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Projecto Faraday Textos de Apoio

Sistemas de Part´ıculas 12º Ano de Escolaridade

Porto, Outubro de 2009

Ficha T´ ecnica Projecto de interven¸cão no ensino da F´ısica no secundário. Financiamento Funda¸c˜ ao Calouste Gulbenkian. Execu¸ c˜ ao Departamento de F´ısica, Faculdade de Ciências da Universidade do Porto. Escolas Participantes ES Filipa de Vilhena ES Fontes Pereira de Melo ES Garcia de Orta ES da Maia ES de Santa Maria da Feira

Coordena¸ c˜ ao J. M. B. Lopes dos Santos Manuel Joaquim Marques

Portal URL: http://www.fc.up.pt/faraday

Texto do 12º Ano Redactor Principal J. M. B. Lopes dos Santos

3 Colabora¸ c˜ ao e revis˜ ao Elisa Arieiro Carlos M. Carvalho Manuel Joaquim Marques Maria de F´ atima Mota

Cap´ıtulo 7

Sistemas de part´ıculas Nas Olimp´ıadas de Los Angeles, em 1984, Greg Louganis, um jovem americano de 24 anos, espantou o p´ ublico ao ganhar as medalhas de ouro de salto de plataforma e de trampolim, com um sucessão de saltos praticamente perfeitos, de uma elegância inexced´ıvel. Quatro anos mais tarde, em Seul, repetiu a proeza, contra jovens de metade da sua idade mesmo depois de ter aberto a cabe¸ca ao embater no trampolim, num salto de qualifica¸cão. Contudo, os saltos de Louganis e dos seus competidores, com as suas piruetas e cambalhotas, ou os famosos “voos” dos guardaredes, decorrem sob açc˜ ao de uma for¸ca externa constante, o seu peso, tal como no caso da queda de uma esfera. Como podem, então, os saltadores, os ginastas, os bailarinos, os atletas, executar em voo movimentos t˜ ao complexos? Que nos podem dizer a leis de Newton sobre esta quest˜ ao? O movimento de um sistema complexo, como o corpo humano, raramente se reduz a um movimento de transla¸cão em que todas as partes do corpo têm o mesmo deslocamento, a mesma velocidade e a mesma acelera¸c˜ ao em todos os instantes. Partes diferentes do corpo têm acelera¸c˜ oes diferentes em direçcões variadas. Tal como no caso dos fluidos, as for¸cas internas têm um papel muito importante na determina¸c˜ ao de movimentos complexos de sistemas constitu´ıdos por muitas partes em interaçcão. Em F´ısica Newtoniana, modelam-se estas situa¸cões usando o conceito de sistema de part´ıculas. Uma part´ıcula é um sistema suficientemente simples para que o seu movimento se possa representar pelo deslocamento de um ponto. Um corpo arbitrário é representado como sendo um conjunto (sistema) de part´ıculas actuadas quer por for¸ cas internas, derivadas da interaçcão com 5

Figura 7.1: Apesar dos seus movimentos complexos, a u ´ nica for¸ca externa significativa sobre um saltador ´e o seu peso.

CAP´ITULO 7. SISTEMAS DE PART´ICULAS

as outras part´ıculas do sistema, quer por for¸ cas externas, resultantes da interaçcão com outros corpos. Neste cap´ıtulo vamos considerar a seguinte questão: Que caracter´ısticas do movimento de um sistema de part´ıculas podemos obter do conhecimento das suas for¸cas externas apenas? A resposta a esta pergunta é muito simples e interessante.

centro de massa

11111111111111111111111111111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111111111111111111111111111

Figura 7.2: Embora o movimento de um corpo em voo possa ser complexo, o seu centro de massa tem o movimento parab´olico habitual de uma queda livre.

Por mais complexo que seja um sistema e o seu movimento, as massas e as posi¸cões das part´ıculas que o constituem permitemnos calcular a posi¸cão de um ponto, o centro de massa, ~rcm , cujo movimento é o de uma part´ıcula material, com massa igual à massa total do sistema, sujeita à resultante das for¸ cas externas aplicadas ao sistema. Este resultado justifica, finalmente, por que raz˜ ao podemos aplicar com tanto sucesso o modelo de part´ıcula material aos movimentos de corpos muito complexos. Um aspecto do movimento, especificamente, o movimento do centro de massa, ´ e o movimento de uma part´ıcula material, em rela¸cão ao qual podemos ignorar as for¸cas internas. Por outras palavras, nem arte de Greg Louganis, nem o poder de Michael Jordan, nem a agilidade de V´ıtor Ba´ıa, podem impedir os respectivos centros de massa de cair com uma acelera¸cão de 9,8 m s−2 na direçcão vertical1 .

7.1 7.1.1

Momento linear Colis˜ ao de dois carros

Quando estudámos colis˜ oes entre dois carros, no 10º ano, consider´ amos que cada um deles podia ser caracterizado pelo deslocamento de um ponto; uma vez que o movimento de cada carro era de transla¸c˜ ao, todos os pontos do carro tinham o mesmo deslocamento. Assim, neste sistema, em vez de uma part´ıcula temos duas. Um bom s´ıtio para come¸car. Ignoremos por um momento as for¸cas externas sobre os carros: o respectivo peso é anulado pela reaçcão normal da calha e, em 1 Contudo, veremos que o centro de massa de um atleta n˜ ao tem uma posi¸c˜ ao fixa no seu corpo. Depende da configura¸c˜ ao do corpo, se est´ a encolhido, estendido, membros flectidos, estendidos, etc.

7.1. MOMENTO LINEAR Sensor

Sensor

carros de colisão m1

111111111111111111111111111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000000000000000000000000000 Calha para computador

Figura 7.3: Colis˜ ao de dois carros. Na medida em que cada um deles tem um movimento de transla¸ca˜o, este sistema ´e constitu´ıdo por duas part´ıculas.

primeira aproxima¸c˜ ao, o atrito é desprezável. Para o primeiro carro, F~1 = m1~a1 , em que F~1 é a for¸ca que sobre ele exerce o segundo carro. Do mesmo modo, F~2 = m2~a2 , em que F~2 é a for¸ca exercida no segundo carro pelo primeiro. A ~1 e F ~2 , que terceira lei de Newton diz-nos que estas duas for¸cas, F s˜ ao um par açc˜ ao–reaçc˜ ao, têm resultante nula. Ou seja, F~1 + F~2 = 0 e, portanto, m1~a1 + m2~a2 = 0. Recordando que a acelera¸c˜ ao é a derivada da velocidade, vem m1

d~v2 d~v1 + m1 = 0. dt dt

(t qualquer)

As propriedades da opera¸c˜ ao de deriva¸cão referidas no Cap´ıtulo 2 permitem-nos escrever esta equa¸cão na forma (as massas são constantes, independentes do tempo): d (m1~v1 + m2~v2 ) = 0 dt

(t qualquer).

Dizer que uma grandeza tem derivada temporal nula (em qualquer instante) ´e o mesmo que dizer que ela n˜ ao varia, ou seja: m1~v1 + m2~v2 = constante. Em conclus˜ao: multiplicando a massa de cada carro pelo respectivo vector velocidade e somando os dois vectores, m1 v~1 e m2 v~2 , os momentos lineares de cada carro, obtemos uma grandeza

CAP´ITULO 7. SISTEMAS DE PART´ICULAS

que n˜ ao varia no tempo: essa grandeza é o momento linear do sistema. Repare-se que a u ´ nica propriedade das for¸cas internas que us´ amos foi a terceira lei de Newton. Esta lei de conserva¸cão de momento linear é, portanto, tão geral como a terceira lei de Newton.

ET V 1 : Na Actividade A7 do 10º ano estudámos duas colis˜ oes muito simples entre carros de igual massa, m1 = m2 = m. Um carro era lan¸cado, com velocidade ~v = v0ˆı, contra o outro, inicialmente parado. Numa colis˜ ao do primeiro tipo o carro lan¸cado ficava parado ap´ os a colis˜ ao. No segundo tipo de colis˜ ao os carros seguiam juntos ap´ os a colis˜ ao. Usando a conserva¸caõ de momento linear, responder às seguintes perguntas. a) Qual é velocidade do carro que estava inicialmente parado ap´ os uma colis˜ ao do primeiro tipo? b) Qual é a velocidade conjunta dos dois carros ap´ os a colis˜ ao do segundo tipo ?

7.1.2

Conserva¸c˜ ao de momento linear

O resultado anterior ´e facilmente estendido para qualquer sistema de part´ıculas. Sobre cada part´ıcula do sistema exercem-se: for¸cas externas, devidas a corpos exteriores ao sistema; for¸cas internas, resultantes das interac¸c˜ oes com as outras part´ıculas do sistema.

Se somarmos todas as for¸ cas, sobre todas as part´ıculas do sistema, podemos agrupar as for¸cas internas em pares açcão-reaçcão, cuja soma é zero. O par de uma for¸ca externa é exercido sobre part´ıculas exteriores ao sistema e essas for¸cas n˜ ao s˜ ao somadas (ver fig. 7.4). Assim a soma de todas as for¸ cas sobre todas as part´ıculas de um sistema, é a resultante de todas as for¸ cas externas: ~1 + F~2 + · · · = F ~ext F

7.1. MOMENTO LINEAR

3 4

1 S

Figura 7.4: Se somarmos todas as for¸cas que actuam nas part´ıculas do sistema S, 1, 2 e 3, as for¸cas internas (a cheio) cancelam, pois podem ser agrupadas em pares açcaõ–reaçcaõ. Ficam apenas as for¸cas externas (a tracejado), pois os pares destas são exercidos em part´ıculas que n˜ ao pertencem a S.

Usando a segunda lei, F~1 + F~2 + · · · = m1~a1 + m2~a2 + . . . , vem

m1~a1 + m2~a2 + · · · = F~ext .

Ora, m1~a1 + m2~a2 + . . . = =

d (m1~v1 + m2~v2 + . . . ) dt d~ psist dt

em que p~sist ´e o momento linear total do sistema: p~sist = m1~v1 + m2~v2 + . . . .

(7.1)

Assim:

d~ psist ~ext . =F (7.2) dt No caso em que as for¸cas externas tˆem resultante nula, obtemos a lei de conserva¸c˜ ao do momento linear, p~sist = constante

(F~ext = 0).

As for¸cas internas de um sistema, em circunstˆ ancia alguma, podem alterar o seu momento linear total. Este s´ o varia por ac¸c˜ao de for¸cas externas ao sistema.

CAP´ITULO 7. SISTEMAS DE PART´ICULAS

´ poss´ıvel variar as massas dos carros usados na ET V 2 : E Actividade A7 usando duas barras met´ alicas, de massa igual a dos carros. Deste modo podemos duplicar ou triplicar a ` massa de um dos carros relativamente ao outro. Suponha que o carro com massa 2m est´ a parado. O outro, de massa m e velocidade inicial ~v = v0ˆı, colide com ele e fica parado, ap´ os a colis˜ ao. a) Qual ´e a velocidade do carro de massa 2m ap´ os a colis˜ ao? b) A energia cin´etica total dos dois carros manteve-se?

7.1.3

Momento linear e impulso

A derivada temporal do momento linear é o valor instantâneo da for¸ca externa: d~ psist = F~ext (t). dt Podemos também definir uma for¸ca média num intervalo de tempo ∆t, a partir da taxa média de varia¸cão do momento: p ~sist (t + ∆t) − p~sist (t) ~ = Fext ∆t med e

p~sist (t + ∆t) − p~sist (t) = F~ext

med

× ∆t.

O produto I~ = F~ext

med

× ∆t

é o impulso da for¸ca externa no intervalo de tempo t a t + ∆t. Com esta defini¸cão ~psist (t + ∆t) − p~sist (t) = I~ Estas defini¸c˜ oes s˜ ao u ´ teis no tratamento de for¸cas impulsivas, for¸cas que actuam durante intervalos de tempo muito curtos: por exemplo, a for¸ca de um taco de golfe ou basebol na respectiva bola, ou de uma arma na bala durante o disparo. Em tais situa¸cões é muito complicado saber exactamente como varia a for¸ca instantˆ anea, F~ext (t), com o tempo. A varia¸cão de momento permite-nos

7.1. MOMENTO LINEAR

calcular o impulso. Se tivermos uma ideia do intervalo de tempo da interaçc˜ ao, o valor da for¸ca média d´ a uma ideia da ordem de grandeza das for¸cas envolvidas. amos alguns No texto do 11º ano, cap´ıtulo 4, seçcão 4.3.1, trat´ exemplos de for¸cas impulsivas.

7.1.4

Momento linear e velocidade do centro de massa

Suponhamos que a massa total do nosso sistema de part´ıculas est´ a fixa: M = m1 + m2 + . . . . (7.3) Esta equa¸c˜ ao e a defini¸c˜ ao de momento linear, p~sist = m1~v1 + m2~v2 + . . . ,

(7.4)

sugerem uma defini¸c˜ ao natural de uma velocidade global de um sistema de part´ıculas. Do mesmo modo que para uma part´ıcula o momento p~ é o produto m~v , podemos definir 2 p~sist = M~vcm , em que ~vcm , por raz˜ oes que se vão tornar claras dentro em pouco, é designada por velocidade do centro de massa. Por que é que esta defini¸c˜ ao é u ´ til? Se as for¸cas externas sobre o nosso sistema tiverem resultante nula, ~psist = constante. Logo: A velocidade de centro de massa, ~vcm , de um sistema de part´ıculas de massa total M fixa, mantém-se constante se a resultante das for¸cas externas que actuam nesse sistema for nula.

⊲ Primeira lei de Newton.

Se repararmos na equa¸c˜ ao 7.2 e a aplicarmos a um corpo de massa fixa, obtemos: d~vcm d~ psist =M = F~ext . dt dt A acelera¸c˜ ao do centro de massa de um sistema de part´ıculas, multiplicada pela massa total M (fixa) do sistema ´e igual ` a resultante das for¸cas externas aplicadas ao sistema. 2

~vcm .

Como j´ a sabemos o que s˜ ao p ~sist e M , esta equa¸c˜ ao ´e uma defini¸ c˜ ao de

⊲ Segunda lei de Newton.

CAP´ITULO 7. SISTEMAS DE PART´ICULAS

Estes dois resultados s˜ ao a primeira e segunda leis de Newton aplicadas a um qualquer sistema de part´ıculas. A descoberta das leis de Newton n˜ ao resultou do estudo de movimentos de part´ıculas. Planetas como a Terra ou a Lua, ou estrelas como o Sol, s˜ ao sistemas de muitas part´ıculas! Qualquer dos carrinhos que us´ amos nas nossas experiˆencias tem da ordem de um n´ umero de Avogadro de ´atomos; todos eles exercem for¸cas uns nos outros. Mas, por mais complexo que seja o sistema de part´ıculas, podemos associar-lhe uma velocidade, ~vcm ≡

1 (m1~v1 + m2~v2 + . . . ) , M

cuja varia¸c˜ ao ´e determinada, exclusivamente, pela resultante das for¸cas externas, de acordo com a segunda lei: M

d~vcm = F~ext . dt

´ importante notar que estes resultados n˜ E ao valeriam para um sistema de part´ıculas sem a terceira lei de Newton. Se as for¸cas internas n˜ ao se cancelassem em virtude do princ´ıpio de açcão – reaçc˜ ao, o momento linear n˜ ao se conservaria, e um corpo poderia passar de um estado com ~vcm = 0 para ~vcm 6= 0 sem qualquer for¸ca externa. Newton nunca teria descoberto a primeira e segunda leis se a terceira n˜ ao se verificasse!

ET V 3 : Consideremos de novo as duas colis˜ oes referidas na ET V 1 da sec¸c˜ao 7.1.2. Quais s˜ ao as velocidades do centro de massa dos dois carros, antes e depois da colis˜ ao, nos dois casos?

7.1.5

O centro de massa

Os resultados da seçcão anterior justificam a utiliza¸cão do modelo de part´ıcula material no estudo de movimentos. Por mais complexo que seja um corpo, podemos associar-lhe uma velocidade, ~vcm , cuja varia¸cão é determinada pela segunda lei de Newton ape´ como se o corpo fosse substitu´ıdo por nas com for¸cas externas. E uma part´ıcula, com toda a massa do corpo, M , e velocidade ~vcm ;

7.1. MOMENTO LINEAR

Velocidades microsc´ opicas e macrosc´ opicas. O mais pequeno volume ` a nossa escala macroscópica, 1 mm3 , ou 3 mesmo 1 µm (volume de um cubo de 10−3 mm de lado) tem um enorme n´ umero de ´ atomos ou moléculas. Aquilo que cham´ amos uma part´ıcula de fluido é na realidade um sistema com enorme n´ umero de part´ıculas. No caso de um l´ıquido ou g´ as elas têm velocidades desordenadas, com todas as direçco˜es. Todavia, a velocidade de centro de massa de um volume macroscópico de fluido, ~vcm =

1 (m1~v1 + m2~v2 + . . . ) M

(soma feita aos ´ atomos desse volume) tem uma varia¸caõ determinada apenas pelas for¸cas externas exercidas sobre os mesmos. Podemos tratar essa part´ıcula macroscópica de fluido como sendo um corpo de massa igual ` a soma das massas das part´ıculas que a constituem e de velocidade ~vcm , ao qual aplicamos a segunda lei de Newton. Assim, aquilo que cham´ amos a velocidade de um fluido num ponto, ~v (~r), é, de facto, a velocidade do centro de massa de um pequeno volume (pequeno, mas macroscópico, com muitos átomos) à volta desse ponto. Note-se que, se todas as part´ıculas tiverem igual massa, m = M/N , em que N é o n´ umero de part´ıculas, a velocidade de uma part´ıcula macroscópica de fluido é a média das velocidades dos ´ atomos que a constituem: ~vcm =

1 (~v1 + ~v2 + . . . ) N

Se esta média de velocidades for nula em qualquer volume macroscópico, n˜ ao h´ a movimento do ponto de vista macroscópico: o fluido est´ a em repouso, apesar de os seus átomos estarem em movimento permanente.

Caixa 7.1: O que ´e a velocidade de uma part´ıcula macrosc´opica de fluido?

CAP´ITULO 7. SISTEMAS DE PART´ICULAS

s´ o nos falta mesmo determinar a posi¸c˜ao dessa part´ıcula, que representa o movimento global do corpo. Como ~vcm =

1 (m1~v1 + m2~v2 + . . . ) M

parece natural tentar ~rcm =

1 (m1~r1 + m2~r2 + . . . ) . M

Com efeito, n˜ ao ´e dif´ıcil verificar que ~vcm =

d~rcm . dt

O ponto com vector de posi¸cão ~rcm , o centro de massa do sistema, desloca-se com uma velocidade ~vcm . A express˜ ao que d´ a a posi¸cão do centro de massa tem forma de uma média sobre as posi¸cões de cada part´ıcula, ponderada pela respectiva massa. No caso de N part´ıculas idênticas, M = N m, e ~rcm é a média simples de todas as posi¸cões. ~rcm =

1 (~r1 + ~r2 + . . . ) N

A verdadeira importˆ ancia do conceito de centro de massa, contudo, resulta do facto de a respectiva velocidade definir o momento linear total do sistema de part´ıculas, que é uma grandeza que s´ o pode variar por efeito de for¸cas externas; por mais complexo e elaborado que seja o sistema, o seu momento linear n˜ ao varia na ausência de influências externas.

r1 r2 Figura 7.5: Se a origem for o ponto m´edio entre os dois n´ ucleos ~r2 = −~r1 .

7.1.6

Determina¸c˜ ao de centros de massa

Mol´ eculas diat´ omicas Uma molécula diat´ omica, homo-nuclear, como O2 , N2 ou H2 , pode ser considerada como um sistema de duas part´ıculas de massas idênticas, os n´ ucleos de cada um dos átomos da molécula. A massa dos electr˜ oes é tão pequena comparada com a dos n´ ucleos que pode ser desprezada. ´ fácil ver que o centro de massa da molécula é o ponto médio da E linha que une os dois n´ ucleos. Por defini¸c˜ ao, visto que as massas s˜ ao iguais, 1 ~rcm = (~r1 + ~r2 ), 2

7.1. MOMENTO LINEAR

ET V 4 : Recorrendo a uma tabela de dados f´ısicos, estimar a raz˜ ao entre a massa de todos os electr˜ oes e a massa total de uma mol´ecula de oxig´enio.

Quando uma molécula deste tipo se move entre duas colis˜ oes, num gás, pode rodar e vibrar. A trajectória de cada um dos n´ ucleos pode ser complexa. Mas o centro de massa tem um movimento uniforme e rectil´ıneo enquanto a molécula n˜ ao estiver sujeita a for¸cas externas.

em que ~r1 e ~r2 s˜ ao os vectores de posi¸cão de cada n´ ucleo. Se escolhermos como origem o ponto médio do segmento que une os dois n´ ucleos, tem-se ~r2 = −~r1 , e ~rcm = 0. Ou seja, a origem do sistema de eixos coincide com a posi¸cão do centro de massa.

Figura 7.6: As traject´ orias dos n´ ucleos podem ser complexas, por causa da rota¸caõ e vibra¸caõ da molécula; a do centro de massa é rectil´ınea, se n˜ ao houver for¸cas externas. cm

Corpos sim´ etricos Onde est´ a o centro de massa de uma esfera homogénea? Ser´ a necessário fazer explicitamente a soma que define a posi¸cão do centro de massa? Um corpo com uma forma geométrica simples, como uma esfera, um cubo, uma placa rectangular, tem um centro de simetria u ´ nico. Se escolhermos a origem do sistema de eixos nesse centro, para cada part´ıcula (pequeno volume) com vector de posi¸cão ~r, existe um idêntico, com a mesma massa, com vector de posi¸cão −~r. Ao fazer a soma sobre todas as part´ıculas do corpo, M~rcm = m1~r1 + m2~r2 + . . . , os termos cancelam aos pares e o resultado é ~rcm = 0: o centro de simetria é a posi¸c˜ ao do centro de massa. Se o corpo n˜ ao for homogéneo, isso deixa de ser verdade. Por exemplo, numa esfera em que metade é de madeira e outra metade de a¸co, volumes idênticos diametralmente opostos n˜ ao terão massas iguais. Corpos compostos Supondo que a Terra e o Sol s˜ ao esferas sabemos onde est˜ ao os respectivos centros de massa. E o centro de massa do sistema Terra–Sol?

Figura 7.7: O centro de massa da esfera coincide com o seu centro geométrico. Podemos consider´ a-la constitu´ıda por part´ıculas idênticas com vectores de posi¸caõ simétricos, ~r e −~r, relativamente ao centro 000000 da111111 esfera. 000000 111111

111111 000000 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111

Figura 7.8: O centro de massa desta esfera est´ a sobre o eixo representado tracejado, que passa pelo centro da esfera. Mas a sua posi¸ca˜o sobre o eixo depende das massas vol´ umicas das metades direita e esquerda da esfera.

CAP´ITULO 7. SISTEMAS DE PART´ICULAS

Terra Sol

Figura 7.9: Para efeito de c´ alculo do centro de massa do sistema TerraSol cada um destes astros pode ser considerado uma part´ıcula com toda a sua massa concentrada no respectivo centro de massa (o desenho n˜ ao est´ a` a escala).

Ao fazer a soma do segundo membro da equa¸cão M~rcm = m1~r1 + m2~r2 + . . . , a todas as part´ıculas da Terra e do Sol, (M = MT +M⊙ ), podemos separar os termos relativos à Terra e ao Sol. A soma dos termos (T ) (T ) relativos ` a Terra é por defini¸cão MT ~rcm , em que ~rcm é o vector de posi¸c˜ ao do centro de massa da Terra. A soma dos termos relativos (S) ao Sol d´ a M⊙~rcm . Assim, (T ) (S) + M⊙~rcm M~rcm = MT ~rcm

Esta express˜ ao é exactamente o que se esperaria se o Sol e a Terra fossem duas part´ıculas situadas nos respectivos centros de massa. Este resultado estende-se para qualquer sistema constitu´ıdo por vários corpos. Para efeito do cálculo do centro de massa de um conjunto de corpos, cada corpo pode ser considerado como uma part´ıcula situada no respectivo centro de massa.

ET V 5 : Determinar a distˆ ancia do centro de massa do sistema Terra–Sol ao centro do Sol. Comparar com o raio do Sol.

Geometria vari´ avel Os avi˜oes com asas retracteis, designam-se por aparelhos de geometria vari´ avel. O corpo de qualquer ave, o corpo humano, s˜ ao tamb´em de geometria vari´ avel: n˜ ao s˜ ao r´ıgidos.

7.1. MOMENTO LINEAR

Figura 7.10: A posi¸ca˜o do centro de massa deste sistema varia com o ˆangulo entre as duas barras. Se uma girar sobre a outra o centro de massa do sistema tem uma traject´ oria circular.

Nessas circunstâncias a posi¸c˜ ao do centro de massa depende da configura¸c˜ ao. Vejamos um exemplo simples: duas barras homogéneas, idênticas, articuladas na extremidade (fig. 7.10). O centro de massa de cada barra coincide com o seu centro geométrico. Para calcular o centro de massa do sistema das duas barras, podemos considerar cada uma como sendo uma part´ıcula, com toda a sua massa concentrada no respectivo centro de massa. Como as massas s˜ ao iguais estamos num situa¸cão semelhante à da molécula diat´ omica: o centro de massa é o ponto médio do segmento que une os centros de massa de cada barra. Este ponto desloca-se relativamente ` as barras se o ˆ angulo entre elas variar. De modo semelhante, no voo de um saltador como Greg Louganis, a posi¸c˜ ao do centro de massa n˜ ao est´ a fixa relativamente a qualquer parte do seu corpo. Mas em qualquer instante podemos, pelo menos em princ´ıpio, determinar ~rcm a partir da distribui¸cão de massa do corpo: a trajectória desse ponto é a par´ abola habitual de uma part´ıcula em queda livre. Nenhuma quantidade de treino pode alterar esse facto.

ET V 6 : No sistema de duas barras da figura 7.10 uma est´ a fixa e a outra roda em torno do ponto de articula¸cão das duas barras. Este movimento é poss´ıvel na ausência de for¸cas externas aplicadas a este sistema?

7.1.7

Propuls˜ ao de foguet˜ oes

Uma ave pode voar, n˜ ao porque bata as asas, mas porque o ar exerce sobre ela uma for¸ca que cancela o seu peso!

CAP´ITULO 7. SISTEMAS DE PART´ICULAS

Esta afirma¸c˜ ao é verdadeira no sentido em que, sem uma for¸ca externa além do peso, a ave n˜ ao poderia evitar que o seu centro de massa ca´ısse com uma acelera¸cão de 9,8 m s−2 . Por outro lado, se n˜ ao “empurrar” o ar com as suas asas, este n˜ ao pode exercer uma for¸ca de reaçc˜ ao sobre a ave. Contudo, no espa¸co n˜ ao h´ a ar. Apesar disso, é poss´ıvel manobrar uma nave, fazê-la mudar de direçcão, corrigir a órbita, aumentar ou diminuir a respectiva velocidade. Como é isto poss´ıvel sem uma for¸ca externa aplicada à nave? Como pode o centro de massa da nave ter uma acelera¸cão diferente da acelera¸cão grav´ıtica local? A nave consegue isto descartando parte da sua massa. Quando uma nave quer acelerar numa dada direçcão, liga foguetões que ejectam g´ as a alta velocidade na direçcão oposta. Estando o conjunto inicialmente parado (~vcm = 0), se uma massa m de gás for ejectada com uma velocidade ~u, o momento linear do sistema, p~sist = (m~u + M~v ) = (m + M )~vcm , continuar´ a a ser nulo (M é massa da nave já sem o gás ejectado). Portanto M~v + m~u = 0, em que ~v é a velocidade da nave. Assim,

~v = −

m ~u. M

Mesmo que a nave ejecte uma fraçcão pequena da sua massa total, m ≪ M , a velocidade que adquire pode ser apreci´ avel porque a velocidade de ejeçcão do gás é muito alta.

ET V 7 : uma esfera de massa m = 30 g e velocidade v = 50 m s−1

desintegra-se em voo em dois fragmentos. Um deles, de massa m = 30 g, tem uma velocidade v1 = 20 m s−1 segundo um ângulo de 30º com a direçcaõ original de movimento da esfera. a) Qual é o módulo da velocidade do segundo fragmento e que angulo faz com a direçcaõ da velocidade original da esfera? ˆ b) Qual foi a varia¸caõ da energia cinética do sistema?

7.2. ENERGIA E CENTRO DE MASSA

7.2 7.2.1

Energia e centro de massa Energia potencial grav´ıtica

Qual é a energia potencial grav´ıtica de um corpo de forma arbitr´ aria ` a superf´ıcie da Terra? Usando como direçc˜ ao vertical ascendente a do eixo Oz, estamos habituados a escrever, Ep = mgz. Que valor de z devemos usar se se tratar de um corpo com muitas part´ıculas (como s˜ ao todos)? Representando o corpo como um sistema de part´ıculas, parece natural somar as energias potenciais de cada part´ıcula: Ep = m1 gz1 + m2 gz2 + . . . = g (m1 z1 + m2 z2 + . . . ) . A soma m1 z1 + m2 z2 + . . . , n˜ ao é mais que a coordenada z do vector m1~r1 + m2~r2 + · · · = M~rcm . Ou seja, Ep = M gzcm em que M é a massa total do corpo e zcm a coordenada z do centro de massa. Em conclusão, as express˜ oes que us´ amos anteriormente est˜ ao correctas, se a altura do corpo for entendida como sendo a altura do centro de massa.

7.2.2

Energia cin´ etica

Ser´ a que a energia cinética de um sistema de part´ıculas tem uma express˜ ao an´ aloga ` a da energia potencial, 1 2 ? Ec = M vcm 2 Um minuto de reflex˜ ao mostra que este resultado est´ a errado. Pensemos por exemplo nas experiências de colis˜ oes entre dois carros ao longo de uma calha. Se lan¸carmos carros da mesma massa m, com velocidades simétricas, ~v e −~v , um contra o outro, o momento linear total é p~sist = 2m~vcm = m~v + m (−~v ) = 0.

CAP´ITULO 7. SISTEMAS DE PART´ICULAS

Determina¸ c˜ ao de centros de massa pelo m´ etodo da suspens˜ ao. Quando suspendemos um sólido r´ıgido num ponto em torno do qual pode rodar livremente, a posi¸caõ de equil´ıbrio do centro de massa fica na vertical do ponto de suspens˜ ao. Nessa configura¸caõ a altura do centro de massa, zcm , é a menor poss´ıvel compat´ıvel com o ponto de suspens˜ ao. Logo a energia potencial grav´ıtica, Ep = M gzcm , é m´ınima. Se deslocarmos o corpo dessa posi¸caõ e o largarmos, ele oscilará em torno dessa configura¸caõ, até que a energia que fornecemos ao desloc´ a-lo se dissipar. Este resultado permite uma determina¸caõ muito expedita da posi¸caõ do centro de massa de formas planares (uma placa de metal ou madeira, por exemplo). Se suspendermos o corpo por dois pontos distintos e tra¸carmos as verticais que passam pelos dois pontos de suspens˜ ao o centro de massa encontra-se no cruzamento das duas linhas.

Centro de massa 11 00 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11

1111 0000 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111

M´ etodo de determina¸ca ˜o de centro de massa.

Caixa 7.2: Determina¸c˜ao de centros de massa

7.2. ENERGIA E CENTRO DE MASSA

2 /2 = 0. Contudo, a energia cin´ etica do Logo, ~vcm = 0 e M vcm sistema dos dois carros ´e

1 1 Ec = mv 2 + mv 2 = mv 2 . 2 2 Que rela¸c˜ ao existe ent˜ ao entre a energia cin´etica total e 1 2 M vcm ? 2 Podemos sempre decompor a velocidade de cada part´ıcula num termo igual ` a velocidade do centro de massa e um segundo termo que ´e a diferen¸ca entre a velocidade da part´ıcula e a do centro de massa: ~v1 = ~vcm + ~u1 ~v2 = ~vcm + ~u2 .. .

(7.5)

As velocidades ~u1 = ~v1 − ~vcm e ~u2 = ~v2 − ~vcm , s˜ ao as velocidades das part´ıculas num referencial em que a origem coincide com a posi¸c˜ao do centro de massa (ver Caixa 7.3, na p´ agina 23). ´ poss´ıvel mostrar que a soma das energias cin´eticas de toda as E part´ıculas, m1 v12 /2 + m2 v22 /2 + . . . , tem a forma3 : 1 2 + Ec′ Ec = M vcm 2 etica de movimento relativo ao em que Ec′ , a energia cin´ centro de massa, tem a express˜ ao: Ec′ =

1 1 m1 u21 + m2 u22 + . . . 2 2

O termo dependente da velocidade do centro de massa é designado por energia cin´ etica de transla¸ c˜ ao. A separa¸c˜ ao destes dois termos n˜ ao é apenas uma questão de conveniência. Como vimos, se n˜ ao houver for¸cas externas, a velocidade do centro de massa n˜ ao varia. Logo a energia cin´ etica total de transla¸ c˜ ao de um sistema conserva-se em qualquer interaç c˜ ao, na ausência de for¸cas externas. Esta lei é aliás uma 3

Este assunto ser´ a abordado de novo quando discutirmos as rela¸c˜ oes entre grandezas em referenciais em movimento relativo.

CAP´ITULO 7. SISTEMAS DE PART´ICULAS

simples consequência da lei de conserva¸cão de momento linear já que, como p~sist = M~vcm , P2 1 2 M vcm = . 2 2M Mas as leis de Newton n˜ ao colocam qualquer restri¸cão à energia cinética de movimento relativo, que pode variar como resultado das interaçc˜ oes entre as part´ıculas do sistema.

7.2.3

Energia cin´ etica em colis˜ oes

O que ´ e uma colis˜ ao? Um carro choca contra outro; isso é uma colis˜ ao. Uma bola de bilhar bate noutra e p˜ oe-na em movimento, desviando-se da sua direçc˜ ao original de movimento: outra colis˜ ao. Na actividade 7.2 estudámos também colis˜ oes entre carrinhos. Nos t´ uneis do CERN, aceleram-se part´ıculas a velocidades pr´ oximas da luz, dirigem-se umas contra as outras em “zonas de interaçcão” e observam-se os resultados dessas colis˜ oes de alta energia. Reflectindo sobre estas situa¸cões, chega-se à conclusão que o que caracteriza estes processos de interaçcão é a existência de um “antes” e um “depois”cuja descri¸cão é relativamente simples. “Antes” dois ou mais objectos est˜ ao separados e movimentam-se sem interagir uns com os outros; “durante” surgem for¸cas entre os objectos em interaçc˜ ao, devido à sua aproxima¸cão, e algo que pode ser muito complicado acontece; “depois” os mesmo objectos, ou reagrupamentos dos originais, afastam-se deixando, de novo, de estar em interaçc˜ ao. Se ignorarmos as for¸cas externas ao sistema de objectos em interaçc˜ ao, a energia total do sistema, quer antes quer depois da colis˜ ao, ter´ a a forma, E = Ec + U, em que: 2 /2 + E ′ ´ etica total; Ec = M vcm c e a energia cin´

U ´e a soma das energias internas dos objectos em colis˜ oes.

Repare-se que, se quis´essemos considerar os estados do sistema “durante” a colis˜ ao, ter´ıamos que incluir a energia potencial da interac¸c˜ ao entre eles.

7.2. ENERGIA E CENTRO DE MASSA

Velocidade relativa Consideremos duas part´ıculas com movimentos arbitrários, com vectores de posi¸caõ ~r1 (t) e ~r2 (t). O vector ~r1 (t) − ~r2 (t) liga a posi¸caõ da part´ıcula 2 ` a da part´ıcula 1; é o vector de posi¸caõ da part´ıcula 1 para uma origem coincidente com a part´ıcula 2. Por outro lado, ~v1 − ~v2 =

d d d ~r1 (t) − ~r2 (t) = (~r1 (t) − ~r2 (t)) dt dt dt

Isto significa que ~v1 − ~v2 ´e a velocidade da part´ıcula 1 relativamente ` a part´ıcula 2. Ou seja a velocidade da part´ıcula 1 num referencial em que a origem coincide com a posi¸ca˜o da part´ıcula 2.

1 r1

r1−r2

2 r2

O vector ~r1 − ~r2 liga a posi¸c˜ ao da part´ıcula 2 ` a da part´ıcula 1.

Caixa 7.3: Velocidade relativa de duas part´ıculas.

CAP´ITULO 7. SISTEMAS DE PART´ICULAS

A conserva¸c˜ ao de energia de um sistema isolado é uma lei universal, válida para todas as interaçcões. Por isso podemos afirmar com seguran¸ca: 1 1 2 ′ 2 ′ M vcm + Ec + U = M vcm + Ec + U 2 2 antes depois Por outro lado, já vimos que a energia cinética de transla¸cão é constante (n˜ ao apenas igual antes e depois, mas também durante). Ent˜ ao Ec′ + U antes = Ec′ + U depois . Coeficiente de restitui¸ c˜ ao Define-se o coeficiente de restitui¸ c˜ ao de uma colis˜ ao, e, pela equa¸c˜ ao: (Ec′ )depois (7.6) e2 ≡ (Ec′ )antes em que Ec′ é a energia cinética de movimento relativo ao centro de massa. Para uma colis˜ ao el´ astica (Ec′ )depois = (Ec′ )antes e e = 1. Nestas colis˜ oes h´ a conserva¸cão da energia cinética macroscópica. Se houver dissipa¸cão de energia, (Ec′ )depois < (Ec′ )antes e e < 1: a colis˜ ao diz-se inel´ astica. A m´ axima dissipa¸cão de energia mecˆ anica ocorre se e = 0, que corresponde a (Ec′ )depois = 0. Isso implica que ~u1 = ~u2 = · · · = 0, ou seja, todas as part´ıculas se deslocam com a mesma velocidade que o centro de massa: no caso da colis˜ ao dos dois carros é o que acontece se estes se deslocarem juntos ap´ os a colis˜ ao. Naturalmente, esta diminui¸cão de energia cinética macroscópica é compensada por um aumento da energia interna dos corpos que colidem. Esse aumento pode manifestar-se, por exemplo, por uma deforma¸caõ de estrutura ou por um aumento de temperatura. Repare-se, contudo, que se ~vcm 6= 0, a energia cinética n˜ ao pode ser totalmente dissipada. A energia cinética de transla¸cão conserva-se, tal como o momento linear total.

Colis˜ oes entre duas part´ıculas ´ frequente encontrar em livros de texto uma defini¸c˜ao de coefiE ciente de restitui¸c˜ao aparentemente diferente da que foi dada acima

7.2. ENERGIA E CENTRO DE MASSA

na equa¸c˜ ao 7.6. Numa colis˜ ao entre dois corpos de velocidades ~v1 e v~2 define-se: k~v1 − ~v2 kdepois (7.7) e= k~v1 − ~v2 kantes Note-se que ~v1 − ~v2 é a velocidade da part´ıcula 1 relativamente à part´ıcula 2. Por isso k~v1 − ~v2 kantes é a velocidade de aproxima¸cão das duas part´ıculas e k~v1 − ~v2 kdepois a velocidade de afastamento. Esta defini¸c˜ ao n˜ ao evidencia imediatamente a rela¸cão entre o coeficiente de restitui¸c˜ ao e a dissipa¸c˜ ao de energia mecˆ anica. Contudo, ela é exactamente equivalente ` a defini¸cão da equa¸cão 7.6. Para os curiosos segue-se a demonstra¸c˜ ao. Recordemos a defini¸c˜ ao das velocidades relativas ao centro massa ~v1 = ~vcm + ~u1 ~v2 = ~vcm + ~u2 . .. .

(7.8)

Como m1~v1 + m2~v2 = (m1 + m2 )~vcm , temos que ter a seguinte rela¸c˜ ao entre ~u1 e ~u2 , as velocidades de cada part´ıcula relativamente ao centro de massa: m1 ~u1 + m2 ~u2 = 0. Isto permite-nos exprimir ~u2 em termos de ~u1 : ~u2 = −

m1 ~u1 . m2

Com esta rela¸c˜ ao, a energia cin´etica de movimento relativo ao centro de massa pode exprimir-se na forma: 1 1 1 m1 ′ 2 2 2 Ec = m1 u1 + m2 u2 = m1 u1 1 + 2 2 2 m2 Como as massas n˜ ao variam, antes e depois da colis˜ ao, obtemos 2

e =

(Ec′ )depois (Ec′ )antes

(u1 )2depois (u1 )2antes

o que d´ a e=

(u1 )depois (u1 )antes

CAP´ITULO 7. SISTEMAS DE PART´ICULAS

(u1 = k~u1 k). Por outro lado, como ~v1 − ~v2 = ~u1 − ~u2 = ~u1

m1 1+ m2

vem e=

(u1 )depois (u1 )antes

1 1+ m k~v1 − ~v2 kdepois m2 (u1 )depois = = . k~v1 − ~v2 kantes 1 (u ) 1+ m 1 antes m2

Esta segunda defini¸cão permite, em geral, um cálculo mais expedito do coeficiente de restitui¸cão.

ET V 8 : Na ET V 2 , da seçcão 7.1.1, descreve-se uma colis˜ ao em que um carro de massa m colide com outro com massa 2m, inicialmente em repouso. O primeiro carro fica parado ap´ os a colis˜ ao. Qual é o coeficiente de restitui¸cão desta colis˜ ao? Nota: Fazer o cálculo usando as duas defini¸cões dadas no texto, eqs. 7.6 e 7.7.

Colis˜ ao com estrutura fixa A colis˜ ao de um projéctil com uma estrutura fixa, como uma parede, pode ser inclu´ıda na discussão anterior do seguinte modo. Uma estrutura fixa funciona como um corpo de massa M muito superior ` a massa m do projéctil e com velocidade inicial nula. O projéctil incide com um velocidade ~vi e emerge da colis˜ ao com um velocidade ~vf ; a velocidade final é menor ou igual que a inicial, a n˜ ao ser que haja uma aumento de energia cinética (uma explosão, por exemplo). A varia¸cão de quantidade de movimento tem, então, um m´ odulo da ordem de grandeza de mvi . Por conserva¸cão de momento, o momento final da estrutura, M v2 , é da ordem de mvi . Como M ≫ m, a velocidade da estrutura é muito menor que vi : m vi ≪ vi . v2 ∼ M A velocidade do centro de massa também é muito menor que vi : vcm =

m m vi ∼ vi M +m M

˜ 7.3. CONCLUSOES

Até aqui nada de supreendente: n˜ ao esperamos que uma bola de ténis, lan¸cada contra um parede a 1 m s−1 , lhe comunique uma velocidade percept´ıvel. Mas note-se que o momento da estrutura n˜ ao ´ e desprez´ avel em rela¸ c˜ ao ao do proj´ ectil: é da mesma ordem de grandeza. Ao contr´ ario, a energia cinética da estrutura ser´ a da ordem 1 m 2 2 m 1 1 vi = M v22 ∼ M mv 2 , 2 2 M M 2 i ou seja, um factor m/M menor que a energia cinética t´ıpica do projéctil. O mesmo acontece com a energia cinética de transla¸cão: 1 1 m 2 2 m 1 2 vi ∼ (M + m)vcm ∼ M mv 2 2 2 M M 2 i Assim, a energia cinética de movimento relativo é praticamente igual à energia cinética do projéctil e vf2 mvf2 /2 Ef = 2, e = = Ei mvi2 /2 vi 2

O coeficiente de restitui¸c˜ ao ´e e=

vf . vi

Voltamos a obter a equivalência das duas defini¸cões de e: como a velocidade da estrutura é muito menor que a do projéctil a velocidade relativa é praticamente a velocidade do projéctil.

7.3

Conclus˜ oes

Neste cap´ıtulo introduzimos o conceito importante de momento linear de um sistema de part´ıculas: p~sist = m1~v1 + m2~v2 + . . . .

(7.9)

Em virtude da terceira lei de Newton, esta grandeza ´e constante se as for¸cas externas tiverem resultante nula. A sua derivada temporal ´e precisamente a resultante das for¸cas externas: d~ psist ~ext . =F dt

(7.10)

A partir desta grandeza definimos uma velocidade global para um sistema de part´ıculas, p~sist , ~vcm = M

CAP´ITULO 7. SISTEMAS DE PART´ICULAS

cuja varia¸c˜ ao satisfaz a segunda lei de Newton com as for¸cas externas apenas, d~vcm = F~ext . M dt Estes resultados justificam o sucesso do modelo de part´ıcula material no estudo de corpos extensos: a velocidade de um corpo é a velocidade do seu centro de massa e para calcular a respectiva acelera¸c˜ ao n˜ ao precisamos de considerar as for¸cas internas. Claro que este processo s´ o nos d´ a o movimento global do corpo, caracterizado pelo deslocamento do centro de massa. O movimento de transla¸cão de um sistema, caracterizado por ~vcm , 2 /2. Mas tem uma energia cinética de transla¸cão associada, M vcm a energia cinética de um sistema de part´ıculas tem também uma componente de movimento relativo ao centro de massa, que, ao contr´ ario da energia de transla¸cão, pode variar mesmo na ausência de for¸cas externas.

7.4

Respostas aos ET V ′ s

7.1. O momento total ´e ~psist = mv0ˆı pois um dos carros tem velocidade nula antes da colis˜ao.

(a) Se um carro fica parado, o outro, que tem a mesma massa, tem que ter a velocidade v0ˆı para que o momento linear antes e depois da colis˜ao seja o mesmo.

(b) Se os dois carros se movem com a mesma velocidade, vˆı, o momento total ´e 2mvˆı. Como o momento se conserva na colis˜ao: 2mvˆı = mv0ˆı, ou seja v=

v0 . 2

7.2. O momento total é, novamente, p~sist = mv0ˆı, em que v0ˆı é a velocidade do primeiro carro antes da colisão.

(a) Após a colisão o carro com massa 2m move-se com velocidade vˆı e o outro est´ a parado. O momento linear é 2mvˆı. Como o momento antes e depois da colisão é o mesmo, 2mvˆı = mv0ˆı,

7.4. RESPOSTAS AOS ET V ′ S

ou v=

v0 . 2

(b) A energia cinética antes da colisão é (Ec )a =

1 mv 2 2 0

e ap´os (Ec )d =

v 2 (Ec )a 1 1 0 = (2m)v 2 = (2m) . 2 2 2 2

Esta colisão n˜ ao conserva a energia cinética: metade foi dissipada em formas microscópicas de energia.

7.3. Por um lado, ~psist = mv0ˆı; como a massa total ´e 2m e ~psist = 2m~vcm temos, antes ou depois da colis˜ao, ~vcm =

v0 ˆı. 2

7.4. A massa atómica do oxigénio é 16,0 u.m.a. Logo a massa de uma molécula de O2 é 32/(6,02 × 1023 ) = 5,3 × 10−23 g. A massa de todos os electrões é 16 × me = 16 × 0,91 × 10−30 = 14,6 × 10−30 kg. A raz˜ ao massa dos electrões/massa da molécula é 2,8 × 10−4 .

7.5. Usando um sistema de eixos com origem no centro do Sol e eixo Ox a passar no centro da Terra temos: (S) ~rcm = 0;

(T ) ~rcm = r0ˆı,

em que r0 = 1,5 × 1011 m é o raio da órbita da Terra. Assim, (M⊙ + MT )~rcm = MT r0ˆı. A distância do centro de massa do sistema Terra–Sol ao centro do Sol é MT k~rcm k = × r0 = 4,5 × 105 m. M⊙ + MT O raio do Sol por sua vez, é 6,96 × 108 m, ou seja cerca de 1500 vezes superior a k~rcm k.

7.6. Não. O centro de massa tem um movimento circular centrado num ponto da barra fixa a uma distância da extremidade articulada de cerca de 1/4 do comprimento da barra. Se a for¸ca externa fosse nula, o movimento do centro de massa teria que ser uniforme e rectil´ıneo (acelera¸caõ nula).

7.7. Escolhendo o eixo Ox com a direçcaõ e sentido da velocidade da esfera antes da desintegra¸caõ (fig. 7.11): p~sist = 0,03 × 50ˆı = 1,5ˆı (kg m s−1 ).

v1 v

300 θ x v2

Figura 7.11: Qual ´e velocidade do segundo fragmento?

CAP´ITULO 7. SISTEMAS DE PART´ICULAS

(a) A conserva¸ca˜o de momento implica: m1 v1 cos(30º) + m2 v2 cos θ m1 v1 sen(300 ) − m2 v2 sen θ

= =

1,5 0.

Assim: v2 cos θ

v2 sen θ

√ 1,5 − 0,02 × 30 × 3/2 = 98 m s−1 0,01 0,02 × 30 × 1/2 = 30 m s−1 0,01

Destas equa¸co˜es tiramos: tan θ

30 ⇒ θ = 170 , 98 p 982 + 302 = 102 m s−1 .

(b) Conhecidas as velocidades de todos os fragmentos, antes e depois da colisão, é fácil calcular: (Ec )a

37,5 J,

(Ec )d

61 J.

A energia cin´etica aumentou de (Ec )d − (Ec )a = 23,5 J. A energia interna da esfera diminui do mesmo valor.

7.8. Antes da colis˜ao as velocidades s˜ao: ~v1

= v0ˆı

~v2

= 0.

~v1

~v2

Depois da colis˜ao: 0 v0 ˆı. 2

A velocidade do centro de massa ´e ~vcm =

v0 1 × mv0ˆı = ˆı. 3m 3

Antes da colis˜ao, ~v1 − ~v2 = v0ˆı; depois, ~v1 − ~v2 = −

v0 ˆı. 2

Logo e=

k~v1 − ~v2 kdepois k~v1 − ~v2 kantes

1 v0 /2 = . v0 2

˜ 7.5. ACTIVIDADES QUESTOES E PROBLEMAS

Para usar a defini¸caõ em termos de energia cinética, temos que calcular ~u1 e ~u2 . Antes da colisão, ~u1 ~u2

2v0 v0 ˆı = ˆı 3 3 v0 v0 ˆı = − ˆı; = 0− 3 3

v0 −

depois ~u1

~u2

v0 v0 ˆı = − ˆı 0− 3 v 3v v0 0 0 ˆı = ˆı; − 2 3 6

A energia cin´etica, (Ec′ )antes

(Ec′ )depois

2 v 2 1 mv02 1 2v0 0 + (2m) = m 2 3 2 3 3 2 2 2 1 1 mv0 v0 v0 + (2m) = m . 2 3 2 6 12

O coeficiente de restitui¸ca˜o ´e dado por e2 =

1 4

e obtemos o mesmo resultado, e = 0,5.

7.5

Actividades quest˜ oes e problemas

7.5.1

Actividades

7.1. M´ etodo de suspens˜ ao para determina¸ c˜ ao de centros de massa. Usando o m´etodo indicado na caixa 7.2 da p´ agina 20 determinar a posi¸c˜ ao do centro de massa de uma raqueta de t´enis. 7.2. Colis˜ oes entre carros de massas variadas em calha linear. Ver ficha de Actividade A44.

7.5.2

Quest˜ oes

7.1. Ao disparar uma arma, o atirador sente um “coice” (recuo) da arma. Porquˆe?

CAP´ITULO 7. SISTEMAS DE PART´ICULAS

7.2. Dois astronautas est˜ ao juntos, parados no espa¸co, a dez metros de distˆ ancia da respectiva nave. Se um dos astronautas puder chegar à nave, pode salvar o outro recorrendo aos foguetes da nave. Contudo, os astronautas n˜ ao dispõem de qualquer modo de propulsão, pelo que n˜ ao podem mudar a posi¸c˜ ao do respectivo centro de massa em rela¸cão à nave. Como se podem salvar?

CM?

7.3. Para ganhar um prémio numa feira, um rapaz tem que derrubar um tijolo, atirando-lhe uma bola. Disp˜ oe de bolas de ténis e de plasticina com massas iguais. O rapaz sabe que a bola de plasticina provavelmente ficar´ a colada ao tijolo e que a de ténis fará ricochete. Qual das bolas deve escolher? Justificar. 7.4. Onde est´ a o centro de massa de um anel homogéneo?

Figura 7.12: Onde est´ ao centro de massa do anel?

7.5. Suponhamos que recortamos uma forma arbitrária de cartolina e que a fixamos com um pionés a um quadro de corticite. Se o ponto de fixa¸cão estiver um pouco solto a cartolina poder´ a rodar em torno do pionés. Em geral ter´ a uma configura¸c˜ ao de equil´ıbrio u ´ nica e, se rodada dessa posi¸caõ, oscilar´ a. S´ o h´ a um ponto de fixa¸cão para o qual isso n˜ ao acontece. (a) Que ponto é esse? (b) Por que é que a cartolina n˜ ao oscila, se estiver fixa nesse ponto? (c) Como pode ser determinado esse ponto? 7.6. Quais das seguintes grandezas s˜ ao conservadas numa colis˜ ao (mesmo valor antes e depois da interaçcão):

Figura 7.13: S´ o h´ a um ponto de fixa¸ca˜o para o qual a cartolina n˜ ao oscila.

(a) momento linear de cada part´ıcula; (b) momento linear total; (c) energia total; (d) energia cinética de transla¸cão; (e) energia cinética de movimento relativo ao centro de massa. 7.7. Quais das seguintes grandezas s˜ ao conservadas numa colis˜ ao el´ astica: (a) momento linear de cada part´ıcula;

˜ 7.5. ACTIVIDADES QUESTOES E PROBLEMAS

(b) momento linear total; (c) energia total; (d) energia cinética de transla¸cão; (e) energia cinética de movimento relativo ao centro de massa. 7.8. Quais das seguintes grandezas s˜ ao constantes também durante o processo de interaçcão de uma colis˜ ao el´ astica: (a) momento linear de cada part´ıcula; (b) momento linear total; (c) energia total; (d) energia cinética de transla¸cão; (e) energia cinética de movimento relativo ao centro de massa. 7.9. As colis˜ oes entre autom´ oveis s˜ ao praticamente perfeitamente inel´ asticas. A energia cinética de movimento relativo é totalmente transformada em energia de deforma¸cão das estruturas dos autom´ oveis e dos seus ocupantes. Considerem-se as duas seguintes situa¸c˜ oes: (i) Um carro com velocidade de 100 km h−1 colide com um carro idêntico, inicialmente parado. (ii) Os dois carros movem-se, cada um em direçcão ao outro, com velocidades de 50 km h−1 . (a) Em qual das situa¸c˜ oes é maior a energia cinética do sistema dos dois carros? (b) Qual das colis˜ oes causa mais danos nos dois ve´ıculos? Ou s˜ ao equivalentes a esse respeito? 7.10. Quais s˜ ao as unidades do coeficiente de restitui¸cão? 7.11. A figura 7.14 é um esbo¸co de uma colis˜ ao entre dois autom´ oveis. A Pol´ıcia conseguiu estabelecer os seguintes factos: (a) O carro vindo de A viajava a 50 km h−1 . A sua massa era de 1400 kg. (b) O carro vindo de B tinha uma massa de 1000 kg.

000000000000000000 111111111111111111 11111111 00000000 000000000000000000 111111111111111111 00000000 11111111 000000000000000000 111111111111111111 00000000 11111111 000000000000000000 111111111111111111 00000000 11111111 000000000000000000 111111111111111111 00000000 11111111 000000000000000000 111111111111111111 00000000 11111111 000000000000000000 θ 111111111111111111 00000000 11111111 111111111111111111 000000000000000000 00000000 11111111 000000000000000000 111111111111111111 00000000 11111111 000000000000000000 111111111111111111 00000000 11111111 A o 111111111111111 00000000 11111111 000000000000000 00000000 11111111 000000000000000 111111111111111 00000000 11111111 000000000000000 111111111111111 00000000 11111111 000000000000000 111111111111111 00000000 11111111 000000000000000 111111111111111 00000000 11111111 000000000000000 111111111111111 00000000 11111111 000000000000000 111111111111111 00000000 11111111 000000000000000 111111111111111 00000000 11111111 000000000000000 111111111111111 00000000 11111111 000000000000000 111111111111111 00000000 11111111 000000000000000 111111111111111 00000000 11111111 000000000000000 111111111111111 00000000 11111111 000000000000000 111111111111111 00000000 11111111 000000000000000 B 111111111111111 00000000 11111111 000000000000000 111111111111111 00000000 11111111 000000000000000 111111111111111 00000000 11111111 000000000000000 111111111111111 00000000 11111111 000000000000000 111111111111111 00000000 11111111 000000000000000 111111111111111

Figura 7.14: Esbo¸co policial de uma colis˜ao entre dois autom´ oveis.

CAP´ITULO 7. SISTEMAS DE PART´ICULAS

(c) O ˆ angulo θ da direçcão comum dos dois carros ap´ os a colis˜ ao com a direçcão inicial do carro vindo de B é inferior a 45º. O condutor do carro vindo de B afirma que n˜ ao viajava a mais de 60 km h−1 . A pol´ıcia afirma o contr´ ario. Pode proválo?

7.5.3

1111111 0000000 0000000 1111111

11111111 00000000 00000000 11111111 5m

10 m

7.1. A molécula de Fluoreto de Hidrogénio, HF , tem um comprimento de liga¸cão (distˆ ancia entre os dois n´ ucleos) de d = ˚ 0,917 A. (a) Determine a posi¸cão do centro de massa relativamente aos dois n´ ucleos. (b) Se a molécula contiver um dos is´ otopos do hidrogénio, deutério ou tr´ıtio, em que o n´ ucleo do hidrogénio tem um ou dois neutrões, além do prot˜ ao, a posi¸cão do centro de massa da molécula varia?

(b)

(a)

Problemas

Figura 7.15: Qual ´e varia¸ca˜o de energia potencial grav´ıtica da corrente?

7.2. A corrente da figura 7.15 tem uma massa total de 10 kg. Qual é a varia¸cão de energia potencial grav´ıtica entre a configura¸c˜ ao (a), corrente estendida e (b), corrente dobrada? 7.3. Uma pessoa de 70 kg cai de uma altura de 1 m. (a) Se ap´ os o contacto com o solo o seu centro de massa demorar 0,1 s a parar, qual é o valor da for¸ca média exercida pelo solo nos seus pés, desde o in´ıcio do contacto até ` a paragem do centro de massa? (b) Quanto vale essa for¸ca se a pessoa, flectindo as pernas, aumentar o tempo de paragem para 0,5 s?

10 cm

40 cm 10 cm

30 cm

Figura 7.16: Onde est´ ao centro de massa deste ”L”?

7.4. O corpo da figura 7.16 é homogéneo. Determinar a posi¸cão do respectivo centro de massa. Nota: Pode ser considerado como constitu´ıdo por dois rectˆ angulos. 7.5. Numa das colis˜ oes realizadas na Actividade A7 um dos carros est´ a inicialmente parado e o outro tem uma velocidade inicial de 0,5 m s−1 . A massa de cada carro é m = 0,250 kg. Os carros movem-se em conjunto ap´ os a colis˜ ao.

˜ 7.5. ACTIVIDADES QUESTOES E PROBLEMAS

(a) Qual é a velocidade do centro de massa? (b) Qual é a energia cinética de transla¸cão antes da colis˜ ao? (c) Qual é a energia cinética de transla¸cão ap´ os a colis˜ ao? (d) Qual é a energia de movimento relativo ao centro de massa ap´ os a colis˜ ao? (e) Que percentagem da energia cinética inicial se dissipou na colis˜ ao? 7.6. Um revólver dispara projécteis de massa m = 7,4 g com uma velocidade de sa´ıda da arma de 303 m s−1 . O comprimento do cano é cerca de 10 cm e a arma tem uma massa de cerca de 600 g. (a) Qual é o valor do impulso exercido pela arma sobre o projéctil? (b) Qual é a velocidade de recuo da arma? (c) Se pudéssemos considerar que o movimento do projéctil no cano é uniformemente acelerado, qual seria o valor da for¸ca exercida pelo projéctil na arma? 7.7. A FIFA estabelece, nos testes a bolas de futebol, que uma bola, ca´ındo de uma altura de 2 m sobre uma placa de a¸co, deve ressaltar a uma altura entre 1,20 m e 1,65 m. (a) Que valores do coeficiente de restitui¸cão correspondem a estas alturas de ressalto?

y 2 2

(b) Num segundo ressalto a que altura subiria uma bola que ressaltou a 1,65 de altura?

θ θ

Nota: Ignorar a resistência do ar. 7.8. Duas part´ıculas com a mesma massa e velocidades com igual m´ odulo, v, colidem segundo um ângulo de π/2 (90 º). Após a colis˜ ao continuam a ter velocidades iguais em m´ odulo, v ′ , mas o ˆ angulo entre elas é de 2θ (ver fig. 7.17). a) Qual é a direçc˜ ao do vector p~sist , momento linear total? b) Mostrar que:

√ v′ 2 = . v 2 cos θ

c) Mostrar que o coeficiente de restitui¸c˜ao ´e e = tan θ.

Figura 7.17: Colis˜ ao entre duas part´ıculas de igual massa

CAP´ITULO 7. SISTEMAS DE PART´ICULAS

d) Que interpreta¸c˜oes se podem dar ao facto de i) e > 1, se θ > π/4. ii) e → ∞ se θ → π/2.

1111 0000 1111 0000

11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000

7.9. Uma esfera de massa 500 g est´ a pousada num suporte de 1 m ´ atingida por uma bala de massa m = 10 g, com de altura. E velocidade horizontal, que fica incrustada na esfera. A velocidade da esfera ´e horizontal, imediatamente ap´ os a colis˜ ao e ela atinge o solo a 6 metros na horizontal do suporte (ver fig. 7.18).

Figura 7.18: Qual ´e a velocidade da bala?

(a) Quanto vale o coeficiente de restitui¸cão desta colis˜ ao? (b) Quanto tempo demora a esfera a atingir o solo? (c) Qual era a velocidade da bala? 7.10. Um corpo de massa m e velocidade v0ˆı colide com um corpo de massa 2m, inicialmente parado. A colis˜ ao é frontal e as velocidades, ap´ os a colis˜ ao, s˜ ao v1ˆı e v2ˆı. A colis˜ ao é elástica. (a) Mostrar que as velocidades ap´ os a colis˜ ao satisfazem as equa¸cões v1 + 2v2 = v0 v12 + 2v22 = v02 . (b) Resolver estas equa¸cões (sugere-se quadrar a primeira) e determinar v1 e v2 . (c) Se a colis˜ ao fosse perfeitamente inel´ astica, a velocidade da part´ıcula de massa 2m, ap´ os a colis˜ ao seria maior ou menor? 7.11. Resolver o problema anterior trocando as massas: supondo que o corpo com velocidade inicial v0 tem a maior massa, 2m.

7.5.4

Desafios

7.1. Um esfera cai de uma altura h, com velocidade inicial nula, sobre uma placa de a¸co. A colis˜ ao tem um coeficiente de restitui¸c˜ ao e < 1.

˜ 7.5. ACTIVIDADES QUESTOES E PROBLEMAS

(a) Mostre que o intervalo de tempo entre a colis˜ ao n e n + 1, Tn , é dado pela express˜ ao: Tn = 2T0 en . em que T0 é o tempo que a esfera demora a cair a primeira vez. (b) Mostre que o tempo total que decorre desde que a esfera cai até ` a colis˜ ao de ordem N , no limite em que N → ∞, é finito e vale 1+e . T = T0 1−e

CAP´ITULO 7. SISTEMAS DE PART´ICULAS

Conte´ udo Ficha T´ecnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Sistemas de part´ıculas 7.1

2 5

Momento linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.1.1

Colis˜ ao de dois carros . . . . . . . . . . . .

7.1.2

Conserva¸c˜ ao de momento linear . . . . . . .

7.1.3

Momento linear e impulso . . . . . . . . . .

7.1.4

Momento linear e velocidade do centro de massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.1.5

O centro de massa . . . . . . . . . . . . . .

7.1.6

Determina¸c˜ ao de centros de massa . . . . .

7.1.7

Propuls˜ ao de foguet˜oes . . . . . . . . . . . .

Energia e centro de massa . . . . . . . . . . . . . .

7.2.1

Energia potencial grav´ıtica . . . . . . . . .

7.2.2

Energia cin´etica

. . . . . . . . . . . . . . .

7.2.3

Energia cin´etica em colis˜ oes . . . . . . . . .

7.3

Conclus˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.4

Respostas aos ET V ′ s . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.5

Actividades quest˜ oes e problemas . . . . . . . . . .

7.5.1

Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.5.2

Quest˜oes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.5.3

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.5.4

Desafios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2