Como sei, o que é uma equação do 2º grau? Chamamos equação do 2º grau, a uma expressão que é uma igualdade, em que intervém pelo menos uma variável, elevada ao quadrado.
Exemplos:
x2 = 4
incompleta
x2 = 2x
incompleta
x +10 x = 39 2
completa
Como sei, se a equação é completa ou incompleta? Comparando-a com a fórmula:
ax + bx + c = 0 2
A que se dá o nome de forma canónica.
Sempre que lhe falte um termo é incompleta!
Como resolvo, uma equação do 2º grau? Os antigos começaram por visualizar o seguinte:
x +10 x = 39 2
x
x
2
2,5 × 4 = 10
2,5 Depois…
… completavam o quadrado!
2,5 × 2,5 = 6, 25
2,5 × 2,5 = 6, 25
e pensavam o seguinte:
2 x + 10 x = 39 se
e como neste quadrado acrescentei 4 quadradinhos amarelos de 6,25 de área, fico com:
39 + 4 × 6, 25 = 39 + 25 = 64
o que quer dizer que cada lado do quadrado grande mede:
2,5
8
x 2,5
e por isso o valor de x é 3. ( só estamos à procura da solução positiva )
Para não andarmos sempre a fazer os quadrados, utilizamos a fórmula resolvente:
−b ± b − 4ac x= 2a 2
Resolve agora a equação anterior, utilizando esta fórmula.
2 − 10 ± 10 − 4 ×1× (−39) 2 2 x + 10 x = 39 ⇔ x + 10 x − 39 = 0 ⇔ x = ⇔ 2 ×1
⇔x=
−10 ± 100 + 156 −10 ± 256 −10 ± 16 ⇔x= ⇔x= ⇔ 2 2 2
−10 + 16 −10 − 16 6 −26 ⇔x= ∨x= ⇔x= ∨x= ⇔ 2 2 2 2
⇔ x = 3 ∨ x = −13
C.S . = { −13,3}
De onde vem a fórmula resolvente? Do quadrado anterior! 2 Vejamos…
ax + bx + c = 0
x
2
Partindo da forma canónica, temos que: pôr o x sózinho e isolar o termo independente...
b c ax + bx + c = 0 ⇔ x + x + = 0 ⇔ a a 2
b x a
2
b c ⇔ x + x=− a a 2
Depois … divido o termo do rectângulos verdes:
meio
pelos
e obtenho…
b 4a
para cada lado… Como sei que a área a azul é igual a: − Basta-me somar-lhe a área dos quadradinhos amarelos, amarelos para ter um novo quadrado, com l de lado: 2 c b2 4 ac b − + 2 = l2 ⇔ − 2 + 2 = l2 ⇔ a 4a 4a 4a
b 4a
b 4a
4ac b 2 ± b 2 − 4ac ⇔± − 2 + 2 =l ⇔ =l 4a 4a 2a
para obter o lado do novo quadrado!
c a
Com ele obtenho o valor de x:
b b x=l− 2 × ⇔ x=l− ⇔ 2a 4a b 4a
l
x
b b 2 − 4ac ⇔ x=− ± ⇔ 2a 2a
b 4a
−b ± b 2 − 4ac ⇔x= 2a
ao qual chamamos Fórmula Resolvente.
Pelo Teorema de Pitágoras:
( x + 4)
2
= ( x − 4 ) + ( x + 3)
Como se resolve?
2
2
( x +4 )
2
=( x −4 ) +( x +3 ) 2
2
⇔
⇔ x 2 + 2 × x × 4 + 42 = x 2 − 2 × x × 4 + 42 + x 2 + 2 × x × 3 + 32 ⇔ ⇔x 2 +8 x +16 = x 2 −8 x +16 + x 2 +6 x +9 ⇔
⇔ x 2 + 8 x − x 2 + 8 x − x 2 − 6 x = +16 + 9 −16 ⇔ ⇔ x 2 +8x −x 2 +8 x − x 2 −6 x = +16 +9 −16 ⇔
⇔8 x + 8 x − x 2 − 6 x = +9 ⇔16 x − x 2 − 6 x = +9 ⇔ ⇔ − x 2 + 16 x − 6 x − 9 = 0 ⇔ − x 2 + 10 x − 9 = 0 ⇔ x 2 − 10 x + 9 = 0 ⇔ 10 ± 102 − 4 ×1× 9 10 ± 100 − 36 10 ± 64 10 ± 8 ⇔x= ⇔x= ⇔x= ⇔x= ⇔ 2 ×1 2 2 2
⇔x =
10 +8 10 −8 18 2 ∨x = ⇔x = ∨ x = ⇔x = 9 ∨ x =1 2 2 2 2
C.S . = { 1,9}
Se x=1, temos:
h = 1+ 4 = 5 c1 = 1 − 4 = −3
impossível impossível
Logo, a solução x=1, não é válida
Se x=9, temos:
Solução válida
Área Áreado doTriângulo: Triângulo:
c1 = 9 − 4 = 5 c2 = 9 + 3 = 12
5 ×12 60 At = = = 30 u.a. 2 2
h = 9 + 4 = 13 u.a.= unidades de área
Falso Verdadeiro Verdadeiro Verdadeiro 2 x2 − 5x + 6 = 3 ⇔ 2 x2 − 5x + 6 − 3 = 0 ⇔ 2 x2 − 5x + 3 = 0
( 2 −2 ) ( 2 +3) =0 ⇔0 ×5 =0 ⇔0 =0 b 2 − 25 = 0 ⇔ b = ⇔ b = ±5
−0 ± 02 − 4 × 1× ( −25 ) 2 ×1
⇔b=
−0 ± +100 −0 ± 10 ±10 ⇔b= ⇔b= ⇔ 2 2 2
x 2 +1 = 0 ⇔ x 2 = −1 Equação impossível, porque não há raízes de números negativos
Já sabemos que a imagem de uma equação do 1º grau, pode ser uma recta que passa na origem, uma recta horizontal ou uma recta oblíqua: y=3
y = 2x + 3
y = 3x
y=x
y = −3 x + 1
y = −1
Qual será a imagem de uma equação do 2º grau? Vamos ver… Constrói uma tabela como a que vês, em baixo. Dá valores a x e descobre o y… x
y
-2
y = (− 2)2 − 2 × (− 2) − 3 = 4 + 4 − 3 = 8 − 3 = 5
-1
y = (− 1) 2 − 2 × (− 1) − 3 = 1 + 2 − 3 = 3 − 3 = 0
0
y = 02 − 2 ×0 − 3 = 0 − 0 − 3 = −3
1 2
y = 12 − 2 × 1 − 3 = 1 − 2 − 3 = − 1 − 3 = − 4 y = 22 − 2 × 2 − 3 = 4 − 4 − 3 = 0 − 3 = − 3
3
y = 32 − 2 × 3 − 3 = 9 − 6 − 3 = 3 − 3 = 0
4
y = 42 − 2 × 4 − 3 = 16 − 8 − 3 = 8 − 3 = 5
5
y = 52 − 2 × 5 − 3 = 25 − 10 − 3 = 15 − 3 = 12
y = x2 − 2x − 3
Marca estes valores num sistema de eixos
parรกbola parรกbola
Se eu quiser resolver a equação :
0 = x2 − 2x − 3
Quais são as suas soluções? 2 2 ± 2 − 4 ×1× (−3) 2 0 = x − 2x − 3 ⇔ x = ⇔ 2 ×1
2 ± 4 + 12 2 ± 16 2±4 ⇔x= ⇔x= ⇔x= ⇔ 2 2 2 2+4 2−4 6 −2 ⇔x= ∨x= ⇔ x= ∨x= ⇔ x = 3 ∨ x = −1 2 2 2 2 C.S . = { −1,3}
Será que já tinha estes valores na tabela?
x
y
-2
y = (− 2)2 − 2 × (− 2) − 3 = 4 + 4 − 3 = 8 − 3 = 5
-1
y = (− 1)2 − 2 × (− 1) − 3 = 1 + 2 − 3 = 3 − 3 = 0
0
y = 02 − 2 × 0 − 3 = 0 − 0 − 3 = −3
1 2
y = 12 − 2 × 1 − 3 = 1 − 2 − 3 = − 1 − 3 = − 4 y = 22 − 2 × 2 − 3 = 4 − 4 − 3 = 0 − 3 = − 3
3
y = 32 − 2 × 3 − 3 = 9 − 6 − 3 = 3 − 3 = 0
4
y = 42 − 2 × 4 − 3 = 16 − 8 − 3 = 8 − 3 = 5
5
y = 52 − 2 × 5 − 3 = 25 − 10 − 3 = 15 − 3 = 12
Conclusão: Conclusão: Resolver uma equação do 2º grau é o mesmo que descobrir os zeros, as raízes, de uma função do 2º grau. As soluções procuradas são os pontos de intersecção da parábola com o eixo dos xxs.
parábola parábola
Estás a fazer os gráficos? Bué da fácil, não é?
Agora, resolve as funções que se seguem e faz os gráficos respectivos… Fixe, estou de fim de semana!!!