Compêndio de Matemática, 3º volume, Capítulo II - NÚMEROS COMPLEXOS EM FORMA TRIGONOMÉTRICA
J.
SEBASTIAo
E SILVA
3.0 volume Capítulo II
Curso Complementar do Ensino Secundário
Edicão G EP o
LISBOA
Compêndio de Matemática, 3º volume, Capítulo II - NÚMEROS COMPLEXOS EM FORMA TRIGONOMÉTRICA
CAPITULO 11
NÚMEROS COMPLEXOS EM FORMA TRIGONOMÉTRICA
1.
Repre·sentação geométrica dos números com1plexo,s. Consideremos um número complexo z
=
x
+ iy
(com x, y e IR)
e suponhamos fixado num plano um referencial cartesiano ortogonal. Então, como é sabido, o número z é representado pelo ponto P do plano, cuja abcissa é x e cuja ordenada é y.
y
x
x
Ora, segundo a observação final do número anterior, o número z pode igualmente ser representado pelo vector do plano, cujas componentes são, ordenadamente, x e y.
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Vamos desde jã reconhecer uma das vantagens desta representação. Consideremos um segundo número complexo
z' = x' + iy' (com x' y' e IR) -------------------
Q
y
y'
Or--------v-----'~
x
x'
Então, como é sabido, Z+Z/=(X+X/)+i(y+y/), isto é: z~(x,
y) 1\ z' -.:r (x', y/) ~ z + z' -.:r (x + x', y + y/)
donde, atendendo ao que foi estabelecido no Capo I, n.O 15: I. O vector correspondente à soma de dois números complexos é a soma dos vectores correspondentes a esses números. Visto que a correspondência estabelecida entre números complexos e vectores do plano é bijectiva, podemos afirmar: O grupo aditivo dos números complexos é isomorfo ao grupo aditivo dos vectores do plano.
.....
Z
I"".....
I lay
I
I
I
I I
o
x
.
ax
60
..........I
az
Y
I
I I
,
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COMP~NDIO
DE MATEMATICA
Por outro lado, se a é um número real, tem-se:
az = (ax) + i(ay), isto é:
donde:
11. O vector correspondente ao produto dum número real a por um número complexo z é o produto de a pelo vector correspondente a z.
A conjunção deste facto com o anterior exprime-se dizendo: O conjunto C dos números complexos é um espaço vectorial sobre IR, isomorfo ao espaço vectorial constituído pelos vectores do plano.
Mas note-se que C é um corpo, onde é portanto definido o produto de dois elementos quaisquer de C, como sendo ainda um elemento de C (operação interna), o que já não sucede com os vectores do plano no sentido usual.
SOLUÇÕES DOS EXERCfCIOS DO NúMERO ANTERIOR: I.
11.
a) b)
(-5, 13), (O, 1/2), (5, - 25/2); 5(x
AC//BD.
+
1) 111.
+
2(y - 3) = O.
a) Df/: ABC;
b) 2x+y+7z=0.
2. Representação trigonométrica dos núme,ros complexos. Consideremos de novo o número complexo
z= x
+ iy 61
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representado pelo ponto P do plano cartesiano. y P
y
o x
x
Chama-se módulo do número z, e representa-se por
I z I,
o
~
módulo do vector OP correspondente, ou seja a distância do ponto P, representativo de z, ao ponto O, origem dos eixos (1). Na figura, o módulo de z é designado por r. Será, pois
Imediatamente se reconhece que Izl=0~z=0~9X=O/\y=0
o
que se disse atrás sobre o módulo da soma de dois vectores permite também reconhecer que
I z + z' I -< I z I + I z' I
'\:;/ z, z' e C
Por outro lado, supondo z =t= O, chama-se argumento de z a qualquer medida a, em radianos, do ângulo XÔP, cujo primeiro lado é o semi-eixo positivo ÓX e cujo segundo lado é a semi-recta ÔP. Desde logo se vê que: (1) Como já sabemos, em geometria analítica identificam-se os comprimentos (ou distâncias) com os números reais que são as suas medidas.
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COMPENDIO DE MATEMATICA
Um número complexo z =1= O tem uma infinidade de argumentos, que diferem todos entre si por múltiplos inteiros de 2 'Ir. Chama-se argumento principal de z o argumento a de z tal que
(Se z = O, diz-se que z tem argumento arbitrário). Posto isto, deduz-se imediatamente da figura anterior que r e, como z
(1 )
=x
=r
cos
a
,
b
=r
sen
a
+ iy, tem-se
z = r (cos a + i sen a)
A expressão r(cos a + i sen a} é chamada forma tngonométrica do número complexo z, enquanto a expressão x + iy é chamada forma algébrica de z. Para comodidade de escrita, usaremos daqui por diante o símbolo E(a) como abreviatura da expressão cos a + i sen a. Assim, a fórmula (1) passa a escrever-se
Iz =
r E(a}
Em particular, se I z I = 1 (isto é, se r = 1), tem-se z = E(a}. Deste modo, a expressão geral dos números complexos de módulo 1 será E(a} ==
COS
a + i sen a
Recordemos o critério de igualdade de dois números complexos na forma algébrica: x+ iy=x' + iy' ~ x=x' 1\ y=y' (x, y, x', y' e IR)
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Consideremos, agora, dois números complexos não nulos na forma trigonométrica
z
~
=r
= r'
z'
E(a)
E(a')
óbvio que
(2)
z = z' :} r = r'
Mas, como vimos há pouco, um número complexo tem uma infinidade de argumentos e não podemos afirmar: z = z' :} a = a', mas apenas:
(3)
z
= z'
:} 3 n € I: a - a'
= 2n7T
(se z =F O)
Exprime-se esta última condição dizendo que a é congruente com a' módulo 2 7T e escrevendo
a=a' (mod
27T)
Reciprocamente, é óbvio que a conjunção de (2) com (3) implica z = z'. Assim, o critério de igualdade de dois números complexos não nulos na forma trigonométrica será:
r E( a)
= r'
E( a')
~
r
= r' 1\
Em linguagem comum: Dois números complexos não nulos são iguais, se e só se tt§m módulos iguais e os seus argumentos diferem por um múltiplo inteiro de 27T.
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COMPtNDIO DE MATEMATICA
EXERCICIOS: I.
Represente graficamente os seguintes números complexos
1,
1
i,
- i,
-i,
-1
- 1,
+ i,
5,
+
i,
-3,
2i,
1 - i,
V2 -
2 i, 3
-
i \/ 2
e ache as respectivas formas trigonométricas.
11. Represente sob forma algébrica os seguintes números complexos: 71' cos-
3
+ .I sen71'
3
NOTA. Também se pode chamar argumento dum número complexo ao próprio ângulo cuja medida é dada em radianos e que pode exprimir-se noutras unidades. Por exemplo, o primeiro número do exemplo anterior poderá também escrever-se:
cos 60°
+
sen 600,
mas é claro que, neste caso, se trata de funções trigonométricas de ângulo (ou arco) e não de funções trigonométricas de números reais. I
65
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3. Interpretação geométrica da multiplicação de números complexos. Comecemos pelo seguinte caso particular: Produto do número i por um número complexo qualquer, z = x
p.
,~
*'
+
iy (x, y e IR).
,-------
" - -~,
.... ....
.... ,
,, " p
I
x: I I I I
I
o
-y
x
x
Basta considerar o caso em que z =1= O. Temos: iz
=-
y
+ ix
Seja r = I z I, a O argumento principal de z e ex' o argumento principal de iz. Virá, então: COS
a'
=- -
y r
=-
sen ex
,
sen ex'
= -x = COS r
a,
donde
Por conseguinte: a operação z ~ iz (multiplicação por i) traduz-se geometricamente pela rotação de 90° no sentido positivo. (No caso da figura o sentido positivo é, como habitualmente, o sentido anti-horário.)
66
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COMPtNDIO DE MATEMATICA
Podemos, agora, passar ao caso geral:
Produto de um número complexo z = x + iy por outro (V x, y, u, ve IR). número complexo, w = u + iv
y P'
o
x
Basta considerar o caso em que z =1= O e w =1= O. Suponhamos que se tem, na forma trigonométrica:
z = r E(a}
(1 )
w
= pE(f3}
(a, f3 argumentos principais) Sejam M, P, P', Q os pontos que representam z, w, zw, iw, respectivamente, e ponhamos ~
u ~
=
~
~
OP
v
~
= OQ
~
Então v resulta de u por uma rotação de 900 no sentido positivo. Ora zw
= (x + iy)
w = xw
+ y(iw}
(porquê?)
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Logo, segundo o estabelecido no n.O 1:
---
(2)
~
+
OP' = x u
~
yv
Além disso
I~I=I~I=I~I
(3)
Consideremos agora o referencial cujo 1.° eixo é a recta OP orientada de O para P, cujo 2.° eixo é a recta OQ orientada de O para Q e cuja unidade de comprimento é igual à do primeiro referencial. Então de (2) e (3) resulta que a abcissa e a ordenada de P' no novo referencial são, respectivamente,
x' = x p , donde
I OP' I = v' (x p)2 +
y' = y p
(y p)2 = p v' x 2
+ y2
= Pr
I zw I = r p
ou seja
Por outro lado, se for a' a medida principal do ângulo orientado PÔP', tem-se cos a'
=-r
Xp p
=
X
- = cos a r
,
sen a'
Y = -YP = = sen rp r
a
donde a'
= a
Ora (4)·
XÔP' = XÔP
+ PÔP'
(ângulos orientados)
Como o segundo referencial está orientado no mesmo sentido que o primeiro (sentido anti-horário na figura), deduz-se de (4) que um dos argumentos de zw - medida do ângulo orientado XÔP' - será o número {3
68
+ a' = a: + {3
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COMPltNDIO DE MATEMATICA
Assim, em conclusão: (5)
zw = (r p) E (a
+ fi)
Comparando (1) e (5), chegamos à seguinte REGRA. O produto de dois números complexos tem por módulo o produto dos módulos dos factores e por argumento (entre outros) a soma dos argumentos dos factores. claro que esta regra também é vãlida se um dos factores é O (argumento arbitrãrio). Em particular, mantém-se a PROPRIEDADE DO MóDULO DO PRODUTO: É
I'
zw I = I z I . I w
'ri z, w e C
I
que jã se verificava em IR, tal como a PROPRIEDADE DO MóDULO DA SOMA (n. o 2). ~
Geometricamente, vimos que se passa do vector OP, repre~
sentativo de w, para o vector OP', representativo de zw, efectuando a rotação de amplitude a e em seguida a homotetia de razão r (ou vice-versa). Assim: A aplicação w ~zw (multiplicação pelo número complexo z) traduz-se por uma transformação de semelhança: produto da rotação de amplitude a (argumento de z) pela homotetia de razão r (módulo de z).
EXERCTCIOS - I. Desenhe o triângulo cujos vértices são as imagens dos números
1
2
+
2i
1
V3
2
2
-+i--
e, em seguida, o triângulo cujos vértices correspondem aos produtos destes números por -V2(1 a vermelho).
+
i) (dados a azul e resultados
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11. Mostre que os números complexos z tais que I z I = 1 formam um grupo multiplicativo isomorfo ao grupo multiplicativo das rotações do plano e ao grupo aditivo das classes de congruência de números reais para o módulo 271".
111.
~ 1,
Mostrá que os conjuntos { 1, i, - 1, - i }
+
+ i V23 ,
_
+
+ i V: ' -
1, _
e
+_ +_ 3 , 2
i \11
i
V;
~
são subgrupos multiplicativos do grupo anterior. (Sugestão: nestes três exercícios convém usar a forma trigonométrica. ) NOTA IMPORTANTE. Os factos anteriores mostram que os números complexos podem ser interpretados como operadores sobre vectores do plano. Nesta ordem de ide ias, o símbolo E{a} representa o operador rotação de amplitude a. Em particular, o número i é a rotação de 90° (no sentido positivo) e portanto o número i 2 = i • i é a rotação de 180°: ~
~
~
~
i2 u = i(i u} = - u = (-1) u
~
.
iu
~
4 U
~
j2u= -u
Assim obtemos uma interpretação intuitiva da fórmula:
i 2 = -1
70
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COMPENDIO DE MATEMÁTICA
4.
Divisão de números complexos na forma ·trigonométrica. Como já é sabido, dados dois números complexos ZI< Z2' sendo Z2 =1= O existe um e um só número complexo , tal que (1 )
Este número Ponhamos
t é o quocie,nte de
Zl
por
Z2
ou seja . '
= Zl!Z2'
Então, segundo a regra da multiplicação, (1) equivalia (1')
donde, aplicando o critério de igualdade (n.o 2) : (2)
r 2 p = rl
e
a 2
+ tp =
a l
(mod 27T)
ou seja
Por conseguinte:
isto é:
REGRA. O quociente de Zl por Z2 (supondo Z2 =1= O) tem por módulo o quociente de I Zl I por I Z2 I e por argumento a diferença entre um argumento de Zl . e um argumento de Z2.
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5. Potências de números complexos na forma trigonométrica. A regra da multiplicação estabelecida no n.O 3 estende-se imediatamente a produtos de mais de dois factores. Assim, se forem dados n números
tem-se, manifestamente:
ou seja
Em particular, os factores podem ser todos iguais:
Designemo-los por z e seja z = r E(a). Então virá
6. Radiciação no corpo complexo. Suponhamos que é dado um número complexo z =1= O e que se procura { tal que (1 )
Ponhamos
z = r E{a) Então, segundo a regra anterior, tem-se:
72
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COMPENDIO DE MATEMÁTICA
donde, pelo critério de igualdade,
'" = z ~ p" = r /\ n IP
=a
(mod 271")
Ora
Por outro lado:
Por conseguinte, as soluções da equação (1) em todos os números dados pela fórmula
(2)
t= n_ Vr E (a n +k
2'11")
• -n-
,
t serão
com k e I
Os valores possíveis de k serão pois O, ± 1, ± 2, + 3, .. .
Mas os valores assim obtidos para t não são todos distintos. Com efeito, consideremos dois inteiros relativos k l , k 2 e seja
Então
Isto mostra que IPI - 1P2 é múltiplo inteiro de 2 '11", sse k 1 múltiplo inteiro de n. Quer dizer:
-
k2 é
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Por conseguinte, se forem [;1 e [;2 os valores de [; correspondentes a k 1 e k 2 segundo (2), será
Ora, qualquer inteiro relativo k é congruente com um dos números O, 1, ... , n-1
(mod n)
e estes não congruentes entre si (módulo n). Logo:
A equação (1) tem exactamente n soluções. Essas soluções (chamadas 'raízes de índice n de z') são dadas pela fórmula
~ =
21T Vr E (an + k . --n-) ,
n_
atribuindo a k todos os valores inteiros de O a n - 1. Se z = O, é claro que z tem uma única raiz de índice n, que é O. Fica assim confirmado o que já tínhamos anunciado no 6. 0 ano, quanto a existência e número de raízes de índice n de um número complexo. EXERCICIOS:
I. Determine as raízes quadradas de i, primeiro na forma trigonométrica e depois na forma algébrica, e represente-as graficamente. 11. 111.
Idem para as raízes cúbicas de - 8. Idem para as raízes sextas e raízes oitavas de 1.
+
IV. Determine as raízes cúbicas de 4(1 i \1'3), primeiro na forma trigonométrica e depois na forma algébrica, com a
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COMPENDIO DE MATEMATICA
aproximação que lhe permitirem as tábuas de funções naturais. Faça a sua representação gráfica. 3+4 i v. Idem para as raízes cúbicas de --
5
7. Fórmulas trigonométricas de adição de ângulos. Sejam a e {3 as medidas em radianos de dois ângulos quaisquer. Tem-se então, como vimos,
+ {3)
E(a
(1 )
= E(a) . E({3)
Ora E(a) =
COS
+
a
i sen a
E({3) = cos {3
,
+
i sen {3
e E(a + {3)
=
COS
(a + {3) + i sen (a + {3)
Ponhamos (2)
x=cos a
,
y=sen a
,
x'=cos {3
,
y'=sen {3
Ora (x + iy) (x' + iy') = (xx' - yy') + (xy' + x'y) i. Então de (1) vem COS
(a + {3) + i sen (a + {3) -
(xx' - yy') + (xy' + x'y) i
donde cos (a + {3) = xx' - yy'
,
sen (a + {3) = xy' + x'y
ou seja, atendendo a (2) (1 )
~
l
cos (a sen (a
+ {3) = COS + {3) = sen
a a
COS COS
{3 - sen a sen {3 {3 + sen {3 COS a
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Estas são as fórmulas do seno e do coseno da soma. Mudando p em - p, destas se deduzem facilmente as fórmulas do seno e do coseno da diferença: cos (a - p) = COS a ~ sen (a - p) = sen a ~
lembrando que cos ( - p) = cos
COS
p+
COS
p-
pe
sen a sen p sen p COS a
sen (- p) = - sen
p.
Por outro lado, tem-se
tang (a
+
p) -
sen cos
(a + P) (a + P)
sen a
COS
p+
sen
p
COS
a
a
COS
p-
sen
p sen
a
COS
Daqui, dividindo ambos os termos da última fracção por cos a COS p, deduz-se facilmente a fórmula da tangente da soma:
(2)
tang (a
+
tang a
+
tang
p
P) - ---=--------=--'--1 - tang a. tang
Em particular pode ser a = p e portanto a Assim, de (2) deduzem-se as fórmulas: cos 2 a sen 2 a
tang 2 a
p
+ P = 2 a.
= COS a - sen a, = 2 sen a COS a, 2
=
2
2 tang a 1 - tang 2 a
que, como as anteriores, convém decorar. ~ claro que, em vez das letras a, p, podemos usar nestas fórmulas outras quaisquer, visto que se trata de variáveis aparentes (submetidas ao quantificador universal) .
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8. Múltiplos de ângulos e potências de senos e cosenos. Podemos obter fórmulas gerais para sen n a ecos n a, com n e IN, utilizando a identidade E(n a) = [E(a)] n e a fórmula do binómio aplicada ao desenvolvimento [E(a)]n = (cos a
+i
sen a)n
Por exemplo, tem-se E(3 a) = (cos a + i sen a}B = COSSa + 3 i COS2 a sen a
+3i
donde, lembrando que E(3 x) = cos 3 a
COS a sen 2a
2
+i
+i
8
sen 3a
sen 3 a:
cos 3 a .= COSSa -3 sen 2 a cos a sen 3 a = 3 sen a COS 2 a - senSa Em muitos problemas, o que interessa não é expnmlr os senos e os cosenos de múltiplos de ângulos a partir de potências de senos e cosenos - mas exactamente o · inverso. Para isso notemos que
'V x e IR ~ E(x) = cos x + ~ sen x ~ E ( - x) = cos x - I sen x visto que cos (-x) = cos x, sen (-x) = - sen x. Daqui, por adição e por subtracção ordenada, resultam as fórmulas: cos x
=
E (x)
+
E( - x)
2
(1 ) sen x
E(x)-E(-x) = --'--'-----'----'-
2i
a que podemos chamar FORMULAS DE EULER, pelas razões que serão indicadas adiante.
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Destas se deduz, por exemplo: I)
1
2
COS X
="'4 [E(2 = -
x) + 2 E(x) E(-x) + E(-2x)]
1 [E(2X) +E(-2x)
2
2
+
E(O)
]
ou seja 1 + cos 2 X 2
cos 2x =
11)
sen 2x
=-
_1 [E(2 x) - 2 E(O) + E( -2x)] 4
ou seja
I 111)
sen 2 x
1 - cos 2 x 2
=
1
cos 3 x= -S[E(3x) +3E(x) +3E(-x) +E(-3x)]
= 2[E(3 x) 4
+ E( -3 x) 2
+
ou seja cosSx = e assim por diante.
78
cos 3 x
+3 4
cos x
'
3. E(x) + E( -X)] 2
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COMPENDIO DE MATEMATICA
NOTA. Em matemática superior, a expressão E(x) é identificada com é, que também se escreve exp(ix) (ler 'exponencial de ix'). Assim, as fórmulas (1) assumem a forma
cos x =
sen x
2
=
2i
e é com este aspecto que são habitualmente chamadas 'fórmulas de Euler', em homenagem ao grande matemático a quem são atribuídas.
9. Fórmulas de transformação loga.rítmica. Derivadas das funções circulares. Sobre este assunto, ver o compêndio de trigonometria adoptado. Quanto a fórmulas de bissecção, basta registar as seguintes, que se deduzem imediatamente das anteriores:
cos 2 -
sen 2
x 2 x
-
2
=
-
1
+
cos
X
2 1 - cos x
2
1 - cos X x tg'-= 1 + cos x 2
79
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J
Indice PAga.
Capftulo I.
INTRODUÇÃO AO CALCULO VECTORIAL
9
1.
Relação 'situado entre'
2.
Relações de ordem .
3.
Conjuntos ordenados. Isomorfismos
14
4.
Relações de ordem lata
.
.
.
.
15
5.
Relações de ordem parcial
.
.
.
16
6.
Relação 'situado entre' associada a uma relação de ordem
7.
Relações de ordem subordinadas à relação 'situado entre' numa recta .
.
.
12
.
18
.
19
10.
Soma de um ponto com um vector
11 .
Soma de dois vectores
.
20 25 28 30
12.
Translações.
.
38
13.
Produto de um número real por um vector
41
14.
Homotetias .
15.
Vectores colineares e vectores complanares
45 48
16.
Referenciais cartesianos em forma vectorial .
55
8.
Projecções paralelas. Extensão do conceito de sentido
9.
Conceito de vector .
Capitulo 11.
. .
. .
. .
.
. .
.
.
.
NÚMEROS COMPLEXOS EM FORMA TRIGONOMÉTRICA
1.
Representação geométrica dos números complexos .
..
59
2.
Representação trigonométrica dos números complexos .
.
.
61
3.
Interpretação geométrica da multiplicação de números complexos
66
4.
Divisão de números complexos na forma trigonométrica
71
5.
Potências de números complexos na forma trigonométrica
72
6.
Radiciação no corpo complexo.
72
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
223
Compêndio de Matemática, 3º volume, Capítulo II - NÚMEROS COMPLEXOS EM FORMA TRIGONOMÉTRICA
J. SEBASTIÃO E SILVA PágO.
7.
Fórmulas trigonométricas de adição de ângulos .
.
.
.
.
.
75
8.
Múltiplos de ângulos e potências de senos e co-senos
. ..
77
9.
Fórmulas de transformação logarítmica. Derivadas das funções 79
circulares
Capítulo 111.
TRANSFORMAÇOES AFINS E APLlCAÇOES LINEARES
1.
Transformações de semelhança e isometrias.
2.
Rotações do plano e do espaço .
3.
Reflexões. Deslocamentos e isometrias negativas
91
4.
Transformações afins
96
5.
Efeito das transformações afins sobre rectas paralelas e sobre
.
.
.
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. .
. .
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81
.
85
.
.
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101
6.
Aplicações lineares.
.
104
7.
Determinação de todas as possíveis afinidades entre dois
vectores .
.
.
.
111
planos ou do espaço . 8. 9.
Determinação de todas as possíveis semelhanças, isometrias e deslocamentos, entre dois planos ou do espaço
115
Aplicações afins *
119
Capítulo IV.
.
.
..
..
.
.
..
REPRESENTAÇÃO ANALlTICA DE APLlCAÇOES LINEARES E TRANSFORMAÇOES AFINS
1.
Aplicações lineares e matrizes.
. ....
123
2.
Representação analítica das afinidades de um plano ou do espaço
129
3.
Produto interno de dois vectores.
.
.
.
133
4.
Nova definição geométrica de produto interno.
.
. ..
136
5.
Aplicações do produto interno em geometria analítica
6.
Representação analítica das isometrias e das semelhanças
150
7.
Produto externo de dois vectores do plano *
158
8.
Produto externo de dois vectores do espaço
9.
Produto misto *
.
.
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.
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.
.
.
. .
.
. .
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. .
.
.
.
.
163 169
10.
Número de dimensões de ,um espaço vectorial *
173
11.
Noção geral de espaço afim
177
12.
Noções de recta, plano, conjunto convexo, etc. num espaço
.
.
.
.
.
afim qualquer * 13.
179
Noções gerais de espaço métrico euclidiano e de espaço métrico·.
224
140
.
,
.
182
Compêndio de Matemática, 3º volume, Capítulo II - NÚMEROS COMPLEXOS EM FORMA TRIGONOMÉTRICA
COMPENDIO DE MATEMATICA P6g0.
Capítulo V.
ALGEBRAS DE APLlCAÇOES LINEARES E ALGEBRAS DE MATRIZES
1.
Produto de duas aplicações lineares. Isomorfismos vectoriais
193
2.
Soma de duas aplicações lineares.
...
.
197
3.
Produto de uma aplicação linear por um escalar
.
200
4.
Anel das aplicações lineares de um espaço vectorial em si mesmo
201
5.
Conceito de álgebra
204
6.
Soma de duas matrizes quadradas
206
7.
Produto de um escalar por uma matriz
209
8.
Produto de duas matrizes
210
9.
Inversão de matrizes
214
10.
Matrizes singulares.
.
.
218
225
Compêndio de Matemática, 3º volume, Capítulo II - NÚMEROS COMPLEXOS EM FORMA TRIGONOMÉTRICA
Composto e impresso na Imprensa Portuguesa -
Porto
e concluiu-se em Outubro de 1975
Compêndio de Matemática, 3º volume, Capítulo II - NÚMEROS COMPLEXOS EM FORMA TRIGONOMÉTRICA
GABINETE DE ESTUDOS E PLANEAMENTO DO MINISnRIO DA EDUCAÇÃO E INVESTIGAÇÃO CIENTIFICA