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Projecto Faraday Textos de Apoio

Trabalho e energia 10ยบ Ano de Escolaridade

Porto, Outubro de 2009

Ficha T´ ecnica

Projecto Faraday Projecto de interven¸ca˜o no ensino da F´ısica no secund´ ario.

Financiamento Funda¸ca˜o Calouste Gulbenkian.

Execu¸ c˜ ao Departamento de F´ısica, Faculdade de Ciˆencias da Universidade do Porto.

Escolas Participantes • ES Filipa de Vilhena • ES Fontes Pereira de Melo • ES Garcia de Orta • ES da Maia • ES de Santa Maria da Feira Coordena¸ c˜ ao • J. M. B. Lopes dos Santos • Manuel Joaquim Marques i

ii Portal URL: http://www.fc.up.pt/faraday

Texto do 10º Ano Redactor Principal J. M. B. Lopes dos Santos Colabora¸ c˜ ao e revis˜ ao • Elisa Arieiro • Carlos M. Carvalho • Manuel Joaquim Marques

Actividades Autores • Carlos M. Carvalho • Elisa Arieiro • J. M. B. Lopes dos Santos • Manuel Joaquim Marques • Nuno Alexandre Vaz • Nuno Nunes Colabora¸ c˜ ao • Joaquim Agostinho Moreira

iii

Parte I

ENERGIA E MOVIMENTO

Conte´ udo Ficha T´ecnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ENERGIA E MOVIMENTO

2 Trabalho e energia 2.1

Transferˆencias de energia . . . . . . . . . . . . . .

2.1.1

. . . . . . . . . . . . . .

2.2

Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3

Energia potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.1

Energia potencial grav´ıtica . . . . . . . . .

2.3.2

Energia potencial e trabalho de for¸cas internas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.3

Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.4

M´ aquinas simples . . . . . . . . . . . . . . .

Energia cin´etica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4.1

Express˜ ao da energia cin´etica . . . . . . . .

2.4.2

O teorema trabalho-energia cin´ etica . . . .

For¸cas dissipativas . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5.1

Resistˆencia do ar . . . . . . . . . . . . . . .

2.5.2

For¸cas dissipativas . . . . . . . . . . . . . .

Estudo de um caso: Bungee Jumping . . . . . . . .

2.6.1

O que ´e um modelo? . . . . . . . . . . . . .

2.6.2

For¸ca el´ astica . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6.3

Energia num salto de bungee.

2.4

2.5

2.6

No¸ca˜o de Sistema

. . . . . . .

´ CONTEUDO

4 2.7

2.8

2.9

Quando o trabalho ´e nulo. . . . . . . . . . . . . . .

2.7.1

For¸ca sem deslocamento . . . . . . . . . . .

2.7.2

For¸cas perpendiculares ao deslocamento . .

For¸cas e deslocamentos n˜ ao colineares . . . . . . .

2.8.1

Trabalho e energia num “escorrega” . . . . .

2.8.2

Trabalho de for¸cas n˜ ao colineares com deslocamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Actividades, quest˜ oes e problemas . . . . . . . . .

2.9.1

Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.9.2

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.9.3

Desafios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Lista de Figuras 2.1

Testando a conserva¸ca˜o de energia. . . . . . . . . .

2.2

Arqueiro retesando um arco. . . . . . . . . . . . . .

2.3

Aterragem do Vaiv´em com p´ ara-quedas de travagem.

2.4

Elevar o corpo de peso P requer energia. . . . . . .

2.5

interac¸co˜es m´ utuas entre A e B n˜ ao podem alterar a energia total do sistema S. . . . . . . . . . . . .

Se o sistema ´e constitu´ıdo pelo corpo e pela Terra, o peso ´e uma for¸ca interna (a tracejado), que n˜ ao pode alterar a energia do sistema. Uma for¸ca ex! (a cheio), aplicada ao corpo, pode alterar terna F a energia do sistema corpo–Terra. . . . . . . . . .

! necess´ A for¸ca F aria para equilibrar o corpo ´e apenas metade do seu peso. . . . . . . . . . . . . . . .

` altura z parte da energia potencial inicial e´ agora A energia cin´etica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Um corpo que se desloca num fluido fica sujeito a uma for¸ca de sentido oposto ao seu deslocamento. .

2.10 For¸ca el´ astica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6

2.7 2.8 2.9

2.11 Um salto bungee. O saltador est´ a inicialmente a uma altura h do solo; o comprimento em repouso dos el´ asticos ´e l. Quando a distˆ ancia z ao solo ´e asticos est˜ ao distendidos. inferior a h1 = h − l , os el´

2.12 Quando seguramos um peso, sem o mover, n˜ ao fazemos trabalho? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.13 Os trabalhos realizados entre A e B e entre B e C s˜ ao iguais. Ser˜ ao diferentes de zero? . . . . . . . .

LISTA DE FIGURAS 2.14 O trabalho da reac¸ca˜o normal da mesa e do peso ser˜ ao diferentes de zero? . . . . . . . . . . . . . . .

2.15 Num escorrega as for¸cas sobre o utilizador s˜ ao a reac¸ca˜o normal da superf´ıcie e o peso do cliente. Os escorregas s˜ ao desenhados para reduzir o atrito, a componente da for¸ca da superf´ıcie paralela a esta.

2.16 Decomposi¸ca˜o de uma for¸ca segundo direc¸co˜es perpendiculares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.17 A for¸ca de contacto que a superf´ıcie exerce sobre ! , e uma o corpo tem uma componente normal, N componente paralela a` superf´ıcie de contacto, F!a , a for¸ca de atrito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.18 No caso (a) o trabalho da for¸ca ´e positivo (o carrinho recebe energia), no caso (b) negativo (cede energia). Em qualquer dos casos ´e dado por F ∆r cos θ em que F e ∆r s˜ ao os m´ odulos da for¸ca e do deslocamento, respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . 33 2.19 O arqueiro puxa a seta de uma distˆ ancia x. . . . .

2.20 Salto de esqui. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Cap´ıtulo 2

Trabalho e energia 2.1

Transferˆ encias de energia

Como medir energia? Acreditamos que um litro de gasolina tem uma certa energia. Dois litros ter˜ ao, seguramente, o dobro. Mas como comparar a energia da gasolina com a de uma pilha? Ou com a da água, que desce uma montanha e faz mover uma turbina? Ou com a do vento, que acciona um moinho? Em muitas situa¸co˜es em que acreditamos haver transferˆ encia de energia conseguimos identificar dois factores, for¸ca e movimento: • A a´gua empurra e faz rodar as p´ as de uma turbina; • uma grua exerce um for¸ca sobre uma carga e eleva-a a uma dada altura; • um jogador de andebol estica o bra¸co, exercendo uma for¸ca sobre a bola e imprimindo-lhe uma certa velocidade; • os el´ asticos de bungee jumping travam a queda de um corajoso saltador, primeiro distendendo-se e depois contraindose, reenviando-o para novo voo. Mas h´ a outros tipos de transferência de energia em que n˜ ao parece haver movimento: • o aquecimento de a´gua com uma chama, ou com outro corpo mais quente, como uma resistência eléctrica; • o arrefecimento da sopa quente, quando exposta ao ar; 7

CAP´ITULO 2. TRABALHO E ENERGIA

• o aquecimento do asfalto das ruas, quando exposto ao sol. Qualquer um de n´ os ´e capaz de imaginar muitas outras situa¸co˜es. Neste cap´ıtulo vamos discutir situa¸co˜es do primeiro tipo.

2.1.1

No¸ c˜ ao de Sistema

Se falamos em transferência é porque: • estamos a considerar pelos menos dois corpos e faz sentido falar da energia de cada um; • est´ a impl´ıcita a ideia de conserva¸ c˜ ao; algo transfere-se se passa de um s´ıtio para outro. Se a energia de um corpo aumenta, a energia de outro diminui. Para discutir transferências de energia, temos, ent˜ ao, que identificar os sistemas entre os quais essa transferência ocorre. Os f´ısicos usam frequentemente esta palavra mas raramente se preocupam em precisar o seu significado. Na verdade, e´ muito mais u ´til saber analisar casos particulares do que ter uma defini¸caõ geral de sistema. Digamos apenas que, ao analisar processos f´ısicos, podemos, em geral, ignorar a maior parte do Universo (gra¸cas a Deus). Na parte que nos interessa é poss´ıvel identificar corpos, regi˜ oes, conjuntos de part´ıculas—numa palavra, sistemas–-para os quais é poss´ıvel definir uma energia; as influências m´ utuas entre esses sistemas, as interaç co ˜es, originam a transferência de energia entre eles. No caso do salto com el´ asticos, bungee jumping, por exemplo, o saltador no campo grav´ıtico da Terra constitui um sistema. Este sistema interage com outro, os el´ asticos, que o impede de se estatelar. H´ a transferências de energia entre estes dois sistemas. Figura 2.1: Testando a conserva¸cão de energia.

# Actividades 2.1 e 2.2

Mas n˜ ao s˜ ao defini¸co˜es gerais que nos fazem compreender estas no¸co˜es de sistema e interaçcaõ; é a pr´ atica. Estes conceitos ficar˜ ao mais claros a` medida que formos analisando situa¸co˜es concretas.

2.2

Trabalho

Se reflectirmos um pouco nas situa¸co˜es de transferˆencia de energia que envolvem for¸cas e movimentos, chegaremos a` seguinte conclus˜ ao:

2.2. TRABALHO

Se uma for¸ca actua num corpo no sentido em que este se desloca, a sua energia aumenta; se actua no sentido oposto, a sua energia diminui.

Consideremos, por exemplo, o tiro ao arco. Ao retesar o arco, o arqueiro puxa a seta. Exerce uma for¸ca no mesmo sentido em que desloca a corda do arco: a energia do arco aumenta. Os sistemas são, neste caso, o arco e a flecha, por um lado, e o arqueiro, pelo outro. Essa energia é depois usada para impulsionar a flecha. Nessa situa¸caõ o arco exerce uma for¸ca sobre a flecha no mesmo sentido em que ela se desloca: logo, a energia da flecha aumenta. Agora, os sistemas que estamos a considerar s˜ ao a flecha, por um lado, e o arco, pelo outro.

Figura 2.2: Arqueiro retesando um arco.

Um outro exemplo é o da travagem do Vaivém espacial na aterragem. O cabos do p´ ara-quedas de travagem puxam o Vaiv´ em com uma for¸ca que tem o sentido oposto ao do respectivo deslocamento: a energia do Vaivém diminui. Pensando noutros casos semelhantes chegaremos a` mesma conclusão; quando a for¸ca sobre um corpo actua no sentido do deslocamento, a sua energia aumenta; se o sentido e´ oposto, a energia diminui. Mas de quanto? Como podemos medir essa quantidade de energia transferida? A resposta a esta pergunta é dada pela no¸caõ de trabalho de uma for¸ ca:

O trabalho de uma for¸ca de m´ odulo F , constante, exercida sobre um corpo, num deslocamento de d, na direçcaõ e sentido da for¸ca, é F × d e é igual a` energia transferida para o corpo por açcaõ dessa for¸ca.

Se designarmos por ∆E = Ef −Ei , a varia¸ca˜o de energia do corpo, energia final menos energia inicial1 , temos: 1

∆E = w ≡ F d.

Esta nota¸ca õ ser´ a usada muitas vezes ao longo do curso. Numa qualquer transforma¸ca õ, com um estado final e um estado inicial, a varia¸ca õ de uma grandeza A, ser´ a designada por ∆A e é sempre o valor final menos o inicial, ∆A = Af − Ai .

Figura 2.3: Aterragem do Vaiv´em com p´ara-quedas de travagem.

CAP´ITULO 2. TRABALHO E ENERGIA

E se a for¸ca tiver o sentido oposto ao do deslocamento? Como vimos, nesse caso, a energia do corpo diminui: Ef < Ei ; a varia¸caõ de energia é negativa, ∆E < 0. Define-se, nesse caso, o trabalho como w = −F d e continua a ser a varia¸caõ de energia do corpo.

O trabalho de uma for¸ca de m´ odulo F , constante, exercida sobre um corpo, num deslocamento de d na direçcaõ da for¸ca e sentido oposto, é −F × d e é igual a` energia transferida para o corpo por açcaõ dessa for¸ca.

Note-se que em F´ısica falamos de energia transferida para o corpo, como sendo a varia¸caõ de energia, ∆E, mesmo quando esta é negativa! Em linguagem comum dir´ıamos que a energia é transferida do corpo. Deste modo, podemos usar sempre a mesma linguagem e as mesmas equa¸co˜es, qualquer que seja o sinal das grandezas que nelas ocorrem. Em particular, a equa¸caõ ∆E = w vale, quer w seja positivo quer negativo. Cabo

Corpo

Mas ser´ a verdade? Como é que sabemos que esta é a maneira correcta de medir a energia transferida por açcaõ de uma for¸ca?

2.3 2.3.1

Figura 2.4: Elevar o corpo de peso P requer energia.

Energia potencial Energia potencial grav´ıtica

Consideremos um sistema simples de um motor que enrola uma corda e, atrav´es de uma roldana, eleva um corpo de peso P = mg (Fig. 2.4). Este processo requer energia; o motor gasta combust´ıvel. Vamos supor uma eleva¸ca˜o muito lenta, com velocidade nula no estado final. Deste modo n˜ ao temos energia associada ao estado de movimento. Mas, tal como a a´gua retida numa barragem pode em queda accionar turbinas, um corpo elevado tamb´ em pode ser usado para transferir energia para outros corpos. A sua energia

2.3. ENERGIA POTENCIAL

Componente de uma for¸ ca Aparentemente demos duas defini¸cões de trabalho, distinguindo os casos de for¸ca e deslocamento com o mesmo sentido ou sentidos opostos. Introduzindo o conceito de componente de uma for¸ca, podemos simplificar a defini¸cão. Um deslocamento rectil´ıneo assim como uma for¸ca, s˜ ao caracterizados por um m´ odulo (intensidade) e ainda por uma direçcão e um sentido: s˜ ao grandezas vectoriais. O m´ odulo, por defini¸cão é expresso por um n´ umero positivo. Na maior parte dos casos que vamos considerar as direçcões são as mesmas. O sentido da for¸ca pode ser o mesmo, ou oposto, ao do deslocamento. Se uma for¸ca de m´ odulo F tem a mesma direçcão e sentido do deslocamento, dizemos que a componente da for¸ca segundo o deslocamento é F ; se o sentido é oposto, a componente é −F. Assim a componente é positiva ou negativa conforme a for¸ca tenha o mesmo sentido ou o sentido oposto do deslocamento. Com este conceito de componente podemos resumir as duas defini¸cões que demos de trabalho numa s´ o, sem precisar de distinguir as duas situa¸cões: O trabalho de uma for¸ca de m´ odulo constante, exercida sobre um corpo, num deslocamento de comprimento d com a mesma direçca õ da for¸ca, é o produto da componente da for¸ca segundo o deslocamento por d. Com efeito, se os sentidos s˜ ao idênticos, a componente da for¸ca é F , em que F é o m´ odulo da for¸ca (F > 0). Esta defini¸cão d´ a w = F × d. Se os sentidos s˜ ao opostos, a componente da for¸ca é −F e o trabalho w = (−F ) × d = −F × d. Mais tarde veremos que esta defini¸cão continua a ser v´ alida mesmo se a for¸ca e o deslocamento n˜ ao forem colineares.

Caixa 2.1: O conceito de componente de uma for¸ca.

CAP´ITULO 2. TRABALHO E ENERGIA

aumentou em resultado da sua eleva¸caõ. A este tipo de energia, associado a` posi¸caõ, chamamos energia potencial. Uma possibilidade, para medir a energia transferida para o corpo, é determinar a quantidade de combust´ıvel gasto. S´ o que, naturalmente, uma medida desse tipo dependeria do tipo de motor e mesmo do tipo de combust´ıvel. Ora, n˜ ao estamos aqui interessados em saber quanta energia gastou o motor; o que nos interessa e´ medir a que foi transferida para o corpo. Isso envolve um processo simples: a aplica¸caõ de uma for¸ca e um deslocamento. O que se passa no motor é muito mais complicado. A for¸ca que a corda tem que exercer, para um deslocamento muito lento, é igual em m´ odulo, e oposta em sentido, ao peso, P = mg. Podemos, assim, ignorar qualquer varia¸caõ de energia associada ao estado de movimento do corpo e considerar apenas a energia associada a` sua posi¸caõ, energia potencial, Ep . A nossa defini¸caõ de trabalho diz: ∆Ep = F d = mg∆z em que ∆z = zf − zi é a varia¸caõ da altura do corpo.

Faz sentido, a varia¸caõ de energia ser proporcional ao peso, mg, e ` varia¸caõ de altura, ∆z? a Como o peso do corpo n˜ ao varia com a altura, o processo de elevar o corpo de 5 m para 6 m ou de 10 m para 11 m de altura é exactamente o mesmo: o motor recolhe um metro de corda, exercendo a mesma for¸ca. Logo transfere a mesma energia. Assim sendo, a varia¸caõ de energia do corpo deve ser idêntica, por cada metro de eleva¸caõ do mesmo. Isso significa que a varia¸caõ de energia é proporcional ao n´ umero de metros de eleva¸caõ, isto é, a ∆z. E a proporcionalidade de ∆E ao peso mg? Podemos sempre elevar um corpo de peso 2mg dividindo-o em duas partes iguais e elevando uma parte de cada vez. Gastar´ıamos a energia necess´ aria para elevar duas vezes um corpo de peso mg. Parece natural que a varia¸caõ de energia seja também proporcional ao peso. Em resumo: a nossa defini¸caõ de trabalho é razo´ avel. Vale a pena ver onde nos pode levar. Para j´ a, obtivemos uma express˜ ao para a varia¸caõ de energia potencial grav´ıtica de um corpo de massa m, quando a sua altura varia de ∆z: ∆Ep = mg∆z. # Energia potencial grav´ıtica

(2.1)

2.3. ENERGIA POTENCIAL

Exemplo: se um oper´ ario tiver que elevar 60 kg de tijolos para um terceiro andar, a 15 m do solo, ter´ a que dispender (pelo menos) uma energia de: ∆E = 60 × 10 × 15 = 9000 J.

Escolha do zero de energia Ainda n˜ ao obtivemos uma express˜ ao para a energia potencial, mas apenas para a varia¸c˜ ao de energia potencial. O princ´ıpio de conserva¸caõ de energia, de facto, s´ o envolve varia¸co ˜es de energia. Por essa raz˜ ao, podemos definir a energia potencial para uma dada posi¸caõ como quisermos. Por exemplo, podemos dizer que para a altura z = 0, a energia potencial é Ep (0) = 0. Claro que essa escolha s´ o pode ser feita para uma dada posi¸caõ, pois as varia¸co˜es de energia potencial s˜ ao conhecidas. Para qualquer outra posi¸caõ de altura z, teremos: ∆Ep ≡ Ep (z) − Ep (0) = mg∆z = mg(z − 0) = mgz. Como Ep (0) = 0, obtemos Ep (z) = mgz. Se escolhêssemos Ep (0) = a, ter´ıamos Ep (z) = mgz + a, mas as varia¸co˜es de energia potencial continuariam a ser dadas pela Eq.2.1. Note-se ainda que a altura e´ z = 0 onde quisermos escolher a origem do eixo zz. N˜ ao é nenhuma altura particular: tanto pode ser o n´ıvel médio do mar, como o ch˜ ao da cabine de um avi˜ ao comercial a voar a 10 km de altitude.

S A

2.3.2

Energia potencial e trabalho de for¸ cas internas.

For¸ cas internas Na discussão anterior, quando elevamos um corpo aplicando uma for¸ca contr´ aria ao peso, dissemos que transferimos energia para o corpo. O sistema que fornece energia é o que exerce essa for¸ca (n´ os, ou o motor e o respectivo cabo de suspens˜ ao do corpo). O corpo, no campo grav´ıtico, é o sistema a que fornecemos energia.

Figura 2.5: interac¸c˜oes m´ utuas entre A e B n˜ ao podem alterar a energia total do sistema S.

CAP´ITULO 2. TRABALHO E ENERGIA

E o peso do corpo n˜ ao realizou trabalho? N˜ ao temos de o contabilizar? A interaçcaõ entre dois corpos manifesta-se nas for¸cas que exercem um sobre o outro, que permitem a transferência de energia entre eles. Mas uma for¸ca interna, exercida por uma parte de um sistema noutra parte do mesmo sistema, n˜ ao pode variar a energia deste sistema. Isso violaria o princ´ıpio de conserva¸caõ de energia. Porquê? Porque, se a energia varia num sistema, varia tamb´ em fora dele. Se assim n˜ ao fosse, a energia n˜ ao se conservava. For¸cas internas n˜ ao actuam sobre o exterior do sistema e por isso n˜ ao podem originar mudan¸cas em que a energia do exterior varie.

O peso como for¸ ca interna O peso de um corpo pode ser considerado uma for¸ca interna: o sistema é o corpo no campo grav´ıtico da Terra. Ou, melhor ainda, o corpo e a Terra constituem o nosso sistema. O que chamamos energia potencial do corpo é na verdade uma energia do sistema corpo–Terra, devida a` interaçcaõ grav´ıtica. Como o estado de movimento da Terra n˜ ao é alterado (massa da Terra muito maior do que a do corpo), podemos calcular essa energia de interaçcaõ em termos da posi¸caõ do corpo relativamente a` superf´ıcie da Terra, a altura, z. Por isso, podemo-nos referir a esta energia como sendo a energia potencial do corpo.

" Sistema !

TERRA

Figura 2.6: Se o sistema ´e constitu´ıdo pelo corpo e pela Terra, o peso ´e uma for¸ca interna (a tracejado), que n˜ ao pode alterar a energia do sistema. Uma for¸ca externa F! (a cheio), aplicada ao corpo, pode alterar a energia do sistema corpo–Terra.

Quando elevamos o corpo, exercemos uma for¸ca externa que ´e oposta ao peso. O seu trabalho resulta numa varia¸ca˜o de energia potencial do corpo (ou, como dissemos acima, energia potencial

2.3. ENERGIA POTENCIAL

grav´ıtica do sistema corpo–Terra): ∆Ep = wext = F × ∆z Mas como esta for¸ca externa equilibra o peso (para que o corpo n˜ ao acelere) o trabalho do peso ´e o sim´etrico do trabalho da for¸ca externa: se a for¸ca F! tem o sentido do deslocamento, o peso tem o sentido oposto e vice-versa. Logo wint = −wext = −P × ∆z. Portanto, como P = mg ∆Ep = −wint = −mg∆z.

(2.2)

Esta equa¸caõ relaciona a varia¸caõ de energia potencial com o trabalho das for¸cas internas numa altera¸caõ de posi¸caõ: n˜ ao exprime uma transferência de energia de um outro sistema atrav´ es da realiza¸caõ de trabalho. Mais tarde veremos que nem sempre é poss´ıvel estabelecer uma rela¸caõ deste tipo entre for¸cas internas e energia potencial. As for¸cas, como o peso, para as quais isso é poss´ıvel designam-se por for¸ cas conservativas.

2.3.3

Unidades

Em que unidades se mede a grandeza energia? Como a unidade de for¸ca é o newton, N, e a de comprimento o metro, m, o trabalho e, portanto, a energia podem medir-se em N m, unidade designada por joule, J. O que é um joule? A express˜ ao para o trabalho de uma for¸ca, w = F d, mostra que o trabalho realizado por um for¸ca de 1 N, num deslocamento de 1 m, é 1 J. O peso de uma massa de 100 g é, aproximadamente, 1 N pois a acelera¸caõ da gravidade é perto de 10 m s−2 (P = mg = 0, 1×10 = 1 N). Um joule é, pois, a energia necess´ aria para elevar cerca de 100 g de 1 m, a` superf´ıcie da Terra.

# Problema 2.1.

CAP´ITULO 2. TRABALHO E ENERGIA

2.3.4

M´ aquinas simples

Roldana m´ ovel Podemos levantar um peso de 20 N exercendo uma for¸ca de apenas 10 N. Como? Veja-se o sistema de roldana m´ ovel da Fig. 2.7. O m´ odulo, F, da for¸ca aplicada no ponto A da Fig. 2.7, é apenas metade do m´ odulo do peso do corpo, P/2 (por simplicidade desprezamos o peso ´ verdade, como se vê, facilmente, experimenda roldana m´ ovel). E tando! Para compreender porquê, basta notar que a roldana m´ ovel est´ a suportada por duas cordas: cada uma delas exerce uma for¸ca de módulo P/2 para equilibrar o peso.

# Actividade 2.3

Que óptima ideia para obter energia de gra¸ca! Uma vez que F é metade de P , ent˜ ao, o trabalho que realizamos para elevar o corpo, puxando em A, seria metade do que se o fizéssemos directamente. Por metade do trabalho (energia que transferimos) obtemos a mesma varia¸caõ de energia do corpo! ´ que quando deslocamos A, para Era bom, mas n˜ ao funciona. E baixo, de uma distˆ ancia d, realizando um trabalho (P/2) × d, o corpo s´ o sobe uma distˆ ancia d/2. A varia¸caõ de energia potencial do corpo é P × (d/2), exactamente o trabalho que realiz´ amos. N˜ ao h´ a almo¸cos gr´ atis!

F P

Figura 2.7: A for¸ca F! necess´ aria para equilibrar o corpo ´e apenas metade do seu peso.

O sistema da roldana m´ ovel é apenas um de muitos exemplos de dispositivos de desmultiplica¸caõ de for¸cas, como uma alavanca, uma caixa de velocidades, o sistema de transmiss˜ ao e mudan¸cas de uma bicicleta, etc. S˜ ao sistemas de grande utilidade pr´ atica, porque nos permitem realizar tarefas com for¸cas menores. Mas n˜ ao poupam energia. Se reduzimos a for¸ca necess´ aria para metade o ´ mais uma deslocamento correspondente aumenta para o dobro. E confirma¸caõ que a defini¸caõ de trabalho faz sentido: doutro modo estas m´ aquinas permitiriam a cria¸ca õ de energia!

2.4

Energia cin´ etica

Elevemos um corpo de massa de 1 kg a uma altura de dois metros. Sabemos que aumentamos a respectiva energia de (g ≈ 10 m s−2 ): ∆Ep = mgh = 1 × 10 × 2 = 20 J.

Se largarmos o corpo, ele cai. Se cair precisamente 2 m, a sua energia potencial volta ao valor inicial. Onde est´ a a energia que transferimos para o corpo ao elev´ a-lo?

´ 2.4. ENERGIA CINETICA

Neste caso o corpo caiu livremente. N˜ ao o movemos lentamente, mantendo o peso equilibrado com uma for¸ca externa. N˜ ao houve pois trabalho externo sobre o corpo. Como vimos anteriormente, o peso ´e considerado uma for¸ca interna; faz parte do sistema, corpo+campo grav´ ıtico. Se o corpo caiu livremente, tem uma velocidade diferente de zero e parece claro que devemos associar a esse estado de movimento um certa energia. Vamos designar essa energia por energia cin´ etica, Ec , e supor que ela pode ser expressa em termos da velocidade do corpo. Qual ´e a express˜ ao de Ec (v)?

h v z

` altura z parte da energia potencial inicial ´e agora energia Figura 2.8: A cin´etica.

2.4.1

Express˜ ao da energia cin´ etica

Vamos, imediatamente, responder a` quest˜ ao anterior dando a defini¸caõ de energia cinética de um corpo. Dessa defini¸caõ, usando conserva¸caõ de energia, tiraremos algumas conclus˜ oes sobre o modo como varia a velocidade de um corpo em queda livre. Na Actividade 2.4 investigaremos experimentalmente essa rela¸ caõ. Teremos assim um pequeno exemplo de como funciona a Ciˆ encia. Primeiro a defini¸caõ de energia cinética:

A energia cin´etica, Ec , de um corpo de massa m e velocidade de m´ odulo v, ´e dada pelo produto da sua massa m pelo quadrado do m´ odulo da sua velocidade v, dividido por dois, Ec = mv 2 /2.

Consideremos ent˜ ao um corpo, como o da Fig. 2.8, inicialmente parado a` altura h: a sua energia potencial ´e mgh e a sua energia

CAP´ITULO 2. TRABALHO E ENERGIA

cinética nula, pois a sua velocidade é zero. A sua energia total é, ent˜ ao, E = mgh. Quando estiver a uma altura z, a sua energia potencial é mgz. Como z < h a sua energia potencial diminui. Se houver conserva¸caõ de energia, a energia cinética, associada ao movimento, ser´ a: Ec = mgh − mgz.

(2.3)

Usando a defini¸ca˜o de energia cin´etica,

v2 = mgh − mgz. 2

(2.4)

Resolvendo esta equa¸ca˜o em ordem a v 2 , obtemos v 2 = 2g(h − z).

(2.5)

Chegamos, ent˜ ao, a uma previs˜ ao concreta: um corpo, em queda livre a` superf´ıcie da Terra, partindo do repouso e depois de cair uma distˆ ancia d = h − z, tem uma velocidade v 2 = 2gd.

# Actividade 2.4

Esta rela¸caõ é investigada experimentalmente na Actividade 2.4, sobre queda livre. A sua confirma¸caõ refor¸ca a coerência das defini¸co˜es que demos de trabalho, energia potencial e energia cin´ etica. Em palavras mais simples: tudo bate certo. A express˜ ao da energia cinética de um corpo de massa m e velocidade v é, ent˜ ao: 1 Ec = mv 2 . 2

(2.6)

As express˜ oes das Eqs.(2.3) e (2.6) têm uma natureza muito diferente. Ambas s˜ ao “f´ ormulas”, mas têm estatutos muito diferentes. A segunda é uma express˜ ao de validade geral—a defini¸caõ de energia cinética—enquanto a primeira, como express˜ ao para energia cinética, aplica-se apenas a um corpo em queda livre. Exprime a conserva¸caõ de energia nessa situa¸caõ particular e n˜ ao pode ser confundida com uma defini¸caõ de energia cinética.

´ 2.4. ENERGIA CINETICA

2.4.2

O teorema trabalho-energia cin´ etica

Nas seçco˜es anteriores consider´ amos dois casos: a) A for¸ca externa é equilibrada pelo peso e o corpo desloca-se muito lentamente. O trabalho da for¸ca externa é a varia¸caõ de energia que, neste caso, é apenas energia potencial, ∆Ep = wext . b) A for¸ca externa é nula e o corpo move-se apenas sob açcaõ do seu peso. A energia total n˜ ao varia, ∆Ec + ∆Ep = 0, o que significa que a varia¸caõ de energia cinética é simétrica da varia¸caõ de energia potencial, ∆Ec = −∆Ep . No caso geral, a for¸ca externa n˜ ao é nula, nem oposta ao peso. No movimento do corpo sob a açcaõ do seu peso e da for¸ca externa a velocidade varia. A varia¸caõ de energia do corpo tem um termo cinético e um termo potencial. O trabalho da for¸ca externa é a energia transferida para o sistema, ou seja, a varia¸caõ da energia total: ∆Ec + ∆Ep = wext . Se quisermos saber a varia¸caõ de energia cinética, ∆Ec = wext − ∆Ep .

(2.7)

Vimos atr´ as, na Eq. 2.2 da p´ agina 15, que a varia¸caõ de energia potencial se pode exprimir em termos do trabalho do peso, wint , como, ∆Ep = −wint . Substituindo este resultado na Eq. 2.7, obtemos ∆Ec = wext + wint . A varia¸caõ de energia cinética é igual ao trabalho de todas as for¸cas aplicadas ao corpo. Este resultado e´ conhecido como o teorema do trabalho-energia cin´ etica.

CAP´ITULO 2. TRABALHO E ENERGIA

2.5

For¸ cas dissipativas

2.5.1

Figura 2.9: Um corpo que se desloca num fluido fica sujeito a uma for¸ca de sentido oposto ao seu deslocamento.

Resistˆ encia do ar

Temos vindo a admitir que a soma das energias cin´ etica e potencial grav´ıtica de um corpo em queda livre era conservada. Isto é verdade se o sistema corpo + campo grav´ ıtico da Terra n˜ ao interagir com outros sistemas. Na realidade, o corpo move-se na atmosfera e interage com ela. Essa interaçcaõ manifesta-se na for¸ca de resistência do ar. Se esta for¸ca realizar trabalho, existir´ a uma transferência de energia entre o corpo e o ar da atmosfera. Quando um corpo se desloca relativamente a um fluido, como o ar ou a a´gua, este exerce sobre ele uma for¸ca oposta ao deslocamento do corpo. Quem tenha posto a m˜ ao fora de um autom´ ovel em movimento, sabe que essa for¸ca pode ser consider´ avel. Se a for¸ca tem sentido oposto ao do deslocamento, o seu trabalho sobre o corpo é negativo: wr < 0. Voltemos a considerar o caso da queda de um corpo num campo grav´ıtico, incluindo agora o efeito da resistˆ encia do ar. A energia inicial é mgh (corpo em repouso a` altura h). Quando est´ a a` altura z ser´ a, 1 mv 2 + mgz. 2 Mas como houve interaçcaõ com o ar a energia do corpo variou. A energia transferida foi o trabalho da for¸ca de resistência do ar. Ent˜ ao: Energia final = Energia inicial + trabalho de resist^ encia do ar. Isto é:

1 mv 2 + mgz = mgh + wr . (2.8) 2 Como wr < 0 a energia do corpo diminui. Podemos reescrever esta equa¸ca˜o usando o m´ odulo de wr , uma quantidade positiva. Como wr = − |wr |, 1 mv² = mg(h − z) − |wr | . 2

2.5. FORCAS ¸ DISSIPATIVAS

O primeiro termo do segundo membro é o que ter´ıamos se n˜ ao houvesse interaçcaõ com o ar: a velocidade de queda é menor do que seria na ausência da atmosfera. S´ o podemos ignorar o termo de resistência do ar se wr for muito menor que a varia¸caõ de energia potencial. Para um berlinde ou uma bola de ping-pong, numa queda até um metro, essa aproxima¸caõ é razo´ avel. Para uma folha de papel ou uma pena, é muito má.

2.5.2

For¸ cas dissipativas

Poderemos fazer com a for¸ca de resistência do ar o que fizemos com o peso? Consider´ a-la como um for¸ca interna de um sistema que agora inclui o ar e definir mais um termo de energia potencial, Er , de modo que ∆Er = −wr ? (2.9) Se assim fosse, a Eq. 2.8 teria a forma ∆Ec + ∆Ep + ∆Er = 0, j´ a que ∆Ec = mv 2 /2 (velocidade inicial nula) e ∆Ep = mg(z − h). Voltar´ıamos a ter um sistema em que a energia se conserva. N˜ ao é poss´ıvel definir uma tal energia potencial Er . A raz˜ ao é a seguinte. A energia potencial est´ a associada a uma determinada posi¸caõ do corpo. Se o corpo se desloca, mas volta a` mesma posi¸caõ, a sua varia¸caõ de energia potencial é nula. Mas no caso da for¸ca de resistência do ar o trabalho correspondente n˜ ao é nulo. Quando o corpo desce, o trabalho é negativo, pois a for¸ca é oposta ao deslocamento. Quando o corpo volta a subir, o trabalho ainda é negativo pois a for¸ca continua a ser oposta ao deslocamento. A soma de duas grandezas negativas n˜ ao pode dar zero! A igualdade da Eq. 2.9 seria violada pois o primeiro membro seria nulo e o segundo positivo. Em resumo, a interaçcaõ entre o ar da atmosfera e um corpo que nele se desloca n˜ ao pode exprimir-se através de uma energia potencial, como no caso do peso. For¸cas como a resistência do ar dizem-se dissipativas. Significa isto que quando h´ a for¸cas dissipativas a energia n˜ ao se conserva?

CAP´ITULO 2. TRABALHO E ENERGIA

N˜ ao esque¸camos que a resistência do ar é uma interaçcaõ entre dois sistemas. De facto, a energia do corpo no campo grav´ıtico da Terra n˜ ao se conserva; mas apenas porque parte da respectiva energia é transferida para outro sistema. Mais tarde veremos como se manifesta essa energia transferida. Para j´ a, a u ´ nica coisa que sabemos é que n˜ ao tem uma rela¸caõ simples com a posi¸caõ do corpo, como acontece no caso do campo grav´ıtico. Por isso n˜ ao é poss´ıvel definir uma energia potencial associada a esta for¸ca.

2.6 2.6.1

Estudo de um caso: Bungee Jumping O que ´ e um modelo?

Para ilustrar os conceitos anteriores, vamos estudar, do ponto de vista de transferências de energia, um dos desportos radicais mais populares: o salto com el´ asticos ou bungee jumping. Um salto real é um processo bem complicado. A resistência do ar est´ a presente, o saltador n˜ ao se move s´ o na direçcaõ vertical, a orienta¸caõ do seu corpo pode variar. Por isso vamos construir um modelo deste processo: uma representa¸caõ simplificada que esperamos permita compreender os aspectos gerais mais salientes deste tipo de salto. Supomos que a energia do saltador no campo grav´ıtico se pode escrever na forma: 1 Es = mv 2 + mgz (2.10) 2 em que a coordenada z mede a sua altura em rela¸caõ ao solo. Ignoramos as suas varia¸co˜es de posi¸caõ (deitado, de pé, de cabe¸ca para baixo), o seu esbracejar, o facto de também se poder movimentar na horizontal e, ainda, a resistência do ar. Mas h´ a, seguramente, um sistema que n˜ ao podemos ignorar: os el´ asticos! Se os ignor´ assemos, chegar´ıamos a` conclus˜ ao que o saltador se estatelaria no ch˜ ao sem apelo nem agravo: um resultado muito diferente do observado em (quase) todos os saltos. Na parte inicial da queda os el´ asticos nada fazem. Depois de o saltador cair uma distˆ ancia igual ao comprimento de repouso (sem tens˜ ao) dos el´ asticos, estes come¸cam a distender-se. A sua energia aumenta. Podemos inclu´ı-los no nosso sistema definindo uma energia potencial dos el´ asticos Eel (z): E = Es + Eel (z).

(2.11)

2.6. ESTUDO DE UM CASO: BUNGEE JUMPING

Em resumo: o nosso modelo consiste em supor que: • o saltador se move na vertical apenas; • a sua energia ´e dada pelas Eqs. 2.11 e 2.10; • a energia se conserva. Precisamos, no entanto, de saber como exprimir Eel (z).

2.6.2

For¸ ca el´ astica

# Actividade 2.5

Ao esticarmos um el´ astico temos que exercer for¸cas nas suas pontas. As for¸cas têm o sentido em que as respectivas pontas se deslocam. Logo realizamos um trabalho positivo sobre o el´ astico—a sua energia aumenta. Ao deixarmos o el´ astico contrair-se de novo, lentamente, a for¸ca que exercemos tem sentido oposto ao deslocamento. O trabalho que realizamos é negativo: o el´ astico transfere energia para n´ os e a sua energia diminui. Se chamarmos x ao aumento de comprimento do el´ astico, relativamente ao seu comprimento sem for¸cas aplicadas, teremos uma energia Eel (x), que aumenta com o valor de x. Podemos considerar que Eel (0) = 0. Como o princ´ıpio de conserva¸caõ de energia envolve apenas varia¸co ˜es de energia o valor que tomamos para Eel (0) pode ser qualquer um. Quando esticamos lentamente o el´ astico, a for¸ca que temos que exercer é tanto maior quanto maior for a deforma¸caõ do el´ astico. Desde que n˜ ao seja esticado para além de um certo limite, o el´ astico comporta-se como uma mola. A for¸ca necess´ aria para o manter distendido de um comprimento x é proporcional a x, Fext = kx. A for¸ca que o pr´ oprio el´ astico exerce sobre o corpo que o distende é oposta: F = −kx. Na Actividade 2.5, discutimos como calcular o trabalho de for¸ cas cujo valor varia durante o deslocamento. No caso presente, o gr´ afico da componente da for¸ca externa na direçcaõ do deslocamento tem a forma da Fig. 2.10. O trabalho realizado pela for¸ca externa é a área do triˆ angulo sombreado: Eel (x) = w =

1 1 kx × x = kx2 . 2 2

"ext $%

Figura 2.10: For¸ca el´astica.

CAP´ITULO 2. TRABALHO E ENERGIA

Agora que sabemos calcular a energia de deforma¸ca˜o el´ astica, voltemos a` an´ alise do salto bungee.

2.6.3

Energia num salto de bungee.

) *

&'!* 1 &''('&!) 1

Figura 2.11: Um salto bungee. O saltador est´ a inicialmente a uma altura h do solo; o comprimento em repouso dos el´ asticos é l. Quando a ao distendidos. distˆ ancia z ao solo é inferior a h1 = h − l , os elásticos est˜

Comecemos por designar alguns parˆ ametros. A Fig. 2.11 ajuda a compreender as respectivas defini¸co˜es: • altura inicial relativamente ao solo, h; • comprimento sem tens˜ ao dos el´ asticos, l; • altura acima do solo, em que os el´ asticos come¸cam a ser esticados, h1 = h − l; • altura do saltador acima do solo durante o salto, z; • peso do saltador, mg; • constante de for¸ca dos el´ asticos, k. Seguindo os passos da Caixa 2.2 da p´ agina 25, chegamos a` conclus˜ ao que, quando o saltador est´ a a uma distˆ ancia do solo menor que h1 , a respectiva energia ´e: 1 1 E = mv 2 + mgz + k (h1 − z)2 2 2

z < h1

Estamos agora em posi¸ca˜o de responder a uma pergunta de interesse capital para o saltador:

2.6. ESTUDO DE UM CASO: BUNGEE JUMPING

Energia num salto com el´ asticos. Como podemos calcular a energia para um salto bungee como o da Fig. 2.11? Tentemos construir a respectiva express˜ ao passo a passo. Quest˜ ao 1: qual é energia potencial inicial ? Resposta: é apenas a energia potencial grav´ıtica do saltador. A sua energia cinética é zero e os el´ asticos n˜ ao est˜ ao distendidos. E0 = mgh Quest˜ ao 2: quando a altura do saltador relativamente ao solo e´ superior a h1 , qual é a energia do sistema? Resposta: se os el´ asticos n˜ ao se distenderam, a sua energia el´ astica é nula. Se n˜ ao considerarmos a sua varia¸cão de energia potencial grav´ıtica (supomos que a respectiva massa é pequena comparada com a do saltador), a energia total ser´ a apenas a soma das energias cinética e potencial grav´ıtica do saltador. E=

1 mv 2 + mgz 2

se z > h1

Quest˜ ao 3: qual é a energia do sistema quando o saltador se encontra abaixo de h1 ? Resposta: Agora os el´ asticos est˜ ao distendidos de uma distˆ ancia que é h1 − z (ver Fig. 2.11c). A respectiva energia é Eel =

1 2 k (h1 − z) . 2

A energia total ´e E=

1 1 2 mv 2 + mgz + k (h1 − z) 2 2

z < h1

Caixa 2.2: C´ alculo da energia num salto com el´ asticos.

CAP´ITULO 2. TRABALHO E ENERGIA

O saltador p´ ara antes de atingir o solo, ou estatela-se? Se a energia se conservar devemos ter: E = E0 ou,

1 1 mv 2 + mgz + k (h1 − z)2 = mgh. 2 2

Podemos daqui calcular a velocidade do saltador quando atinge o solo, em z = 0. Substituindo z = 0: 1 1 mv 2 + kh21 = mgh 2 2 ou,

1 1 mv 2 = mgh − kh21 . 2 2

(2.12)

Esta equa¸ca˜o s´ o ter´ a uma solu¸ca˜o se o segundo membro for positivo, pois m > 0 e v 2 > 0. Nesse caso o saltador chega ao ch˜ ao com uma velocidade: v=

2gh −

k 2 h . m 1

Este n˜ ao ´e o resultado desejado! Para que o saltador n˜ ao chegue ao ch˜ ao e p´ are antes que isso aconte¸ca, devemos ter 1 mgh − kh21 < 0 2 ou seja,

1 2 kh > mgh. 2 1

Antes de saltar é melhor verificar se isto é verdade! Neste caso a Eq. 2.12 n˜ ao tem solu¸caõ: isto significa que z = 0 n˜ ao é uma altura poss´ıvel, pois implicaria uma energia cin´ etica negativa. O saltador p´ ara e volta a subir antes de chegar ao solo. Esta condi¸caõ é muito interessante e muito simples de interpretar. O primeiro membro é a energia el´ astica quando o saltador chega ao solo (z = 0): os el´ asticos est˜ ao distendidos de h1 . O segundo membro é a energia inicial. Se kh21 /2 > mgh, n˜ ao h´ a energia suficiente no sistema para esticar os el´ asticos até ao ch˜ ao. Quase pod´ıamos ter adivinhado este resultado!

´ NULO. 2.7. QUANDO O TRABALHO E

2.7 2.7.1

Quando o trabalho ´ e nulo. For¸ ca sem deslocamento

Se pegarmos num garraf˜ ao de a´gua de 5 litros e o levantarmos a` altura do peito, ao fim de poucos minutos os m´ usculos come¸cam a tremer, as for¸cas faltam e temos de o pousar. De acordo com a nossa defini¸caõ de trabalho, enquanto seguramos o garraf˜ ao numa posi¸caõ fixa, n˜ ao realizamos trabalho: n˜ ao transferimos energia. Por que é que ficamos cansados, ent˜ ao? Segurar um peso n˜ ao é trabalho? Comecemos por notar que uma mesa ou uma corda amarrada a um gancho no tecto seguram um peso durante o tempo que for necess´ ario. N˜ ao parece haver realmente qualquer “consumo” de energia. Na ind´ ustria de constru¸caõ civil é habitual deixar cargas suspensas nas gruas durante as interrup¸co˜es de trabalho. Se isso consumisse energia, as empresas pensariam duas vezes antes de adoptar esse procedimento. Mesmo no caso em que somos n´ os a segurar um peso, h´ a um aspecto que é claro: n˜ ao transferimos energia para o peso se n˜ ao o deslocarmos. A energia do corpo que seguramos n˜ ao aumenta com o tempo em que o estamos a segurar. A energia que podemos obter, deixando-o cair, por exemplo, n˜ ao aumenta por ele ter estado elevado mais tempo. A conceito f´ısico de trabalho pretende medir a transferência de energia para o corpo sobre o qual actua a for¸ca. Se n˜ ao houver deslocamento essa transferˆ encia é nula. No entanto, cansamo-nos. O esfor¸co muscular, mesmo sem deslocamento, consome, efectivamente, reservas energ´ eticas do corpo. Porquê? A raz˜ ao tem a ver com a maneira como os m´ usculos funcionam. As células musculares, chamadas fibras, têm a forma de cilindros alongados e podem contrair-se exercendo for¸cas nas extremidades. Mas s˜ ao um complexo sistema bioqu´ımico, cujo funcionamento é muito diferente de uma mola ou de um el´ astico. A contra¸caõ requer movimento de filamentos de prote´ına no interior da célula e isso requer energia. A contraçcaõ é apenas tempor´ aria e a fibra rapidamente perde a tens˜ ao. Para manter um m´ usculo contra´ıdo, mesmo sem deslocamento, como quando seguramos um peso, e´ necess´ ario contrair regularmente novas fibras para substituir as ´ este processo que consome a energia do corpo. que se distendem. E Mas essa energia n˜ ao é transferida para a carga que o m´ usculo

10 kg

Figura 2.12: Quando seguramos um peso, sem o mover, n˜ ao fazemos trabalho?

CAP´ITULO 2. TRABALHO E ENERGIA

sustenta: acaba distribu´ıda no nosso corpo e pode manifestarse por um aumento de temperatura local. Por isso é correcto dizer que o trabalho realizado sobre a carga é nulo. No artigo Funcionamento dos m´ usculos [1], dispon´ıvel no portal do projecto Faraday, est´ a uma explica¸caõ mais detalhada deste processo.

2.7.2

For¸ cas perpendiculares ao deslocamento

Até ao momento s´ o consider´ amos o c´ alculo de trabalho em situa¸co˜es em que a for¸ca tem a direçcaõ do deslocamento. Mas nem sempre isso acontece. Nos dois exemplos seguintes, as for¸cas s˜ ao perpendiculares aos deslocamentos. Como veremos, nesse caso o trabalho é nulo. Movimentos de planetas ou sat´ elites. C

B ! !

A Terra

Sol

Figura 2.13: Os trabalhos realizados entre A e B e entre B e C s˜ao iguais. Ser˜ ao diferentes de zero?

Sabemos que os planetas se movem em torno do Sol sob a açcaõ da for¸ca grav´ıtica. As o´rbitas dos planetas s˜ ao quase circulares, com centro no centro do Sol. No 9º ano aprendemos que a for¸ca grav´ıtica que o Sol exerce nos planetas tem a direçcaõ do raio da orbita, com sentido dirigido para o centro do Sol. O deslocamento ´ do planeta é, em cada instante, perpendicular a` for¸ca. Ser´ a que esta for¸ca realiza trabalho? Reparemos no esquema da Fig 2.13. Suponhamos que entre os dois pontos A e B a for¸ca grav´ıtica do Sol realizava um trabalho w sobre o planeta. Evidentemente, o trabalho entre B e C seria

´ NULO. 2.7. QUANDO O TRABALHO E

o mesmo, uma vez que o aˆngulo percorrido é o mesmo, o valor da for¸ca é o mesmo, o aˆngulo com o deslocamento tamb´ em, etc. O trabalho numa rota¸caõ completa seria W =w×

360 θ

pois 360/θ é o n´ umero de aˆngulos iguais a AB (θ) em que podemos dividir o arco completo (360º). Mas, para uma revolu¸caõ completa, o trabalho realizado tem que ser nulo; o planeta ocupa a mesma posi¸caõ com a mesma velocidade. Logo W = 0 e w = 0. Como os pontos A e B s˜ ao quaisquer, temos que concluir que o trabalho de uma for¸ca perpendicular ao deslocamento é nulo.

Movimento horizontal de um corpo sobre uma superf´ıcie. Quando um carrinho se desloca sobre o tampo horizontal de uma mesa o seu peso é cancelado pela reaçcaõ normal da mesa. Se n˜ ao houver atrito, estas s˜ ao as u ´ nicas for¸cas sobre o carrinho. Ser´ a que realizam trabalho? A pergunta parece pouco interessante. Mesmo que a resposta fosse sim, os trabalhos do peso e da reaçcaõ da mesa devem cancelar-se, pois as for¸cas têm sentidos opostos e o mesmo valor. Por isso a energia do carrinho n˜ ao deve variar. Com efeito, se n˜ ao houver atrito, ele mantém sempre a mesma velocidade. No entanto, ao contr´ ario do que parece a` primeira vista, supor que os trabalhos do peso, wp , e da reaçcaõ normal, wn , s˜ ao diferentes de zero, mesmo que a sua soma seja zero, wp + wn = 0, tem consequências. O peso é uma for¸ca exercida pela Terra; a reaçcaõ normal é exercida pela mesa. Se, por exemplo, wp > 0, h´ a transferência de energia entre a Terra e o carrinho. Sendo wn = −wp , teremos wn < 0: isto implica uma transferência de energia entre o carrinho e a mesa. Ou seja, haveria energia a passar da Terra para o carrinho e deste para a mesa. Mas n˜ ao h´ a qualquer evidência dessa passagem; n˜ ao h´ a altera¸caõ do estado da mesa que indique que est´ a a receber energia quando um carrinho desliza sobre ela sem atrito. Estes dois exemplos permitem-nos concluir com confian¸ca:

Figura 2.14: O trabalho da reac¸c˜ao normal da mesa e do peso ser˜ ao diferentes de zero?

CAP´ITULO 2. TRABALHO E ENERGIA

Quando uma for¸ ca ´ e perpendicular ao deslocamento o trabalho realizado pela for¸ca ´e nulo.

2.8

For¸ cas e deslocamentos n˜ ao colineares

Discutimos os casos de for¸cas colineares e ortogonais a deslocamentos. Para completar, podemos agora considerar o caso geral em que a for¸ca e o deslocamento definem um aˆngulo qualquer. Este t´ opico ser´ a estudado de novo, com mais pormenor, no 11º ano.

2.8.1

Trabalho e energia num “escorrega”

Os parques aqu´ aticos têm como principal motivo de atraçcaõ os “escorregas”. Um fio de a´gua reduz o atrito entre a superf´ıcie do “escorrega” e os seus utilizadores, que podem assim atingir velocidades suficientemente elevadas para fazer correr a adrenalina. Mas qual é realmente a velocidade que se pode atingir ao descer um escorrega? Tomemos o comprimento do escorrega como sendo d e o desn´ıvel entre o in´ıcio e o fim como sendo h (ver Fig. 2.15). Valores t´ıpicos s˜ ao h = 8 m e d = 20 m. Comecemos por considerar este problema do ponto de vista de conserva¸caõ de energia. +

! cos!

! &

! ,

Figura 2.15: Num escorrega as for¸cas sobre o utilizador s˜ ao a reaçcão normal da superf´ıcie e o peso do cliente. Os escorregas são desenhados para reduzir o atrito, a componente da for¸ca da superf´ıcie paralela a esta.

˜ COLINEARES 31 2.8. FORCAS ¸ E DESLOCAMENTOS NAO Sendo a velocidade inicial nula, a energia inicial e´ potencial grav´ıtica. Tomando a altura final como n´ıvel de referência (zf = 0), a energia inicial é E = mgh em que m é a massa do utilizador do “escorrega”. No fim da descida a energia é 1 1 E = mv 2 + mgzf = mv 2 . 2 2 Se a energia se conserva, teremos 1 mv 2 = mgh 2 ou v 2 = 2gh. Para h = 10 m obtemos v = 14, 1 m s−1 = 51 km h−1 . Trabalho na descida de um escorrega O c´ alculo anterior, que como veremos est´ a efectivamente correcto, pode, no entanto, levantar algumas interroga¸ co˜es: • Neste movimento h´ a deslocamento horizontal, n˜ ao apenas vertical. A express˜ ao da energia potencial grav´ıtica, Ep = mgz, continua a ser v´ alida quando as coordenadas x e/ou y variam também, além de z? • A for¸ca exercida pela superf´ıcie do escorrega n˜ ao realiza trabalho? Se a resposta for sim, a energia total da pessoa que desce, potencial grav´ıtica mais cinética, varia. Comecemos por responder a` segunda pergunta. Uma for¸ca, tal como um deslocamento rectil´ıneo, é caracterizada n˜ ao apenas por um m´ odulo (intensidade), mas tamb´ em por uma direçcaõ e um sentido: é uma grandeza vectorial. Isto significa, entre outras coisas, que podemos decompor uma for¸ca segundo duas direçco˜es arbitr´ arias, desde que n˜ ao sejam colineares. Por ! exemplo, a for¸ca F da Fig. 2.16 pode ser decomposta nas for¸cas F!" e F!⊥ , usando o método habitual de projeçcaõ de vectores: o ! é o mesmo que teriam, em conjunto, as for¸cas F!" efeito da for¸ca F e F!⊥ . Quando um corpo desliza sobre uma superf´ıcie esta exerce sobre o corpo uma for¸ca com duas componentes:

" !

" "||

Figura 2.16: Decomposi¸cão de uma for¸ca segundo direçcões perpendiculares.

CAP´ITULO 2. TRABALHO E ENERGIA

i) uma perpendicular a` superf´ıcie, que impede o corpo de se movimentar para dentro da superf´ıcie, chamada reaçcaõ normal. O seu sentido (a n˜ ao ser que a superf´ıcie tenha cola) é para o exterior. ii) uma paralela a` superf´ıcie, com sentido oposto ao deslocamento, a for¸ca de atrito. + "a #

Figura 2.17: A for¸ca de contacto que a superf´ıcie exerce sobre o corpo tem uma componente normal, ! , e uma componente N paralela a` superf´ıcie de contacto, F!a , a for¸ca de atrito.

Os escorregas s˜ ao desenhados para reduzir o mais poss´ıvel esta segunda componente. No caso ideal s´ o existe a reaçcaõ normal e, como vimos atr´ as, uma for¸ca perpendicular ao deslocamento n˜ ao realiza trabalho. Sendo assim, s´ o o peso do utilizador do escorrega realiza trabalho. Se decompusermos o peso segundo a direçcaõ do deslocamento, P!" , e segundo a direçcaõ perpendicular, P!⊥ , s´ o a primeira realiza ! trabalho. Como P" é colinear com o deslocamento j´ a sabemos calcular o respectivo trabalho. Se for θ o aˆngulo entre a vertical e o plano do escorrega (ver − → Fig. 2.15), o m´ odulo de P" é P cos θ = mg cos θ. O trabalho realizado pelo peso é wp = P" × d = mg cos θ × d. Como cos θ = h/d obtemos wp = mgh. A varia¸caõ de energia cinética é o trabalho do peso, j´ a que a reaçcaõ normal da superf´ıcie n˜ ao realiza trabalho, 1 mv 2 = mgh. 2 Este é exactamente o resultado que t´ınhamos obtido por conserva¸caõ de energia. A express˜ ao da energia potencial grav´ıtica Ep = mgz continua a ser v´ alida no caso geral em que o deslocamento n˜ ao é na vertical. O trabalho da componente do peso paralela ao deslocamento e´ mgd cos θ, em que θ é o ângulo entre o deslocamento e a direçcaõ vertical, sentido descendente. Ora, d cos θ = −∆z, o simétrico da varia¸caõ da altura, o que d´ a wp = mg∆z. Se recordarmos que wp = −∆Ep , vemos que de facto ∆Ep = mg∆z.

˜ COLINEARES 33 2.8. FORCAS ¸ E DESLOCAMENTOS NAO

! "(a)

" ! !"##!

(b)

Figura 2.18: No caso (a) o trabalho da for¸ca é positivo (o carrinho recebe energia), no caso (b) negativo (cede energia). Em qualquer dos casos é dado por F ∆r cos θ em que F e ∆r são os m´ odulos da for¸ca e do deslocamento, respectivamente.

2.8.2

Trabalho de for¸ cas n˜ ao colineares com deslocamento

Este exemplo mostrou-nos como podemos calcular o trabalho quando as for¸cas e os deslocamentos n˜ ao s˜ ao colineares. Temos apenas de calcular o trabalho da componente da for¸ca na direçcaõ do deslocamento. No caso da Fig. 2.18-a o m´ odulo da projeçcaõ da for¸ca na direçcaõ do deslocamento, F" , é F" = F cos θ em que F é o módulo da for¸ca. O trabalho da for¸ca é (F cos θ)∆r = F ∆r cos θ em que ∆r é o módulo do deslocamento. No segundo caso, o m´ odulo da projeçcaõ da for¸ca na direçcaõ do deslocamento é F" = F cos(180 − θ) = −F cos θ (cos θ é negativo, pois θ > 90º). O trabalho é w = −F cos(180 − θ)∆r = F ∆r cos θ.

CAP´ITULO 2. TRABALHO E ENERGIA

Em resumo, sendo θ o aˆngulo entre uma for¸ca constante de m´ odulo F e o deslocamento de m´ odulo ∆r, o trabalho da for¸ca é w = F ∆r cos θ. Aten¸caõ: esta defini¸caõ s´ o est´ a correcta se θ for o aˆngulo entre os sentidos da for¸ca e do deslocamento (ver Fig. 2.18). Se alguma vez isto parecer confuso, basta recordar: se a for¸ca contribuir para aumentar a velocidade na direçcaõ do deslocamento, o trabalho e´ positivo e a energia aumenta. Se a for¸ca retardar o movimento, o trabalho é negativo e a energia diminui.

2.9 2.9.1

Actividades, quest˜ oes e problemas Actividades

2.1. Lan¸ camento de bola Atirar uma bola (ténis) e apanh´ a-la outra vez, suavemente. (a) Quais s˜ ao os sistemas em interaçcaõ? (b) Quando é que a bola recebe energia da m˜ ao e quando é que cede? (c) Representar num gr´ afico (esquem´ atico) a velocidade e a energia da bola durante a interaçcaõ. (d) Em alguns momentos da interaçcaõ, representar em esquema as for¸cas da m˜ ao sobre a bola. (e) Identificar o sentido da transferˆ encia de energia entre a m˜ ao e a bola no lan¸camento e na recep¸caõ. Relacionar o sentido de transferência de energia com os sentidos relativos de for¸ca e deslocamento no lan¸camento e na recep¸caõ da bola. 2.2. Compress˜ ao/distens˜ ao de uma mola Pegar numa mola com as m˜ aos, distendê-la e comprimi-la. (a) A energia da mola aumentou ou diminuiu? (b) Qual o sistema que transferiu energia para a mola? (c) Qual a direçcaõ e o sentido da for¸ca sobre a mola? (d) Qual a direçcaõ e o sentido do deslocamento do ponto onde foi aplicada a for¸ca?

˜ 2.9. ACTIVIDADES, QUESTOES E PROBLEMAS

(e) Relacionar as respostas a`s al´ıneas anteriores com o conceito de trabalho como transferˆ encia de energia. 2.3. M´ aquinas simples Explora¸caõ do funcionamento de m´ aquinas simples do ponto de vista de conserva¸caõ de energia. Ver Ficha de actividade A4. 2.4. Conserva¸ c˜ ao de energia em queda livre. Medi¸caõ da velocidade em fun¸caõ da altura de queda de um corpo. Ver Ficha de Actividade A5. 2.5. Trabalho de for¸ cas vari´ aveis Como se calcula o trabalho de uma for¸ca se esta variar durante o deslocamento? Ver Ficha de Actividade A6.

2.9.2

Problemas

Nos problemas seguintes, a n˜ ao ser que explicitamente indicado, tome o valor da acelera¸caõ da gravidade g = 10 m s−2 . 2.1. Joule-lunar Um joule-lunar, unidade inventada pelo Dr. E. X. Cêntrico, é a energia necess´ aria para elevar um peso de um newton, de uma distˆ ancia de um metro na superf´ıcie da Lua (peso medido na Lua, onde g ≈ 1, 7 m s−2 ). (a) Quantos joule vale um joule-lunar? (b) Se o Dr. E. X. Cêntrico tivesse definido o joule-lunar como a energia necess´ aria para elevar 100 g de um metro na superf´ıcie da Lua, quantos joule valeria? 2.2. Trabalho na Lua Elevar um dado corpo na Terra necessita de um trabalho de 10 kJ. Que trabalho é necess´ ario para o elevar da mesma distˆ ancia na Lua? (glua ≈ 1, 7 m s−2 ). 2.3. Estimativas de energias cin´ eticas. Estimar energias cinéticas de transla¸caõ de diversos corpos. Para fazer algumas destas estimativas pode ser necess´ ario pesquisar alguns valores de massas e velocidades. O objectivo n˜ ao é ter um valor exacto mas uma ordem de grandeza. (a) uma bola de um desporto (ténis, futebol, v´ olei, etc);

CAP´ITULO 2. TRABALHO E ENERGIA (b) uma bala de pistola; (c) um atleta em corrida de 100 m; (d) um ciclista e um autom´ ovel ligeiro, ambos a 40 km h−1 ; (e) um meteoro de 1 kg com a velocidade de escape 11 km s−1 (a velocidade a que atingiria a superf´ıcie da Terra se ca´ısse de uma distˆ ancia infinita no campo grav´ıtico da Terra); (f) a Terra no seu movimento orbital; (g) um prot˜ ao a 1/10 da velocidade da luz;

2.4. Empurrar um carro ´ muito mais dif´ıcil pˆ E or um autom´ ovel em movimento, partindo do repouso, do que mantê-lo em movimento, com uma velocidade constante. (a) Qual é o trabalho necess´ ario para pˆ or o autom´ ovel em movimento (v ≈ 1, 5 m s−1 , m = 1000 kg), partindo do repouso, se ignorarmos os atritos? (b) Qual é o trabalho necess´ ario para manter o autom´ ovel em movimento, se ignorarmos os atritos? 2.5. Saltos plataforma de 10 m Calcular a velocidade com que um saltador de plataforma de 10 m entra na a´gua. Supor que cai na vertical, sem velocidade inicial, e que tem uma massa de 70 kg. E se for uma crian¸ca de massa 45 kg? 2.6. Queda de bola de ping-pong Numa medi¸caõ cuidadosa, verifica-se que a velocidade de uma bola de ping-pong (m = 2 g), ao fim de uma queda de 2 m de altura, é de 5, 66 m s−1 (g = 9, 8 m s−1 ). (a) Qual seria a velocidade se houvesse conserva¸caõ de energia, potencial grav´ıtica mais cinética? (b) Qual foi o trabalho das for¸cas de resistência do ar durante a queda? 2.7. Velocidade de proj´ ecteis Um rev´ olver, como os usados pela pol´ıcia norte-americana, dispara projécteis de massa m = 7, 4 g com uma velocidade de sa´ıda da arma de 303 m s−1 . (a) Qual é a energia cinética de uma bala a` sa´ıda da arma?

˜ 2.9. ACTIVIDADES, QUESTOES E PROBLEMAS

(b) Se a bala for disparada na vertical e pudermos desprezar a resistência do ar, que altitude atingiria? Ao cair, seria mais ou menos perigosa que ao sair da arma? (c) Na pr´ atica, o efeito da resistência do ar, é muito importante para projécteis a altas velocidades: a bala s´ o sobe cerca de 500 m. Qual foi o trabalho das for¸cas de resistência do ar na subida? Obter uma estimativa, por excesso, da velocidade da bala ao atingir de novo o solo. 2.8. Distˆ ancia de paragem A distˆ ancia de travagem de um ve´ıculo é aproximadamente proporcional a` respectiva energia cinética. Se um autom´ ovel −1 a 30 km h consegue parar em 10 m, qual é a distˆ ancia de paragem se a sua velocidade for o dobro, 60 km h−1 ? 2.9. Potˆ encia de uma atleta Ao correr, uma atleta consome parte das suas reservas energéticas. A energia por unidade de tempo que o seu corpo disponibiliza para a tarefa de corrida e´ a potência da atleta. Seja essa potência P em esfor¸co m´ aximo, para uma atleta de 55 kg. (a) Se correr em esfor¸co m´ aximo 400 m em trajecto plano, ou os mesmos 400 m com uma subida de 20 m em qual dos casos dispender´ a a atleta mais energia? (b) Que energia adicional tem que fornecer para elevar a sua altura de 20 m relativamente a` posi¸caõ inicial ? (c) Se a potência em esfor¸co m´ aximo é a mesma nas duas corridas, como pode a energia dispendida aumentar? (d) A atleta demora mais 9 s na segunda corrida do que na primeira. Qual é sua potência de esfor¸co m´ aximo? 2.10. Energia Hidroel´ ectrica Numa barragem hidroeléctrica é armazenada a´gua a uma certa altitude. Para produzir energia a a´gua cai para uma cota mais baixa e acciona as turbinas. A energia de rota¸caõ das turbinas origina corrente el´ ectrica. Temos um exemplo claro de energia potencial grav´ıtica como “fonte” de energia. (a) Se o desn´ıvel entre a cota inicial e final for de 50 m, qual é a máxima energia que é poss´ıvel produzir por m3 de agua descarregada? ´

CAPÍTULO 2. TRABALHO E ENERGIA (b) Para um caudal de descarga de 200 m3 s−1 qual é a energia m´ axima produzida por segundo? Qual a potência em MW? (c) Por que é que se usou a designa¸caõ m´ axima nas al´ıneas a) e b)? (d) No cap´ıtulo 1, refere-se que s˜ ao necess´ arios em média 3 15 m de a´gua por quilowatt-hora (kWh) de energia produzida. A que altura de queda efectiva corresponde este valor?

2.11. O salto bungee (1) Num salto bungee podemos distinguir as seguintes fases abaixo enumeradas. Para cada uma delas discutir as varia¸co˜es de todos os termos que constituem a energia total do sistema: se aumentam, se diminuem, ou se se mantêm constantes. Fase 1: desde o in´ıcio até os el´ asticos come¸carem a esticar. Fase 2: desde que os el´ asticos come¸cam a esticar até terminar a queda. Fase 3: durante o per´ıodo em que os el´ asticos se contraem de novo até ao seu comprimento sem tens˜ ao. Fase 4: em que o saltador est´ a de novo apenas sujeito a` for¸ca grav´ıtica. 2.12. O salto bungee (2) Quando o saltador chega a` posi¸caõ em que os el´ asticos come¸cam a esticar (altura h1 , ver Fig. 2.11), a sua velocidade come¸ca a dominuir, continua a aumentar ou passa a ser constante? Justificar. 2.13. O salto bungee (3) Um el´ astico bungee com uma constante el´ astica k = 100 N m−1 tem um comprimento, sem tens˜ ao, de 10 m. O el´ astico est´ a suspenso a 30 m de altura.

Figura 2.19: O arqueiro puxa a seta de uma distˆ ancia x.

(a) O salto é seguro para uma crian¸ca com uma massa de 40 kg? (b) E para um adulto com massa de 80 kg? 2.14. O arco e flecha A rela¸caõ entre o m´ odulo da for¸ca que um arqueiro exerce, F , e a distˆ ancia, x, que deslocou para tr´ as a corda do arco é quase linear, F = kx. Dados de um arco concreto s˜ ao

˜ 2.9. ACTIVIDADES, QUESTOES E PROBLEMAS

F = 171 N para um deslocamento de 43 cm. A massa de uma flecha é de 20, 1 g [2]. (a) Qual é o trabalho realizado pelo arqueiro para tensionar o arco? (b) Se a flecha partir com toda a energia el´ astica armazenada no arco, com que velocidade partir´ a? (c) Na realidade a eficiência de uma arco moderno de competi¸caõ anda a` volta de 70%. Isto é, s´ o cerca de 70% da energia fornecida no acto de tensionar o arco acaba como energia cinética da flecha. Qual é a velocidade de sa´ıda da flecha? 2.15. Saltos de esqui Os esquiadores podem sair de uma rampa de salto de esqui a uma velocidade de cerca de 90 km h−1 . O aˆngulo da rampa com a horizontal é cerca de 30º. Com estes dados e supondo que a for¸ca de atrito da rampa é desprez´ avel calcular: (a) O desn´ıvel entre a posi¸caõ de partida e a posi¸caõ onde é iniciado o salto, h. (b) O comprimento da rampa de sa´ıda; (c) Que dado é necess´ ario para poder calcular o trabalho do peso do esquiador durante a descida da rampa para o salto? 2.16. Um avi˜ ao, voando 300 m de altitude, a uma velocidade de 400 km h−1 , larga uma bomba de 200 kg. (a) Qual é a energia cinética da bomba ao ser largada? (b) Qual é a energia cinética da bomba ao atingir o solo, se ignorarmos a resistência do ar? 2.17. Saltos de mota Um motociclista executa um salto, subindo um rampa que faz um aˆngulo de 15º com a horizontal. A sua velocidade a` sa´ıda da rampa é de 90 km h−1 . No seu voo, sobe até 2 m acima do topo da rampa (medidos na vertical). Que velocidade tem o motociclista ao passar a essa altura m´ axima? 2.18. Mentira desmascarada por um f´ısico. Um condutor causou um acidente ao entrar num cruzamento a 60 km h−1 . Disse em tribunal que estava parado no seu

Figura 2.20: Salto de esqui.

CAP´ITULO 2. TRABALHO E ENERGIA

carro a 50 m do cruzamento e que ficou sem trav˜ oes; como a rua descia, o carro embalou e ele nada pˆ ode fazer. Um investigador da companhia de seguros foi ao local, fez uma medi¸caõ e provou que o condutor estava a mentir. (a) Que medi¸caõ fez o perito? (b) Que inclina¸caõ2 teria que ter a estrada para que o perito n˜ ao pudesse tirar a conclus˜ ao que tirou?

2.9.3

Desafios

2.1. Consumo autom´ ovel A for¸ca de resistˆencia do ar ao movimento de um autom´ ovel pode calcular-se pela seguinte express˜ ao F = cρAv2 em que: • c ´e o coeficiente aerodinˆ amico, sem dimens˜ oes, e vale entre 0.3 ∼ 0, 4.

• ρ ´e a massa vol´ umica do ar;

• A é a área da seçcaõ recta do autom´ ovel; • v é a velocidade do autom´ ovel. (a) Para um autom´ ovel que se desloca a 90 km h−1 qual é a energia transferida devido a` resistência do ar em 1 h de viagem (c = 0, 35)? (estimar a a´rea da seçcaõ recta). (b) Se o consumo de gasolina for essencialmente devido a esta transferência, e o autom´ ovel gastar 7 litros de combust´ıvel aos 100 (km), em terreno horizontal, qual ser´ ao consumo se o autom´ ovel fizer um trajecto de uma hora, a mesma velocidade de 90 km h−1 , mas com uma subida ` de 1000 m ? (c) Na realidade, se o motor funcionar, o autom´ ovel consome gasolina mesmo parado. Calcular o consumo na subida, conhecendo: ovel parado, mas com i. o consumo C1 com o autom´ o motor a funcionar em regime semelhante ao que é necess´ ario para obter 90 km h−1 ; 2 Em Portugal, a inclina¸ca õ, i, de uma estrada é dada em percentagem do seguinte modo: i = 100 × (h/d) em que h é varia¸ca õ de altitude para um tro¸co de estrada de comprimento d.

˜ 2.9. ACTIVIDADES, QUESTOES E PROBLEMAS

ii. o consumo C2 em terreno horizontal a 90 km h−1 . 2.2. Tempos de subida e descida Se um corpo é lan¸cado na vertical verifica-se que o tempo que demora até atingir a altura m´ axima é igual ao tempo que demora a descer a` altura de lan¸camento, se n˜ ao houver resistência do ar. (a) Porquê? Que rela¸caõ tem esse facto com a conserva¸caõ de energia? (b) E se houver resistência do ar, os dois tempos continuam a ser iguais? Se n˜ ao, qual é o maior: o de subida ou de descida? Sugest˜ ao: pensar na velocidade com que o corpo passa a uma dada altura na subida e na descida.

CAP´ITULO 2. TRABALHO E ENERGIA

Bibliografia [1] Manuel Joaquim Marques. Funcionamento dos m´ usculos. Projecto FARADAY, Departamento de F´ısica, Faculdade de Ciˆencias, Universidade do Porto, 2003. [2] C. Tuijn and B. W. Kooi. The measurement of arrow velocities in the student’s laboratory. Eur. J. Phys., 13:127, 1992.