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Compêndio de Matemática, 1º Volume, 2º Tomo, Capítulo V - OPERAÇÕES BINÁRIAS. GRUPÓIDES

.1.

SEBASTIAo

E SILVA

2.° tomo

1.° volume Capítulo V

Curso Complementar do Ensino Secundário

Edicão G EP o

LI SBO A

Compêndio de Matemática, 1º Volume, 2º Tomo, Capítulo V - OPERAÇÕES BINÁRIAS. GRUPÓIDES

CAPrTULO

OPERAÇOES BINARIAS. GRUPOIDES

Expressões designat6rias e operações. Consideremos a expressão designatória x - y no universo IN. Neste caso, o valor 1.

da expressão só existe quando os valores de x e y verificam a condição x> y. Diremos, por isso, que o domlnio de existência da expressão x- y, no universo IN, é o conjunto de pares ordenados (relação binária):

D = { (x , y): x > y

x, Y E IN}

Assim, para cada par ordenado (x,y) pertencente a D, o valor de x - y é um determinado elemento de IN; para cada par ordenado (x,y) não pertencente a D, não existe valor de x - y no universo considerado. Exprime-se este facto dizendo que a referida expressão define uma operação binária (ou uma função de duas variáveis), cujo domlnio é o conjunto D e cujos resultados (ou valores) pertencem a IN. Como se sabe, esta operação é chamada subtracção (em IN); podemos designá-Ia pelo sinal -. Um outro exemplo em IN é- nos dado pela expressão designatória m.d.c. (x, V), abreviatura de

'máximo divisor comum de x e y' 7

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I. BBBASTIAO B SILVA

Neste caso, a expressão define também uma operaç§o binária (ou uma função de duas variáveis), cujo domlnio é IN 2 e cujos resultados (ou valores) pertencem a IN. Vejamos, agora, dois exemplos relativos à geometria de Euclides. Seja o conjunto dos pontos (isto é, o espaço), o conjunto das rectas e qJ o conjunto dos planos. Consideremos, então, as duas expressões designatórias:

'recta que passa por M e N' 'plano que passa por M e é perpendicular a r'

em que as letras M, N são variáveis em {j e a letra r é uma variável em (também se diz, por abuso de linguagem, que M, N designam c;lois pontos variáveis e r designa uma recta variável). A ' . .primeira expressão só toma um valor determinado, . . . . . . quando M:f: N: o seu domínio de existência é, pois, o conjunto = { (M, N); M:f: N}. Para cada par ' (M,N) E rI) o valor da expressão é uma determinada recta, isto é, um eiemento de Diremos, assim, que a expressão define uma operação binária (ou uma função de duas variáveis), cujo domínio é (1) e cujos resultados (ou valores) pertencem a A .segunda expressão toma um valor determinado, pertencente a qJ, para todo o par (M,r), tal que ME t e r E 12. Diremos, assim, que tal expressão define uma operação binária (ou uma função de

'.'

iJJ

duas variáveis), cujo domínio é o conjunto t x e cujos resultados (ou valores) pertencem a qJ. Muitos outros exemplos poderíamos apresentar de operações binárias (sobre valores lógicos, sobre conjuntos, sobre números, sobre funções, etc.). Dum modo geral, chama-se op,,,ç'o binária (ou função de duas variáveis) toda a aplicaçAo f dum conjunto D de pares ordenados num conjunto C qualquer. O conjunto D chama-se domínio de f. Assim, a cada par (x,y) e D, e opereçlo f faz corresponder um e

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0014paNDI0 DlI 14A.'l'1I14A.'1'10A.

um ,6 elemento de C, que pode ser designado por qualquer das notações f(x,V)

xfV

e se chama valor da função f correspondente ao par (x,V) ou resultedo de operação f efectuada sobre os elementos x, V dados. O domlnio duma operação binária f apresenta-se geralmente como subconjunto dum produto cartesiano A x B (ver exemplos anteriores). Em particular pode ser A = B; diz-se, então, que f é uma operação sobre elementos de A. Em vez de expressões designatórias com 2 variáveis, podemos considerar expressões designatórias com 3 variáveis, com 4 variáveis, etc., que nos conduzem, de modo análogo, aos conceitos de operação ternária (ou função de 3 variáveis), de operação quaternária (ou função de 4 variáveis), etc. Por exemplo, no universo IR, a expressão designatória VX2 + V 2 + 2xz define uma função de três variáveis (ou uma operação ternária), cujo domínio é o subconjunto de IR 3 {(x,v,z): x 2 + V 2 + 2xz

Neste quadro, é natural chamar funções de uma variável (ou operações unárias) às aplicações, tais como foram definidas no capítulo anterior (1. 0 tomo). Finalmente, há situações que conduzem naturalmente a falar de 'funções plurívocas' ou de 'operações plurívocas'. Tornemos, por exemplo, ao caso anterior da geometria euclidiana e consideremos a expressão 'plano que passa por M e é paralelo a r'

Tal expressão é indeterminada (ou plurlvoca), para cada par (M,r), visto que, por um ponto M, passa uma infinidade de planos paralelos

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J. SEBASTIÃO E SILVA

a uma recta r. É, então, natural dizer que tal expressão representa uma operação plur/voca. Outro exemplo: seja f uma função qualquer de uma variável e A um conjunto que contenha estritamente o domínio de f. Neste caso, a expressão 'extensão de f a A'

representa, como sabemos, uma operação plurívoca. Pelo contrário, a operação de restrição é un/voca, como vimos. Esta terminologia impõe-se, portanto, na prática. Porém, como as operações mais frequentes e que mais interessam são unívocas, convém, uma vez por todas, convencionar que, ao falar de 'operação' (ou 'função') fica subentendido que se trata de 'operação un/voca' (ou 'função un/voca').

2. Os conceitos de restrição e extensão para funções de mais de uma variável.

Estes conceitos podem ser

definidos exactamente como no caso duma só variável. Bastará que nos limitemos a um exemplo. Consideremos, novamente, a expressão designatória x - y. Já vimos que, no universo IN, esta expressão define uma operação cujo domínio é o conjunto O = {(x,Y):

x>y

x,YE IN}

e cujos resultados pertencem a IN. Porém, se passarmos ao universo IR, a mesma expressão define uma operação que é sempre possível neste universo; portanto, o domínio da operação é, agora, IR 2 e os seus resultados pertencem a I R. É claro que as duas operações (em IN e em IR) são distintas, visto que não têm o mesmo domínio; mas, quando aplicadas a qualquer par (x,y) do primeiro dom/nio, O, dão sempre o mesmo resultado. Por conseguinte, a segunda é uma extensão da primeira a IR 2 e a primeira é

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COMPFJNDIO DE MATEMATICA

a restrição da segunda a D. (O que se pode dizer quanto à res trição da segunda a IN 27) Porém, na prática, não há, em regra, inconveniente em dar às duas operações o mesmo nome ('subtracção') e designá-Ias pelo mesmo símbolo ('-').

Operações binárias de domínio finito.

Quando o domí-

nio duma operação binária é finito, podemos sempre defini-Ia por meio duma tabela em que se indique o resultado da operação f para cada par (x,y) pertencente ao seu domínio. Neste caso, pode recorrer-se a tabelas de duas entradas. Seja, por exemplo, a operação f sobre os números 1, 2, 3, definida pela seguinte tabela:

xf y

I I

Tem-se,nestecaso,2f1 = 2-1 =1, 3f1 =3-1 =2, 3f2=3-2=1. As casas em branco indicam que não existe resultado de operação para os pares correspondentes a essas casas. Trata-se, como se vê, duma restrição da subtracção. 11

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J. SEBASTIAO E SILVA

Seja; agora, a operação <p definida pela tabela seguinte: q7 (x, y)

Lisboa

Porto

Lisboa

Coimbra

O km

321 km

204 km

Porto

321 km

O km

117 km

Coimbra

204 km

117 km

O km

. Tem-se, por exemplo: <p(Porto, Coimbra)

q7(Coimbra, Porto) - 117 km

Também podíamos escrever:

Porto q7 Coimbra

117 km

Neste caso, o domínio da operação é o quadrado cartesiano do conjunto { Lisboa, Porto, Coimbra} e os resultados da operação (ou valores da função) são distâncias.

GrupÓides.

Designemos por A o conjunto {Lisboa, Porto, Coimbra}

e consideremos a operação

e definida X

ey Porto

Coimbra

Lisboa

Coimbra

Porto

Coimbra

Porto

Lisboa

Coimbra

Lisboa

pela tabela

Porto

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OOMPIINDIO DB MA'l'IJMA.'l'IOA

Como 88 vê, 8sta operaçAo faz corresponder, a cada par ordenado de elementos de A, um (e só um) elemento do mesmo conjunto A: é, pois, uma aplicação de A 2 em A. Exprime-se este facto

dizendo que o conjunto A é um grupóide, relativamente à operação Dum modo geral, diz-se que um conjunto A qualquer é um grupóide relativamente a uma operação sse é uma aplicação de A 2em A. Chama-se aqui grupóide precisamente ao par ordenado (A, a) e suporte do grupóide ao conjunto A. Mas, muitas vezes, quando está subentendida a operação de que se trata, identifica-se o grupóide (A, a) com o seu suporte A.

OUTROS EXEMPLOS: 1. Nos exemplos do número anterior, o conjunto {1, 2, 3} não é um grupóide relativamente à operação f e o conjunto {Lisboa, Porto, Coimbra} não é um grupóide relativamente à operação cp. Porquê?

2. . O conjunto IN é um grupóide relativamente à adição etambém relativamente à multiplicação; mas não relativamente à subtracção nem à divisão. Porquê? Chama-se grupóide aditivo IN o grupóide (I N, +) e grupóide multiplicativo IN o grupóide (I N, x).

3; O conjunto Z (dos números inteiros relativos) é um grupóide relativamente à subtracção, mas não relativamente à divisão. Idem para o conjunto IR. Porquê? Mais exemplos serão estudados no n.O 6.

5. Conceito desubgrup6ide. Seja M 2 '0 conjunto dos números pares positivos (subconjunto de IN). A soma de dois

números pares é sempre um número par; isto é, simbolicamente:

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J. SSBAS'l'IAO S SILVA Exprime-se este facte dlzende que e cenjunte M 2 é fechado pBrs B adição. Mas já a sema de deis nómeres Impares nAe é um nllmere Impar: .o c.onjunt.o d.os nómeres Im pares (positivos) não t§ fechado para a adição; é, porém, fechado para a multiplicação. (Porque 7) • C.onsideremos agora, dum m.od.o geral, um grupóide (A. 6): DEFINiÇÃO. Diz-se que um subconjunto C de A é fechado para 6, sse esta operação, efectuada sobre qualquer par de elementos de C, dtJ sempre como resultado um elemento de C, isto é, sse a condição seguinte é verificada:

x, y

C =>

x 6 y

É clar.o que ist.o equivale a dizer que o conjunto C

é um grupóide

relativamente à operação 6 restringida a C2. Diz-se então que .o conjunto C, com esta operação, é um subgrupóide de (A. e). Assim, o conjunto M 2 forma um subgrupóide do grupóide aditivo IN (e também d.o grupóide multiplicativo IN), enquanto o conjunto IN" M 2 forma um subgrupóide d.o grupóide multiplicativo IN, mas não do grupóide aditivo IN. EXERCrCIOS: Determinar os subgrupóides do grupóide considerado no exemplo inicial do nómero anterior. 11. Determinar os subgrupóides do grupóide aditivo IN. Idem para Z. I.

6. Grup6ides comutativos e grup6ides associativos (ou semigrupos).

Consideremos um grupóide (A, 6). Diz-se que a

operação 6 é comutativa, sse xey=yex, 'ri x,YEA

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Diz-se que a operaçllo 6 é "soe/,t/v"

SS8

(x6y)6z=x6(y6z), 't/x,y,zeA No primeiro caso também se diz que o grupóide é comutativo. No segundo caso também se diz que o grupóide é associativo ou que

é um semigrupo (assim, o termo 'semigrupo' é sin6nimo de 'grup6ide associativo') . EXEMPLOS E EXERClcIOS:

I. O grup6ide considerado no exemplo inicial do n. O 4 é comutativo, mas não associativo. Por exemplo: (Lisboa Lisboa

e Porto) e Coimbra = Coimbra e Coimbra = Coimbra e (Porto e Coimbra) = Lisboa e Lisboa = Lisboa

11. Seja ~7 um conjunto qualquer de aplicações, fechado para a multiplicação (ou composição). Então, pelo que vimos no Capo IV, n. OS é um grup6ide associativo (portanto um semigrupo), mas pode não ser comutativo. É o que sucede, por exemplo, se (f é o conjunto das aplicações do conjunto {1, 2}

10-17, q:

em si mesmo. Tem-se, com efeito:

1 2) (1 2) (1 2) (1 2) (1 2) . . (1 2) (22 . 22 ' 22 11.

Chama-se semigrupo de aplicações precisamente todo o conjunto de aplicações fechado para a multiplicação (ou composição). 111. Os grup6ides (IN, +) e (IN, .) são ambos semigrupos comutativos, mas já o grup6ide (Z, -) não é comutativo nem associativo.

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J. BIJBAS'1'I.I.O 16 SILVA

IV.

Seja @ o conjunto de todos os subconjuntos de um con-

junto U dado, isto é,

f2 =

(U). Verifique, S9, para cada uma das

operações('\, u, "",, o conjunto @ é: a) um grupóide; b) um semigrupo; c) um grupóide comutativo (1).

V. Problema análogo ao anterior, considerando o conjunto {V, F} dos valores lógicos e · as operações /\, V, =>,

VI.

Seja IL a operação que faz corresponder a cada par

(M, N) de pontos do espaço

o pohto médio do segmento MN.

Verificar se (~, IL) é: a) um grupóide; b) um semigrupo; c) um grupó ide comutativo. Posto isto, facilmente se reconhecem os dois seguint9sfactos:

1. o . . Todo o subgrup6ide dum grup6ide comutativo também é comutativo.

Todo o subgrup6ide dum grup6ide associativo também é associativo. 2. o

Linguagem aditiva e linguagem multiplicativa. Mui· tas vezes a operação dum grupóide chama-se multiplicação (grupóide multiplicativo) e muitas outras chama-se adição (grupóide aditivo). 7.

1\10. primeiro

caso, o resultado da operação aplicada a dois elemen-

tos a, b ' chama~se produto de a por

ti • b ou ab.

ti e representa-se por a x b,

No segundo caso, o resultado da operação aplicada a dois

elementos, a, b chama-se soma de a com b e representa-se por

(') Note-se que as operações lógicas sobre conjuntos têm o mesmo nome e são dàsignadas pelos mesmos slmbolos ('('\', . 'U·. etc.) qualquer que seja o universo U considerado. embora sejam na realidade operações distintas, quando se muda de universo. Mas não ·há, em geral, perigo de confusão nestaidentida de de terminologia e notações. .-

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OOMP.NDIO DB MA'1'BMA.'l'IOA

+ b.

Há depois, como veremos adiante, uma série de termos e de notações que se ligam a cada um destes casos. Temos, assim, duas linguagens - a multiplicativa e a aditivaque se usam até em alternativa com outras. Por exemplo, no caso dos conjuntos, a reunião A u B também se chama soma (lógica) • se representa por A + B, enquanto a intersecção A () B se chama produto (lógico) e se representa por AB (mas não por A x B). Analogamente para as operações V, 1\ sobre valores lógicos. Por sua vez, no caso das aplicações, a expressão 'produto de f por g' e a notação 'fg' usam-se em alternativa com a expressão 'f composta com g' e com a notação 'fog' (excepto quando haja possibilidade de confusão). É claro que se trata apenas de convenções de linguagem, mais ou menos arbitrárias; havemos de ver mais adiante que o produto de duas aplicações f, g, nesta acepção, também aparece algumas vezes com o nome de soma de f com g e representada por f + g. li

8. Operações iteradas. Propriedades comutativa e associativa generalizadas. Consideremos um grupóide (A, 6). A operação binária 6 dará origem a uma operação ternária, a uma operação quaternária, etc., se pusermos, por definição: a,6 a:;,> 6 a3 = (a, 6 a2) 6 a3, a, 6a26a36a4= (a, 6a 2 6, a 3) 6a4 e assim sucessivamente, sendo a" a 2, ... elementos quaisquer de A. Chama-se operação 6 iterada à operação que deste modo se define, a partir de 6, para uma sequência qualquer (a"a2, ... an) de elementos de A (com n> 1). O resultado desta operação pode ser representado em geral pela notação

a, 6 a 2 6 ... 6 an 17 eM II-z

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J. B1DBAB'l'IAO 11 SILVA

ou ainda, quando n é variável, pela notação mais correcta n

e k=1

(1 ) em que

é um Indice mudo. Põe-se, ainda, por definição:

Aliás, na indicação destas operações, não é necessário · que o Indice tome só valores inteiros, de 1 a n; basta que tome valores inteiros relativos. Por exemplo: 2

e k=O

a =a o

e k=3

ak = a 3

e a 4 e a 5 e a 6,

etc.

Já vimos, atrás, convenções deste tipo aplicadas às operações (') e u. No entanto, quando a operação se chama 'adição' é costume tomar para slmbolo inicial a letra L (em vez do sinal +); e, quando a operação se chama 'multiplicação', é costume tomar para slmbolo inicial a letra n. Também já encontrámos estas convenções a propósito dos números naturais. Posto isto, demonstram-se os dois seguintes teoremas importantes:

TEOREMA I. Se a operação e é associativa, a operação () iterada tem a propriedade associativa generalizada, isto é: o valor duma expressão da forma (1) não muda, substituindo dois ou mais dados consecutivos pelo respectivo resultado da operação iterada. Simbolicamente, isto pode ser expresso pela fórmula

ê ak = ( k=1e ak) e ( k=p+1 ê ak ),

k=1

'ti p: 1 :::; p

(Traduza nas linguagens aditiva e multiplicativa.)

n ,

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OOMPIINDIO DID MATIDMATIOA

TEOREMA 11. Se a operaçlo 6 ~ associativa e comutativa, , operaçlo iterada tem a propriedade comutativa generalizada, "to ~: o valor duma expressão da forma (1) não depende da ordem dos dados. Repare na extrema generalidade destes teoremas: o primeiro aplica-se a todos os posslveis grupóides associativos (semigrupos); O segundo aplica-se a todos os posslveis semigrupos comutativos. Não vamos, agora, demonstrar estes teoremas. Limitar-nos-emos .. dar uma ideia de como se demonstram, considerando dois casos particulares e usando a notação multiplicativa por ser a mais cómoda. Suponhamos que a multiplicação é associativa e provemos que se tem:

Já sabemos que

Ponhamos a, a 2a 3 = b. Então, virá:

(Porquê?) Donde:

Suponhamos, agora, que a multiplicação é associativa e comutativa. e provemos, por exemplo, que:

Comecemos por levar o factor a3 ao primeiro lugar. Temos: a,a2a3a4

a,(a2a3)a4

- (a,a3) (a2a4)

a,(a3a2)a4

(Porquê?)

= a3a,a2a4 (Porquê?) 19

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J. SIIBAS'l'IAO 11 SILVA

J: fácil, agora, terminar a demonstração:

D onde, finalmente: a, a 2a 3a 4 = a 3a, a 4 a 2'

Múltiplos e potências.

Consideremos um grupóide adin

~ ak, k=1 sendo n um número natural qualquer e a " ... an elementos quaisquer de A. Pode acontecer em particular que a, = a 2 = ... = an = a; neste caso, o resultado da adição iterada chama-se produto de n

tivo (A, +). Já definimos o significado da expressão

por a, e representa-se por na. Será, pois, por definição: na =

n ~ a k, sendo a, = ... = an = a

k=1

Assim: 1 • a = a,

2a = a + a,

(Vn E IN, a E A)

3a = a + a + a,

etc.

Os elementos a, 2a, ... , na, ... chamam-se múltiplos (naturais) de a: 2a o dobro de a, 3a o triplo de a, etc. Analogamente, num grupóide multiplicativo (A, .), põe-se por definição: n

an =

IIak,sendoa,= ... =an=a k=1

Assim: a' = a,

a 2 = aa,

a 3 = aaa,

(VnEIN,aEA)

etc.

Diz-se então que an é a potência de expoente n de a: a 2 o quadrado de a, a 3 o cubo de a, a 4 a quarta potência de a, etc. Aplicando os dois teoremas anteriores, podemos agora estender as propriedades clássicas das potências de expoente natural, a grupóides multiplicativos quaisquer, nos seguintes termos:

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OOMP1!JNDIO DlI MA'1'lIMA'1'IOA

TEOREMA I. Se a multiplicaçAo é associativa,<tem-se: am an

= am + n

(V m, n E IN,

a E A)

Vamos apresentar a demonstração sob forma intuitiva. Temos:

a m a n = (a ... a) •

(a ... a)

(Porquê?)

m vezes

n vezes

= aa ... a = am +n

(Porquê?)

m +n vezes

TEOREMA li. Se a multiplicação é associativa e comutativa,tem-se: a"b" = (ab)",

V n E IN,

a, b E A

Com efeito, temos: a"b" = (aa ... a) n vezes

(bb ... b) •

n vezes

= (ab) (ab) ... (ab) = (ab)"

(Porquê?)

n vezes

Notemos, agora, o seguinte facto muito importante:

Tudo o que for demonstrado para grupóides multiplicativos fica automaticamente demonstrado para grupóides com outra linguagem qualquer; bastará traduzir a linguagem multiplicativa na linguagem adoptada para o grupóide em questão. Por exemplo, em linguagem aditiva, isto é, para um grupóide

(A, + ), os teoremas I e li enunciam-se:

TEOREMA 1'. Se a adição é associativa, tem-se: ma+na=(m+n)a,

'v'm,nEIN,

aEA

TEOREMA 11'. Se a adição é associativa e comutativa, tem-se: na + nb = n(a + b)

, V n E IN,

a EA

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J. 8I1B"'8'1'1.I.0 11 8ILV...

A passagem de 'ma + na' para '(m + n)a' é a operaçAo algébrica a que, nos casos clássicos, se chama 'pOr o factor comum B em evidência'; e analogamente para a segunda fórmula. Aplicando a propriedade simétrica da relação =, as duas fórmulas anteriores também se podem escrever do seguinte modo: (m + n)a = ma + na n(a + b)

= na + nb

(distributividade à esquerda) (distributividade à direita)

Mais uma vez chamamos a atenção do aluno para a extrema generalidade destes teoremas: o primeiro aplica-se a qualquer semigrupo e o segundo a qualquer semigrupo comutativo, qualquer que seja a natureza dos elementos do conjunto A (funções, números ou quaisquer outras entidades que venham a ser consideradas). A linguagem e as notações adoptadas são apenas pormenores acidentais, maneiras diferentes de exprimir os mesmos factos. Começamos a ver aqui em que consiste o chamado 'método abstracto (ou formal) da matemática moderna' e quais as suas vantagens. Um dos recursos fundamentais deste método é o conceito de isomorfismo, que vamos em seguida apresentar no caso dos grupóides. ~

10. Isomorfismos entre grup6ides. Consideremos, por exemplo, no universo IN, a função x 2 x (chamada função expoV nencial de base 2). Trata-se duma aplicação de conjunto IN sobre o conjunto das potências naturais de 2. Designemos por P 2 esse conjunto e por f a referida aplicação. Teremos, assim: f(x) = 2x (em IN) ou, em notação mais intuitiva:

...

)

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OOMP1INDIO DIJ

MATIJMATIO~

Ora, segundo o teorema I do número anterior, tem-se: 2m + n =2 m ·2 n

('fIm,nEIN)

ou seja, atendendo a que 2 x = f(x) para todo o x

(1 )

f(m + n) = f(m) . f(n)

('fi m, n

IN: . IN)

Assim, ao passar de IN para P 2 por meio da . aplicação f a IIdlçAo traduz-se na multiplicação. Por exemplo, aos números 2 e 3 correspondem, respectivamente, os números 4 e 8; então à soma dos dois primeiros (2 + 3 = 5) corresponderá o produto dos dois Illtimos (4 x 8:= 32), e assim por diante. Ora bem, este facto deveras curioso, expresso pela fórmula (1), também se pode indicar dizendo que a aplicação f transforma a adição na multiplicação ou que: f é um isomorfismo do grupóide aditivo IN sobre o grupóide multiplicativo P 2

• Consideremos, agora, a aplicação inversa:

2n n

... ...

)

A cada número x da primeira linha corresponde, assim, o número y tal que x = 2Y• Este número y é chamado logaritmo de x na base 2 e representa-se pela notação log 2X. Por exemplo, log 28 := 3, log 2 1 28 := 7, etc. Assim, a função \,,.jlog2x é a inversa da primeira: chama-se função logarítmica na base 2.

Ora, se f transforma a adição em multiplicação, o que é de

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J. SIIBAS'l'UO 11 SILVA

prever para f - 1 7 Que transforme a multiplicaçAo em ediç§o, isto é, que:

ou seja:

Este facto, consequência dum teorema geral que demonstraremos mais adiante, pode exprimir-se dizendo: A função log2 é um isomorfismo de (P 2,.) sobre (IN,+).

J: claro que estas considerações se generalizam a qualquer número natural a, como base, em vez de 2. A função xvax (chamada função exponencial de base a) é um isomorfismo de (IN,+) sobre (Pa, .), onde Pa designa o conjunto das potências naturais de a. Dado um número x E Pa, chama-se logaritmo de x na base a, e representa-se por log aX, o número y tal que x = a Y. Por exemplo: log 10 10000

, log 5 125

, etc.

Deste modo, a função Ioga (chamada função logarltmica na base a) é a inversa da primeira, isto é: Y E IN)

ou ainda (cf. 12): Ioga aX

= x, 'ti x E IN;

a loga x = x, 'ti x E Pa

Ora, tal como no caso particular a = 2, teremos:

o que se exprime de modo análogo.

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OOJlP.NDI0 DII MA'1'IIMA'1'10A

Vejamos, agora, um outro exemplo. Seja ainda B um número natural qualquer e consideremos a função xVax definida e~ IN. E.ta funçAo, que vamos designar por <p é uma aplicação biunrvoca de IN sobre o conjunto dos múltiplos de a, que designaremos por Ma' Tem-se, agora, evidentemente: <p (m

+ n)

= <p (m)

+ cp (n) , 'V m, n E IN, I

visto que é sempre: a(m + n) = am + ary Ora, indica-se este facto dizendo que <p respeita a adição, ou antes, que transforma a adição do grupóide IN na adição do grupóide Ma. E como, além disso, <p é aplicação biunlvoc/J de IN sobre M a, diz-se que <p é um isomorfismo de (IN,+) sobre (Ma,+)

Daqui resultará, pelo teorema que demonstraremos, que a funçAo inversa, xv~ x, é um isomorfismo de (M a ,+) sobre (IN, +). (Depois de estudados estes exemplos e possivelmente os seguintes, tente definir, por si, o conceito geral de isomorfismo entre grup6ides, e confira, depois, o resultado com a definição que vem no número seguinte.) EXERCrCIOS: I.

Prove que a aplicação x

-x é um isomorfismo do V grup6ide aditivo Z sobre si mesmo (ou, como também se diz, um automorfismo deste grup6ide) (1). b) Designando por Z 2 o conjunto dos números pares relativos (0, 2, -2, 4, -4, ... ), determine os isomorfismos de (Z, +) sobre (Z2' +).

(') Não esquecer que há duas fases da demonstração: 1.° demonstrar que a aplicação é bijectiva; 2.° demonstrar que a aplicação respeita a adição. A definição geral de isomorfismo é dada no número seguinte.

Compêndio de Matemática, 1º Volume, 2º Tomo, Capítulo V - OPERAÇÕES BINÁRIAS. GRUPÓIDES

J. SIIBAS'l'IAO 11 SILVA

11.

Prove que as aplicações

Xv X3, Xv X·,

Xv VX· silo

automorfismos do grupóide multiplicativo IR+. Tente incluir numa só proposição geral estes três factos (designa-se por (O o conjunto dos números racionais relativos). 111.

5eja.J2 o conjunto {V, F} dos valores lógicos. Prove que o

operador,..., (negação) é um isomorfismo de (.I!., f\) sobre (.I!., V )

e de (.I!.,

sobre (.f2,

(considerando <=> como operação e não

<=»

como relação binária). IV.

Designemos por O, r, 2r, 3r, respectivamente, as amplitudes

de ângulo nulo, de ângulo recto, de 2 rectos (180°) e de 3 rectos (270°). Definamos no conjunto A = {O, r, 2r, 3r} uma operação binária chamada 'adição' e dada pela primeira das tabelas abaixo apresentadas. A segunda é a tabelado grupóide multiplicativo constituído pelas potências naturais da aplicação

s=G x

---

+ r

u • v

~I U I

52 [ 53

1- - 2r

Ponhamos B = {I, 5, 52, 53 }.

I: fácil ver que se tem 54 = I, 55

1_-

-I r

= 5, 56 = 52, etc.

I I

Compêndio de Matemática, 1º Volume, 2º Tomo, Capítulo V - OPERAÇÕES BINÁRIAS. GRUPÓIDES

OOMP.NDIO DID MATIDMA.'1'IOA

Olhando para as duas tabelas anteriores rapidamente se reconhlce a existência de um isomorfismo de (A, +) sobre (B, .), que é a IpllcaçAo: r

3r ') S3

Com efeito, esta aplicação é bijectiva e tem-se: f(x + y) = f(x) • f(y)

(1 )

, 'ri x, Y E A

Por exemplo: f(r

+ 2r) = f(3r) = S3 = S· S2 = ter) • f(2r)

Aliás, verifica-se muito facilmente (1), notando que se passa da primeira tabela para a segunda, aplicando f não só aos dados, como também aos resultados da operação +. Deste modo, f é, por assim dIzer, uma tradução do primeiro grupólde no segundo. Posto isto: Verifique se existe algum outro isomorfismo de (A, +) sobre (B, .) (J

se existe algum automorfismo de (A, +) diferente da identidade (as

duas questões estão interligadas). V (BAILADO DAS HORAS).

Designemos por H um conjunto de

12 elementos, que podem ser, por exemplo, 6 rapazes e 6 raparigas, digamos: Pedro, Helena, Júlio, Manuela, Rui, Luísa, David, Natércia, Eduardo, Beatriz, Álvaro, Urbana. Vamos supor estes elementos dispostos em círculo, à maneira das horas dum relógio, e designá-los, respectivamente, pelos seguintes símbolos( 1):

(1)

10,11

Estes símbolos podem ler-se 'um traço', 'dois traço', etc.

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J. SBBAS'1'IAO • • ILVJ.

12 = õ 13 /I

elemento 12 (Urbana) também pode ser designado por qualquer dos simbolos 0, 24, 36, ... ; isto é, em geral, pela notação m, onde m é qualquer múltiplo de 12. Analogamente, o elemento -, (Pedro) também pode ser designado por qualquer dos símbolos 13, 25, ... ; isto é, em geral, pela notação n, onde n é 1 mais um múltiplo de 12. E assim por diante. Deste modo, teremos, por exemplo: Rui = 5 = 17 = 29 = ... = 5 + 12 k ,

'ti k E IN o,

isto é, as designações 5, 17, etc., são equivalentes. Posto isto, vamos definir em H uma operação (chamada 'adição') mediante a fórmula:

(2) 28

m+ n

= m + n,

'ti m, n

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OOMP.NDIO D1J1 MA'1'1J1MA'1'IOA

x +

)( ----------! 1 2 -3 -4 5 -6 7 8 9 10 11 12 ----------- " --- - -- - --- - -- - - - --- - - -

'~,

, o • • •••

.,~

___• _ _ _

9 10 11 12 1 3 4 5 6 7 8 ------------------- 2 1 10 11 12 6 4 5 7 9 8 3 2 '._ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -1 -2 -4 -5 -6 -7 8 -9 10 3 11 12 3 ._. ------ - - -- -- ----------

_. ~ , _ . , ~

-4

-9

- 3 4 ... ---- - - ------- - - - - - -5 -6 -7 -8 -9 10 - -11 -12 -1 -2 -3 -4 -5 -_ _- ------ - - ---------- --- - --6 -8 -9 -10 -11 -12 -1 -2 -3 -4 -5 -6 7 ,._- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -10 -11 -12 - -2 -3 -4 -5 -6 -7 7 9 1 8 .. _ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -3 -4 - -6 -7 - - 11 8 12 1 2 5 8 9 10 .... _. - - -- -- -------------- --10 - -12 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -9 11 ---- - -------------- ----2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 10 10 1 11 12 ------------------ ---- --11 12- -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 11---------------------- -- -4 -5 -6 -7 -8 -9 10 - -12 11 12 3 2 -

... ..•.

, .....

~ . - ---

Assim teremos, por exemplo: 3+8=11,

5+7=12=0,

6+9=15=3, ...

~ claro que, na fórmula (2), ·podemos sempre substituir m

+ n pelo

resto da divisão de m + n por 12. Desde logo se reconhece que a operação definida por (2) é sempre possivel em H. Vamos ver que também é unlvoca. Com efeito, suponhamos que m' = m e n' = n, com O~ m < 12 e O ~ n < 12.

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J. SBBAS'l'IAO B SILVA

Então m' = m + 12h, n' = n + 12k, com h, k E IN o. Por conseguinte m' + n' = (m + n) + 12 (h + k) e como h + k E IN o, teremos: m' + n'

m + n

A operação é pois unlvoca, isto é, faz corresponder a cada par (m, n) de elementos de H um único elemento m + n de H. Assim, fica provado que H é um grupóide relativamente à operação definida. Esta também pode ser dada pela tabela da página anterior. Este grup6ide sugere-nos a imagem de um baile de roda. Por exemplo, adicionar 1, 2, '" traduz-se por fazer rodar o conjunto H de 30°, 60°, ... , no sentido dos ponteiros dum rel6gio. Por isso, chamaremos pitorescamente 'Bailado das Horas' ao grup6ide aditivo H. Usando a f6rmula (1) não oferece dificuldade nenhuma provar que o Bailado das Horas é um semigrupo comutativo. Consideremos, agora, a transformação

S~G

3 4:

5 6

7 ã

9 10

1~)

e as suas sucessivas potências 5, 52, 53, ... t: fácil ver que 51 2 = I, 5 13 = 51, 5 14 = 52, ... O conjunto das potências de 5 reduz-se, pois, a 12 elementos. Designemos este conjunto por H·. Posto isto: Designando por f a aplicação nV 5 n, prove que f é: 1) uma aplicação biunlvoca de H sobre H*; 2) um isomorfismo do grupóide aditivo H sobre o grupóide multiplicativo H·.

Verifique se existe algum automorfismo de H diferente da identidade e algum outro isomorfismo de H sobre H* (problemas equivalentes). Para terminar este importante exemplo, recordemos que os slmbolos f, 2, .. , foram interpretados como designações de 6 rapazes e 6 raparigas. Mas é claro que temos a liberdade de designar por

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OOMPIJNDIO DII MA'1'IIMA.'1'IOA

IIt.. sim bolos outros entes, por exemplo determinadas cidades portuguesas, determinados planetas, determinados angulos (múltiplos di 30 0 ), etc. Sendo assim, fica automaticamente definida uma apliclçlo do referido conjunto de rapazes e raparigas sobre conjunto dOI novos entes e vê-se que essa aplicação é um isomorfismo para a Idlçlo definida com os referidos símbolos. Neste caso, o que muda ~

unlclmente a natureza dos elementos, isto é, a MATtR/A; o que ptrm,nece é a estrutura lógica do grupóide, isto é, a FORMA. Como teremos ocasião de ir observando, dois dos caracteres essen-

01.11 da matemática moderna são os seguintes: A matemática moderna tem um grau de liberdade muito luptrlor 80 da matemática clássica. 1)

Os universos considerados em matemática moderna são gtr,'mente definidos a menos de um isomorfismo: o que interessa ~ • FORMA (isto é, as propriedades lógicas das operações ou "',ç6es consideradas nesses universos) e não a MATtRIA (isto é, , nltureza dos entes que constituem o universo). 2)

11. Teoremas sobre isomorfismos. Vamos, agora, formular a definição geral de isomorfismo entre grupóides.

Chama-se isoformismo dum grupóide (A, 0) ,obre um grupóide (B, (fi) toda a aplicação biunlvoca f de A sobre B tIl que: DEFINiÇÃO.

f(x 0 y)

= f(x)

4> f(y)

, V x. Y E A

Esta fórmula também se pode exprimir dizendo que f transforma 8 em 4>. Se, em particular, 0 = (fi, diremos que f respeita 0. Assim, f funciona como um dicionário, que traduz os factos relativos ao primeiro grupóide nos factos relativos ao segundo. Por exemplo, f transforma a operação 0 iterada na operação 4> iteroda, isto é: f(a 1 0 a 2 0,,, 0 an)

f(a 1) 4> f(a 2) 4> ... (fI f(an)

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J. SBBAS'1'IAO B SILVA

quaisquer que sejam n E IN e a 1, •.. a n E A (prove, por exemplo, com n = 3). Daqui resulta em particular o seguinte: Se e = +, III = ., o isomorfismo f traduz o 'produto por n' em 'potência de expoente n': 1)

f(nx)

= [f(x)] n,

'fi x E A.

n E IN

(Prove).

2) Se e ::: " III ::: +, o isomorfismo f traduz 'potência de expoente n' em 'produto por n' (escreva a respectiva fórmula e prove).

o que sucede de análogo quando 0 = +, III = +

ou 0 = ., III = • 7 Interessa, agora, demonstrar duas propriedades importantes dos isomorfismos: TEOREMA I.

A aplicação inversa dum isomorfismo ainda é um isomorfismo. Mais precisamente: Se f é um isomorfismo de (A. 0) sobre (B, Ill), então f- 1 é um isomorfismo de (B, Ill) sobre (A, e) Demonstração (1): Suponhamos que f é isomorfismo do primeiro grupóide sobre o segundo (hipótese). Vamos provar que f- 1 é um isomorfismo do segundo sobre o primeiro (tese). Sejam u, v elementos quaisquer de B; então existem elementos x, y de A tais que u

= f(x),

= f(y)

(Porquê?)

Por outro lado f(x0 y) = u ~ v

(Porqu'J)

Donde:

(Porqu'J)

Para tornar esta demonatraçlo mal. Intuitiva, convêm desenhar diagramas a representar A, B, x, y, u, v, etc. ( 1)

Compêndio de Matemática, 1º Volume, 2º Tomo, Capítulo V - OPERAÇÕES BINÁRIAS. GRUPÓIDES

E, como x - f·1 (u), Y - f· 1(v), virá, trocando os dois membros da Igualdade anterior:

Como u, v são elementos quaisquer de B, isto quer dizer que f·' .. um isomorfismo de (B, cI» sobre (A, 0). TEOREMA li. O produto de dois isomorfismos ainda é um iso· morfismo. Mais precisamente: Se fé um isomorfismo de (A, 0) sobre (B, W) e se 9 é um isomorfismo de (B, cI» sobre (C, tJi), então gf é um isomorfismo de (A, 0) sobre (C, 1jI). Demonstração ( 1): Suponhamos verificada a hipótese; vamos provar a tese. Sejam x, y elementos quaisquer de A. Então, virá: f(x 0 y)

= f(x) cI> f(y)

(Porquê?)

= [g(f(x)]

(Porquê?)

Donde: g[f(x 0 y)]

ljI [g(f(y»]

E, portanto: .

(g f) (x 0 y)

= [(gf)

(x)] ljI [(gf) (y)]

(Porquê?)

Mas isto significa que gf é isomorfismo de (A, cI»

sobre (C,

tJi).

Ambos estes teoremas são de uma extrema generalidade. Já atrás aplicámos o teorema I às funções logarítmicas.

( 1)

Conselho análogo ao que foi dado no inicio da demonstração anterior.

M-U-3

Compêndio de Matemática, 1º Volume, 2º Tomo, Capítulo V - OPERAÇÕES BINÁRIAS. GRUPÓIDES

I. SIISAS'l'UO li SILVA

12. Orup6Id•• I.omorfo.. Diz-se que um . grupóide (A, @) é isomorfo a um grupóide (B, <r» quando existe, pelo menos, um isomorfismo de (A, @) sobre (B, <r». Por exemplo, o grupóide (IN, +) é isomorfo ao grup6ide (P 2' • ), pois que existe o isomorfismo nv 2n do primeiro sobre o segundo. Analogamente, o grupóide (Z, +) é isomorfo ao grup6ide (Z 2' +), onde Z 2 é o conjunto dos números pares relativos; com efeito, já vimos que as aplicações xv2x e

Xv - 2x

são isomorfismos do primeiro sobre o segundo (bastava

que existisse um isomorfismo). Para indicar que o grup6ide (A, @) é isomorfo ao grup6ide (B, <r», escreve-se:

(A,@)

(B, <r»

A relação assim definida entre grup6ides é chamada relação de isomorfia (1). Será esta relação reflexiva, si métrica, transitiva? Será uma relação de equivalência? É fácil ver que sim:

1 .° Todo o grupóide é isomorfo a si mesmo. 2.°

(A, @) ,..., (B, <r» => (B, <r»

3.°

(A, @)

(B, <r» 1\ (B, <r»

,..., (A, @) ,..., (C, ~) => (A, @) ~ (C, ~)

Tente provar estes três factos, aplicando os dois teoremas do número anterior e lembrando que IA é um automorfismo de todo o grupóide (A, e). Em conclusão:

A isomorfia entre grupqides é uma relação de equivalência.

(') Não confundir 'isomorfia' com 'isomorfismo'. Os isomorfismos silo determinadas aplicações entre grup6ides. A isomorfia é uma relação entre grup6ides, que consiste na possibilidade de definir, pelo menos, um isomorfismo entre os dois grup6ides dados.

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aOJ/lPSNDIO DIJ

J/lA'l'IJJ/lA'l'IO~

Assim, em vez de dizer que um grup6ide é isomorfo a outro, poderá dizer-se que os dois grupóides são isomorfos (ver pág. 129,1.° tomo). Como já observá mos no nómero anterior, um isomorfismo f entre dois grupóides funciona como um dicionário que traduz a linguagem do primeiro na linguagem do segundo, e vice-versa, visto que f - 1 também é um isomorfismo do segundo no primeiro. Daqui resulta o seguinte facto muito importante: PRINCIpIO DE ISOMORFIA. Se os grupóides (A, 0) e (B, ~), são isomorfos, todas as propriedades lógicas da operação 0 são verificadas pela operação ~ e reciprocamente. Chamamos propriedades lógicas (ou formais) dum ente qualquer as propriedades desse ente que se podem exprimir integralmente mediante conceitos da lógica. Por exemplo, o facto de duas rectas serem ou não concorrentes é uma propriedade lógica, mas já o facto de duas rectas serem perpendiculares não é uma propriedade lógica; por sua vez, o facto de a perpendicularidade ser uma relação simétrica é uma propriedade lógica dessa relação. Analogamente as propriedades comutativa, associativa, etc., relativas a operações, são propriedades lógicas (ou formais) dessas operações.

o anterior PRINCIpIO DE ISOMORFIA é um teorema que se pode demonstrar na sua máxima generalidade. Limitar-nos-emos a verificá-lo aqui em alguns casos particulares, para dar uma ideia do seu alcance. Suponhamos que (A, 0) é isomorfo a (B, ~)e que a operação 0 é comutativa; segundo o PRINCIpIO DE ISOMORFIA, a operação ~ também deve ser comutativa. Vamos provar directamente este facto: Designe f um isomorfismo de (A, 0) sobre (B, IJ) (existe um pelo menos; porquê 7). Sejam agora u, v dois elementos quais-

35,

Compêndio de Matemática, 1º Volume, 2º Tomo, Capítulo V - OPERAÇÕES BINÁRIAS. GRUPÓIDES

J. SIIBÂ.S'l'IAO 11 SILVA

quer de B ( 1). Então existem x, y E A tais que f(x) (porqu87) Ora

x0 y Logo f(x 0 y) = f(y 0 x)

=y 0 x

= u,

f(y)

= v.

(Porquê?)

e, portanto:

f(x) <li f(y) = f(y) <li f(x)

(Porquê?)

ou seja u <li v = v <li u. Isto prova que <li é comutativa. (Porquê?) Como exerclcio, prove o seguinte corolário do anterior princípio: Se dois grupóides são isomorfos, e um deles é um semigrupo, o outro também é um semigrupo.

Prove agora o seguinte facto, deveras interessante:

PRINCIpIO DA DUALIDADE LÓGICA, quer para valores lógicos (Cap. 1, n.O 13), quer para conjuntos (Cap. 11, n.O 11), é um corolário do PRINCIpIO DE ISOMORFIA.

o facto

de duas operações 0 e <li terem exactamente as mesmas propriedades formais, exprime-se dizendo que os grupóides (A, 0) e (B, <li) têm a mesma estrutura. Assim, o PRINCIpIO DE ISOMOR FIA podia enunciar-se do seguinte modo: Se dois grupóides são isomorfos, têm a mesma estrutura.

O mais curioso é que a recíproca desta proposição também é verdadeira. Se dois grupóides têm a mesma estrutura, são isomorfos.

(1)

Convém desenhar um diagrama a representar A, B, u, v, etc.

Compêndio de Matemática, 1º Volume, 2º Tomo, Capítulo V - OPERAÇÕES BINÁRIAS. GRUPÓIDES

OOMPaNDIO DII MA'l'IIMA.'l'IOA

Por conseguinte:

Dizer que dois grup6ides são isomorfos equivale a dizer que tem a mesma estrutura. EXERCrCIOS: I. Seja @. = qJ (U), onde U é um universo qualquer. Prove que os grup6ides (@., () e (@., u) são isomorfos. 11.

Seja f = (xv x + 1) em IR. Prove que o grup6ide multipli-

cativo das potências f, 12, ... , fn, ... de expoente natural de f é Isomorfo a IN (chamando multiplicação à composição de funções). 111. Prove que os grup6ides aditivos IN e IN o não são isomorfos, atendendo à seguinte propriedade válida em IN :

"ri a, b: a + b # a IV. Prove que (I N, +) não é isomorfo a (IN, .) aténdendo à seguinte propriedade válida no primeiro: a =F b ~ 3x V.

: a + x = b V b + x "" a

Prove que (Z, +) não é isomorfo a (IN o, +).

13. Elemento neutro dum grupóide. Consideremos um grup6ide (A, 0) qualquer. Diz-se que um elemento u de A é elemento neutro do grup6ide (ou elemento neutro para a operação 0), sse verifica a condição u0a=a0u=a , "ri aEA

Compêndio de Matemática, 1º Volume, 2º Tomo, Capítulo V - OPERAÇÕES BINÁRIAS. GRUPÓIDES

I. S.B.AS'1'IA.O • SILV.A Por exemplo, os grupóides (IN o,+) e (IN o,·) têm como elementos neutros, respectivamente, os mlmeros O e 1; este é também elemento neutro de (IN, • ), mas já o grupóide (IN,+) não tem elemento neutro. Por sua vez, os grupóides (.I!., 1\) e (.I!., V) têm por elementos neutros, respectivamente, os valores V e F. Também já vimos o que se passa no conjunto 1) (U) de todos os subconjuntos dum universo U: o universo é elemento neutro para a operação ri, enquanto o conjunto vazio é elemento neutro para a operação u. Daqui por diante, designaremos por {f; (U) o conjunto de todas as aplicações dum conjunto U em si mesmo. Já vimos que (J. (U) é um grupóide associativo relativamente à multiplicação (ou composição). Ora, é evidente que a identidade é elemento neutro deste grupóide (ver pág. 199, 1.° tomo). I f

= f I = f,

'ti f E (J. (U)

(É claro que neste caso I é a identidade em U, ou seja lu.) Quanto ao grupóide aditivo H, que baptizámos como 'BAILADO DAS HORAS' (exercfcio V do n.O 10) é fácil ver que também possui elemento neutro. (Qual é?) Já observámos que (IN,+) não tem elemento neutro. Muitos outros exemplos se nos podem apresentar de grupóides sem elemento neutro (procure por si alguns). Mas, um facto se verifica nos exemplos anteriores: é que, quando existe elemento neutro, num grup6ide, existe um s6. Será sempre assim? Suponhamos que u e v são elementos neutros dum grupóide (A, 0). Então, será: u0 v

(Porquê?),

u0 v

(Porqu6?)

donde u = v (Porquê?) Assim, em conclusão:

I 38

Um grup6ide não pode ter mais de um elemento neutro.

Compêndio de Matemática, 1º Volume, 2º Tomo, Capítulo V - OPERAÇÕES BINÁRIAS. GRUPÓIDES

OOIlPaNDIO DII MA7'IIM.f.7'IOA

Nos grupóides aditivos o elemento neutro chama-se, geralmente, elemento nulo (ou zero). Representá-Io-emos, em gera/' pelo sfmbolo (O e, muitas vezes, por O (quando não importa confundir com

o número O). Nos grupóides multiplicativos o elemento neutro chama-se, geralmente, elemento unidade (ou sÓ unidade). Representá-lo-emas.

em gera/' pelo sfmbolo 'I e, muitas vezes, por 1 (quando não fizer mal confundir com o número 1).

14. Elementos opostos num grup6ide com elemento neutro. Seja (A, e) um grupóide com elemento neutro, u. Dado um elemento a de A, diz-se que um elemento a' de A é oposto de a no grupóide, sse verifica a condição

a e a' = a' e a = u

(1 )

Por exemplo, no grupóide (Z, +) todo o elemento a tem oposto, que é -a. Por sua vez, no grupóide (IR, .) todo o elemento a

diferente de zero tem oposto que é 1/a (ou a - 1). Da anterior definição, fórmula (1), deduz-se imediatamente que: I.

Se a é oposto de a', também a' é oposto de a.

Podemos, então, dizer que a e a' são elementos opostos do grupóide (ver pág. 129, 1.° tomo). Também é imediato que:

li. O elemento neutro (quando existe) é oposto de si mesmo. Posto isto:

Num grupóide com elemento neutro, um elemento a diz-se regular, sse existe oposto de a. DEFINiÇÃO.

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J. SIIBAS'1'IAO 11 SILVA EXERCrCIOS: I. Determine os elementos regulares dos grup6ides (I N, +), (IN o, +), (IN, .) e (Z, .).

li. 111.

Idem para os grup6ides (.I!., A) e (.I!., V). Idem para os grup6ides (@., n) e (@., U), sendo @ =

rp (U)

e U qualquer conjunto.

r;.

(U), Consideremos, novamente, o grup6ide multiplicativo sendo U um conjunto qualquer. !: evidente que toda a aplicação biunlvoca f de U sobre si mesmo é regular, tendo por elemento oposto a aplicação inversa; com efeito (ver págs. 199-200, 1.° tomo):

ff- 1

= f-1f = I

Serão esses os únicos elementos regulares do grupóide? Aqui fica esta pergunta como exercicio para os melhores alunos ( 1). Nos exemplos anteriores verifica-se este facto: todo o elemento

regular tem um único oposto. Será sempre assim 7 Seja (A, 0) um grupóide com elemento neutro, u, e suponhamos que a', a* são elementos opostos dum dado elemento a no grup6ide. Consideremos, agora, a expressão a' 0 a 0 a* Por hip6tese, temos a' 0 a = a 0 a* (1 )

= u.

Assim, se for verdade que

a' 0 a 0 ato = (a' 0 a) 0 a* = a' 0 (a 0 a*),

. (1) Observe que, se existe 9 tal que fg = gf = I, então f(g(y» '" y, V Y E U, o que mostra que f é sobrejectiva; por outro lado, tem-se g(f(x» = x, V x E U, e portanto y = f(x) => x .. g(y), V x, Y E U, o que mostra que f é injectiv8.

Compêndio de Matemática, 1º Volume, 2º Tomo, Capítulo V - OPERAÇÕES BINÁRIAS. GRUPÓIDES

OOMP.NDIO Dll MA.'1'llMÁ'1'IOA

virá: a' 0 a 0 a* .. u 0 a* = a' 0 u a*

e, portanto:

= a' (Porquê 1)

Ora, (1) será verdade se o grupóide for associativo. Assim, em conclusão:

Num grupóide associativo (semigrupo) um elemento nunca pode ter mais de um oposto. TEOREMA 1.

Nos grupóides aditivos o oposto dum elemento regular a chama-se, geralmente, o simétrico de a e representa-se por -a.

Como exerclcio, indique os elementos regulares do grupóide 'Bailado das Horas' (n.o 10, exercicio V), bem como os respectivos simétricos. Nos grupóides multiplicativos o oposto dum elemento regular , chama-se, geralmente, o inverso de a e representa-se por a -, (ou 1/a). Teremos, pois, por definição:

aa - 1 = a - , a = 11

a + (- a)

= (- a) + a = (O

e, portanto (propriedade I):

(a-')-' =a

I-(-

a) = a

para todo o elemento regular a dum grupóide, respectivamente multiplicativo ou aditivo. Podemos, agora, generalizar o teorema do Capo IV, n. o 13, em linguagem multiplicativa:

Num semigrupo multiplicativo, . o produto de dois elementos a, b regulares é ainda um elemento regular e tem-se: TEOREMA 2.

(ab)-' = b-'a- 1

Compêndio de Matemática, 1º Volume, 2º Tomo, Capítulo V - OPERAÇÕES BINÁRIAS. GRUPÓIDES

J. SIIBAB'l'lAO li SILVA

Demonstrsç'o:. Sejam a,b elementos regulares dum semigrupo multiplicativo. Então existem a -1, b - 1 e, assim: (ab) (b- 1 a- 1 ) =a(bb- 1 )a- 1 =aa- 1 =11

(Porquê?)

= b - 1 (a - 1 a) b = b - 1 b = 1

(Porquê?)

(b - 1 a - 1) (ab)

Logo, ab é regular e tem-se:

(Porquê?) Traduza este teorema em linguagem aditiva.

15. Divisão em semigrupos multiplicativos. Acabámos de ver o interesse que a propriedade associativa pode ter no estudo de elementos regulares num grup6ide. Para maior comodidade vamos referir-nos aum semigrupo multiplicativo A, com elemento neutro, 1. Consideremos o seguinte problema: Dados dois elementos a, b de A, determinar um elemento x de A

tal que ax = b

(1 )

No caso dos números, este problema tem solução, se a é regular. Vamos pois supor, no caso geral, que a é um elemento regular do semigrupo A. Então, se existe um elemento x de a que verifica (1). tem-se: a- 1 (ax) = a- 1 b Donde: (a -, a)x = a - 1 b

(2) 42

(Porquê?)

(Porquê 1) Portanto: (Porquê?)

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OOMP.NDI0 DlI MA'1'lIMA.'1'10A

Logo, (1) implica (2). Para ver que, reciprocamente, (2) implica (1), basta fazer a substituição de x por a - 1 b em (1). Ora tem-se, efectivamente: a(a- 1 b)

= (aa- 1 )b = b (Porquê?)

Por conseguinte:

Se a é elemento regular do semigrupo multiplicativo A e b um elemento qualquer de A; a equação ax = b tem uma e uma só solução em A, que é dada por TEOREMA 1.

De modo análogo se prova que:

Na mesma hipótese, a equação xa = b tem uma única solução em A dada por x = ba-'

Na referida hipótese, ba- , e a - , b dizem-se respectivamente o quociente de b por a à direita e o quociente de b por a à esquerda. OEFI N I CÃO.

Por sua vez, as operações

são chamadas, respectivamente, divisão à direita e divisão à esquerda (operações inversas da multiplicação).

EXEMPLO.

Seja a

3 43

Compêndio de Matemática, 1º Volume, 2º Tomo, Capítulo V - OPERAÇÕES BINÁRIAS. GRUPÓIDES

I. SIIBAS'l'I.l.O li SILVA

Então a- 1 =

1 2

e ba _1 =

(3 1 2

(1 23) ,

a _1 b =

2 2 3

(1 2~) 1 2

Tem-se, neste caso, a- 1 b i:. ba - 1. Porém:

Se a é regular e permutável com b, também é permutável com b, isto é, a - 1 b = ba - 1 .

TEOREMA 2. a- 1

Demonstração: Seja a regular e permutável com b. Então: aba - 1

= (ab)a -1 = (ba)a - 1 = b(aa - 1) = b

Portanto, aba - 1 vem:

= b.

(Porquê?)

Daqui, multiplicando à esquerda por a - 1,

a- 1 (aba- 1 )

= a- 1 b

Donde:

(Porquê?)

ba- 1 =a- 1 b

DEFINiÇÃO. Se b é regular e permutável com a, o elemento ab- 1 ( = b- 1 a) chama-se quociente de a por b e represents-se por

qualquer das notações: a/b,

a b

a: b

Portanto, em particular, se o semigrupo A é comutativo s divisão à direita coincide com a divisão à esquerda (a multipllcaçAo tem, neste caso, uma única operação inversa). Observe-se que, neste caso, dividir um elemento por outro equivale a multiplicar o primeiro pelo inverso do 8Igundo (em qualquer ordem). Por exemplo, dividir o número 6 por

Vi equivale a multiplicar

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OOMPtfNDIO DID MA'l'IDMA'l'IOA

& por 1!V'2; dividir 2/3 por 3/6 equivale a multiplicar 2/3 por 6/3 (Inverso de 3/5), etc.

Se a, b, c, d são permutáveis entre si e se b, d regulares, tem-se: TEOREMA 3.

(1 )

Demonstração: Suponhamos verificada a hipótese. Então, virá (justifique todas 8S passagens): (ab- 1) (cd- 1) = a (b- 1c) d- 1 = a (cb- 1)d- 1

= (ac) Donde: (a/b) • (cid)

= (ac) I

(b- 1d- 1)

= (ac)

(bd), ou seja (1)

(bd)-1

(Porquê?)

COROLÁRIO 1. Se a, b, c são permutáveis entre si e se b, c S80

regulares, tem-se: -

(Porquê?)

Se a, b, c, d são premutáveis entre si e b, c, d

COROLÁRIO 2. S80

a ac =b bc

regulares, tem-se: a

b ' Cf=

ad bc

ou seja, em notação uniforme: (a/b) / (c/d) = (ad) / (bc)

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/. SlJBAS'l'I.I.O 11 SILVA

Para a demonstraçAo, basta aplicar o teorema 3 e a definiçAo de quociente, notando que (teorema 2 do n.O 14): (c/d)-1

= (cd- 1)-1 = (d- 1)-1c- 1 = dc- 1 = d/c

Todos estes resultados se podem traduzir em linguagem aditiva, mas disso trataremos mais adiante. EXERCrCIOS:

Sendo S

= (~

~ ~ ~)

e T

3 1

calcule os quocientes de S por T à direita e à esquerda.

Sendo cp (x) -

x 3 e tjJ (x)

11. Sendo f(x) x 2 e g(x) 1/(x -1) calcule os quocientes de f por g à direita e à esquerda, chamando 'multiplicação' à composição de funções. 111.

mostre que existe cp/tjJ e

calcule este quociente, chamando 'multiplicação' à composição de funções. IV.

Sendo a

~ ) e b =( ~

2 2

~).

determine

todas as soluções da equação ax = b. Como se explica que esta equação tenha mais de uma solução?

16. Potências de expoente nulo ou negativo. Seja ainda A um semigrupo multiplicativo com elemento neutro. Da propriedade do produto de potências da mesma base (pág. 20) e dos resultados anteriores, deduz-se o seguinte: COROLÁRIO. Se m, n E IN em> n, então: am an =

am- n, para todo o elemento a regulsr de A.

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OOMPIINDIO DlI MÁ'1'lIMA'1'IOA

Demon'treç'o: Suponhamos verificada a hip6tese. Então am = am-n • ano qu8?) Logo am/a n = am-n. (Porqu§7)

(Por-

Para que esta regra se possa estender ao caso m ~ n, é necessário generalizar o conceito de potência ao caso do expoente nulo ou negativo (inteiro). Assim, para que possa ser sempre am/a m = am-m, deveremos admitir, por definição, aO = 11, visto que am/a m = 1 e m - m = O. Teremos, pois: DEFINiÇÃO. aO = 1, se a é regular em A ('). Posto isto, para que possa ser sempre aO/an = ao-n, como aO = 1 e 0- n = - n, deveremos admitir, por definição, a-n = 1/an. Teremos, pois: DEFINiÇÃO. Para todo o n E IN, a-n

= (a n)- 1

= an '

se a é regular em A.

Assim, no caso em que a é um elemento regular de A, fica definido o conceito de potência an, qualquer que seja n E Z (positivo, negativo ou nt,do). E é fácil verificar (como se fez no 4. 0 ano no caso em que a é um número # O) que se mantêm as anteriores propriedades das potências, ao adoptar o novo conceito. EXERCfcIOS. - I. Sendo f e verifique que f-2

= f4,

f- 3 = 13

2 3

~),

calcule f-2, f-3

= 10.

11. Sendo f= (x

x-1), com x E IR, calcule f2, 10, f-', f-2 V e prove que se tem fm = fn, sse m = n, V m, n E Z (chamando 'multiplicação', neste caso, à composição de funções). Prove que o grup6ide das aplicações t n, com n E Z é isomorfo a Z.

(1)

Note-se que não podemos escrever 0° = 1 em Z.

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J. SIIBAS'l'IAO 1J SILVA

NOTA. Quando f é funçAo real, fn também pode designar a função definida pela fórmula fn(x) == [f(x) ]n. Para evitar confusões, designa-se algumas vezes pela notação fon a potência n do operador f no sentido anterior.

17. Radiciação em semigrupos multiplicativos. Continuamos a supor que A é um semigrupo multiplicativo, com elemento neutro 1. Consideremos o seguinte problema: Dados um elemento a de A (qualquer) e um número n

IN,

achar um elemento x de A tal que

xn = a EXEMPLOS - J. Seja n = 2, a = 9. Então o problema tem uma solução única em IN (x = 3) e duas soluções em Z (x 1 = 3, x 2 =-3). 11. Seja n = 2, a = 2. Então o problema não tem solução nenhuma em IN, nem sequer em (Q (conjunto dos números racionais). Mas tem uma solução única em IR+, que é um número irracional representável por uma dízima infinita não periódica, e tem duas soluções simétricas em IR (ver Compêndio de Algebra, 6. 0 ano, Capo I, n. os 16, 18, 25 e Apêndice 1)( 1). IIJ. Seja n = 2, a = - 9. Neste caso o problema não tem solução em IR. (Porquê 1) IV. Seja, agora, A o semigrupo das aplicações do conjunto { 1, 2, 3, 4, 6 } em si mesmo. Tomemos então n = 3 e

a = (:

( 1) Refere-se o autor ao Compêndio de ÃIgebf8 aprovado ao tempo, podendo hoje ser consultados diversos livros que tratam do a88unto (N. do E.).

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OOMPaND10 DII MA'I'IIMA'I'IOA

Neste caso, é fácil observar que o problema tem 9 soluções, entre 8S quais:

1 2 3 4 5 6) ( 2 3 4 5 6 1

= a,

x3 =

(1 23456) 6 1 2 3 4 5

Qualquer solução x da equação XO = a (se existe pIlo menos uma em A) é chamada raiz de Indice n de a. Se existe uma única solução dessa equação em A, representá-Ia-emos por DEFINiÇÃO.

°-

n ...-

Va.

Neste caso a expressão lia chama-se radical (a, o radicando;

n o Indice da raiz) e a operação (n,

a)v"v'a é

chamada radiciação.

Ter-se-á pois, por definição, neste último caso:

"Va- =

(x" = a)

(0Va-)" = a

e portanto

Verifica-se este caso se A = IR+, quaisquer que sejam a EA e n E IN (ver Compêndio de Algebra, 6.° ano, Capo I, n.O 25; para a hipótese A = IR, ver Capo 111, n.O 1) (1). 18. Potências de expoente fraccionário. Seja ainda A um lemigrupo multiplicativo com elemento neutro, 1. Da propriedade relativa ao produto de potências da mesma base reduz-se o seguinte COROLÁRIO:

(am)O = amo, V a EA; m, n E IN.

Demonstração: Tem-se: Cn vezes) ,

Cn vezes) "

•• • (a m)" = am •...• am = am+· ... ·+m = amo •

Esta propriedade generaliza-se facilmente ao caso em que m,n são elementos quaisquer de Z. Suponhamos agora verificada a seguinte

Quaisquer que sejam a E A e n E IN, a equação a tem uma solução única em A.

HIPÚTESE: XO =

(1)

Ver nota da pág. 48.

49 eM

U-4

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I. BIIBAB'l'II.O 11 IIILV A Segundo a definiçllo anterior essa soluçA0 é representada por n-

Va.

A hipótese verifica-se, por exemplo, quando A = IR+. Posto isto, sejam m,n dois números naturais quaisquer e designemos por r o número racional m/no Se m não é múltiplo de n, r é um número fraccionário. Que significado atribuir então ao slmbolo ar 7 O significado deve ser tal que se mantenham as anteriores propriedades das potências. Assim, em particular, deverá ser {ar)n = arn e, como r = m/n, virá sucessivamente rn = m, {ar)n = am

n -

\Iam

e portanto ar =

(Porquê?)

Deveremos, pois, adoptar a seguinte DEFINiÇÃO: . m

=Va m ,

'tIaEA ; m,nEIN

É fácil ver, como se fez no 4. 0 ano ( 1), que o valor da potênci~

de expoente m/n de a dado por esta definição é único, isto é, que: m m

_ =_

= a n'

Em particular, se m/n é inteiro, o valor obtido é a potência usual. Mais ainda, pode verificar-se que todas as anteriores propriedades das potências se mantêm, com a referida definição. Finalmente, se a é regular em

define-se potência de expoente

fraccionário negativo, como se fez para o expoente inteiro negativo:

m n

= a m/ n = nva m

'ti a

A ; m,n

E mais uma vez se verifica que as propriedades das potências se mantêm com a nova definição.

(1)

Corresponde ao actual 2.° ano do ensino secundário (N. do E.).

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OOMPllNDIO DB MATBMÁTIOA

Conceito de grupo; grupos de aplicações. Chama-se grupo qualquer grup6ide associativo (A, 0), que tenha elemento neutro e em que todo o elemento a seja regular (1). Assim, por definição, todo o grupo será um semigrupo (grupóide associativo), mas nem todo o semigrupo será um grupo. Por exemplo, Z é um grupo (comutativo) relativamente à adição, mas não é um grupo relativamente à multiplicação (embora seja um lemigrupo multiplicativo). Por sua vez, (Q+ (conjunto dos números racionais positivos) é um grupo relativamente à multiplicação, mas nAo relativamente à adição. (Porquê?) Finalmente (Q (ou IR) é um grupo aditivo, mas não um grupo multiplicativo. (Porquê?) Da definição e do teorema 1 do n.O 15 (2), resulta imediatamente o seguinte: 19.

Se (A, 0) é um grupo, cada uma das equações

a 0 x = b, y 0 a = b, t6m uma solução única em A, quaisquer que sejam a, b

Exprime-se este facto dizendo que a operação 0 é reversível. Posto isto, chama-se grupo de aplicações todo o grupóide

de aplicações biunívocas dum conjunto U sobre si mesmo que verifique as duas seguintes condições:

1) I E{j; 2) . se f E {j, também f - 1

{j.

Imediatamente se reconhece que, nesta hipótese,

{j é

de facto um

grupo, segundo a definição geral anterior. Em particular, será um grupo o conjunto de todas as aplicações biunlvocas de U sobre si mesmo (grupo simétrico ou grupo total sobre U). OUTROS EXEMPLOS E EXERCíCIOS:

I. . Verifique se o grupóide aditivo H (Bailado das Horas) é ou não um grupo.

(') Subentende-se que o conjunto A não é vazio. (2) Este teorema foi .enunciado e demonstrado em linguagem multiplicativa, mas a sua tradução para um grupóide (A, 0) qu'alquer não oferece dificuldade.

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J. SlIBAS'1'1.tO 11 SILVA 3

11.

Consideremos um trlAngulo

equilátero de vértices 1, 2, 3. Os deslocamentos do plano (1) que aplicam este triângulo sobre si mesmo são, como é fácil ver, as simetrias em relação às medianas do triângulo

1~------------~------~

e as rotações de 120°, 240° e 360°

em torno do centro. Estes deslocamentos são definidos pelas seguintes aplicações:

G~:) G~~) (:

G:~), G:~)' ~~) (: ~ :)

que formam o grupo simétrico sobre { 1, 2, 3}. 111. Consideremos um quadrado de vértices 1, 2, 3, 4. Os deslocamentos que aplicam este quadrado 3~----~~----~2 , I / sobre si mesmo são dados pelas se, I / " I / guintes aplicações: , I / "

2 3

1 4

3 2

2 3

I I

'1/

1--- - - - -)~,------'

/ 1 , '/1' /1' / I '

4 3

2 1

2 3

3 4

4 1

2 3

que formam um subgrupo do grupo simétrico sobre {1, 2, 3, 4} (grupo do quadrado).

(')

Usamos aqui a palavra 'deslocamento' no sentido intuitivo usual.

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OOJlPaNDIO DBI JlA'1'BlJlA'1'IOA

IV·. Determine o grupo do rectlngulo e o grupo do losBngo a seguir representados, definindo cada elemento do grupo por uma aplicação de {1, 2, 3, 4} (subgrupos do grupo do quadrado).

2 I I

r--------+-------I I I

Mostre que estes dois grupos são isomorfos. V*. Quantos elementos tem o grupo do tetraedro regular? E o grupo do octaedro regular? VI*. Imagine um mosaico formado por octógonos e quadrados a cobrir todo o plano. Os deslocamentos do plano que não alteram este mosaico formam um grupo infinito. Indique alguns desses deslocamentos não incluídos no grupo do quadrado de vértices 1, 2, 3, 4.

12 10 9

8 4

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I. BIIBAB'l'lAO 11 SILVA

VII*. Demonstre que os automorfismos dum grupóideformam um grupo. Verifique que o grupo dos automorfismos do grupóide (A, 0) considerado no exemplo inicial do n.O 4 é isomorfo ao grupo

do triângulo equilátero. NOTA.

A teoria dos grupos aplica-se em vários domínios da

matemática e da física, e ainda em química, cristalografia, etc.

Foi

o grande matemático francês Evaristo Galois quem primeiro pôs em evidência a importância do conceito de grupo de transformações, ao estudar o problema da resolubilidade algébrica de equações (ver Compêndio Capo XXI)( 1).

20.

de Algebra, 7.° ano,

NOTA HISTÚRICA do

Quase-grupos; quadrados latinos*.

Chama-se quase-

-grupo todo o grupoide (A, 0) cuja operação 0 é reversível, isto é, tal que cada uma das equações

a0x=b , y0a=b tem uma solução única em A, quaisquer que sejam a, b

A ( 2). É óbvio que todo o grupo é um quase-grupo, mas .a recíproca não é verdadeira. Por exemplo, facilmente se reconhece que o grupóide considerado no exemplo inicial do n.O 4 é um quase-grupo comutativo, mas não um grupo, pois não tem elemento neutro. Analogamente, se designarmos por 11) a operação que faz corresponder a cada par (a, b) de pontos do espaço ordinário E o ponto c tal que b é o ponto médio do segmento ac, vê-se que (E, 11» é um quase-grupo não comutativo. Tem -se, porém:

(') (2)

Ver nota da pág. 48. Subentende-se que o conjunto A não é vazio.

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OOMP.NDIO DII JlA'1'1J1MA!l'IOA

TEOREMA.

Um quase-grupo

t§

um grupo, sse for associativo.

Demonstração: Seja (A, 0) um quase-grupo. Se (A, 0) é um grupo, então é associativo (por definição de grupo). Suponhamos agora, reciprocamente, que (A, 0) é associativo e seja c um elemento qualquer de A. Então existe um elemento u de A tal que c 0 u =c. (Porquê 7) Vamos provar que se tem a 0 u = a, 'ri a E A. Com efeito, dado arbitrariamente a E A, existe b tal que b 0 c = a (porquê 1) e, assim: a 0 u = (b 0 c) 0 u = b 0 (c 0 u) = b 0 c = a Analogamente, se prova a existência de um elemento v de A tal que v 0 a = a, 'ri a E A. Então, será v 0 u = u, v 0 u = v e, portanto, u = v, o que prova a existência do elemento neutro em (A, 0). Finalmente, .para cada elemento a de A existe um elemento a' de A tal que a 0 a' = u e um elemento a* tal que a* 0 a = u; e mais uma vez se prova (como no n.O 14) que a' = a*. Logo, todo o elemento de A

é regular e portanto (A, 0) é um grupo q.e.d. Verifica-se, pois, a seguinte hierarquia entre os conceitos de grupóide, semigrupo, quase-grupo e grupo:

grupóides

Existem grupóides que não s&o semigrupos nem quase-grupos. Tal

é, por exemplo, o grupóide (.12., => ), que já vimos não ser comutativo

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I. SIIBAS'l'lAO 11 SILVA

nem associativo e em que a equaçAo (x => V) = F nAo tem soluçA0. Outro exemplo: seja A = IN e designemos por P a operação (a, b) V ab (potenciação) isto é, ponhamos a Pb = ab , 'ti a, b

IN; então (IN, P)

é um grupóide, mas facilmente se reconhece que P não é associativa, nem comutativa, nem reversível.

• Já sabemos que a operação dum grupóide finito (não excessivamente numeroso) pode ser dada por uma tabela de duas entradas (ver exemplos dos n. os 4 e 10). Consideremos, por exemplo, a operação

ep definida pela tabela junta.

x cp y

-x

O conjunto {a, b, c, d}, munido da operação ep, é manifestamente um grupóide. Note-se, por outro lado, que ascorresponb cp y, y c cp y, y d cp y são, respectivadências yva cp y, y . V V V mente, as aplicações

(: : : :). (: : : :). (: : : :). (: : : :) 56

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OOMP.NDIO DII MA!I'IIJMA!I'IOA.

tod" blunlvocBs. Analogamente, as correspondências X v X cp b, X v X cp c, X v X cp d são as aplicações

X v X cp

(: : : :), (: : : :), (: : : :), (: : : :) também todas biunlvocas. Ora isto significa, por um lado, que, no quadro dos resultados da operação, cada um dos elementos do conjunto figura uma única vez em cada linha e uma única vez em cada coluna; e significa, por outro lado, que a operação é reverslvel e, portanto, o grupóide é um quase-grupo.

Chama-se quadrado latino todo o quadro, como o anterior, formado por símbolos dispostos num certo número de linhas e num igual número de colunas, de tal modo que cada um dos elementos designados por esses símbolos seja indicado uma única vez em cada linha e uma única vez em cada coluna. Em todas as tabelas dos quase-grupos atrás referidos vemos quadrados latinos (os quadros dos resultados). Será sempre assim?

E a recIproca será também verdadeira? Aqui fica o seguinte problema para os melhores alunos:

Provar que o grup6ide definido por uma tabela é um quase-grupo, se e s6 se o quadro dos resultados for um quadrado latino.

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I. S1IBAS'1'IAO 11 SILVA Sugestão: provar primeiro que, num grupóide (A, 0) a operaçAo

é reverslvel, sse são verificadas as duas condições: . 1) para todo o Xo E A, a correspondência y Xo 0 Y é uma aplicação biunlvoca V de A sobre A;

para todo o Yo E A, a correspondência x x 0 Y

. é uma aplicação biunívoca de A sobre A. NOTA.

A teoria dos quadrados latinos (e, portanto, a dos quase-grupos)

é fundamental em métodos estatísticos, relativos ao planeamento de experiências ciêntífícas (no campo da biologia, da medicina, da agronomia, etc.). A teoria dos quase-grupos tem, ainda, outras aplicações.

Módulos. ·· Chama-se módulo todo o grupo aditivo, em que a adição é comutativa. Por exemplo, são módulos os conjuntos 21.

Z, (O e IR (relativamente à adição usual), mas não os conjuntos IN, (0+ e IR+ (estes são apenas semimódulos). Outro exemplo de módulo é o grupóide a que chamá mos 'Bailado das Horas'. Por tradução dá linguagem multiplicativa em linguagem aditiva os teoremas e definições dos n.O S 14, 15 e 16 fornecem vários teoremas e definições em módulos. Assim, seja M um módulo. Então, dados dois elementos a,b quaisquer de M existe sempre um e um só elemento x de M tal que a+x=x+a=b

e que é x = b + (-a). Este elemento chama-se diferença entreb e

a e representa-se por b-a; em particular -a =

(b,a)

. V

(O -

b-a chama-se subtracção (b o aditivo e

· .

a. A operação

a o subtractivo) .

Assim, subtrair a um elemento outro elemento equivale a adicionar ao primeiro o simétrico do segundo. Por exemplo, subtrair a 5 o número 7 equivale a adicionar a 5 o número -7. Por sua vez, do teorema 2 do n. ° 14, vem: -(a+b) = (-a) + (-b) = - a-b,

"fi a, bEM.

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OOMP"NDIO DID MA'I'IDMA.'l'IOA

Por outro lado, a noçAo de 'pot8ncis an' dá lugar à noçAo de 'produto na', para todo o n E Z e a E M. Como '1' se traduz por '(0' e 'inverso' por 'simétrico', teremos:

I o· a = (O I (DEFINiÇÃO) por I(-n)a=-(na) I (DEFINiÇÃO)

aO = 1 traduz-se por a- n =(a n)-1 traduz-se

Por sua vez as propriedades das potências

traduzem-se, respectivamente, nas seguintes:

(m+n)a = ma + na

(distributividade à esquerda)

n(a+b) = na + nb

(distributividade à direita)

m(na) = (mn)a

(associatividade)

sendo m,n elementos quaisquer de Z e a,b elementos quaisquer de M.' NOTA:

Não esquecer que, na propriedade 2), intervém a comutatividade

da adição (ver teorema 11 do n. O 9).

Em particular M pode ser o próprio módulo Z. Neste caso, as definições

. O • a = O,

(-n)a = - (na)

fornecem as regras usuais da multiplicação em Z. Por exemplo: (-3) x 5 = - (3 x 5) = - 15,

(-3) x (-5) = - [3 x (-5)] = - (-15) = 15, etc.

Compêndio de Matemática, 1º Volume, 2º Tomo, Capítulo V - OPERAÇÕES BINÁRIAS. GRUPÓIDES

I. '.B.J.''l'/~O • 'ILV.J.

Estas regr8s foram, pois, escolhidas de modo que se mantivessem as propriedades anteriores, em especial a distributividade.

22. Potências de expoente irracional dum número positivo (estudo intuitivo). A teoria dos números reais será feita com rigor num outro capítulo. Entretanto, convém introdu~ir mais algumas noções referentes a números reais, de modo intuitivo, como se tem feito em anos anteriores. Só mais tarde trataremos de as apresentar com rigor. Em tudo o que se segue, vamos supor que a é um número real> O (isto é, a E IR+) e diferente de 1. Posto isto, demonstra-se o seguinte teorema (1):

Se r > s, tem-se ar > aS ou ar <

as,

conforme a > 1 ou a < 1.

Mais sugestivamente, este facto pode ser assim enunciado:

Quando o expoente duma potência aX aumenta, a potência aumenta se a > 1 e diminui se a < 1. Estamos aqui a supor que x só toma valores racionais (positivos, negativos ou nulo), pois que, até agora, s6 definimos 'poMncia de expoente racional'. Pois bem, a noção de potência de expoente irracional de a deverá ser definida de modo que 8 proprl,dadtJ anterior

continue a ser verdadeira. Consideremos, por exemplo, a expressA0 10V\ atribuir-lhe? O número

Que significado

V3 é irracional; mas nós sabemos achar tantos algaris-

(') A demonstração, dispensável neltl fll' Intultlvl, pod.r. IIr vista no Compêndio de Algebra, 7. o ano, Capo XII, n. O 2 - (V.r notl di p.g. 48 - N. do E.)

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OOJlPaNDIO DB JlA'l'BJlA'l'lOA.

mos decimais, quantos quisermos, da dizima infinita que representa este número. Assim, até li 5. a ordem decimal, temos:

V3 = 1,73205 ... Esta dizima fornece uma sucessão de valores aproximados por defeito e uma sucessão de valores aproximados por excesso do número irracional V3:

(1)

1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205;

(1') 1,8; 1,74; 1,733; 1,7321; 1,73206; A cada uma destas sucessões vai corresponder uma sucessão de potências de 1O de expoente racional'

(2)

10 1,7, 10 1 ,73, 10 1 ,732, 10 1 ,7320, 10 1 ,73205,

(2')

10 1 ,8, 10 1 ,74, 10 1 ,733, 10 1 ,7321, 10 1 ,73206,

Como se trata de expoentes racionais, já conhecemos o signi-' ficado destas expressões. Por exemplo ( 1) :

10 1,732 = 10

1732 1000

10~0 /

1732

- V 10

Ora, cada termo da sucessão (1) é inferior (ou igual) ao termo seguinte. Logo, em virtude da propriedade anterior, o mesmo acontece com a sucessão (2). Por sua vez, cada termo da sucessão (1') é superior (ou igual) ao termo seguinte e, portanto, o mesmo acontece com a sucessão (2').

(') Sobre a maneira de calcular estas expressões, ver a NOTA no fim deste número.

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J. S1DBAS'1'lAO 1D SILVA

Mas V3 é superior a todos os termos da sucessão (1) e inferior a todos os termos da sucessão (1'):

1,7 < 1,73 < 1,732 < ... <

< ... < 1,733 < 1,74 < 1,8

Logo, para que continue a ser válida a referida propriedade, o V3 valor de 10 deverá ser um número superior a todos os termos da sucessão (2) e inferior a todos os termos da sucessão (2'), isto é:

10',7 < 10 1,73 < ... < 10";3 <

.,. < 10 1,74 <101,8

Mas, prova-se que existe um único número real L nestas condições, isto é, compreendido entre as duas sucessões, porque a diferença entre os termos da segunda e os da primeira se pode tornar inferior a qualquer unidade decimal, isto é, inferior a 0,1, a 0,01, a 0,001, etc. Logo, 101/3 s6 pode ser esse número L. Tomaremos, pois: 10";3 = L

(por definição).

No seguinte quadro indicam-se os sucessivos valores de 1O{"3, por defeito e por excesso, correspondentes aos valores aproximados de

considerados:

x 1,7 1,73 1,732 1,7320 1,73205

10x 50,119 53,103 53,951 53,951 53,957

x ... ... ... ... ...

1,8 1,74 1,733 1,7321 1,73206

10x 63,095 54,955 54,0815 53,963 53,958

... ... ... ... ...

Como se vê, tem-se 53,~57 < 10V3 < 63,958 • nlo sabemos ainda, ao certo, se o algarismo das milésimas, da dizima representativa 62

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OOMP.NDIO DII MA'l'IIMA!l'IOA

dá 10V-"3, é 7 ou 8. Só ficamos, portanto, a conhecer essa dizima, por enquanto, até à ordem das centésimas:

10 V3

53,95

Se quiséssemos determinar outros algarismos dessa dízima, terra mos de tomar valores de x mais próximos de Y3 e calcular os valores correspondentes de 10x, com mais algarismos decimais. Posto isto, as considerações que fizemos para a expressão 10

entendem-se, mutatis mutandis, para qualquer expressão da forma aU em que

a é um número positivo diferente de 1 e u

número

irracional positivo. Se a < 1, a única diferença essencial está em que os valores aproximados da potência variam em sentido inverso dos valores do expoente, segundo a propriedade anterior. Finalmente, se u é um número irracional negativo, o seu simétrico, u' = u, é um número positivo, e definiremos a potência aU como se fez para o caso dos números racionais negativos:

aU = a- u NOTA.

1 aU

= - .

O cálculo dos valores de a X para valores racionais de x obriga a

fazer extracções de raiz de índices cada vez maiores, o que se torna muito laborioso por processos elementares. Havemos de ver mais tarde que, para o cálculo de sucessivos valores aproximados, poderlamos limitar-nos a sucessivas extracções de raiz quadrada. Por outro lado, veremos também como o uso de tábuas de logaritmos permite obter rapidamente raízes de qualquer Indice, porém com um grau do aproximação limitado pelo número de decimais de tábua utilizada.

Função exponencial de base a. Continuamos a supor que a é um número positivo diferente de 1. Com as definições ante23.

riores, a função xVax (função · exponencial de base a) acabou por ser estendida ao conjunto IR de todos os números reais. Recordemos que esta função, primeiro definida em IN, tinha sido estendida a Z

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J. SIIBÃS'l'IAO 11 SILVÃ (ver n.O 16) e depois 8 (Q (ver n.O 18). Por exemplo, com tem-se em Z a função: .. o, -n,

... , -3, -2, -1,

I t

..., 2"1 ' •. o, •

1 8 '

1 4'

O, 1, 2, 3,

It tI tI

"' OI

a - 2,

11 1

1 1, 2, 4, 8, 2'

o •• ,

2", ...

Passando depois a (Q, tem-se, por exemplo, no intervalo [2,3]:

2,1

2,2

2,3

2,9

1 1?;-

1?;_ 1?; 1?; 22 23 21 Y2

y2 29

1 8

e, analogamente, para outros expoentes racionais. Finalmente, passa-se a IR, como foi indicado no número anterior. Então 2x (ou mais geralmente aX ) passa a representar uma aplicação do conjunto IR no conjunto IR +, visto que, como se vê, os valores das potências de a

são sempre números positivos. Mais ainda, prova-se que todas as propriedades usuais das potências se mantêm com a definição de potência de expoente irracional. Assim, tem-se:

li. aU • b u = (ab)U 111. (aU)V == aUV

'fi u,

V E

IR; a, b E IR+

Finalmente, prova-se que é mantida, efectivamente, a propriedade indicada no número anterior, que serviu de fundamento à definição de potência de expoente irracional. Essa propriedade pode, agora, enunciar-se do seguinte modo: A função ax é crescente ou decrescente conforme a ou 64

a< 1.

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CJOMPSNDIO DII MÁ'1'I1MA'1'ICJÁ ~ claro que também podemos definir aX com a = 1. Mas, neste

caso, tem-se aX = 1, 'fi x E IR. Quanto à representação gráfica destas funções, ver Compêndio de Algebra, 7. 0 ano, pág. 238 ( ').

24. Função logaritmica na base a. Continuamos a supor a positivo =1= 1. Já vimos que a expressão aX representa uma aplicação de IR em IR+. Ora, essa aplicação é bijectiva, isto é, uma aplicação biunlvoca de IR sobre IR+. É isto o que se afirma no seguinte TEOREMA: Para todo o número positivo y, existe um (e um s6) número real x, tal que (supondo a > 0, a

aX = y

=1=

O mesmo pode ser expresso simbolicamente como se segue: 'fi Y E IR+, 3 ' x

IR: aX = y

Para dar uma ideia de como se pode demonstrar este teorema, suponhamos, por exemplo, a = 10, y = 2. Procura-se, pois, um número x tal que (1 )

10 X = a Comecemos por notar que

Então deverá ser 10°

°< x <

10x

10 " em virtude de (1), e portanto

1. (Porquê?) Experimentando, agora, os expoentes 0,1; 0,2; ... 0,9, vê-se que

10 0, 3 < 2 < 1 0°,4 (1)

Ver nota da pág. 48.

65 CMII-S

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J. SIIBAS'1'IAO 11 SILVA

Para o reconhecer, basta elevar os três membros ê 10.· potência, o que dá 1000 < 2 1° (= 1024) < 1O 000 Então, deverá ser 10 O, 3 < 1Ox < 10 o, 4 e, portanto: 0,3< x< 0,4 Experimentando, agora, os expoentes 0,31 í 0,32, ... vê-se, de modo análogo, que 10°,3°< 2< 10 0,3t e, portanto: 0,30 < x < 0,31 Procedendo assim, sucessivamente, podemos determinar tantos algarismos, quantos quisermos, duma dizima infinita 0,30103 ... , que representa um número real À. Ora, segundo as considerações do n.O 23, atendendo a que a função exponencial de base 10 é crescente (n. o 24), a potência 1(}À deverá estar situada entre os termos das duas sucessões: 10°,3, 100,30, 10°,301, 10°,301°, 10°,30103, 100,4, 100,31, 10°,302, 10°,3011, 10°,30104, Mas, o número 2 também está situado entre as duas sucessões.

Como só pode haver um número nessa situação, terá de ser, portanto:

Portanto, o número x procurado existe e só pode ser: À

= 0,30103 ...

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OOltlPt!JNDIO DS ltIA'l'SltlA.'l'IO.A.

o teorema

torna licita a seguinte

DEFINiÇÃO: Chama-s8 logaritmo dum número positivo y na base a (positiva :f: 1) o número real x tal que

aX = y Escreve-se, então: x

= logaY,

isto é, logaY

= tx(a X = V) .

Em conclusão: A expressão aX define uma aplicação biunlvoca de IR sobre IR+ cuja inversa é a função Ioga. Ter-se-á pois (n. o 12, pág. 199, 1.° tomo):

Por exemplo, tem-se: log4 64 1

log 9 3

= 3,

visto que 4 3

. = - O, 5 , Visto

que

-0,5

= 64 1 1 = -= = -3-

v'9

Nestes exemplos, o logaritmo é um número racional. Porém, os casos mais frequentes e de maior interesse são aqueles em que o logaritmo é um número irracional. Por exemplo, prova-se que log,02 (atrás considerado) é um número irracional, e analogamente para o logaritmo na base 10 de qualquer outro número inteiro que não seja uma potência de expoente inteiro de 10. Notemos, ainda, o seguinte facto: por ser sempre aO

= 1,

= a, 67

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J. SIDBAS'l'lA.O 1D SILVA

tem-se, em virtude da definição: IIog a1

= O;

logaa

isto é: o logaritmo de 1 é zero e o logaritmo da base é 1, qualquer que seja a base . • Designemos, agora, por f a função exponencial de base a, isto é, ponhamos: f(x)

=aX

(em IR)

Então f é uma aplicação biunívoca de IR sobre IR+ e a propriedade aU+ v = aUa V escreve-se: f(u+v) = f(u) • f (v), 'V u, V

IR.

Ora, estes factos exprimem-se dizendo (n.os 10 e 11):

lx é um isomorfismo do grupo aditivo

A função exponencial x"-..

IR sobre o grupo multiplicativo IR+ . Assim, esta função traduz toda a linguagem aditiva de IR na linguagem multiplicativa de IR+. Por sua vez, do teorema I do n.O 11 e do que precede, resulta imediatamente: A função Ioga é um isomorfismo do grupo multiplicativo IR+ no grupo aditivo IR.

Assim, a função logarítmica traduz toda a linguagem multiplicativa de IR+ na linguagem aditiva de IR:

Ioga

v = loga u -

10gauV = v Ioga u

logav

'V u, v e IR+

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OOMPlbNDIO DBl MA'l'BlMA'l'IOA

Para complementos e exerclcios sobre a função logarltmica (excepto no que se refere a limites e continuidade), ver Compêndio de Algebra, 7.° ano, Capo XII, n.O S 9 e seguintes (1). Sobre logaritmos decimais, ver Capo XXIII do mesmo Compêndio.

(' )

Ver nota da pág. 48.

Compêndio de Matemática, 1º Volume, 2º Tomo, Capítulo V - OPERAÇÕES BINÁRIAS. GRUPÓIDES

índice Caprtulo V. 1. 2.

OPERAÇOES BINÁRIAS. GRUPOIDES

Plgs.

Expressões designatórias e operações..................... Os conceitos de restrição e extensão para funções de mais "de uma variável. . . . .. .. .. . . . .. .. . . .. . . . . .. .. . . .. .. .. .. .. .. . . . .. .. . . .. Operações binárias de domfnio finito.. . • . . . . . • • • • . . • . • • . . Grupoides........................................... Conceito de subgrupoide............................... Grupoides comutativos e grupoides associativos ou (semigrupos) Linguagem' aditiva e linguagem multiplicativa.............. Operações iteradas. Propriedades comutativa e associativa generalizadas. . • • . . . . . . . • • . . . . • . . . . . . • . • . . . . . . . . . . . . . . . • . Múltiplos e potências.................................. Isomorfismos entre grupoides . . . . . • . • • • • • • • • • • . • . • • . • • . • Teoremas sobre isomorfismos • • • • • . . . . • • • • . . . . • • • • • . • . . . Grupoides isomorfos ..•..•••.•......•................. Elemento neutro dum grupoide........... . . . . . . . . . . . . . . . Elementos opostos num grupoide com elemento neutro. . • . . • Divisão em semigrupos multiplicativos. . • . . • . . . . . . • • • • • • . . Potências de expoente nulo ou negativo.................. Radiciação em semigrupos multiplicativos................. Potências de expoente fraccionário....... . . . . . . . . • • . . . . . . Conceito de grupo; grupos de aplicações......... . . . . . . • . Quase-grupos; quadrados latinos .•....•.•••..•..•••...••

17 20 22 31 34 37 39 42 46 48 49 51 54

21. Módulos........................................................................................

3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 22.

10 11 12 13 14 16

Potências de expoente irracional dum número positivo (estudo IntuitivO) .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..

23. 24.

Função exponencial de base 8 Função logarrtmica na base 8

.....•....•..••.•....•••• •.........•.•...••••••••••

60 63 65

Capftulo VI. ANr;IS E CORPOS. NÚMEROS COMPLEXOS. ÀLGEBRAS DE BOOLE

1. Conceito de anel .. . . . . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. . .. .. .. . . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. ..

2. Ilomorfllmol entre anei...............................................................

301

Compêndio de Matemática, 1º Volume, 2º Tomo, Capítulo V - OPERAÇÕES BINÁRIAS. GRUPÓIDES

J. SEBASTIÃO E SILV.A. psgs.

3. Cálculo algébrico num anel comutativo; operações sobre polin6mios. . .. . . .. .. .. .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. • . . • . . • . . . . . . . .

Anéis de polinómios.......................... . .. . ..... Divisão por polinómios do tipo x -IX; raizes dum polinómio Elementos regulares e divisores de zero num anel .......... Conceito de cqrpo...................................... Generalidades sobre equações relativas a corpos .......... Equações lineares com uma incógnita.......... . ......... Equações do 2.° grau com uma incógnita................ Resolução e discussão das equações quadráticas...... . .... Caracterlstica dum corpo............................... Equações quadráticas no corpo IR.. . ...... . ... .. ........ Estudo das funções quadráticas em IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistemas de equações . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistemas de equações lineares.......................... Determinantes de 2.& ordem e sua aplicação.............. Interpretação geométrica dos resultados anteriores em IR2; paralelismo e coincidência de rectas......... . ... . ..... .. .. 19. Equações paramétricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20. Resolução e discussão de problemas concretos por meio de

85 87 91 93 96 99 101 105 109 110 113 118 122 129

equaçoes . . . . . .. . . . . .. . .. . . .. .. . . .. .. . .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. ..

135 136

4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11 . 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.

21.

Equações do 3. 0 grau . . . .. . . . .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. ..

132 132

Criação do corpo complexo............. . ............... Representação geométrica dos números complexos...... . . . . Equações quadráticas e equações cúbicas no corpo complexo Imaginários de Galois........ . ......................... Produtos de factores lineares; fórmula do binómio . . . . . . . . . . . Decomposição dum polinómio em factores lineares; relações entre as raizes e os coeficientes do polinómio............. 28. Principios das identidades; tactorização dum polinómio num corpo qualquer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29. Resolubilidade algébrica e resolução numérica de equações

142 152 154 159 163

algébricas . . . .. .. . . .. . . .. . .. .. . . . .. .. . . . . . . . .. .. .. .. .. .. .. .. . . . .. .. .. . .

172

30. Exemplo dum anel não comutativo (a álgebra dos quaterniões) 31. Corpos de funções racionais .. .. . ............. . ..... . ...

174 176

32. 33.

182 184

22. 23. 24. 25. 26. 27.

Funções homográficas . .. .. . .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. Álgebras de BaoJe .......................... ,. .................... ,. ................... "

166 169

Capitulo VII. INTRODUÇÃO À ESTATlsTICA E AO CÁLCULO DAS PROBABILIDADES 1. Lógica de atributos e lógica de conjuntos................ 2. Terminologia e notações............................... 3. Frequência absoluta de um atributo numa populaçllo . . • • • . •

302

197 199

200

Compêndio de Matemática, 1º Volume, 2º Tomo, Capítulo V - OPERAÇÕES BINÁRIAS. GRUPÓIDES

OOMP:SNDIO DE MATEMÁTIOA

Paga. 4. Frequência relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Frequência relativa do produto lógico. Primeiro exemplo de probabilidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Coeficiente de associação.............................. 6. Extensão dos conceitos do n.O 4 a mais de 2 atributos. . . . . 7. A lógica em termos de acontecimentos......... .......... 8. Expressões proposicionais de acontecimentos; conceito de variável casual; passagem a conjuntos.................... 9. Frequência dum acontecimento numa sequência de provas... 10. Lógica indutiva; certeza absoluta e certeza prática.......... 11. Conceito quantitativo de probabilidade.................... 12. Axiomatização do conceito de probabilidade............... 13. Exemplos de aplicação................................. 14. Probabilidade do produto lógico......................... 15. Probabilidade de produto cartesiano. Sistemas de lotaria..... 16. Problema das provas repetidas; distribuição binomial........ 17. Aplicações de distribuição binomial; exemplo da genética... 18. Casos extremos da distribuição binomial................. 19. Valor médio, esperança matemática. Jogos equitativos....... 20 Aplicação da teoria das probabilidades nos seguros......... 21. As variações da probabilidade no cálculo de seguros ........ 22. Interpretação estatrstica duma tábua de contingência - Teste do qui-quadrado com um grau de liberdade................. 23. Teste do qui-quadrado com mais de um grau de liberdade.. 24. Conceitos qualitativo e quantitativo de probabilidade........

202 206 213 216 218 220 224 227 231 236 239 246 248 253 258 263 265 269 275 277 289 291

TÁBUAS DE MORTALIDADE Tábua AF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

295

Tábua PM...............................................

297

TÁBUA DA DISTRIBUiÇÃO DO X 2 DE PEARSON...............

299

303

Compêndio de Matemática, 1º Volume, 2º Tomo, Capítulo V - OPERAÇÕES BINÁRIAS. GRUPÓIDES

Composto e Impresso na Tipo grafw. Guerra -

V ..""

e concluiu-se em Março de 1975

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GABINETE DE ESTUDOS E PLANEAMENTO DO MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E CULTURA