Potenser med rasjonale eksponenter og n-terøtter
Topp- og bunnpunkter b
0
0
x
t
Borgan er professor emeritus ved ( ) Ørnulf Matematisk institutt, Universitetet i Oslo, der
a n = n at = n a
t
han arbeider med utvikling og anvendelser av statistiske metoder. Han har vært lærebokforfatter i mange år og har gitt en rekke kurs Logaritmer og kforedrag Briggske: 10lg p = p og lg10 = k for lærere i videregående skole.
a er et maksimalpunkt. ( a , f ( a)) er et toppunkt. b er et minimalpunkt. ( b , f ( b)) er et bunnpunkt.
Logaritmesetningene
Vendepunkter x
a f’’(x)
lg ab = lg a + lg b a lg = lg a − lg b b
ln ab = ln a + ln b a ln = ln a − ln b b
lg a b = b ⋅ lg a
0
ln a b = b ⋅ ln a
John Engeseth har bred undervisningspraksis og underviser til daglig ved Elvebakken videregående skole. Han har vært forfatter av matematikkbøker for videregående skole Kontinuitet og grenseverdier ( x ) = f (år. a) f er kontinuerlig i a: lim if mange
a er et infleksjonspunkt.
( a , f ( a)) er et vendepunkt.
x→a
hvis og f (fx(og )x=) =bare b b hvis lim lim f (fx()x=) =b b ∧ ∧ lim lim f (fx()x=) =b .b lim f ( x ) = lim blim + + − −
Andrederiverttesten
Hvis f ′( a) = 0 og f ′′( a) > 0, er ( a , f ( a) ) et bunnpunkt. Hvis f ′( a) = 0 og f ′′( a) < 0, er ( a , f ( a) ) et toppunkt.
x→ x→ aa
x→a
Derivasjonsregler
( x ) = nx n ′
Omvendte funksjoner Df
Vf
x
g′( y ) =
y g
1 f ′( x )
Dg
(f ′( x ) ≠ 0 )
Skalarproduktet [ x1 , y1] ⋅ [ x 2 , y 2 ] = x1 ⋅ x 2 + y1 ⋅ y 2 u ⋅ v = u ⋅ v ⋅ cos α
Parallelle vektorer
= kv u uv v ⇔ u =ukv
Ortogonale vektorer
x→ x→ aa
Tea Toft Norderhaug har mastergrad i matematikk fra NTNU. Hun er lærer ved Bjørknes privatskole og underviser i matematikk, kjemi og naturfag. Tea har i flere år bidratt til Aschehougs læreverk i matematikk for videregående skole.
f’(x)
uu⊥⊥vv ⇔ uu⋅ v⋅ v==00
a
b
0
0
x
( )
Logaritmesetningene a
f’’(x)
x
0
lg ab = lg a + lg b a lg = lg a − lg b b
ln ab = ln a + ln b a ln = ln a − ln b b
lg a b = b ⋅ lg a
ln a b = b ⋅ ln a
a er et infleksjonspunkt.
( a , f ( a)) er et vendepunkt.
Kontinuitet og grenseverdier f er kontinuerlig i a: lim f ( x ) = f ( a) x→a
hvis og f (fx(og )x=) =bare b b hvis lim lim f (fx()x=) =b b ∧ ∧ lim lim f (fx()x=) =b .b lim f ( x ) = lim blim + + − −
Andrederiverttesten
x→ x→ aa
Hvis f ′( a) = 0 og f ′′( a) > 0, er ( a , f ( a) ) et bunnpunkt. Hvis f ′( a) = 0 og f ′′( a) < 0, er ( a , f ( a) ) et toppunkt.
Odd Heir har i en årrekke vært lærer, lærebokforfatter og kursholder i matematikk for videregående skole.
x→ x→ aa
x→a
n
Omvendte funksjoner Df
u ′ u′ v − u v ′ = v v2
f ′( x ) = g′(u ) ⋅ u′ når f ( x ) = g(u ) og u = u( x ) Læreboka Læreboka inneholder teori, eksempler og innlæringsoppgaver samt differensierte oppgaver til hvert Algebraisk definisjon av den deriverte underkapittel. I tillegg har vi UTFORSK-oppgaver som f ( x + x ) − f ( x ) f ( x ) ffår ) = lim til å gå i=dybden lim og se sammenhenger i ′( xelevene x → 0 x x → 0 x elevene mulighet faget, og SNAKK-oppgaver som gir til å kommunisere matematikk. Slutten av hvert kapittel inneholder blandede oppgaver, sammendrag og kapitteltest.
Parameterframstilling for rette linjer
g′( y ) =
Dg
(f ′( x ) ≠ 0 )
u ⋅ v = x1 ⋅ x 2 + y1 ⋅ y 2 u ⋅ v = u ⋅ v ⋅ cos α
Parallelle vektorer
u uv v ⇔ u =ukv = kv
Ørnulf Borgan Inger Christin Borge
BM
John Engeseth Håvard Moe Tea Toft Norderhaug
9 788203 408847
g
Skalarproduktet
Som lærer får du også tilgang til: • Kapittelomtaler • Kapittelprøver • Terminprøver • Aktivt klasserom
Odd Heir
ISBN 978-82-03-40884-7
y
1 f ′( x )
Sigrid Melander Vie
Ortogonale vektorer
n −1
u ′ u′ v − u v ′ = v v2 (ln x )′ =
+ at du Aschehougs digitale læremidler. x = x0 finner På Aunivers.no m: y = y 0 + bt er en parameterframstilling for den rette linja m som går gjennom punktet ( x0 , y 0 ) og har retningsvektoren [a , b].
f
Vg
x→ x→ aa
(u v )′ = u′ v + u v ′ Vf
x
Aunivers.no inneholder blant annet: • Fullstendige løsninger av alle oppgavene • Interaktive oppgaver • Eksamensløsninger • Opplæringsressurser til GeoGebra og Python • Læringsløp med programmering
x→ x→ aa
Derivasjonsregler
( x )′ = nx
n −1
1 (ln x )′ = R1 følger fagfornyelsens læreplan i Matematikk x matematikk R1, og består av lærebok og digitale (e x )′ = e x ressurser på Aunivers.no.
t
Briggske: 10lg p = p og lg10k = k Naturlige: eln p = p og lnek = k
Vendepunkter
Sigrid Melander Vie er utdannet sivilingeniør fra NTNU. Hun jobber som lærer ved Rud videregående skole og underviser i matematikk og fysikk. Sigrid har i flere år bidratt til Aschehougs læreverk i matematikk for videregående skole.
t
a n = n at = n a
Logaritmer
a er et maksimalpunkt. ( a , f ( a)) er et toppunkt. b er et minimalpunkt. ( b , f ( b)) er et bunnpunkt.
(u v )′ = u′ v + u v ′
f
Vg
Håvard Moe har bred realfaglig utdanning og har skrevet lærebøker i matematikk i flere år. Han er lærer ved Sandnessjøen videregående skole og underviser i matematikk, fysikk og kjemi.
Naturlige: eln p = p og lnek = k Inger Christin Borge har doktorgrad innenfor algebra fra University of Oxford. Hun er ansatt ved Universitetet i Oslo hvor hun er førstelektor ved Matematisk institutt.
Potenser med rasjonale eksponenter og n-terøtter
Topp- og bunnpunkter Borgan • Borge • Engeseth • Heir • Moe • Norderhaug • Vie
f’(x)
a
uu⊥⊥vv ⇔ uu⋅ v⋅ v==00
1 x
(e x )′ = e x f ′( x ) = g′(u ) ⋅ u′ når f ( x ) = g(u ) og u = u( x )
Algebraisk definisjon av den deriverte f ′( x ) = lim
x → 0
f ( x ) f ( x + x ) − f ( x ) = lim x → 0 x x
Parameterframstilling for rette linjer x = x0 + at m: y = y 0 + bt er en parameterframstilling for den rette linja m som går gjennom punktet ( x0 , y 0 ) og har retningsvektoren [a , b].