Oscilações by Casa Ciências

Projecto Faraday Textos de Apoio

Oscila¸c˜ oes 12º Ano de Escolaridade

Porto, Outubro de 2009

Ficha T´ ecnica Projecto de interven¸cão no ensino da F´ısica no secundário. Financiamento Funda¸c˜ ao Calouste Gulbenkian. Execu¸ c˜ ao Departamento de F´ısica, Faculdade de Ciências da Universidade do Porto. Escolas Participantes ES Filipa de Vilhena ES Fontes Pereira de Melo ES Garcia de Orta ES da Maia ES de Santa Maria da Feira

Coordena¸ c˜ ao J. M. B. Lopes dos Santos Manuel Joaquim Marques

Portal URL: http://www.fc.up.pt/faraday

Texto do 12º Ano Redactor Principal J. M. B. Lopes dos Santos

3 Colabora¸ c˜ ao e revis˜ ao Elisa Arieiro Carlos M. Carvalho Manuel Joaquim Marques Maria de F´ atima Mota

Cap´ıtulo 6

Oscila¸c˜ oes Recentemente o Paquist˜ ao foi assolado por um terramoto devastador. Durante um terramoto a superf´ıcie da Terra vibra. Essas vibra¸c˜ oes comunicam-se ao edif´ıcios e, se a amplitude da vibra¸cão exceder as margens de seguran¸ca, os edif´ıcios colapsam. Quando falamos fazemos vibrar as nossas cordas vocais. Essa vibra¸cão transmite-se ao ar e constitui o som. Todos os instrumentos musicais, têm componentes (cordas, colunas de ar, palhetas met´ alicas, ferros) que vibram, oscilam, para produzir o som. Dentro de um rel´ ogio, computador, ou telem´ ovel, existe um pequeno cristal de quartzo cujas oscila¸c˜ oes constituem o elemento central de controlo do tempo e do sincronismo destes aparelhos. A radia¸cão electromagnética p˜ oe cargas a oscilar em torno de posi¸cões de equil´ıbrio e por isso dizemos que é constitu´ıda por vibra¸cões dos campos eléctricos e magnéticos. O estudo de sistemas oscilat´ orios (osciladores) é um dos tópicos mais importantes quer da F´ısica Cl´ assica quer da F´ısica Quˆ antica. Um corpo, ou um sistema qualquer, que se encontra numa situa¸cão de equil´ıbrio est´ avel, tenderá a regressar a essa posi¸cão, se dela for ´ por isso que dizemos afastado ligeiramente e, depois, largado. E que o equil´ıbrio é est´ avel. Uma esfera que rola numa ta¸ca numa ta¸ca esférica é um bom exemplo (fig. 6.1). Se deslocarmos a esfera do centro da ta¸ca em qualquer direçc˜ ao e a largarmos, o seu peso e a reaçcão normal da ta¸ca aceleram-na em direçc˜ ao ` a posi¸cão de equil´ıbrio. Ao passar no ponto de equil´ıbrio, a velocidade da esfera n˜ ao é nula e ela n˜ ao para imediatamente, come¸ca a subir de novo a ta¸ca. A partir desse instante, as for¸cas sobre a esfera retardam o seu movimento 5

Figura 6.1: A posi¸ca˜o de equil´ıbrio est´ avel ´e o centro da ta¸ca.

˜ CAP´ITULO 6. OSCILAC ¸ OES

e fazem-na regressar de novo ao centro da ta¸ca: a esfera oscila em torno da posi¸c˜ ao de equil´ıbrio.

⊲ consp´ıcuo: que d´ a nas vistas.

Algo semelhante acontece com qualquer sistema que seja perturbado ligeiramente da sua configura¸cão de equil´ıbrio. Por esta raz˜ ao, os fenómenos oscilat´ orios s˜ ao tão consp´ıcuos. Naturalmente, efeitos de atrito e de dissipa¸cão de energia tenderão a reduzir, mais ou menos rapidamente, a energia de um oscilador. As oscila¸c˜ oes s˜ ao amortecidas, o afastamento m´ aximo da posi¸cão de equil´ıbrio em cada oscila¸cão, a amplitude, vai diminuindo com o tempo e o sistema acaba por parar na posi¸cão de equil´ıbrio. Se s˜ ao t˜ ao comuns os fenómenos de oscila¸cão, poder´ıamos perguntar: Teremos que estudar separadamente todos os tipos de osciladores, ou existem caracter´ısticas comuns a todos os fenómenos de oscila¸cão? Efectivamente, o comportamento dinˆ amico de vastas classes de osciladores é, no essencial, o mesmo: ao estudar um, estudam-se todos. Por isso, alguns dos conceitos que vamos introduzir neste cap´ıtulo podem aplicar-se a sistemas muito diferentes daqueles que vamos utilizar como exemplo. Uma das caracter´ısticas mais importantes é que muito osciladores têm um movimento peri´ odico: o seu movimento repete a mesma configura¸cão ao fim de um intervalo de tempo fixo, o per´ıodo. Para um tipo muito importante de osciladores, osciladores harmónicos, este per´ıodo é uma caracter´ıstica do oscilador que n˜ ao depende do modo como foi posto em oscila¸c˜ ao, em particular, n˜ ao depende da energia da oscila¸cão. A nossa capacidade de medi¸cão precisa do tempo é totalmente baseada neste facto.

6.1 6.1.1

Exemplos de osciladores O Pˆ endulo

Um pêndulo é uma massa suspensa por um fio de comprimento fixo num campo grav´ıtico. A posi¸cão de equil´ıbrio est´ avel é, naturalmente, a configura¸cão em que o fio est´ a vertical e a massa directamente por baixo do ponto de suspens˜ ao. Fora desta posi¸cão a reaçc˜ ao normal do fio e o peso do corpo deixam de ser colineares. A resultante acelera o corpo em direçcão à posi¸cão de equil´ıbrio. A

6.1. EXEMPLOS DE OSCILADORES

1111111111 0000000000 0000000000 1111111111 1111111111 0000000000

11111111111 00000000000 00000000000 11111111111 11111111111 00000000000 T

T P P (a)

(b)

Figura 6.2: Na posi¸caõ de equil´ıbrio a resultante das for¸cas sobre o corpo é nula (a). Fora desta posi¸caõ a tensão do fio e o peso do corpo deixam de ser colineares; a resultante acelera o corpo em direçcaõ à posi¸caõ de equil´ıbrio (b).

acelera¸c˜ ao tangencial é positiva e a velocidade aumenta. Quando o corpo passar na posi¸c˜ ao de equil´ıbrio ter´ a alguma energia cinética e continuar´ a o seu movimento, agora com acelera¸cão tangencial negativa e velocidade a diminuir. Acaba por parar e inverter o sentido de movimento, repetindo-o agora no sentido inverso. Se houvesse conserva¸c˜ ao de energia mecˆ anica, o pêndulo voltaria à posi¸c˜ ao inicial e o movimento repetir-se-ia indefinidamente. Na pr´ atica é poss´ıvel reduzir a dissipa¸cão de tal modo, que s˜ ao necessárias muitas oscila¸c˜ oes para que o pêndulo perca uma parte significativa da sua energia. O per´ıodo do pêndulo é o intervalo de tempo entre duas configura¸cões sucessivas com a mesma posi¸cão e velocidade. O ângulo m´ aximo de afastamento da vertical é a amplitude angular da oscila¸c˜ ao. ´ atribu´ıda a Galileu a descoberta que o per´ıodo de oscila¸cão do E pêndulo n˜ ao depende da amplitude de oscila¸cão, se esta n˜ ao for demasiado grande. Esta descoberta foi crucial para o desenvolvimento da nossa capacidade de medi¸cão do tempo e, durante muito tempo, a base da tecnologia dos rel´ ogios. A oscila¸cão de um pêndulo marca um intervalo de tempo constante: contar oscila¸cões de um pêndulo é medir o tempo!

6.1.2

Flutuador

Um corpo que flutua ` a superf´ıcie da ´agua, tem um volume imerso, Vi , tal, que o seu peso, P = mg, e a impuls˜ao, I = ρa Vi g, s˜ ao

⊲ Actividade 6.1

˜ CAP´ITULO 6. OSCILAC ¸ OES

R=0

R (a)

(b)

(c)

Figura 6.3: Na situa¸caõ de equil´ıbrio a resultante do peso e da impulsão, ~ é nula, (a). O sentido da resultante é oposto ao deslocamento da R, posi¸caõ de equil´ıbrio, portanto o corpo oscila se o equil´ıbrio for perturbado, (b) e (c).

iguais. No equil´ıbrio, Vi = Veq , Veq =

m , ρa

em que m é a massa do corpo e ρa a massa vol´ umica da água. Se o corpo estiver afundado relativamente à configura¸cão de equil´ıbrio (Vi > Veq ), a impulsão é maior que o peso e o corpo fica sujeito a uma for¸ca de sentido ascendente; por outro lado, se o corpo estiver acima da posi¸cão de equil´ıbrio (Vi < Veq ), a impulsão ser´ a menor que o peso e a resultante ter´ a o sentido descendente. A resultante das for¸cas que actuam no corpo tem sentido oposto ao do deslocamento do equil´ıbrio e o sistema oscilar´ a se for perturbado da posi¸c˜ ao de equil´ıbrio.

6.1.3

Massa suspensa em mola

Se suspendermos uma esfera numa mola esta distende-se e, na configura¸c˜ ao de equil´ıbrio, o m´ odulo da for¸ca exercida pela mola ser´ a igual ao peso da esfera (supomos o peso da mola desprez´avel em compara¸c˜ ao com o da esfera).

111111111 000000000

111111111 000000000 y

le R m

R= 0

Figura 6.4: A resultante das for¸cas sobre a esfera tem o sentido oposto do deslocamento da posi¸ca˜o de equil´ıbrio.

6.1. EXEMPLOS DE OSCILADORES

Se a esfera estiver abaixo da posi¸c˜ao de equil´ıbrio, a for¸ca exercida pela mola ser´ a ascendente e maior que o peso e a resultante ter´ ao sentido ascendente. Se a esfera estiver acima da posi¸c˜ao de equil´ıbrio a mola fica menos distendida e a respectiva for¸ca diminui; a resultante tem, ent˜ ao, o sentido do peso da esfera.

6.1.4

Absor¸c˜ ao de choques

Por vezes é muito importante garantir um amortecimento r´ apido de vibra¸c˜ oes: é o caso dos sistemas destinados absorver choques externos em estruturas. O exemplo mais comum é o dos amortecedores dos autom´ oveis. A maior parte da massa de um carro, incluindo a cabina onde viajam os passageiros, est´ a apoiada em molas, que por sua vez est˜ ao sustentadas na estrutura que contém as rodas e eixos e que contacta directamente com a estrada. Uma imperfei¸cão na estrada origina um brusco movimento vertical das rodas, comprimindo ou distendendo as referidas molas. Estas molas permitem que a acelera¸cão na cabine n˜ ao seja t˜ ao grande como seria se as rodas estivessem ligadas rigidamente ao resto do carro. As duas partes do carro ligadas pelo sistema de molas constituem um oscilador que é importante amortecer rapidamente, pois a sua oscila¸cão é n˜ ao apenas desconfort´ avel, mas perigosa, já que pode fazer perder o contacto das rodas com a estrada. Esse é o papel dos amortecedores. Na configura¸c˜ ao mais comum, s˜ ao dois tubos: o mais exterior est´ a ligado a um pist˜ ao perfurado, que se move no tubo interior, o qual, por sua vez, est´ a cheio de o´leo. Um dos tubos est´ a preso à estrutura do carro e o outro ao eixo junto à roda. A energia de oscila¸c˜ ao é rapidamente dissipada no movimento do óleo viscoso no amortecedor. Sistemas como estes existem em muitas outras situa¸cões, sempre que seja necessário absorver e dissipar a energia de choques em estruturas.

6.1.5

Resumo

Um sistema oscila quando fica sujeito a uma for¸ ca restauradora ao ser deslocado da posi¸c˜ ao de equil´ıbrio. Esta for¸ca é nula na configura¸c˜ ao de equil´ıbrio; tem sentido oposto ao do deslocamento da posi¸c˜ ao de equil´ıbrio. A oscila¸c˜ ao ocorre devido ` a in´ ercia. A for¸ca restauradora acelera o sistema em direçc˜ ao ` a posi¸cão de equil´ıbrio, mas este n˜ ao

Figura 6.5: Amortecedores de um carro. Adapatado de [?].

˜ CAP´ITULO 6. OSCILAC ¸ OES

para quando a for¸ca se anula ao passar no equil´ıbrio; as for¸cas determinam acelera¸cões, n˜ ao determinam velocidades. Para afastar um sistema da posi¸cão de equil´ıbrio é necessário realizar trabalho externo sobre ele. Como a for¸ca restauradora é oposta ao deslocamento, a for¸ca externa tem que ter o sentido do deslocamento e realiza trabalho, aumentando a energia do sistema relativamente à da configura¸cão de equil´ıbrio. Se a energia mecˆ anica do oscilador se conservar, a amplitude da oscila¸cão (afastamento m´ aximo da posi¸cão de equil´ıbrio em cada oscila¸cão) mantém-se constante. A dissipa¸c˜ ao faz com a energia do osilador diminua em cada oscila¸c˜ ao e, com o passar do tempo, o sistema vibra cada vez mais pr´ oximo da posi¸cão de equil´ıbrio. Estas oscila¸cões chamam-se amortecidas. Em osciladores em que a energia se mantém constante, o movimento é peri´ odico: o oscilador repete o mesmo estado ao fim de um intervalo de tempo fixo, o per´ıodo. A existência de fenómenos f´ısicos peri´ odicos é a base da tecnologia de medi¸cão e contrˆ olo do tempo.

6.2 6.2.1

Movimento Harm´ onico Simples Equa¸c˜ ao de movimento

Vamos agora estudar com mais detalhe um exemplo concreto de oscilador. O nosso sistema ser´ a constitu´ıdo por uma esfera suspensa numa mola, em movimento vertical (direçcão Oy). Para determinar o movimento da esfera teremos apenas que aplicar o programa newtoniano. As for¸ cas Para movimentos relativamente lentos as for¸cas de resistência do ar s˜ ao pouco importantes. As for¸cas na esfera s˜ ao, ent˜ ao, o seu peso e a for¸ca elástica da mola: P~ = −mgˆ F~e = k(l − l0 )ˆ,

(6.1)

em que l0 ´e o comprimento da mola quando n˜ ao est´ a distendida ou comprimida. A massa m e a constante da mola, k, s˜ ao grandezas que supomos conhecidas.

´ 6.2. MOVIMENTO HARMONICO SIMPLES

111111111 000000000 ET V 1 : Que sentido tem a for¸ca elástica se a mola estiver comprimida? E se estiver distendida? A equa¸cão 6.1 tem o sinal correcto, ou precisa de um sinal negativo? Se invertermos o sentido do eixo Oy, como se modificam as equa¸cões das for¸cas?

x y(t)

Parece natural, já que vamos estudar oscila¸cões em torno da posi¸cão de equil´ıbrio, fazer coincidir a origem do sistema de eixos com essa posi¸cão. Assim, l = le − y(t), (6.2)

Figura 6.6: O comprimento da mola ´e le − y(t).

em que y(t) é o deslocamento segundo Oy em rela¸cão à posi¸cão de equil´ıbrio, também designado, neste contexto, por elongamento. A resultante das for¸cas sobre a esfera é: ~ = (−mg + k (le − l0 − y))ˆ R

= (−mg + k (le − l0 ) − ky)ˆ

= −kyˆ.

(6.3)

Por que raz˜ ao pudemos simplificar deste modo a express˜ ao da resultante? Sorte? Não! O comprimento de equil´ıbrio, le , é definido pelo anulamento da resultante das for¸cas sobre a esfera: −mg + k(le − l0 ) = 0.

(6.4)

Ao escolher a posi¸c˜ ao de equil´ıbrio como origem de coordenadas, temos que obter resultante nula quando y = 0. Este resultado traduz a observa¸caõ que fizemos antes sobre vários osciladores: a for¸ca restauradora tem o sentido oposto ao do elongamento: se y > 0, Ry < 0 e vice-versa. Além disso, neste caso, o m´ odulo da for¸ca restauradora é proporcional ao elongamento y(t) (eq. 6.3). Este tipo de oscilador, em que for¸ca ∝ −elongamento

chama-se oscilador harm´ onico, ou linear. k é a constante da for¸ ca restauradora e tem unidades de N m−1 (for¸ca por unidade de deslocamento). Para pequenos desvios do equil´ıbrio, é quase sempre poss´ıvel aproximar a for¸ca restauradora por uma express˜ ao semelhante à da eq. 6.3, pelo que quase todos os osciladores s˜ ao harmónicos, quando oscilam com pequena amplitude.

⊲ Oscilador harm´ onico

˜ CAP´ITULO 6. OSCILAC ¸ OES

12 A segunda lei

Como o movimento ´e segundo Oy, ~a(t) = ay (t)ˆ.

A segunda lei de Newton diz-nos que: may (t) = −ky(t), ou ay (t) = −

k × y(t). m

(6.5)

A segunda parte do programa de Newton est´ a completa: se soubermos a posi¸caõ y(t) da esfera, sabemos calcular a sua acelera¸cão. Esta equa¸c˜ ao é a equa¸ c˜ ao de movimento do oscilador harm´ onico. Para completar o programa Newtoniano temos que descobrir que elongamentos y(t) satisfazem esta equa¸cão: isto é, que fun¸cões y(t) têm uma segunda derivada (acelera¸cão ay (t)) proporcional e de sinal oposto à pr´ opria fun¸cão, y(t).

ET V 2 : Suponhamos que, no instante t = 0, y = y0 6= 0 e, portanto, ay = −(k/m)y0 . Ser´ a o movimento uniformemente acelerado, 1 k y(t) = y0 − y 0 t2 2 m k vy (t) = − y0 t ? m Por que n˜ ao?

6.2.2

Energia de um oscilador

Qual é a energia deste oscilador, para movimentos verticais? Temos: Energia cinética: Ec = mvy2 /2; Energia potencial grav´ıtica: tomando a altura de referência como sendo a de equil´ıbrio, Eg = mgy;

´ 6.2. MOVIMENTO HARMONICO SIMPLES

Temos que juntar a estes dois termos a energia elástica da mola, 1 Ee = k(l − l0 )2 , 2 em que l0 é comprimento da mola se n˜ ao estiver comprimida nem distendida; o comprimento da mola é l = le − y, em que le é o comprimento da mola quando a esfera est´ a na posi¸cão de equil´ıbrio (ver fig. 6.6 na p´ agina 11). Assim, Ee = =

1 k(le − y − l0 )2 2 1 1 k(le − l0 )2 + ky 2 − k(le − l0 )y. 2 2

A energia potencial total (el´ astica mais grav´ıtica) ´e: Ep =

1 1 k(le − l0 )2 + ky 2 + (mg − k(le − l0 )) y. 2 2

Para l = le , o m´ odulo do peso ´e igual ao da for¸ca el´astica, E0

mg = k(le − l0 ),

y Fy

pelo que 1 1 Ep = k(le − l0 )2 + ky 2 . 2 2 O primeiro termo ´e uma constante que n˜ ao depende da posi¸ca˜o da esfera durante a oscila¸c˜ ao: 1 Ep = E0 + ky 2 . 2

(6.6)

Conforme vemos na figura 6.7, a energia potencial é m´ınima na posi¸cão de equil´ıbrio, o ponto onde a for¸ca restauradora é nula. Sempre que a for¸ca restauradora seja proporcional ao elongamento, isto é, sempre que o oscilador seja harmónico, obtemos um resultado semelhante: a energia potencial varia como o quadrado do elongamento.

6.2.3

Energia do pˆ endulo

O caso do pêndulo é uma boa ilustra¸cão da u ´ ltima frase da seçcão anterior e do facto de muitos osciladores serem harmónicos para oscila¸c˜ oes de pequena amplitude.

Figura 6.7: Energia potencial e for¸ca el´astica de uma massa suspensa numa mola.

˜ CAP´ITULO 6. OSCILAC ¸ OES

Escolhamos a origem dos eixos no ponto de equil´ıbrio do pêndulo. As coordenadas x(t) e y(t) n˜ ao s˜ ao independentes porque a traject´ oria é uma circunferência com centro no ponto de suporte e raio igual ao comprimento l do fio. Isto é, x2 + (l − y)2 = l2 ou x2 + l2 − 2ly + y 2 = l2 .

000000000000 111111111111

Para pequenas oscila¸c˜oes, temos y ≪ l e y 2 ≪ 2ly. Podemos desprezar o termo y 2 em compara¸c˜ao com 2ly e obter1 : l

l−y θ

y≈

y x

Figura 6.8: Como escrever a energia potencial do pˆendulo?

x2 . 2l

A energia potencial grav´ıtica, medida relativamente à posi¸cão de equil´ıbrio, é 1 mg 2 x . Ep = mgy = 2 l Obtemos uma express˜ ao semelhante à do sistema massa–mola com uma constante de mola efectiva k=

mg . l

Como y=

x x2 , =x× 2l 2l

e o termo entre parêntesis é muito menor que a unidade para pequenas oscila¸cões (x ≪ l), podemos concluir que y ≪ x. Logo, a componente vx da velocidade é muito superior a vy e a energia cinética é 1 1 Ec = m vx2 + vy2 ≈ mvx2 . 2 2 Em resumo: Para pequenas oscila¸cões, o pêndulo é equivalente a um oscilador em movimento segundo Ox, com massa m e constante de for¸ca k = mg/l. 1

Um resultado semelhante apareceu no cap´ıtulo 5, das notas do 11º ano, quando discutimos a acelera¸c˜ ao da Terra relativamente ao Sol.

´ 6.2. MOVIMENTO HARMONICO SIMPLES

´ fácil obter uma express˜ ET V 3 : E ao exacta para a energia potencial do pêndulo em fun¸cão do ângulo com a direçcão vertical. Como l − y = l cos θ, temos Ep = mgy = mgl(1 − cos θ) Por outro lado, x = lsenθ. Calcular e comparar os valores obtidos com as duas expressões, Ep = mgl(1 − cos θ)

(exacta)

1 mg 2 x (aproximada), 2 l para um pˆendulo com l = 1 m, m = 1 kg e ˆangulos de 5º, 10º,15º, . . . . Ep =

6.2.4

A solu¸c˜ ao

Elongamento, velocidade e energia Voltemos ao sistema massa-mola em oscila¸cão vertical: se deslocarmos a massa de y = 10 cm da posi¸cão de equil´ıbrio e a largarmos, o que acontece? Antes de fazer a experiência proposta na actividade 6.2, podemos tentar antecipar o aspecto geral dos gr´ aficos de y(t) e vy (t). O exerc´ıcio da Caixa 6.1 chama a aten¸cão para alguns pontos a ter em aten¸cão. Se os levarmos em conta, chegaremos a gr´ aficos semelhantes aos da figura 6.9; na actividade 6.2 encontram-se gr´ aficos semelhantes. Vejamos alguns pontos importantes. i) Os extremos de y(t) ocorrem nos instantes em que vy (t) = 0. Com efeito, os extremos correspondem aos instantes em que a esfera inverte o sentido de movimento e a velocidade se anula. ii) A energia total do oscilador é o valor da energia potencial nos pontos extremos de elongamento.

⊲ Actividade 6.2.

˜ CAP´ITULO 6. OSCILAC ¸ OES

ET V 4 : adivinhando o movimento oscilat´ orio harm´ onico Desenhar um gráfico esquem´ atico do que se espera obter para y(t) em fun¸caõ de t e vy (t) em fun¸caõ de t, supondo a posi¸caõ inicial y(0) = 10 cm, com vy (0) = 0. Ter em aten¸caõ, em particular, os pontos not´ aveis, máximos, m´ınimos e zeros, destas duas fun¸co˜es. Depois de realizado o exerc´ıcio, verificar se os gráficos levaram em conta os seguintes pontos: 1. A massa é largada do repouso. A sua velocidade inicial é zero. Qual é o declive da tangente ao gráfico de y(t) para t = 0? 2. Como a acelera¸caõ inicial é negativa, a coordenada y(t) deve come¸car por diminuir. O valor de vy (t) deve tornar-se positivo ou negativo? O que deve acontecer ao declive da tangente ao gráfico de y(t), à medida que t aumenta? 3. Quando y(t) passa a posi¸caõ de equil´ıbrio, y = 0, a for¸ca troca de sentido: a for¸ca e a velocidade passam a ter sentidos opostos. O que deve acontecer ao módulo da velocidade? Como deve variar o declive da tangente ao gráfico de y(t)? 4. Quando y(t) atinge o valor m´ınimo, quanto vale vy (t)? 5. Como n˜ ao consideramos for¸cas de atrito, a energia mecânica da massa suspensa conserva-se. Quando y(t) volta a passar por um máximo, o seu valor é maior, menor ou igual a y(0)? 6. Se a massa voltar a estar na posi¸caõ inicial, com velocidade nula, ao fim de T segundos, o que vai acontecer nos próximos T segundos? Depois de rever estes pontos, confrontar os gráficos feitos com os da figura 6.9 da p´ agina 17.

Caixa 6.1: Adivinhando o movimento de um oscilador simples.

´ 6.2. MOVIMENTO HARMONICO SIMPLES

y cm 10 5 t -5 -10 vy

Figura 6.9: Gráficos de posi¸caõ e velocidade de um oscilador em fun¸caõ do tempo.

Nos extremos de elongamento, y(t) = ±y0 , a velocidade e a energia cin´etica s˜ ao nulas; a energia total tem apenas o termo potencial: 1 E = Ep (y0 ) = E0 + ky02 . 2 iii) Se houver conserva¸c˜ ao de energia, o sistema oscila entre valores sim´etricos, y0 e −y0 .

Isto resulta do ponto anterior. Nos extremos de elongamento a energia total é a energia potencial; como a primeira se conserva, a energia potencial tem que ser a mesma, sempre que y(t) passe por um m´ aximo ou m´ınimo; os valores m´ aximo e m´ınimo de y(t) têm que ser simétricos, ±y0 , pois Ep −E0 ∝ y2.

iv) A velocidade tem m´ odulo m´ aximo na posi¸cão de equil´ıbrio. Na posi¸c˜ ao de equil´ıbrio a energia potencial tem o valor m´ınimo: a energia cinética ter´ a então o valor m´ aximo. Logo, a velocidade ser´ a m´ axima para elongamento nulo. Durante a oscila¸c˜ ao a energia passa de potencial a cinética quando a esfera acelera em direçc˜ ao ` a posi¸cão de equil´ıbrio e de cinética para potencial quando ela se afasta dessa posi¸cão.

˜ CAP´ITULO 6. OSCILAC ¸ OES

v) Havendo dissipa¸cão de energia, os valores dos m´ aximos e m´ınimos de y(t) vão diminuindo em m´ odulo e as oscila¸cões vão diminuindo de amplitude com o tempo. Se a energia diminui, o valor de y(t)2 , ao passar um m´ aximo ou m´ınimo, tem que ser menor em virtude do ponto ii).

ET V 5 : Desenhar de um modo esquem´ atico, no mesmo gr´ afico, as energias cin´eticas e potencial do oscilador em fun¸c˜ao ´ habitual representar apenas a parte vari´ do tempo. E avel da energia potencial, Ep − E0 . Ser´ a que os per´ıodos de oscila¸c˜ ao de Ec e Ep s˜ ao o mesmos que os de y(t) ou vy (t)?

O per´ıodo Os valores m´ aximo e m´ınimo do elongamento y(t) e da velocidade vy (t) dependem da energia total da oscila¸cão. Como esta se conserva, quanto maior for a energia do estado inicial, maior ser´ aa amplitude do movimento. E o per´ıodo? Ser´ a que varia também com a energia? Um dos resultados mais importantes da equa¸cão de movimento do oscilador harmónico (com for¸ca restauradora proporcional ao elongamento) é o seguinte: O per´ıodo de um oscilador harmónico é independente da amplitude das oscila¸cões e das condi¸cões iniciais do movimento. Depende apenas da massa, m, e da constante, k, da for¸ca restauradora. Na Actividade 6.2 teremos oportunidade de verificar este resultado em rela¸c˜ ao ao sistema de massa suspensa numa mola. J´ a referimos que foi Galileu que descobriu esta propriedade das oscila¸cões do pêndulo. Podemos compreender este resultado do seguinte modo. O intervalo de tempo que decorre entre um m´ınimo, y(t) = −y0 , e o zero seguinte, y(t + ∆t) = 0, é um quarto de per´ıodo, ∆t = T /4. No instante inicial deste intervalo a esfera est´ a a uma distˆ ancia y0 do ponto de equil´ıbrio e tem velocidade nula; no instante final

´ 6.2. MOVIMENTO HARMONICO SIMPLES

a velocidade é m´ axima, vmax . Qual ser´ a a velocidade média neste ` partida n˜ intervalo? A ao sabemos, mas parece razo´ avel admitir que deve ser proporcional a vmax : vm ∝ vmax . Quando o sistema passa na origem, toda a energia potencial, em excesso da do equil´ıbrio, se transformou em energia cinética: r 1 2 k 1 2 mvmax = ky0 ⇒ vmax = y0 2 2 m então vm ∝

k y0 m

Este resultado diz-nos que no intervalo de tempo em que o oscilador passa de um m´ınimo a um zero, T /4, tem uma velocidade m´edia proporcional ` a distˆ ancia que tem que percorrer, y0 . Ora, por defini¸c˜ ao de velocidade m´edia, vm ∆t = vm

T = y0 , 4

ou seja, T y0 y0 ∝ = ∝ p 4 vm y0 k/m

m k

(6.7)

O per´ıodo n˜ ao depende da amplitude porque y0 cancela entre o numerador e o denominador. Para uma amplitude maior o oscilador percorre uma distˆ ancia maior entre um m´ınimo de elongamento e um zero, mas fá-lo com uma velocidade média superior também: demora o mesmo tempo. Se a energia potencial, Ep − E0 , n˜ ao fosse a de uma for¸ca elástica, proporcional ao quadrado do elongamento, n˜ ao haveria cancelamento de y0 entre o numerador e denominador da express˜ ao da equa¸cão 6.7 e o per´ıodo dependeria da amplitude. Daqui a pouco veremos que a fórmula exacta do per´ıodo de um oscilador harmónico é, de facto: r m . T = 2π k Este resultado é um dos mais importantes da f´ısica do oscilador harmónico: os valores da massa e da constante da for¸ca restauradora determinam o per´ıodo. Cada oscilador tem um per´ıodo

˜ CAP´ITULO 6. OSCILAC ¸ OES

caracter´ıstico, independente do modo como é posto a oscilar ou da energia que tem no seu movimento. Podemos aumentar ou diminuir a energia de um oscilador, que o seu per´ıodo T , ou frequência de oscila¸cão, f = 1/T , n˜ ao variam. Toda a tecnologia que depende de manter o sincronismo entre vários processos (os rel´ ogios, a transmiss˜ ao de r´ adio ou televisão, as telecomunica¸cões, o processamento no CPU de um computador, etc.) é baseada nesta propriedade dos osciladores harmónicos. 11111111111111111111 00000000000000000000 00 11 00 11 00000000000000000000 11111111111111111111 00 11 00 11 k

11 00 00 11

ET V 6 : A barra da figura 6.10 tem massa m = 2 kg e est´ a suspensa em duas molas idênticas com k = 200 N m−1 . Qual é a frequência de oscila¸cão vertical deste sistema?

1 0 0 1

Figura 6.10: Qual ´e frequˆencia deste oscilador?

6.3

Descri¸c˜ ao matem´ atica do MHS

J´ a sabemos muito sobre as caracter´ısticas do movimento harm´onico simples. Todavia, ainda n˜ ao completamos o programa Newtoniano. Sabendo a posi¸c˜ao e velocidade num dado instante, y(t0 ) e vy (t0 ), que valores tomam o elongamento e a velocidade em qualquer instante t?

6.3.1

⊲ Actividade 6.3

As fun¸ c˜ oes trigonom´ etricas

Vamos come¸car por escrever os resultados, como se eles tivessem ca´ıdo do céu. Mais à frente veremos que existe uma rela¸cão estreita entre o movimento harmónico simples e o movimento circular uniforme e estes resultados tornar-se-ão menos misteriosos. A fun¸c˜ ao y(t) que satisfaz a equa¸cão de movimento, eq. 6.5, da p´ agina 12, k ay (t) = − y(t) m tem a forma: y(t) = y0 cos (ωt + θ0 ) . (6.8) A velocidade, por sua vez, é vy (t) = −ωy0 sen (ωt + θ0 ) em que:

(6.9)

˜ MATEMATICA ´ 6.3. DESCRIC ¸ AO DO MHS

ω, a frequˆencia angular, vale

ω=

k . m

y0 ´e a amplitude do movimento. Como o cosseno toma valores entre −1 e 1, o elongamento varia entre valores extremos de −y0 e y0 .2 θ0 ´e a fase inicial.

` primeira vista é surpreendente encontrarmos aqui cossenos e A senos, normalmente associados a aˆngulos, num movimento em que tudo se desenrola numa u ´ nica direçcão. Vejamos primeiro se compreendemos o que significam estas express˜ oes. Suponhamos que y0 = 0,1 m e que a fase θ(t) ≡ ωt + θ0 = 30. Quanto vale y(t)? Basta calcular cos(30), o que com o recurso a uma m´ aquina calculadora é relativamente simples. Mas 30 quê? Graus ou radianos? ´ importante referir que o que temos que calcular é o cosseno (ou E o seno) de um ˆ angulo de 30 radianos, nunca 30º! O resultado é y(t) = 2 × cos(30) = 0,309 m. A defini¸c˜ ao das fun¸ co ˜es sen(s) e cos(s) em que s é qualquer n´ umero real é recordada na Caixa 6.2; a liga¸cão com o conceito mais familiar de seno ou cosseno de um ângulo é a seguinte: O valor da fun¸c˜ ao sen(s) (cos(s)) é o seno (cosseno) de um ˆ angulo de s radianos. Usando as seguintes propriedades do seno e cosseno, π = cos (θ) sen θ + 2 π cos θ + = −sen (θ) , 2 podemos escrever y(t) e vy (t) numa forma diferente, mas inteiramente equivalente, y(t) = y0 sen ωt + θ0′ (6.10) ′ vy (t) = ωy0 cos ωt + θ0 , (6.11) 2

Nota: y0 , a amplitude, n˜ ao deve ser confundido com o valor inicial, y(0). S´ o s˜ ao idˆenticos se o elongamento for m´ aximo em t = 0.

⊲ Os f´ısicos preferem radianos!

˜ CAP´ITULO 6. OSCILAC ¸ OES

22 sendo θ0′ = θ0 + π/2.

As fun¸c˜ oes sen (s) e cos(s) têm um per´ıodo 2π (ver Caixa 6.2). Se a fase, θ(t) = ωt + θ0 , variar de 2π, os valores de elongamento e velocidade repetem-se. Assim, o per´ıodo T do movimento harmónico simples é definido por θ(t + T ) − θ(t) = ωT = 2π, ou seja, 2π = 2π T = ω

m . k

Repare-se que a frequência angular, ω, e o per´ıodo, T , s˜ ao determinados pela equa¸cão de movimento. Os valores de y0 e θ0 dependem da maneira como é iniciado o movimento, ou seja dos valores iniciais de y e vy .

ET V 7 : No instante t = 0, temos y = 10 cm e vy = 0, para oscilador com k = 20 N m−1 e m = 2 kg. Quais s˜ ao as fun¸c˜oes y(t) e vy (t)? Quanto vale a velocidade em t = 2 s?

6.3.2

O Movimento circular e o MHS

Existe, como dissemos, uma rela¸cão muito interessante entre o movimento circular uniforme e o movimento harmónico simples: As projeçcões nos eixos coordenados de um movimento circular uniforme s˜ ao movimentos harmónicos simples. Este resultado demonstra-se com muita facilidade e vai permitirnos compreender melhor a forma das equa¸cões do movimento harm´ onico simples. A frequˆ encia angular Um corpo em movimento circular uniforme descreve ângulos iguais em intervalos de tempo iguais. Se θ(t) for o ângulo (em radianos) medido em rela¸cão ao eixo Ox, a velocidade angular ω=

dθ dt

˜ MATEMATICA ´ 6.3. DESCRIC ¸ AO DO MHS

Fun¸ co ˜es trigonom´ etricas O valor de um ˆ angulo em radianos é o comprimento do arco correspondente a dividir pelo raio do c´ırculo, ou, o que é equivalente, o comprimento de um arco de um c´ırculo de raio unit´ ario (c´ırculo trigonométrico).

y s θ R

Oa ˆngulo em radianos, θ, ´ e a raz˜ ao s/R em que s ´ e o comprimento do arco e R raio do c´ırculo.

Como o per´ımetro de um c´ırculo de raio unit´ ario é 2π, poderia parecer que os ˆ angulos em radianos só tomam valores entre 0 e 2π ≈ 6,283. Contudo, n˜ ao h´ a qualquer dificuldade em considerar um ˆ angulo superior a 2π: corresponde ao comprimento de um arco descrito dando mais que uma volta completa ao c´ırculo com in´ıcio no eixo Ox, rodando no sentido oposto ao dos ponteiros do relógio. Um ˆ angulo negativo corresponde a percorrer o c´ırculo no sentido dos ponteiros do relógio. Deste modo, podemos associar um ponto no c´ırculo unit´ ario a qualquer n´ umero real, s. A respectiva coordenada no eixo Ox é cos(s) e no eixo Oy, sen(s): isto define o valor destas duas fun¸co˜es para qualquer argumento real. Naturalmente, como s e s+ n× 2π (n inteiro) definem a mesma posi¸caõ no c´ırculo trigonométrico, temos: cos(s + 2nπ) = cos(s) sen(s + 2nπ) = sen(s)

n, inteiro n, inteiro.

As fun¸co˜es trigonom´etricas tˆem per´ıodo 2π.

Caixa 6.2: Defini¸c˜ ao das fun¸c˜oes trigonom´etricas.

˜ CAP´ITULO 6. OSCILAC ¸ OES

24 y

Fx θ

Rsen θ

θ Rcosθ

Figura 6.11: As projec¸co˜es da for¸ca centr´ıpeta nos eixos Ox e Oy, Fx e Fy , s˜ao proporcionais a x(t) e y(t), respectivamente.

é constante. Se a derivada de θ(t) em ordem ao tempo é constante, sabemos que θ(t) tem a forma3 : θ(t) = ωt + θ0 em que θ0 designa o ângulo com o eixo Ox em t = 0. O corpo efectua uma volta completa quando θ variar de 2π. Ou seja, num per´ıodo, ∆t = T , ∆θ = ω∆t = ωT = 2π e ω=

2π = 2πf. T

A frequência, f = 1/T , é o n´ umero de revolu¸cões por segundo. A velocidade linear é v=

2πR = ωR = 2πf R. T

(6.12)

Projeç co ˜es nos eixos coordenados Para o movimento circular uniforme, sabemos a direçcão, sentido e m´ odulo da for¸ca, a for¸ca centr´ıpeta: é dirigida para o centro da 3

Um gr´ afico de θ em fun¸c˜ ao de t ´e uma recta (declive constante).

˜ MATEMATICA ´ 6.3. DESCRIC ¸ AO DO MHS

traject´oria e vale mv 2 /R. Projectando a for¸ca nos eixos coordenados (ver fig. 6.11), Fx = −F cos (θ(t))

Fy = −F sen (θ(t)) ,

e usando v = ωR e F = mv 2 /R, ´e f´acil obter Fx = −mω 2 R cos (θ(t)) = −mω 2 x(t)

Fy = −mω 2 Rsen (θ(t)) = −mω 2 y(t),

(6.13)

em que x(t) e y(t) s˜ ao as coordenadas do corpo em movimento circular uniforme. Pela segunda lei de Newton: ax (t) = −ω 2 x(t) 2

ay (t) = −ω y(t).

(6.14) (6.15)

As equa¸c˜ oes de movimento segundo qualquer dos eixos coordenados s˜ ao as de um oscilador harmónico simples em que ω 2 = k/m. Mas conhecemos exactamente as solu¸cões destas equa¸cões: bastanos calcular as coordenadas do movimento circular uniforme. O vector de posi¸c˜ ao do corpo é ~r = R cos (θ(t))ˆı + Rsen (θ(t))ˆ; as suas coordenadas x(t) e y(t) s˜ ao dadas por: x(t) = R cos (θ(t)) = R cos(ωt + θ0 )

(6.16)

y(t) = R sen (θ(t)) = R sen(ωt + θ0 ).

(6.17)

J´ a tinhamos visto atr´ as que estas duas formas s˜ ao equivalentes: correspondem apenas a diferentes escolhas da fase inicial. Compreendemos agora o aparecimento das fun¸cões trigonométricas (eqs. 6.16 e 6.17) na solu¸c˜ ao da equa¸cão de movimento do oscilador harmónico (eqs. 6.14 ou 6.15): O movimento harmónico simples é a projeçcão de um movimento circular. A fase é o ângulo (em radianos) do movimento circular relativamente a um eixo coordenado.

˜ CAP´ITULO 6. OSCILAC ¸ OES

vx y θ

Rsen θ

θ Rcosθ

Figura 6.12: O vector velocidade e o vector de posi¸ca˜o de um movimento circular fazem um ˆangulo de π/2.

Podemos ainda usar o movimento circular para determinar a forma das velocidades correspondentes às coordenadas das equa¸cões 6.16 e 6.17. A velocidade é tangente à trajectória e perpendicular a ~r. Então (ver figura 6.12) vx (t) = −v sen (θ(t)) vy (t) = v cos (θ(t))

Usando a rela¸c˜ ao entre a velocidade linear e angular, v = ωR, vx (t) = −ωR sen (ωt + θ0 ) vy (t) = ωR cos (ωt + θ0 ) .

6.3.3

Resumo

A solu¸c˜ ao de uma equa¸c˜ao de movimento do oscilador harm´onico, ay (t) = −

k y(t) m

pode escrever-se numa de duas formas equivalentes: y(t) = y0 cos (ωt + θ0 ) vy (t) = −ωy0 sen (ωt + θ0 )

ˆ 6.4. RESSONANCIA

ou y(t) = y0 sen ωt + θ0′

vy (t) = ωy0 cos ωt + θ0′ em que θ0′ = θ0 + π/2.

Este movimento é a projeçc˜ ao de um movimento circular de raio y0 num eixo coordenado. A fase θ(t) = ωt + θ0 é o ângulo, em radianos, descrito pelo movimento circular em rela¸cão a um dos eixos coordenados. A velocidade ou frequência angular ω= vale ω=

dθ dt

k m

e o per´ıodo 2π T = = 2π ω

6.3.4

m . k

Imagina¸c˜ ao em ciˆ encia

Ser´ a que sempre que temos um oscilador harmónico existe algures um corpo em movimento circular? Com certeza que n˜ ao. Contudo, sempre que pretendemos compreender aspectos de um fenómeno f´ısico, somos livres de imaginar as situa¸cões que quisermos, desde que sejam compat´ıveis com as leis da F´ısica. Neste caso foi u ´ til imaginar um movimento circular e projectá-lo nos eixos para descobrir as solu¸c˜ oes do movimento oscilat´ orio harmónico. A imagina¸c˜ ao e a criatividade têm um papel em ciência n˜ ao menos importante do que o que têm nas artes e humanidades. No entanto, a criatividade e imagina¸c˜ ao cient´ıficas têm que restringir-se a cen´ arios e situa¸c˜ oes compat´ıveis com as leis da F´ısica (as conhecidas ou as que se pretendem descobrir). Por isso exigem uma enorme disciplina intelectual e profundos conhecimentos técnicos. Ao fim ao cabo, tal como nas artes!

6.4

Ressonˆ ancia

O u ´ ltimo t´ opico do nosso estudo de oscila¸cões é um fenómeno de capital importˆ ancia quer em F´ısica Cl´ assica quer em F´ısica Moderna: o fenómeno da ressonˆ ancia.

˜ CAP´ITULO 6. OSCILAC ¸ OES

28 vy

ext

(a)

(b)

vy f

ext

W>0

W< 0

Figura 6.14: (a) Se a for¸ca externa, fext , tiver o mesmo per´ıodo que a velocidade do oscilador, o trabalho realizado pode ser sempre positivo. Se o per´ıodo for diferente (menor no caso (b)), h´ a ciclos de trabalho positivo e ciclos de trabalho negativo.

1111111111 0000000000 0000000000 1111111111

f ext

1111111111 0000000000

f ext

Figura 6.13: Se a for¸ca tiver o mesmo per´ıodo do oscilador, pode realizar sempre trabalho positivo, transferindo energia para o oscilador.

Imaginemos uma for¸ca externa, f~ext , aplicada ao oscilador que temos vindo a considerar. Para ilustrar o que é o fenómeno de ressonância, precisamos de considerar uma for¸ca peri´ odica, como a que resulta, por exemplo, da interaçcão com outro oscilador. Para simplificar, vamos supor que esta for¸ca externa tem a direçcão do movimento do oscilador e é de intensidade muito menor que a for¸ca restauradora: pouco altera o movimento da esfera. Se, porventura, a for¸ca externa f~ext (t) e a velocidade da esfera, ~v (t), tiverem o mesmo sentido, a for¸ca f~ext (t) realiza trabalho positivo sobre o oscilador (for¸ca e deslocamento paralelos) e a energia deste aumenta; se os sentidos forem opostos, a energia do oscilador diminui. A velocidade do oscilador troca de sentido em cada meio per´ıodo, T /2. Se a for¸ ca externa tiver o mesmo per´ıodo do oscilador4 , o trabalho realizado sobre o oscilador mantém-se sempre positivo: a energia e a amplitude de oscila¸cão vão aumentando em cada ciclo. Contudo, se o per´ıodo da for¸ca n˜ ao for o mesmo do oscilador, mesmo que comecemos com uma for¸ca com o sentido da velocidade, ao fim de algum tempo haver´ a uma diferen¸ca de 4

Recordemo-nos que o per´ıodo de um oscilador harm´ onico n˜ ao varia com a amplitude.

ˆ 6.4. RESSONANCIA

fase de π e o sentido da for¸ca e da velocidade s˜ ao opostos. Haver´ a oscila¸c˜ oes em que a energia aumenta e outras em que a energia diminui (fig. 6.14). O resultado deste efeito é o fenómeno da ressonância: Quando a frequência da for¸ca externa coincide com a do oscilador, a amplitude deste pode crescer para valores muito elevados, mesmo que a intensidade da for¸ca externa seja muito pequena. O oscilador recebe energia em todos os ciclos de oscila¸cão. Se as frequências n˜ ao forem iguais efeito da for¸ca é muito menos importante.

6.4.1

Exemplos de ressonˆ ancias

O fenómeno da ressonância foi aqui apresentado usando a linguagem de for¸cas e deslocamentos da F´ısica Cl´ assica. Contudo, trata-se de um conceito que continua a ter em F´ısica Moderna um papel t˜ ao ou mais importante que em F´ısica Cl´ assica. Sintoniza¸ c˜ ao A sintoniza¸c˜ ao de um r´ adio consiste em variar a frequência de um oscilador interno, até que a repectiva frequência coincida com a da esta¸cão emissora pretendida. Quando isso acontece a amplitude do oscilador interno do r´ adio aumenta muito e podemos ouvir a esta¸cão pretendida. Vibra¸c˜ oes com outras frequências quase n˜ ao transferem energia para o r´ adio. Instrumentos musicais O elemento produtor de som de um violino ou de um piano é uma corda. Mas uma corda solta, isolada, é quase inaud´ıvel; o som de um piano ou de um violino enche enormes audit´ orios sem qualquer necessidade de amplifica¸c˜ ao. Na realidade, todo o instrumento vibra e, em consequência, a vibra¸cão é transmitida muito mais eficazmente para o ar. A vibra¸cão do instrumento resulta de fenómenos de ressonância. Cada instrumento tem in´ umeras vibra¸c˜ oes poss´ıveis, com frequências diferentes. As oscila¸c˜ oes ressonantes com a vibra¸cão da corda s˜ ao as que ter˜ ao maior amplitude. O desenho de instrumentos musicais determina o tipo e a frequência das suas oscila¸cões; é uma arte

⊲ Actividade 6.4

˜ CAP´ITULO 6. OSCILAC ¸ OES

que exige profundos conhecimentos e muita experiˆencia, pelo que os pre¸cos de bons instrumentos podem ser elevad´ıssimos.

Espectros de emiss˜ ao e absor¸ c˜ ao No décimo ano vimos que os átomos no estado gasoso s´ o absorvem radia¸c˜ ao com certas frequências. Os gases das camadas exteriores do Sol, por exemplo, absorvem a radia¸cão a certas frequências e o espectro solar apresenta riscas escuras para essas frequências. Mas os mesmos átomos, ao emitir, emitem apenas nas frequências correspondentes às riscas de absor¸cão. O espectro de emissão de um dado elemento tem riscas de emissão nas frequências onde aparecem as riscas negras no espectro de absor¸cão. Isto é também um fenómeno de ressonância. O átomo pode ser visto como um conjunto de osciladores. Quando oscila emite radia¸c˜ ao ` as frequências dos seus osciladores. Quando incide radia¸cão sobre o ´ atomo, esta é absorvida fortemente se estiver em ressonância com um dos osciladores atómicos: ou seja, as riscas de emissão e absor¸c˜ ao ocorrem às mesmas frequências.

6.5

Respostas ` as ET Vs

6.1. ET V 1 : Se l > l0 , l − l0 > 0, a mola est´a distendida e a for¸ca

tem o sentido do semi-eixo positivo Oy, Fy > 0. Ao cont´ ario, se l < l0 , l − l0 < 0, a mola est´ a comprimida e exerce uma for¸ca com o sentido vertical descendente, Fy < 0. O sinal da eq. 6.1 est´ a correcto. Se troc´ assemos o sentido do eixo Oy ter´ıamos Fy < 0 para uma for¸ca de sentido ascendente e Fy < 0 para uma for¸ca de sentido descendente. Logo as equa¸co˜es seriam: P~ F~e

mgˆ

−k (l − l0 )ˆ.

6.2. ET V 2 : Não é, porque a acelera¸caõ não é constante. A acelera¸caõ só vale (−k/m)y0 se y = y0 . Como y varia durante o movimento, a acelera¸caõ varia e diminui em módulo à medida que a esfera se aproxima da posi¸caõ de equil´ıbrio (y = 0).

6.3. ET V 3 : Os valores que se obtˆem s˜ao os seguintes:

` ET VS 6.5. RESPOSTAS AS

θ/º

θ/rad

Ep (exacta)/J

Ep (aprox)/J

0,0873

0,0373

0,0372

0,1745

0,1489

0,1478

0,2618

0,3339

0,3282

0,3491

0,5910

0,5732

0,4363

0,9182

0,8752

0,5236

1,3130

1,2250

E Ec Ep − E0

6.4. ET V 4 : ver texto (fig. 6.9, da página 17). 6.5. ET V 5 : O gráfico de energias em fun¸caõ do tempo tem o aspecto do da figura 6.15. O per´ıodo é metade do de y(t). Os valores de energia cinética e potencial são iguais para valores simétricos (y e −y) do elongamento.

6.6. ET V 6 : Usando um sistema de eixos com origem na altura de equi-

l´ıbrio da barra, se esta se deslocar verticalmente de y, a varia¸caõ de comprimento de cada mola é: ∆l = −y. Como a for¸ca exercida por cada mola é dada por Fy = k(l − l0 ) a varia¸caõ das for¸cas exercidas por cada mola é: ∆Fy = k∆l = −ky. Na posi¸caõ de equil´ıbrio as for¸cas das molas são canceladas pelo peso da barra. O peso n˜ ao varia quando a barra se desloca. Ent˜ ao, a resultante das for¸cas exercidas na barra (for¸ca restauradora) é: Ry = 2∆Fy = −2ky e a equa¸caõ de movimento é a de um oscilador harmónico simples:

2k y(t). m A constante de for¸ca efectiva é 2k. A frequência angular, ω, e a frequência f , valem: r 2k ω = = 14,1 s−1 m ω = 2,25 Hz. f = 2π Para calcular a for¸ca restauradora em basta considerar as varia¸ co ˜es de cada for¸ca quando o sistema se afasta do equil´ıbrio. Por defini¸caõ, na posi¸caõ de equil´ıbrio, a resultante de todas as for¸cas é nula. ay (t) = −

Figura 6.15: Energias cinética e potencial em fun¸caõ do tempo para o caso de um oscilador sem dissipa¸caõ.

˜ CAP´ITULO 6. OSCILAC ¸ OES

6.7. ET V 7 : Como k = 20 N m−1 e m = 2 kg, ω = Usando as express˜oes gerais com t = 0, y(0) = vy (0) =

p √ k/m = 10 s−1 .

y0 cos (θ0 ) −ωy0 sen (θ0 )

Como vy (0) = 0, podemos escolher θ0 = 0, o que d´ a y(0) = y0 = 0,1 m. Assim, y(t) = vy (0) =

√ 0,1 × cos 10t √ √ −0,1 × 10 × sen 10t .

Para t = 2, vy (2) = −0,1 ×

√ √ 10 × sen 2 10 = −0,013 m s−1 .

√ (N˜ao esquecer que temos de calcular o seno de 2 10 radianos!)

6.6

Actividades quest˜ oes e problemas

6.1. Isocronismo de oscila¸ co ˜es do pˆ endulo. Usando duas massas marcadas idênticas e o mesmo comprimento de fio, construir dois pêndulos idênticos e suspendêlos lado a lado. Pˆ o-los a oscilar com amplitudes diferentes e verificar se o per´ıodo é o mesmo. Figura 6.16: Se os per´ıodos forem iguais, os dois pêndulos mantêm-se sincronizados.

6.2. Movimento Harm´ onico Simples Ver ficha de actividade A42. 6.3. Fun¸ co ˜es trigonom´ etricas Como varia o gr´ afico de y(t) quando variam os parˆ ametros y0 , amplitude, ω = 2πf , frequˆencia angular, e θ0 , fase inicial?

Para responder a esta pergunta abrir com o Microsoft Excel© o ficheiro sinais_harmonicos.xls que se encontra no CD Sons, pasta fich_excel, e seguir as instru¸cões relativas ao primeiro exerc´ıcio. 6.4. Afinar uma guitarra sem ouvir O fenómeno de ressonância é muito fácil de observar numa guitarra. Se a guitarra estiver afinada, a sexta corda, a mais

˜ 6.6. ACTIVIDADES QUESTOES E PROBLEMAS

grave, pisada no quinto traste, deve emitir a mesma nota (L´ a) que a quinta corda. Se isso acontecer, ao dedilhar a sexta corda pisada no quinto traste, a quinta come¸ca a vibrar “por simpatia”. Na realidade come¸ca a vibrar porque fica sujeita a uma perturba¸c˜ ao externa com a sua pr´ opria frequˆ encia de vibra¸ c˜ ao: é um fenómeno de ressonância. Se variarmos a tens˜ ao da quinta corda, podemos “ver” quando fica afinada pelo facto de vibrar em “simpatia” com a sexta corda pisada no quinto traste. Experimente!

6.6.1

Quest˜ oes

6.1. Usando um caso concreto de oscilador explique o significa cada um dos seguintes termos: (a) Amplitude, elongamento, per´ıodo, for¸ca restauradora, amortecimento. 6.2. No texto mostra-se que a energia de um pêndulo, para pequenas oscila¸c˜ oes, tem a forma 1 1 mg 2 E = mvx2 + x , 2 2 l em que x é a coordenada horizontal do pêndulo medida em rela¸c˜ ao ao ponto de equil´ıbrio (ver fig. 6.8 da p´ agina 6.8) o que faz o pêndulo equivalente a um oscilador harmónico simples. (a) Qual é a constante de for¸ca de um pêndulo? (b) A frequência de oscila¸cão de um pêndulo depende da sua massa? De que parˆ ametros depende? 6.3. Um oscilador harmónico simples, ao fim de 100 ciclos de oscila¸c˜ ao, tem uma amplitude que é metade da inicial. (a) Que fraçc˜ ao da sua energia inicial já dissipou? 6.4. Duas massas marcadas de 100 g e 200 g oscilam presas a molas idênticas. A massa de 100 g tem uma amplitude de oscila¸c˜ ao 1,5 vezes superior ` a da outra. (a) Em qual dos casos é maior a energia de oscila¸cão (relativamente ` a respectiva configura¸cão de equil´ıbrio)? Justifique.

˜ CAP´ITULO 6. OSCILAC ¸ OES

34 y cm 10 5 5

t 10 15 20

6.5. Depois de fazer a actividade 6.2, um estudante resolveu colar um quadrado de cartolina de 4 × 4 cm2 na base da massa suspensa na mola e repetir o registo do elongamento da massa.

-5 -10

(a) Qual das curvas da figura 6.17 corresponde `a experiˆencia com a cartolina? Justificar cuidadosamente.

y cm 10 5 5

t 10 15 20

-5 -10

6.6. O dispositivo da figura 6.18 usa uma mola comprimida para lan¸car um projéctil. Quando a mola é libertada distende-se empurrando a esfera. (a) Que rela¸cão existe entre o tempo que decorre até a esfera descolar da mola, e o per´ıodo de oscila¸cão que teria o sistema esfera-mola, se a esfera estivesse presa à mola?

Figura 6.17: Qual das curvas corresponde ` a massa com cartolina?

11111111111111111 00000000000000000 00000000000000000 11111111111111111 00000000000000000 11111111111111111 00000000000000000 11111111111111111 00000000000000000 11111111111111111 l0

Figura 6.18: Quanto tempo dura o lan¸camento?

(b) Se a mola for ainda mais comprimida o tempo de lan¸camento varia? 6.7. Uma estudante precisava de uma medida r´ apida da constante de uma mola. Pendurou nela uma massa marcada de 200 g e cronometrou 20 oscila¸c˜oes do sistema. (a) Explicar como ´e que este procedimento permite calcular a constante da mola.

6.6.2

Problemas

6.1. Um cilindro de madeira, de altura h = 6 cm e diˆ ametro de base de 8 cm, flutua à superf´ıcie da água. A massa vol´ umica da madeira é de 0,7 × 103 kg m−3 . (a) Que altura do cilindro fica dentro de água no equil´ıbrio (altura imersa)? (b) Qual é o valor da constante de for¸ca restauradora, para pequenas varia¸cões da altura imersa do cilindro? (c) Qual é o per´ıodo de oscila¸cão do cilindro? Sugestão: calcular a for¸ca sobre o cilindro para uma altura imersa for hi + x, em que hi é a altura imersa na posi¸cão de equil´ıbrio. 6.2. No gr´ afico da figura 6.19 registou-se o elongamento de um oscilador de massa e mola vertical. (a) Obter do gr´ afico os valores do per´ıodo e da amplitude.

˜ 6.6. ACTIVIDADES QUESTOES E PROBLEMAS

(b) A massa suspensa valia m = 150 g. Qual era o valor da constante da mola? (c) Qual era o valor m´ aximo de velocidade da massa suspensa durante as oscila¸c˜oes? 6.3. Um pˆendulo constitu´ıdo por uma esfera de m = 0,5 kg, presa num fio de comprimento l = 1,0 m, oscila com uma amplitude angular de 5º.

y cm 10 5 5

t s

-5 -10

Figura 6.19: Elongamento em fun¸ca˜o do tempo.

(a) Qual é o per´ıodo da oscila¸cão? (b) Quanto vale a energia armazenada na oscila¸cão (relativamente ` a configura¸caõ de equil´ıbrio)? (c) Se em cada ciclo de oscila¸cão o pêndulo dissipar 5% da sua energia, qual é a amplitude angular de oscila¸cão ao fim de 20 per´ıodos? 6.4. Uma estudante precisava de uma medida r´ apida da constante de uma mola. Pendurou nela uma massa marcada de 200 g e cronometrou 20 oscila¸c˜ oes completas do sistema em 15 segundos. v cm s-1

(a) Qual é a constante da mola? (b) Se tivesse usado uma massa de 100 g, quanto tempo teriam demorado as 20 oscila¸cões completas? 6.5. No gr´ afico da figura 6.20 registou-se a velocidade de um oscilador harmónico simples. (a) Obter do gr´ afico os valores do per´ıodo e da amplitude (valor m´ aximo do elongamento).

4 2 5

t s

-2 -4

Figura 6.20: Velocidade em fun¸ca˜o do tempo.

(b) A massa suspensa valia m = 150 g. Qual era o valor da constante da mola? (c) Qual é a energia total deste oscilador (medida relativamente ao estado de equil´ıbrio). 6.6. A for¸ca exercida por um arco de competi¸cão na flecha é proporcional ` a distˆ ancia de retraçcão da flecha (fig. 6.21). Dados de um arco de competi¸c˜ ao d˜ ao uma for¸ca de 171 N para uma distˆ ancia de 41 cm. A massa de uma flecha é de 20,1 g. (a) Quanto tempo demora a flecha a perder o contacto com o arco, depois de largada?

Figura 6.21: O arqueiro puxa a seta de uma distância x. A for¸ca que tem que exercer é simétrica da for¸ca do arco na flecha.

˜ CAP´ITULO 6. OSCILAC ¸ OES

x k2 m k1 111111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111111 0 1 0 1 000000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111111 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 000000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111111 0 1 0 1 000000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111111 111111111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111111 111111111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000000000

(b) Qual é a velocidade de sa´ıda da flecha, para uma retraçcão de 41 cm? (Ver questão 6.6.) 6.7. O corpo de massa m = 0,5 kg da figura 6.22 desliza sem atrito numa mesa horizontal ligado a duas molas de constantes k1 = 10 N m−1 e k2 = 20 N m−1 . Seja x(t) a sua coordenada na direçc˜ ao paralela à mesa, medida relativamente à posi¸cão de equil´ıbrio.

Figura 6.22: Qual ´e frequˆencia deste oscilador?

(a) Mostre que a for¸ca restauradora é proporcional a x(t), F = −kx(t), e calcule a constante de for¸ca respectiva, k. (b) Determine a frequência de oscila¸cão do corpo. m k

11111111111111111111111111111 00000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000 11111111111111111111111111111

Figura 6.23: Qual ´e frequˆencia deste oscilador?

(c) Se os suportes onde est˜ ao ancoradas as molas estivessem mais pr´ oximos, reduzindo o comprimento das molas, a frequência da oscila¸cão seria alterada? 6.8. Uma mesa óptica de massa m = 500 kg, est´ a suportada em quatro molas idênticas, fixas ao solo e à mesa, de constante de for¸ca, k = 800 N cm−1 . (a) Qual é a frequência das oscila¸cões verticais da mesa? 6.9. As for¸cas entre dois átomos de uma molécula diat´ omica, como O2 ou H2 podem ser vistas como elásticas, como se existisse uma mola entre os dois átomos. A molécula pode oscilar com deslocamentos dos dois átomos em rela¸cão à respectiva posi¸cão de equil´ıbrio, com a direçcão do eixo da molécula e de sentidos opostos.

Figura 6.24: Qual ´e frequˆencia deste oscilador?

(a) Se um dos a´tomos tiver um deslocamento x(t) relativamente à sua posi¸cão de equil´ıbrio e o outro −x(t) em rela¸cão à sua, qual é varia¸cão de comprimento da “mola”? (b) Escrever a equa¸cão de movimento para um dos átomos e obter uma express˜ ao para a frequência desta oscila¸cão. (c) No caso da molécula de H2 , a frequência desta oscila¸cão é f = 1,3×1014 Hz. Qual é o valor da constante de for¸ca da liga¸cão H–H?

˜ 6.6. ACTIVIDADES QUESTOES E PROBLEMAS

6.10. Um oscilador de frequência angular ω = 2 s−1 , recebe, na posi¸c˜ ao de equil´ıbrio, x(0) = 0, um impulso tal que a sua velocidade inicial é vx (0) = 0,2 m s−1 . (a) Escrever as equa¸c˜ oes do elongamento, x(t), e da velocidade, vx (t), da oscila¸caõ que resulta deste impulso.

˜ CAP´ITULO 6. OSCILAC ¸ OES

Conte´ udo Ficha T´ecnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Oscila¸ co ˜es 6.1

6.2

6.3

6.4 6.5 6.6

2 5

Exemplos de osciladores . . . . . . . . . . . . . . .

6.1.1

O Pˆendulo . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.1.2

Flutuador . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.1.3

Massa suspensa em mola . . . . . . . . . .

6.1.4

Absor¸c˜ ao de choques . . . . . . . . . . . . .

6.1.5

Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Movimento Harm´ onico Simples . . . . . . . . . . .

6.2.1

Equa¸c˜ ao de movimento . . . . . . . . . . .

6.2.2

Energia de um oscilador . . . . . . . . . . .

6.2.3

Energia do pˆendulo . . . . . . . . . . . . . .

6.2.4

A solu¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Descri¸c˜ ao matem´ atica do MHS . . . . . . . . . . .

6.3.1

As fun¸c˜ oes trigonom´etricas . . . . . . . . .

6.3.2

O Movimento circular e o MHS . . . . . . .

6.3.3

Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3.4

Imagina¸c˜ ao em ciˆencia . . . . . . . . . . . .

Ressonˆ ancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.4.1

Exemplos de ressonˆancias . . . . . . . . . .

Respostas ` as ET Vs . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Actividades quest˜ oes e problemas . . . . . . . . . .

6.6.1

Quest˜oes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.6.2

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .