Eksponentiell vekst
Aritmetiske rekker
Eksponentiell vekst
an + 1 = an + d og an = a1 + ( n − 1) d
f(t)
sn =
f(t) = a · bt f(t) = a · ekt
a1 + an ⋅n 2
Geometriske rekker a
an + 1 = an k og an = a1 k n − 1
0<b< 1 k<0
t
sn = a1 ⋅
n→∞
Inger Christin Borge har doktorgrad innenfor (kalgebra ≠ 1) fra University of Oxford. Hun er ansatt ved Universitetet i Oslo hvor hun er første(−1lektor < k <ved 1) Matematisk institutt.
kn −1 k −1
s = lim sn =
Logistisk vekst
a1 1− k
f(t) C
Integrasjonsregler
∫
f C 2
∫
C f (t ) = 1+ a ⋅ e− bt
C 1+ a
John Engeseth har bred undervisningspraksis 1 r +1 ( r ≠ −1)til daglig ved Elvebakken x r dx = x + C og underviser r +1 videregående skole. Han har vært forfatter 1 av matematikkbøker for videregående skole d x = ln x + C ( x ≠ 0) i mange år. x
1 kx
∫ e dx = k e + C kx
t
En endelig stokastisk variabel X har m mulige verdier k1, k2, … , km. • µ = E( X ) = k1 ⋅ P ( X = k1) + + km ⋅ P ( X = km ) • E( aX + b) = aE( X ) + b • E( X + Y ) = E( X ) + E(Y )
σ 2 = Var( X ) = (k1 − µ )2 ⋅ P ( X = k1) + + (km − µ )2 ⋅ P ( X = km ) σ = SD( X ) = Var( X ) Var( aX + b) = a2 Var( X ) Var( X + Y ) = Var( X ) + Var(Y ) når X og Y er uavhengige.
Normalfordelingen Hvis X er normalfordelt med forventning μ og standardavvik σ, har X tettheten ( x − µ )2
− 1 2 f (x) = e 2σ σ 2π
• •
P ( a ≤ X ≤ b) er arealet under grafen til f mellom x = a og x = b. X−µ Z= er standardnormalfordelt, og vi har at σ E(Z) = 0 og SD(Z) = 1.
b>1 k>0
n
∫ f ( x ) dx = lim ∑ f ( x i ) ⋅ x , der x = a
b
n→ ∞
i =1
Geometriske rekker a
0<b< 1 k<0
n→∞
Sigrid Melander Vie er utdannet sivilingeniør fra NTNU. Hun jobber som lærer ved Rud videregående skole og underviser i matematikk og fysikk. Sigrid har i flere år bidratt til Aschehougs læreverk i matematikk for videregående skole.
a1 1− k
(−1 < k < 1)
Integrasjonsregler 1
∫ x dx = r + 1 x r
f C 2
r +1
+C
1
∫ x dx = ln x + C
( r ≠ −1) ( x ≠ 0)
1 kx
∫ e dx = k e + C kx
t
Det bestemte integralet b
Forventningsverdi En endelig stokastisk variabel X har m mulige verdier k1, k2, … , km. • µ = E( X ) = k1 ⋅ P ( X = k1) + + km ⋅ P ( X = km ) • E( aX + b) = aE( X ) + b • E( X + Y ) = E( X ) + E(Y )
Aunivers.no inneholder blant annet: • Fullstendige løsninger av alle oppgavene • Interaktive oppgaver • Eksamensløsninger • Opplæringsressurser til GeoGebra og Python • Læringsløp med programmering
n
∫ f ( x ) dx = lim ∑ f ( x i ) ⋅ x , der x = n→ ∞
a
i =1
b
b−a n
∫ f ( x ) dx = [ F ( x )] a = F ( b) − F ( a), der F ′( x ) = f ( x ) b
a
Areal og integral Varians og standardavvik • • • •
Som lærer får du også tilgang til: • Kapittelomtaler • Kapittelprøver • Terminprøver • Aktivt klasserom
f(x)
σ 2 = Var( X ) = (k1 − µ )2 ⋅ P ( X = k1) + + (km − µ )2 ⋅ P ( X = km ) σ = SD( X ) = Var( X ) Var( aX + b) = a2 Var( X ) Var( X + Y ) = Var( X ) + Var(Y ) når X og Y er uavhengige.
f(x) a A a
x
A = ∫ f ( x ) dx
Normalfordelingen
a
Hvis X er normalfordelt med forventning μ og standardavvik σ, har X tettheten ( x − µ )2
Ørnulf Borgan Inger Christin Borge
BM
John Engeseth Odd Heir
− 1 2 f (x) = e 2σ σ 2π
• •
P ( a ≤ X ≤ b) er arealet under grafen til f mellom x = a og x = b. X−µ Z= er standardnormalfordelt, og vi har at σ E(Z) = 0 og SD(Z) = 1.
b
A = − ∫ f ( x ) dx a
Grensekostnad og grenseinntekt K ( x + 1) − K ( x ) ≈ K ′( x ) I ( x + 1) − I ( x ) ≈ I ′( x )
Vinningsoptimal produksjonsmengde Overskuddet er størst når I ′( x ) = K ′( x ).
Kostnadsoptimal produksjonsmengde
Håvard Moe
Kostnadsoptimal produksjonsmengde
Enhetskostnaden er lavest når G( x ) = K ′( x ) .
Tea Toft Norderhaug
Enhetskostnaden er lavest når G( x ) = K ′( x ) .
ISBN 978-82-03-40899-1 9 788203 408991
Sigrid Melander Vie
b A
b
b
K ( x + 1) − K ( x ) ≈ K ′( x ) På Aunivers.no finner du Aschehougs digitale læremidler. I ( x + 1) − I ( x ) ≈ I ′( x )
Overskuddet er størst når I ′( x ) = K ′( x ).
(k ≠ 1)
f(t)
a
Vinningsoptimal produksjonsmengde
kn −1 k −1
s = lim sn =
C
b
Læreboka A x Læreboka inneholder teori, eksempler og innlæringsa b oppgaver samt differensierte oppgaver til hvert underkapittel. I tillegg har vi UTFORSK-oppgaver som b b får til å gå i dybden og se sammenhenger i A =elevene f ( x ) d x A = − f ( x ) d x ∫ ∫ a og SNAKK-oppgaver som gir elevene a mulighet faget, til å kommunisere matematikk. Slutten av hvert kapittel inneholder blandede oppgaver, sammendrag og kapitteltest. Grensekostnad og grenseinntekt
t
Logistisk vekst
∫ f ( x ) dx = [ F ( x )] a = F ( b) − F ( a), der F ′( x ) = f ( x )
ressurser på Aunivers.no. f(x)
an + 1 = an k og an = a1 k n − 1 sn = a1 ⋅
b−a n
Matematikk S2 følger fagfornyelsens læreplan i
a1 + an ⋅n 2
sn =
f(t) = a · bt f(t) = a · ekt
C 1+ a
Areal og integral matematikk S2, og består av lærebok og digitale Varians og standardavvik
Tea Toft Norderhaug har mastergrad i matematikk fra NTNU. Hun er lærer ved Bjørknes privatskole og underviser i matematikk, kjemi og naturfag. Tea har i flere år bidratt til Aschehougs læreverk i matematikk for videregående skole.
an + 1 = an + d og an = a1 + ( n − 1) d
f(t)
Odd Heir har i en årrekke vært lærer, lærebokforfatter og kursholder i matematikk for Det bestemte integralet videregående skole. b
Forventningsverdi
• • • •
Håvard Moe har bred realfaglig utdanning og har skrevet lærebøker i matematikk i mange år. Han er lærer ved Sandnessjøen videregående skole og underviser i matematikk, fysikk og kjemi.
Borgan • Borge • Engeseth • Heir • Moe • Norderhaug • Vie
b>1 k>0
Ørnulf Borgan er professor emeritus ved Matematisk institutt, Universitetet i Oslo, der han arbeider med utvikling og anvendelser av statistiske metoder. Han har vært lærebokforfatter i mange år og har gitt en rekke kurs og foredrag for lærere i videregående skole.
Aritmetiske rekker
x