Recorre-se cada vez mais à estatística para melhor conhecer a realidade e para fundamentar a tomada de decisões em relação ao futuro. Desta forma, face a determinados fenómenos, é feita a recolha, a observação e o registo de dados que, por si só, não são suficientes para um melhor conhecimento desses fenómenos. Cria-se, assim, a necessidade de organizar e trabalhar toda a informação recolhida, através de técnicas de construção de tabelas, de gráficos e de cálculo de determinadas medidas (estatísticas), de modo a resumir e a facilitar a compreensão dos fenómenos em estudo. Todos estes procedimentos fazem parte do que se denomina estatística descritiva ou análise exploratória de dados. (in Novo Espaço – pág.134)
A EstatĂstica, de uma forma genĂŠrica, pode ser encarada como um conjunto de mĂŠtodos que permite recolher, organizar, analisar e interpretar dados.
Algumas estatĂsticas portuguesas:
Crê-se que as origens da estatística estão ligadas ao antigo Egipto e aos censos chineses de há 4000 anos, aproximadamente. Desde essa época, diversos estados realizaram estudos sobre algumas características das suas populações, suas riquezas, possessões, etc. Em 1662, John Graunt, um mercador Inglês, publicou um livro sobre os nascimentos e óbitos ocorridos em Londres; o livro tinha conclusões acerca de certos aspetos relacionados com estes acontecimentos. Esta obra é considerada como o ponto de partida da estatística moderna.
A palavra estatística começou a usar-se no século XVIII, na Alemanha, relacionada com estudos em que os grandes números, que representavam dados, eram de grande importância para o Estado. Contudo, a estatística moderna desenvolveu-se no século XX a partir dos estudos de Karl Pearson. Hoje a estatística tem grande importância, não só por que apresenta informação, como também permite inferir e predizer o que vai acontecer, e portanto, é uma ferramenta fundamental na hora de tomar decisões importantes.
Em muitas ocasiões, para levar a cabo uma investigação fazem-se inquéritos, que são dirigidos a uma amostra representativa da população. Para compreender melhor este tipo de estudos é importante que conheças os seguintes termos básicos:
População É uma coleção de unidades individuais, que podem ser, entre outras, pessoas, animais, resultados experimentais, com uma ou mais características em comum, que se pretende analisar.
Unidade estatística A cada um dos elementos da população dá-se o nome de indivíduo ou unidade estatística.
Amostra É um subconjunto da população que se observa com o objetivo de tirar conclusões sobre a população onde foi recolhida.
População Dimensão da população Dimensão da amostra
n
N
Unidade estatística
Amostra
Nem sempre os estudos baseados na População são a melhor opção. Uma BOA Amostra (criteriosa) pode ser mais reveladora que toda a informação recolhida de uma População.
Para estudar alguma característica específica (carácter estatístico) da população definem-se os seguintes tipos de variáveis:
Variáveis qualitativas: Quando os seus valores são expressos por modalidades não quantificáveis. Por exemplo: “Estado civil de uma pessoa” “Cor dos olhos”
Variáveis quantitativas: Relacionadas com as características numéricas do indivíduo. As variáveis quantitativas dividem-se em Discretas (aquelas que não admitem outro valor entre dois valores distintos e consecutivos) ou Contínuas (aquelas que podem tomar uma infinidade de valores entre dois valores dados).
Exemplos de variáveis quantitativas discretas: “Número de acompanhantes numa viagem” “Número de elementos de um agregado familiar” Exemplos de variáveis quantitativas contínuas: “Tempo de espera para o embarque numa viagem de avião” “Tempo gasto no supermercado”
Quando os dados são muito numerosos é necessário ordená-los e calcular a frequência absoluta de cada um dos valores da variável. Construímos assim uma tabela de dados chamada Tabela de frequências. Exemplo: Os dados seguintes correspondem as classificações obtidas por uma turma de 24 alunos num trabalho de matemática: 14.2 15.0 15.6 15.0 12.8 13.2 14.2 15.6 16.0 15.0 13.9 14.2 13.9 13.9 15.6 16.0
14.2 13.2
15.0 13.2
16.0
13.2
14.2 16.0
(de frequências)
i
Variável Classificações xi
Frequência Absoluta (ni)
Frequência Relativa (fi = ni / N)
Frequência relativa em percentagem (%)
1
12.8
1
1/24 = 0,041
4.1
2
13.2
4
4/24 = 0,167
16.7
3
13.9
3
3/24 = 0,125
12.5
4
14.2
5
5/24 = 0,208
20.8
5
15.0
4
4/24 = 0,167
16.7
6
15.6
3/24 = 0,125
12.5
7
16.0
4/24 = 0,167
16.7
Σ fi = 1
Σ fi = 100
3 4 N = Σ ni = 24
Frequência absoluta ou efetivo ni de um valor ou modalidade da variável é o número de vezes que esse valor (ou modalidade) ocorre.
Frequência relativa fi de um valor xi é o quociente entre a frequência absoluta ni de xi e o número total de observações N:
ni fi = N
Diagrama de barras: Classificações obtidas por uma turma de 24 alunos num trabalho de matemática
Frequência relativa (%)
25.0 20.0 15.0
Diagrama circular:
10.0 5.0
Classificações obtidas por uma turma de 24 alunos num trabalho de matemática
0.0 12,8
13,2
13,9
14,2
15,0
15,6
16,0
Notas
16.0
12.8 13.2
15.6 13.9
15.0 14.2
Pictograma: Classificações obtidas por uma turma de 24 alunos num trabalho de matemática Notas 12,8
13,2
13,9
4.1%
16,7%
12,5%
14,2
15,0
15,6
16,0
20.8%
16,7%
12,5%
16,7%
Tabela de frequências acumuladas Perante os dados do nosso exemplo podem-se formular perguntas como: 1.
Quantos alunos tiveram classificação inferior a 15 valores?
2.
Qual a percentagem de alunos cuja classificação não ultrapassou 13,9 valores? Ni (frequência
i
xi
ni
1
12.8
1
acumulada)
2
13.2
4
3
13.9
4
absoluta
Fi(%) fi(%)
(frequência relativa
4.1
acumulada)
1
16.7
4,1
3
5
12.5
20,8
14.2
5
8
33,3
5
15.0
4
13
20.8
6
15.6
3
17
7
16.0
4
20 24
16.7 12.5 16.7
54.1 70,8 83.3 100
Diagrama de “Caule-e-folhas” (stem-and-leaf) Exemplo Num teste realizado a 50 estudantes obtiveram-se as seguintes classificações: 75, 98, 42, 75, 84, 87, 65, 59, 63, 86, 78, 37, 99, 66, 90, 79, 80, 89, 68, 57, 95, 55, 79, 88, 76, 60, 77, 49, 92, 83, 71, 78, 53, 81, 77, 58, 93, 85, 70, 62, 80, 74, 69, 90, 62, 84, 64, 73, 48, 72 caule
caule e folhas
3 4 5 6 7 8 9
Dígit
os
antes n i m o d de s o d i n i f (são de m a co acordo de ordem dos za grande dados)
3
7
4
2
9
8
5
9
7
5
3
8
6
5
3
6
8
0
2
9
2
4
7
5
5
8
9
9
6
7
1
8
7
0
8
4
7
6
0
9
8
3
1
5
0
4
9
8
9
0
5
2
3
0
itos inantes g í D om não d 4
3
2
folhas de cada caule por ordem crescente 3
7
4
2
8
9
5
3
5
7
8
9
6
0
2
2
3
4
5
6
8
9
7
0
1
2
3
4
5
5
6
7
7
8
8
0
0
1
3
4
4
5
6
7
8
9
9
0
0
2
3
5
8
9
8
9
9
Algumas vantagens deste tipo de representação: Não se perde informação. Permite analisar se há ou não simetria na distribuição dos dados. Permite identificar onde há maior concentração de dados e falhas. Facilita o agrupamento dos dados em intervalos de amplitude variável, conforme se pretenda. Torna-se bastante sugestivo para representar dois conjuntos de dados referentes à mesma característica. Livro – pág. 165
Há situações (variável contínua) em que agrupar os dados em intervalos nos pode ajudar analisá-los melhor .
Consideremos os seguintes dados, expressos em metros, correspondentes às estaturas de 80 estudantes do 12º ano. ano
1,67 1,72 1,81 1,72 1,74 1,83 1,84 1,88 1,92 1,75 1,84 1,86 1,73 1,84 1,87 1,83 1,81 1,77 1,73 1,75 1,78 1,77 1,67 1,83 1,83 1,72 1,71 1,85 1,84 1,93 1,82 1,69 1,70 1,81 1,66 1,76 1,75 1,80 1,79 1,84 1,86 1,80 1,77 1,80 1,76 1,88 1,75 1,79 1,87 1,79 1,77 1,67 1,74 1,75 1,78 1,77 1,74 1,73 1,83 1,76 1,83 1,77 1,75 1,77 1,77 1,84 1,83 1,79 1,82 1,76 1,76 1,76 1,79 1,88 1,66 1,80 1,72 1,75 1,79 1,77 Verificamos que a estatura maior é de 1,93 m e a menor estatura é de 1,66 m. A amplitude da distribuição é de 0,27m = 27 cm. Vamos formar 6 classes (intervalos). ver Para calcular a amplitude de cada classe, classe dividimos 27 : 6 = 4,5, e aproximamos a 5.
Podemos, então, obter: a tabela de frequências (relativas) seguinte:
ni
fi (%)
[1,65 ; 1,70[
6
7,5
[ 1,70 ; 1,75[
12
15,0
[ 1,75 ; 1,80[
30
37,5
[ 1,80 ; 1,85[
22
27,5
[ 1,85 ; 1,90[
8
10,0
[ 1,90 ; 1,95[
2
2,5
80
100%
Estaturas de 80 estudantes do 12º ano
40.0%
Polígono de frequências relativas
30.0% Frequência relativa (%)
Classes
e… o seguinte gráfico (Histograma):
20.0%
10.0% 0.0% 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95
Alturas (em cm)
e… o seguinte gráfico (Histograma de
...a tabela de frequências (acumuladas):
frequências acumuladas): Classes
fi (%)
Fi (%)
[1,65 ; 1,70[
7,5
7,5
[ 1,75 ; 1,80[ 37,5 [ 1,80 ; 1,85[ 27,5
22,5
87,5 97,5
[ 1,90 ; 1,95[ 2,5
100
Polígono de frequências relativas acumuladas
80
60
[ 1,85 ; 1,90[ 10,0
100%
100
Fi (%)
[ 1,70 ; 1,75[ 15,0
Estaturas de 80 estudantes do 12º ano
60 40
20
0 1,65
1,70
1,75
1,80
1,85 1,90 1,95 Alturas (em cm)
Para construir uma tabela de frequências para dados agrupados em classes, determinamos a amplitude de cada classe (intervalo), dividindo o valor da amplitude da distribuição pelo número de intervalos que se deseja obter.
Importante recordar: A amplitude da distribuição é dada pela diferença entre os valores máximo e mínimo observados. Cada classe é um intervalo de números reais do tipo [a , b[, fechado à esquerda e aberto à direita, sendo a amplitude da classe dada pela diferença b-a. A Marca de classe é a representante do intervalo, e corresponde à média entre os extremos do intervalo.
Bibliografia:
Novo Espaço Matemática A -10º ano Autores: Belmiro Costa Ermelinda Rodrigues
Infinito 10 Matemática A -10º ano Autores: Ana Maria Brito Jorge| Conceição Barroso Alves Cristina Cruchinho | Gabriela Fonseca | Judite Barbedo Manuela Simões
Maria José Vaz da Costa Escola Secundária Francisco de Holanda - Guimarães