Projecto Faraday Textos de Apoio
Circuitos El´ ectricos 12º Ano de Escolaridade
Porto, Outubro de 2009
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Ficha T´ ecnica Projecto de interven¸c˜ao no ensino da F´ısica no secund´ario. Financiamento Funda¸c˜ ao Calouste Gulbenkian. Execu¸ c˜ ao Departamento de F´ısica, Faculdade de Ciˆencias da Universidade do Porto. Escolas Participantes ES Filipa de Vilhena ES Fontes Pereira de Melo ES Garcia de Orta ES da Maia ES de Santa Maria da Feira
Coordena¸ c˜ ao J. M. B. Lopes dos Santos Manuel Joaquim Marques
Portal URL: http://www.fc.up.pt/faraday
Texto do 12º Ano Redactor Principal J. M. B. Lopes dos Santos
3 Colabora¸ c˜ ao e revis˜ ao Elisa Arieiro Carlos M. Carvalho Manuel Joaquim Marques Maria de F´ atima Mota
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Cap´ıtulo 11
Circuitos el´ ectricos 11.1
Caracter´ısticas I-V . ⊲ Actividade 11.1
Os circuitos que consider´amos at´e agora continham lˆampadas, fios de liga¸c˜ ao, amper´ımetros, volt´ımetros e pilhas. Do ponto de vista de comportamento de circuitos, a mais importante caracter´ıstica de qualquer elemento ´e a rela¸c˜ao entre a corrente que passa entre os seus terminais e a diferen¸ca de potencial nos mesmos: a caracter´ıstica I − V . Em particular, esta caracter´ıstica determina, como vimos, as trocas de energia que ocorrem entre os elementos de um circuito. Num regime estacion´ ario de correntes, a energia cin´etica m´edia das cargas m´ oveis de um circuito mant´em-se constante no tempo. Nos elementos em que o sentido positivo da corrente ´e de potenciais mais altos para mais baixos, a energia potencial el´ectrica das cargas diminui e ´e transferida para outros sistemas. Pelo contr´ ario, se o sentido positivo da corrente ´e o de potencial crescente, a energia potencial das cargas aumenta e est˜ ao a receber energia de outros sistemas (fig. 11.1). Vamos come¸car este cap´ıtulo com alguns exemplos de an´ alise de circuitos, com base em caracter´ısticas I − V postuladas; isto ´e, numa primeira fase n˜ ao nos preocuparemos em conhecer a origem f´ısica da rela¸c˜ ao entre a corrente e a diferen¸ca de potencial de um dado dispositivo. Deixaremos essa quest˜ao para um pouco mais tarde. Deste modo conseguimos dividir as dificuldades e abord´ alas `a vez. 5
Energia
I>0 VA
I>0 VA
VA > VB
VB
VA < VB VB
Energia
Figura 11.1: Um elemento de circuito liberta energia se a corrente fluir no sentido de potencial decrescente; recebe energia do exterior se a corrente fluir no sentido de potencial crescente.
´ CAP´ITULO 11. CIRCUITOS ELECTRICOS
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A
11.1.1 I =5A V =2V (a)
O erro mais comum na an´ alise de circuitos ´e a troca de sinais. H´a dois princ´ıpios cardinais a ter em conta, neste contexto. Devem ficar gravados a ouro nas nossas mentes:
I A
I =5A
Acertar os sinais
B
B
V = V A − VB = 2 V (b) Figura 11.2: Os valores de I e V indicados em (a) n˜ ao determinam nem a corrente nem a diferen¸ca de potencial: em que sentido ´e que I = 5 A? V = VA − VB ou V = VB − VA ?
O “Potencial” V de um dispositivo de terminais A e B ´e uma diferen¸ ca de potencial. Nada adiante saber o valor de V (positivo ou negativo) se n˜ ao especificarmos se V = VA − VB ou se V = VB − VA . De igual modo, uma corrente I num dispositivo n˜ ao fica determinada pelo seu valor, seja positivo ou negativo, se n˜ ao indicarmos em que sentido tem esse valor (de A → B ou de B → A).
N˜ao especificar estes sentidos coloca-nos numa situa¸c˜ao semelhante a que nos encontrar´ıamos perante a pergunta: ` Jo˜ ao e Pedro trocaram entre si 100 euros. Qual deles ficou mais rico? Sendo assim, ao especificar uma rela¸c˜ao entre a corrente I e a diferen¸ca de potencial V num dispositivo de dois terminais A e B, temos que tornar muito claro: Em que sentido ´e que a corrente ´e I, de A → B ou de B → A?; Que diferen¸ca de potencial ´e V , VA − VB ou VB − VA ?
Note-se que o significado f´ısico da potˆencia, P = V I, depende da conven¸c˜ ao que usarmos. Se I for a corrente de A → B a varia¸c˜ao de energia potencial das cargas livres por unidade de tempo ´e (VB − VA ) I; a energia cedida pelas cargas, por unidade de tempo, ao elemento do circuito ´e (VA − VB ) I. Assim se V = VA − VB , P = V I ´e a potˆencia cedida pelas cargas; se V = VB −VA , P = V I ´e a potˆencia recebida pelas cargas.
11.2
Dispositivos de dois terminais
11.2.1
Resistˆ encia
Uma resistˆencia, ou condutor ´omico, ´e um dispositivo caracterizado por uma rela¸c˜ao I − V linear (fig. 11.3), V = RI.
(11.1)
11.2. DISPOSITIVOS DE DOIS TERMINAIS
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em que R, o valor de resistˆencia, ´e positivo. Tem unidade SI Volt Ampere−1 , que recebe o nome Ohm (abreviatura Ω).
I /A
´ importante notar que a express˜ E ao da equa¸c˜ao 11.1 pressup˜ oe as defini¸c˜ oes da figura 11.4: V /V
Se I ´e a corrente de A para B, V = VA − VB . Isto n˜ ao implica que I > 0. Esta rela¸c˜ao ´e v´alida quer para correntes positivas quer para correntes negativas (fig. 11.3). Isto ´e, se estiver a passar uma corrente de −2 A de A para B, continuamos a ter V = VA − VB = RI = (−2)R.
Figura 11.3: Caracter´ıstica I − V de uma resistˆencia. O declive ´e 1/R. I
O sentido positivo de corrente, B → A, continua a ser o de potencial decrescente, pois VA − VB < 0, ou seja, VB > VA . Com esta conven¸c˜ ao de defini¸c˜ ao de V e I, a potˆencia dissipada na resistˆencia (diminui¸c˜ ao de energia potencial da cargas por unidade de tempo) ´e V2 . (11.2) P = V I = RI 2 = R Como R > 0, P > 0, ou seja, um condutor ´omico ´e um receptor. A passagem de corrente por uma resistˆencia origina sempre um aumento de temperatura. Este fen´omeno de dissipa¸c˜ao de energia ´e designado por Efeito de Joule. A potˆencia dissipada aumenta ou diminui com o valor da resistˆencia, R?
B
A I A
B V=V A − VB
Figura 11.4: S´ımbolos comuns na representa¸ca˜o de resistˆencias e conven¸ca˜o de defini¸ca˜o de I e V na caracer´ıstica I −V.
Naturalmente, como mostra a equa¸c˜ao 11.2, depende de fixarmos o valor da corrente ou da diferen¸ca de potencial. Para o mesmo valor de V a potˆencia dissipada ´e tanto maior quanto menor for R; para o mesmo valor de I, P ´e tanto maior quanto maior for R. Fios de liga¸ c˜ ao Os fios de liga¸c˜ ao com que constru´ımos circuitos, s˜ ao exemplos de condutores ´ omicos. Para que neles passe corrente tem que haver uma diferen¸ca de potencial entre os seus extremos. Contudo, se forem correctamente escolhidos essa diferen¸ca de potencial ser´ a muito menor que outras diferen¸cas de potencial no circuito. Um exemplo torna isso mais claro.
C D
I −
B A
I +
Na figura 11.5, a corrente I que passa no fio entre A e D e C e B ´e a mesma que passa na lˆ ampada. Por isso as potˆencias dissipadas Figura 11.5: Como escolher os fios para que n˜ ao haja mais energia dissipada nestes do que na lˆampada?
´ CAP´ITULO 11. CIRCUITOS ELECTRICOS
+
Fonte tensão variável
− +
+
Lâmpada
−
Bateria
−
8
Lâmpada avisadora
Resistência Amperímetro
A
Voltímetro
V
Resistência de aquecimento Condensador
Interruptor
Motor
Fios ligados
Fios não ligados
M
Figura 11.6: S´ımbolos de alguns dos dispositivos el´ectricos mais comuns.
no fio e na lˆ ampada s˜ ao Pfio = Rfio I 2 PL = RL I 2 Se quisermos que a energia dispon´ıvel seja maioritariamente dissipada na lˆ ampada, teremos que ter um fio com resistˆencia muito inferior ` a da lˆ ampada, Rfio ≪ RL . A respectiva diferen¸ca de potencial, Rfio I, ser´ a, tamb´em, muito inferior `a da lˆampada, RL I. Na an´ alise de circuitos ´e normal assumir que o potencial ´e constante nos fios de liga¸c˜ao: dois pontos ligados por um fio est˜ ao ao mesmo potencial e a potˆencia dissipada no fio ´e nula. Conv´em recordar, contudo, que esta aproxima¸c˜ao s´ o faz sentido se existirem resistˆencias de valor muito superior `a dos fios em s´erie com os mesmos.
11.2.2
Simbologia de circuitos
At´e ao momento temos vindo a usar, sobretudo, representa¸c˜oes semi-realistas de circuitos. A suposi¸c˜ao de que as varia¸c˜oes de potencial nos fios de liga¸c˜ao s˜ ao desprez´aveis, faz com que a disposi¸c˜ ao f´ısica dos diferentes elementos de um circuito seja irrelevante para o seu comportamento. Dois pontos ligados por um fio
11.2. DISPOSITIVOS DE DOIS TERMINAIS
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est˜ ao ao mesmo potencial tenha o fio 10 cm ou 1 m1 : o que importa ´e conhecer quais as caracter´ısticas dos elementos dos circuitos e quais os pares de terminais que est˜ ao ligados entre si. Esta circunstˆancia permitiu o desenvolvimento de uma representa¸c˜ao simb´ olica de circuitos. Cada tipo de elemento ´e representado por um s´ımbolo espec´ıfico, e, para especificar um circuito, s´ o temos que indicar quais os elementos que o comp˜ oem e o modo como os respectivos terminais est˜ ao ligados entre si. A figura 11.6 da p´ agina 8 representa uma selec¸c˜ao destes s´ımbolos, que vamos passar a usar com mais frequˆencia.
11.2.3
Associa¸c˜ oes de resistˆ encias
ET V 1 : Duas resistˆencias de 10 Ω e 1000 Ω s˜ ao ligadas num dado circuito em duas situa¸c˜ oes distintas: s´erie e paralelo (fig. 11.7 a e b). a) Em cada situa¸c˜ ao, em qual das resistˆencias ´e maior a potˆencia dissipada? b) Se, no caso da figura 11.7a, a potˆencia dissipada na resistˆencia de 10 Ω for 1 mW, qual ´e a potˆencia total dissipada nas duas resistˆencias? c) Se, no caso da figura 11.7b, a potˆencia dissipada na resistˆencia de 10 Ω, for ainda de 1 mW, qual ´e a potˆencia total dissipada no conjunto das duas resistˆencias?
I 10 Ω
1000 Ω (a)
I 10 Ω 1000 Ω (b)
A resolu¸c˜ ao do ET V 1 revela um facto curioso. Se a estudarmos com cuidado, verificamos o seguinte: Se duas resistˆencias est˜ ao ligadas em s´erie (mesma corrente, I), a potˆencia total nelas dissipada ´e
P = (R1 + R2 ) I 2 ; 1
Aten¸c˜ ao: se um fio de liga¸c˜ ao for demasiado comprido a sua resistˆencia pode deixar de ser desprez´ avel!
Figura 11.7: Em cada uma destas situa¸co˜es, em qual das resistˆencias ´e maior a potˆencia dissipada?
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´ CAP´ITULO 11. CIRCUITOS ELECTRICOS se estiverem ligadas em paralelo (mesma diferen¸ca de potencial entre os seus terminais, V ),
P =V
2
1 1 + R1 R2
No primeiro caso ´e a mesma potˆencia que ter´ıamos para uma u ´ nica resistˆencia R igual `a soma das duas, R = R1 + R2 .
(11.3)
No segundo caso, se quisermos ter a mesma potˆencia com uma u ´ nica resistˆencia, teremos que escolher 1 1 1 = + . R R1 R2
(11.4)
A equa¸c˜ ao 11.3 ´e lei de associa¸ c˜ ao de resistˆ encias em s´ erie e a equa¸c˜ ao 11.4 a lei de associa¸ c˜ ao de resistˆ encias em paralelo. Quando juntamos duas resistˆencias, em s´erie ou em paralelo como nestes dois exemplos, continuamos a ter um dispositivo de dois terminais. A pergunta que podemos ent˜ao fazer ´e: Qual ´e a carater´ıstica I − V de uma s´erie (paralelo) de duas resistˆencias? ´ exactamente a de uma resistˆencia (chamada resistˆencia equivaE lente), V I= R em que R ´e dada pelas equa¸c˜oes 11.3 para uma associa¸c˜ao em s´erie e 11.4 para um paralelo (ver caixa 11.1) .
ET V 2 : Duas lˆampadas est˜ ao ligadas em paralelo a uma fonte de alimenta¸c˜ao que d´ a uma diferen¸ca de potencial fixa de 12 V. Se uma das lˆampadas fundir, a segunda passar´a a brilhar, mais, menos ou fica inalterada?
11.2. DISPOSITIVOS DE DOIS TERMINAIS
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S´ eries e paralelos de resistˆ encias B
A I
R1
C R2
série I A
C R1 R2 paralelo
Quando associamos resistˆencias em s´erie ou paralelo, continuamos a ter um dispositivo com dois terminais que pode ser caracterizado pela rela¸ca˜o I − V entre a corrente que passa nos seus terminais e a diferen¸ca de potencial nos mesmos. Para a associa¸ca˜o em s´erie ´e claro que a diferen¸ca de potencial total, V = VA − Vc ´e a soma das diferen¸cas de cada resistˆencia: V = VA − VC = (VA − VB ) + (VB − VC ) . Como a corrente nas duas resistˆencias ´e a mesma, V = R1 I + R2 I = (R1 + R2 ) I. Esta ´e a caracter´ıstica de uma resistˆencia R = R1 + R2 . No caso de um paralelo, a diferen¸ca de potencial total ´e igual `a de cada resistˆencia, V = I1 R1 = I2 R2 , e a corrente total ´e a soma das correntes em cada resistˆencia I = I1 + I2 . Logo, V V 1 1 I= . + =V + R1 R2 R1 R2 Esta ´e a caracter´ıstica de uma resistˆencia R dada por: 1 1 1 + . = R R1 R2
Caixa 11.1: Associa¸c˜oes de resistˆencias.
´ CAP´ITULO 11. CIRCUITOS ELECTRICOS
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11.2.4
Se ligarmos duas pontas de um fio met´ alico a um amper´ımetro, temos uma resistˆencia, temos um circuito e, at´e, um aparelho de medida; mas n˜ ao temos corrente. Para isso precisamos de uma pilha ou bateria!
C D
I −
B A
A pilha
I +
I
Figura 11.8: Qual ´e o receptor e gerador?
Uma pilha ´e tamb´em um dispositivo com dois terminais, um dos quais ´e identificado como o terminal positivo (+) e o outro negativo (−). Numa lˆ ampada como a da figura 11.8 o sentido positivo da corrente ´e o do potencial el´ectrico decrescente. A lˆampada ´e um receptor: as cargas el´ectricas deixam energia na lˆampada; por unidade de tempo, uma energia P =VI em que V = VD − VC = VA − VB . Contudo, no interior da pilha, a corrente tem o sentido do polo B (negativo) para A (positivo): as cargas movimentam-se em sentido oposto ao das for¸cas devidas ao campo el´ectrico e a sua energia potencial el´ectrica aumenta! A pilha ´e um gerador e transfere energia para o sistema de cargas el´ectricas em movimento (aumenta a respectiva energia potencial). Caracter´ıstica de uma pilha A for¸ ca electromotriz (f.e.m., ε) de uma pilha ´e definida como a energia transferida para as cargas do circuito por unidade de carga que passa na pilha, no sentido do terminal negativo para positivo. A respectiva unidade ´e a de potencial (Volt) pois o potencial el´ectrico tamb´em ´e uma energia por unidade de carga. A caracter´ıstica de uma pilha pode ser ser obtida de um argumento de balan¸co de energia. A corrente I ´e a carga por unidade de tempo que passa na pilha: a energia fornecida `as cargas por unidade de tempo ´e: εI. A potˆencia dissipada externamente, na lˆ ampada, ´e
Pext = V I, em que V ´e a diferen¸ca de potencial entre o terminal + e − da pilha, V = VA − VB .
11.2. DISPOSITIVOS DE DOIS TERMINAIS
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Uma pilha em funcionamento aquece; a passagem de corrente no seu interior tamb´em ´e acompanhada de efeito de Joule:
Pint = Ri I 2 Naturalmente, a energia ´e conservada, o que implica, que a potˆencia recebida pelas cargas, εI tem que ser igual `a cedida pelas mesmas nas duas resistˆencias: εI = V I + Ri I 2 . ou
ε
(11.5)
Esta ´e a equa¸c˜ ao da caracter´ıstica de uma pilha. A respectiva representa¸c˜ ao simb´ olica (fig. 11.9) permite ler facilmente esta equa¸c˜ ao. Percorrendo mentalmente o circuito de B para A como varia o potencial? Na resistˆencia interna temos uma varia¸c˜ ao −Ri I (se I > 0 o potencial ´e mais alto em B que no outro extremo de Ri ). Ao passar do terminal negativo para positivo, temos uma varia¸c˜ ao +ε; a energia potencial de uma carga positiva aumenta.
Assim, VA = VB − Ri I + ε ou V = V A − V B = ε − Ri I que ´e o resultado da equa¸c˜ ao 11.5. Como I ´e a corrente de A → B e V = VB − VA , P = V I ´e a varia¸c˜ao de energia potencial das cargas por unidade de tempo, ou seja a potˆencia recebida pelas cargas; como P = V I = εI − RI 2 , este valor ´e positivo se ε > Ri I. A pilha pode funcionar como gerador. A representa¸c˜ ao simb´ olica de uma pilha real sugere uma associa¸c˜ao em s´erie de um elemento com for¸ca electromotriz ε (os dois tra¸cos verticais) e de uma resistˆencia Ri ; conv´em, contudo, n˜ ao esquecer
VA
+
V = ε − Ri I.
VB
−
I
Ri
Figura 11.9: Representa¸ca˜o simb´ olica de uma bateria de for¸ca electromotriz ε e resistˆencia interna Ri .
´ CAP´ITULO 11. CIRCUITOS ELECTRICOS
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que n˜ ao temos acesso f´ısico ao ponto que est´ a entre estes dois elementos.
ET V 3 : Uma resistˆencia R ´e ligada aos terminais de uma bateria de for¸ca electromotriz ε e resistˆencia interna Ri (fig. 11.10). a) Obter a express˜ ao geral da corrente neste circuito em fun¸c˜ ao de ε, Ri e R. b) Obter a express˜ ao geral das potˆencias dissipadas em R e Ri : que condi¸c˜ao deve ser verificada para que a potˆencia dissipada no interior da pilha n˜ ao ultrapasse a d´ecima parte da potˆencia dissipada em R? c) Na express˜ ao da potˆencia dissipada externamente, analisar os limites em que R ≪ Ri (bateria em curtocircuito) e R ≫ Ri . Verificar que a potˆencia dissipada externamente Pext → 0, quer no limite R → 0, quer no limite R → ∞.
R
d) Determinar o valor m´ aximo Pext e o valor de R para a qual ela ´e obtida, em fun¸c˜ao das caracter´ısticas da pilha.
ε
+
−
I
Ri
Figura 11.10: Qual ´e a corrente?
11.3
Receita para an´ alise de circuitos simples
Uma vez compreendidos os conceitos fundamentais de circuitos el´ectricos, corrente e diferen¸ca de potencial, os circuitos mais simples podem ser analisados quase a dormir. As seguintes regras consideram apenas os elementos estudados at´e ao momento. 11.1. Definir sentidos e marcar as correntes (I1 , I2 , . . . ) nas difrentes malhas, garantindo desde logo a conserva¸c˜ao de carga (ver fig. 11.11): (a) num circuito de malha simples s´ o h´ a uma corrente I, (fig. 11.11a);
´ 11.3. RECEITA PARA ANALISE DE CIRCUITOS SIMPLES15 I1
I
I2 (b)
(a)
I1−I 2
I (e)
(f)
+
−
+
(c)
+ε
+ RI I
− (d)
−RI
−ε
Figura 11.11: Receita para calcular as correntes num circuito. Em (a) s´o h´ a uma corrente independente; no circuito (b) h´ a duas. Percorrendo mentalmente uma malha, ao passar numa resistˆencia contra o sentido da corrente, a varia¸ca˜o de potencial ´e RI, (c); a favor do sentido da corrente a varia¸ca˜o ´e −RI, (d); ao passar uma for¸ca electromotriz o potencial aumenta de − para +, (e); diminui de + para −, (f).
(b) com duas malhas independentes temos duas correntes para determinar I1 e I2 , (fig. 11.11b). 11.2. Percorrer cada malha come¸cando de um ponto `a sorte e escrevendo as varia¸c˜ oes de potencial: (a) se passamos uma resistˆencia contra o sentido da corrente escrevemos +RI, (fig. 11.11c); se a favor do sentido da corrente, −RI, (fig. 11.11d); (b) se passamos uma pilha de um terminal − para +, escrevemos +ε, (fig. 11.11e); se de + para − , −ε, (fig. 11.11f); (c) a soma dos termos que escrevemos, percorrida a malha at´e voltar ao ponto inicial, deve ser nula. Isso d´ a uma equa¸c˜ ao para as correntes; (d) repetimos o procedimento anterior para as v´arias malhas independentes. O resultado ´e um conjunto de equa¸c˜oes para as v´arias correntes, que podemos resolver usando os m´etodos habituais para equa¸c˜oes lineares.
ET V 4 : No ET V 3 foi analisado o circuito da figura 11.10. Usando a “receita” agora apresentada, refazer a an´ alise desse circuito.
´ CAP´ITULO 11. CIRCUITOS ELECTRICOS
16
11.3.1
+
B
−
A
ε1
I
R1
R
+
−
C
ε2
D R2
Figura 11.12: Qual ´e o sentido da corrente?
Associa¸c˜ ao de baterias
O circuito da figura 11.12 fornece uma boa oportunidade para aplicar este m´etodo. Como s´ o tem uma malha, s´ o existe uma corrente a determinar; supomos conhecidas as f.e.m. e resistˆencias internas das duas pilhas e o valor de R, mas n˜ ao as vamos especificar. Deste modo resolvemos todos os circuitos com esta forma! Para come¸car, qual ser´ a o sentido da corrente? A bateria 1, entre A e B, por si s´ o, passaria corrente de A para C; a bateria 2 de C para A. Ser´ a que precisamos de saber primeiro qual ´e o sentido positivo da corrente? As caracter´ısticas I − V que escrevemos at´e agora s˜ ao v´alidas quer para I > 0 quer para I < 0. Por isso, podemos arbitrar o sentido que quisermos; mas temos que escolher um, pois, de outro modo, n˜ ao sabemos relacionar as diferen¸cas de potencial com as correntes. Seja ent˜ ao I a corrente no sentido de A para C. Percorramos mentalmente o circuito no sentido da corrente e registemos as varia¸c˜oes de potencial: quando chegarmos ao ponto inicial a varia¸c˜ ao total deve ser zero: De B para A, passamos R1 no sentido da corrente, o que significa que o potencial varia de −RI; passamos do terminal − para + da primeira pilha e o potencial aumenta de ε1 . Assim, VA − VB = −R1 I + ε1 , (11.6)
que n˜ ao ´e mais que a caracter´ıstica da pilha 1. Passando em R no sentido da corrente, o potencial varia de −RI, isto ´e VC − VA = −RI; (11.7)
portanto, VA − VC = RI, que ´e a caracter´ıstica da resistˆencia R. Na bateria 2, passamos de + → −, com uma varia¸c˜ ao de potencial −ε2 , e passamos a resistˆencia interna R2 no sentido de I; logo VD − VC = −ε2 − RI; (11.8)
a corrente no sentido de − → + ´e −I, pelo que a caracter´ıstica desta pilha ´e VC − VD = ε2 − R(−I) , que ´e exactamente equivalente `a equa¸c˜ao 11.8.
´ 11.3. RECEITA PARA ANALISE DE CIRCUITOS SIMPLES17 Somando todas as varia¸c˜ oes de potencial ao longo do circuito fechado, equa¸c˜ oes 11.6, 11.7 e 11.8, obtemos, obtemos, naturalmente, zero (VD = VB ): VA − VB + VC − VA + VD − VC = VD − VB = 0. Portanto −R1 I + ε1 − RI − ε2 − R2 I = 0, e, resolvendo para I: I=
ε1 − ε2 . R1 + R2 + R
(11.9)
Se ε1 > ε2 , a corrente I ´e positiva no sentido que indic´ amos. Se ε2 > ε1 , a corrente I ´e negativa: em qualquer caso esta equa¸c˜ao est´ a correcta, pois as express˜ oes das diferen¸cas de potencial que escrevemos valem quer para I > 0 quer para I < 0. Li¸c˜ao: N˜ao vale a pena tentar “adivinhar” em que sentido a corrente ´e positiva, antes de resolver um circuito. Podemos at´e deitar moeda ao ar antes de arbitrar um sentido desde que o fa¸camos de modo consistente em todos os elementos; se n˜ ao acertarmos no sentido da corrente positiva, ela vir´a negativa como resultado dos c´ alculos.
ET V 5 : A equa¸c˜ ao 11.9 pode ser obtida atrav´es de um balan¸co de energia. Calcular as potˆencias cedidas ou recebidas em cada elemento do circuito e mostrar que a energia total das cargas se conserva se a corrente I for dada pela equa¸c˜ ao 11.9.
11.3.2
For¸ca contra-electromotriz
Suponhamos que ε1 = 9 V e ε2 = 1,5 V no exemplo da sec¸c˜ao anterior. Neste caso I > 0 e a corrente no interior da pilha 2 passa do terminal + para −: a energia potencial el´ectrica das cargas diminui na pilha. A potˆencia total cedida `a pilha ´e P = (VC − VD ) I = ε2 I + R2 I 2
18
´ CAP´ITULO 11. CIRCUITOS ELECTRICOS
(I ´e a corrente de C → D ). Ambos os termos s˜ ao positivos. Neste caso podemos falar de uma for¸ ca contra-electromotriz: al´em da potˆencia dissipada por efeito de Joule, o circuito transfere para a pilha uma energia ε2 I por unidade de tempo, ou seja uma energia ε2 por unidade de carga que passa de + para −. Vamos ver ` a frente que certo tipo de pilhas podem funcionar, de facto, em corrente inversa, como receptores, e armazenar a energia cedida pelo circuito. Estas pilhas s˜ ao recarreg´aveis e o exemplo mais comum s˜ ao as baterias de autom´ ovel. O conceito de for¸ca contra-electromotriz aplica-se tamb´em a outros dispositivos, como por exemplo motores, que retiram energia do circuito proporcionalmente `a carga que os atravessa. Podemos ent˜ ao definir a for¸ca contra-electromotriz de um dispositivo, como sendo a energia que remove do circuito por unidade de carga transferida entre os seus terminais. Com vemos, n˜ ao ´e um conceito diferente do de for¸ca electromotriz: ´e uma for¸ca electromotriz negativa! Para um f´ısico, ser credor ou devedor ´e a mesma coisa: um credor ´e um devedor com uma d´ıvida negativa!
11.4
F´ısica dos dispositivos
Tendo introduzido alguns conceitos e linguagem de dispositivos el´ectricos, passemos agora `a quest˜ao da compreens˜ao f´ısica do respectivo funcionamento. Vamos come¸car pelas resistˆencias.
11.4.1
Condutˆ ancia ´ omica: resistividade.
Mencion´ amos atr´ as que um fio met´ alico ´e uma resistˆencia: passa uma corrente I proporcional `a diferen¸ca de potencial nos seus extremos. Qual ´e, ent˜ao, a resistˆencia de um fio? Como varia, se varia, com as suas dimens˜oes? Consideremos um fio met´ alico, homog´eneo, de comprimento L e sec¸c˜ ao recta constante, percorrido por uma corrente. Podemos imagin´ a-lo com sendo constitu´ıdo por dois fios de comprimentos L/2, um a seguir ao outro. A diferen¸ca de potencial na primeira metade do fio, VA − VC , deve ser idˆentica `a da segunda, VC − VB , pois passa a mesma corrente nas duas metades e estas s˜ ao idˆenticas (fig. 11.10a). Ent˜ao VA − VC = VC − VB =
VA − VB ; 2
11.4. F´ISICA DOS DISPOSITIVOS
19 R
L I
I L/2 I A
L/2 C
R/2 B
R/2
I (a)
R
I
I
I 2R
I
I/2
I
I/2 2R (b)
Figura 11.13: Um fio pode ser visto como uma associa¸ca˜o em s´erie de dois fios de metade do comprimento (a); ou como uma associ¸ca˜o em paralelo de dois fios de metade da ´ area da sec¸ca˜o recta (b).
metade do fio tem a mesma corrente e metade da diferen¸ca de potencial: logo tem metade da resistˆencia. Ou seja, estamos perante uma associa¸c˜ ao em s´erie de duas resistˆencias; se a resistˆencia do fio de comprimento L for R, a de um fio de caracter´ısticas idˆenticas e metade do comprimento, L/2, ser´ a R/2. Facilmente conclu´ımos, ent˜ao, que a resistˆ encia de um fio homog´ eneo ´ e proporcional ao seu comprimento. Um racioc´ınio semelhante permite-nos prever que a resistˆ encia de um fio deve ser inversamente proporcional ` a´ area da sua sec¸ c˜ ao recta. Sendo o campo el´ectrico dirigido segundo o eixo do condutor, direc¸c˜ao da corrente, as sec¸c˜ oes rectas s˜ ao superf´ıcies equipotenciais (perpendiculares ` a direc¸c˜ ao do campo el´ectrico). Se imaginarmos o condutor cortado longitudinalmente em duas partes iguais, cada metade tem a mesma diferen¸ca de potencial e a corrente total ´e a soma das correntes em cada uma das metades. Ou seja, temos uma associa¸c˜ ao de resistˆencias em paralelo (fig. 11.13b). Assim, se R for a resistˆencia do condutor de sec¸c˜ao recta de ´area A, e R′
20
´ CAP´ITULO 11. CIRCUITOS ELECTRICOS
a de um condutor do mesmo tipo com sec¸c˜ao de ´area A/2 temos: 1 1 2 1 = ′+ ′ = ′ R R R R ou, R′ = 2R; se a ´ area passa a metade, a resistˆencia duplica. Em conclus˜ao, para um condutor de sec¸c˜ao A e comprimento L R∝
L . A
A constante de proporcionalidade ´e designada por resistividade (n˜ ao confundir com massa vol´ umica, para a qual se usa, frequentemente o mesmo s´ımbolo), L R=ρ , A
(11.10)
e caracteriza o material de que ´e composto o fio: n˜ ao depende das dimens˜oes do mesmo. Para a maior parte dos materiais ρ varia com a temperatura e depende ainda do grau de pureza e modo de prepara¸c˜ ao do material. Se substituirmos a express˜ ao da resistˆencia de um fio na express˜ ao da lei de Ohm, V = RI obtemos
L V =ρ I A
(11.11)
Resistividade e Condutividade Recordemos a rela¸c˜ao entre a corrente por unidade de ´area de um condutor e o campo el´ectrico: I = σE. A
L E
I A
B V A −VB = E x L
Figura 11.14: Rela¸ca˜o entre o campo e a diferen¸ca de potencial num condutor homog´eneo.
A conserva¸c˜ ao de carga implica que a corrente n˜ ao varia ao longo do comprimento do condutor. Se a ´area da sec¸c˜ao recta tamb´em n˜ ao variar e o material for homog´eneo (mesma condutividade em todos os pontos), esta rela¸c˜ao permite-nos concluir que o campo el´ectrico tamb´em n˜ ao varia. Para um campo el´ectrico uniforme, o trabalho por unidade de carga das for¸cas el´ectricas num deslocamento L de A → B na direc¸c˜ao e sentido do campo ´e
11.4. F´ISICA DOS DISPOSITIVOS Metal
21
ρ/10−8 Ω m
Alum´ınio
2,65
Bismuto
115
Cobre
1,7
Ouro
2,4
Ferro
10
Prata
1,6
N´ıquel
59
A¸co Inox (Cr/Ni)
96
Tabela 11.1: Resistividades de alguns metais a T = 293 K[2].
Fe × L = E × L = − (VB − VA ) = VA − VB q Assim, num condutor homog´eneo a diferen¸ca de potencial entre os terminais V = VA − VB (sentido de I de A → B) ´e ∆V =
V =E×L e
V I =σ A L
ou
1L I. σA Esta ´e exactamente a express˜ ao que encontramos na eq. 11.11 para a lei de Ohm expressa em termos da resistividade de um fio homog´eneo. Por isso podemos concluir que 1 ρ= . σ V =
Unidades Resolvendo a equa¸c˜ ao 11.10 em ordem `a resistividade, vem: A ρ=R . L Uma vez que a resistˆencia tem como unidade o Ohm (Ω), a unidade SI de resistividade ´e o Ω m. Um fio de material de resistividade 1 Ω m, com comprimento de 1 m e sec¸c˜ao de 1 m2 ter´ a uma resistˆen2 cia de 1 Ω. A tabela 11.1 mostra que os metais mais comuns tˆem 2
Para medir esta resistˆencia ter´ıamos que garantir que duas faces opostas de um cubo de 1 m de lado seriam superf´ıcies equipotenciais!
22
´ CAP´ITULO 11. CIRCUITOS ELECTRICOS
resistividades muito menores que um em unidades SI. O valor de ρ para o Cobre explica por que raz˜ ao temos ignorado a resistˆencia dos fios de cobre. Para uma sec¸c˜ao de 1 mm2 e um comprimento de 1 m a resistˆencia ´e R = 1,7 × 10−8 ×
1 = 1,7 × 10−2 Ω. 10−6
Para uma corrente de 1 A, a diferen¸ca de potencial ´e apenas de 0,017 V.
ET V 6 : Uma bateria de autom´ ovel, pode fornecer cerca de 4000 W de potˆencia a 7 V, durante cerca de 30 s, no arranque do autom´ ovel. a) Qual ´e a corrente correspondente? Imaginemos que estamos a tentar fazer arrancar um autom´ ovel usando a bateria de um segundo autom´ ovel colocado a 10 m de distˆ ancia, com cabos de cobre de sec¸c˜ao 5 mm2 . b) Para a corrente calculada em a), qual ´e a diferen¸ca de potencial em cada cabo e qual ´e o valor da potˆencia dissipada nos dois cabos? Ser´ a poss´ıvel por a funcionar o autom´ ovel deste modo?
A caracter´ıstica de uma lˆ ampada Uma lˆ ampada de incandescˆencia ´e constitu´ıda por um filamento met´ alico de tungst´enio. Como tal seria de esperar uma caracter´ıstica ´ omica. Na verdade, em condi¸c˜oes normais de funcionamento, a temperatura de uma lˆ ampada atinge perto de 2500 0 C. Como a resistividade do metal aumenta, em geral, com o aumento de temperatura, a lˆ ampada, quando brilha, tem uma resistˆencia mais elevada que a temperatura ambiente. ` Em geral, a resistividade de um metal tem uma varia¸c˜ao linear com a temperatura, com a seguinte forma aproximada, ρ(T ) = ρ0 [1 + α (T − T0 )] ,
11.4. F´ISICA DOS DISPOSITIVOS
23
em que ρ0 ´e a resistividade ` a temperatura T0 . No caso do tungst´enio o coeficiente α = 0,0046 K−1 . Um filamento com uma resistˆencia de 5 Ω a T = 20 0 C ter´ a uma resistˆencia mais de trˆes vezes superior 0 a 2500 C.
ET V 7 : Os far´ois de m´ aximos de um autom´ ovel, tˆem um filamento de tungst´enio no interior de um estreito tubo de quartzo que cont´em X´enon. Nestas lˆampadas, lˆampadas de halog´eneo, o filamento pode atingir temperaturas de quase 4500 K. Por isso o tubo n˜ ao pode ser de vidro, pois fundiria. Sabendo que uma destas lˆ ampadas dissipa 100 W quando alimentada por uma bateria de 12 V, a) calcular a resistˆencia do filamento quando o farol est´ a aceso; b) calcular a resistˆencia do filamento `a temperatura ambiente, 20 0 C (α = 0,0046 K −1 ); c) por que ´e que as lˆ ampadas fundem normalmente ao acender? Quando ´e que a corrente no filamento ´e m´ axima?
11.4.2
O funcionamento de uma pilha
Ao contr´ ario de uma resistˆencia, uma pilha pode funcionar como gerador. Sendo I a corrente de sentido − → + no interior da pilha e V = V+ − V− , a potˆencia transferida para as cargas do circuito pela pilha ´e P = V I.
C D
I −
B A
I +
Como V = ε − Ri I,
I
e P = εI − Ri I 2 . Este valor ´e positico, se ε > Ri I: o circuito recebe energia da pilha. De onde vem esta energia? Ela resulta da existˆencia de reac¸co˜es qu´ımicas no interior da pilha. A passagem de corrente implica uma altera¸c˜ao das liga¸c˜oes qu´ımicas dos constituintes da pilha; a respectiva energia diminui, sendo transferida para o sistema de cargas livres do circuito.
Figura 11.15: Qual ´e o receptor e gerador?
´ CAP´ITULO 11. CIRCUITOS ELECTRICOS
24
e
−
−−
I − Zn
Cu
+
I Sulfato de Zinco
Zn 2+
Cu2+
Sulfato de Cobre
11111111111111111111111111 00000000000000000000000000 00000000000000000000000000 11111111111111111111111111
Figura 11.16: No interior da pilha h´ a movimento de cargas positivas no sentido oposto ao campo el´ectrico; i˜oes de Zn2+ s˜ao injectados na solu¸ca˜o junto ao el´ectrodo de Zinco e i˜oes de Cu2+ s˜ao recolhidos da solu¸ca˜o junto ao el´ectrodo de Cobre. Este transporte ´e poss´ıvel porque as reac¸co˜es qu´ımicas que ocorrem junto dos el´ectrodos geram energia suficiente para que ele possa ocorrer.
Ep
Efeito Joule na lâmpada
Eléctrodo negativo (Zn) −
−e( VCu− VZn )
− − Solução −
− Lâmpada −
Eléctrodo positivo (Cu) energia de reações químicas
Efeito Joule no interior da pilha
Figura 11.17: Ciclo energ´etico de electr˜oes numa pilha de cobre-zinco. Recorde-se que a energia potencial de um electr˜ao ´e EP = −eV . A energia libertada nas reac¸co˜es qu´ımicas na solu¸ca˜o permite transporte de electr˜oes do Cobre para o Zinco, pela solu¸ca˜o, aumentando a respectiva energia potencial. No circuito exterior a energia potencial el´ectrica diminui e aparece como luz ou produ¸ca˜o de calor na lˆampada. Note-se que, na realidade, n˜ ao h´ a electr˜oes livres na solu¸ca˜o; mas, por cada i˜ao Zn2+ injectado na solu¸ca˜o no el´ectrodo de Zinco e Cu2+ capturado no el´ectrodo de Cobre, h´ a uma carga 2e transportada do zinco para o cobre, o que ´e equivalente a passar dois electr˜oes do Cobre para o Zinco.
11.4. F´ISICA DOS DISPOSITIVOS
25
Tomemos como exemplo uma pilha galvˆanica de Cobre e Zinco (fig. 11.16). O el´ectrodo negativo ´e uma barra de Zinco met´ alico, mergulhada num solu¸c˜ ao aquosa de sulfato de Zinco, onde existem i˜oes Zn2+ e SO42− . O el´ectrodo positivo ´e uma barra de cobre mergulhada numa solu¸c˜ ao de sulfato de cobre (i˜oes Cu2+ , SO42− ). Estas duas solu¸c˜ oes podem trocar i˜oes atrav´es, por exemplo, de uma barreira porosa. A figura 11.17 representa, em esquema, a energia potencial de um electr˜ ao ao longo de um circuito alimentado por uma destas pilhas. Quando o electr˜ ao passa no circuito exterior entre o Zinco e o Cobre a sua energia potencial diminui. Essa energia passa para o material do filamento da lˆ ampada. Contudo, se n˜ ao houvesse transferˆencia de carga negativa do Cobre para o Zinco no interior da pilha, o el´ectrodo de Cobre ficaria carregado negativamente, a repelir electr˜ oes, e a corrente pararia rapidamente. Na solu¸c˜ao ´e necess´ario transportar carga negativa do Cobre para o Zinco (ou carga positiva no sentido inverso). Este movimento de carga ´e no sentido de energia potencial el´ectrica crescente: a energia potencial das cargas aumenta. Isto s´ o ´e poss´ıvel porque um outro sistema cede a energia necess´aria. H´a pois uma altera¸c˜ao das liga¸c˜oes qu´ımicas no sistema que liberta a energia necess´aria para este transporte. O el´ectrodo de Zinco dissolve-se na solu¸c˜ao Zn → Zn2+ (aq) + 2e− ;
(11.12)
contudo, esta reac¸c˜ ao deixa o el´ectrodo carregado negativamente (dois electr˜ oes a mais) e, em resultado da atrac¸c˜ao entre o el´ectrodo e os i˜ oes positivos de Zinco na solu¸c˜ao, pararia rapidamente se esta carga em excesso n˜ ao fosse transferida para o outro el´ectrodo pelo circuito externo. No el´ectrodo de Cobre, i˜oes de Cu2+ depositam-se no metal: Cu2+ (aq) + 2e− → Cu.
(11.13)
Por cada dois electr˜ oes transferidos do Zinco para o Cobre, temos uma reac¸c˜ ao total: Zn + Cu2+ (aq) → Zn2+ (aq) + Cu.
(11.14)
I˜oes de Zn2+ s˜ ao injectados na solu¸c˜ao junto do el´ectrodo de Zinco e i˜oes de Cu2+ s˜ ao retirados da mesma junto do de Cobre: temos pois uma corrente de cargas positivas do Zinco para o Cobre no interior da solu¸c˜ ao, ao mesmo tempo que o el´ectrodo de Zinco se dissolve e o Cobre aumenta de massa.
´ CAP´ITULO 11. CIRCUITOS ELECTRICOS
26
Para uma pilha de Cobre-Zinco em condi¸c˜oes padr˜ao3 de funcionamento a energia libertada nesta reac¸c˜ao ´e de ∆E0 = 2,2 eV por atomo de Zinco dissolvido, ou seja, por cada dois electr˜ ´ oes transferidos. Suponhamos que temos uma corrente I no circuito, com o sentido de + para − no exterior da pilha. Como I ´e a carga por unidade de tempo e −e a carga por electr˜ ao, passam I/e electr˜ oes no circuito, por unidade de tempo. A energia fornecida pelas reac¸c˜oes qu´ımicas por unidade de tempo ´e: ∆E0 I × 2 e Uma parte desta energia ´e dissipada no circuito externo: Pext = V I em que V ´e a diferen¸ca de potencial entre os terminais + e −, V+ − V− . O movimento de cargas no electr´ olito da pilha ´e acompanhado por dissipa¸c˜ ao de energia por efeito de Joule, bem patente no aquecimento das pilhas quando debitam corrente: Pint = Rint I 2 em que Rint ´e a resistˆ encia interna da pilha. O balan¸co de energia d´ a ∆E0 I × 2 e
= Pext + Pint = V I + Rint I 2 = V I + Rint I 2 ,
ou seja,
∆E0 = V + Rint I. 2e ∆E0 /2 ´e a energia libertada pelas reac¸c˜oes qu´ımicas da pilha por cada electr˜ ao que passa no circuito; ε = ∆E0 /2e ´e a respectiva energia por unidade de carga, ou seja um potencial el´ectrico. ´ a for¸ E ca electromotriz da bateria. Em resumo, para uma pilha, V = ε − Rint I
(11.15)
´e a rela¸c˜ ao entre corrente e diferen¸ca de potencial. 3
Solu¸c˜ oes com concentra¸c˜ oes de 1 M, press˜ ao de uma atmosfera e temperatura de 25 0 C.
11.4. F´ISICA DOS DISPOSITIVOS
27
Capacidade de Baterias A capacidade de uma bateria n˜ ao deve ser confundida com a sua for¸ca electromotriz. Vimos acima que numa bateria a debitar corrente ocorrem reac¸co˜es qu´ımicas. Por exemplo, no caso da pilha de Cobre e Zinco h´ a um ´atomo de Zinco dissolvido e um de Cobre depositado, por cada dois electr˜oes transferidos entre os el´ectrodos. Ou porque os reagentes se esgotam ou porque o sistema acaba por ficar em equil´ıbrio qu´ımico, a carga total que pode ser transferida ´e limitada. Fabricantes de baterias costumam indicar a carga total que uma bateria pode transferir em Ampere-hora; um Ampere-hora ´e a carga transferida numa hora com uma corrente de um ampere, ou seja, 3600 C. Uma bateria de autom´ ovel pode fornecer cerca de 70 Ampere − hora. Para uma corrente de 3,5 A duraria cerca de 20 horas. Contudo, ´e necess´ario dizer que a carga total que a bateria pode transferir depende, em geral, da corrente de funcionamento: se esta for demasiado alta, a bateria aquece (dissipa¸ca˜o na resistˆencia interna) e a varia¸ca˜o de temperatura pode alterar as taxas das reac¸co˜es qu´ımica no seu interior; se for demasiado baixa, a bateria pode deteriorar-se em virtude de outras reac¸co˜es n˜ ao far´ adicas (sem transferˆencia de carga) que podem tamb´em ocorrer: uma pilha descarrega lentamente, mesmo sem ser usada. Por isso a indica¸ca˜o de capacidade ´e acompanhada do valor da corrente de funcionamento. Tipo
Capacidade
Corrente funcionamento
Autom´ ovel D (C-Zn) 9-Volt (C-Zn)
70 A h 4,5 A h 0,4 A h
3,5 A 100 mA 8 mA
Capacidades de baterias comuns [1]
Caixa 11.2: Capacidade de uma bateria.
28
´ CAP´ITULO 11. CIRCUITOS ELECTRICOS
Dizer que ∆E0 vale 2,2 electr~ oes-Volt no caso da pilha de Cobre-Zinco, ´e o mesmo que afirmar que ε = 1,1 V. Por defini¸c˜ao, a varia¸c˜ ao de energia de dois electr˜ oes numa diferen¸ca de potencial de 1,1 V ´e 2,2 eV. As reac¸c˜ oes qu´ımicas que ocorrem durante o funcionamento da pilha alteram, naturalmente, as concentra¸c˜oes de i˜oes de Zinco e Cobre nas solu¸c˜oes; no fundo, uma pilha ´e um sistema qu´ımico no qual decorre, enquanto houver corrente, uma reac¸c˜ao que o aproxima do equil´ıbrio. Se n˜ ao houver passagem de carga entre os dois el´ectrodos as reac¸c˜oes 11.12, 11.13 param devido `a acumula¸c˜ ao de carga nos mesmos. Estas reac¸c˜oes com liberta¸c˜ao de carga dizem-se far´ adicas. Quando o equil´ıbrio qu´ımico ´e atingido, ou os reagentes se esgotam, as reac¸c˜ oes cessam e a for¸ca electromotriz anula-se: a pilha ` medida que nos aproximamos do equil´ıbrio est´ a “descarregada”. A a energia disponibilizada pela reac¸c˜ao, diminui: a for¸ca electromotriz diminui tamb´em. S´ o a podemos considerar como constante se a carga total que tiver sido transferida for uma frac¸c˜ao pequena da carga total que ´e necess´aria para atingir o equil´ıbrio qu´ımico ou esgotar os reagentes. Se invertermos o sentido da corrente que passa na pilha, invertemos tamb´em o sentido dos processos qu´ımicos associados ao transporte de carga: passamos dissolver o el´ectrodo de Cobre e a depositar o de Zinco. Por cada dois electr˜ oes que passam na pilha, teremos uma reac¸c˜ ao inversa da da equa¸c˜ao 11.14, Zn2+ (aq) + Cu → Zn + Cu2+ (aq), que requer uma energia ∆E0 = 2,2 eV. Nesta situa¸c˜ao a pilha funciona como receptor, com uma for¸ca contra-electromotriz ε = 1,1 V. O ciclo da figura 11.17 est´ a ser percorrido no sentido inverso e a pilha est´ a a armazenar energia cedida pelo circuito nas liga¸c˜oes qu´ımicas dos seus elementos.
+
−
lâmpada
+
−
Figura 11.18: Duas pilhas em s´erie duram o dobro?
ET V 8 : O Sr. Joaquim, funcion´ ario de uma conhecida Escola Secund´aria do Porto tinha o encargo de mudar as pilhas de uma luz de emergˆencia; fazia-o de quatro em quatro dias at´e que lembrou de modificar a alimenta¸c˜ao da luz colocando duas pilhas idˆenticas em s´erie. Raciocinou que tendo duas pilhas deveriam demorar o dobro a gastar-se. Contudo, teve uma grande surpresa. Qual foi?
11.5. CORRENTES DEPENDENTES DO TEMPO
Correntes dependentes do tempo
ε A
+
Mas nada do que diss´emos at´e agora nos preparou para a quest˜ao:
R
Quanto tempo demora a corrente a passar de 0 a 1 A?
Para n˜ ao ficarmos com a ideia que no reino dos circuitos est´ a tudo “parado” vamos considerar em pormenor um exemplo de fen´omeno transit´orio mais simples do que o figura 11.19.
11.5.1
Descarga do condensador
Se tomarmos um condensador carregado e o ligarmos as duas placas por um fio met´ alico, este descarrega. As cargas positivas de uma placa atraem as negativas da outra. Como n˜ ao se podem mover pelo diel´ectrico que as separa, nada acontece se mantivermos as placas separadas. Mas o fio met´ alico permite esse movimento e os electr˜ oes deslocam-se da placa negativa para a positiva e as placas deixam de estar carregadas. Quanto tempo demora este processo? Podemos analis´ a-lo usando os conceitos de circuitos. O fio ´e uma resistˆencia. No condensador carregado temos uma diferen¸ca de potencial entre a placa positiva e negativa V =
R I
ε A
+
Certamente que este processo n˜ ao ´e instantˆaneo. A diferen¸ca de potencial na resistˆencia tem que passar de 0 a 9 V e isso implica re-distribui¸c˜ ao de cargas, o que toma um certo tempo. At´e agora concentramo-nos em situa¸c˜ oes estacion´ arias, em que as cargas que havia a distribuir j´a foram distribu´ıdas, e as correntes s˜ ao independentes do tempo: ignor´ amos completamente os processos transit´ orios, ou seja, os que ocorrem entre duas situa¸c˜oes estacion´ arias e envolvem varia¸c˜ ao no tempo das correntes.
ε = 9V R =9Ω
(a)
−
Se perguntarmos qual ´e o valor da corrente na resistˆencia R na situa¸c˜ao da figura 11.19a) a resposta s´ o pode ser I = 0: o interruptor est´ a aberto e n˜ ao pode passar corrente. Com o interruptor fechado (figura 11.19b) j´a sabemos que I = ε/R = 1 A.
−
11.5
29
(b)
Figura 11.19: Quanto demora a corrente a passar de 0 em (a) para ε/R em (b)?
⊲ Actividade A48
+q −q (a) I V +q −q
q C
(b)
que ´e tamb´em a diferen¸ca de potencial nos terminais da resistˆencia. Logo V = RI
I Figura 11.20: A descarga de um condensador.
30
´ CAP´ITULO 11. CIRCUITOS ELECTRICOS
ou seja
1 q RC Problema resolvido: j´a determinamos a corrente! I=
De facto n˜ ao! Ao contr´ ario do que acontece com uma bateria, que internamente transporta carga da placa negativa para a positiva e substitui a que de l´a sai, isso n˜ ao acontece num condensador. Se passa uma carga por unidade de tempo I da placa positiva para a negativa a carga q diminui no tempo. Mais precisamente, a defini¸ c˜ ao de corrente implica I =−
dq(t) , dt
em que q(t) ´e a carga da placa positiva, ou seja, o que normalmente se designa por carga do condensador. Note-se o sinal menos; para I > 0 a carga do condensador diminui, ou seja tem derivada negativa. Assim
1 dq =− q(t) dt RC
(11.16)
Esta ´e a equa¸ca˜o da descarga do condensador. Decaimento exponencial Se soubermos o potencial inicial do condensador, V0 , sabemos a respectiva carga inicial (t = 0) q0 = q(0) = CV0 A equa¸c˜ ao de descarga diz-no a velocidade inicial de varia¸c˜ao de q(t) ´e
dq
q0 =− .
dt RC t=0
Se o gr´ afico de q(t) tivesse um declive constante, fosse uma recta (fig. 11.21a), ter´ıamos simplesmente q(t) = q0 −
q t 0 t = q0 (1 − ); RC RC
a carga anular-se-ia ao fim de um tempo t = RC. Mas, precisamente, o que a equa¸c˜ao 11.16 diz ´e que o declive n˜ ao ´e constante: diminui em valor absoluto `a medida que q(t) diminui. Por isso
11.5. CORRENTES DEPENDENTES DO TEMPO
31
devemos esperar uma varia¸c˜ ao mais parecida com a do gr´ afico da figura 11.21b em que a tangente `a curva se vai aproximando da horizontal (declive nulo) ` a medida que q(t) → 0. N˜ao obstante, a tangente a esta curva em t = 0 ´e a recta referida acima e intercepta o eixo dos tempos em t = RC, a constante de tempo da descarga.
q(t) q0
Na disciplina de Matem´atica foi introduzida a fun¸c˜ao exponencial que tem a propriedade de ser igual `a sua derivada:
q(t) q0
d t e = et dt A carga do condensador ´e proporcional `a sua derivada, de acordo com a equa¸c˜ ao 11.16; n˜ ao surpreende por isso que se possa exprimir usando a fun¸c˜ ao exponencial: q(t) = q0 e−t/RC . Derivando esta fun¸c˜ ao, verificamos que d t dq(t) 1 −t/RC = q0 e × − = q0 − e−t/RC dt dt RC RC que ´e exactamente a equa¸c˜ ao de descarga. O valor inicial ´e q(0) = q0 e0 = q0 . Tempo de semi-vida. t1/2 Uma das propriedades mais importantes deste decaimento ´e que o tempo que a carga demora a reduzir-se a uma determinada frac¸ c˜ ao do valor presente ´e fixo. Isto ´e, se q0 = 1 µC, o tempo a reduzir-se a metade, 0,5µC, ´e igual ao que demora a passar de 0,5µC, para metade desse valor, 0,25µC, e assim sucessivamente. a Esta propriedade ´e uma consequˆencia da igualdade eat = et . Designando por t1/2 o tempo que demora a carga a reduzir-se a metade (semi-vida), 1 q0 = q0 e−t1/2 /RC ⇒ e−t1/2 /RC = ; 2 2 2 q 0 −t1/2 /RC −2t1/2 /RC = q(2t1/2 ) = q0 e = q0 e 4 e assim sucessivamente. Calculando logaritmos, t1/2 1 −t1/2 /RC = ln ln e = − ln 2, ⇒− 2 RC e t1/2 = 0,693 × RC. q(t1/2 ) =
(a)
t
RC
(b)
RC
t
Figura 11.21: A solu¸ca˜o da equa¸ca˜o 11.16 n˜ ao ´e uma recta, pois o declive tende para zero `a medida que q(t) diminui.
32
´ CAP´ITULO 11. CIRCUITOS ELECTRICOS Um exerc´ıcio com a exponencial A equa¸ca˜o de descarga de um condensador envolve uma derivada e pode ser escrita na forma: lim
∆t→0
1 q(t + ∆t) − q(t) =− q(t). ∆t RC
Tal como fiz´emos na discuss˜ ao das leis de Newton (ver, por exemplo, Actividade A43), se ∆t for muito pequeno, podemos aproximar esta equa¸ca˜o por 1 q(t + ∆t) − q(t) ≈− q(t), ∆t RC que podemos resolver em ordem a q(t + ∆t): 1 ∆t q(t + ∆t) ≈ q(t) − . q(t)∆t = q(t) 1 − RC RC Conhecendo q(t), podemos calcular q(t + ∆t) para ∆t pequeno. Se q(0) = q0 , ∆t q(∆t) ≈ 1− q0 RC 2 ∆t ∆t q(∆t) = 1 − q0 q(2∆t) ≈ 1− RC RC .. . n ∆t q0 . q(n∆t) ≈ 1− RC O resultado exacto ´e q(n∆t) = q0 e−n∆t/RC Usando uma calculadora e escolhendo, por exemplo, q0 = 1 e RC = 10, facilmente podemos comparar as duas express˜oes e verificar que, se ∆t ≪ RC, elas se tornam muito pr´oximas. Com efeito, se definirmos t = n∆t, ∆t = t/n, temos n t a n q(t) = q(n∆t) ≈ 1 − q0 = 1 − q0 , nRC n com a = t/RC . Tomar o limite n → ∞ com t fixo ´e considerar ∆t → 0, e, de facto, prova-se na disciplina de Matem´ atica que a n lim 1 − = e−a . n→∞ n
Caixa 11.3: A exponencial e a equa¸c˜ao de descarga.
11.5. CORRENTES DEPENDENTES DO TEMPO
33
A carga de um condensador
R ε
+
(a)
Felizmente a carga e descarga do condensador s˜ ao essencialmente o mesmo fen´omeno. Se a fonte tiver uma diferen¸ca de potencial fixa entre os seus terminais, ε (estamos a ignorar a sua resistˆencia interna, assumindo que ela e muito menor que R), temos
I
ε
+
(11.17)
R C
−
q ε = VR + VC = RI + C
C
−
Como ´e que um condensador carrega? Por outras palavras, se no circuito da figura 11.22 fecharmos o interruptor, como varia a corrente, I(t), com o tempo, t?
(b)
Com o sentido da corrente indicado, dq I= dt
(11.18)
e a equa¸c˜ ao de carga do condensador ´e q(t) ε dq(t) =− + dt RC R
(11.19)
` parte o segundo termo, esta equa¸c˜ao tem exactamente o aspecto A da equa¸c˜ ao da carga; No regime estacion´ ario ´e evidente que n˜ ao passa qualquer corrente neste circuito. A diferen¸ca de potencial do condensador ser´ a VC = ε e a respectiva carga qf = Cε. Ou seja, qf dq(t) q(t) 1 =− + = (qf − q) (11.20) dt RC RC RC A diferen¸ca entre a carga q(t) e a carga no regime estacion´ ario, Q(t) = qf − q(t) satisfaz a mesma equa¸ c˜ ao que na carga do condensador, Q(t) dQ(t) =− , (11.21) dt RC pois dq d (qf − q) = − dt dt A solu¸c˜ ao desta equa¸c˜ ao ´e, obviamente, Q(t) = Q0 e−t/RC
(11.22)
O valor inicial Q0 = Q(0) ´e qf , pois a carga inicial q(0) = 0. Portanto, qf − q(t) = qf e−t/RC ,
Figura 11.22: Como varia a corrente com o tempo, ap´os fechar o interruptor?
´ CAP´ITULO 11. CIRCUITOS ELECTRICOS
34 ou
q(t) = qf 1 − e−t/RC .
(11.23)
Um gr´ afico desta fun¸c˜ao tem o aspecto da figura 11.23a. Para obter a corrente podemos derivar esta fun¸c˜ao, ou se formos pregui¸cosos, reparar nas equa¸c˜oes 11.20 e 11.18:
q(t) Cε
(a)
I= t
RC
qf −t/RC dq 1 ε = (qf − q) = e = e−t/RC . dt RC RC R
I(t) ε /R (b)
RC
Figura 11.23: (a) Carga de um condensador; (b) corrente no circuito.
t
Note-se que o valor m´ aximo da corrente, ε/R, ´e atingido logo ap´ os o fecho do interruptor (fig. 11.23b): depois, a corrente diminui a medida que a carga e a diferen¸ca no potencial do condensador ` aumentam. Por que ser´ a que nunca se deve ligar directamente um condensador aos terminais de uma fonte, sem uma resistˆencia de protec¸c˜ ao?
11.6
Conclus˜ oes
Os circuitos el´ectricos s˜ ao objectos f´ısicos. Tˆem cargas, correntes, campos el´ectricos e diferen¸cas de potencial. Para situa¸c˜oes estacion´ arias, e conhecidas as caracter´ısticas dos elementos f´ısicos de um circuito, foi poss´ıvel formular “regras” que nos permitem saber quase tudo o que interessa sobre esse circuito: quais as correntes, as diferen¸cas de potencial, as potˆencias fornecidas ou dissipadas, etc. etc. Essas regras quase nos permitem esquecer a origem f´ısica das leis que lhes deram origem. Esta ´e uma situa¸c˜ao extremamente vulgar em Ciˆencia e Tecnologia. Um electricista que s´ o lida com certo tipo de circuitos pode conhecer muito bem as regras de comportamento do seu sistema, ser extremamente competente, e nada saber de Electromagnetismo, a teoria das interac¸c˜oes el´ectricas e magn´eticas que regem o comportamento das cargas em qualquer situa¸c˜ ao, n˜ ao apenas naquelas com que ele lida. Por exemplo, a resposta `a pergunta que fiz´emos no in´ıcio da Sec¸c˜ao 5, embora referente apenas a um circuito muito simples, exige um conhecimento muito mais detalhado do Electromagnetismo e sai fora do que se pode analisar com conceitos de circuitos. Em suma, para o mundo funcionar precisamos de ambos: do electricista e do f´ısico que conhece as leis fundamentais.
11.7. RESPOSTA AOS ET V ′ S
11.7
35
Resposta aos ET V ′ s
11.1. ET V 1 : No caso da figura 11.7a a corrente ´e a mesma nas duas resistˆencias; como P = RI 2 , ´e a resistˆencia maior que dissipa mais. Se 10 × I 2 = 10−3 W = 1 mW, a potˆencia dissipada na segunda resistˆencia ´e 1000 × I 2 = 0,1 W = 100 mW. A potˆencia total ´e 101 mW. No caso figura 11.7b a diferen¸ca de potencial ´e a mesma nas duas resistˆencias: como P = V 2 /R, ´e a resistˆencia menor que dissipa mais. Se V2 = 10−3 W, 10 vem V2 = 10−5 W. 1000 A potˆencia total ´e 1, 01 mW.
11.3. ET V 3 :
VR = VA − VB = RI; pela da pilha: VA − VB = ε − Ri I. Logo: =
I
=
ε − Ri I ε . R + Ri
(11.24)
(b) Pi Pext Portanto,
= Ri I 2 = = RI 2 =
B
A
Ri
Figura 11.24: Qual ´e a corrente?
(a) Pela caracter´ıstica da resistˆencia,
RI
ε
I
+
a ser 12 V.A corrente que passa nela n˜ ao se alterar´ a. A potˆencia dissipada tamb´em n˜ ao: o seu brilho n˜ ao se altera. A corrente total da fonte diminui, pois deixa de passar corrente numa das resistˆencias.
−
11.2. ET V 2 : A diferen¸ca de potencial na segunda lˆampada continuar´a
R
Ri
2ε
(R + Ri ) R
2ε
2
2
(R + Ri )
Pi Ri = Pext R Se Ri ≪ R, Pi ≪ Pext . Para que Pi < Pext /10, Ri < R/10.
´ CAP´ITULO 11. CIRCUITOS ELECTRICOS
36
(c) Se R ≪ Ri , R + Ri ≈ Ri e Pext ≈
R 2 ε ; Ri2
A corrente I ≈ ε/Ri ´e limitada pela resistˆencia interna. Se R ≫ Ri , R + Ri ≈ R e Pext ≈
ε2 ; R
Neste caso I ≈ ε/R. No primeiro caso Pext → 0 se R → 0, pois toda a potˆencia ´e dissipada internamente. No segundo caso Pext → 0 pois a corrente tende para zero se R → ∞.
(d) Derivando em ordem a R a potˆencia externa dPext dR
R
= =
ε
I
−
+
=
B
A
2
−R×
2ε2 3
(R + Ri ) (R + Ri ) ε2 2R = 1 − 2 R + Ri (R + Ri ) 1 Ri − R 2 R + Ri (R + Ri )
O m´aximo (derivada nula) corresponde ao valor R = Ri .
Ri
Figura 11.25: Quanto vale I?
ε2
11.4. ET V 4 : Usando o sentido da figura 11.25 e come¸cando a percorrer a malha a partir do terminal + da pilha, a soma das varia¸co˜es de potencial ´e: −RI − Ri I + ε2 = 0. Resolvendo para I, obtemos a solu¸ca˜o apresentada na equa¸ca˜o 11.24 da p´ agina 35.
11.5. ET V 5 : A potˆencia total dissipada por efeito de Joule nas trˆes resistˆencias ´e P = R1 I 2 + R2 I 2 + RI 2 = (R1 + R2 + R) I 2 ; Na bateria 1 , a corrente I tem o sentido de + → −; a varia¸ca˜o de energia potencial das cargas por unidade de tempo ´e ε1 I. Mas na bateria 2 o sentido da corrente ´e + → −; a varia¸ca˜o de energia potencial por unidade de carga que passa de + → − ´e −ε2 ; por isso, a varia¸ca˜o de energia potencial das cargas, por unidade de tempo ´e −ε2 I. Sendo assim, ε1 I − ε2 I = (R1 + R2 + R) I 2 e I=
11.6. ET V 6 :
ε1 − ε2 . R1 + R2 + R
11.7. RESPOSTA AOS ET V ′ S
37
(a) A corrente ´e I=
P = 571 A. V
(b) os fios de liga¸ca˜o tˆem um comprimento total de pelo menos 20 m. A respectiva resistˆencia ´e: R
L 20 = 1,7 × 10−8 × A 5 × 10−6 1,7 × 2 × 10−8+1+6 = 0,068 Ω. 5
= ρCu =
Para a corrente calculada na al´ıneas anterior, Vfios = 0,068 × 571 = 38,9 V. Com uma diferen¸ca de potencial de 7 V n˜ ao ´e poss´ıvel ter uma corrente t˜ ao grande nestes fios; a potˆencia dissipada neles seria Pfios = 0,068 × (571)2 = 22 × 103 W, cinco vezes mais do que a potˆencia que a bateria pode fornecer! Com estes fios, a corrente seria muito menor do que o necess´ario para ligar o motor de arranque do carro. Ter´ıamos que usar cabos com muito maior sec¸ca˜o e menor comprimento!
11.7. ET V 7 : (a) Como P = V I e V = RI, I
=
R
=
100 = 8,3 A 12 12 = 1,44 Ω. 8,3
Este ´e o valor de R a 4500 K: lˆampada em funcionamento.
(b) Usando a express˜ao ρ(T ) = ρ0 [1 + α (T − T0 )] , com α = 0,0046 K−1 vem, ρ(4500) = =
ρ(293) [1 + 0,0046(4500 − 293)] ρ(293) × 20.
Se ignorarmos a varia¸ca˜o das dimens˜oes do filamento, as resistˆencias a T = 4500 K e T = 293 K est˜ ao na mesma raz˜ ao que as resistividades. Assim R(293) = R(4500)/20 = 0,072 Ω.
´ CAP´ITULO 11. CIRCUITOS ELECTRICOS
38
(c) Ao acender, o filamento est´a frio e tem uma resistˆencia total menor; logo a corrente ´e maior do que durante o funcionamento normal. Zonas onde o filamento j´a esteja enfraquecido, mais estreitas, tˆem maior resistˆencia e aquecem em excesso, fundindo o metal.
11.8. ET V 8 : A surpresa foi que as pilhas duraram metade do tempo do que anteriormente! Com as pilhas em s´erie, a corrente total no circuito passa a ser I=
2ε ε1 + ε2 ≈ , R + R1 + R2 R
se desprezarmos as resistˆencias internas face `a resistˆencia exterior. Para uma u ´ nica pilha a corrente seria ε/R. Portanto, com duas pilhas em s´erie passa na lˆampada o dobro da corrente e por isso ´e dissipado o qu´adruplo da potˆencia: RI 2 = 4
ε2 . R
Assim, com duas pilhas em s´erie cada uma fornece o dobro da energia, por unidade de tempo, do que uma s´o pilha; as pilhas duram metade do tempo. O que o Sr. Joaquim devia ter feito ´e ligar as pilhas em paralelo. Nesse caso a corrente na lˆampada seria a mesma que para uma pilha, I = ε/R, mas cada pilha forneceria metade da corrente total. Por isso cada pilha forneceria uma potˆencia εI/2, que ´e metade do que fornece uma u ´ nica pilha.
11.8
Actividades, Problemas e Quest˜ oes.
11.8.1
Actividades
11.1. Caracter´ısticas I − V Ver ficha de Actividade A49. 11.2. Descarga de um condensador IL I IA
Figura 11.26: Como se exprime a lei dos nodos para as correntes no sentido das setas?
Ver ficha de Actividade A48.
11.8.2
Quest˜ oes
11.1. Os valores das correntes nos trˆes condutores da figura 11.26, e no sentido indicado pelas setas, s˜ ao I, IA e IL . Como se exprime a condi¸c˜ao de conserva¸c˜ao de carga neste caso?
˜ 11.8. ACTIVIDADES, PROBLEMAS E QUESTOES.
39
11.2. Se a potˆencia dissipada num dispositivo ´e P = V I, porque raz˜ ao ao inverter a corrente numa resistˆencia, I → −I, n˜ ao passamos a ter uma potˆencia dissipada negativa, ou seja, a receber energia no circuito? 11.3. Um fio condutor de metal ´e constitu´ıdo por trˆes segmentos de igual comprimento. O segmento do meio tem metade da ´area de sec¸c˜ ao recta dos outros dois. Entre as extremidades do fio existe uma diferen¸ca de potencial n˜ ao nula. x
(a) Representar esquematicamente a corrente e o m´ odulo do campo el´ectrico em fun¸c˜ao da posi¸c˜ao ao longo do eixo do fio. 11.4. A figura 11.29 representa a caracter´ıstica I −V de um dispositivo de dois terminais, com a defini¸c˜ao de V e I indicadas na figura . A qual (quais) das seguintes situa¸c˜oes pode corresponder? Justificar. (a) Resistˆencia;
Figura 11.27: Um fio com uma constri¸ca˜o. Como variam a corrente e o campo el´ectrico ao longo do seu eixo? I /A
1 0 3
3,5
V /V
(b) pilha em descarga; (c) motor; (d) pilha a carregar. 11.5. Dispomos de uma bobine de fio de cobre, da qual podemos tirar o comprimento que desejarmos. Discutir uma maneira de medir a resistividade do cobre usando o seguinte equipamento: fita m´etrica; amper´ımetro e volt´ımetro; fonte de alimenta¸c˜ ao de tens˜ ao vari´ avel; balan¸ca de precis˜ ao.
11.6. A figura 11.17 da p´ agina 24 representa o ciclo de energia potencial electr´ onica, quando a corrente na pilha tem sentido − → +. O que teria que ser mudado para representar uma situa¸c˜ ao em que a corrente tem o sentido oposto? 11.7. Uma solu¸c˜ ao de sufato de cobre ´e condutora. Mergulhando nela dois el´ectrodos de cobre e aplicando entre eles uma diferen¸ca de potencial (com uma fonte de tens˜ ao por exemplo) ´e poss´ıvel passar corrente na solu¸c˜ao.
I A
B
V = VB − VA
Figura 11.28: Caracter´ısitica I − V de um dispositivo.
´ CAP´ITULO 11. CIRCUITOS ELECTRICOS
40
(a) Quais s˜ ao as reac¸c˜oes que ocorrem junto de cada el´ectrodo? (b) A passagem de corrente ´e acompanhada de varia¸c˜ao de massa dos el´ectrodos? (c) Este dispositvo tem certamente uma resistˆencia interna, devido `a dissipa¸c˜ao que ocorre por efeito de Joule na solu¸c˜ao. Ter´ a uma for¸ca electromotriz? Ou contraelectromotriz?
11.8.3 I /A
1 0 3
3,5
V /V I
11.1. A bateria de uma autom´ ovel tem uma tens˜ ao nominal de 12 V (sem corrente). Contudo, no arranque do motor, a bateria fornece uma potˆencia de 4000 W com uma diferen¸ca de potencial de apenas 7 V nos seus terminais. (a) Qual ´e a resistˆencia interna da bateria? (b) No arranque, que potˆencia ´e dissipada na resistˆencia interna da bateria?
B
A
Problemas
V = VB − VA
Figura 11.29: Caracter´ısitica I − V de um dispositivo.
11.2. A figura 11.29 representa a caracter´ıstica I −V de um dispositivo de dois terminais, com as defini¸c˜oes de I e V indicadas na figura. (a) Est´a a funcionar como gerador ou receptor? (b) Qual ´e a respectiva resistˆencia interna? (c) A funcionar a uma corrente de I = 1 A, qual ´e a potˆencia dissipada internamente por efeito de Joule?
I /A
2 V /V
1,5
−
A
+
I B
V = VA − VB
Figura 11.30: Caracter´ıstica I − V de uma pilha.
(d) Qual ´e a potˆencia total transferida pelo circuito ao dis´ positiva ou positivo, para o mesmo valor de corrente. E negativa? Seja receptor ou gerador, podemos definir um rendimento do dispositivo do mesmo modo: energia trocada com o circuito com exclus˜ao da dissipada por efeito de Joule, dividida pela energia total (´ util mais dissipada). (e) Qual ´e o rendimento deste dispositivo? 11.3. A figura 11.30 mostra a caracter´ıstica de uma pilha. (a) Qual ´e a sua for¸ca electromotriz? (b) Qual ´e a sua resistˆencia interna?
˜ 11.8. ACTIVIDADES, PROBLEMAS E QUESTOES.
41
(c) Que corrente debita se os seus terminais forem curto circuitados (com uma resistˆencia nula, ou extremamente baixa)? (d) Uma gama de valores de V desta curva pode ser medida usando apenas uma resistˆencia vari´ avel, al´em de uma amper´ımetro e um volt´ımetro. Qual?
V = ε − Ri I = ε e o valor de ε pode ser medido directamente no volt´ımetro. Contudo isto s´ o ´e verdade se ignorarmos a resistˆencia interna do volt´ımetro. (a) Analisar o circuito e determinar a correc¸c˜ao que ´e necess´ario introduzir se considerarmos as resistˆencias internas da pilha e do volt´ımetro finitas. 11.5. Um pilha de Zinco-Cobre descarrega sobre uma resistˆencia uma corrente de 100 mA, durante uma hora. Qual ´e varia¸c˜ao de massa de cada um dos el´ectrodos?
A
ε Ri
+
11.4. O circuito da figura 11.31 ´e indicado como podendo medir directamente a for¸ca electromotriz de uma pilha. A ideia ´e usar um fonte de alimenta¸c˜ao vari´ avel em oposi¸c˜ao `a pilha. Quando a corrente I no amper´ımetro for nula a diferen¸ca de potencial nos terminais da pilha seria
−
−
(e) Outra partes da curva s´ o podem ser medidas com recurso a outra fonte de tens˜ ao. Indique que circuito poderia usar para medir a sec¸c˜ao da curva com V < 0.
+
V Figura 11.31: Como medir a fem de uma pilha.
42
´ CAP´ITULO 11. CIRCUITOS ELECTRICOS
Bibliografia [1] Tony R. Kuphaldt. All about circuits. URL:http://www. allaboutcircuits.com/vol_1/chpt_11/3.html, 2003. [2] R. M. Tennent, editor. Science Data Book. Oliver & Boyd, 1971.
43
44
BIBLIOGRAFIA
Conte´ udo Ficha T´ecnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Circuitos el´ ectricos
2 5
11.1 Caracter´ısticas I-V . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
11.1.1 Acertar os sinais . . . . . . . . . . . . . . .
6
11.2 Dispositivos de dois terminais . . . . . . . . . . . .
6
11.2.1 Resistˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
11.2.2 Simbologia de circuitos
. . . . . . . . . . .
8
11.2.3 Associa¸c˜ oes de resistˆencias . . . . . . . . . .
9
11.2.4 A pilha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
11.3 Receita para an´ alise de circuitos simples . . . . . .
14
11.3.1 Associa¸c˜ ao de baterias . . . . . . . . . . . .
16
11.3.2 For¸ca contra-electromotriz . . . . . . . . . .
17
11.4 F´ısica dos dispositivos . . . . . . . . . . . . . . . .
18
11.4.1 Condutˆancia ´ omica: resistividade. . . . . .
18
11.4.2 O funcionamento de uma pilha . . . . . . .
23
11.5 Correntes dependentes do tempo . . . . . . . . . .
29
11.5.1 Descarga do condensador . . . . . . . . . .
29
11.6 Conclus˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
11.7 Resposta aos ET V ′ s . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
11.8 Actividades, Problemas e Quest˜oes. . . . . . . . . .
38
11.8.1 Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
11.8.2 Quest˜oes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
11.8.3 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
45