Gravidade: energia potencial Michael Fowler Energia Potencial perto da Terra Primeiro vamos fazer uma breve revisĂŁo da energia potencial gravĂtica junto Ă superfĂcie da Terra, numa sala por exemplo. A força gravĂtica ĂŠ obviamente đ??šđ??š = đ?‘šđ?‘šđ?‘šđ?‘š apontando verticalmente para baixo.
Para levantar uma massa đ?‘šđ?‘š, temos de aplicar uma força ascendente – đ??šđ??š, que compense a gravidade de modo a que a força total seja zero e o corpo posso mover-se a uma velocidade constante (ignorando a resistĂŞncia do ar, claro, e assumindo que lhe demos um pequeno impulso para iniciar o movimento). A aplicação de uma força constante – đ??šđ??š enquanto a massa percorra uma distância Δđ?‘&#x;đ?‘&#x; requer um trabalho −đ??šđ??šâˆ†đ?‘&#x;đ?‘&#x;, e para elevar a massa đ?‘šđ?‘š de uma altura â„Ž requer trabalho đ?’Žđ?’Žđ?’Žđ?’Žđ?’Žđ?’Ž. Esta energia ĂŠ armazenada e, ĂŠ chamada energia potencial, sendo “energia cinĂŠtica potencialâ€?, e escreve-se đ?‘ˆđ?‘ˆ = đ?‘ˆđ?‘ˆ(â„Ž) = đ?‘šđ?‘šđ?‘šđ?‘šâ„Ž.
Repara na Ăłbvia ambiguidade presente nesta definição de energia potencial: medimos â„Ž a partir do chĂŁo, a partir da mesa de trabalho ou o quĂŞ? Isso depende de quanto ĂŠ que vamos elevar o nosso objecto antes de o deixar cair e converter a energia potencial em cinĂŠtica – mas o importante ĂŠ que nĂŁo interessa onde se coloca o zero, a quantidade fĂsica de interesse ĂŠ sempre a diferença entre as energias potenciais de duas altitudes – ĂŠ essa a energia cinĂŠtica libertada quando o corpo cai entre uma e outra. (Talvez devĂŞssemos mencionar que alguma desta energia potencial poderĂĄ ir para outra forma de energia quando o corpo cai – se a resistĂŞncia do ar for apreciĂĄvel, por exemplo, alguma poderĂĄ transformar-se em calor. Ignoraremos essa possibilidade por agora.)
Para cima e para diante Consideremos agora o trabalho involvido na elevação de algo atĂŠ uma altura tĂŁo alta que o campo gravĂtico da Terra se torna mensuravelmente mais fraco. Ainda serĂĄ verdade que a elevação de uma distância ∆đ?‘&#x;đ?‘&#x; requer um trabalho – đ??šđ??šÎ”đ?‘&#x;đ?‘&#x;, mas agora đ??šđ??š(đ?‘&#x;đ?‘&#x;) = đ??şđ??şđ??şđ??şđ??şđ??ş/đ?‘&#x;đ?‘&#x; 2 (para baixo). Portanto đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘ = −đ??šđ??šđ??šđ??šđ??šđ??š =
đ??şđ??şđ??şđ??şđ??şđ??ş đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘ đ?‘&#x;đ?‘&#x; 2
e para acharmos o trabalho total necessĂĄrio para elevar a massa đ?‘šđ?‘š da superfĂcie da Terra (đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘‡đ?‘‡ desde o centro da Terra) atĂŠ um ponto Ă distância đ?‘&#x;đ?‘&#x; do centro temos de fazer um integral: đ?‘&#x;đ?‘&#x;
đ??şđ??şđ??şđ??şđ??şđ??ş ′ 1 1 đ?‘‘đ?‘‘đ?‘&#x;đ?‘&#x; = đ??şđ??şđ??şđ??şđ??şđ??ş ďż˝ + ďż˝. ′2 đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘‡đ?‘‡ đ?‘&#x;đ?‘&#x; đ?‘&#x;đ?‘&#x; đ?‘‡đ?‘‡ đ?‘&#x;đ?‘&#x;
đ?‘ˆđ?‘ˆ(đ?‘&#x;đ?‘&#x;) − đ?‘ˆđ?‘ˆ(đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘‡đ?‘‡ ) = ďż˝
Primeiro verifica que isto faz sentido nas proximadades da superfĂcie da Terra, isto ĂŠ, numa sala. Para esse caso,
Portanto
đ?‘&#x;đ?‘&#x; = đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘‡đ?‘‡ + â„Ž, â„Ž ≪ đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘‡đ?‘‡ . 1 1 đ?‘ˆđ?‘ˆ(đ?‘&#x;đ?‘&#x;) − đ?‘ˆđ?‘ˆ(đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘‡đ?‘‡ ) = đ??şđ??şđ??şđ??şđ??şđ??ş ďż˝ + ďż˝ đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘‡đ?‘‡ đ?‘&#x;đ?‘&#x; đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘‡đ?‘‡ + â„Ž − đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘‡đ?‘‡ = đ??şđ??şđ??şđ??şđ??şđ??ş ďż˝ ďż˝ đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘‡đ?‘‡ (đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘‡đ?‘‡ + â„Ž) â„Ž ≅ đ??şđ??şđ??şđ??şđ??şđ??ş ďż˝ 2 ďż˝ đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘‡đ?‘‡ = đ?‘šđ?‘šđ?‘šđ?‘šâ„Ž
onde a Ăşnica aproximação foi substituir đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘‡đ?‘‡ + â„Ž por đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘‡đ?‘‡ no denominador, com um erro da ordem de â„Ž/đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘‡đ?‘‡ partes por milhĂŁo para uma sala normal. Para vermos como ĂŠ que esta função potencial se parece em larga escala, longe da Terra, temos primeiro de decidir onde ĂŠ que ĂŠ mais natural fixas o zero. A convenção usual ĂŠ dizer que a energia potencial ĂŠ nula no infinito đ?‘&#x;đ?‘&#x; = ∞! A razĂŁo para isto ĂŠ que se dois corpos estiverem muito longe um do outro, nĂŁo tĂŞm qualquer influĂŞncia no movimento do outro, portanto nĂŁo faz sentido incluir um termo na sua energia total que inclua a sua interacção mĂştua. Tomando a energia potencial nula no infinito dĂĄ uma forma mais simples đ?‘ˆđ?‘ˆ(đ?‘&#x;đ?‘&#x;) = −
đ??şđ??şđ??şđ??şđ??şđ??ş . đ?‘&#x;đ?‘&#x;
Representamos aqui esta função, em unidades de raios terrestres. A energia estĂĄ em unidades de đ??şđ??şđ??şđ??şđ??şđ??ş/đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘‡đ?‘‡ , sendo o -1 do lado esquerdo a superfĂcie da Terra (đ?‘&#x;đ?‘&#x; = 1) e parte inicial quase linear corresponde a đ?‘šđ?‘šđ?‘šđ?‘šâ„Ž.
Esta imagem representa o “poçoâ€? de potencial que ĂŠ necessĂĄrio subir Ă medida que nos afastamos da Terra. Podemos imaginar que a Terra estĂĄ no fundo desse poço de potencial tridimensional:
Ou, de uma perspectiva diferente:
Claro que isto ĂŠ sĂł a duas dimensĂľes, mas ĂŠ o suficiente para a maioria dos problemas gravitacionais: as Ăłrbitas planetĂĄrias sĂŁo bidimensionais. Um satĂŠlite numa Ăłrbita circular em torno da Terra pode ser imaginado como uma partĂcula deslizando sem atrito dentro deste “coneâ€? a uma altura fixa, numa Ăłrbita elĂptica a partĂcula deslizaria entre duas alturas diferentes. Energia Potencial num sistema de dois corpos O que eu quero dizer ĂŠ, como ĂŠ que generalizamos este modelo do “poçoâ€? de potencial gravĂtico num plano para, por exemplo, a energia potencial combinada de uma massa sujeito aos campos gravĂticos da Terra e da Lua, como aconteceria numa vĂ´o para a Lua. Vimos no inĂcio da secção anterior que a diferença de energia potencial entre quaisquer dois pontos ĂŠ dada pelo trabalho realizado pela força gravĂtica: đ?‘&#x;đ?‘&#x;2
đ?‘ˆđ?‘ˆ(đ?‘&#x;đ?‘&#x;2 ) − đ?‘ˆđ?‘ˆ(đ?‘&#x;đ?‘&#x;1 ) = − ďż˝ đ??šđ??š đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘. đ?‘&#x;đ?‘&#x;1
NĂŁo interessa qual ĂŠ o caminho entre đ?‘&#x;đ?‘&#x;1 e đ?‘&#x;đ?‘&#x;2 : se o trabalho fosse diferente em dois caminhos diferentes, poderĂamos ganhar energia colocando uma massa a percorre-los, e assim construindo uma mĂĄquina de movimento perpĂŠtuo. O facto de que isto nĂŁo ĂŠ verdade significa que o campo gravĂtico ĂŠ conservativo: a energia potencial gravĂtica ĂŠ um dos termos da equação de conservação da energia. Recorda da aula anterior que o campo gravĂtico obedece ao PrincĂpio da Sobreposição: para achar a força gravĂtica total numa massa devida aos campos da Terra e da Lua, simplesmente adicionamos os vectores que representam as forças individuais. Daqui resulta imediatamente que, escrevendo đ??šđ??šâƒ— = đ??šđ??šâƒ—đ?‘‡đ?‘‡đ?‘‡đ?‘‡đ?‘‡đ?‘‡đ?‘‡đ?‘‡đ?‘‡đ?‘‡ + đ??šđ??šâƒ—đ??żđ??żđ??żđ??żđ??żđ??ż , a diferença de energia potencial entre dois pontos ĂŠ simplesmente a soma dos dois termos.
EntĂŁo a energia potencial de uma massa algures entre a Terra e a Lua ĂŠ dada por đ?‘ˆđ?‘ˆđ?‘Ąđ?‘Ąđ?‘Ąđ?‘Ąđ?‘Ąđ?‘Ąđ?‘Ąđ?‘Ąđ?‘Ąđ?‘Ą (đ?‘&#x;đ?‘&#x;) = −
đ??şđ??şđ?‘€đ?‘€đ?‘‡đ?‘‡ đ?‘šđ?‘š đ??şđ??şđ?‘€đ?‘€đ??żđ??ż đ?‘šđ?‘š − |đ?‘&#x;đ?‘&#x; − đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ??śđ??śđ??śđ??ś | |đ?‘&#x;đ?‘&#x; − đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ??śđ??śđ??śđ??ś |
onde como ĂŠ habitual đ?‘ˆđ?‘ˆ(∞) = 0 e đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ??śđ??śđ??śđ??ś , đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ??śđ??śđ??śđ??ś sĂŁo as coordenadas dos centros da Terra e Lua respectivamente. Vale a pena visualizar este potencial combinado: parecer-se-ia com dois daqueles poços cĂłnicos, um muito mais pequeno que o outros, inseridos numa superfĂcie quase plana. Indo em linha recta de um posso a outro ĂŠ como subir e descer um monte. No ponto mais alto da jornada a energia potencial serĂĄ plana, significando que a atracção gravĂtica da Terra compensa a da Lua, de modo que nĂŁo ĂŠ necessĂĄrio realizar trabalho para mover desse ponto. A energia potencial total nesse ponto ĂŠ ainda negativa, claro, isto ĂŠ, inferior ao valor da energia (zero) na zona plana. Potencial GravĂtico O potencial gravĂtico ĂŠ definido como a energia potencial por unidade de massa, e ĂŠ frequentemente escrito como đ?œ‘đ?œ‘(đ?‘&#x;đ?‘&#x;). Raramente o usaremos – os problemas que encontraremos involvem a energia potencial de uma dada massa đ?‘šđ?‘š. (Mas đ?œ‘đ?œ‘(đ?‘&#x;đ?‘&#x;) ĂŠ um conceito valioso em tratamentos mais avançados. É anĂĄlogo ao potencial electrostĂĄtico, e na ausĂŞncia de massas obedece Ă mesma equação em derivadas parciais ∇2 đ?œ‘đ?œ‘(đ?‘&#x;đ?‘&#x;) = 0. ) Escape! QuĂŁo rĂĄpido tem de se mover um projĂŠctil assim que deixa a atmosfera para que consiga escapar ao campo gravĂtico da Terra? Esta ĂŠ a famosa velocidade de escape. Desprezando a espessura da atmosfera, o projĂŠctil precisa claramente de energia cinĂŠtica suficiente para subir o poço, 1 đ??şđ??şđ??şđ??şđ??şđ??ş 2đ??şđ??şđ??şđ??ş 2 đ?‘šđ?‘šđ?‘Łđ?‘Łđ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’ = , đ?‘Łđ?‘Łđ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’ = ďż˝ . 2 đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘‡đ?‘‡ đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘‡đ?‘‡
Este valor ĂŠ cerca de 11.2 km/s. Para a Lua, a velocidade de escape ĂŠ apenas 2.3 km/s, e ĂŠ por essa razĂŁo que a Lua nĂŁo tem atmosfera: se inicialmente tinha alguma, o radiação do Sol foi suficiente para dar Ă s molĂŠculas uma energia cinĂŠtica tĂŠrmica tal que a velocidade tĂpica era superior Ă velocidade de escapa. Numa atmosfera em equilĂbrio tĂŠrmico, todas as molĂŠculas tĂŞm a mesma energia cinĂŠtica mĂŠdia. Isto significa que as molĂŠculas mais leves movem-se, em mĂŠdia, mais rapidamente. Na Terra, todo o hidrogĂŠnio ou hĂŠlio presentes na atmosfera inicial terĂŁo eventualmente escapado pela mesma razĂŁo.
ExercĂcio: A lua de Saturno, TitĂŁ, ĂŠ do mesmo tamanho que a nossa Lua, mas TitĂŁ tem uma espessa atmosfera. PorquĂŞ? ExercĂcio: Imagina um tĂşnel escavado atravĂŠs do centro da Terra, reemergindo do lado oposto do globo. A força gravĂtica no tĂşnel ĂŠ đ??šđ??š = đ?‘šđ?‘šđ?‘šđ?‘šđ?‘šđ?‘š/đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘‡đ?‘‡ , como deduzido acima.
(a) Encontra uma expressĂŁo para a energia potencial gravĂtica dentro do tĂşnel. Considera-a nula no centro da Terra. (b) Agora esboça o grĂĄfico da energia potencial como função da distância ao centro da Terra, começando no centro mas movendo-se atĂŠ bem longo do raio da Terra. Esta curva tem de ser contĂnua. Por convenção, a energia ĂŠ definida requerendo que seja nula no infinito. Como ĂŠ que ajustarias a tua resposta para obter este resultado? Energia cinĂŠtica e potencial numa Ăłrbita circular A equação do movimento de um satĂŠlite numa Ăłrbita circular ĂŠ
É imediato concluir que a energia cinÊtica Ê
đ?‘šđ?‘šđ?‘Łđ?‘Ł 2 đ??şđ??şđ??şđ??şđ??şđ??ş = 2 . đ?‘&#x;đ?‘&#x; đ?‘&#x;đ?‘&#x;
1 đ??şđ??şđ??şđ??şđ??şđ??ş 1 1 = − đ?‘ˆđ?‘ˆ(đ?‘&#x;đ?‘&#x;), đ??¸đ??¸đ?‘?đ?‘? = đ?‘šđ?‘šđ?‘Łđ?‘Ł 2 = 2 2 2 đ?‘&#x;đ?‘&#x;
isto ĂŠ, Energia CinĂŠtica = -1/2 Energia Potencial, pelo que a energia total numa Ăłrbita circular ĂŠ metade da energia potencial. O movimento do satĂŠlite pode ser visualizado como andando Ă volta do poço de potencial circular que vimos anteriormente. QuĂŁo rĂĄpido ĂŠ que se move? É fĂĄcil verificar que para esta Ăłrbita circular đ??şđ??şđ??şđ??ş đ?‘Łđ?‘Łđ?‘œđ?‘œđ?‘œđ?‘œđ?‘œđ?‘œđ?‘œđ?‘œđ?‘œđ?‘œđ?‘œđ?‘œ = ďż˝ . đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘œđ?‘œđ?‘œđ?‘œđ?‘œđ?‘œđ?‘œđ?‘œđ?‘œđ?‘œđ?‘œ
Recordando que a velocidade de escape desta Ăłrbita ĂŠ đ?‘Łđ?‘Łđ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’ = ďż˝đ?‘&#x;đ?‘&#x;
2đ??şđ??şđ??şđ??ş
đ?‘œđ?‘œđ?‘œđ?‘œđ?‘œđ?‘œđ?‘œđ?‘œđ?‘œđ?‘œđ?‘œđ?‘œ
, temos que
đ?‘Łđ?‘Łđ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’ = √2đ?‘Łđ?‘Łđ?‘œđ?‘œđ?‘œđ?‘œđ?‘œđ?‘œđ?‘œđ?‘œđ?‘œđ?‘œđ?‘œđ?‘œ
Esta expressĂŁo relaciona a velocidade de um corpo numa Ăłrbita planetĂĄria circular com a velocidade necessĂĄria para escapar Ă atracção gravĂtica do Sol, tendo essa Ăłrbita como ponto de partida. Este resultado nĂŁo ĂŠ surpreendente: aumentando a velocidade por um factor de √2 duplica a energia cinĂŠtica, que seria entĂŁo exactamente igual Ă energia potencial. O que significa que ĂŠ exactamente a energia cinĂŠtica necessĂĄria para subir completamente atĂŠ ao topo do “poçoâ€? de potencial.
ConclusĂŁo: a energia total de um planeta de massa đ?‘šđ?‘š numa Ăłrbita circular de raio đ?‘&#x;đ?‘&#x; em torno de um Sol de massa đ?‘€đ?‘€ ĂŠ đ??¸đ??¸đ?‘Ąđ?‘Ąđ?‘Ąđ?‘Ąđ?‘Ąđ?‘Ąđ?‘Ąđ?‘Ąđ?‘Ąđ?‘Ą = −
đ??şđ??şđ??şđ??şđ??şđ??ş . 2đ?‘&#x;đ?‘&#x;
Tradução/Adaptação Casa das Ciências 2009