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Projecto Faraday Textos de Apoio

Colisões 10º Ano de Escolaridade

Porto, Outubro de 2009

Ficha T´ ecnica

Projecto Faraday Projecto de interven¸ca˜o no ensino da F´ısica no secund´ ario.

Financiamento Funda¸ca˜o Calouste Gulbenkian.

Execu¸ c˜ ao Departamento de F´ısica, Faculdade de Ciˆencias da Universidade do Porto.

Escolas Participantes • ES Filipa de Vilhena • ES Fontes Pereira de Melo • ES Garcia de Orta • ES da Maia • ES de Santa Maria da Feira Coordena¸ c˜ ao • J. M. B. Lopes dos Santos • Manuel Joaquim Marques i

ii Portal URL: http://www.fc.up.pt/faraday

Texto do 10º Ano Redactor Principal J. M. B. Lopes dos Santos Colabora¸ c˜ ao e revis˜ ao • Elisa Arieiro • Carlos M. Carvalho • Manuel Joaquim Marques

Actividades Autores • Carlos M. Carvalho • Elisa Arieiro • J. M. B. Lopes dos Santos • Manuel Joaquim Marques • Nuno Alexandre Vaz • Nuno Nunes Colabora¸ c˜ ao • Joaquim Agostinho Moreira

iii

Parte I

ENERGIA E MOVIMENTO

Conte´ udo Ficha T´ecnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ENERGIA E MOVIMENTO

3 Colis˜ oes 3.1 3.2

Colis˜ oes em F´ısica . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1.1

. . . . . . . . . . . .

Conserva¸ca˜o de energia em colis˜ oes . . . . . . . . .

Movimento da mol´ecula de O2 . . . . . . .

3.2.1.1

Centro de massa . . . . . . . . . .

Energia cin´etica de transla¸ca˜o e centro de massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.3

O modelo de part´ıcula material . . . . . . .

3.2.4

Coeficiente de restitui¸ca˜o . . . . . . . . . .

3.2.4.1

Colis˜ ao com um objecto fixo . . .

Actividades, quest˜ oes e problemas . . . . . . . . .

3.3.1

Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3.2

Problemas e quest˜ oes

3.2.1 3.2.2

3.3

O que ´e uma colis˜ ao?

. . . . . . . . . . . .

´ CONTEUDO

Lista de Figuras 3.1

3.2

3.3 3.4

3.5

Fotografia a´erea do CERN, junto ao lago Genebra. Est˜ ao marcados na foto alguns dos an´eis aceleradores deste laborat´ orio. O maior ocupa um t´ unel de 27 km de per´ımetro [1]. . . . . . . . . . . . . . . .

Exemplo de um evento registado no CERN. As traject´ orias das part´ıculas s˜ ao reconstru´ıdas por computadores a partir de sinais electr´ onicos nos detectores[1]. Os magnetos impedem os carros de se aproximarem demasiado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(a) Numa transla¸caõ, os dois a´tomos de oxigénio têm o mesmo deslocamento e a mesma velocidade; (b)num movimento mais geral têm velocidades diferentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

os a colis˜ ao, tem movimentos A molécula de O2 , ap´ de rota¸caõ e de vibra¸caõ, sobrepostos ao de transla¸caõ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

LISTA DE FIGURAS

Cap´ıtulo 3

Colis˜ oes 3.1

Colis˜ oes em F´ısica

Na fronteira entre a Fran¸ca e a Su´ı¸ca, junto ao Lago Genebra, existe um t´ unel de 27 km de comprimento. N˜ ao serve para apressados motoristas atravessarem complicadas passagens de montanha com mais rapidez. Se o percorremos integralmente, voltaremos ao lugar de partida: ´e um anel. Faz parte do maior laborat´ orio de F´ısica de part´ıculas do mundo, o CERN.

Figura 3.1: Fotografia a´erea do CERN, junto ao lago Genebra. Est˜ ao marcados na foto alguns dos an´eis aceleradores deste laborat´ orio. O maior ocupa um t´ unel de 27 km de per´ımetro [1].

O t´ unel est´ a repleto de material cient´ıfico, magnetos, cˆ amaras de radio-frequˆencia, detectores. No interior de um tubo de alto v´ acuo, 7

˜ CAP´ITULO 3. COLISOES

circularam1 os u ´ nicos viajantes deste t´ unel, electr˜ oes e positr˜ oes, guiados e aceleradas até velocidades pr´ oximas da luz, por uma combina¸caõ judiciosa de campos eléctricos e magnéticos. Para quê? Os electr˜ oes (carga negativa) e os positr˜ oes (carga positiva) eram acelerados no t´ unel em sentidos opostos. Em alturas determinadas, os dois feixes colidiam em zonas do anel equipadas com detectores de part´ıculas. As enormes quantidades de energia dos feixes materializavam-se em part´ıculas que emergiam da zona da colis˜ ao, para serem detectadas e medidas nos detectores. Foram conseguidas, por este processo, v´ arias descobertas muito importantes, sobre a constitui¸caõ mais fundamental da matéria. Figura 3.2: Exemplo de um evento registado no CERN. As traject´ orias das part´ıculas s˜ ao reconstru´ıdas por computadores a partir de sinais electrónicos nos detectores[1].

O uso de colis˜ oes para estudar a constitui¸caõ da matéria e as interaçco˜es entre os seus constituintes e´, contudo, muito anterior a` constru¸caõ de aceleradores de part´ıculas como os do CERN. Em 1911, Ernest Rutherford, um f´ısico neo-zelandês, a trabalhar em Inglaterra, descobriu a existência do n´ ucleo at´ omico, estudando o modo como as part´ıculas α eram desviadas em colis˜ oes com a´tomos de uma folha de ouro. H´ a uma enorme quantidade de conceitos de f´ısica envolvidos na an´ alise das colis˜ oes do CERN, ou mesmo nas mais modestas colis˜ oes estudadas por Rutherford. Neste cap´ıtulo, far-se-´ a apenas uma muito breve introdu¸caõ a conceitos relacionados com a conserva¸caõ de energia em colis˜ oes.

3.1.1

O que ´ e uma colis˜ ao?

O que é uma colis˜ ao entre duas bolas de bilhar? As bolas aproximam-se uma da outra, cada uma movendo-se como se a outra n˜ ao existisse, até se tocarem. Depois afastam-se com velocidades modificadas. A interaçcaõ entre elas parece ser instantˆ anea, ou, pelo menos, ter uma dura¸caõ t˜ ao curta, que dela n˜ ao nos apercebemos. A colis˜ ao de uma bola de basquetebol com o solo é semelhante. Estes exemplos poderiam levar-nos a associar a no¸caõ de colis˜ ao a uma interaçcaõ de contacto muito breve. Mas, o conceito de “contacto” n˜ ao existe ao n´ıvel at´ omico. O tamanho de um a´tomo, ancerca de 1 ˚ A = 10−10 m, é essencialmente determinado pela distˆ cia a que os electr˜ oes se movem em torno do n´ ucleo; o a´tomo é, 1 Neste momento n˜ ao correm experiˆ encias, porque este t´ unel est´ a a ser modificado para instalar um novo acelerador de part´ıculas, o LHC, Large Hadron Collider, previsto para entrar em funcionamento em 2007.

˜ 3.1. COLISOES EM FÍSICA Equa¸ c˜ ao de Einstein Além do princ´ıpio de conserva¸cão de energia, que temos discutido, existe um outro, descoberto h´ a mais tempo, que é a lei de conserva¸cão de massa, de Lavoisier. Se as part´ıculas que constituem a matéria (electr˜ ao, prot˜ ao, neutr˜ ao, etc) existissem para sempre, a lei de conserva¸cão de massa seria uma consequência de o n´ umero destas part´ıculas ser constante. Sabemos, hoje, que é poss´ıvel criar e destruir part´ıculas, transform´ a-las em outras part´ıculas ou em radia¸cão. Einstein descobriu que n˜ ao havia duas leis de conserva¸cão separadas, massa e energia, mas apenas uma. Aos termos de energia que j´ a conhecemos, associados a movimento, ou interaçcões, juntou um termo, para cada part´ıcula de massa m, chamado a energia em repouso e dada pela mais célebre f´ ormula da F´ısica: E = mc2 , em que c é a velocidade da luz. A massa não é conservada (as part´ıculas podem ser destru´ıdas e criadas) mas a energia total é, se incluirmos os termos de energia em repouso. Nas colis˜ oes electr˜ ao-positr˜ ao dos aceleradores do CERN, as energias cinéticas do electr˜ ao e do positr˜ ao são t˜ ao elevadas (velocidades pr´ oximas da luz), que é poss´ıvel criar um grande n´ umero de part´ıculas, de massa muito mais elevada que as do electr˜ ao ou do positr˜ ao. Se a massa total das part´ıculas emergentes da colis˜ ao for M , a conserva¸cão de energia implica que 2me c2 + Ec = M c2 + Ec! , em que Ec é a energia cinética total do electr˜ ao e positr˜ ao que colidem e Ec! é a energia cinética total das part´ıculas que resultam da colisão, mais a energia da radia¸cão. Como explicar, ent˜ ao, a lei de Lavoisier? As part´ıculas mais leves que se conhecem são os electr˜ oes e positr˜ oes. Para criar um par (n˜ ao é poss´ıvel criar um electr˜ ao sem criar um positr˜ ao), é necess´ ario dispor de uma energia de: 2me c2 = 2 × 9, 1 × 10−31 × (3 × 108 )2 = 1, 6 × 10−13 J = 106 eV. Nas reaçcões qu´ımicas entre duas moléculas são libertadas energias da ordem de 1 eV. Nunca h´ a energia suficiente para criar, sequer, a part´ıcula mais leve. Da´ı que a massa seja conservada. Mas se a energia for suficientemente elevada, ou se juntarmos uma part´ıcula com a sua anti-part´ıcula, como nos aceleradores do CERN, isso deixa de ser verdade.

Caixa 3.1: Rela¸c˜ao de Einstein e conserva¸c˜ao de energia.

˜ CAP´ITULO 3. COLISOES

sobretudo, espa¸co vazio. As for¸cas que os a´tomos (neutros) exercem uns sobre os outros s˜ ao muito fracas, quando as distˆ ancias s˜ao grandes comparadas com o tamanho at´ omico, mas tornam-se muito fortes, e repulsivas, quando a distˆ ancia ´e da ordem, ou menor, que o tamanho at´ omico. Por isso nos parece que objectos como bolas de bilhar s´ o interagem quando se tocam. magnetos

Figura 3.3: Os magnetos impedem os carros de se aproximarem demasiado.

No outro extremo, os astrof´ısicos estudam colis˜ oes entre gal´ axias, em que as distˆ ancias entre as estrelas que as comp˜ oem s˜ ao da ordem do tamanho de uma gal´ axia e a colis˜ ao pode durar 100 milh˜ oes de anos. Na actividade 3.2, observam-se colis˜ oes entre carros, numa calha de alum´ınio, sem que estes realmente se toquem. Na extremidade de cada carro existem dois magnetos. Quando os carros se aproximam demasiado, as for¸cas repulsivas entre os magnetos tornam-se elevadas e, num curto intervalo de tempo, o movimento dos carros é alterado. Se os carros n˜ ao se tocam, ser´ a que deveremos chamar a isto uma colis˜ ao? Quando se reflecte um pouco em todos estes exemplos, chegamos a` conclus˜ ao que, o que importa, realmente, neste tipo de interaçcaõ, é que existe um tempo durante o qual os objectos se movem independentemente um do outro, sem for¸cas m´ utuas; depois interagem durante um intervalo de tempo limitado e finalmente emergem da interaçcaõ (eventualmente modificados), de novo livres de interaçco˜es m´ utuas.

" Actividade 3.1

Em resumo, o que caracteriza uma colis˜ ao, é que h´ a um antes e um depois em que o movimento é f´ acil de descrever porque n˜ ao h´ a interaçco˜es. Por esta raz˜ ao, princ´ıpios de conserva¸caõ, como o da energia, s˜ ao muito importantes na an´ alise e discuss˜ ao de colis˜ oes. O que acontece durante a colis˜ ao, pode ser complexo e extremamente dif´ıcil, ou imposs´ıvel, de descrever. Mas as grandezas conservadas, como a energia, n˜ ao podem mudar e permitem-nos relacionar os estados inicial e final do sistema.

3.2 " Actividade 3.2

Conserva¸ c˜ ao de energia em colis˜ oes

Para ser concreto, tomemos uma colis˜ ao entre dois carros como os da Actividade 3.2. Quando os carros est˜ ao afastados, n˜ ao interagem. A respectiva energia potencial e´ constante, pois n˜ ao h´ a for¸cas m´ utuas que possam realizar trabalho. Como vimos atr´ as,

˜ DE ENERGIA EM COLISOES ˜ 3.2. CONSERVAC ¸ AO

podemos tomar essa constante como zero. A energia dos carros antes da colis˜ ao ´e cin´etica: E=

1 1 m1 v12 + m2 v22 . 2 2

m1 e m2 s˜ ao as massas dos dois carros e v1 e v2 as respectivas velocidades antes da colis˜ ao. Se as velocidades depois da colis˜ ao forem v1" e v2" , a energia ser´ a: 1 1 2 2 E " = m1 v " 1 + m2 v " 2 . 2 2 Havendo conserva¸caõ de energia, ter´ıamos: E = E". Na Actividade 3.2 verifica-se que, em geral, isto n˜ ao acontece. O " mais frequente é ter-se E < E, embora seja poss´ıvel preparar situa¸co˜es em que se verifica o contr´ ario2 . Vejamos exemplos: a) Se dois carros idênticos colidem com velocidades de m´ odulo igual e sentidos opostos e ficam juntos (colados), a respectiva velocidade final é nula. Sen˜ ao, repare-se: dois carros iguais, a mover-se com velocidades de m´ odulo igual, um em direçcaõ ao outro. Colidem e ficam juntos. Por que raz˜ ao haveriam de se mover num sentido e n˜ ao no sentido oposto? Ou ´ nico resultado compat´ıvel com a simetria da situa¸caõ é uma velocidade final nula. Neste caso a energia cin´ etica final é zero. b) Uma bola de basquete, v´ olei, ou ténis, nunca sobe a` altura inicial se for deixada cair sobre uma superf´ıcie r´ıgida. Isso significa que perdeu energia cin´ etica ao colidir com o solo. Se partiu do repouso, a sua energia inicial era E = mgh. Se atingir a altura h" , a sua energia é E " = mgh" (a velocidade é nula no ponto de altura m´ axima). A maior parte da energia " perdida, mg(h − h ), é devida a` colis˜ ao com o solo. Estas colis˜ oes, em que n˜ ao h´ a conserva¸caõ de energia cinética, chamam-se inel´ asticas. As colis˜ oes entre objectos macrosc´ opicos, em geral, s˜ ao inel´ asticas, em maior ou menor grau. O que acontece à energia? Numa colis˜ ao inel´ astica n˜ ao h´ a conserva¸caõ de energia? 2 Eis um exemplo: prepara-se um carrinho com uma mola comprimida na extremidade. Se a mola for libertada na colis˜ ao a energia cin´ etica do conjunto pode aumentar.

˜ CAP´ITULO 3. COLISOES

3.2.1

Na Actividade 3.3 consideram-se v´ arios exemplos de colis˜ oes inel´ asticas em que se torna evidente que a energia cin´ etica perdida pode ser transferida para outros movimentos, que n˜ ao o de transla¸ca˜o do corpo.

" Actividade 3.3

O O

(a) O O

Movimento da mol´ ecula de O2

O O

(b)

Figura 3.4: (a) Numa transla¸cão, os dois átomos de oxigénio têm o mesmo deslocamento e a mesma velocidade; (b)num movimento mais geral têm velocidades diferentes.

Para compreender melhor esta situa¸caõ, vamos considerar um corpo muito simples, a molécula de O2 . Tem dois a´tomos de oxigénio a` ˚ A massa da molécula é quase exclusivamente distˆ ancia de 1, 48 A. devida a` massa dos dois n´ ucleos, cujas dimens˜ oes s˜ ao muito inferiores a` da pr´ opria molécula. Assim, a energia cinética associada ao movimento da molécula é, no essencial, a energia cinética dos dois n´ ucleos3 : 1 1 EO2 = mO v12 + mO v22 . (3.1) 2 2 Se as velocidades dos dois n´ ucleos forem iguais (em m´ odulo, direçcaõ e sentido), a molécula tem um movimento dito de transla¸ c˜ ao. Nesse caso podemos dizer que a velocidade da mol´ ecula é v = v1 = v2 e 1 1 EO2 = (2mO )v 2 = mO2 v 2 . 2 2 Mas, o movimento de transla¸caõ é uma situa¸caõ muito especial. Os átomos de oxigénio podem rodar ou oscilar em torno da posi¸caõ média. As velocidades de cada a´tomo s˜ ao, em geral, diferentes e v1 #= v2 . O que é, nesse caso, a velocidade da mol´ ecula? 3.2.1.1

Centro de massa

O ponto médio entre os dois n´ ucleos (sobre o segmento que os une, a distˆ ancia igual dos dois n´ ucleos) é designado por centro de massa da molécula de O2 . O movimento dos dois n´ ucleos implica que o ponto médio entre eles também se desloque. Podemos tomar a sua velocidade, vcm , como sendo a velocidade da molécula, como um todo. A vantagem desta escolha particular e´ que a energia cinética total da molécula se pode escrever na forma4 : 1 2 EO2 = mO2 vcm + E". 2 3

A contribui¸ca õ electr´ onica para a energia da mol´ ecula é importante e uma parte significativa dessa energia e´ energia cin´ etica dos electr˜ oes. Mas essa energia s´ o varia se houver uma mudan¸ca de estado electr´ onica, uma altera¸ca õ da nuvem electr´ onica. Em geral, isso n˜ ao acontece numa colis˜ ao entre duas moléculas ou com outros a´tomos a baixas energias. 4 A demonstra¸ca õ deste resultado ser´ a feita no 11º ano.

˜ DE ENERGIA EM COLISOES ˜ 3.2. CONSERVAC ¸ AO

O primeiro termo é exactamente o que esperar´ıamos, se a molécula fosse uma part´ıcula simples, com movimento definido pela posi¸caõ de um ponto. Isto é, se a molécula fosse uma part´ıcula material. O segundo termo é a energia cinética dos n´ ucleos no seu movimento relativo ao centro de massa. Ou seja, 1 1 2 2 E " = mO v " 1 + mO v " 2 . 2 2 As velocidades v1" e v2" s˜ ao medidas tomando como origem de coordenadas o centro de massa, ponto médio entre os dois n´ ucleos. Imaginemos agora uma colis˜ ao desta molécula com um a´tomo de Hélio, por exemplo, conforme se mostra na Fig. 3.5.

O O O O

He He

Figura 3.5: A molécula de O2 , ap´ os a colis˜ ao, tem movimentos de rota¸cão e de vibra¸cão, sobrepostos ao de transla¸cão.

Se n˜ ao olharmos para “dentro” da molécula de O2 , e seguirmos apenas o movimento do seu centro de massa, usando um modelo de part´ıcula material, ser´ a de esperar que se conserve a energia cinética, 1 1 2 2 mO2 vcm + mHe vHe ? 2 2 Na geometria da Fig. 3.5, a molécula de O2 ter´ a, certamente, um movimento de rota¸caõ em torno do seu centro; a sua energia cinética total n˜ ao ser´ a apenas o termo associado ao movimento do centro de massa. Em geral, haver´ a até uma oscila¸caõ dos dois n´ ucleos em torno da posi¸caõ de equil´ıbrio e teremos uma contribui¸caõ de energia potencial, resultante da interaçcaõ entre eles. A equa¸caõ do balan¸co da energia ter´ a de incluir todos os termos que podem variar na interaçca õ: 1 1 2 2 mHe vHe + mO2 vcm + E " + Ep = const. 2 2

" Part´ıcula material: um sistema f´ısico numa situa¸c˜ao em que o seu movimento pode ser descrito pela posi¸c˜ao de um ponto.

˜ CAP´ITULO 3. COLISOES

Em resumo: n˜ ao h´ a conserva¸caõ da soma das energias cinéticas do atomo de hélio e da molécula de O2 , considerados como part´ıculas ´ materiais. Mas h´ a conserva¸caõ de energia quando levamos todos os movimentos em considera¸caõ.

3.2.2

Energia cin´ etica de transla¸ c˜ ao e centro de massa

Veremos no 11º ano que o conceito de centro de massa é aplic´ avel a qualquer sistema complexo de massas, desde um a´tomo até uma gal´ axia. Trata-se de um ponto cuja posi¸caõ é determinada, em cada instante, pelas posi¸co˜es da massas do sistema e cuja velocidade, #vcm , permite a seguinte decomposi¸caõ da energia cinética total do corpo:

A energia cinética total de um corpo pode escrever-se na forma: 1 2 Ec = M vcm + E" 2 em que: • M é a massa total do corpo; • #vcm é a velocidade do centro de massa; • E " é a energia cinética de movimento relativo ao centro de massa.

Para objectos geometricamente regulares, com distribui¸ caõ simétricas de massa (esferas, cilindros, cubos), a posi¸caõ do centro de massa coincide com o centro geom´ etrico do corpo. N˜ ao vamos, de todo, considerar situa¸co˜es mais complexas. O termo de energia cinética associado ao movimento do centro de massa é designado por energia cin´ etica de transla¸ c˜ ao.

3.2.3

O modelo de part´ıcula material

Mesmo sem o sabermos, us´ amos, em todo o cap´ıtulo 2, um modelo de part´ıcula material para descrever o movimento dos corpos. Ao falarmos na velocidade de um corpo estamos a supor que

˜ DE ENERGIA EM COLISOES ˜ 3.2. CONSERVAC ¸ AO

o seu movimento pode ser descrito pela varia¸caõ de posi¸caõ de um ponto. Os corpos macrosc´ opicos podem ter movimentos muito mais complexos. Aquilo a que cham´ amos energia cinética de um corpo era, realmente, apenas a energia cin´ etica de transla¸caõ, determinada pelo movimento do centro de massa. Se s´ o esse termo variar num determinado processo, o modelo de part´ıcula material é apropriado. Por exemplo, no movimento orbital da Terra em torno do Sol, e´ muito boa aproxima¸caõ considerar apenas as varia¸co˜es de energia associadas ao movimento de centro de massa da Terra: o modelo de part´ıcula material é aplic´ avel. J´ a numa colis˜ ao de uma molécula de O2 com um a´tomo de He, este modelo pode n˜ ao ser adequado. Estes exemplos mostram que o modelo de part´ıcula material nada tem a ver com o tamanho ou a complexidade do sistema. Tem apenas a ver com o facto de, em muitas situa¸co˜es, as varia¸co˜es de energia poderem ser caracterizadas em termos do movimento do centro de massa. 2 /2, ´ A energia cinética de transla¸caõ, M vcm e apenas um dos termos associados ao movimento de um corpo. Quando dois corpos interagem, em geral, a soma das respectivas energias cin´ eticas de transla¸caõ n˜ ao se conserva, podendo haver transferência de energia do movimento de transla¸caõ de cada um dos corpos para outros ´ isto que se passa numa colis˜ tipos de movimento. E ao inel´ astica.

3.2.4

Coeficiente de restitui¸ c˜ ao

Numa colis˜ ao, que quantidade de energia cin´ etica pode ser transferida para outros modos? Toda? S´ o uma parte? Na Actividade 3.2 investigamos colis˜ oes entre dois carros de iguais massas, m. Algumas s˜ ao colis˜ oes fortemente inel´ asticas: perde-se uma parte substancial (ou mesmo a totalidade) da energia cin´ etica. Temos duas maneiras de escrever a energia cin´ etica dos dois carros (ver Caixa 3.2) : a) Como a soma das energias de cada um dos carros: 1 1 Ec = mv12 + mv22 . 2 2 b) Como a soma da energia cinética de transla¸caõ do sistema dos dois carros com a energia cinética de movimento relativo

˜ CAP´ITULO 3. COLISOES

C´ alculos de energia cin´ etica de transla¸ c˜ ao Exemplo 1: Se os dois carros se aproximam um do outro com velocidades de sentido oposto e igual m´ odulo, v, a energia cinética total é 1 1 Ec = mv 2 + mv 2 = mv 2 . 2 2 O centro de massa (ponto médio entre os dois carros) não se move, porque os carros deslocam-se a mesma distˆ ancia em tempos iguais. Assim, vcm = 0. A energia cinética de transla¸cão do sistema de dois carros é nula. Toda a energia cinética é de movimento relativo: E ! = Ec . Exemplo 2: Se um dos carros est´ a parado e o outro se aproxima com velocidade v, a energia cinética total é Ec =

1 mv 2 . 2

Quando o carro em movimento avan¸ca de x, o ponto médio entre os dois carros avan¸ca de x/2. Logo, a velocidade do centro de massa é v/2. A energia cinética de transla¸cão é Etr =

! v "2 1 1 (2m) = mv 2 2 2 4

ou seja, metade da energia cin´etica total. d/2

d/2 CM

Exemplo1 d/2 d v

v/2

Exemplo 2

Caixa 3.2: Exemplos de c´ alculo da energia cin´etica de transla¸c˜ao de um sistema de dois corpos.

˜ DE ENERGIA EM COLISOES ˜ 3.2. CONSERVAC ¸ AO

ao centro de massa (que é o ponto médio entre os carros, como no caso da molécula de O2 ): 1 2 Ec = (2m)vcm + E" 2 ´ muito importante distinguir a energia de transla¸caõ do sistema E dos dois carros, da soma das energias cinéticas de transla¸caõ de cada carro. Para dois carros iguais, a posi¸caõ do centro de massa do sistema é o ponto médio entre os dois carros. A velocidade do centro de massa do sistema é a velocidade desse ponto. Por exemplo, se os carros se aproximarem um do outro com velocidades de m´ odulo igual, v, o ponto médio entre eles n˜ ao se desloca: #vcm = 0 e a energia cinética de transla¸caõ do sistema é nula (ver Caixa 3.2 da p´ agina 16). Mas a energia cinética de transla¸caõ de cada carro é mv²/2. Veremos, no 11º ano, que as leis do movimento de Newton implicam a conserva¸caõ da energia cin´ etica de transla¸ c˜ ao de um sistema isolado (os dois carros no nosso exemplo). A u ńica parte que pode variar numa colis˜ ao é a energia cinética de movimento relativo ao centro de massa, E " . ´ habitual caracterizar o grau de inelasticidade de uma colis˜ E ao pelo respectivo coeficiente de restitui¸ c˜ ao, e, definido do seguinte modo. A raz˜ ao entre as energias cinéticas de movimento relativo depois e antes de uma colis˜ ao, Ef" e Ei" , é o quadrado de e: e2 =

Ef" Ei"

Quando os corpos que colidem ficam juntos ap´ os a colis˜ ao, a velocidade de cada corpo é também a velocidade do centro de massa: n˜ ao h´ a movimento relativamente ao centro de massa. Neste caso, Ef" = 0 e e = 0: a colis˜ ao diz-se perfeitamente inel´ astica. Se houver conserva¸caõ de energia cinética, Ef" = Ei" e e = 1: a colis˜ ao é el´ astica. 3.2.4.1

Colis˜ ao com um objecto fixo

Uma colis˜ ao com um objecto fixo, como uma parede, pode ser inclu´ıda, da seguinte forma, na discuss˜ ao anterior.

˜ CAP´ITULO 3. COLISOES

Um objecto fixo funciona como um corpo de massa infinita (a parede est´ a fixa a` casa, que por sua vez est´ a rigidamente ligada ao solo, etc.). Neste caso, o centro de massa do sistema pode ser considerado como sendo o centro de massa do objecto de massa infinita, que permanece im´ ovel; logo, vcm = 0. O quadrado do coeficiente de restitui¸ca˜o ´e simplesmente: mvf2 /2 vf2 Ef e = = = 2, Ei mvi2 /2 vi 2

em que m é a massa do sistema que colide com a parede e vi e vf s˜ ao as suas velocidades, antes e depois da colis˜ ao. Sendo assim, o coeficiente de restitui¸caõ é e=

3.3

vf . vi

Actividades, quest˜ oes e problemas

3.3.1

Actividades

3.1. Colis˜ ao de bola com superf´ıcie Considerar a colis˜ ao entre uma bola e uma superf´ıcie nas seguintes situa¸co˜es limite: i) Uma superf´ıcie muito deform´ avel (como um membrana el´ astica) e uma bola r´ıgida (como uma bola de bilhar). ii) Uma superf´ıcie muito r´ıgida (parede) e uma bola (muito) deform´ avel. Para estes dois casos: (a) Fazer uma representa¸caõ esquem´ atica da configura¸caõ dos dois corpos, em fun¸caõ do tempo, incluindo v´ arios instantes durante a colis˜ ao. (b) Representar, nesses esquemas, as for¸cas que a superf´ıcie e o corpo exercem mutuamente. (c) Fazer um gr´ afico qualitativo da energia cin´ etica da bola em fun¸caõ da sua posi¸caõ relativamente a` parede. Relacionar as varia¸co˜es de energia cinética da bola com o trabalho das for¸cas que a parede exerce sobre ela. 3.2. Colis˜ oes entre carrinhos Ver ficha de actividade A7.

˜ 3.3. ACTIVIDADES, QUESTOES E PROBLEMAS

3.3. Colis˜ oes inel´ asticas Ver ficha de actividade A8. 3.4. Ensaio Um colega, faz a seguinte afirma¸caõ: “Quando atiro uma bola de plasticina a` parede, a energia que imprimi a` bola perde-se: a energia n˜ ao é conservada”. Escrever um texto (m´ aximo de uma p´ agina A4) rebatendo essa conclus˜ ao, recorrendo a exemplos e a situa¸co˜es an´ alogas à apontada pelo colega.

3.3.2

Problemas e quest˜ oes

3.1. Colis˜ ao de ´ atomos de h´ elio Dois a´tomos de hélio, no respectivo estado fundamental, colidem com velocidades de 100 m s−1 . (a) Qual é a energia cinética total em electr˜ oes-volt? (b) Sabendo que o primeiro estado excitado de um a´tomo de hélio est´ a quase 20 eV acima do fundamental, esta colis˜ ao ser´ a el´ astica ou inel´ astica? 3.2. Colis˜ oes entre autom´ oveis (1) Como classificar uma colis˜ ao frontal entre dois autom´ oveis? (a) El´ astica; (b) fracamente inel´ astica (e ! 1); (c) fortemente inel´ astica (e ≈ 0). 3.3. Colis˜ oes entre autom´ oveis (1) Considerar as seguintes colis˜ oes frontais entre autom´ oveis idênticos (m = 1000 kg): i) Um carro a 45 km h−1 colide com outro parado. ii) Dois carros colidem com velocidades de 30 km h−1 de sentidos opostos. (a) Calcular as energias cin´ eticas totais iniciais. (b) Calcular as energia cinéticas iniciais de movimento relativo ao centro de massa. (c) Qual destas colis˜ oes seria classificada de mais violenta (causadora de maiores danos nos autom´ oveis e seus ocupantes)? Justificar.

˜ CAP´ITULO 3. COLISOES

3.4. Bola de basquete Uma bola de basquetebol, largada do repouso de uma altura 1 m, s´ o sobe a uma altura de 80 cm. (a) Qual é o coeficiente de restitui¸caõ da colis˜ ao com o solo? (b) O coeficiente de restitui¸caõ, em boa aproxima¸caõ, é independente das velocidades iniciais dos corpos que colidem. A que altura subir´ a a bola de basquete no segundo ressalto do solo? 3.5. Sucesso do CERN Um dos objectivos dos aceleradores de part´ıculas é obter a m´ axima energia poss´ıvel para permitir a cria¸caõ de part´ıculas de massa mais elevada. Por que é que uma configura¸caõ de dois feixes a viajar em sentidos opostos e´ mais eficaz do que uma colis˜ ao de um feixe com um alvo estacion´ ario?

Bibliografia [1] CERN. URL: www.cern.ch.