Sendo a média um número que se usa para representar toda uma distribuição, não é, por vezes, suficiente para a caracterizar. Assim, para avaliar o grau de variabilidade ou dispersão dos valores de uma distribuição, distribuição usaremos certas medidas estatísticas, as medidas de dispersão, dispersão que nos proporcionam melhor conhecimento do fenómeno que analisamos, permitindo fazer comparações entre fenómenos da mesma natureza.
Exemplo
Resultados de um teste diagnóstico apresentado, no início do ano letivo, a duas turmas do mesmo ano. Turma A
7
7
7
8
8
8
9
9
10 12 12 12 12 13 13
Turma B
1
2
3
4
7
8
8
9
12 12 12 12 18 19 20
Verificou-se que em ambas as turmas se tem:
(
)
Média:
x = 9,8 x A = x B = 9,8
Moda:
Mo = 12 (MoA = MoB = 12)
Mediana:
(
° =9 x ° A =x °B =9 x
)
Em qual destas duas turmas vos parece haver uma maior variabilidade de dispersão de resultados? Vamos recorrer às chamadas medidas de dispersão para confirmar que a turma B é mais heterogénea do que a turma A.
Amplitude total:
Amplitude total, ou apenas amplitude, de um conjunto de dados quantitativos é a diferença entre o maior e o menor valor da variável.
Turma A - amplitude: 13 - 7 = 6 valores Turma B - amplitude: 20 - 1 = 19 valores
Amplitude interquartis: Turma A: Q3 – Q1 = 12 – 8 = 4 valores Amplitude interquartis é a diferença entre o 3º e o 1º quartis. Turma B: Q3 – Q1 = 12 – 4 = 8 valores
Desvio médio ou desvio absoluto médio x = 9,8 Turma A xi
ni
xi − x
xi − x
7
3
7 - 9,8 = -2,8
|-2,8| = 2,8
3 x 2,8 = 8,4
8
3
8 - 9,8 = -1,8
1,8
5,4
9
2
9 - 9,8 = -0,8
0,8
1,6
10
1
10 - 9,8 = 0,2
0,2
0,2
12
4
12 - 9,8 = 2,2
2,2
8,8
13
2
13 - 9,8 = 3,2
3,2
6,4
N = 15
∑ xi − x = 0
(
Desvio médio para a turma
ni ×xi − x
)
A: d m =
∑ ni ×xi − x = 30,8
∑ ni . xi − 9,8 15
30,8 = = 2,05(3) 15
Desvio médio ou desvio absoluto médio k
dm =
∑ ni . xi − x
i =1
N
para dados organizados em tabelas de frequências
Desvio médio ou desvio absoluto médio Desvio médio para a turma
dm A =
∑ ni . xi − 9,8 15
Desvio médio para a turma
dmB =
A:
B:
∑ ni . xi − 9,8 15
30,8 = = 2,05(3) 15
72,8 = = 4,85(3) 15
Por comparação dos desvios médios, conclui-se que na turma B os resultados estão mais dispersos em elação à média do que na turma A. Quanto maior for o desvio médio, maior é a dispersão dos dados em relação à média.
Variância e desviopadrão x = 9,8 Turma A xi
ni
xi − x
7
3
7 - 9,8 = -2,8
(-2,8)2 = 7,84
3 x 7,84 = 23,52
8
3
8 - 9,8 = -1,8
3,24
9,72
9
2
9 - 9,8 = -0,8
0,64
1,28
10
1
10 - 9,8 = 0,2
0,04
0,04
12
4
12 - 9,8 = 2,2
4,84
19,36
13
2
13 - 9,8 = 3,2
10,24
20,48
N = 15
∑ xi − x = 0
(
(x
)
K
s = 2
i
∑ n .( x i =1
i
N
i
−x
)
2
(
ni × xi − x
(
∑ ni × xi − x
−x
)
2
74,4 = = 4,96 15
)
)
2
2
= 74,4
Variância: K
sA = 2
∑ n .( x i =1
i
Desvio padrão: K
sA =
−x
)
N sB2 =
∑ n .( x i =1
i
2
i
i
508,4 ; 33,89 15
−x
N sB =
74,4 = = 4,96 15
)
2
=
74,4 ; 2,227 15
508,4 ; 5,822 15
Variância É uma medida que permite avaliar o grau de dispersão dos valores da variável em relação à média Para dados organizados em tabelas de frequências
s2 =
(
n1. x1 − x
)
2
(
+ n2 . x 2 − x N
)
2
(
+ ... + nK . x K − x
)
K
2
=
∑ n .( x i =1
i
i
−x
)
2
N
Desvio padrão Tal como a variância, o desvio padrão é, também, uma medida de dispersão relativamente à média, tendo sobre aquela a vantagem de vir expresso nas mesmas unidades dos valores da variável. O desvio padrão s é a raiz quadrada positiva da variância. Em geral, para dados organizados em tabelas de frequências, o desvio padrão calcula-se do seguinte modo: É a medida mais utilizada, não só por levar k 2 ni . xi − x em consideração todos os dados, mas também por estar expressa na mesma s = i =1 N unidade destes.
∑ (
)
É importante reter que o desvio padrão nunca é negativo e quanto mais afastado de zero estiver, maiores serão os quadrados dos desvios, pelo que maior é a dispersão dos dados relativamente à média. Do mesmo modo que a média, também o desvio padrão é uma medida pouco resistente, resistente ou seja, é muito influenciado por valores ou muito maiores ou muito menores do que os restantes (o que, aliás, seria de esperar, já que, na sua definição, entra a média).
Propriedades: Sejam x1, x2, x3, …., xn, n dados quantitativos em que a média é xe o desvio-padrão é s. •
Se adicionarmos um número real k a todos os dados o desvio-padrão mantém-se e a média passa a ser x + k .
•
Se multiplicarmos todos os dados por uma número real k, a média passa a ser k × x e o desvio-padrão k × s .
Bibliografia:
Novo Espaço Matemática A -10º ano
Maria José Guimarães Vaz da Costa Escola Secundária Francisco de Holanda Guimarães 2011/12
Autores: Belmiro Costa Ermelinda Rodrigues
Infinito 10 Matemática A -10º ano Autores: Ana Maria Brito Jorge| Conceição Barroso Alves Cristina Cruchinho | Gabriela Fonseca | Judite Barbedo |
Manuela Simões