Descobrindo a gravidade

Descobrindo a Gravidade Michael Fowler Gravidade Terrestre: Galileu analisa a trajectória de uma bala de canhão Desde os primeiros tempos, gravidade significava a tendência da maioria dos corpos de cair para a Terra. Em contraste, as coisas que tendiam a subir, como as chamas de um fogo, dizia-se que tinham “levidade”. Aristóteles foi o primeiro a tentar uma descrição quantitativa do movimento de queda: ele escreveu que um objecto cai a velocidade constante, atingida pouco depois de largado, e coisas mais pesadas caem em proporção à sua massa. Claro que isto não faz sentido nenhum mas, em sua defesa, o movimento de queda é bastante rápido – é difícil de ver a variação da velocidade quando deixas cair algo ao chão. Provavelmente Aristóteles observou a queda de corpos em água, onde as forças de impulsão e de resistência dominam, e assumiu que era uma versão lenta da queda no ar – que não é. Galileu foi o primeiro a compreender correctamente. (É verdade que outros melhoraram o raciocínio de Aristóteles, mas Galileu foi o primeiro a ver o quadro completo.) Ele compreendeu que um corpo em queda ganhava velocidade a uma taxa constante – por outras palavras, tinha uma aceleração constante (a palavra significa “adição de velocidade” em Italiano). Ele também fez a observação crucial de que, se a resistência do ar e a impulsão forem desprezáveis, todos os corpos caem com a mesma aceleração, corpos de pesos diferentes largados simultaneamente chegam à terra no mesmo instante. Esta era uma ideia revolucionária – bem como a sua asserção de que se poderia verificar através da experiência, em vez do tradicional método de tentar decifrar o que as autoridades antigas poderiam ter querido dizer. Galileu também notou que se uma bola rolar sem interferência numa superfície horizontal suave, e se foram desprezáveis o atrito e a resistência do ar, então ela mover-se-á com rapidez constante numa direcção fixa – em linguagem moderna, a sua velocidade mantém-se constante. Ele considerou que o movimento de um objecto não sujeito a qualquer interferência era o seu movimento “natural”. Usando esta terminologia, então, movimento horizontal natural é movimento com velocidade constante, e movimento vertical natural é a queda com aceleração constante. Mas ele não ficou por aqui – ele deu mais um passo muito importante, que o tornou o primeiro na História a obter resultados quantitativos úteis sobre o movimento, úteis para o seu patrão, um duque com interesses militares. O passo crucial foi compreender que para um bala de canhão em vôo, os movimentos horizontal e vertical podem ser analisados independentemente. Eis o seu desenho da trajectória de uma bala de canhão disparada horizontalmente:

A queda vertical da bala de canhão ao fim de sucessivos segundos, os comprimentos da linhas verticais ci, df, eh são as mesmas distâncias verticais percorridas por algo que se deixara cair do repouso. Se largares uma bala de canhão do topo de um precipício ela cairá 5 metros no primeiro segundo, e se a disparares horizontalmente a 100 metros por segundo, ela cairá na mesma 5 metros abaixo da linha horizontal no primeiro segundo. Entretanto, o seu movimento horizontal será com velocidade constante (novamente desprezando a resistência do ar), percorrerá 100 metros no primeiro segundo, mais 100 metros no segundo segundo, e assim sucessivamente. Verticalmente, cairá 5 metros no primeiro segundo, 20 metros no total ao fim de dois segundos, depois 45 e assim sucessivamente. Galileu desenhou o gráfico acima da posição da bala de canhão em função do tempo, e provou que a curva era parabólica. Prosseguiu calculando o alcance para uma dada velocidade de disparo e para qualquer ângulo de disparo, para grande gratificação do seu empregador. Newton coloca o canhão no topo de uma montanha muito alta Newton colocou a seguinte questão: e se colocarmos o canhão numa montanha muito alta (imaginária, claro!) acima da atmosfera e dispararmos o canhão muito rápido? A bala iria na mesma cair 5 metros no primeiro segundo (ignorando o facto de que g é ligeiramente menor no topo de uma montanha muito alta), mas se se está a mover muito depressão, não podemos esquecer a curvatura da Terra! A superfície da Terra curva abaixo da linha horizontal, portante se escolhermos a velocidade certa, após um segundo a bala terá atingido um ponto no qual a superfície da Terra também desceu 5 metros abaixo da linha horizontal inicial. Nesse caso, a bala de canhão terá perdido altitude nenhuma – definindo “altitude” como a distância acima da superfície da Terra. Além disso, “verticalmente para baixo” rodou um pouco (significa perpendicular à superfícia da Terra) pelo que a bala ainda se está a mover “horizontalmente”, isto é paralelamente à superfície da Terra directamente por baixo de si. E, como está acima da atmosfera, não terá perdido velocidade, portanto no segundo seguinte acontecerá exactamente a mesma coisa, e no seguinte – descreve portanto uma trajectória circular. Newton previra o movimento de um satélite – aqui está um dos seus próprios desenhos, com VD, VE e VF representando as trajectórias de disparos sucessivamente mais rápidos:

A brilhante intuição de Newton – a figura acima – ganha vida na minha aplicação aqui. Podemos descobrir quão rápido é que a bala tem de ser mover para se manter na órbita circular aplicando o teorema de Pitágoras ao diagrama abaixo (o qual exagera enormemente a velocidade para que possas ver como construir a prova). A bala disparada do ponto P percorre v metros na horizontal num segundo e cai 5 metros na vertical, e, se v tiver o valor certo, a bala estará ainda à mesma distância R do centro da Terra que estava no início desse segundo. (Lembra-te que v é cerca de um milésimo de R, por isso a mudança de direcção de “para baixo” será imperceptível, não como exageradamente se mostra aqui.)

Sabendo que o raio da Terra Ê �� = 6400 km, hå informação suficiente no diagrama anterior para fixar o valor de v. Repara que hå um triângulo rectângulo com lados R e v e hipotenusa �� + 5. Aplicando o teorema de Pitågoras, (�� + 5)2 = �� 2 + �� 2 ,

đ?‘…đ?‘… 2 + 10đ?‘…đ?‘… + 25 = đ?‘…đ?‘… 2 + đ?‘Łđ?‘Ł 2 .

Newton sabia (em unidades diferentes) que �� = 6400 km, portanto o 25 na equação anterior pode ser desprezado para dar �� 2 = 10�� = 10 × 6400 × 1000, => �� = 8000.

As unidades de v sĂŁo obviamente metros por segundo, no diagrama mostramos v como distância, a percorrida no primeiro segundo. Portanto a bala de canhĂŁo tem de se mover a 8 km por segundo, ou 5 milhas por segundo para que a sua queda acompanhe a curvatura da Terra – 18000 milhas, uma volta Ă Terra em pouco menos de hora e meia. Este ĂŠ de facto um valor aproximado para um satĂŠlite em Ăłrbita baixa. Para o Espaço: a bala de canhĂŁo e a Lua Um dia ocorreu a Newton (talvez por lhe ter caĂ­do uma maçã em cima) que esta força gravĂ­tica familiar que sentimos na Terra a todo o instante se poderia extender atĂŠ tĂŁo longe quanto a Lua, e de facto talvez fosse a razĂŁo da Ăłrbita circular da Lua. O raio da Ăłrbita da Lua (384000 km) e a sua velocidade orbital (cerca de 1 km por segundo) eram hĂĄ muito conhecidos (vĂŞ as minhas notas se estiveres interessado em como foram medidos), pelo que era fĂĄcil encontrar, aplicando os mesmos argumentos Pitagoreanos usados na bala de canhĂŁo, que a Lua “caiâ€? 1.37 milĂ­metros em relação a uma trajectĂłria em linha recta em cada segundo. Quer dizer, a razĂŁo entre as aceleraçþes centrĂ­petas da Lua e da bala de canhĂŁo ĂŠ 1.37/5000, ou cerca de 1/3600. Mas o raio da Ăłrbita da Lua ĂŠ aproximadamente 60 vezes maior que o da bala de canhĂŁo (que ĂŠ aproximadamente o raio da Terra). Uma vez que 60 Ă— 60 = 3600, Newton concluiu que a força gravĂ­tica diminuĂ­a com a distância como 1/đ?‘&#x;đ?‘&#x; 2 . A Lei da Gravitação Universal de Newton Newton extrapolou entĂŁo da Terra, da maçã e da Lua para tudo, enunciando a sua Lei da Gravitação Universal: Todo o corpo no Universo atrai todos os outros com uma força que diminui com a distância como đ?&#x;?đ?&#x;?/đ?’“đ?’“đ?&#x;?đ?&#x;? . Mas ele sabia de facto mais sobre a força gravĂ­tica: do facto de que corpos com diferentes massas caem

para a Terra com a mesma aceleração, usando đ??šđ??š = đ?‘šđ?‘šđ?‘šđ?‘š (a sua Segunda Lei) se dois corpos de massas diferentes tĂŞm a mesma aceleração entĂŁo tĂŞm de sentir forças na mesma razĂŁo que as massas (um corpo duas vezes mais massivo sente o dobro da força gravĂ­tica), isto ĂŠ, a força gravĂ­tica de atracção sentida por um corpo tem de ser proporcional Ă sua massa. Agora supĂľe que estamos a considerar a atracção gravĂ­tica entre dois corpos (como estamos sempre), um de massa đ?‘šđ?‘š1 , outro de massa đ?‘šđ?‘š2 . Pela Terceira Lei de Newton, a força que o corpo 1 sente devido a 2 ĂŠ igual em magnitude (mas de sentido contrĂĄrio) Ă que o 2 sente devido a 1. Se pensarmos em đ?‘šđ?‘š1 como sendo a Terra, a força que đ?‘šđ?‘š2 sente ĂŠ proporcional a đ?‘šđ?‘š2 , como argumentado anteriormente – portanto isto tem de ser verdade para qualquer đ?‘šđ?‘š1 . E, dado que a situação ĂŠ perfeitamente simĂŠtrica, a força tem de ser tambĂŠm proporcional a đ?‘šđ?‘š1 . Juntando tudo isto, a magnitude da força gravĂ­tica entre dois corpos de massas đ?‘šđ?‘š1 e đ?‘šđ?‘š2 a uma distância đ?‘&#x;đ?‘&#x; um do outro ĂŠ đ?‘­đ?‘­ = đ?‘Žđ?‘Ž

A constante ĂŠ đ??şđ??ş = 6.67 Ă— 10−11 đ?‘ đ?‘ . đ?‘šđ?‘š2 /đ?‘˜đ?‘˜đ?‘”đ?‘”2 .

đ?’Žđ?’Žđ?&#x;?đ?&#x;? đ?’Žđ?’Žđ?&#x;?đ?&#x;? . đ?’“đ?’“đ?&#x;?đ?&#x;?

É importante perceber que G nĂŁo pode ser medido por quaisquer observaçþes astronĂłmicas. Por exemplo, g Ă superfĂ­cie da Terra ĂŠ dado por đ?‘”đ?‘” = đ??şđ??ş

đ?‘šđ?‘š đ?‘‡đ?‘‡ . đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘‡đ?‘‡2

onde đ?‘šđ?‘š đ?‘‡đ?‘‡ e đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘‡đ?‘‡ sĂŁo a massa e o raio da Terra. Repara que medindo đ?‘”đ?‘”, e sabendo đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘‡đ?‘‡ , podemos calcular đ??şđ??şđ?‘šđ?‘š đ?‘‡đ?‘‡ . Mas isso nĂŁo nos diz qual ĂŠ đ??şđ??ş, uma vez que nĂŁo sabemos đ?‘šđ?‘š đ?‘‡đ?‘‡ ! Acontece que o mesmo problema surge em qualquer observação astronĂłmica. Estudando os planetas em torno do Sol dar-nos-ĂĄ đ??şđ??şđ?‘šđ?‘šđ?‘†đ?‘†đ?‘†đ?‘†đ?‘†đ?‘† . Portanto podemos calcular a razĂŁo entre as massas do Sol e da Terra, mas nĂŁo podemos calcular o valor absoluto de nenhuma delas. A primeira medição de đ??şđ??ş foi feita em 1798 por Cavendish, um sĂŠculo apĂłs o trabalho de Newton. Cavendish mediu a minĂşscula força de atracção entre duas esferas de chumbo de massa conhecida. Para detalhes sobre uma experiĂŞncia na Universidade de VirgĂ­nia em 1969 que melhorou o trabalho de Cavendish, clica no site da Uva Physics aqui. Cavendish disse que estava a “pesar a Terraâ€? porque uma vez medido đ??şđ??ş, ele poderia imediatamente encontrar a massa da Terra đ?‘šđ?‘š đ?‘‡đ?‘‡ de đ?‘”đ?‘” = đ??şđ??şđ?‘šđ?‘š đ?‘‡đ?‘‡ /đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘‡đ?‘‡2 , e de seguida calculara massa do Sol, etc. Descrição do Sistema Solar: as Leis de Kepler A primeira pista que Newton teve de que os corpos caem na razĂŁo inversa do quadrado da distância poderĂĄ ter vindo da comparação de uma maçã em queda com a Lua, mas um suporte importante desta ideia veio da descrição detalhada das Ăłrbitas planetĂĄrias construĂ­da meio sĂŠculo antes por Johannes Kepler.

Kepler herdara de Tycho Brahe um enorme registo de observaçþes precisas dos movimentos planetårios atravÊs dos cÊus, ao longo de dÊcadas. O próprio Kepler dispendeu oito anos a analisar matematicamente as observaçþes do movimento de Marte, atÊ compreender que Marte se movia numa trajectória elíptica. Para apreciarmos devidamente como Ê que a descoberta de Kepler confirmou a teoria de Newton, vale a pena rever algumas propriedades båsicas das elipses. Interlúdio Matemåtico: Elipses Um círculo pode ser definido como o conjunto de pontos à mesma distância R de um dado ponto, portanto um círculo de raio 1 centrado na origem O Ê o conjunto de todos os pontos que distam 1 de O. Uma elipse pode ser definida como o conjunto de pontos tais que a soma das distâncias a dois pontos fixos Ê constante (obviamente maior que a distância entre eles!). Esta Ê por vezes chamada a definição do jardineiro: para desenhar um canteiro elíptico num jardim, o jardineiro espeta 2 paus na terra e liga-os por uma corda (não esticada). De seguida estiva a corda em todas as direcçþes para desenhar a elipse.

No diagrama, os paus estĂŁo em đ??šđ??š1 , đ??šđ??š2 , as linhas vermelhas sĂŁo a corda, đ?‘ƒđ?‘ƒ ĂŠ um ponto arbitrĂĄrio da elipse. đ??śđ??śđ??śđ??ś ĂŠ chamado o semieixo maior de comprimento đ?‘Žđ?‘Ž, đ??śđ??śđ??śđ??ś ĂŠ o semieixo menor de comprimento đ?‘?đ?‘?. đ??šđ??š1 , đ??šđ??š2 sĂŁo os focus.

Repara primeiro que a corda tem comprimento đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;?, porque de se esticar ao longo do eixo maior de đ??šđ??š1 a đ??´đ??´ e de volta a đ??šđ??š2 , e para essa configuração hĂĄ um duplo comprimento đ??šđ??š2 đ??´đ??´ e um Ăşnico comprimento de đ??šđ??š1 a đ??šđ??š2 . Mas o comprimento đ??´đ??´â€˛ đ??šđ??š1 ĂŠ o mesmo que đ??šđ??š2 đ??´đ??´, pelo que o comprimento total da corda ĂŠ o mesmo que o comprimento total đ??´đ??´đ??´đ??´â€˛ = 2đ?‘Žđ?‘Ž.

SupĂľe agora que colocamos đ?‘ƒđ?‘ƒ em đ??ľđ??ľ. Uma vez que đ??šđ??š1 đ??ľđ??ľ = đ??ľđ??ľđ??šđ??š2 , e que a corda tem comprimento 2đ?‘Žđ?‘Ž, entĂŁo đ?‘­đ?‘­đ?&#x;?đ?&#x;? đ?‘Šđ?‘Š = đ?’‚đ?’‚.

Obtemos um resultado Ăştil pela aplicação do teorema de PitĂĄgoras ao triângulo đ??šđ??š1 đ??ľđ??ľđ??ľđ??ľ, (đ??šđ??š1 đ??śđ??ś)2 = đ?‘Žđ?‘Ž2 − đ?‘?đ?‘? 2 .

(UsĂĄ-lo-emos em breve.)

Evidentemente, para um cĂ­rculo đ??šđ??š1 đ??śđ??ś = 0. A excentricidade de uma elipse ĂŠ definida como a razĂŁo entre đ??šđ??š1 đ??śđ??ś e đ?‘Žđ?‘Ž, portanto excentricidade đ?‘’đ?‘’ =

đ?‘?đ?‘? 2 đ??šđ??š1 đ??śđ??ś = ďż˝1 − ďż˝ ďż˝ . đ?‘Žđ?‘Ž đ?‘Žđ?‘Ž

A excentricidade de um cĂ­rculo ĂŠ zero. A excentricidade de uma elipse alongada ĂŠ prĂłxima de um. đ??šđ??š1 e đ??šđ??š2 no diagrama chamam-se os focos da elipse porque se uma fonte pontual de luz for colocada em đ??šđ??š1 , e a elipse for um espelho, reflectirĂĄ – focarĂĄ – toda a luz para đ??šđ??š2 . (Pode-se provar usando a construção da corda.) Uma elipse ĂŠ essencialmente um cĂ­rculo comprimido numa direcção: em coordenadas (đ?‘Ľđ?‘Ľ, đ?‘Śđ?‘Ś) ĂŠ descrita pela equação:

sendo um cĂ­rculo quando đ?‘Žđ?‘Ž = đ?‘?đ?‘?.

đ?‘Ľđ?‘Ľ 2 đ?‘Śđ?‘Ś 2 + = 1, đ?‘Žđ?‘Ž2 đ?‘?đ?‘? 2

De facto, na anĂĄlise do movimento planetĂĄrio, ĂŠ mais natural tomar a origem das coordenadas no centro do Sol do que no centro da Ăłrbita elĂ­ptica. TambĂŠm ĂŠ mais conveniente utilizar coordenadas (đ?‘&#x;đ?‘&#x;, đ?œƒđ?œƒ) em vez de coordenadas (đ?‘Ľđ?‘Ľ, đ?‘Śđ?‘Ś), porque a magnitude da força gravĂ­tica depende apenas de đ?‘&#x;đ?‘&#x;. Portanto, a equação relevante para descrever uma Ăłrbita planetĂĄria ĂŠ a equação (đ?‘&#x;đ?‘&#x;, đ?œƒđ?œƒ) com a origem num dos focos. Para uma elipse com semieixo maior đ?‘Žđ?‘Ž e excentricidade đ?‘’đ?‘’ a equação ĂŠ:

đ?‘Žđ?‘Ž(1 − đ?‘’đ?‘’ 2 ) = 1 + đ?‘’đ?‘’ cos đ?œƒđ?œƒ. đ?‘&#x;đ?‘&#x;

Não Ê difícil mostrar que esta equação Ê equivalente à equação tradicional em (��, ��) apresentada anteriormente. Kepler resumiu as suas descobertas sobre o Sistema Solar nas duas três leis: 1. Todos os planetas se movem em órbitas elípticas com o Sol num dos focos.

2. A linha do centro do Sol ao centro do planeta varre ĂĄreas iguais em tempos iguais, portanto se a ĂĄrea SAB (com um lado curvo AB) ĂŠ igual Ă ĂĄrea SCD, o planeta demora o mesmo tempo a ir de A a B e de C a D.

3. O tempo que o planeta demora a percorrer uma Ăłrbita completa (um ano planetĂĄrio) estĂĄ relacionado com a distância mĂŠdia ao Sol R: đ?‘‡đ?‘‡ 2 âˆ? đ?‘…đ?‘… 3 .

Por outras palavras, se se fizer uma tabela com a duração do ano �� para cada planeta do Sistema Solar e com a distância mÊdia ao Sol ��, e se se calcular �� 2 /�� 3 para cada planeta, todos os números serão iguais. Estras três leis de Kepler são precisas, mas meramente descritivas – Kepler não compreendeu porque Ê que os planetas se movem deste modo. O grande feito de Newton foi compreender que todo este complicado comportamente era consequência de uma simples lei de atracção.

Como a Lei da Gravitação Universal de Newton explica as Leis de Kepler Surpreendentemente, a primeira das três leis de Kepler – que as órbitas planetårias são elípticas – Ê a mais difícil de provar quando se começa por assumir a lei do inverso do quadrado. O próprio Newton teve que

utilizar um engenhoso argumento geomĂŠtrico, famosamente difĂ­cil de acompanhar. Prova-se mais facilmente usando o cĂĄlculo, mas mesmo assim nĂŁo ĂŠ trivial, e nĂŁo o faremos nesta aula. (A prova serĂĄ dada mais adiante nestas notas, se estiveres interessado em como se faz.) A melhor estratĂŠgia ĂŠ atacar as leis por ordem inversa. A terceira Lei de Kepler (bom, para Ăłrbitas circulares) É fĂĄcil mostrar como ĂŠ que a terceira Lei de Kepler segue da lei do inverso do quadrado se assumirmos que os planetas se movem em cĂ­rculos perfeitos, que eles quase fazem. A aceleração de um planeta movendo-se com velocidade v numa Ăłrbita circular de raio R ĂŠ v2/R em direcção ao centro. (Claro que tu jĂĄ sabes isto, mas ĂŠ divertido ver como se prova facilmente usando o diagrama de PitĂĄgoras acima: 1 simplesmente substitui os 5 metros por 2 đ?‘Žđ?‘Žđ?‘Ąđ?‘Ą 2 , a distância “horizontalâ€? đ?‘Łđ?‘Ł por đ?‘Łđ?‘Łđ?‘Łđ?‘Ł, escreve o teorema de PitĂĄgoras e toma o limite de um tempo muito curto.) A segunda Lei de Newton đ??šđ??š = đ?‘šđ?‘šđ?‘šđ?‘š para um planeta em Ăłrbita torna-se: đ?‘šđ?‘šđ?‘Łđ?‘Ł 2 đ?‘€đ?‘€đ?‘€đ?‘€ = đ??şđ??ş 2 . đ?‘…đ?‘… đ?‘…đ?‘…

Agora, o tempo de uma Ăłrbita ĂŠ đ?‘‡đ?‘‡ = 2đ?œ‹đ?œ‹đ?œ‹đ?œ‹/đ?‘Łđ?‘Ł, portanto dividindo ambos os lados da equação acima por đ?‘…đ?‘…, encontramos que: đ?‘‡đ?‘‡ 2 đ?‘…đ?‘… 3 đ?‘‡đ?‘‡ 2 4đ?œ‹đ?œ‹ 2 ďż˝ ďż˝ = , portanto 3 = . 2đ?œ‹đ?œ‹ đ??şđ??şđ??şđ??ş đ?‘…đ?‘… đ??şđ??şđ??şđ??ş

Esta Ê a terceira Lei de Kepler: �� 2 /�� 3 tem o mesmo valor numÊrico para todos os planetas do Sol.

Exercício: qual a relação entre ��, �� se a força gravitacional for proporcional a 1/��? E a 1/�� 3 ? E a ��?

O objectivo deste exercício Ê mostrar que a terceira Lei de Kepler, obtida pela observação, força a conclusão de que a Lei da Gravidade Ê de facto do tipo do inverso do quadrado.

De facto, Newton foi mais longe – ele generalizou a prova para Ăłrbitas elĂ­pticas, e estabeleceu que para a lei do inverso do quadrado deve substituir-se đ?‘…đ?‘… por đ?‘Žđ?‘Ž, o semieixo maior da elipse, isto ĂŠ, đ?‘‡đ?‘‡ 2 /đ?‘Žđ?‘Ž3 ĂŠ o mesmo para todos os planetas. Foi exactamente isto que Kepler descobriu que acontecia. Daqui segue imediatamente que todas as Ăłrbitas elĂ­pticas com o mesmo semieixo maior, qualquer que seja a excentricidade, tĂŞm o mesmo tempo orbital. A segunda Lei de Kepler Um planeta na sua trajectĂłria em torno do Sol varre ĂĄreas iguais em tempos iguais. SupĂľe que num dado instante o planeta estĂĄ num ponto đ?‘ƒđ?‘ƒ da sua Ăłrbita, movendo-se com velocidade đ?‘Łđ?‘Łâƒ—

metros por segundo na direcção tangente em đ?‘ƒđ?‘ƒ (ver figura). No segundo seguinte mover-se-ĂĄ đ?‘Łđ?‘Ł metros, essencialmente ao longo dessa linha (a distância estĂĄ obviamente muito exagerada na figura) pelo que a ĂĄrea varrida nesse segundo ĂŠ a do triângulo SPQ, onde S ĂŠ o centro do Sol.

A ĂĄrea do triângulo SPQ ĂŠ simplesmente ½ base x altura. A base PQ tem v metros, a altura ĂŠ a distância perpendicular đ?‘&#x;đ?‘&#x;_|_ do vĂŠrtice do triângulo no Sol S Ă linha de base PQ, que ĂŠ o vector tangencial da velocidade đ?‘Łđ?‘Łâƒ—. EntĂŁo

taxa de varrimento de ĂĄrea =

1 đ?‘&#x;đ?‘&#x; đ?‘Łđ?‘Ł. 2 _|_

Comparando isto com o momento angular L do planeta em torno do Sol, đ??żđ??ż = đ?‘šđ?‘šđ?‘šđ?‘šđ?‘&#x;đ?‘&#x;_|_

torna-se óbvio que a segunda Lei de Kepler, a constância da taxa de varrimenta de årea, Ê equivalente à constância do momento angular do planeta em torno do Sol. De facto, taxa de varrimento de årea =

đ??żđ??ż . 2đ?‘šđ?‘š

Para vermos o que isto significa, pensa na aplicação de uma força a uma roda fixa num eixo:

Se a força for aplicada acima do eixo, como se mostra, a roda começarå a girar no sentido contrårio aos ponteiros do relógio; se for abaixo do eixo, rodarå em sentido contrårio. Desprezando o atrito, a taxa de variação do momento angular Ê igual ao torque, ou momento das forças, o produto da magnitude da força e da distância perpendicular da linha de acção da força à centro de rotação, o eixo. Se a linha de acção da força passar atravÊs do meio do eixo, não hå torque, nem rotação, nem variação do momento angular. Para o planeta em órbita, o facto de que o momento angular em torno do Sol não varia significa que a força que actuva no planeta não tem momento em relação ao Sol – a força Ê dirigida para o Sol. Isto agora parece óbvio, mas o próprio Kepler pensava que os planetas eram mantidos em movimento por raios com origem no Sol que os empurravam (como os raios de uma roda de bicicleta). Newton compreendeu que a segunda Lei de Kepler mostrava que esta hipótese estava errada – a força tem de estar dirigida para o Sol.

*Derivação da primeira Lei de Kepler usando o CĂĄlculo Nota: Incluo esta derivação da Ăłrbita elĂ­ptica apenas para que possas ver que ĂŠ o cĂĄlculo, e nĂŁo a magia, que dĂĄ o resultado. Esta ĂŠ uma secção opcional, e nĂŁo aparecerĂĄ em nenhum exame. Regressemos Ă primeira Lei de Kepler: provar que a Ăłrbita ĂŠ de facto uma elipse se a força gravĂ­tica for inversamente proporcional ao quadrado da distância. Como ĂŠ habitual, começamos com a segunda Lei de Newton: đ??šđ??š = đ?‘šđ?‘šđ?‘šđ?‘š, na forma vectorial. A força ĂŠ đ??şđ??ş đ?‘€đ?‘€đ?‘€đ?‘€/đ?‘&#x;đ?‘&#x; 2 na direcção radial para dentro. Mas qual ĂŠ a aceleração radial? É apenas đ?‘‘đ?‘‘ 2 đ?‘&#x;đ?‘&#x;/đ?‘‘đ?‘‘đ?‘Ąđ?‘Ą 2 ? Bem, nĂŁo, porque se o planeta estiver numa Ăłrbita circular a sua aceleração ĂŠ đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?œ”đ?œ”2 (o mesmo que đ?‘Łđ?‘Ł 2 /đ?‘&#x;đ?‘&#x;) apesar de đ?‘&#x;đ?‘&#x; ser sempre o mesmo. A aceleração total ĂŠ a soma, portanto đ??šđ??š = đ?‘šđ?‘šđ?‘šđ?‘š torna-se: đ?‘‘đ?‘‘2 đ?‘&#x;đ?‘&#x; đ??şđ??şđ??şđ??ş − đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?œ”đ?œ”2 = − 2 2 đ?‘‘đ?‘‘đ?‘Ąđ?‘Ą đ?‘&#x;đ?‘&#x;

Isto ainda nĂŁo estĂĄ pronto a integrar, porque đ?œ”đ?œ” tambĂŠm varia. Mas uma vez que o momento angular đ??żđ??ż ĂŠ constante, đ??żđ??ż = đ?‘šđ?‘šđ?‘&#x;đ?‘&#x; 2 đ?œ”đ?œ”, podemos livrar-nos de đ?œ”đ?œ” na equação anterior e obter: đ?‘‘đ?‘‘2 đ?‘&#x;đ?‘&#x; đ??şđ??şđ??şđ??ş đ??żđ??ż 2 = − 2 + đ?‘&#x;đ?‘&#x; ďż˝ 2 ďż˝ đ?‘‘đ?‘‘đ?‘Ąđ?‘Ą 2 đ?‘&#x;đ?‘&#x; đ?‘šđ?‘šđ?‘&#x;đ?‘&#x; =−

đ??şđ??şđ??şđ??ş đ??żđ??ż + 2 đ?‘&#x;đ?‘&#x; đ?‘šđ?‘šđ?‘&#x;đ?‘&#x; 3

Esta equação pode ser integrada, usando dois truques nada óbvios. O primeiro consiste em mudar da

variĂĄvel đ?‘&#x;đ?‘&#x; para o seu inverso đ?‘˘đ?‘˘ = 1/đ?‘&#x;đ?‘&#x;. O outro ĂŠ usar a constância do momento angular para mudar de đ?‘Ąđ?‘Ą para đ?œƒđ?œƒ:

portanto

đ??żđ??ż = đ?‘šđ?‘šđ?‘&#x;đ?‘&#x; 2 đ?œ”đ?œ” =

đ?‘‘đ?‘‘ đ??żđ??żđ?‘˘đ?‘˘2 đ?‘‘đ?‘‘ = . đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘ đ?‘šđ?‘š đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘

Consequentemente

e similarmente

�� ���� ��2 ����

đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘‘ 1 1 đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘ đ??żđ??ż đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘ = ďż˝ ďż˝=− 2 =− đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘ đ?‘˘đ?‘˘ đ?‘˘đ?‘˘ đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘ đ?‘šđ?‘š đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘đ?‘‘ đ?‘‘đ?‘‘ 2 đ?‘&#x;đ?‘&#x; đ??żđ??ż2 đ?‘˘đ?‘˘2 đ?‘‘đ?‘‘ 2 đ?‘˘đ?‘˘ = − . đ?‘šđ?‘š2 đ?‘‘đ?‘‘đ?œƒđ?œƒ 2 đ?‘‘đ?‘‘đ?‘Ąđ?‘Ą 2

Substituindo na equação do movimento obtemos:

đ?‘‘đ?‘‘2 đ?‘˘đ?‘˘ đ??şđ??şđ??şđ??şđ?‘šđ?‘š2 + đ?‘˘đ?‘˘ = đ?‘‘đ?‘‘đ?œƒđ?œƒ 2 đ??żđ??ż2

Esta equação Ê fåcil de resolver! A solução Ê �� =

1 đ??şđ??şđ??şđ??şđ?‘šđ?‘š2 = + đ??´đ??´ cos đ?œƒđ?œƒ đ??żđ??ż2 đ?‘&#x;đ?‘&#x;

onde đ??´đ??´ ĂŠ uma constante de integração, determinada pelas condiçþes iniciais.

Isto ĂŠ equivalente Ă equação (đ?‘&#x;đ?‘&#x;, đ?œƒđ?œƒ) padrĂŁo de uma elipse com semieixo maior đ?‘Žđ?‘Ž e excentricidade đ?‘’đ?‘’, com origem num dos focus, que ĂŠ: đ?‘Žđ?‘Ž(1 − đ?‘’đ?‘’ 2 ) = 1 + đ?‘’đ?‘’ cos đ?œƒđ?œƒ. đ?‘&#x;đ?‘&#x;

Derivação da terceira Lei de Kepler para Ăłrbitas elĂ­pticas O tempo que um planeta demora a percorrer uma Ăłrbita completa em torno do Sol, đ?‘‡đ?‘‡ (um ano planetĂĄrio), estĂĄ relacionado com o semieixo maior đ?‘Žđ?‘Ž da sua Ăłrbita elĂ­ptica por đ?‘‡đ?‘‡ 2 âˆ? đ?‘Žđ?‘Ž3 .

JĂĄ mostrĂĄmos como provar isto para Ăłrbitas circulares. Contude, jĂĄ que tivemos o trabalho de derivar a fĂłrmula (đ?‘&#x;đ?‘&#x;, đ?œƒđ?œƒ) de uma Ăłrbita elĂ­ptica, vale a pena apresentar aqui uma prova (opcional) do caso geral. (Nota que este mesmo resultado serĂĄ derivado na prĂłxima aula usando a conservação da energia e do momento angular – a prova aqui apresentada ĂŠ mais rĂĄpida, mas depende do conhecimento da equação (đ?‘&#x;đ?‘&#x;, đ?œƒđ?œƒ) de uma elipse.)

A ĂĄrea de uma elipse ĂŠ đ?œ‹đ?œ‹đ?œ‹đ?œ‹đ?œ‹đ?œ‹, e a taxa de varrimento da ĂĄrea ĂŠ đ??żđ??ż/2đ?‘šđ?‘š, logo o tempo đ?‘‡đ?‘‡ de uma Ăłrbita completa ĂŠ evidentemente đ?œ‹đ?œ‹đ?œ‹đ?œ‹đ?œ‹đ?œ‹ đ?‘‡đ?‘‡ = . đ??żđ??ż/2đ?‘šđ?‘š Escrevendo a equação 1 đ??şđ??şđ??şđ??şđ?‘šđ?‘š2 = + đ??´đ??´ cos đ?œƒđ?œƒ đ?‘&#x;đ?‘&#x; đ??żđ??ż2 na forma padrĂŁo đ?‘Žđ?‘Ž(1 − đ?‘’đ?‘’ 2 ) = 1 + đ?‘’đ?‘’ cos đ?œƒđ?œƒ, đ?‘&#x;đ?‘&#x; encontramos que đ??żđ??ż2 = đ?‘Žđ?‘Ž(−đ?‘’đ?‘’ 2 ). đ??şđ??şđ??şđ??şđ?‘šđ?‘š2

Agora, o ponto do topo đ??ľđ??ľ do semieixo menor da elipse (ver o diagrama acima) tem de estar exactamente a đ?‘Žđ?‘Ž de đ??šđ??š1 (visualiza a corda đ??šđ??š1 đ??ľđ??ľđ??šđ??š2 ), pelo que usando o teorema de PitĂĄgoras no triângulo đ??šđ??š1 đ?‘‚đ?‘‚đ?‘‚đ?‘‚ encontramos que đ?‘?đ?‘? 2 = đ?‘Žđ?‘Ž2 (1 − đ?‘’đ?‘’ 2 ).

Usando as duas equaçþes anteriores, o quadrado do tempo orbital ĂŠ đ?‘‡đ?‘‡ 2 = (2đ?‘šđ?‘šđ?‘šđ?‘šđ?‘šđ?‘šđ?‘šđ?‘š)2 /đ??żđ??ż2

= (2đ?‘šđ?‘šđ?‘šđ?‘šđ?‘šđ?‘šđ?‘šđ?‘š)2 /đ??şđ??şđ??şđ??şđ?‘šđ?‘š2 đ?‘Žđ?‘Ž(1 − đ?‘’đ?‘’ 2 ) = (2đ?‘šđ?‘šđ?‘šđ?‘šđ?‘šđ?‘šđ?‘šđ?‘š)2 /đ??şđ??şđ??şđ??şđ?‘šđ?‘š2 đ?‘Žđ?‘Ž(đ?‘?đ?‘? 2 /đ?‘Žđ?‘Ž2 ) = 4đ?œ‹đ?œ‹ 2 đ?‘Žđ?‘Ž3 /đ??şđ??şđ??şđ??ş

Assim, mostramos que o tempo de uma Ăłrbita depende apenas do semieixo maior da Ăłrbita: nĂŁo depende da excentricidade.

Tradução/Adaptação Casa das Ciências 2009