Issuu

John Engeseth har bred undervisningspraksis og underviser til daglig ved Elvebakken videregående skole. Han har vært forfatter av matematikkbøker for videregående skole i mange år.

Sigrid Melander Vie er utdannet sivilingeniør fra NTNU. Hun jobber som lærer ved Rud videregående skole og underviser i matematikk og fysikk. Sigrid har skrevet lærebøker i matematikk for videregående skole i flere år. Hun ble tildelt Holmboeprisen i 2025.

Tea Toft Norderhaug har mastergrad i matematikk fra NTNU, og har skrevet lærebøker i matematikk for videregående skole i flere år. Hun er lærer ved Briskeby videregående skole og underviser i matematikk og kjemi.

Tor Espen Kristensen har lang undervisnings erfaring fra Stord vidaregåande skule og var leder for eksamensnemnda for programfag i matematikk. Han var også med i arbeidet med læreplanen LK20 og har undervist i matematikk på alle nivåer, fra grunnskole til universitet. Han ble tildelt Holmboeprisen i 2022.

Odd Heir har i en årrekke vært lærer, lærebokforfatter og kursholder i m atematikk for v ideregående skole. Han ble tildelt Holmboeprisen i 2009.

Som lærer får du også tilgang til • kapittelomtaler • kapittelprøver • terminprøver • egenvurderinger • elevaktiviteter

– forenklet

Påbygging

Påbygging – forenklet

Forenklet bok Denne boka har de samme kapitlene som læreboka og er lagd for innskriving. Utvalgte, grunnleggende emner innføres med et minimum av teori og med tilpassede oppgaver. Eleven loses gjennom fagstoffet med tydelige eksempler, via delvis løste oppgaver til mer selvstendig arbeid. Til slutt i hvert kapittel er det programmeringsinnhold og eksamensoppgaver.

Aunivers inneholder blant annet • oppgaveveiledere med KI-støtte • opplæringsressurser til GeoGebra, Excel og Python • interaktive oppgaver • eksamensløsninger

Påbygging

Matematikk Påbygging følger læreplanen i matematikk 2P-Y (LK20) og består av lærebok, forenklet bok og digitale ressurser på Aunivers.

Engeseth • Heir • Kristensen • Moe • Norderhaug • Vie

Håvard Moe har bred realfaglig utdanning og har skrevet lærebøker i matematikk i mange år. Han er lærer ved Sandnessjøen v ideregående skole og underviser i matematikk, fysikk og kjemi.

John Engeseth

Odd Heir Tor Espen Kristensen Håvard Moe Tea Toft Norderhaug

ISBN 978-82-03-41469-5

Sigrid Melander Vie

9 788203 414695

9788203414695_Mat2PY_FE_bm_o.indd Alle sider

18.08.2026 14:37

John Engeseth Odd Heir Tor Espen Kristensen Håvard Moe Tea Toft Norderhaug Sigrid Melander Vie

– forenklet

Påbygging

Bokmål

2PYF-Book.indb 1

18.08.26 13.01

Innhold 1 Praktisk regning

4 Polynom- og eksponentialfunksjoner

Vi legger sammen og trekker fra 5

Andregradsfunksjoner 83

Vi regner med positive og negative tall 7

Tredjegradsfunksjoner 90

Vi ganger og deler 8

Vekstfart 91

Regnerekkefølge 11

Regresjon med polynomfunksjoner 93

Vi ganger/deler med 10, 100, 1000 12

Prosentendring i flere perioder 95

Brøk 15

Eksponentialfunksjonen 96

Veien om 1 18

Modellering med eksponentialfunksjoner 100

Proporsjonalitet 20

Programmering 103

Prosent 23

Eksamensoppgaver 104

Prosentpoeng 27 Prosentregning 29 Vekstfaktor 34

5 Statistikk

Programmering 37

Sentralmål 107

Eksamensoppgaver 38

Diagrammer 117 Spredningsmål 124

2 Utforsking og generalisering

Å presentere data 126

Figurtall 41

Programmering 132

Tallfølger 46

Eksamensoppgaver 133

Å analysere data 130

Flere tallmønstre 48 Programmering og Excel 50 Eksamensoppgaver 53

6 Potenser og røtter Potenser 139

3 Funksjoner

Regning med potenser 140

Koordinatsystemet 57

Omvendt proporsjonalitet 151

Funksjonsbegrepet 59

Kvadratrot 154

Lineære funksjoner 65

Kubikkrot 155

Lineære modeller 69

Programmering 156

Fra målinger til modell 73

Eksamensoppgaver 157

Store og små tall – standardform 147

Programmering 78 Eksamensoppgaver 80

2PYF-Book.indb 2

Fasit 159

18.08.26 13.01

Om Matematikk Påbygging – forenklet Matematikk Påbygging – forenklet er én av komponentene i Matematikk Påbygging, som består av • lærebok • forenklet bok • digitale ressurser for elever og lærere på Aunivers Forenklet bok Denne engangsboka har de samme kapitlene som læreboka. Utvalgte, grunnleggende emner innføres med et minimum av teori og med tilpassede oppgaver. Boka kan brukes i kombinasjon med læreboka, eller den kan brukes alene. Den passer for elever som skal ha vurdering, og som trenger å repetere grunnleggende matematikk. Den kan også brukes av elever som ikke skal ha vurdering i faget. Fagstoffet blir fulgt opp med tydelige eksempler via delvis løste oppgaver til mer selvstendig arbeid. Alle oppgavene vi mener bør løses med hjelpemidler, er merket med . ......

Til slutt i hvert kapittel er det programmeringsinnhold og eksamensoppgaver. Når du mestrer oppgavene i denne boka, bør du prøve deg på oppgavene i læreboka. Vi håper at Matematikk Påbygging – forenklet hjelper deg på veien til å mestre matematikk. Vi setter stor pris på kommentarer og innspill, så send oss gjerne en e-post til matematikkpabygging@aschehoug.no. Vi ønsker deg lykke til med faget! Hilsen forfatterne John Engeseth Odd Heir Tor Espen Kristensen Håvard Moe Tea Toft Norderhaug Sigrid Melander Vie og redaktør Harald Øyen Kittang

2PYF-Book.indb 3

18.08.26 13.01

1 Praktisk regning

KAPITTELINNHOLD 2PYF-Book.indb 4

Vi legger sammen og trekker fra 5 Vi regner med positive og negative tall 7 Vi ganger og deler 8 Regnerekkefølge 11 Vi ganger/deler med 10, 100, 1000 12 Brøk 15 Veien om 1 18

Proporsjonalitet 20 Prosent 23 Prosentpoeng 27 Prosentregning 29 Vekstfaktor 34 Programmering 37 Eksamensoppgaver 38

18.08.26 13.01

Vi legger sammen og trekker fra

Vi legger sammen og trekker fra EKSEMPEL 1 Regn ut. a 35 + 19 b 3,5 + 1,9

3,5 35 b Vi begynner bakerst. 5 + 9 = 14 + 1,9 + 19 = 54

Vi fører 4-tallet ned, og én tier i minne.

= 5,4

Regn her: 101 Regn ut. a 36 + 9 b 47 + 15 c 386 + 29 d 3,8 + 1,3

2PYF-Book.indb 5

18.08.26 13.01

1 Praktisk regning

Regn her: 102 Regn ut. a 7,4 + 1,7 b 2,3 + 6,8

EKSEMPEL 2 Regn ut. 35 − 19

35 − 19

= 16

Vi begynner bakerst: 5 – 9 «går ikke», vi låner én tier og veksler i 10 enere.

Regn her: 103 Regn ut. a 64 − 25 b 5,7 − 2,9 c 265 − 47

104 Regn ut. a 6,4 − 3,8 b 235 − 57 c 23,5 − 5,7

2PYF-Book.indb 6

18.08.26 13.01

Vi regner med positive og negative tall

Vi regner med positive og negative tall EKSEMPEL 3 Regn ut. a −1 + 5

a −1 + 5 = 4

b −1 − 3 = −4 +5

–3

b −1 − 3 –2 –1 0

–5 –4 –3 –2 –1 0

105 Regn ut. Bruk tallinja hvis det er til hjelp.

–6 –5 –4 –3 –2 –1

a −2 + 7 =

b −5 − 8 =

c −3 − 3 =

d 6 − 10 =

e 8 − 12 =

f −5 + 8 =

106 Hvilket tall skal stå på strekene? a −5 +

= 2

b 15 −

= −2 c −3 +

d 5−

= −7

e −2 +

= 5

= −10

f −1 −

107 a Les av på figuren.

Medlemmer i idrettslaget 80

Antall jenter:

70 60 50 40 30 20 10

Jenter

Gutter

Voksne

b På årsmøtet blir det sagt at mer enn halvparten av medlemmene er voksne. Stemmer det? Begrunn svaret.

c Hvor mange flere jenter enn gutter er medlemmer i idrettslaget?

2PYF-Book.indb 7

18.08.26 13.01

1 Praktisk regning

Vi ganger og deler 1

90 100

108 Regn ut. a 7⋅3=

b 5 ⋅ 4 =

c 8⋅5=

d 3 ⋅ 9 =

e 9⋅4=

f 8 ⋅ 6 =

g 4⋅9=

h 8 ⋅ 7 =

109 Regn ut. a 8:2=

b 9 : 3 =

c 25 : 5 =

d 81 : 9 =

e 21 : 7 =

f 5 ⋅ 6 =

g 7⋅6=

h 42 : 6 =

110 a Kan vi gange 7 med et helt tall og få 62 til svar? b Kan vi gange 5 med et helt tall og få 105 til svar? c Kan vi gange 3 med et helt tall og få 28 til svar? 111 Hvilket tall skal stå på strekene? a 5⋅

= 15 b 8 :

= 2 c

⋅ 5 = 20 d

:4=5

= 28 c

: 5 = 3 d

⋅ 3 = 27

112 Hvilket tall skal stå på strekene? a 24 :

= 3 b 7 ⋅

EKSEMPEL 4 Regn ut. 23 ⋅ 34

600

600 + 90 + 80 + 12 = 782

23 ⋅ 34 = 782

2PYF-Book.indb 8

18.08.26 13.01

Vi ganger og deler

Regn her: 113 Regn ut. a 12 ⋅ 34 b 43 ⋅ 54 c 84 ⋅ 17

114 Regn ut. a 27 ⋅ 64 b 85 ⋅ 17

115 Figuren viser hvor mange elever som kom på leksehjelpen i ukene mellom jule- og vinterferien. a Hvilke uker kom det flere enn 22 elever?

b De som kommer på leksehjelpen, får mat. Matutgiftene er 15 kr per elev. Hvor store var matutgiftene til sammen for denne perioden?

32 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 Uke 2 Uke 3 Uke 4 Uke 5 Uke 6 Uke 7

Regn og skriv svarsetning her:

2PYF-Book.indb 9

18.08.26 13.01

1 Praktisk regning

EKSEMPEL 5 Regn ut. 7,4 ⋅ 1,2

Vi tenker oss først at det ikke står noe komma i tallene. Vi regner ut 74 ⋅ 12 på samme måte som vi gjorde i eksempel 4.

700

140

+ 40 + 140 +

= 888 I 7,4 er det én desimal, og i 1,2 er det én desimal. Da skal det være 1 + 1 = 2 desimaler i svaret.

7,4 ⋅ 1,2 = 8,88

Regn her: 116 Regn ut. a 3,8 ⋅ 2,1 b 8,5 ⋅ 4,3 c 5,7 ⋅ 5,4 d 7,8 ⋅ 6,4

117 Regn ut. a 18,5 ⋅ 3,4 b 6,4 ⋅ 1,7 c 9,24 ⋅ 4,1 d 7,5 ⋅ 18,2

2PYF-Book.indb 10

18.08.26 13.01

Regnerekkefølge

Regnerekkefølge Ord som betyr det samme gange multiplisere dele dividere legge sammen addere trekke fra subtrahere

Regnerekkefølge ❶ Parenteser ❷ Potenser og kvadratrøtter ❸ Multiplikasjon og divisjon ❹ Addisjon og subtraksjon 3

2 + 3 · 4 = 2 + 12 = 14 1

(2 + 3) · 4 = 5 · 4 = 20

EKSEMPEL 6 Regn ut. 4+2⋅6

4 + 2 ⋅ 6 = 4 + 12 = 16

Ganging først!

118 Regn ut. a 7+4⋅3=

b 5⋅2− 8=

c 3+2⋅7=

d 8:2−5=

e 3⋅2+4⋅3=

f 2+3⋅9−4⋅2=

g 4−3⋅2=

h 8:2+2=

2PYF-Book.indb 11

1+2⋅3−4⋅5+6=

18.08.26 13.01

1 Praktisk regning

Vi ganger/deler med 10, 100, 1000 119 Bruk kalkulatoren til å regne ut. ......

2,35 ⋅ 10 =

2,35 ⋅ 100 =

2,35 ⋅ 1000 =

455 : 10 =

455 : 100 =

455 : 1000 =

Ser du systemet? Forklar:

Å gange med 10 er det samme som å flytte kommaet én plass mot høyre. Å gange med 100 er det samme som å flytte kommaet to plasser mot høyre. Og så videre. Å dele med 10 er det samme som å flytte kommaet én plass mot venstre. Å dele med 100 er det samme som å flytte kommaet to plaser mot venstre. Og så videre.

EKSEMPEL 7

Regn ut. a 2,3 ⋅ 100

b 4,5 : 100

2PYF-Book.indb 12

a 2,3 ⋅ 100 = 230 Vi skal flytte kommaet to plasser mot høyre. Vi kan skrive noen nuller bak 3-tallet. Da blir det lettere å flytte kommaet.

2,30000

b 4,5 : 100 = 0,045 Vi skal flytte kommaet to plasser mot venstre. Vi kan skrive noen nuller foran 4-tallet. Da blir det lettere å flytte kommaet.

00004,5 : 100

18.08.26 13.01

Vi ganger/deler med 10, 100, 1000

120 Regn ut. a 1,12 ⋅ 10 =

b 3,5 ⋅ 100 =

c 6,0 ⋅ 1000 =

d 24,5 : 10 =

e 5,6 : 100 =

f 45,5 : 1000 =

121 Regn ut. a 35,4 : 10 =

d 3,5 : 100 =

e 0,05 : 10 =

EKSEMPEL 8 Regn ut. 35 : 1000

b 2,5 : 1000 =

c 240,5 ⋅ 100 =

f 0,5 : 100 =

35 : 1000 = 0,035 I det hele tallet 35 kan vi tenke oss at det står et komma og null bak det bakerste sifret. 35 = 35,0 Så bruker vi «knepet» fra eksempel 7b med å skrive noen nuller foran 3-tallet. Da blir det lettere å flytte kommaet tre plasser mot venstre.

122 Regn ut. a 5 : 10 =

b 45 : 100 =

c 53 : 1000 =

d 7 : 100 =

e 43 : 1000 =

f 65 : 1000 =

123 I en eske med binders er det 100 binders. To hundre og femti tusen binders skal pakkes i esker. Hvor mange esker blir det? Regn og skriv svarsetning her:

2PYF-Book.indb 13

18.08.26 13.01

1 Praktisk regning

124 I en kasse er det tjue lag med bokser. Hvert lag består av ti bokser. Hver boks inneholder 8,5 gram proteinpulver. Hvor mange gram proteinpulver er det i kassa? Regn og skriv svarsetning her:

125 Omtrent én av ti personer skriver med venstrehånda, de er «venstrehendte». På en skole er det 1250 elever. Hvor mange av disse er det rimelig å tro at er «venstrehendte»? Regn og skriv svarsetning her:

126 Lise har 3 L saft. Hun skal fordele saften på 10 små flasker. Hvor mye saft blir det i hver flaske? Regn og skriv svarsetning her:

2PYF-Book.indb 14

18.08.26 13.01

Brøk

Brøk 3 4

teller nevner

I brøken

3 er 3 telleren og 4 nevneren. 4

En brøkstrek betyr det samme som et deletegn. 3 = 3 : 4 = 0,75 4 Fra brøk til desimaltall Vi gjør om fra brøk til desimaltall ved å dele telleren på nevneren.

127 Skriv brøken som desimaltall. 1 a = 4

......

1 = 10

3 = 100

1 = 5

5 = 8

3 = 25

128 Hvor stor del av figuren til høyre er skravert?

Svar som brøk:

Svar som desimaltall:

2PYF-Book.indb 15

18.08.26 13.01

1 Praktisk regning

Utviding og forkorting EKSEMPEL 9 Hvor mange firedeler er én halv? 1 _ 2

1 _ 2

1 _ 4

Vi tenker oss at vi har en kake som vi først deler i to like store deler 1 2 og deretter i fire like store deler. Da ser vi at = . 2 4 Det kunne vi også funnet ved å utvide brøken. 1 1⋅ 2 2 = = 2 2⋅ 2 4

Vi utvider en brøk ved å multiplisere (gange) med det samme tallet i teller og nevner. Vi forkorter en brøk ved å dividere (dele) med det samme tallet i teller og nevner. Det endrer ikke verdien av brøken.

129 1 a Utvid slik at nevneren blir 8. 2 1 b Utvid slik at nevneren blir 15. 5 2 c Utvid slik at nevneren blir 25. 5 3 d Utvid slik at nevneren blir 16. 4 Regn her:

2PYF-Book.indb 16

18.08.26 13.01

Brøk

EKSEMPEL 10 Hvor mange firedeler er to åttendeler?

1 _ 8

1 _ 4

På figuren til venstre har vi delt figuren i åtte like store deler og 2 skravert to av delene. Vi har skravert av figuren. På figuren til høyre 8 2 1 har vi delt figuren i fire like stor deler. Da ser vi at = . 8 4 Det kunne vi også funnet ved å forkorte brøken. 2 2: 2 1 = = 8 8:2 4

130 Forkort brøken. 2 a = 8 b

9 = 12

12 = 18

Regn her:

Å gange et tall med en brøk Når vi multipliserer (ganger) et helt tall med en brøk, ganger vi tallet opp i telleren. 4⋅

131 Regn ut. 1 a 2⋅ = 3

2PYF-Book.indb 17

3 ⋅3 10

5 ⋅4 6

2 4⋅2 8 = = 3 3 3

Regn her:

18.08.26 13.01

1 Praktisk regning

Veien om 1 EKSEMPEL 11 I en oppskrift på havregrøt leser Magnus at han trenger 3 dL havregryn til fire porsjoner.

Vi finner først ut hvor mye havregryn han trenger til 3 én porsjon: = 0,75 4 Til én porsjon trenger han 0,75 dL havregryn. Vi ganger 0,75 med 6 for å finne ut hvor mye han trenger til seks porsjoner:

Hvor mye havregryn trenger han til seks porsjoner?

0,75 ⋅ 6 = 4,5 Til seks porsjoner trenger han 4,5 dL havregryn.

Veien om 1 Vi finner først ut hvor mye som tilsvarer én enhet, for eksempel hvor mye havregryn vi trenger til én porsjon. Deretter ganger vi med antall enheter vi skal ha.

132 Nam skal lage eplejuice. Han får 1,2 liter eplejuice av 3,0 kg epler. Hvor mange kg epler må han kjøpe for å lage 4,2 liter?

......

Antall kilogram epler til én liter juice: Antall kilogram epler til 4,2 liter juice: Nam trenger

3,0 = _________ 1,2 _________⋅ 4,2 = _________

kg epler.

133 3 m tøy koster 111 kr. Hvor mye koster 5 m tøy? ......

Antall kroner for 1 m tøy: Antall kroner for 5 m tøy: 5 m tøy koster

kr.

134 Til fire porsjoner av en rett må du beregne 900 g kjøtt. Hvor mye kjøtt må du regne med til sju porsjoner?

......

Regn og skriv svarsetning her:

2PYF-Book.indb 18

18.08.26 13.01

Veien om 1

135 Tine bruker 15 minutter på å jogge 2,5 km med konstant fart. Hvor lang tid vil hun bruke på å jogge 4 km hvis hun holder den samme konstante farten?

......

Regn og skriv svarsetning her:

136 Anne Mari beiser huset. Det første spannet med beis var på 8 L, og det var nok til å beise 16 m2. Hvor mye beis går det med til å beise 100 m2?

......

Regn og skriv svarsetning her:

137 Et grovbrød veier 780 gram og koster 46,50 kr. Vi får 26 skiver av brødet. En pakke skinkepålegg veier 170 gram, inneholder 14 skiver og koster 42,50 kr. En pakke med 400 g margarin koster 31,20 kr. a Hvor mye koster tre skiver brød? b Hvor mye veier fem skiver skinke? c Hvor mye koster 20 g margarin? d Til et smørbrød bruker du én skive grovbrød, to skiver skinke og 5 g margarin. Regn ut prisen på smørbrødet.

......

Regn og skriv svarsetning her:

2PYF-Book.indb 19

18.08.26 13.01

1 Praktisk regning

Proporsjonalitet Ingrid har fått jobb ved siden av skolen og tjener 200 kr per time. Jobber hun to timer, tjener hun 400 kr. Jobber hun tre timer, tjener hun 600 kr. Hvis arbeidstiden dobles, øker lønna til det dobbelte. Hvis arbeidstiden tredobles, øker lønna til det tredobbelte. Lønna til Ingrid er proporsjonal med arbeidstiden.

Når to størrelser y og x er proporsjonale størrelser, kan vi skrive y=a·x der a er et fast tall som vi kaller proporsjonalitetskonstanten.

Lar vi y kr være lønna når Ingrid jobber x timer, er y = 200 ⋅ x. Proporsjonalitetskontanten er 200, og proporsjonalitetskonstanten er her det samme som timelønna. Vi sier at y = 200 ⋅ x er en formel for lønna til Ingrid når hun jobber x timer. 138 På Verdensteateret koster smågodt 12 kr per hg. a Hvor mye må du betale for 2 hg? b Hvor mye må du betale for 4 hg? c Hvor mye må du betale for 8 hg? d Forklar at det du må betale og antall hg du kjøper, er proporsjonale størrelser.

e La P kr være prisen for x hg smågodt. Skriv opp en formel for P. 139 I butikken koster én avokado 12 kr. La P kr være prisen for n avokadoer. Skriv opp en formel for P. 140 I fiskebutikken er det stykkpris på fiskekaker. For tre fiskekaker betaler Per 42 kr. a Hvor mye koster én fiskekake? b La P kr være prisen for n fiskekaker. Skriv opp en formel for P.

2PYF-Book.indb 20

18.08.26 13.01

Proporsjonalitet

På forrige side stod det at lønna y kr når Ingrid jobber x timer, er gitt ved y = 200 ⋅ x. Tegner vi grafen til y = 200 ⋅ x, får vi en rett linje som går gjennom origo. Origo er punktet (0 , 0). Ingrid kan ikke jobbe «minus timer», derfor tegner vi linja for x-verdier fra og med 0. Av figuren ser du for eksempel at Ingrid tjener 800 kr hvis hun jobber fire timer.

y (kr) 1000 800 600 400 200 x (antall timer) 1

En graf som viser sammenhengen mellom to proporsjonale størrelser, vil alltid være en rett linje gjennom origo.

141 Amanda jobber på senteret. Figuren nedenfor viser hvordan lønna varierer med antallet timer hun jobber. a Hvor mye tjener hun hvis hun jobber fire timer? b Hvor mye tjener hun per time? c Forklar at lønna til Amanda og antall timer hun jobber, er proporsjonale størrelser.

Regn og skriv svarsetninger her:

Lønn (kr) 900 800 700 600 500 400 300 200 100

Antall timer 1

142 På Palassteateret kan vi få kjøpt smågodt. Figuren nedenfor viser hvordan prisen varierer med mengden. a Hvor mye må vi betale for 2 hg? b Lorenzo kjøpte smågodt for 60 kr. Hvor mye smågodt kjøpte Lorenzo? c Hvor mye må vi betale for 7 hg smågodt? 70

Pris (kr)

60 50 40 30 20 10

Mengde (hg) 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5

2PYF-Book.indb 21

18.08.26 13.02

1 Praktisk regning

Hvis vi dividerer med x på begge sider i likningen y = a · x, får vi Hvis vi har to størrelser y og x og er y og x proporsjonale størrelser.

y = a. x

y er konstant, alltid blir det samme tallet, x

EKSEMPEL 12 I kjøttdisken ligger tre forskjellige pakker med karbonadedeig.

Vi utvider tabellen med én rad til, og regner ut forholdet mellom prisen og vekten for hver pakke.

Vekt i kg

0,4

0,8

1,2

Vekt i kg

0,4

0,8

1,2

Pris i kr

144

Pris i kr

144

Pris i kr Vekt i kg

120

Er prisen proporsjonal med vekten?

Vi ser at forholdet mellom pris og vekt er det samme for alle pakkene. Prisen er derfor proporsjonal med vekten.

143 Vaskepulveret Superrent selges i pakninger på 0,5 kg, 0,8 kg og 1,2 kg.

Regn og skriv svarsetninger her:

......

Vekt i kg

0,5

0,8

1,2

Pris i kr

Vis at prisen og vekten er proporsjonale størrelser. 144 Treningssenteret selger sportsdrikk i tre ulike størrelser.

......

Mengde i mL

200

300

500

Pris i kr

25,50

42,5

Undersøk om prisen og mengden er proporsjonale størrelser. 145 På butikken koster det 90 kr for en pakning med seks bokser brus, mens det koster 110 kr for en pakning med åtte bokser av den samme typen brus. Undersøk om prisen er proporsjonal med antall brusbokser.

......

2PYF-Book.indb 22

18.08.26 13.02

Prosent

Prosent Hos SSB (Statistisk sentralbyrå) kan vi lese at 93 % av ungdommen mellom 13 og 19 år bruker Snapchat daglig. Det betyr at 93 av 100 gjør det. 93 Andelen som bruker Snapchat er eller 0,93. 100 Vi sier ofte at prosentandelen er 0,93.

Prosent betyr hundredeler. 93 93 % er det samme som brøken , og som desimaltallet 0,93. 100

EKSEMPEL 13 a 25 % betyr 25 hundredeler, så

Skriv 25 % som a en brøk med 100 som nevner

25 % =

25 100

b Fra oppgave a vet vi at 25 % =

b et desimaltall

25 . 100

Brøkstreken er et deletegn, så vi får at

25 = 25 : 100 = 0,25. 100

Å dele med 100 er det samme som å flytte kommaet to plasser til venstre.

146 Skriv som brøk med 100 som nevner. a 8%=

b 27 % =

c 3 % =

b 12 % =

c 2,6 % =

147 Skriv som desimaltall. a 4%=

EKSEMPEL 14 Skriv desimaltallene som brøk med 100 som nevner og som prosent. a 0,42 b 0,06

a 0,42 =

42 = 42% 100

b 0,06 =

6 = 6% 100

148 Skriv desimaltallene som prosent. a 0,12 =

2PYF-Book.indb 23

b 0,04 =

c 2,1 =

18.08.26 13.02

1 Praktisk regning

EKSEMPEL 15 Skriv som prosent ved å bruke kalkulator. a

3 4

3 = 0,75 = 75 % 4

3 = 3:4 4

15 25

15 = 0,60 = 60 % 25

15 = 15 : 25 25

149 Skriv som desimaltall og prosent. ......

3 = _____ = _____ % = 10

1 = ______ = _____ %= 5

3 = ______ = _____ %= 60

2 ==_____ = _____ % = 50

8 = ______ = _____ %= 400

15 = ______ = _____ %= 75

EKSEMPEL 16 Når vi regner ut prosenten, finner vi hvor stor andel noe er av et hele. Det hele er 100 %. Her er tre av fire ruter blå. Vi skal finne hvor mange prosent tre er av fire. 3 = 0,75 = 75 % 4 Hvor mange prosent er det blåfargede området av hele figuren?

Uten hjelpemidler kan vi gjøre slik: 3 3 ⋅ 25 75 = = = 75 % 4 4 ⋅ 25 100

150 Skriv brøkene som prosent med og uten hjelpemidler.

2PYF-Book.indb 24

4 7 = _____________ b = ____________ 5 10

2 == ___________ 25

150 = __________ 100

3 = ________ 20

3 = ________ 50

18.08.26 13.02

Prosent

151 Thomas tok et stykke av kaka. a Hvor mange prosent av kaka tok Thomas?

......

b Hvor mange prosent av kaka ble igjen?

152 Hvor mange prosent er det fargede området av hele området? a Løs oppgaven med hjelpemidler. Regn og skriv svarsetning her:

b Løs oppgaven uten hjelpemidler. Regn og skriv svarsetning her:

153 Hunden Bart ødela tre av husets åtte potteplanter. ......

Hvor mange prosent av plantene ble ødelagt? Regn og skriv svarsetning her:

2PYF-Book.indb 25

18.08.26 13.02

1 Praktisk regning

154 Noen venner har leid en hytte. Hytteleia var 12 500 kr. Lorenzo skulle betale 3750 kr. Hvor mange prosent av hytteleia skulle Lorenzo betale?

......

Regn og skriv svarsetning her:

155 Figuren til høyre viser hvor mange jenter, gutter og voksne som er medlemmer av idrettslaget. Medlemmer som er 18 år eller eldre, regnes som voksne medlemmer.

......

Medlemmer i idrettslaget 80 70 60 50

a Hvor mange prosent av medlemmene idrettslaget er jenter? b Hvor mange medlemmer er det totalt i idrettslaget? c Ungdomsgruppa i laget er jentene og guttene. Hvor mange prosent av medlemmene er dette?

40 30 20 10

Jenter

Gutter

Voksne

Regn og skriv svarsetning her:

Nyttige brøker og prosenter 1 = 0,50 = 50 % 2 1 = 0,333 = 33,3 % 3 1 = 0,25 = 25 % 4 1 = 0,20 = 20 % 5 1 = 0,10 = 10 % 10

2PYF-Book.indb 26

18.08.26 13.02

Prosentpoeng

Prosentpoeng En bank setter ned renta på boliglån fra 5,40 % til 5,00 % per år. Vi sier at banken setter ned renta med 0,4 prosentpoeng. En endring i prosentandelen oppgir vi i prosentpoeng.

EKSEMPEL 17 I en meningsmåling fikk et politisk parti en oppslutning på 20 %. Ved neste måling fikk det samme partiet en oppslutning på 25 %. a Hvor mange prosentpoeng var framgangen på? b Hvor mange prosent var framgangen på?

a 25 − 20 = 5 Framgangen var på 5 prosentpoeng. b Vi finner hvor mange prosent 5 er av 20.

5 = 0,25 = 25 % 20

Framgangen var på 25 %.

156 I en meningsmåling fikk et politisk parti en oppslutning på 8,5 %. Ved neste måling fikk det samme politiske partiet en oppslutning på 10 %. a Hvor stor var økningen i prosentpoeng?

......

b Hvor mange prosent gikk partiet fram med?

157 Andelen jenter i et idrettslag økte et år fra 50 % til 55 %. a Hvor stor var økningen i prosentpoeng?

b Hvor stor var økningen i prosent?

2PYF-Book.indb 27

18.08.26 13.02

1 Praktisk regning

EKSEMPEL 18 I en meningsmåling gikk et politisk parti tilbake fra 15 % til 12 %. a Hvor mange prosentpoeng var tilbakegangen på? b Hvor mange prosent var tilbakegangen på?

a 15 − 12 = 3 Tilbakegangen var på 3 prosentpoeng. b Vi finner hvor mange prosent 3 er av 15. 3 = 0,20 = 20 % 15 Tilbakegangen var på 20 %.

158 Ved en skole er det et år 60 % jenter. Året etter har andelen jenter sunket til 51 %. a Hvor mange prosentpoeng var nedgangen? b Hvor mange prosent var nedgangen på?

......

Regn og skriv svarsetning her:

159 I en meningsmåling gikk et parti ned fra 34,3 % til 32,1 %. a Hva var nedgangen i prosentpoeng? b Hvor mange prosent sank oppslutningen?

......

Regn og skriv svarsetning her:

2PYF-Book.indb 28

18.08.26 13.02

Prosentregning

Prosentregning EKSEMPEL 19 Hva er 5 % av 600?

Vi går veien om 1 %. 100 % svarer til 600. 1 % er da 600 : 100 = 6. 5 % svarer derfor til 6 ⋅ 5 = 30. 5 % av 600 er 30. Vi kan også sette opp dette som ett regnestykke. 600 ⋅ 5 = 6 ⋅ 5 = 30 100

160 a Hva er 10 % av 500?

Vi deler med 100 for å finne 1 %, så ganger vi med 5 for å finne 5 %.

b Hva er 8 % av 600?

Regn og skriv svarsetning her:

161 På en skole med 312 elever svarer 25 % at de ser på Neflix hver dag. Hvor mange av elevene ser daglig på Netflix?

......

Regn og skriv svarsetning her:

162 I en undersøkelse svarte 82 % av 850 spurte av de visste hvem Karsten Warholm er. Hvor mange av de spurte visste hvem Karsten Warholm er?

......

Regn og skriv svarsetning her:

2PYF-Book.indb 29

18.08.26 13.02

1 Praktisk regning

EKSEMPEL 20 Siri tjener 205 kr per time. Timelønna øker med 4 %. a Hvor mye økte timelønna i kroner?

a 100 % svarer til 205 kr. 205 = 2,05. 100 4 % svarer dermed til 2,05 ⋅ 4 = 8,20.

1% er det samme som

b Hva er den nye timelønna? Timelønna økte med 8,20 kr. b ny timelønn = gammel timelønn + økningen 205 + 8,20 = 213,20 Den nye timelønna er 213,20 kr.

163 Timelønna til Per økte med 5 % fra 180 kr. a Hvor mye økte timelønna i kroner? b Hva var den nye timelønna? 164 Antallet medlemmer i en idrettsklubb økte et år med 3 % fra 600 medlemmer. a Hvor mange nye medlemmer var det? b Hva var antallet medlemmer etter økningen? 165 Olav tjener 213,40 kr i timen og jobber 37,5 timer i uka. Olav får en lønnsøkning på 3,4 %. Hvor mye tjener han per uke etter lønnsøkningen.

......

Regn og skriv svarsetning her:

2PYF-Book.indb 30

18.08.26 13.02

Prosentregning

166 En sykkel koster 6000 kr. Prisen blir satt ned med 30 %. ......

a Hva er avslaget i kroner? b Hva er den nye prisen? 167 Prisen på en flybillett var 1500 kr. I en kampanje ble prisen satt ned med 30 %. a Hva var avslaget i kroner? b Hva ble kampanjeprisen?

......

Regn og skriv svarsetning her:

168 En genser til 590 kr blir satt ned i pris med 20 %. Hva er den nye prisen?

......

Regn og skriv svarsetning her:

169 Et alarmselskap selger abonnement til 940 kr per måned. De øker prisen med 5 %. Hva blir den nye prisen?

......

Regn og skriv svarsetning her:

2PYF-Book.indb 31

18.08.26 13.02

1 Praktisk regning

EKSEMPEL 21 Timelønna til Otto økte fra 150 kr til 160 kr. Med hvor mange prosent økte timelønna?

Lønnsøkning i kroner: 160 − 150 = 10 Så må vi regne ut hvor mange prosent 10 kr er av 150 kr. 10 = 0,067 = 6,7 % 150 Timelønna økte med 6,7 %.

Merk! Vi deler alltid på opprinnelig verdi, på den verdien vi har før endringen. 170 Prisen på en vare ble satt opp fra 500 kr til 540 kr. Hvor mange prosent ble prisen satt opp med?

......

Økningen i kroner: Økningen i prosent: Prisen ble satt opp med

171 En timelønn økte fra 152 kr til 160 kr. Hvor mange prosent økte timelønna?

......

Regn og skriv svarsetning her:

2PYF-Book.indb 32

18.08.26 13.02

Prosentregning

172 Det gamle stadionet til Tottenham Football Club hadde plass til 36 284 tilskuere. Da det nye stadionet åpnet i 2019, var det plass til 62 062 tilskuere. Hvor mange prosent flere tilskuere var det da plass til på det nye stadionet?

......

Regn og skriv svarsetning her:

173 I en bedrift ble antallet ansatte redusert fra 20 til 15. Nedgangen i antall ansatte: Nedgangen i prosent: Antallet ansatte ble redusert med

174 En bukse kostet 1200 kr. Prisen ble satt ned til 800 kr. Hvor mange prosent ble prisen satt ned? Regn og skriv svarsetning her:

2PYF-Book.indb 33

18.08.26 13.02

1 Praktisk regning

Vekstfaktor Vi skal nå se på en ny og rask metode til å finne ny verdi ved prosentvis endring. Vi skal se på hvordan vi kan bruke vekstfaktoren.

EKSEMPEL 22 Prisen på en var som koster 500 kr, øker med 20 %. Hva blir den nye prisen?

Vi setter 500 kr lik 100 %. Den nye prisen blir da 100 % + 20 % = 120 % av den gamle prisen. 120 % = 1,2 som desimaltall. Tallet 1,2 kaller vi vekstfaktoren når noe øker med 20 %. Hvis vi ganger 500 kr med 1,2 får vi den nye prisen. 500 ⋅1,2 = 600 Den nye prisen blir 600 kr.

Vi finner ny verdi ved å gange den gamle verdien med vekstfaktoren. Kaller vi ny verdi for N, gammel verdi for G og vekstfaktoren for V, får vi formelen: N=G·V

175 Hva er vekstfaktoren, V, når prisen på en vare går opp med a 40 %

b 25 %

c 54 %

d 150 %

176 Prisen på et par sko blir satt opp med 15 % fra 800 kr. Hva er den nye prisen?

......

Hvor mange prosent er den nye prisen av gammel pris: Da er vekstfaktoren: Ny pris i kroner: Den nye prisen er

2PYF-Book.indb 34

kr.

18.08.26 13.02

Vekstfaktor

177 Et maleri ble kjøpt for 4000 kr. Verdien steg med 30 %. Hva er verdien av maleriet etter verdiøkningen?

......

Regn og skriv svarsetning her:

178 Folketallet i en kommune er 15 000. Vi antar at folketallet vil øke med 4 % hvert år. Hvor mange innbyggere er det i kommunen om ett år?

......

Regn og skriv svarsetning her:

EKSEMPEL 23 Prisen på en vare som koster 500 kr, blir satt ned med 20 %.

Vi setter gammel pris lik 100 %. Den nye prisen blir da 100 % − 20 % = 80 % av gammel pris. 80 % = 0,80 som desimaltall. Vekstfaktoren er 0,80.

Hva er den nye prisen? Vi finner ny pris ved å gange den gamle prisen med vekstfaktoren. 500 ⋅ 0.80 = 400 Den nye prisen er 400 kr.

Merk! I eksempel 23 er vekstfaktoren 0,80. Vi kaller det altså vekstfaktor selv om det er en reduksjon. Vi bruker formelen N = G ⋅ V både ved en økning og ved en reduksjon.

2PYF-Book.indb 35

18.08.26 13.02

1 Praktisk regning

179 Hva er vekstfaktoren, V, når prisen på en vare blir satt ned med a 10 %

b 50 %

c 15 %

d 12,5 %

180 Prisen på en sykkel ble satt ned med 25 % fra 5000 kr. Hva er den nye prisen?

......

Hvor mange prosent er den nye prisen av gammel pris: Da er vekstfaktoren: Ny pris i kroner: Den nye prisen er

kr.

181 Prisen på en flybillett var 3500 kr. I en kampanje ble prisen satt ned med 35 %. Hva ble kampanjeprisen?

......

Regn og skriv svarsetning her:

182 Prisen på et par sko blir satt ned med 20 % fra 1000 kr. Hva er den nye prisen?

......

Regn og skriv svarsetning her:

2PYF-Book.indb 36

18.08.26 13.02

Programmering

Programmering Regn og skriv svarsetninger her:

183 1 2 3 4 5

timelønn = 200 timer = 10 lønn = timelønn * timer print(lønn)

Hva blir utskriften når vi kjører programmet? Kontroller svaret ditt ved å kjøre programmet.

184 Ta utgangspunkt i oppgave 183. Lise jobber i det samme firmaet og har en timelønn på 230 kr. En uke har hun jobbet 20 timer. Gjør endringer i programmet slik at programmet finner og skriver ut lønna for denne uka.

185 1 2 3 4

gammel_pris = 150 ny_pris = gammel_pris * 1.06 print(ny_pris)

a Hva vil programmet skrive ut?

Kontroller svaret ved å skrive av og kjøre programmet. b En annen vare koster 540 kr. Prisen på denne varen blir satt ned med 10 %. Gjør endringer i programmet slik at programmet finner og skriver ut ny pris for denne varen.

2PYF-Book.indb 37

18.08.26 13.02

1 Praktisk regning

Eksamensoppgaver 186 (Eksamen 2P-Y våren 2026) En bonde leverer 5200 egg til et pakkeri. 20 % av eggene er brune. Hvor mange egg er brune? Regn og skriv svarsetning her:

187 (Eksamen 2P-Y våren 2026) En butikk selger ulike pakker med kyllingfilet. 1 kg kyllingfilet koster 120 kroner. Hvor mye skulle 1,4 kg og 250 g kostet dersom pris og vekt hadde vært proporsjonale størrelser? Regn og skriv svarsetning her:

188 (Eksamen 2P-Y høsten 2025) Prisen for en vare settes opp fra 300 kroner til 315 kroner. Hvor mange prosent settes prisen opp med? Regn og skriv svarsetning her:

2PYF-Book.indb 38

18.08.26 13.02

Eksamensoppgaver

189 (Eksamen 2P-Y høsten 2022) Prisen for en vare ble satt opp med 1,5 %. Dette tilsvarte en prisøkning på 300 kroner. Hvor mange kroner ville prisøkningen tilsvart dersom prisen for varen i stedet hadde blitt satt opp med 4,0 %. Regn og skriv svarsetning her:

190 (Eksamen 2P-Y våren 2025) I en kommune fikk Høyre 24 % av stemmene ved forrige valg. Fremskrittspartiet fikk 16 % av stemmene. en meningsmåling viser at begge partiene har økt sin oppslutning med 4 prosentpoeng siden valget. Hvilket parti har hatt størst prosentvis framgang? Husk å begrunne svaret. Regn og skriv svarsetning her:

191 (Eksamen 2P-Y våren 2025) ......

4 liter

600 mL

100 mL

Antibac-hånddesinfeksjon selges i ulike størrelser. Se ovenfor. Flasken med 600 mL koster 114 kroner. Hva skulle den store kannen og den lille sprayflasken ha kostet dersom pris og mengde hadde vært proporsjonale størrelser? Regn og skriv svarsetning her:

2PYF-Book.indb 39

18.08.26 13.02

John Engeseth har bred undervisningspraksis og underviser til daglig ved Elvebakken videregående skole. Han har vært forfatter av matematikkbøker for videregående skole i mange år.

Odd Heir har i en årrekke vært lærer, lærebokforfatter og kursholder i m atematikk for v ideregående skole. Han ble tildelt Holmboeprisen i 2009.

Som lærer får du også tilgang til • kapittelomtaler • kapittelprøver • terminprøver • egenvurderinger • elevaktiviteter

– forenklet

Påbygging

Påbygging – forenklet

Aunivers inneholder blant annet • oppgaveveiledere med KI-støtte • opplæringsressurser til GeoGebra, Excel og Python • interaktive oppgaver • eksamensløsninger

Påbygging

Matematikk Påbygging følger læreplanen i matematikk 2P-Y (LK20) og består av lærebok, forenklet bok og digitale ressurser på Aunivers.

Engeseth • Heir • Kristensen • Moe • Norderhaug • Vie

Håvard Moe har bred realfaglig utdanning og har skrevet lærebøker i matematikk i mange år. Han er lærer ved Sandnessjøen v ideregående skole og underviser i matematikk, fysikk og kjemi.

John Engeseth

Odd Heir Tor Espen Kristensen Håvard Moe Tea Toft Norderhaug

ISBN 978-82-03-41469-5

Sigrid Melander Vie

9 788203 414695

9788203414695_Mat2PY_FE_bm_o.indd Alle sider

18.08.2026 14:37