O efeito de Bernoulli Michael Fowler Supõe que está a ser bombeado ar ao longo de um tubo cilíndrico, cujo diâmetro é constante excepto numa secção a meio na qual passa a metade e volta depois ao tamanho original. Assume que as variações de diâmetro são suaves, e que o ar flui no tubo em regime estacionário, sem vórtices ou turbulência. Questão: em que zona do tubo é que esperas que a pressão seja maior? A maioria das pessoas a quem esta questão é colocada pela primeira vez prevêm que a pressão seja maior na porção fina do tubo. Mas, de facto, se realizarmos a experiência colocando manómetros em vários pontos do tubo encontramos que, contra-intuitivamente, a pressão do ar é menor onde a velocidade é maior!
Para vermos como é que isto acontece, aplicaremos as técnicas que desenvolvemos para encontrar como é que a pressão varia num fluido estacionário. Recorda que o que fizemos foi desenhar um diagrama de corpo livre para um pequeno cilindro de fluido. Uma vez que este cilindro estava em repouso, a força total que actuava sobre ele era zero, pelo que a pressão compensava o peso. Agora considera um um fluido em movimento em regime estacionário. É útil visualizar o fluxo desenhando linhas de corrente, linhas cuja tangente em cada ponto é a direcção da velocidade das partículas de fluido nesse ponto.
Na realidade, estas linhas de corrente não nos dizem só a direcção do fluido, mas dão-nos tambÊm uma ideia da sua rapidez – onde a densidade de linhas for maior, a velocidade serå maior, porque a mesma quantidade de fluido estå a passar atravÊs de uma região mais apertada. Imagina agora um cilindro de ar movendo-se ao longo do tubo, o seu eixo paralelo à linha de corrente. É óbvio que terå que acelerar ao entrar na parte estreita do tubo. Mas se o pequeno cilindro de fluido estå a acelerar, então tem que estar a ser actuado por uma força que o empurra por trås. O peso Ê irrelevante aqui, porque o movimento Ê horizontal. Portanto a única força a actuar Ê a pressão, e somos levados a concluir que a pressão atrås Ê maior que a pressão à frente. Logo a pressão decai na região mais estreita. Para tornar mais claro o que estå a acontecer, vamos desenher um cilindro grande:
O fluido move-se estacionĂĄria e suavemente ao longo do tubo. As linhas azuis mais grossas sĂŁo linhas de corrente, que na realidade formam cilindros com a mesma forma do tubo se imaginares o desenho a trĂŞs dimensĂľes. Agora considera o segmento de fluido entre as linhas de corrente desenhadas, truncado pelas secçþes circulares đ??´đ??´1 e đ??´đ??´2 . O fluxo do fluido atravĂŠs de đ??´đ??´1 tem de ser o mesmo que o fluxo atravĂŠs de đ??´đ??´2 , porque em regime estacionĂĄrio nĂŁo pode haver acumulaçþes de fluido em lado nenhum. O volume que flui atravĂŠs de đ??´đ??´1 num segundo ĂŠ đ?‘Łđ?‘Ł1 đ??´đ??´1 . (Para veres isto, imagina um longo tubo direito com uma parte estreita. Se o fluido flui a, digamos, 3 metros por segundo, entĂŁo num segundo todo o fluido que estava a
menos de 3 metros da ĂĄrea đ??´đ??´1 passou atravĂŠs dela.)
Portanto, o fluxo atravĂŠs de đ??´đ??´1 ĂŠ igual ao fluxo atravĂŠs de đ??´đ??´2 , đ??´đ??´1 đ?‘Łđ?‘Ł1 = đ??´đ??´2 đ?‘Łđ?‘Ł2 .
(Nota: Talvez valha a pena mencionar que estamos implicitamente a assumir que a velocidade ĂŠ a mesma em todos os pontos da ĂĄrea đ??´đ??´1 . Qualquer fluido real tem alguma viscosidade (atrito) e mover-se-ĂĄ mais lentamente em pontos junto Ă s paredes do tubo do que no meio. Discutiremos isso mais tarde. Por agora, consideramos apenas um fluido “idealâ€?, termo usado quando se ignora a viscosidade. De facto, o resultado que derivamos estĂĄ correcto – poderĂamos ter considerado uma minĂşscual ĂĄrea đ??´đ??´1 bem longe das paredes, de modo que a velocidade seria a mesma para toda a ĂĄrea, mas o diagrama nĂŁo seria tĂŁo claro.) Estamos agora prontos a examinar o aumento da energia cinĂŠtica do fluido Ă medida que a sua velocidade aumenta ao entrar na parte mais estreita e a compreender como ĂŠ que diferença de pressĂŁo realizou o trabalho necessĂĄrio. SupĂľe que apĂłs um tempo Δđ?‘Ąđ?‘Ą, o fluido que no instante inicial estava entre đ??´đ??´1 e đ??´đ??´2 moveu-se para um volume entre đ??´đ??´1 ′ e đ??´đ??´2 ′. No que toca ao elemento de volume em consideração, este substitui de facto um volume đ??´đ??´1 đ?‘Łđ?‘Ł1 ∆đ?‘Ąđ?‘Ą movendo-se Ă velocidade đ?‘Łđ?‘Ł1 por um volume đ??´đ??´2 đ?‘Łđ?‘Ł2 ∆đ?‘Ąđ?‘Ą movendo-se Ă velocidade đ?‘Łđ?‘Ł2 . Mas lembra-te que đ??´đ??´1 đ?‘Łđ?‘Ł1 = đ??´đ??´2 đ?‘Łđ?‘Ł2 , portanto se a densidade do fluido for đ?œŒđ?œŒ, estamos a falar de uma massa de fluido đ?œŒđ?œŒđ??´đ??´1 đ?‘Łđ?‘Ł1 ∆đ?‘Ąđ?‘Ą que efectivamente aumentou a sua velocidade de đ?‘Łđ?‘Ł1 para đ?‘Łđ?‘Ł2 . Ou seja, a variação da energia cinĂŠtica ĂŠ 1 Δđ??¸đ??¸đ?‘?đ?‘? = (đ?œŒđ?œŒđ??´đ??´1 đ?‘Łđ?‘Ł1 Δđ?‘Ąđ?‘Ą)(đ?‘Łđ?‘Ł22 − đ?‘Łđ?‘Ł12 ). 2
A Ăşnica possĂvel fonte de energia para este aumento ĂŠ o trabalho realizado pela pressĂŁo que empurra o fluido para dentro da zona estreita do tubo. Tomando a pressĂŁo na ĂĄrea đ??´đ??´1 como đ?‘ƒđ?‘ƒ1 , a força total que actua nessa ĂĄrea ĂŠ đ?‘ƒđ?‘ƒ1 đ??´đ??´1 . No mesmo Δđ?‘Ąđ?‘Ą, esta força actua ao longo de uma distância đ?‘Łđ?‘Ł1 Δđ?‘Ąđ?‘Ą, realizando um trabalho = força x distância = đ?‘ƒđ?‘ƒ1 đ??´đ??´1 đ?‘Łđ?‘Ł1 Δđ?‘Ąđ?‘Ą.
Portanto este trabalho Ê realizado no nosso elemento de fluido pelo fluido que o empurra por trås – mas isso não Ê o fim da história, porque o nosso elemento de fluido realiza ele próprio trabalho sobre o fluido que vai à frente dele, portanto para encontrarmos o aumento total de energia temos de subtrair o trabalho que ele realiza. Isto Ê, o trabalho total realizado pela pressão no nosso fluido Ê
uma vez que đ??´đ??´1 đ?‘Łđ?‘Ł1 = đ??´đ??´2 đ?‘Łđ?‘Ł2 .
đ?‘ƒđ?‘ƒ1 đ??´đ??´1 đ?‘Łđ?‘Ł1 Δđ?‘Ąđ?‘Ą − đ?‘ƒđ?‘ƒ2 đ??´đ??´2 đ?‘Łđ?‘Ł2 Δđ?‘Ąđ?‘Ą = (đ?‘ƒđ?‘ƒ1 − đ?‘ƒđ?‘ƒ2 )đ??´đ??´1 đ?‘Łđ?‘Ł1 Δđ?‘Ąđ?‘Ą
Este trabalho deverĂĄ ser igual Ă variação da energia cinĂŠtica, logo (đ?‘ƒđ?‘ƒ1 − đ?‘ƒđ?‘ƒ2 )đ??´đ??´1 đ?‘Łđ?‘Ł1 Δđ?‘Ąđ?‘Ą =
1 (đ?œŒđ?œŒđ??´đ??´1 đ?‘Łđ?‘Ł1 Δđ?‘Ąđ?‘Ą)(đ?‘Łđ?‘Ł22 − đ?‘Łđ?‘Ł12 ) 2
de onde resulta
Esta Ê a equação de Bernoulli.
1 1 đ?‘ƒđ?‘ƒ1 + đ?œŒđ?œŒđ?‘Łđ?‘Ł12 = đ?‘ƒđ?‘ƒ2 + đ?œŒđ?œŒđ?‘Łđ?‘Ł22 . 2 2
HĂĄ uma generalização fĂĄcil de fazer: podĂamos ter colocado o tubo com um declive ascendene. Nesse caso, o fluido ganharia energia potencial bem como energia cinĂŠtica, pelo que a pressĂŁo teria de realizar mais trabalho. Se tomarmos o centro da ĂĄrea đ??´đ??´1 Ă altura â„Ž1 e o centro da ĂĄrea đ??´đ??´2 Ă altura â„Ž2 , e Δđ?‘Ąđ?‘Ą muito pequeno, o aumento da energia potencial nesse intervalo serĂĄ (đ?œŒđ?œŒđ??´đ??´1 đ?‘Łđ?‘Ł1 Δđ?‘Ąđ?‘Ą)đ?‘”đ?‘”(â„Ž2 − â„Ž1 ), e a equação de Bernoulli passa a ser: 1 1 đ?‘ƒđ?‘ƒ1 + đ?œŒđ?œŒđ?‘Łđ?‘Ł12 + đ?œŒđ?œŒđ?œŒđ?œŒâ„Ž1 = đ?‘ƒđ?‘ƒ2 + đ?œŒđ?œŒđ?‘Łđ?‘Ł22 + đ?œŒđ?œŒđ?œŒđ?œŒâ„Ž2 . 2 2
Tradução/Adaptação Casa das Ciências 2009