uma pequena parte imaginária, , com pequeno? Esboce o movimento de no plano complexo para positivo e negativo. 10. Considere a equação quadrática . Para , ambas as raízes são iguais a 1. Esboce (no plano complexo) o movimento da raiz maior quando varia de 1.2 até 0.8 passando por 1. Repita para a outra raiz, de preferência com uma cor diferente.
Tradução/Adaptação Casa das Ciências 2009