Dimensões e hidrodinâmica

Usando DimensĂľes Michael Fowler, UVa Alguns dos resultados mais interessantes da hidrodinâmica, tal como o aumento de 16 vezes no caudal de um cano quando se duplica o raio, podem ser encontrados sem fazer qualquer cĂĄlculo, apenas por anĂĄlise dimensional. Simbolizamos as "dimensĂľes" massa, comprimento e tempo por đ?‘€đ?‘€, đ??żđ??ż, đ?‘‡đ?‘‡ respectivamente. Escreveremos entĂŁo, as dimensĂľes de outras quantidades fĂ­sicas em função destas. Por exemplo, a velocidade tem dimensĂľes đ??żđ??żđ?‘‡đ?‘‡ −1 , e aceleração đ??żđ??żđ?‘‡đ?‘‡ −2 .

Usaremos parĂŞnteses rectos[] para escrever as dimensĂľes de uma quantidade, por exemplo, a velocidade, escrevemos [đ?‘Łđ?‘Ł] = đ??żđ??żđ?‘‡đ?‘‡ −1 . A força tem de ter as mesmas dimensĂľes que uma massa vezes uma aceleração, portanto [đ??šđ??š] = đ?‘€đ?‘€đ?‘€đ?‘€đ?‘‡đ?‘‡ −1 . Esta notação "dimensional" nĂŁo depende das unidades que usamos para medir a massa, o comprimento e o tempo. Todas as equaçþes em fĂ­sica tĂŞm de ter as mesmas dimensĂľes de ambos os lados.

Podemos ver pela equação que define o coeficiente de viscosidade, đ?œ‚đ?œ‚, đ??šđ??š/đ??´đ??´ = đ?œ‚đ?œ‚đ?‘Łđ?‘Ł0 /đ?‘‘đ?‘‘ , (o membro do lado esquerdo ĂŠ força por unidade de ĂĄrea e o do lado direito ĂŠ o gradiente de velocidade) que [đ?‘‘đ?‘‘] [đ??šđ??š] đ?‘€đ?‘€đ?‘€đ?‘€đ?‘‡đ?‘‡ −2 đ??żđ??ż [đ?œ‚đ?œ‚] = ďż˝ ďż˝ ∙ ďż˝ ďż˝ = ďż˝ ďż˝ ∙ −1 = đ?‘€đ?‘€đ??żđ??żâˆ’1 đ?‘‡đ?‘‡ −1 2 [đ?‘Łđ?‘Ł] [đ??´đ??´] đ??żđ??żđ?‘‡đ?‘‡ đ??żđ??ż

Como ĂŠ possĂ­vel que pensar dimensionalmente nos ajude a encontrar o caudal I atravĂŠs de um tubo? Bem, o caudal em si, digamos em metros cĂşbicos por segundo, tem dimensĂľes [đ??źđ??ź] = đ?‘€đ?‘€3 đ?‘‡đ?‘‡ −1 . De que poderĂĄ depender este caudal?

A fĂ­sica do problema ĂŠ que a diferença de pressĂŁo Δđ?‘ƒđ?‘ƒ entre as extremidades do cano de comprimento đ??żđ??ż estĂĄ a realizar trabalho para superar a força de viscosidade. Os Ăşnicos parâmetros a determinar o caudal sĂŁo portanto: o gradiente de pressĂŁo, ΔP/L, a viscosidade đ?œ‚đ?œ‚ e o raio da secção perpendicular ao cano đ?‘Žđ?‘Ž. De notar que estamos a assumir que o caudal ĂŠ constante – sem aceleração – e portanto a massa, mais precisamente a densidade, do fluido nĂŁo influencia. Claro que se o caudal for no sentido descendente, a densidade tem um papel indirecto pois o peso do fluido gera um gradiente de pressĂŁo, mas tambĂŠm jĂĄ incluĂ­mos a pressĂŁo como parâmetro. Portanto, đ??śđ??śđ??śđ??śđ??śđ??śđ??śđ??śđ??śđ??śđ??śđ??ś đ??źđ??ź = đ?‘“đ?‘“(Δđ?‘ƒđ?‘ƒ/đ??żđ??ż, đ?œ‚đ?œ‚, đ?‘Žđ?‘Ž)

Onde đ?‘“đ?‘“ ĂŠ uma função que desconhecemos, mas sabemos que ambos os membros desta equação tĂŞm de ter as mesmas dimensĂľes, portanto đ?‘“đ?‘“ tem de ter as mesmas dimensĂľes de đ??źđ??ź, isto ĂŠ, đ??żđ??ż3 đ?‘‡đ?‘‡ −1 . Sabemos que aumentando a pressĂŁo aumenta o caudal, por isso tĂŞm de aparecer na combinação dimensĂľes

Δđ?‘ƒđ?‘ƒ đ??żđ??żđ??żđ??ż

. Isto livra-nos de ��. A próxima tarefa Ê por esta combinação, que tem

đ?‘€đ?‘€đ?‘€đ?‘€đ?‘‡đ?‘‡ −2 đ??żđ??żâˆ’2 đ?‘€đ?‘€đ??żđ??żâˆ’1 đ?‘‡đ?‘‡ −1

= đ??żđ??żâˆ’1 đ?‘‡đ?‘‡ −1 , juntamente com [đ?‘Žđ?‘Ž] = đ??żđ??ż, para obter a quantidade com as

dimensĂľes de um caudal, đ??żđ??ż3 đ?‘‡đ?‘‡ −1 . A Ăşnica maneira ĂŠ multiplicar Δđ?‘ƒđ?‘ƒ/đ??żđ??żđ??żđ??ż por đ?‘Žđ?‘Ž4 .

Podemos entĂŁo concluir que o caudal atravĂŠs de um cano circular tem de ser dado por: Δđ?‘ƒđ?‘ƒ đ??źđ??ź = đ??śđ??ś ďż˝ ďż˝ đ?‘Žđ?‘Ž4 đ??żđ??żđ??żđ??ż

Isto ĂŠ certamente mais fĂĄcil que resolver uma equação diferencial e integrar para achar o caudal! O problema ĂŠ a constante indeterminada đ??śđ??ś na equação – nĂŁo conseguimos determinĂĄ-la sem trabalho ĂĄrduo. No entanto, estabelecemos atravĂŠs de anĂĄlise dimensional que o caudal aumenta por um factor de 16 quando o raio duplica. É de notar que esta conclusĂŁo depende da validade das hipĂłteses tomadas – em particular, que o caudal ĂŠ uniforme e em linhas de fluxo rectas. A pressĂŁo suficientemente alta, o fluxo torna-se turbulento. Quando isto acontece, a pressĂŁo faz com que o fluido salte de um lado para o outro dentro do cano e o padrĂŁo do fluxo dependerĂĄ tambĂŠm da densidade do fluido, que era irrelevante para o fluxo lento, e entĂŁo o raciocĂ­nio anterior serĂĄ invĂĄlido. ExercĂ­cio: derive a dependĂŞncia com a profundidade do caudal constante de um rio largo sob a acção da gravidade. (Nota: As unidades apropriadas para o caudal sĂŁo metros cĂşbicos por segundo por metro de largura do rio.) Portanto, a anĂĄlise dimensional nĂŁo nos pode dar constantes globalmente adimensionais, mas pode prever a dependĂŞncia do caudal num parâmetro fĂ­sico tal como a pressĂŁo ou o tamanho do cano. MostrĂĄmos acima como facilmente nos dĂĄ um resultado nĂŁo Ăłbvio, a dependĂŞncia do caudal em đ?‘Žđ?‘Ž4 , que encontrĂĄmos anteriormente Ă custa de muito trabalho. Mas veremos que a anĂĄlise dimensional pode iluminar a fĂ­sica essencial dos problemas de caudal onde a anĂĄlise matemĂĄtica exacta ĂŠ muito mais difĂ­cil, tal como a Lei de Stokes, e ajudar-nos a perceber como os caudais mudam a altas velocidades. Tradução/Adaptação Casa das CiĂŞncias 2009