Números complexos

Números Complexos Michael Fowler Números reais Vamos pensar nos números normais como dispostos numa recta que vai para infinito am ambos os sentidos. Podíamos começar por considerar um segmento junto à origem (isto Ê, o ponto que representa o número zero) e colocar os inteiros do seguinte modo:

Depois podĂ­amos acrescentar os nĂşmeros racionais, tais como ½ , 23/11 etc, e os irracionais como √2, e de seguida nĂşmeros como o đ?œ‹đ?œ‹, e assim sucessivamente, de modo que qualquer nĂşmero em que pudesses pensar tinha o seu lugar nesta recta. Agora tomemos um ponto de vista ligeiramente diferente, e pensemos nos nĂşmeros como sendo representados por vectores da origem a esse nĂşmero, de modo que o 1 ĂŠ

e, por exemplo, o -2 ĂŠ representado por

Repara que se um número for multiplicado por -1, o respectivo vector Ê rodado de um ângulo de 180 graus. Graficamente,

O “vectorâ€? 2 ĂŠ rodado de um ângulo đ?œ‹đ?œ‹, ou 180 grays, quando o multiplicas por -1.

Quais sĂŁo as raĂ­zes quadradas de 4?

Bem, 2, obviamente, mas tambÊm -2, porque multiplicando o vector -2 que aponta para a esquerda não só lhe duplica o tamanho como o faz girar 180 graus, de modo que passa a apontar na direcção positiva. Parece que inventamos uma maneira complicada de dizer que o produto de dois números negativos Ê positivo, mas isto de pensar em vectores a rodar 180 graus vai dar os seus frutos em breve.

Resolvendo equaçþes quadråticas Na resolução da equação quadråtica comum

encontramos a solução

đ?‘Žđ?‘Žđ?‘Ľđ?‘Ľ 2 + đ?‘?đ?‘?đ?‘?đ?‘? + đ?‘?đ?‘? = 0 đ?‘Ľđ?‘Ľ =

−đ?‘?đ?‘? Âą √đ?‘?đ?‘? 2 − 4đ?‘Žđ?‘Žđ?‘Žđ?‘Ž . 2đ?‘Žđ?‘Ž

O problema ĂŠ que Ă s vezes a expressĂŁo dentro da raiz quadrada ĂŠ negativa. O que ĂŠ que isso significa? Para alguns problemas em FĂ­sica, significa que nĂŁo hĂĄ solução. Por exemplo, se eu atirar uma bola ao ar a 10 metros por segundo, e perguntar quando ĂŠ que ela atingirĂĄ 20 metros de altura (tomando đ?‘”đ?‘” = 10đ?‘šđ?‘šđ?‘ đ?‘ −2 ), a solução da equação quadrĂĄtica no tempo đ?‘Ąđ?‘Ą tem um nĂşmero negativo dentro da raiz quadrada, e isso significa que a bola nĂŁo atingirĂĄ os 20 metros de altura, e portanto a pergunta nem fazia sentido. Veremos, no entanto, que hĂĄ outros problemas, nas mais variadas ĂĄreas da FĂ­sica, para os quais nĂşmeros negativos dentro de raĂ­zes quadradas tĂŞm um significado fĂ­sico importante. Por essa razĂŁo, precisamos de arranjar um esquema para os interpretar. A equação quadrĂĄtica mais simples com este problema ĂŠ:

sendo as soluçþes đ?‘Ľđ?‘Ľ = Âąâˆšâˆ’1.

đ?‘Ľđ?‘Ľ 2 + 1 = 0

O que ĂŠ que isso significa? AcabĂĄmos de ver que o quadrado de um nĂşmero positivo ĂŠ positivo, e que o quadrado de um nĂşmero negativo ĂŠ tambĂŠm positivo, dado que a multiplicação por um nĂşmero negativo cujo vector aponta para trĂĄs por outro que faz qualquer vector rodar 180 graus, dĂĄ um vector positivo. Um outro modo de dizer isto ĂŠ considerar o prĂłprio sinal menos como um operador que roda o nĂşmero ao qual ĂŠ aplicado de um ângulo de 180 graus. Agora (−2) Ă— (−2) tem duas dessas rotaçþes, perfazendo um total de 360 graus de volta ao eixo positivo. Para que a raiz quadrada de um nĂşmero negativo faça sentido, temos de encontrar algo que multiplicado por si prĂłprio dĂĄ um nĂşmero negativo. Concentremo-nos por momentos na raiz quadrada de -1, da equação quadrĂĄtica anterior. Pensa no -1 como um operador actuando no vector 1, portanto o – roda o vector 180 graus. Temos de encontrar a raiz quadrada deste operador, o operador cuja dupla aplicação dĂĄ uma rotação de 180 graus. Posto desta forma, ĂŠ bastante Ăłbvio que o operador que queremos efectua uma rotação de 90 graus ao vector 1. Mas se tomarmos um nĂşmero positivo, como o 1, e o rodarmos 90 graus apenas, nĂŁo dĂĄ nĂşmero nenhum, pelo menos no sentido usual, uma vez que colocĂĄmos todos os nĂşmeros numa recta e agora rodĂĄmos o 1 para fora dessa recta. O novo nĂşmero assim criado ĂŠ chamado um nĂşmero imaginĂĄrio puro, e ĂŠ denotado por đ?‘–đ?‘–.

Uma vez encontrada a raiz quadrada de -1, podemos uså-la para escrever a raiz quadrada de qualquer outro número negativo – por exemplo, 2�� Ê a raiz quadrada de -4. Juntando um número real da recta com um número imaginårio (um múltiplo de �� ) då um número complexo. Evidentemente, os números complexos preenchem todo o plano bidimensional. Tomando coordenadas Cartesianas habituais, qualquer ponto P no plano pode ser escrito como (��, ��), sendo que o ponto Ê atingido avançando �� unidades da direcção real positiva e �� unidade da direcção definida por �� ou, por outras palavras, o eixo dos ��.

Portanto o ponto P com coordenadas (��, ��) pode ser identificado com u número complexo ��, onde �� = �� + ����

Este plano ĂŠ frequentemente chamado plano complexo, e a representação de nĂşmeros complexos deste modo ĂŠ chamada Diagrama de Argand. Visualizando os nĂşmeros complexos como vectores bidimensionais, ĂŠ trivial somar dois deles. Se đ?‘§đ?‘§1 = đ?‘Ľđ?‘Ľ1 + đ?‘–đ?‘–đ?‘Śđ?‘Ś1 e đ?‘§đ?‘§2 = đ?‘Ľđ?‘Ľ2 + đ?‘–đ?‘–đ?‘Śđ?‘Ś2 , entĂŁo đ?‘§đ?‘§1 + đ?‘§đ?‘§2 = (đ?‘Ľđ?‘Ľ1 + đ?‘Ľđ?‘Ľ2 ) + đ?‘–đ?‘–(đ?‘Śđ?‘Ś1 + đ?‘Śđ?‘Ś2 ). As partes reais e imaginĂĄrias somam-se separadamente, tal como componentes de vectores. A multiplicação de dois nĂşmero complexos jĂĄ nĂŁo tĂŞm um intepretação tĂŁo simples. É, no entanto, bastante imediata – aplicam-se as regras algĂŠbricas habituais, com đ?‘–đ?‘– 2 substituĂ­do por −1 sempre que aparecer. Por exemplo, para multiplicar đ?‘§đ?‘§1 = đ?‘Ľđ?‘Ľ1 + đ?‘–đ?‘–đ?‘Śđ?‘Ś1 por đ?‘§đ?‘§2 = đ?‘Ľđ?‘Ľ2 + đ?‘–đ?‘–đ?‘Śđ?‘Ś2 , đ?‘§đ?‘§1 đ?‘§đ?‘§2 = (đ?‘Ľđ?‘Ľ1 + đ?‘–đ?‘–đ?‘Śđ?‘Ś1 )(đ?‘Ľđ?‘Ľ2 + đ?‘–đ?‘–đ?‘Śđ?‘Ś2 ) = (đ?‘Ľđ?‘Ľ1 đ?‘Ľđ?‘Ľ2 − đ?‘Śđ?‘Ś1 đ?‘Śđ?‘Ś2 ) + đ?‘–đ?‘–(đ?‘Ľđ?‘Ľ1 đ?‘Śđ?‘Ś2 + đ?‘Ľđ?‘Ľ2 đ?‘Śđ?‘Ś1 ).

Coordenadas Polares Algumas propriedades dos nĂşmeros complexos sĂŁo mais facilmente compreendidas se os representarmos usando coordenadas polares (đ?‘&#x;đ?‘&#x;, đ?œƒđ?œƒ) em vez de (đ?‘Ľđ?‘Ľ, đ?‘Śđ?‘Ś) para localizar đ?‘§đ?‘§ no plano complexo.

Nota que đ?‘§đ?‘§ = đ?‘Ľđ?‘Ľ + đ?‘–đ?‘–đ?‘–đ?‘– pode ser escrito đ?‘&#x;đ?‘&#x;(cos đ?œƒđ?œƒ + đ?‘–đ?‘– sin đ?œƒđ?œƒ). De facto, esta representação conduz a uma imagem mais clara da multiplicação de dois nĂşmeros complexos:

Portanto, se

EntĂŁo

e

đ?‘§đ?‘§ = đ?‘&#x;đ?‘&#x;(cos đ?œƒđ?œƒ + đ?‘–đ?‘– sin đ?œƒđ?œƒ) = đ?‘§đ?‘§1 đ?‘§đ?‘§2 đ?‘&#x;đ?‘&#x; = đ?‘&#x;đ?‘&#x;1 đ?‘&#x;đ?‘&#x;2 đ?œƒđ?œƒ = đ?œƒđ?œƒ1 +đ?œƒđ?œƒ2

Quer dizer, para multiplicar dois nĂşmeros complexos, multiplicam-se os đ?‘&#x;đ?‘&#x;’s – chamados os mĂłdulos – e somam-se as fases, os đ?œƒđ?œƒâ€™s. O mĂłdulo đ?‘&#x;đ?‘&#x; ĂŠ frequentemente denotado por |đ?‘§đ?‘§|, e chamado mod đ?‘§đ?‘§, e a fase đ?œƒđ?œƒ ĂŠ por vezes chamada o argumento arg đ?‘§đ?‘§. Por exemplo, |đ?‘–đ?‘–| = 1, arg đ?‘–đ?‘– = đ?œ‹đ?œ‹/2. Podemos agora ver que, embora tenhamos tido necessidade de introduzir o nĂşmero đ?‘–đ?‘– para termos √−1,

nĂŁo ĂŠ necessĂĄrio introduzir novos tipos de nĂşmeros para ter �– đ?‘–đ?‘– ou √đ?‘–đ?‘– . Claramente, ďż˝âˆšđ?‘–đ?‘–ďż˝ = 1, arg √đ?‘–đ?‘– = 45Âş. EstĂĄ no cĂ­rculo de raio 1 centrado na origem, a 45Âş, e para achar o quadrado basta duplicar o ângulo.

O CĂ­rculo UnitĂĄrio De facto este cĂ­rculo – chamado cĂ­rculo unitĂĄrio – desempenha um papel importante na teoria dos nĂşmeros complexos. Cada ponto do cĂ­rculo ĂŠ da forma đ?‘§đ?‘§ = cos đ?œƒđ?œƒ + đ?‘–đ?‘– sin đ?œƒđ?œƒ = đ??śđ??śđ??śđ??śđ??śđ??ś(đ?œƒđ?œƒ)

Dado que todos os pontos do cĂ­rculo tĂŞm |đ?‘§đ?‘§| = 1, por definição, multiplicar dois deles ĂŠ simplesmente somar os ângulos, portanto esta nota função đ??śđ??śđ??śđ??śđ??śđ??ś(đ?‘Ąđ?‘Ąâ„Žđ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’đ?‘’) satisfaz đ??śđ??śđ??śđ??śđ??śđ??ś(đ?œƒđ?œƒ1 )đ??śđ??śđ??śđ??śđ??śđ??ś(đ?œƒđ?œƒ2 ) = đ??śđ??śđ??śđ??śđ??śđ??ś(đ?œƒđ?œƒ1 + đ?œƒđ?œƒ2 ).

Mas isto ĂŠ simplesmente o que acontece aos expoentes na multiplicação! Isto ĂŠ, đ?‘Žđ?‘Ž đ?œƒđ?œƒ1 đ?‘Žđ?‘Žđ?œƒđ?œƒ2 = đ?‘Žđ?‘Ž(đ?œƒđ?œƒ1 +đ?œƒđ?œƒ2 ) para qualquer đ?‘Žđ?‘Ž constante, o que sugere fortemente que talvez a nossa função đ??śđ??śđ??śđ??śđ??śđ??ś(đ?œƒđ?œƒ) nĂŁo ĂŠ nada mais que uma constante đ?‘Žđ?‘Ž elevada Ă potĂŞncia đ?œƒđ?œƒ, isto ĂŠ, đ??śđ??śđ??śđ??śđ??śđ??ś(đ?œƒđ?œƒ) = đ?‘Žđ?‘Žđ?œƒđ?œƒ .

É conveniente escrever đ?‘Žđ?‘Žđ?œƒđ?œƒ = đ?‘’đ?‘’ (ln đ?‘Žđ?‘Ž )đ?œƒđ?œƒ = đ?‘’đ?‘’ đ??´đ??´đ??´đ??´ , onde đ??´đ??´ = ln đ?‘Žđ?‘Ž.

Esta linha de pensamento leva-nos a escrever cos đ?œƒđ?œƒ + đ?‘–đ?‘– sin đ?œƒđ?œƒ = đ?‘’đ?‘’ đ??´đ??´đ??´đ??´ .

Agora, para que a “fĂłrmula de adiçãoâ€? anterior funcione para a multiplicação, A tem de ser uma constante, independente de đ?œƒđ?œƒ. Portanto, podemos encontrar o valor de đ??´đ??´ escolhendo um đ?œƒđ?œƒ para o qual as coisas sejam simples. Se tomarmos đ?œƒđ?œƒ muito pequeno, cos đ?œƒđ?œƒ = 1, sin đ?œƒđ?œƒ = đ?œƒđ?œƒ e đ?‘’đ?‘’ đ??´đ??´đ??´đ??´ = 1 + đ??´đ??´đ??´đ??´ , desprezando termos de ordem đ?œƒđ?œƒ 2 ou superior. Substituindo estes valores em cos đ?œƒđ?œƒ + đ?‘–đ?‘– sin đ?œƒđ?œƒ = đ?‘’đ?‘’ đ??´đ??´đ??´đ??´ dĂĄ đ??´đ??´ = đ?‘–đ?‘–.

Portanto vem

cos đ?œƒđ?œƒ + đ?‘–đ?‘– sin đ?œƒđ?œƒ = đ?‘’đ?‘’ đ?‘–đ?‘–đ?‘–đ?‘–

Para testar este resultado, expandimos đ?‘’đ?‘’ đ?‘–đ?‘–đ?‘–đ?‘– :

Escrevemos = cos đ?œƒđ?œƒ + đ?‘–đ?‘– sin đ?œƒđ?œƒ na Ăşltima linha porque as sĂŠries entre parĂŞntisis sĂŁo precisamente as sĂŠries de Taylor para cos đ?œƒđ?œƒ e sin đ?œƒđ?œƒ, confirmando a nossa equação para đ?‘’đ?‘’ đ?‘–đ?‘–đ?‘–đ?‘– . Mudando o sinal de đ?œƒđ?œƒ ĂŠ fĂĄcil ver que đ?‘’đ?‘’ −đ?‘–đ?‘–đ?‘–đ?‘– = cos đ?œƒđ?œƒ − đ?‘–đ?‘– đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ đ?‘ Logo

1 cos đ?œƒđ?œƒ = (đ?‘’đ?‘’ đ?‘–đ?‘–đ?‘–đ?‘– + đ?‘’đ?‘’ −đ?‘–đ?‘–đ?‘–đ?‘– ) , 2

1 đ?‘–đ?‘– sin đ?œƒđ?œƒ = (đ?‘’đ?‘’ đ?‘–đ?‘–đ?‘–đ?‘– − đ?‘’đ?‘’ −đ?‘–đ?‘–đ?‘–đ?‘– ) 2

ConclusĂŁo: qualquer nĂşmero complexo pode ser escrito:

đ?‘§đ?‘§ = đ?‘&#x;đ?‘&#x;(cos đ?œƒđ?œƒ + đ?‘–đ?‘– sin đ?œƒđ?œƒ) = đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘’đ?‘’ đ?‘–đ?‘–đ?‘–đ?‘– . Tradução/Adaptação Casa das CiĂŞncias 2009