Projecto Faraday Textos de Apoio
Leis de Newton 11ยบ Ano de Escolaridade
Porto, Outubro de 2009
Ficha T´ ecnica
Projecto Faraday Projecto de interven¸ca˜o no ensino da F´ısica no secund´ ario.
Financiamento Funda¸ca˜o Calouste Gulbenkian.
Execu¸ c˜ ao Departamento de F´ısica, Faculdade de Ciˆencias da Universidade do Porto.
Escolas Participantes • ES Filipa de Vilhena • ES Fontes Pereira de Melo • ES Garcia de Orta • ES da Maia • ES de Santa Maria da Feira Coordena¸ c˜ ao • J. M. B. Lopes dos Santos • Manuel Joaquim Marques i
ii Portal URL: http://www.fc.up.pt/faraday
Texto do 11º Ano Redactor Principal J. M. B. Lopes dos Santos Colabora¸ c˜ ao e revis˜ ao • Elisa Arieiro • Carlos M. Carvalho • Manuel Joaquim Marques
iii
Conte´ udo Ficha T´ecnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I
Movimento e Leis de Newton
i
9
3 Uma conversa com o meu tio
11
4 Leis de Newton
17
4.1
4.2
Um livro muito importante . . . . . . . . . . . . .
17
4.1.1
Como se demonstram as leis de Newton? .
19
4.1.1.1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
Leis de Newton em ac¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . .
22
4.2.1
O conceito de for¸ca . . . . . . . . . . . . . .
22
4.2.2
Movimentos estudados no Cap´ıtulo 2 . . . .
23
4.2.2.1
4.3
For¸cas num carro em movimento numa calha. . . . . . . . . . . . .
23
4.2.2.2
Calha horizontal . . . . . . . . . .
27
4.2.2.3
Calha inclinada . . . . . . . . . .
28
4.2.2.4
Carro puxado por massa em queda
29
4.2.3
For¸cas de atrito . . . . . . . . . . . . . . . .
30
4.2.4
Queda livre . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
4.2.4.1
Movimento do proj´ectil . . . . . .
35
4.2.5
Leis de Newton e condi¸co˜es iniciais . . . . .
38
4.2.6
Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
Surpresas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
1
´ CONTEUDO
2 4.3.1
For¸cas impulsivas . . . . . . . . . . . . . . .
39
4.3.1.1
For¸ca sobre um bola de golfe. . . .
40
4.3.1.2
For¸ca num colis˜ ao a 60 km h−1 . . .
41
O burro e a carro¸ca . . . . . . . . . . . . .
43
4.3.2.1
Propuls˜ ao de um foguet˜ ao . . . . .
45
Relatividade do movimento . . . . . . . . .
45
4.4
Conclus˜ oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
4.5
Actividades, Quest˜ oes e Problemas . . . . . . . . .
47
4.5.1
Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
4.5.2
Quest˜ oes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
4.5.3
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
4.5.4
Desafios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
4.3.2 4.3.3
Lista de Figuras 4.1
P´ agina de t´ıtulo do exemplar 80 dos Principia de Newton.[2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
4.2
Urbain Le Verrier (1881-1877) e John C. Adams (1819-1892) previram teoricamente a existˆ encia do planeta Neptuno, a partir dos desvios da o´rbita de Urano relativamente a`s previs˜ oes da teoria newtoniana. O astr´ onomo George Airy, do Observat´ orio de Greenwhich, ignorou as previs˜ oes de Adams. Le Galle, em Berlim, seguiu as indica¸co˜es de Le Verrier e foi o primeiro a observar Neptuno ao telesc´ opio. [3]. 19
4.3
As for¸cas somam-se como vectores. For¸cas de igual intensidade e direc¸ca˜o e sentidos opostos tˆem resultante nula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
For¸cas sobre um carro em cima de uma superf´ıcie s´ olida. Note-se que s´ o represent´ amos as for¸cas exercidas sobre o carro, n˜ ao as exercidas sobre a superf´ıcie. O facto de o carro n˜ ao penetrar nem descolar ! ´e nula da superf´ıcie significa que a resultante, R, (a) ou paralela a` superf´ıcie (b). . . . . . . . . . .
24
As molas deformadas exercem sobre o homem uma for¸ca que cancela o efeito do seu peso. . . . . . . .
24
4.6
Que for¸ca ´e necess´ aria para que o carro n˜ ao deslize?
26
4.7
Gr´ afico de x(t) para um carro sobre uma calha horizontal. Para um movimento uniforme, o gr´ afico seria uma linha recta. Estes resultados mostram uma ligeira curvatura negativa, ou seja, uma diminui¸ca˜o da velocidade devida ao atrito. Os dados s˜ ao os pontos: a linha ´e apenas uma ajuda de visualiza¸ca˜o. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
4.4
4.5
3
4
LISTA DE FIGURAS 4.8
Gr´ afico de tempo-velocidade para movimento numa calha linear inclinada (Actividade A18). Os pontos s˜ao os dados experimentais, a linha ´e um ajuste linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
A coordenada do peso paralela a` calha ´e mgsenθ. .
29
4.10 O carro ´e puxado enquanto a massa cai; deixa de ser puxado quando ela atinge o batente. Que tipo de movimento tem o carro? . . . . . . . . . . . . .
30
4.12 A acelera¸ca˜o do carro ao subir a calha (v > 0) ´e superior em m´ odulo a` acelera¸ca˜o quando desce (v < 0). A componente do peso paralela a` calha tem a mesma direc¸ca˜o nos dois casos, mas a for¸ca de atrito n˜ ao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
4.11 As for¸cas de atrito tˆem sentidos opostos na subida e na descida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
4.13 Escolha de eixos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
4.9
4.14 Resultados da an´ alise do clip queda_esfera_divx_656x480 34 4.15 No movimento de um proj´ectil a varia¸ca˜o do vector velocidade, ∆!v = !v2 − v!1 ´e vertical. . . . . . . . .
36
4.16 Coordenada horizontal, x, e coordenada vertical da velocidade, vy , do movimento de uma esfera registado no clip projectil_divx_1_1_656x480.avi .
36
4.17 Coordenadas verticais da velocidade de uma esfera em queda vertical e em movimento parab´ olico. Dados obtidos dos clips queda_esfera_divx_650x480 e projectil_divx5_1_1650x480. . . . . . . . .
38
4.18 Um modelo para um for¸ca impulsiva. . . . . . . . .
40
4.19 Se a for¸ca do burro na carro¸ca ´e oposta da for¸ca da carro¸ca sobre o burro, como se move o conjunto? .
43
4.20 Qual a posi¸ca˜o ocupada pelo ponto de uni˜ ao dos el´ asticos? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
4.21 Qual ´e o ˆangulo entre os el´ asticos, quando os comprimentos s˜ ao iguais? . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
4.22 A soma destas for¸cas ´e nula. . . . . . . . . . . . . .
48
4.23 Qual das cordas est´ a sujeita a maior esfor¸co? . . .
48
4.24 Colis˜ ao de dois carros . . . . . . . . . . . . . . . .
48
LISTA DE FIGURAS
5
4.26 Quanto se afunda o prato da balan¸ca? . . . . . . .
49
4.27 Que for¸ca exerce cada homem? . . . . . . . . . . .
49
4.25 Qual ´e a intensidade da reac¸ca˜o normal da mesa em cada carro? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
4.28 Como calcular v0 , sabendo h e L? . . . . . . . . . .
52
4.29 O arqueiro puxa a seta de uma distˆ ancia x. . . . .
53
4.30 Qual ´e a for¸ca sobre a corda? . . . . . . . . . . . .
54
6
LISTA DE FIGURAS
Lista de Tabelas 4.1
Coeficientes de atrito entre algumas substˆ ancias (superf´ıcies secas). Estes valores s˜ ao extremamente sens´ıveis a`s condi¸co˜es das superf´ıcies. . . . . . . .
7
31
8
LISTA DE TABELAS
Parte I
Movimento e Leis de Newton
9
Cap´ıtulo 3
Uma conversa com o meu tio ´ uma personagem... Tenho que vos falar do meu tio Alberto. E L´a em casa todos o acham meio estranho e n˜ ao admira: ele ´e f´ısico; e da pior esp´ecie. Diz-se f´ısico te´ orico, o que significa que nem precisa de fazer coisas nos laborat´ orios. N˜ ao inventa nada que sirva para alguma coisa. Como ele pr´ oprio diz, pode “fazer F´ısica” em qualquer lado. ´ f´ E acil ver quando ele est´ a a “fazer F´ısica”. A gente fala-lhe e s´o recebe a resposta cinco minutos depois. J´ a ouvi dizer que se pisarmos uma girafa, ela demora uns segundos a saber, porque tem um pesco¸co muito comprido. Mas com o meu tio n˜ ao ´e bem assim. Acho que ´e mais como quando os computadores ficam a fazer barulhinhos esquisitos e a gente mexe o rato e s´ o passado meia-hora ´e que ele se mexe no ecrˆ an: o CPU est´ a muito ocupado. Com o meu tio tamb´em deve ser isso: o CPU n˜ ao tem tempo para atender os “perif´ericos”. Um dia, por raz˜ oes que agora n˜ ao interessam, vi-me com ele numa viagem de comboio de Porto-Lisboa. Para c´ umulo estava sem baterias no “discman” e no telem´ ovel; e nenhum s´ıtio para os carregar; e ainda lhes chamam comboios de luxo? Sem nada que fazer, resolvi perguntar-lhe umas coisas sobre a F´ısica que estava a dar na escola. Sabem como e´, no Natal pode pingar qualquer coisa do tio, se a gente for simp´ atica. - Tio, h´ a l´ a umas coisas que a Prof. de F´ısica disse que me fazem confus˜ ao. (Um minuto de espera. Estava a fazer F´ısica) 11
12
CAP´ITULO 3. UMA CONVERSA COM O MEU TIO
- O que foi? diz, P. - Interrompi-o? - N˜ ao tem importˆ ancia. O que eu estava a pensar n˜ ao ia dar em nada. Conta l´ a. - Bem, ´e assim: a Prof. diz que um corpo sem for¸cas continua a mexer-se. N˜ ao ´e preciso for¸cas para haver movimento. Ora, eu acho que ´e. - Ai sim? E porque dizes isso? ´ s´ ´ -E o bom senso, tio. As coisas n˜ ao se p˜ oem a mexer s´ ozinhas. E sempre preciso empurr´ a-las. E quando a gente deixa de as empurrar elas param. - Ok, vamos fazer uma experiˆencia? - Aqui!? -Por que n˜ ao? Tenho aqui uma moeda. E pousou-a na mesa. - Como vˆes ela n˜ ao se mexe. ´ o que eu disse. Se ningu´em a empurrar. . . -E - Ent˜ ao d´ a-lhe um piparote. Assim fiz. A moeda deslocou-se cerca de 20 cm. - Est´ a a ver, tio. A moeda p´ ara logo, se eu n˜ ao continuar a empurr´ a-la. - Espera a´ı P. N˜ ao ´e verdade que a moeda continuou a moverse depois de o teu dedo ter perdido contacto? J´ a n˜ ao estavas a exercer um for¸ca. O que fez com que a moeda se deslocasse mais um pouco? - Bem, acho que a for¸ca que lhe dei ainda n˜ ao se tinha gasto. N˜ ao h´ a assim uma quantidade de movimento ou qualquer coisa assim? Deve ser isso. - Ent˜ ao achas que h´ a qualquer coisa que o teu piparote passou para a moeda, mas que se gasta, e quando acaba ela p´ ara? - Acho que sim. Parece l´ ogico. - Vamos fazer uma segunda experiˆencia. Mas agora d´ a mais jeito fazˆe-la no ch˜ ao, aqui na coxia central da carruagem. Tenho aqui outra moeda igual a` primeira. Pega nas duas e vais fazer o seguinte. Pousas uma no ch˜ ao e d´ as-lhe um piparote. E p˜ oes a outra a rolar.
13 Nesta altura estavamos os dois de c´ ocoras na coxia central e havia v´ arias caras franzidas a olhar para n´ os. Mas fiz o que o meu tio disse. A moeda que eu empurrei parou logo ali frente. O que e´ que ele esperava? O outra rolou at´e ao fundo da carruagem e s´ o parou porque chocou contra um sapato; que, por acaso, n˜ ao estava vazio. Tinha um p´e dentro e o resto que costuma vir agarrado a p´es: neste caso o revisor do comboio. Olhou para n´ os os dois com olhar de poucos amigos, mas o meu tio nem deu por isso. Sentou-se, calmamente, e continuou: - Viste que uma das moedas s´ o parou no fim da carruagem. Achas que a empurraste mais do que a outra? Deste-lhe mais dessa coisa que chamaste quantidade de movimento? - Bem, de facto acho que n˜ ao. Antes pelo contr´ ario. Bastou um toque para a pˆ or a rolar. - Ent˜ ao por que ´e que se deslocou muito mais do que a outra? - Deve ser por causa do atrito, n˜ ao ´e? A outra moeda escorregou sobre o ch˜ ao. O atrito com o ch˜ ao ´e que a fez parar mais cedo. - Espera a´ı. N˜ ao est´ as a dizer que o ch˜ ao est´ a a exercer um for¸ca sobre a moeda? - Acho que sim. - E quando essa for¸ca ´e mais pequena, como quando a moeda rola, ela demora mais a parar? - Ah, j´ a estou a ver onde quer chegar. Vai-me dizer que se n˜ ao existissem essas for¸cas como o atrito a moeda n˜ ao pararia. - Exacto. N˜ ao foi isso, no fundo, que a tua Prof. te disse? Se n˜ ao houver for¸cas, o estado de movimento n˜ ao se altera. O que est´ a parado fica parado. Mas o que estiver em movimento, continua em movimento. - Realmente, come¸ca a fazer algum sentido. O que o tio est´ a a dizer ´e que quando as coisas est˜ ao em movimento e ningu´em est´ a a “empurr´ a-las”, isso n˜ ao quer dizer que n˜ ao haja for¸cas como o atrito que as fazem diminuir de velocidade e parar. - Exacto. E at´e te posso dar um exemplo ainda mais convincente. Estende a m˜ ao. Segura neste berlinde. Tirou um berlinde do bolso e pousou-mo na palma da m˜ ao. - Se o largares, o que acontece? - Ora essa, cai.
CAP´ITULO 3. UMA CONVERSA COM O MEU TIO
14
- Porquˆe? - Por causa do peso. Atrac¸ca˜o da Terra, gravidade, bl´ a-bl´ a-bl´ a, essa cena j´ a a dei no 9º ano. - Ent˜ ao cai porque a Terra atrai o berlinde com uma for¸ca, o peso do berlinde, com a direc¸ca˜o do centro de Terra. -Certo. - Mas agora n˜ ao est´ a a cair. Qual ´e a for¸ca total sobre o berlinde? - Bem, calculo que a minha m˜ ao ´e que exerce uma for¸ca que somada com o peso d´ a zero. - Ent˜ ao concordas que a for¸ca total sobre o berlinde ´e zero. - Claro. Ele est´ a aqui paradinho, n˜ ao est´ a? - Olha para ali, no fundo da carruagem, para aquele letreiro luminoso. O que diz? -Levantei os olhos e reparei que de facto havia um letreiro por cima da passagem para a outra carruagem. ´ a velocidade do comboio. - De momento diz 145 km h−1 . E - E. . . ? De repente atingiu-me! O meu berlinde, para o pessoal que estava em terra, estava a deslocar-se a 145 km h−1 . E eu acabava de dizer que a for¸ca total sobre ele era nula! - Hummm, acho que me comeram a cabe¸ca1 . Ser´ a que ao segurar −1 no berlinde e ao estar a andar a 145 km h n˜ ao estou a exercer uma for¸ca sobre ele? - Pensa um pouco. Sentes alguma coisa diferente do que se estivesses a segurar o berlinde no teu quarto, em casa? Se o comboio, em vez de 145 km h−1 , estivesse a andar a duzentos sentirias alguma coisa diferente na tua m˜ ao? - Realmente, tem raz˜ ao. Sinto exactamente o mesmo se estivesse parado em casa. ´ verdade. Enquanto o comboio n˜ -E ao mudar de velocidade tudo se passa aqui dentro como se estivesses em tua casa. Se deixares cair o berlinde ele cai aos teus p´es, n˜ ao a` frente nem atr´ as; n˜ ao precisas de especial cuidado para deitares a´gua num copo; se atirares o berlinde para ar, na vertical, ele cai na tua m˜ ao. Repara que para uma pessoa fora do comboio a tua m˜ ao muda de s´ıtio enquanto 1
“Acho que fui enganado”. (nota do tradutor)
15 o berlinde est´ a no ar. Mas tu n˜ ao precisas de te preocupar com isso, pois n˜ ao? Claro se o comboio entrar numa curva, travar ou acelerar, ou balan¸car de um lado para o outro, tudo muda. Mas enquanto andar com velocidade constante, se n˜ ao olhares l´ a para fora, nem notas que est´ as a andar. Por isso, aqui dentro do comboio, um corpo sem for¸cas aplicadas pode estar parado, exactamente como se estivesses na tua sala de estar. Mas, para quem est´ a l´ a fora, est´ a em movimento. Como vˆes, parece que a tua Prof. e o Newton, afinal, tˆem raz˜ ao. As for¸cas s˜ ao necess´ arias para alterar o estado de movimento. Mas o movimento com velocidade constante n˜ ao precisa de for¸cas. - Estou a ver. Ent˜ ao quando eu disse que se ningu´em empurrar um corpo ele p´ ara, estava a imaginar que, se ningu´ em o empurrava, n˜ ao havia for¸cas sobre ele. Mas estava errado. H´ a for¸cas, como o atrito da mesa, s´ o que n˜ ao t˜ ao evidentes como os empurr˜ oes que n´ os damos. E ´e por causa dessa for¸cas que os corpos p´ aram. De outro modo continuariam em movimento. - Ora nem mais! Compreendes agora? - Vou pensar nisso. E de facto pensei; mas n˜ ao muito. Estas coisas profundas fazemme dor de cabe¸ca. . .
16
CAP´ITULO 3. UMA CONVERSA COM O MEU TIO
Cap´ıtulo 4
Leis de Newton 4.1
Um livro muito importante
Em 1687, Isaac Newton, professor de matem´ atica da Universidade de Cambridge, na c´ atedra que hoje ´e ocupada por Stephen Hawking, publicou o que muitos consideram o mais importante livro cient´ıfico da hist´ oria da Humanidade: Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, ou, como ´e universalmente conhecido, os Principia. Neste livro, escrito em latim (a primeira tradu¸ca˜o para inglˆes data de 1729), Newton apresentou os resultados da sua investiga¸ ca˜o sobre movimento, na forma de trˆes leis de aplica¸ca˜o universal a qualquer tipo de movimento, quer na Terra quer no C´ eu. Quais s˜ ao, ent˜ ao, as trˆes leis de Newton? S´ o ´e precisa meia p´ agina para as escrever. Primeira Lei Na ausˆencia de for¸cas exteriores, um corpo em repouso mant´em-se em repouso, e um corpo em movimento mant´em o seu estado de movimento, com velocidade constante em direc¸ca˜o, sentido e m´ odulo. Segunda Lei ! , tem uma Um corpo actuado por uma for¸ca externa, F acelera¸ca˜o, !a, na mesma direc¸ca˜o e sentido da for¸ca, de 17
Figura 4.1: P´ agina de t´ıtulo do exemplar 80 dos Principia de Newton.[2]
CAP´ITULO 4. LEIS DE NEWTON
18
m´ odulo proporcional ao m´ odulo da for¸ca. A constante de proporcionalidade ´e a massa do corpo (uma grandeza sempre positiva). Isto ´e, ! = m!a F
(4.1)
Terceira Lei Para toda a ac¸ca˜o (for¸ca) de um corpo A sobre um corpo B, existe uma reac¸ca˜o (for¸ca) de B sobre A oposta (mesmo m´ odulo, mesma direc¸ca˜o e sentido contr´ ario).
# Lei da in´ercia
Galileu j´ a tinha formulado a primeira lei chamando-lhe lei da in´ ercia: Um corpo n˜ ao altera o seu estado de movimento a n˜ ao ser que seja actuado por causas exteriores. Galileu chamou in´ercia a esta resistˆencia de um corpo a` altera¸ca˜o do seu estado de movimento. De acordo com a segunda lei, quanto maior ´e a massa, m, mais dif´ıcil ´e alterar o estado de movimento: maior tem que ser a for¸ca para a mesma acelera¸ca˜o. A massa newtoniana quantifica o conceito de in´ ercia de Galileu. Por que ´e que estas leis s˜ ao t˜ ao importantes? Porque, complementadas pelo conhecimento das for¸ cas que os corpos exercem uns sobre os outros, permitem o c´ alculo de qualquer tipo de movimento.
F =G
m1 m2 r2
# Lei da Gravita¸c˜ao Universal.
Os Principia incluem tamb´em a formula¸ca˜o da lei que rege uma das for¸cas fundamentais da Natureza, a Gravita¸ca˜o Universal. Newton mostrou como as o´rbitas dos planetas ou dos cometas se podiam deduzir matematicamente das suas trˆ es leis de movimento e da lei da Gravita¸ca˜o; explicou as varia¸co˜es da o´rbita da Lua devido a` atrac¸ca˜o do Sol; a precess˜ ao (varia¸ca˜o de orienta¸ca˜o) do eixo de rota¸ca˜o da Terra; a periodicidade e varia¸co˜es das mar´es. Um dos sucessos mais espectulares da teoria newtoniana foi a descoberta do planeta Neptuno em 1846. A o´rbita de Urano mostrava desvios relativamente aos c´ alculos da teoria newtoniana. John Adams e Urbain Le Verrier, de modo independente e quase simultˆ aneo, propuseram que esses desvios se deviam a` existˆencia de um planeta at´e ent˜ ao desconhecido, cuja atrac¸ca˜o grav´ıtica causava os
4.1. UM LIVRO MUITO IMPORTANTE
19
Figura 4.2: Urbain Le Verrier (1881-1877) e John C. Adams (1819-1892) previram teoricamente a existˆencia do planeta Neptuno, a partir dos desvios da o´rbita de Urano relativamente a`s previs˜ oes da teoria newtoniana. O astr´ onomo George Airy, do Observat´ orio de Greenwhich, ignorou as previs˜oes de Adams. Le Galle, em Berlim, seguiu as indica¸c˜oes de Le Verrier e foi o primeiro a observar Neptuno ao telesc´ opio. [3].
desvios da o´rbita de Urano. Usando a teoria newtoniana, determinaram a o´rbita desse planeta. Le Verrier passou os seus c´ alculos ao director do Observat´ orio de Berlim que, em menos de uma hora, observou pela primeira vez o planeta Neptuno ao telesc´ opio.
4.1.1
Como se demonstram as leis de Newton?
No passado, em tempos em que a ciˆencia gozava de maior prest´ıgio entre os jovens, um “facto cient´ıficamente provado” era considerado irrefut´ avel. Invocar esta qualidade para um facto em disputa era um modo garantido de “matar” uma discuss˜ ao. Na verdade, n˜ ao existe nenhuma demonstra¸ca˜o ou prova, no sentido matem´ atico, das leis de Newton ou de qualquer outra lei f´ısica. Newton n˜ ao deduziu as suas leis de qualquer observa¸ca˜o. O trabalho cient´ıfico tem alguma semelhan¸ca com o trabalho de um detective. Newton encontrou pistas nas observa¸ co˜es astron´ omicas, nos trabalhos de Galileu e nas suas pr´ oprias oberva¸co˜es sobre o movimento. Com estas pistas intuiu a forma da leis de movimento e explorou as suas consequˆencias. Por cada previs˜ ao confirmada, a sua confian¸ca nas leis que formulou cresceu. Este processo continuou por v´ arias gera¸co˜es. As leis de Newton s˜ ao hoje usadas para planificar as viagens das sondas espaciais, para fazer previs˜ oes metereol´ ogicas, para descrever os movimentos de fluidos, para compreender o comportamento mecˆ anico dos materiais, para prever os movimentos das pontes e outras estruturas, para explicar a forma e movimentos das gal´ axias, incluindo colis˜ oes entre elas,
CAP´ITULO 4. LEIS DE NEWTON
20
Isaac Newton
Isaac Newton (1643-1727)
Nascido em 1643, em Woolsthorpe, Inglaterra, Isaac Newton e´ um dos dois mais s´erios candidatos ao t´ıtulo de f´ısico mais influente da hist´ oria da humanidade. O segundo ´e Albert Einstein. Na sua obra mais importante, os Principia, Newton n˜ ao se limitou a apresentar um conjunto completo de leis aplic´ aveis a qualquer tipo de movimento, terrestre ou celeste. Tamb´ em deu consistˆencia e conte´ udo a uma vis˜ ao de um Universo regido por leis matem´ aticas, evoluindo de uma maneira determinada, a` semelhan¸ca de um mecanismo perfeito. Embora as ideias de Newton tenham sido modificadas pela Teorias da Relatividade e Gravita¸c˜ao de Einstein e, de um modo mais radical, pela Mecˆanica Quˆ antica, a gama de fen´ omenos que podem ser abordados nos termos da teoria newtoniana ´e t˜ ao vasta, que ela faz parte permanente do corpo de conhecimentos cient´ıficos. Ainda hoje, qualquer estudo s´erio de F´ısica come¸ca, invariavelmente, pela mecˆ anica de Newton. Al´em dos trabalhos publicados nos Principia, Newton deu contribui¸c˜oes fundamentais em o´ptica e matem´ atica, sendo considerado, com Leibniz, inventor do c´ alculo infinitesimal. Descobriu a composi¸c˜ao espectral da luz branca e inventou o telesc´ opio reflector. A sua vida foi marcada por disputas acrimoniosas sobre prioridade nas suas descobertas, com Hooke, Huygens e Leibniz, nas quais alguns procedimentos de Newton foram altamente critic´ aafio dizia: veisa . Faleceu em 1727 e o seu epit´ Aquele, que por vigor de mente quase divina, primeiro demonstrou os movimentos e figuras dos planetas, os caminhos dos cometas e as mar´ es dos oceanos. Na disputa com Leibniz, sobre a inven¸c˜ao do C´ alculo Infinitesimal, Newton, como Presidente da Royal Society, nomeou uma comiss˜ ao independente. O pr´ oprio Newton (anonimamente) redigiu o respectivo relat´orio e um artigo de aprecia¸ca ˜o cr´ıtica sobre o relat´ orio! a
Caixa 4.1: Isaac Newton
4.1. UM LIVRO MUITO IMPORTANTE
21
para calcular o movimento das cargas do vento solar no campo magn´etico da Terra, etc., etc., etc.. A lista ´e intermin´ avel: no trabalho em ciˆencia e tecnologia as leis de Newton est˜ ao sempre por perto. Como podemos n´ os compreender as leis de Newton? Do mesmo modo que o pr´oprio Newton e as v´ arias gera¸co˜es de f´ısicos que se lhe seguiram: aplicando-as na an´ alise de situa¸co˜es concretas. Esta ´e a u ´ nica maneira poss´ıvel de compreender a mecˆ anica newtoniana. Aprender F´ısica ´e como aprender a andar de bicicleta. S´ o se aprende fazendo. Do mesmo modo que ningu´em aprende a andar de bicicleta assistindo a aulas sobre a posi¸ca˜o correcta a adoptar e a maneira de dar aos pedais, ningu´em aprende mecˆ anica newtoniana decorando com muito cuidado as suas leis fundamentais. Compreender as leis ´e saber aplic´ a-las em situa¸co˜es concretas. Assim, voltaremos a considerar alguns dos movimentos estudados no cap´ıtulo 2 e duas novas actividades experimentais. No pr´ oximo cap´ıtulo falaremos da lei da Gravita¸ca˜o Universal e do movimento dos planetas. As leis de Newton s˜ ao tamb´em importantes para compreender situa¸co˜es da vida corrente, n˜ ao apenas as situa¸co˜es controladas de um laborat´ orio. O di´ alogo do cap´ıtulo precedente mostra isso mesmo. Frequentemente, as nossas intui¸co˜es imediatas sobre for¸cas e movimentos n˜ ao est˜ ao de acordo com as leis da mecˆ anica newtoniana. N˜ ao vemos corpos manterem-se em movimento indefinidamente (primeira lei); quem j´ a enfrentou um matul˜ ao com o dobro do tamanho tem dificuldade em acreditar que a for¸ca que pode exercer sobre n´ os n˜ ao ´e maior que a que podemos exercer sobre ele (terceira lei). A verdade ´e que a experiˆencia imediata dos nossos sentidos e´ muito limitada. Vivemos amarrados pelo peso a` superf´ıcie da Terra, n˜ ao sobrevivemos fora de um meio gasoso e os nossos sentidos est˜ ao limitados a janelas temporais e espaciais muito estreitas: se olharmos para um rel´ ogio, n˜ ao detectamos o movimento do ponteiro da horas (ou mesmo dos minutos) e qualquer objecto de dimens˜ oes inferiores a cerca de 0,1 mm ´e invis´ıvel a` vista desarmada. Contudo, mesmo neste contexto limitado, uma observa¸ca˜o cuidadosa e uma reflex˜ ao cr´ıtica sobre o conjunto da nossa experiˆencia quotidiana, s´ o encontra uma explica¸ca˜o consistente e coerente no aˆmbito da mecˆ anica newtoniana. Neste cap´ıtulo, iremos tamb´em reflectir um pouco sobre situa¸co˜es correntes em que a descri¸ca˜o da mecˆ anica newtoniana tem aspectos surpreendentes.
# Actividades 4.1 e 4.2.
22
CAP´ITULO 4. LEIS DE NEWTON
4.1.1.1
4.2 4.2.1
Leis de Newton em ac¸ c˜ ao O conceito de for¸ ca
As trˆes leis de movimento de Newton mencionam o conceito de for¸ca. A Lei da Gravita¸ca˜o Universal ´e uma lei de for¸ca. H´ a dois aspectos fundamentais no conceito de for¸ca da teoria newtoniana: a) O movimento dos corpos ´e influenciado pela presen¸ca de outros corpos, e esta influˆencia manifesta-se na forma de for¸cas: isto ´e, uma for¸ca ´e sempre exercida sobre um corpo e ´e sempre devida a` existˆencia de outro corpo. Se, acidentalmente, corrermos contra um poste, fazemos uma verifica¸ca˜o dolorosa desta afirma¸ca˜o: o poste exerce a for¸ca, esta ´e exercida sobre o nosso corpo e o nosso movimento e´ claramente afectado. Na linguagem da F´ısica estas influˆencias m´ utuas chamam-se interac¸ co ˜es: i) a atrac¸ca˜o entre cargas de sinais opostos, ou a repuls˜ ao entre cargas do mesmo sinal, ´e uma interac¸ c˜ ao el´ ectrica. ii) a atrac¸ca˜o grav´ıtica entre o Sol e a Terra ´e uma interac¸ c˜ ao grav´ıtica. Na teoria newtoniana as interac¸co˜es s˜ ao definidas pelas for¸cas a que d˜ ao origem. b) For¸cas s˜ ao vectores, isto ´e, tˆem direc¸ca˜o sentido e m´ odulo e somam-se como vectores. Quando atiramos uma pedra, podemos fazˆe-lo em qualquer direc¸ca˜o ou sentido; podemos tamb´em variar a intensidade com que o fazemos, projectando a pedra a maior ou menor distˆ ancia. Por outras palavras, podemos variar a direc¸ca˜o, o sentido e a intensidade da for¸ca que aplicamos a` pedra. Mas ao dizer que as for¸cas s˜ ao vectores estamos tamb´em a afirmar que se somam como vectores.
˜ 4.2. LEIS DE NEWTON EM ACC ¸ AO
!!
3: As for¸cas como vectores. igual de e direc¸c˜ao e opostos tˆem e nula.
23
O seguinte exemplo ´e u ´ til para esclarecer este ponto. Suponhamos que pegamos numa mola com as m˜ aos e a distendemos. Nas extremidades da mola est˜ ao aplicadas duas for¸cas com a mesma direc¸ca˜o e sentidos opostos. Para que a mola n˜ ao se desloque, nem para a esquerda nem para a direita, as duas for¸cas tˆem que ter a mesma intensidade. Se as representarmos por vectores, estes ter˜ ao uma soma vectorial nula: o efeito das duas for¸cas no movimento global (de transla¸ca˜o) da mola ´e o mesmo que o da sua soma vectorial: nenhum. A soma vectorial das v´ arias for¸cas que actuam num corpo, designa-se por resultante1 . Em resumo: • as for¸cas tˆem origem nas interac¸co˜es entre corpos; • as for¸cas s˜ ao vectores; • a soma vectorial das for¸cas que actuam num corpo chamase resultante. A for¸ca a que se refere a segunda lei ´e a resultante das for¸cas que actuam no corpo.
4.2.2
Movimentos estudados no Cap´ıtulo 2
Nas actividades do Cap´ıtulo 2 analis´ amos em pormenor movimentos simples em diferentes circunstˆ ancias: • um carro em movimento numa calha horizontal ou inclinada (actividade A18); • uma esfera largada de uma certa altura (actividade A19); • uma esfera lan¸cada obliquamente (actividade A21). Medimos velocidades e acelera¸co˜es. Poderemos compreender as nossas observa¸co˜es em termos das leis de Newton? 4.2.2.1
For¸ cas num carro em movimento numa calha.
Quais s˜ ao as for¸cas exercidas sobre um carro pousado numa calha? J´a agora, quais s˜ ao as for¸cas exercidas sobre um objecto pousado numa superf´ıcie s´ olida e plana? 1
Nem todos os efeitos de um conjunto de for¸cas s˜ ao equivalentes ao da for¸ca resultante. Neste exemplo, a resultante e´ nula mas a mola deforma-se por ac¸ca ˜o das for¸cas aplicadas. Se n˜ ao houver for¸cas aplicadas a` mola, ela mant´em o seu comprimento de equil´ıbrio.
# Actividade 4.3
CAP´ITULO 4. LEIS DE NEWTON
24
#
"2 "2
"1 "1
#
(a)
$
#
"2 "1
"1
"2
# (b)
Figura 4.4: For¸cas sobre um carro em cima de uma superf´ıcie s´ olida. Note-se que s´ o represent´ amos as for¸cas exercidas sobre o carro, n˜ ao as exercidas sobre a superf´ıcie. O facto de o carro n˜ ao penetrar nem des! ´e nula (a) ou paralela a` colar da superf´ıcie significa que a resultante, R, superf´ıcie (b).
Quer a superf´ıcie esteja horizontal quer esteja inclinada, h´ a uma coisa que sabemos: o corpo n˜ ao descola espontaneamente da superf´ıcie nem se afunda nela: quando muito, desloca-se numa direc¸ca˜o paralela a` superf´ıcie. Isto significa que a resultante das for¸cas exercidas sobre o corpo tem componente nula na direc¸ca˜o perpendicular a` superf´ıcie. Por outras palavras: se houver uma for¸ca externa sobre o objecto, com uma componente dirigida para dentro da superf´ıcie, como por exemplo o peso, haver´ a uma for¸ca da superf´ıcie sobre o objecto que cancela essa componente. Quest˜ ao: No di´alogo do cap´ıtulo anterior este argumento ´e usado pelo tio de P. Em que local e a que prop´ osito? Qual ´e a origem desta for¸ca? Pensemos no que acontece quando subimos para uma balan¸ca. A superf´ıcie da balan¸ca ´e suportada por molas deform´ aveis. Connosco em cima da balan¸ca, as molas s˜ ao comprimidas at´e que as for¸cas exercidas sobre os nossos p´es igualem, em m´ odulo, o nosso peso. A leitura da escala da balan¸ca ´e proporcional a` deforma¸ca˜o. Do mesmo modo, pousar um corpo sobre uma superf´ıcie s´ olida, ou Figura 4.5: As molas deformadas exercem sobre o homem uma for¸ca que cancela o efeito do seu peso.
˜ 4.2. LEIS DE NEWTON EM ACC ¸ AO
25
For¸ cas de reac¸ c˜ ao Quando pousamos um objecto sobre uma mesa temos uma ac¸c˜ao, ! . Pela terceira o peso do corpo P! , e a reac¸c˜ao normal da mesa, N lei de Newton estas duas for¸cas s˜ao opostas. Certo? Errado! Este ´e um erro bastante comum de aplica¸c˜ao da terceira lei. Primeiro: repare-se que as for¸cas de ac¸c˜ao e reac¸c˜ao referidas na terceira lei s˜ ao for¸cas exercidas em corpos diferentes: o peso, P! , ! , s˜ e a reac¸c˜ao normal da mesa, N ao exercidas no mesmo corpo. Segundo: A reac¸c˜ao normal da mesa nem sempre ´e igual em m´ odulo ao peso. O exemplo da figura (ver problema 4.1) permite perceber isso mesmo. A superf´ıcie suporta cada um dos carros odulo a` reac¸c˜ao normal com for¸cas diferentesa . O que ´e igual em m´ ! , ´e a for¸ca exercida por cada carro da mesa sobre cada carro, N sobre a mesa. S´ o no caso do meio essa for¸ca ´e igual ao peso. A mesa reage `a for¸ca que sobre ela ´e exercida por cada carro, com ! , exercida sobre o carro, igual, em m´ uma for¸ca N odulo.
!
Claro que a for¸ca exercida pelo corpo sobre a mesa tem origem na for¸ca externa exercida sobre o corpo. A Terra puxa o corpo: este, por sua vez, empurra a mesa (ac¸c˜ao); a mesa suporta o corpo com uma for¸ca oposta a esta (reac¸c˜ao). Mencion´ amos trˆes for¸cas. Peso, ac¸c˜ao do corpo sobre a mesa e reac¸c˜ao desta sobre o corpo. Onde est´ a o par ac¸c˜ao–reac¸c˜ao do peso do corpo? Sobre que corpo ´e exercida? a
N˜ ao estamos a considerar as for¸cas entre as bases do suporte e a mesa.
Caixa 4.2: For¸cas exercidas por superf´ıcies.
CAP´ITULO 4. LEIS DE NEWTON
26
Deforma¸ co ˜es de estruturas A maior parte das pessoas fica surpreendida por saber que uma estrutura tem que se deformar para sustentar qualquer carga. Quando entramos numa ponte esta exerce sobre n´ os uma for¸ca vertical que cancela o nosso peso. Essa for¸ca n˜ao existia antes de entrarmos na ponte. Mas n˜ ao surge por magia. Surge porque a carga deforma a estrutura e esta responde com for¸cas proporcionais a` deforma¸c˜ao, a` semelhan¸ca de uma mola. Os engenheiros civis tˆem que manter vigilˆ ancia sobre estas deforma¸c˜oes para assegurar a seguran¸ca das estruturas. Recentemente o grupo de investiga¸c˜ao da Unidade de Optoelectr´ onica do INESC-Porto e do Departamento de F´ısica da Faculdade de Ciˆencias, Universidade do Porto, desenvolveu dispositivos baseados em fibra o´ptica capazes de medir a deforma¸c˜ao causada pela passagem de uma s´ o pessoa numa ponte como a D. Lu´ıs, no Douro.
Caixa 4.3: As cargas deformam as estruturas. % &' !
3o
# &
"
#
Figura 4.6: Que for¸ca ´e necess´aria para que o carro n˜ ao deslize?
pression´ a-la de qualquer modo, origina uma deforma¸ca˜o e dessa deforma¸ca˜o resulta a for¸ca que sustenta o corpo: quanto maior a carga, maior a deforma¸ca˜o e maior a for¸ca exercida pela superf´ıcie. Em muitas situa¸co˜es correntes essa deforma¸ca˜o ´e t˜ ao pequena que pode ser ignorada; mas, se a carga for excessiva, a superf´ıcie pode ceder e deixar de suportar o objecto. Se a superf´ıcie n˜ ao for horizontal, o peso tem uma componente normal e uma componente paralela a` superf´ıcie (Fig. 4.4). S´ o a primeira ´e anulada pela reac¸ca˜o da superf´ıcie: a resultante do peso e da reac¸ca˜o normal da mesa ter´ a uma direc¸ca˜o paralela a` superf´ıcie.
˜ 4.2. LEIS DE NEWTON EM ACC ¸ AO
27
Exerc´ıcio: Um condutor imprevidente, esqueceu-se de travar o carro numa rampa com inclina¸c˜ao de 3º. Que for¸ca necessita exercer para impedir o carro de deslizar ? A massa do carro ´e 1200 kg (ignorar for¸cas de atrito). Solu¸ c˜ ao: O peso do carro tem uma componente perpendicular a` superf´ıcie que ´e anulada pela reac¸c˜ao normal da ! !, mesma. Mas a componente do peso paralela ao solo, OA tem que ser anulada pela for¸ca exercida pelo condutor. Como ! ! " dividida por ao "OA o triˆ angulo OAA! ´e rectˆangulo, a raz˜ ! "P ", ´e o cosseno do ˆangulo θ = 90 − 3 = 87º. Assim, "OA! " = "P! " cos(87º) = 1200 × 9,8 × 0, 052 = 615 N.
Esta for¸ca ´e o peso de um corpo de massa m ≈ 63 kg.
Se s˜ ao estas as for¸cas, que movimentos podemos ent˜ ao observar? 4.2.2.2
Calha horizontal
No caso do carro numa calha horizontal (Actividade A18) h´ a duas for¸cas actuando sobre o carro: o seu peso e a reac¸ca˜o normal da calha. Estas for¸cas cancelam-se e, se o carro estiver em repouso, mant´em-se em repouso: primeira lei de Newton. Para movimentar o carro damos-lhe um pequeno empurr˜ ao. ´ preciso uma causa externa para alterar o estado de movimento: E primeira lei. Mas esta for¸ca cessa de ser aplicada quando a nossa m˜ ao perde o contacto com o carro: as for¸cas resultam das interac¸co˜es entre os corpos. O carro mant´em-se em movimento ap´ os terminar a interac¸ca˜o (o nosso empurr˜ ao). De novo, a primeira lei a funcionar: o facto de a for¸ca externa cessar n˜ ao implica que o carro p´ are. Implica apenas que a velocidade deixe de variar. Contudo, se olharmos com aten¸ca˜o para os resultados de medi¸ca˜o de posi¸ca˜o, nesta situa¸ca˜o (Fig. 4.7), vemos que a velocidade est´ aa diminuir, embora lentamente: O gr´ afico de x(t) tem uma pequena curvatura negativa: o movimento n˜ ao ´e exactamente uniforme. Isso significa que a reac¸ca˜o normal da calha n˜ ao ´e a u ´ nica for¸ca, al´em do peso, a actuar no carro. Deve existir uma for¸ca paralela ao plano da calha. Discutiremos este ponto um pouco mais a` frente.
CAP´ITULO 4. LEIS DE NEWTON
28
./01234'&5-64!64)2784 "*+
,'('-
"
" (2
!*+
" (1
!
!
"
#
&'(')
$
%
Figura 4.7: Gr´ afico de x(t) para um carro sobre uma calha horizontal. Para um movimento uniforme, o gr´ afico seria uma linha recta. Estes resultados mostram uma ligeira curvatura negativa, ou seja, uma diminui¸c˜ao da velocidade devida ao atrito. Os dados s˜ ao os pontos: a linha ´e apenas uma ajuda de visualiza¸c˜ao.
4.2.2.3
Calha inclinada
Neste caso, se largarmos o carro, ele desliza pela calha abaixo. Bom, isso s´ o pode significar que o peso do carro e a for¸ca exercida pela calha n˜ ao d˜ ao resultante nula: d˜ ao uma resultante com direc¸ca˜o da calha e sentido descendente. Doutro modo, pela primeira lei, o estado de repouso ou movimento n˜ ao se alteraria. Para uma calha inclinada, o peso tem uma componente paralela a superf´ıcie da calha, que n˜ ` ao ´e cancelada pela reac¸ca˜o normal da calha (ver figura 4.4 da p´ agina 24). Se h´ a um for¸ca exercida sobre o carro o movimento deve ser variado. De facto, este movimento tem uma acelera¸ca˜o constante. A figura 4.8 mostra, para este movimento, um gr´ afico de velocidade em fun¸ca˜o do tempo: a varia¸ca˜o linear da velocidade em fun¸ca˜o do tempo corresponde a uma acelera¸ca˜o constante. Exerc´ıcio: A acelera¸c˜ao registada no gr´ afico da figura 4.8 ´e a = −0,06 m s−2 . Qual foi a inclina¸c˜ao da calha (ignorando for¸cas de atrito)?
Solu¸ c˜ ao: Sendo θ o ˆangulo entre a calha e a horizontal, a direc¸c˜ao do peso (vertical) faz tamb´em um ˆangulo θ com
˜ 4.2. LEIS DE NEWTON EM ACC ¸ AO
29
AB//4'5-'3BCDB'2E3C2EBFB !
;'('-')
:"
;<&='>':!?!9'&'@'!?"$
:!*"
:!*#
$
%
+
9
&'(')
Figura 4.8: Gr´ afico de tempo-velocidade para movimento numa calha linear inclinada (Actividade A18). Os pontos s˜ ao os dados experimentais, a linha ´e um ajuste linear. a direc¸c˜ao perpendicular a` calha, BC. O triˆ angulo ABC ´e rectˆangulo e "P!# " ´e o cateto oposto a θ; "P! " ´e a hipotenusa. Logo, "P!# " = senθ, "P! " ou seja:
"P!# " = mgsenθ.
&
#|| )
# ! *
Pela segunda lei de Newton, a acelera¸c˜ao do carro deve ser a=
mgsenθ = gsenθ m
Usando g = 9,8 m s−2 , senθ =
0,06 = 0,006. 9,8
O ˆangulo correspondente ´e inferior a um grau: θ = 0,35º. Na realidade, a inclina¸c˜ao foi superior a este valor. A acelera¸c˜ao correspondente deveria ser superior. O que poder´ a explicar um valor t˜ ao baixo da acelera¸c˜ao? (ver a` frente).
4.2.2.4
Carro puxado por massa em queda
Na actividade 4.1 prop˜ oe-se uma experiˆencia baseada na montagem da figura 4.10.
Figura 4.9: A coordenada do peso paralela a` calha ´e mgsenθ.
CAP´ITULO 4. LEIS DE NEWTON
30
A4-6L&BF4/
I5E)4/'F5' J4)2784
H4CFBEB AB//2ED4
ABCDB
GB&5E&5
KB))B' D GB&5E&5
Figura 4.10: O carro ´e puxado enquanto a massa cai; deixa de ser puxado quando ela atinge o batente. Que tipo de movimento tem o carro?
# Actividade 4.1
A calha est´ a colocada na horizontal. Enquanto a massa suspensa cai, o carro ´e puxado pelo fio que a suspende. Quando a massa suspensa atinge o batente, o carro deixa de ser puxado. Que tipo de movimento vai ter o carro? Como vai ser o gr´ afico de velocidade em fun¸ca˜o do tempo? O que acontece quando se varia a distˆ ancia de queda at´e ao batente? Antes de realizar esta actividade ´e muito importante reflectir sobre o que dizem as leis de Newton sobre o movimento do carro e tentar antecipar os resultados.
4.2.3
For¸ cas de atrito
H´ a alguns detalhes das experiˆencias do carro sobre a calha que ainda ficaram por explicar: • O movimento na calha horizontal ´e quase uniforme. Isto ´e vis´ıvel nas actividades A18 e na actividade 4.1, referida na sec¸ca˜o anterior. Se apenas existissem o peso e a reac¸ca˜o normal da calha, o movimento deveria ser uniforme (sem “quase”). • A inclina¸ca˜o que calcul´ amos no exerc´ıcio da p´ agina 28 ´e inferior a` inclina¸ca˜o real da calha (cerca de 1º). A acelera¸ca˜o ´e menor do que esper´ avamos. Esta situa¸ca˜o ´e muito vulgar em F´ısica. Dispomos de uma representa¸ca˜o aproximada da situa¸ca˜o, mas h´ a pormenores que n˜ ao s˜ ao bem representados. Compensa sempre prestar aten¸ca˜o a estes pormenores.
˜ 4.2. LEIS DE NEWTON EM ACC ¸ AO
31
Material 1
Material 2
Est´ atico
Dinˆ amico
Cobre
Cobre
1,21
—
Vidro
Vidro
0,4
Grafite
Grafite
0,9 ∼ 1,0 0,1
—
Teflon
Teflon
0,04
—
Borracha
Asfalto(seco)
—
Borracha
Asfalto(molh.)
0,5 ∼ 0,8
Alum´ınio
Alum´ınio
1,05 ∼ 1,35
1,4
0,25 ∼ 0,075
—
Tabela 4.1: Coeficientes de atrito entre algumas substˆ ancias (superf´ıcies secas). Estes valores s˜ ao extremamente sens´ıveis a`s condi¸c˜oes das superf´ıcies.
Estas discrepˆ ancias resultam, provavelmente, da existˆ encia de for¸cas de atrito. O fen´ omeno do atrito ´e extremamente complexo e a explica¸ca˜o em termos microsc´ opicos, a partir das for¸cas entre a´tomos, ainda hoje ´e assunto de investiga¸ca˜o. A lei emp´ırica de Amonton-Coulomb descreve razoavelmente o fen´ omeno, na situa¸ca˜o de duas superf´ıcies s´ olidas em contacto (ver caixa 4.4 da p´ agina 32). Infelizmente, a discuss˜ ao do atrito em situa¸co˜es em que h´ a rolamento, como no caso dos carros sobre a calha, ´e muito mais complexa e n˜ ao podemos fazˆe-la aqui. Deixamos apenas algumas indica¸co˜es. No caso de um carro a rolar livremente sobre uma calha horizontal as for¸cas de atrito das rodas com a calha v˜ ao ter o sentido oposto `a velocidade do carro. O carro acaba por parar. Da´ı a ligeira acelera¸ca˜o negativa evidente na figura 4.7 da p´ agina 28. No caso da calha inclinada ´e esclarecedor olhar para o resultado completo da experiˆencia (Actividade A18). O carro foi lan¸cado da parte mais baixa da calha, subiu at´e um certo ponto, parou e come¸cou a descer para a posi¸ca˜o inicial. Anteriormente mostr´ amos apenas a parte descendente do movimento (Fig. 4.8). A figura 4.12 mostra o gr´ afico completo da velocidade em fun¸ca˜o do tempo. O m´odulo da acelera¸ca˜o (declive do gr´ afico) ´e quase o dobro na subida (velocidade positiva) do da descida (velocidade negativa). Se a resultante das for¸cas sobre o carro fosse a componente do peso paralela a` calha, a acelera¸ca˜o deveria ser a mesma na subida e na descida. Na subida, a componente do peso paralela a` calha, P!" , retarda o movimento (sentido oposto ao da velocidade); as for¸cas de atrito
# Lei emp´ırica: uma lei descoberta a partir de observa¸c˜oes experimentais, mas cuja explica¸c˜ao em termos de leis fundamentais da F´ısica pode n˜ ao ser conhecida.
CAP´ITULO 4. LEIS DE NEWTON
32
Lei de Amonton-Coulomb Apesar da complexidade do fen´ omeno de atrito, a lei de AmontonCoulomb descreve satisfat´ oriamente a for¸ca de atrito entre superf´ıcies s´olidas.
+ =0 !
! (a)
(b)
! ", for inferior a µN , a for¸ca de atrito Se a intensidade da for¸ca exterior, "F ! " > µN , o corpo anula a for¸ca exterior e o corpo n˜ ao se desloca. Se "F move-se e a for¸ca de atrito tem m´ odulo µd N .
Consideremos um corpo com uma base plana em contacto com uma superf´ıcie tamb´em plana. Se tentarmos deslocar o corpo, exercendo uma for¸ca paralela a` superf´ıcie, a superf´ıcie exerce sobre o corpo uma for¸ca oposta a` exercida externamente, de modo a que a resultante seja nula. Mas isto s´ o ´e poss´ıvel para for¸cas de intensidade abaixo de um certo limite. Esse limite ´e dado pela express˜ao: Fa = µN em que N ´e o m´ odulo da for¸ca normal exercida pelo corpo sobre a ´ importante notar superf´ıcie e µ o coeficente de atrito est´ atico. E que µN n˜ ao ´e o valor da for¸ca de atrito; ´e o valor m´ aximo que a for¸ca de atrito pode ter numa situa¸c˜ao est´ atica. Se a for¸ca aplicada externamente for superior a µN , o corpo desloca-se sobre a superf´ıcie. Havendo movimento entre as superf´ıcies, o valor da for¸ca de atrito passa a ser Fa! = µd N em que µd , o coeficiente de atrito dinˆ amico, ´e diferente, em geral menor, que µ. Os coeficientes de atrito dependem dos materiais das superf´ıcies em contacto, do seu grau de limpeza e polimento, do estado de oxida¸c˜ao, do grau de contamina¸c˜ao, da existˆencia de l´ıquidos lubrificantes, etc. A. tabela 4.1 da p´ agina 31 indica alguns valores. Em situa¸c˜oes em que h´ a rolamento, como no caso dos carros das nossas experiˆencias, o atrito ´e um fen´ omeno ainda mais complexo, que n˜ ao vamos discutir em pormenor.
Caixa 4.4: A for¸ca de atrito entre superf´ıcies s´ olidas.
˜ 4.2. LEIS DE NEWTON EM ACC ¸ AO
33
AB//4'5-'3BCDB'2E3C2EBFB !*% ;'>':!*"!'&'@'!*#+ ;'>':!*!9'&'@'!*"$
!*$
v/ms
-1
!*#
!*"
!
:!*"
:!*#
!
"
#
$
%
+
9
t/s
Figura 4.12: A acelera¸c˜ao do carro ao subir a calha (v > 0) ´e superior em m´odulo a` acelera¸c˜ao quando desce (v < 0). A componente do peso paralela a` calha tem a mesma direc¸c˜ao nos dois casos, mas a for¸ca de atrito n˜ ao.
tˆem o mesmo sentido que esta componente do peso. Na descida a componente do peso acelera o movimento (mesmo sentido que a velocidade) mas as for¸cas de atrito retardam o movimento: ou ´ pois, a existˆencia das for¸cas seja, tˆem sentido oposto ao de P!" . E, de atrito, com sentidos opostos na subida e descida, que explica que a for¸ca resultante e, portanto, a acelera¸ca˜o sejam diferentes nos dois casos. Em particular, na descida a acelera¸ca˜o real ´e menor do que a esperada se ignor´ assemos o atrito. No entanto, ´e importante salientar, de novo, que o atrito em situa¸co˜es em que h´ a rolamento exige uma an´ alise muito cuidada. Mais `a frente damos exemplos em que a for¸ca de atrito tem o sentido do deslocamento do corpo e faz aumentar a velocidade.
4.2.4
+
#|| !a
+
#|| !a
Figura 4.11: As for¸cas de atrito tˆem sentidos opostos na subida e na descida.
Queda livre
Nas actividades A19 e A21 estud´ amos a queda de uma esfera em duas situa¸co˜es: • A esfera largada de uma certa altura (velocidade inicial nula), na actividade A19; • a esfera lan¸cada obliquamente (velocidade inicial diferente de zero), na actividade A21. Para discutir estes movimento usamos um sistema de eixos com a orienta¸ca˜o habitual: Ox horizontal e Oy vertical.
,
(
Figura 4.13: Escolha de eixos.
CAP´ITULO 4. LEIS DE NEWTON
34
No primeiro caso s´ o h´ a movimento na direc¸ca˜o vertical (Oy). RL5FB''F5'5)15/B' AC26S'TL5FBU5)15/BUF2;,U9+9,%Q! ! OBC4/5)'5,6)* ;N'>':P?PQ'&':'!?%#
:"
;N'(''-')
:"
:#
:$
:%
:+
:9
:M
!
!*"
!*#
!*$
!*%
!*+
&'(')
Figura 4.14: Resultados da an´ alise do clip queda_esfera_divx_656x480
O gr´ afico da figura 4.14 mostra os resultados da an´ alise de um movimento deste tipo. A varia¸ca˜o no tempo de coordenada y da velocidade, vy , ´e consistente com uma lei da forma vy (t) = −9,98t − 0,42 (m s−1 ), ou seja, uma acelera¸ca˜o constante: ay (t) = −9,98 m s−2 . Este resultado est´ a de acordo com o esperado da segunda lei de Newton. Este corpo cai sob a ac¸ca˜o do seu peso: a` superf´ıcie da Terra, o peso ´e dado por P! = (0, −mg) = −mgˆ, que implica uma acelera¸ca˜o !a = −
P! = −gˆ. m
O valor obtido nesta experiˆencia para g foi de 9,98 m s−2 , um valor relativamente pr´ oximo do valor conhecido da acelera¸ca˜o da gravi−2 dade de 9, 8 m s . Exerc´ıcio: Qual ´e a altura a que sobe um corpo lan¸cado verticalmente com velocidade v0 ? Quanto tempo demora a voltar a` altura inicial?
˜ 4.2. LEIS DE NEWTON EM ACC ¸ AO
35
Solu¸ c˜ ao: Este exerc´ıcio s´ o ´e simples se ignorarmos a resistˆ ancia do ar, o que ´e razo´ avel para velocidades de alguns metros por segundo. Neste caso, o movimento ´e uniformemente variado, com acelera¸c˜ao −g, na direc¸c˜ao Oy (vertical ascendente). Assim, vy = v0 − gt. A velocidade diminui at´e ao valor zero, e depois torna-se negativa: o corpo inicia a descida. O ponto de altura m´ axima ocorre para vy = 0: v0 − gt1 = 0 ⇒ t1 =
v0 . g
A equa¸c˜ao de movimento para a coordenada vertical ´e 1 y = v0 t − gt2 . 2 A altura m´ axima ´e atingida para t = t1 : ymax
1 v0 − g = v0 × g 2
!
v0 g
"2
=
v02 2g
O corpo volta a` altura inicial quando y = 0, ou seja, 1 0 = v0 t2 − gt22 , 2 o que d´ a t2 = 0 ou t2 =
2v0 = 2t1 . g
A solu¸c˜ao que interessa ´e, obviamente, a segunda, j´ a que a primeira corresponde ao instante de lan¸camento. Note-se que o tempo de subida e descida s˜ ao iguais.
4.2.4.1
Movimento do proj´ ectil
No caso da actividade A21, a esfera tem movimento segundo os dois eixos. Comecemos por recordar as conclus˜ oes do nosso estudo: a) A acelera¸ca˜o tem uma direc¸ca˜o vertical Oy. Entre dois intervalos consecutivos o vector velocidade m´ edia tem uma coordenada horizontal constante (movimento uniforme segundo Ox) e uma varia¸ c˜ ao da coordenada vertical negativa.
CAP´ITULO 4. LEIS DE NEWTON
36
#
+2
N'('-'
"*+
"
+1 +1
"+ !*+
+2 !
!
"
!*+
#
"*+
,'('-
Figura 4.15: No movimento de um proj´ ectil a varia¸c˜ao do vector velocidade, ∆!v = !v2 − v!1 ´e vertical.
J/4V53&2C
J/4V53&2C
AC26S6/4V53&2CUF2;,U"U"U9+9,%Q!*B;2
AC26S6/4V53&2CUF2;,+U"U"U9+9,%Q!*B;2
$
9
;BC4/5)'5,6) ,'>'"?Q!"'&'@'!?!!"
#*+
OBC4/5)'5,6)* ;N'>':P?QQ'&'@+?%9
%
#
vy / m s
x/ m
-1
#
"*+
!
:#
" :%
!*+ :9
!
!
"
!*+
t/s
"*+
!
"
!*+
t/s
Figura 4.16: Coordenada horizontal, x, e coordenada vertical da velocidade, vy , do movimento de uma esfera registado no clip projectil_divx_1_1_656x480.avi
˜ 4.2. LEIS DE NEWTON EM ACC ¸ AO
37
b) A coordenada de posi¸ca˜o x(t) (eixo Ox, horizontal) corresponde a um movimento uniforme de velocidade constante: x(t) = vx0 t + x0 ; o respectivo gr´ afico ´e uma recta (ver Fig. 4.16). c) A coordenada vertical da velocidade vy (t) diminui no tempo, com uma acelera¸ca˜o negativa constante (ver Fig. 4.16): vy (t) = −at + v0y . O valor que se obt´em para a acelera¸ca˜o a ´e o mesmo, a` parte uma varia¸ca˜o experimental inevit´ avel, que no caso da queda livre. De acordo com as leis de Newton, este corpo est´ a sujeito exactamente a` mesma for¸ca que no movimento de queda livre: uma for¸ca vertical descendente igual ao seu peso: P! = −mgˆ.
Por que s˜ ao t˜ ao diferentes os movimentos? Nos dois casos em estudo a for¸ca ´e vertical, n˜ ao tem componente horizontal. De acordo com a primeira lei de Newton, isso signica que o movimento da coordenada horizontal deve ser de velocidade constante, n˜ ao necessariamente nula. No caso da actividade A19, em que largamos a esfera de um estado de repouso, a sua velocidade inicial era nula: ambas as coordenadas, vx e vy , eram inicialmente zero. A primeira n˜ ao variou, continuou nula, porque a for¸ca nessa direc¸ca˜o era nula. A segunda, vy , variou por causa da for¸ca aplicada (peso). O movimento desenrola-se apenas na coordenada y, j´a que a coordenada x mant´em o seu valor inicial (vx (t) = 0). Quando lan¸camos uma esfera obliquamente, como no caso da da actividade A21, a esfera tem uma velocidade inicial com duas coordenadas, vx e vy , n˜ ao nulas. De acordo com a primeira lei, depois do lan¸camento, o movimento da coordenada x deve ser uniforme, porque o valor da for¸ca nessa direc¸ca˜o ´e nulo: o gr´ afico da esquerda na figura 4.16 confirma este resultado. O movimento da coordenada y deve ter a mesma acelera¸ca˜o que no movimento de queda livre. Representando as coordenadas verticais da velocidade, vy , destes dois movimentos, no mesmo gr´ afico (Fig. 4.17) confirmamos isso mesmo: os gr´ aficos s´ o diferem no valor inicial da velocidade. No caso da queda o valor inicial e´ vy ≈ 0; no caso da esfera lan¸cada o valor inicial ´e vy ≈ 6 m s−1 : a velocidade inicial tinha uma componente vertical ascendente.
CAP´ITULO 4. LEIS DE NEWTON
38
A4-6B/B784'F5'TL5FB';5/&23BC''5''-4;2-5E&4'F5'6/4VW3&2C 9 ;N':'TL5FB';5/&23BC %
;N':'6/4V53&2C
;N'('-')
:"
#
!
:#
:%
:9 !
"
!*+
&'(')
Figura 4.17: Coordenadas verticais da velocidade de uma esfera em queda vertical e em movimento parab´ olico. Dados obtidos dos clips queda_esfera_divx_650x480 e projectil_divx5_1_1650x480.
4.2.5
Leis de Newton e condi¸ co ˜es iniciais
Os exemplos precedentes tornam clara uma distin¸ca˜o fundamental: a) leis de movimento; b) condi¸co˜es iniciais; As leis de Newton apenas permitem o c´ alculo das acelera¸co˜es, a partir do conhecimento das for¸cas (segunda lei). Ou seja, s´ o dizem como varia a velocidade no tempo. Para calcular um movimento, determinando a velocidade e a posi¸ca˜o em fun¸ca˜o do tempo, precisamos de saber os valores de velocidade e posi¸ca˜o num dado instante: as condi¸ co ˜es iniciais. O caso da queda vertical e do movimento do proj´ectil discutidos na sec¸ca˜o anterior tornam esta distin¸ca˜o muito clara. As for¸cas s˜ ao as mesmas, as acelera¸co˜es s˜ ao as mesmas e a velocidade varia da mesma maneira. Os movimentos, contudo, s˜ ao distintos porque tˆem condi¸co˜es iniciais diferentes. As leis de movimento n˜ ao determinam as condi¸ co ˜es iniciais.
4.2.6
Resumo
Nesta sec¸ca˜o analis´ amos v´ arios movimentos estudados no cap´ıtulo 2:
4.3. SURPRESAS
39
• um carro em movimento numa calha horizontal ou inclinada (actividade A18); • uma esfera largada de uma certa altura (actividade A19); • uma esfera lan¸cada obliquamente (actividade A21). Medindo a posi¸ca˜o em fun¸ca˜o do tempo, com sensores de movimento e registos de v´ıdeo, pud´emos calcular velocidades e acelera¸co˜es. Em todos estes casos, interpret´ amos, com sucesso, as nossas observa¸co˜es em termos das leis de Newton, invocando a existˆ encia de algumas for¸cas: • o peso; • for¸cas de reac¸ca˜o normal de superf´ıcies s´ olidas; • for¸cas de atrito. At´e ao fim deste cap´ıtulo vamos continuar a aplicar as leis de Newton, agora em contextos menos controlados do que as situa¸ co˜es de laborat´ orio analisadas at´e ao momento.
4.3 4.3.1
Surpresas For¸ cas impulsivas
Um an´ uncio de televis˜ ao recente afirmava que uma crian¸ca, viajando num autom´ ovel a 60 km h−1 , sem cinto de seguran¸ca, ´e projectada sobre os ocupantes da frente, em caso de acidente, exercendo sobre eles uma for¸ca da ordem de duas toneladas. Um peso de massa 1 kg, pousado em cima de um p´e, ´e perfeitamente suport´ avel; mas se cair de um metro de altura, provavelmente, partir´ a alguns ossos. Estes fen´ omenos de impacte envolvem for¸cas impulsivas, isto ´e, for¸cas que actuam durante intervalos de tempo muito curtos. Que nos podem dizer as leis de Newton sobre esta for¸cas? Como podemos estimar o seu valor? Os fen´ omenos que ocorrem num evento t˜ ao violento como uma colis˜ ao de dois autom´ oveis s˜ ao extremamente complexos e est´ a fora de quest˜ ao pensar em determinar as for¸cas envolvidas. Para abordar estes efeitos vamos recorrer a modelos. Isto ´e representa¸co˜es simplificadas, aproximadas, que, n˜ ao obstante, nos permitem obter alguma informa¸ca˜o sobre o fen´ omeno.
CAP´ITULO 4. LEIS DE NEWTON
40 4.3.1.1
For¸ ca sobre um bola de golfe.
Um golfista experiente, usando o taco apropriado para lan¸car a bola o mais longe poss´ıvel, o driver, consegue velocidades da bola a sa´ıda do taco de cerca de 240 km h−1 . Que for¸ca exerce a cabe¸ca ` do taco sobre a bola? Quando a cabe¸ca do taco inicia o contacto a for¸ca ´e nula; depois cresce rapidamente, passa por um m´ aximo, e volta a ser zero quando o taco perde contacto com a bola. Tudo isto ocorre num intervalo de tempo muito curto.
!
Figura 4.18: Um modelo para um for¸ca impulsiva.
O valor exacto da for¸ca em fun¸ca˜o do tempo depende das propriedades el´ asticas da bola e do taco, da velocidade de impacte, etc.. Para estudarmos este fen´ omeno, vamos usar um modelo em que a for¸ca ´e considerada constante durante o intervalo de tempo de contacto entre o taco e a bola. Assim, no nosso modelo: • antes do contacto a for¸ca ´e nula. • Entre o instante de contacto, t = 0, e o instante em que a bola descola do taco, t = ∆t, ´e exercida sobre a bola uma for¸ca de intensidade F . Neste intervalo a cabe¸ca do taco e a bola deslocam-se de uma distˆ ancia xc . • Para t > ∆t a for¸ca volta a ser nula. De acordo com a segunda lei de Newton, podemos escrever F = ma em que m ´e a massa da bola de golfe, m = 45 g, e F e a s˜ ao as coordenadas da for¸ca e acelera¸ca˜o, respectivamente, na direc¸ca˜o do movimento. Como a acelera¸ca˜o ´e constante, podemos substitu´ı-la pela acelera¸ca˜o m´edia: ∆v a= ∆t e obtemos F ∆t = m∆v. (4.2) O primeiro membro desta equa¸ca˜o designa-se por impulso da for¸ ca. A velocidade da bola antes do impacte e´ nula; terminado o impacte ´e 240 km h−1 = 67 m s−1 . O impulso ´e I = F ∆t = 0,045 × 67 = 3,0 N s.
(4.3)
41
4.3. SURPRESAS
Se a for¸ca for constante, o movimento da bola durante o contacto ´e uniformemente acelerado, com velocidade inicial nula. Ent˜ ao, o deslocamento da bola durante o contacto e´ dado por: 1 1F 1 I xc = a (∆t)2 = (∆t)2 = ∆t. 2 2m 2m
(4.4)
Fotografias de alta velocidade mostram que a bola de golfe se de´ razo´ forma, significativamente, durante o impacte do taco. E avel estimar que o deslocamento xc deve ser da ordem de grandeza do pr´ oprio diˆ ametro da bola, d = 4,1 cm. Suponhamos ent˜ ao que xc ≈
d . 2
Usando este valor, na equa¸ca˜o 4.4, o tempo de contacto vem: ∆t =
2 × 0,045 2m xc = × 0,021 = 0,0006 s. I 3, 0
Substituindo este tempo de contacto, inferior a 1 ms, na equa¸ca˜o 4.3, obtemos um for¸ca de F =
3,0 I = = 5000 N, ∆t 6 × 10−4
que ´e mais de 10 000 vezes superior ao peso da bola (0,44 N)! Estes valores s˜ ao semelhante a valores citados na literatura. Este c´ alculo mostra a rela¸ca˜o entre os valores da for¸ca e do intervalo de contacto. Para o mesmo impulso, isto e´, para a mesma varia¸ca˜o de velocidade (ver eq. 4.2), quanto menor for o intervalo de tempo, maior ´e a acelera¸ca˜o (∆v/∆t) e maior a for¸ca. 4.3.1.2
For¸ ca num colis˜ ao a 60 km h−1 .
Voltemos agora ao caso do an´ uncio, referido acima. Como foi calculada a tal for¸ca de duas toneladas? Para come¸car, o que ´e uma for¸ca de duas toneladas? Um tonelada s˜ao 1000 kg, uma unidade de massa. A u ´nica interpreta¸ca˜o poss´ıvel ´e que seja a for¸ca correspondente ao peso de uma massa de 2000 kg, ou seja, F = 2000 × 9,8 = 19 600 N. Ser´ a este valor razo´ avel? Que parˆ ametros entraram no seu c´ alculo?
42
CAP´ITULO 4. LEIS DE NEWTON
Comecemos por notar que a projec¸ca˜o da crian¸ca para a frente resulta da primeira lei de Newton. Se o autom´ ovel colide, diminuindo de velocidade repentinamente, os seus ocupantes continuar˜ao a mover-se a` velocidade que tinham se sobre eles n˜ ao actuarem for¸cas: primeira lei de Newton. Assim, uma crian¸ca sem cadeira de seguran¸ca, voar´ a para a frente do carro (que parou devido a` colis˜ ao) a` velocidade a que o carro se deslocava antes da colis˜ ao. O impulso necess´ ario para a parar uma crian¸ca de 30 kg que se desloca a uma velocidade de 60 km h−1 = 16,7 m s−1 ´e I = m∆v = 30 × 16,7 = 500 N s. Para obter um for¸ca de 19 600 N estamos a supor um tempo de paragem dado por: F ∆t = 500 N s 500 = 0,02 s ∆t = 19600 Usando o nosso modelo de for¸ca constante, podemos estimar a distˆ ancia de paragem: o movimento originado pela for¸ca impulsiva que p´ ara a crian¸ca ´e uniformemente retardado: 1 xc = v0 ∆t + a (∆t)2 2 A velocidade inicial ´e v0 = 16,7 m s−1 e a acelera¸ca˜o ´e dada pela segunda lei de Newton: xc = 16,7 × 0,02 −
1 19600 × × 0,022 = 0, 20 m. 2 30
Estas escalas de tempo, da ordem do cent´ esimo de segundo, e de distˆ ancia, 20 cm, parecem razo´ aveis para uma colis˜ ao autom´ ovel. A for¸ca de 19 600 N, n˜ ao ´e exagerada. Qual o efeito do cinto ou de um air-bag? O impulso requerido para parar os ocupantes do carro ´e sempre o mesmo, I = m∆v. Mas quanto mais tempo durar a interac¸ca˜o corrrespondente, ∆t, e a o valor da for¸ca maior for a distˆ ancia de paragem, xc , menor ser´ necess´ aria: menor ser˜ ao as probabilidades de essa for¸ca causar danos pessoais. O cinto e o air-bag permitem uma paragem menos brusca, e um for¸ca menor.
4.3. SURPRESAS
4.3.2
43
O burro e a carro¸ ca
Eis um “paradoxo” cl´ assico da terceira lei de Newton: ! ) sobre uma carUm burro pode exercer uma for¸ca (F ro¸ca. Mas, pela terceira lei, a carro¸ca exerce sobre o ! ). A for¸ca total no sisburro uma for¸ca oposta (−F tema tem resultante nula. Logo o burro n˜ ao se pode pˆ or em movimento com a carro¸ca! Ou a terceira lei ´e uma fantasia. Para entender a fal´ acia deste argumento conv´em imaginar o burro com um fato de astronauta, a flutuar com a carro¸ca no espa¸co, longe da atrac¸ca˜o grav´ıtica de qualquer corpo celeste. Pode zurrar, galopar desesperadamente, mas o que n˜ ao consegue, de modo nenhum, ´e pˆ or-se em movimento com a carro¸ca. Pode at´e dar um coice na carro¸ca e envi´ a-la numa dada direc¸ca˜o; a reac¸ca˜o da carro¸ca f´ a-lo deslocar-se na direc¸ca˜o oposta at´e que os arreios que o amarram a` carro¸ca lhe recordem que os respectivos destinos est˜ ao ligados. Nem ´e preciso imaginar o burro no espa¸co: imagine-se o burro em patins e percebem-se as suas dificuldades. Falta, ´e claro, um terceiro corpo nesta hist´ oria: a Terra. Quando o burro p˜ oe a carro¸ca em movimento, assenta os cascos no solo e empurra. A reac¸ca˜o do solo empurra o burro e a carro¸ca na direc¸ca˜o oposta. Se estiver sobre patins n˜ ao consegue exercer a for¸ca sobre o solo, e por isso n˜ ao existe a reac¸ca˜o do solo que o impulsiona para a frente. Este exemplo ilustra um aspecto muito importante da terceira lei: Nenhum corpo se p˜ oe em movimento por si s´ o, por ac¸ c˜ ao de for¸ cas internas, apenas. A resultante das for¸cas internas de um corpo, for¸cas exercidas por partes do corpo noutras partes do mesmo corpo, ´e sempre zero. Tomemos um corpo com duas partes A e B. Se a parte A exerce ! uma for¸ca F! sobre a parte B, esta reage com uma for¸ca − #F sobre $ ! + −F ! = A. A for¸ca resultante sobre o conjunto, A + B, ´e F 0. Para alterar o estado de movimento global de um corpo e´ necess´ aria um for¸ca externa, exercida por outro corpo. Se assim n˜ ao fosse, Newton e Galileu nunca teriam descoberto a primeira lei. Os movimentos que Newton discutiu e observou referem-se a corpos complexos formados por muitas partes (hoje
Figura 4.19: Se a for¸ca do burro na carro¸ca ´e oposta da for¸ca da carro¸ca sobre o burro, como se move o conjunto?
CAP´ITULO 4. LEIS DE NEWTON
44
dir´ıamos muitos a´tomos). Se as for¸cas internas n˜ ao se cancelassem, um corpo poderia ficar sujeito a uma resultante nula e acelerar espontaneamente, sem ac¸ca ˜o externa nenhuma! Quer isto dizer que a for¸ca que faz acelerar um carro n˜ ao ´e exercida pelo respectivo motor? Exactamente! O motor faz parte do autom´ ovel, desloca-se com ele, e, portanto, n˜ ao pode ser uma for¸ca exercida pelo motor que acelera o autom´ ovel! Absurdo? Imagine-se o autom´ ovel sobre um lago gelado, ou numa estrada cheia de o´leo: o motor consegue pˆ or os pneus a rodar, mas sem aderˆencia, sem for¸ca de atrito entre o solo e os pneus, o carro n˜ ao anda. A for¸ca que faz acelerar o autom´ ovel ´e a for¸ca de atrito exercida pelo pavimento sobre os pneus do autom´ ovel. O motor faz, no fundo, o papel do burro: faz rodar os pneus, empurrando o solo. A reac¸ca˜o deste faz acelerar o autom´ ovel. Eis, portanto, um caso em que a for¸ca de atrito, numa situa¸ca˜o de rolamento, tem o mesmo sentido do deslocamento do carro. N˜ ao s´o n˜ ao se op˜ oe ao deslocamento do carro como ´e essencial para que este possa ocorrer. Exerc´ıcio: Um autom´ ovel (ma = 900 kg), atrelado a uma caravana (mc = 750 kg), acelera de v = 0 at´e v = 120 km h−1 em 22 s: Determinar: i) a for¸ca exercida pelo autom´ovel na caravana; ii) a for¸ca exercida pela caravana no autom´ovel; iii) a componente da for¸ca exercida pelo solo no autom´ovel, na direc¸c˜ao do movimento. Solu¸ c˜ ao: i) A acelera¸c˜ao do conjunto ´e a=
120/3,6 − 0 = 1, 51 m s−2 22
(a divis˜ ao por 3,6 reduz o valor da velocidade a metros por segundo). Pela segunda lei de Newton, a intensidade da for¸ca exercida pelo autom´ ovel na caravana ´e F1 = mc a = 750 × 1, 51 = 1, 14 × 103 N. ii) Pela terceira lei de Newton, igualdade de ac¸c˜ao-reac¸c˜ao, a for¸ca sobre o autom´ovel tem a mesma intensidade, F2 = 1, 14 × 103 N,
45
4.3. SURPRESAS e sentido oposto ao do movimento. iii) A for¸ca resultante sobre o autom´ ovel ´e (segunda lei) R = ma × 1, 51 = 1,36 × 103 N. Esta for¸ca ´e a soma vectorial da for¸ca exercida pelo solo F!s , no sentido do movimento, e da for¸ca de reac¸c˜ao da caravana, de sentido oposto. Logo a intensidade da resultante ´e a diferen¸ca dos m´ odulos das duas for¸cas: R = Fs − F2 , ou seja, Fs = R + F2 = 1,36 × 103 + 1,14 × 103 = 2,50 × 103 N.
4.3.2.1
Propuls˜ ao de um foguet˜ ao
Um carro pode empurrar o solo e a reac¸ca˜o do mesmo f´ a-lo acelerar. Um avi˜ ao faz o mesmo com a atmosfera: empurra o ar com os seus reactores e a reac¸ca˜o da atmosfera ´e uma for¸ca exercida no avi˜ ao. E uma nave espacial, como as Voyager? Como se propulsiona? No espa¸co n˜ ao h´ a nada para empurrar. Neste caso o u ´nico modo de propuls˜ ao consiste em ejectar uma parte da nave, com velocidade elevada, na direc¸ca˜o oposta a`quela em que se deseja acelerar: a for¸ca de reac¸ca˜o da massa ejectada sobre o resto da nave acelera-a na direc¸ca˜o desejada. Um foguet˜ ao funciona deste modo. Ejecta o combust´ıvel a uma velocidade elevada, numa certa direc¸ca˜o: o resto da nave acelera na direc¸ca˜o oposta. Mais tarde (12º ano) veremos que ´e poss´ıvel definir um estado de movimento global de toda a massa do sistema e que este estado se mant´em inalterado, pois n˜ ao h´ a for¸cas exteriores.
4.3.3
Relatividade do movimento
Imaginemo-nos a viajar num comboio perfeito, r´ apido como uma seta, percorrendo uma longa recta, sem trepida¸co˜es, sem travagens nem acelera¸co˜es. Aproveitamos para escrever, que fazemos sem qualquer dificuldade. O nosso vizinho da frente acende um cigarro. Vemos a chama dan¸car na ponta do isqueiro, o cigarro ficar em brasa e o fumo do cigarro subir em novelos. A desfa¸catez do indiv´ıduo faz-nos deixar cair a caneta, que cai aos nossos p´ es. Deitamos um pouco de a´gua no copo e bebemos para disfar¸car o nosso inc´ omodo.
CAP´ITULO 4. LEIS DE NEWTON
46
Pergunta: O que ´e que, nesta cena, nos leva a pensar que viajamos a 200 km h−1 ? Resposta: nada! Com efeito, quer o movimento dos corpos, como a queda da caneta ou o escoar da a´gua da garrafa para o copo, quer o fen´ omeno da convec¸ca˜o, que transporta o fumo do cigarro, quer as reac¸co˜es qu´ımicas da chama, ou do nosso metabolismo, se desenrolam exactamente como na nossa sala de estar. Os f´ısicos exprimem esta situa¸ca˜o, dizendo que as leis da F´ısica s˜ ao exactamente as mesmas em dois sistemas de referˆ encia em movimento relativo uniforme e rectil´ıneo—neste caso o comboio e a sala de estar. No di´ alogo do cap´ıtulo anterior, o tio Alberto chama a aten¸ca˜o do sobrinho para este facto. Einstein deu tanta importˆ ancia a esta observa¸ca˜o que a tomou como ponto de partida da sua teoria da Relatividade Restrita em 1905:
Princ´ıpio da Relatividade: As leis da F´ısica tˆem exactamente a mesma forma em dois sistemas de referˆ encia em movimento relativo uniforme (velocidade constante).
Ora, um objecto em repouso num sistema de referˆ encia (por exemplo o nosso assento, relativamente ao comboio) move-se com movimento uniforme e rectl´ıneo em outros sistemas (o assento do comboio tem uma velocidade de 200 km h−1 relativamente a` nossa casa). Ou seja, o estado de respouso de um corpo num sistema de referˆencia ´e um estado de movimento noutro sistema de referˆ encia absolutamente equivalente do ponto de vista de leis da F´ısica. N˜ ao existe um sistema de referˆencia especial no qual o estado natural de um corpo seja o estado de repouso. Repouso e movimento uniforme e rectil´ıneo s˜ ao a mesma condi¸ca˜o vista de dois sistemas equivalentes. Neste contexto a primera lei e´ menos supreendente.
4.4
Conclus˜ oes
O objectivo deste cap´ıtulo foi apresentar a leis de Newton atrav´es de exemplos, quer do laborat´ orio quer de situa¸co˜es de vida corrente. S˜ ao in´ umeras as situa¸co˜es que poder´ıamos considerar. Todo o movimento que observamos sem dispositivos especiais (e
˜ 4.5. ACTIVIDADES, QUESTOES E PROBLEMAS
47
muito do que conseguimos observar, seja com que instrumentos for) pode ser descrito e explicado em termos das leis de Newton. Esperamos que os exemplos do texto e dos problemas e quest˜ oes que se seguem contribuam para modificar um pouco a nossa percep¸ca˜o do movimento e das suas causas. A pr´ oxima vez que observarmos um movimento, pensemos: o que nos dizem as leis de Newton sobre ele?
4.5 4.5.1
Actividades, Quest˜ oes e Problemas Actividades
4.1. For¸ ca e movimento Ver ficha de Actividade A22 4.2. Segunda Lei de Newton Ver ficha de actividade A23. 4.3. For¸ cas como vectores Para realizar esta actividade precisamos de uma r´ egua, um transferidor e algumas bandas el´ asticas (el´ asticos), como as que h´ a em qualquer escrit´ orio. O ideal seria que os el´ asticos fossem exactamente idˆenticos, em dimens˜ oes e propriedades. Mesmo com el´ asticos do mesmo lote, isso n˜ ao se verifica: os resultados desta actividade variam um pouco relativamente ao que seria de esperar para el´ asticos idˆenticos. Mesmo assim, a actividade ´e t˜ ao simples que merece ser feita. (a) Amarremos duas bandas el´ asticas com um pouco de fio. Colocando a extremidade de um dos el´ asticos na ponta da r´egua, puxemos (sobre a r´egua) a extremidade do outro. Qual ´e a posi¸ca˜o ocupada pelo ponto de uni˜ ao dos el´ asticos? (b) Usando, de novo, um pouco de fio, unir trˆes el´ asticos. Fixar as extremidades de dois deles sobre um quadro de corti¸ca com pion´es, mantendo-os sob tens˜ ao. Puxar a extremidade do terceiro sobre a linha m´edia perpendicular aos outros dois el´ asticos e ajustar a sua posi¸ca˜o de modo a que os trˆes el´ asticos tenham (aproximadamente) o mesmo comprimento. Quais s˜ ao os aˆngulos entre as direc¸co˜es dos el´ asticos?
Figura 4.20: Qual a posi¸c˜ao ocupada pelo ponto de uni˜ ao dos el´asticos?
!
Figura 4.21: Qual ´e o aˆngulo entre os el´ asticos, quando os comprimentos s˜ao iguais?
CAP´ITULO 4. LEIS DE NEWTON
48
Se os el´ asticos s˜ ao idˆenticos, ´e natural que exer¸cam for¸cas de igual intensidade quando esticados at´ e ao mesmo comprimento. (c) Interpretar os resultados obtidos, mostrando que a soma vectorial das for¸cas exercidas pelos el´ asticos no fio que os une ´e nula, em equil´ıbrio: for¸cas somam-se como vectores. Nota: Pode-se mostrar, sem qualquer conta, s´ o com alguma geometria, que a soma de trˆes vectores com a mesma intensidade e aˆngulos de 120 º ´e nula. Como?
120º 120º 120º
Figura 4.22: A soma destas for¸cas ´e nula.
4.5.2
Quest˜ oes
4.1. O cr´edito da descoberta de Neptuno ´e atribu´ıdo a Le Verrier e a John Adams e n˜ ao a Le Galle, que primeiro observou este planeta ao telesc´ opio. Porquˆe? 4.2. Quais s˜ ao as unidades do coeficiente de atrito, µ? 4.3. Um avi˜ ao militar, voando horizontalmente com velocidade constante, deixa cair uma bomba ao sobrevoar o ponto A. A bomba cai sob ac¸ca˜o do seu pr´ oprio peso e da resistˆencia do ar. Quando a bomba atinge o solo, o avi˜ ao est´ a a sobrevoar B. Em quais dos seguintes locais cai a bomba: (a) em A; 10 kg
(b) em B; (c) entre A e B.
(a)
Onde cairia a bomba se n˜ ao existisse resistˆencia do ar? 10 kg
10 kg
(b)
Figura 4.23: Qual das cordas est´a sujeita a maior esfor¸co? (
4.5. O gr´ afico da figura 4.24 mostra as coordenadas de posi¸ca˜o de dois carros que colidem numa calha linear. As suas velocidades iniciais s˜ ao iguais. Qual dos carros (A ou B) tem maior massa? Justificar.
&
4.6. Num cartoon de ilustra¸ca˜o da segunda lei, o autor Paul Hewitt, no seu livro Conceptual Physics, mostra uma m˜ ao a empurrar um tijolo, dando origem a uma acelera¸ca˜o a. Na segunda imagem a m˜ ao empurra, com a mesma for¸ca, o
* -
Figura 4.24: Colis˜ ao de dois carros
4.4. Se a carga na montagem (a) da figura 4.23 for aumentada de 1 kg, a corda parte. A corda aguenta as duas massas de 10 kg na montagem (b)?
˜ 4.5. ACTIVIDADES, QUESTOES E PROBLEMAS
49
mesmo tijolo com outro igual em cima e numa terceira imagem com dois tijolos em cima do primeiro. O cartoon indica acelera¸co˜es a/2 no segundo caso e a/3 no terceiro. (a) Como ´e que Hewitt obteve estas acelera¸co˜es na segunda e terceira imagens? (b) Se os tijolos deslizarem em cima de uma mesa, os valores da acelera¸ca˜o na segunda e terceira imagem estar˜ ao correctos? O que ´e que Hewitt ignorou? 4.7. O Francisco atirou uma bola de t´enis ao ar, na vertical, e voltou e apanh´ a-la. Explicar, por palavras, por que raz˜ ao sabemos que, quer no lan¸camento quer na recolha, teve que exercer na bola uma for¸ca superior ao peso da mesma. 4.8. Por que ´e que cair da mesma altura sobre cimento ou sobre um colch˜ ao tem consequˆencias t˜ ao diferentes? As for¸cas necess´ arias para parar o corpo em queda n˜ ao s˜ ao as mesmas nos dois casos? Porquˆe?
4.5.3
Problemas
4.1. Trˆes carros idˆenticos, de massa m = 250 g, est˜ ao pousados sobre uma mesa, nas circunstˆ ancias da figura 4.25. A for¸ca ! , exercida pela mola tem uma intensidade de 5 N; o corpo F suspenso na roldana tem um massa m = 100 g. Determinar a intensidade da reac¸ca˜o normal da superf´ıcie sobre cada um os carros. 4.2. A balan¸ca da figura 4.26 tem duas molas idˆenticas com uma constante de mola k = 105 N m−1 . Qual ´e o deslocamento do prato da balan¸ca quando suporta um homem que “pesa” 80 kg? 4.3. Dois homens est˜ ao a segurar o cabo da figura ao lado, impedindo o rapaz suspenso de cair. Qual ´e o valor da intensidade das for¸cas exercidas por cada um dos homens? Ser˜ ao iguais?
Figura 4.26: Quanto se afunda o prato da balan¸ca?
30o
4.4. Um comboio com uma locomotiva e cinco carruagens est´ a parado num encosta de inclina¸ca˜o de 5º com a horizontal. S´ o a locomotiva ´e que tem trav˜ oes. Cada carruagem tem uma massa de 20 toneladas.
m=50 kg Figura 4.27: Que for¸ca exerce cada homem?
50
CAP´ITULO 4. LEIS DE NEWTON
Figura 4.25: Qual ´e a intensidade da reac¸c˜ao normal da mesa em cada carro?
˜ 4.5. ACTIVIDADES, QUESTOES E PROBLEMAS
51
(a) Qual ´e a for¸ca exercida pela locomotiva na primeira carruagem? (b) Qual ´e a for¸ca exercida pela primeira carruagem na segunda? E pela segunda na terceira, e assim sucessivamente? 4.5. O Airbus A300, um dos maiores avi˜ oes comerciais, pode levantar vˆ oo com uma massa de 166 toneladas. Disp˜ oe de dois reactores capazes de gerar, cada um, uma for¸ca (thrust) de 262 kN. (a) Qual ´e o valor da acelera¸ca˜o que o avi˜ ao pode atingir na descolagem? Nota: ´e frequente indicar esta acelera¸ca˜o em unidades de g, a acelera¸ca˜o da gravidade. Por exemplo, uma acelera¸ca˜o de 4,9 m s−2 ´e meio-g. (b) A for¸ca que o avi˜ ao exerce sobre cada passageiro, para lhe comunicar essa acelera¸ca˜o, ´e a mesma? Ou varia com o peso do passageiro? Quanto vale para um passageiro de 70 kg? (c) Que velocidade pode atingir o avi˜ ao ap´ os acelerar na pista de descolagem durante 30 s? 4.6. Um atleta de basquetebol consegue elevar-se 65 cm acima do solo, em salto vertical (ver exerc´ıcio da p´ agina 34). (a) Com que velocidade sai do solo? (b) Quanto tempo dura o seu salto? [Ignorar a resistˆencia do ar.] 4.7. O salto vertical ´e realizado come¸cando por flectir as pernas para depois as estender rapidamente. Se o tempo de extens˜ ao for de 0,2 s, que for¸ca exerce no solo uma atleta de 80 kg que se eleva 65 cm? 4.8. Dois amigos resolvem medir a velocidade com que conseguem lan¸car uma bola de basebol usando um cron´ ometro. Um deles lan¸ca a bola ao ar na vertical e volta a apanh´ a-la. O outro cronometra o tempo de vˆ oo da bola (m = 145 g). (a) O tempo conseguido por um dos amigos foi de 2, 3 s. Qual foi a velocidade de lan¸camento em quil´ ometros por hora?
CAP´ITULO 4. LEIS DE NEWTON
52
(b) Se o tempo de extens˜ ao do bra¸co for de cerca de 0,1 s, qual foi a for¸ca exercida sobre a bola? [Ignorar a resistˆencia do ar.] 4.9. Os dois amigos do problema anterior acharam que o lan¸camento vertical n˜ ao dava muito jeito. Pensaram um pouco e viram que podiam obter a velocidade de lan¸camento, medindo a que distˆ ancia na horizontal conseguiam lan¸car a bola.
+0 / .
Figura 4.28: Como calcular v0 , sabendo h e L?
(a) Mostrar que um proj´ectil, lan¸cado com coordenada vertical da velocidade nula, de uma altura h, atinge o solo num tempo: % 2h t= . g (b) Obter a rela¸ca˜o usada pelos dois amigos para calcular a velocidade de lan¸camento a partir da altura h e da distˆ ancia percorrida na horizontal durante a queda, L. aria para atingir uma (c) Qual ´e a velocidade, v0 , necess´ distˆ ancia L = 50 m com uma altura h = 1,5 m? [Ignorar a resistˆencia do ar.] 4.10. Uma jovem lan¸ca horizontalmente uma pedra, a uma altura de um metro da superf´ıcie de um lago, com uma velocidade de m´odulo 15 m s−1 . (a) Quanto tempo voa a pedra at´e bater a primeira vez na agua? ´ (b) A que distˆ ancia (na horizontal) se d´ a o impacte na agua? ´ [Ignorar a resistˆencia do ar.] 4.11. A for¸ca de resistˆencia do ar sobre um corpo, que se move a uma velocidade !v , tem o sentido oposto a !v , e intensidade dada pela express˜ ao F =
1 CD Aρv 2 2
em que: • CD ´e o coeficiente aerodinˆ amico, que para uma esfera vale 0,5;
˜ 4.5. ACTIVIDADES, QUESTOES E PROBLEMAS
53
• A ´e a ´area da sec¸ca˜o recta do corpo na direc¸ca˜o perpendicular a !v (πr 2 , para uma esfera de raio r); • ρ ´e a massa vol´ umica do ar (ρ ≈ 1, 3 kg m−3 , em condi¸co˜es normais de press˜ ao e temperatura). (a) Calcular a intensidade desta for¸ca para uma esfera de a¸co de 2 cm de diˆ ametro e para uma bola de t´enis de 6, 35 cm de diˆ ametro, para uma velocidade equivalente a que teriam ao fim de uma queda de um metro, no ` vazio. (b) Que frac¸ca˜o do peso do corpo ´e F , em cada um dos casos? (ρa¸co = 7,9 × 103 kg m−3 , mtenis = 56,7 g). 4.12. Um rev´ olver, como os usados pela pol´ıcia norte-americana, dispara proj´ecteis de massa m = 7, 4 g com uma velocidade de sa´ıda da arma de 303 m s−1 . O comprimento do cano ´e cerca de 10 cm. Supondo que, ap´ os o disparo e enquanto est´ a no cano da arma, a bala est´ a sujeita a uma for¸ca constante:
(
(a) durante quanto tempo viaja a bala no cano da pistola? (b) Qual ´e o valor da for¸ca exercida sobre a bala? (c) Que for¸ca ´e necess´ ario exercer na arma durante o disparo, para que esta n˜ ao recue? 4.13. O arco e flecha A rela¸ca˜o entre o m´ odulo da for¸ca que um arqueiro exerce, F , e a distˆ ancia, x, que deslocou para tr´ as a corda do arco ´e quase linear, F = kx. Dados de um arco concreto s˜ ao F = 171 N para um deslocamento de 43 cm. A massa de uma flecha ´e de 20, 1 g [1]. (a) Se a flecha partir com toda a energia el´ astica armazenada no arco, com que velocidade partir´ a? 2 [Nota: energia el´ astica do arco ´e kx /2.] (b) Qual foi o impulso comunicado a` flecha? (c) A for¸ca exercida pelo arco no in´ıcio do disparo ´e Fmax = kx. No final ´e zero. Podemos fazer uma estimativa do impulso como sendo I=
Fmax ∆t. 2
Usando esta estimativa, calcular o tempo durante o qual a flecha ´e impulsionada.
!
Figura 4.29: O arqueiro puxa a seta de uma distˆ ancia x.
CAP´ITULO 4. LEIS DE NEWTON
54
4.5.4
Desafios
4.1. Uma das maneiras poss´ıveis de medir o coeficiente de atrito est´ atico, µAB , entre dois materiais A e B consiste em colocar um corpo do material A sobre uma superf´ıcie de material B, inclinada relativamente a` horizontal. Verifica-se que o corpo s´ o desliza, se o aˆngulo da superf´ıcie com a horizontal for superior a um valor limite, θc . Mostrar que a lei de Amonton-Coulomb implica que: µAB = tan θc . Usando os valores da tabela 4.1 da p´ agina 31, qual ´e o valor ovel em asfalto seco? de θc para um autom´
3m
Figura 4.30: Qual ´e a for¸ca sobre a corda?
4.2. Uma alpinista (m = 55 kg) perde o apoio e cai, segura apenas pela corda de seguran¸ca. A corda tem um comprimento em repouso de 3 m. Depois de ficar esticada, distende-se cerca de 10 % do seu comprimento para reduzir a velocidade de queda da alpinista a zero. Usando o modelo de for¸cas impulsivas do texto, estimar o valor da for¸ca exercida sobre a corda por esta queda de 3 m.
Bibliografia [1] C. Tuijn and B. W. Kooi. The measurement of arrow velocities in the student’s laboratory. Eur. J. Phys., 13:127, 1992. [2] Cambridge University Library. Footprints of the lion. Isaac Newton at work. URL: http://www.lib.cam.ac.uk/ Exhibitions/Footprints_of_the_Lion/, 2002. [3] Eric Weisstein. World of Scientific Biography. URL: http: //scienceworld.wolfram.com/biography/, January 2004.
55