5. In ogni insieme colora di verde il numero maggiore e di blu il numero minore. Riscrivi in ordine crescente i numeri dell’insieme A e in ordine decrescente quelli dell’insieme B.
insieme A 34 629 32 649 36 429 46 329 43 926 39 642 insieme B 83 975 83 795 83 579 85 397 85 739 85 937
A B
B B
Competenze: Eseguire le quattro operazioni a mente e in colonna.
OPERAZIONI
1. Esegui in colonna, poi verifica sul quaderno con la prova se il risultato è corretto.
Competenze: Rappresentare graficamente la frazione, individuare la frazione equivalente e calcolare la frazione complementare.
1. Rappresenta graficamente le seguenti frazioni. Osserva l’esempio.
2. Scrivi la frazione corrispondente alla parte colorata. Calcola la frazione complementare. Individua
equivalente.
PROBLEMI
1. Leggi i problemi, cerchia i dati e sottolinea la domanda. Poi scrivi l’operazione corretta in riga e in colonna. Infine scrivi la risposta.
Nella prima settimana di settembre, una cartolibreria ha venduto 30 pacchi da dieci quaderni ciascuno. Se ogni quaderno costa 1,50 euro, quanto ha incassato complessivamente?
Operazione:
Risposta:
Al supermercato sono arrivati 6 scatoloni con 250 barattoli di pomodori pelati ciascuno, che vengono subito disposti sugli scaffali. A fine giornata ne rimangono 382. Quanti barattoli di pelati sono stati venduti?
Operazione:
Risposta:
In un bosco di castagni ci sono 165 piante. Ogni pianta produce 35 kg di castagne. Nella raccolta sono impegnati alcune persone che riescono a raccogliere circa 75 kg di castagne ciascuno. Quante persone occorreranno per la raccolta?
Operazione:
Risposta:
Per il corso di pallavolo la scuola “Ippolito Nievo” ha messo a disposizione la palestra a un costo annuale di 480 euro, a cui bisogna aggiungere il costo dell’assicurazione di 14 euro per ogni iscritto. Se i ragazzi che si iscrivono sono 12, quanto spenderà ciascuno?
Operazione:
Risposta:
Competenze: Conoscere le
MISURE
1. Indica con una X la risposta corretta.
• Per raggiungere una sua amica, Mara è partita da Napoli alle ore 7:52 ed è arrivata a Genova alle 15:08. Quanto tempo ha impiegato?
6 ore e 8 minuti
7 ore e 16 minuti
8 ore e 56 minuti
8 ore
• Lungo il lato di un viale sono stati piantati 36 alberi a distanza di 8 m l’uno dall’altro. Quanti ettometri è lungo il viale?
288 hm
28,8 hm
2,88 hm 2 880 hm
2. Completa le tabelle di equivalenza.
• Guido imbottiglia l’olio d’oliva contenuto in 2 damigiane da 4,5 dal l’una. Quanti litri di olio imbottiglia?
90 l
9 l
900 l
0,9 l
• Claudio ha acquistato una confezione da 24 bottigliette di succo di frutta. Il peso netto della confezione 12 720 g. Qual è il peso netto di una bottiglietta in kg?
53 kg
5,30 kg
530 kg
0,53 kg
Competenze:
Operare con il concetto di perimetro e area.
GEOMETRIA
1. Calcola il perimetro e l’area delle seguenti figure, indicando le formule.
Poligono
Misure Perimetro Area
l = 4 cm
b = 7 cm
h = 3 cm
Formula = P = Formula = A =
b = 4 cm
l 1 = l 2 = 6 cm h = 3 cm
Formula = P = Formula = A =
Formula = P = Formula = A =
b = 12 cm
l = 6 cm
h = 4 cm
Formula = P = Formula = A =
LA MATEMATICA INTORNO A NOI
Apri bene gli occhi: dalla costruzione di un palazzo allo scalpello di uno scultore, la Matematica è la trama invisibile nascosta in ogni singola cosa che ti circonda!
Nello sport ogni secondo è una sfida: guarda bene il cronometro e scopri come i numeri decidono il destino di un campione!
Dietro una semplice targa si nasconde un mondo di combinazioni: la Matematica mette in ordine milioni di auto sulla strada!
Osserva la perfezione di queste linee: nell'Uomo Vitruviano la Matematica diventa arte per svelare il codice geometrico nascosto nel corpo umano.
P O P
P RIMA O SSERVO P OI... RIFLETTO
Osserva le tre foto. C'è qualcosa che appare in tutte e tre le immagini. Riesci a trovarlo? Immagina di cancellare i numeri dal cronometro, le proporzioni dall'uomo e il codice dalla targa. Questi oggetti funzionerebbero ancora? A cosa servirebbero?
METODO
NUMERI
Viviamo circondati da numeri. Li troviamo nelle ricette di cucina, negli orari ferroviari, nelle targhe delle auto, nelle registrazioni delle precipitazioni atmosferiche. Ci indicano il chilometraggio della nostra automobile, la velocità a cui viaggiamo e la pressione delle gomme. Esistono anche numeri a cui si può attribuire un “verso”. Scoprirai come si rappresentano e in quali contesti sono utili.
La geometria studia punti, linee, piani, forme e dimensioni delle cose utilizzando numeri, ma anche simboli e formule. Ogni simbolo è una abbreviazione, esprime qualcosa che sarebbe lungo e complicato scrivere o spiegare. Le formule si usano per lo stesso scopo: sono combinazioni di simboli legati tra loro. Quest’anno imparerai a conoscere uno dei simboli matematici più noti: la lettera greca π, che si legge “pi greco” (sì, devo il mio nome proprio a questo simbolo, non è un caso!).
RELAZIONI, DATI E PREVISIONI
Nello sviluppo di ogni ricerca scientifica o dietro a ogni scelta economica c’è una lunga fase di raccolta e di riordinamento dei dati relativi al fenomeno che si vuole studiare. Approfondirai la conoscenza dei vari tipi di rappresentazioni che costituiscono un mezzo rapido ed efficace per rendere evidente il significato dei dati numerici raccolti.
SPAZIO E FIGURE
RISOLVERE PROBLEMI
Ogni giorno, diverse volte al giorno, dobbiamo risolvere dei problemi. Ecco alcuni esempi.
1
Ricercare sul dizionario il significato di una parola sconosciuta.
3 ALGORITMI RISOLUTIVI
Scegliere, tra diverse proposte, la merce economicamente più vantaggiosa per un determinato acquisto.
2
Problema: deriva dal greco antico e significa ostacolo, enigma o anche ricerca.
Calcolare a quanto ammonterà il nostro resto dopo aver effettuato un acquisto.
4
Prevedere il risultato della finale di una partita di calcio.
I problemi 1, 2 e 3 si possono risolvere applicando un algoritmo, cioè una successione ordinata di azioni o di istruzioni che conduce al risultato finale.
Non è così, invece, per il problema 4 perché, pur ammettendo di conoscere tutti i dati possibili (caratteristiche dei giocatori, esiti ottenuti in passato dalle squadre...), rimane un margine molto alto di imprevedibilità.
Non è perciò possibile trovare una soluzione al problema 4 in modo da pervenire a un risultato sicuro.
COME SI RISOLVE UN PROBLEMA?
Anche se diversi in apparenza, i problemi quotidiani e i problemi matematici si risolvono in modo analogo.
In entrambi i casi si esegue una serie di azioni in successione e si usano conoscenze e tecniche acquisite in precedenza.
Il procedimento può essere così schematizzato:
situazione di partenza
Successione di azioni compiute risposta dati
In un problema matematico i dati rappresentano la situazione di partenza.
Il numero con il quale si esprime la risposta alla/e domanda/e rappresenta la situazione finale.
PROVA TU!
Situazione finale
1. Metti in ordine logico le azioni utili per costruire algoritmi risolutivi dei seguenti problemi.
Indica ogni azione con un numero.
• Trovare sul vocabolario il significato della parola energia.
Aprire il vocabolario alla lettera E.
Cercare la parola energia
Prendere il vocabolario.
Chiudere il vocabolario.
Leggere il significato della parola energia
• Calcolare l’ammontare del resto dopo aver pagato in contanti.
Estrarre dal portafoglio banconote e monete di valore superiore rispetto alla spesa totale.
Pervenire al risultato della sottrazione.
Sottrarre la spesa totale dalla somma in banconote e monete.
Stabilire l’ammontare della spesa totale.
• Tracciare due linee perpendicolari utilizzando riga e squadra.
Disporre la squadra in modo che uno dei lati dell’angolo retto coincida con il bordo della riga.
Tracciare il segmento perpendicolare alla retta r.
Tracciare una linea retta utilizzando la riga e contrassegnarla con r.
SCHEMI LOGICI ED ESPRESSIONI
Lo scorso anno hai imparato a rappresentare la soluzione di un problema attraverso uno schema logico che evidenzia la successione delle operazioni da eseguire.
Lo schema logico ti consente anche di risolvere il problema con una espressione aritmetica.
Al bar ordino una brioche e un cappuccino. La brioche costa € 2,50 e il cappuccino costa € 1,80. Alla cassa pago con una banconota da € 5,00. Quanto riceverò di resto?
Espressione aritmetica: successione di numeri legati tra loro dai segni delle quattro operazioni. Il risultato dell’espressione è il numero calcolato eseguendo le operazioni nella corretta successione.
Rappresentiamo la soluzione con uno schema logico. Non eseguiamo i calcoli, ma usiamo le lettere dell’alfabeto per indicare i risultati delle operazioni.
Nello schema i dati devono essere posti nell’ordine in cui si usano.
Se è presente una sottrazione, come in questo caso, o una divisione, il minuendo o il dividendo si scrivono a sinistra del segno d’operazione.
Le operazioni sono state eseguite nel seguente ordine:
2,50 + 1,80 = A 5,00 – A = B
Possiamo scrivere l’espressione aritmetica risolutiva del problema:
5,00 – (2,50 + 1,80) = B
La parentesi tonda indica che si deve eseguire prima l’operazione di addizione. Per calcolare B, quindi, procediamo così:
5,00 – (2,50 + 1,80) = 5,00 – 4,30 = 0,70
Risposta: Riceverò € 0,70 di resto.
RICORDA
Per calcolare il risultato di un’espressione aritmetica procedi cosi:
• esegui prima le moltiplicazioni e le divisioni nell’ordine in cui sono scritte;
• poi esegui le addizioni e le sottrazioni sempre nell’ordine in cui sono scritte.
Quando è necessario rispettare un ordine diverso di esecuzione delle operazioni, si usano le parentesi.
All’interno di una stessa parentesi valgono le regole precedenti.
Una stessa espressione può presentare più parentesi:
• parentesi tonde ( )
• parentesi quadre [ ]
• parentesi graffe { }
PROVA TU!
Quando pervieni al risultato, hai risolto l’espressione.
RICORDA
Esegui prima le operazioni racchiuse nelle parentesi tonde, poi quelle nelle parentesi quadre, infine le operazioni contenute nelle parentesi graffe.
1. Per trasformare in espressione aritmetica uno schema logico devi leggerlo dal basso verso l’alto.
• Ecco i passaggi riferiti allo schema accanto.
B = 120 + A
B = 120 + 12 × 4
Sono necessarie parentesi? SI NO
Ora l’espressione può essere risolta eseguendo i calcoli. 120 + 12 × 4
120 + 48 =
• Con i compagni scrivi sul quaderno il testo di un problema che si adatti allo schema.
2. Sottolinea in ogni espressione le operazioni che hanno la precedenza. Poi calcola il risultato sul quaderno.
Alcuni strumenti possono aiutarti nella risoluzione dei problemi. Righello, squadra e matita ti consentono di trasformare i dati numerici in elementi visivi.
Osserva come i dati vengono visualizzati attraverso segmenti e risolvi il problema.
Luca, Samir e Naima giocano a un puzzle game con il tablet: chi fa più punti vince la sfida.
Luca fa 900 punti, Samir il triplo di quelli di Luca e Naima il doppio di Samir. Chi ha vinto?
Risposta: Ha vinto la sfida
In un pacchetto trovi sia figurine d'oro sia figurine comuni. Le figurine nel pacchetto sono in tutto 32. Se le figurine co muni sono 8 in più di quelle d'oro, quante sono queste ultime?
E quanto sono quelle comuni?
Totale punti Samir ...............................
Totale punti Naima
Visualizza i dati ripassando i segmenti tratteggiati e risolvi il problema.
1
Dati: Figurine d'oro
Figurine comuni
Figurine nel pacchetto
Risposta:
Le figurine d'oro sono
Le figurine comuni sono
3
Risolvo: 32
1° passaggio
32 – 8 = ....................... lunghezza dei due segmenti
2° passaggio
: 2 = lunghezza di un segmento
= figurine d'oro
+ 8 = figurine comuni
Luca
1 Risolvi ogni problema rappresentando la soluzione nello schema logico. Poi ricava l’espressione risolutiva ed esegui i calcoli. Infine rispondi alla domanda.
A In un parcheggio sono occupate 28 file da 15 auto l’una. Se il posteggio può contenere 650 auto, quanti posti rimangono liberi?
• Scrivo l’espressione:
• Risolvo l’espressione:
• Rispondo:
B Sara ha raccolto le sue fotografie in due album. Il primo ha 65 pagine e contiene 2 fotografie su ogni pagina. Il secondo ha 30 pagine e contiene 4 fotografie in ogni pagina. Quante fotografie in più sono contenute nel primo album?
• Scrivo l’espressione:
• Risolvo l’espressione:
• Rispondo:
2 Sul quaderno costruisci lo schema risolutivo e ricava l’espressione per risolvere i problemi.
A In una fattoria si allevano galline. Oggi sono state raccolte 120 uova che vengono collocate in contenitori da 6. Se ogni contenitore viene messo in vendita a 2 euro, quanto si ricaverà dalla vendita?
B La nonna ha a disposizione 200 euro per i regali ai nipoti. Decide di regalare a ciascuno dei suoi tre nipoti più grandi una banconota da 50 euro. Per la nipotina più piccola compra un giocattolo che costa 39 euro. Quanto resterà alla nonna della somma messa a disposizione?
C In un supermercato le bottiglie di acqua minerale vengono vendute in confezioni da 6. Sugli scaffali sono esposte 144 confezioni di acqua frizzante e 108 confezioni di acqua naturale. Quante bottiglie sono esposte in tutto?
D In una vigna, durante la vendemmia, vengono raccolti 720 kg di uva matura. Per il trasporto l’uva deve essere sistemata in cassette da 10 kg, ma 20 kg di uva risultano deteriorati. Quante cassette possono essere riempite?
POP E LA VILLA
DEGLI
ENIGMI
Al calar della sera, Pop si trova davanti a una sfida mai vista prima. Davanti a lui c’è la maestosa porta della Villa degli Enigmi. Non c’è una maniglia, ma un pannello coperto interamente da piccoli tasti numerati e simboli misteriosi.
Pop non è un supercomputer, ma la sua mente adora i nodi da sciogliere. Preme un tasto a caso e da una vecchia radio a valvole una voce gracchia
“Per entrare nel Giardino della Logica, non serve la forza, ma saper giocare con l’Enigmistica Matematica!”
Pop fa brillare le sue lucine. Sa che l’enigmistica non è solo un passatempo, ma anche un modo per allenare il cervello a vedere e leggere schemi invisibili. Sulla porta appare il primo enigma, scritto in un corsivo elegante: “Siamo tre fratelli. Il maggiore ha il doppio degli anni del minore. Il mediano ha 3 anni più del minore. Insieme sommiamo 23 anni. Chi sono io, il mediano?”
Pop si gratta le antenne e inizia a ragionare: “Se il minore è il mio punto di partenza, posso provare a immaginare dei numeri... Se il minore avesse 5 anni, il maggiore ne avrebbe 10 e il mediano 8. Dunque 5 + 10 + 8 = 23. Trovato! Preme il tasto 8 sul pannello e la porta fa click, aprendosi lentamente con un gran cigolio. Entrato nel salone di ingresso, si trova davanti a un gigantesco Quadrato Magico incompleto. Al centro della stanza legge su un cartello: “In questo quadrato, la somma di ogni riga, colonna e diagonale deve essere sempre 15. Inserisci il numero mancante nell’angolo in alto a destra per proseguire.”
Pop osserva i numeri già presenti. Sulla riga centrale ci sono un 1, un 5 e un 9 (1 + 5 + 9 = 15). Nella prima colonna ci sono un 8 e un 1... manca un 6 per fare 15. Ragionando come un detective, incastrando i pezzi come in un puzzle, Pop capisce che l’enigmistica è un grande gioco di pazienza dove ogni numero ha un solo posto possibile. “La matematica è un codice segreto!” esclama soddisfatto Pop. “Per risolvere un enigma bisogna trovare con la logica la chiave che apre la serratura dei misteri.”
Con un ultimo scatto, l’ultima serratura si apre, rivelando una biblioteca infinita.
Pop capisce che l’enigmistica, così come la matematica, ci insegna a guardare i problemi da angolazioni diverse. Non è solo calcolo, è soprattutto ragionamento!
SFIDA PER GIOVANI ENIGMISTI
Pop ha lasciato per voi tre prove. Dividetevi in piccoli gruppi e risolvetele per scoprire la Parola Chiave che apre la cassaforte della logica.
PROVA 1 La Sequenza Interrotta
Osservate questa serie di numeri. Quale numero deve prendere il posto del punto di domanda? 2 — 6 — 12 — 20 — 30 — ?
(Suggerimento di Pop: Guarda di quanto aumenta il salto tra un numero e l’altro!)
Il numero trovato è la vostra Cifra A.
PROVA 2 L’Incrocio Logico
In un parcheggio ci sono biciclette (2 ruote) e automobili (4 ruote). Pop conta in tutto 10 veicoli e 32 ruote. Quante sono le automobili?
Il numero delle automobili è la vostra Cifra B
PROVA 3 Il Rebus Matematico
Risolvete questa operazione misteriosa dove ogni simbolo rappresenta una cifra da 0 a 9 (simboli uguali = cifre uguali):
+ + = 15
+ + = 13
- = 1
Quanto vale il quadrato?
Il valore del quadrato è la vostra Cifra C.
CONCLUSIONE Il Codice Finale
Ora che avete le tre cifre, componete il numero:
(Cifra A) + (Cifra B) + (Cifra C) = .............
+ + =
Se avete fatto tutto correttamente, la somma delle tre cifre del vostro codice finale deve essere 51. Se non fa 51, tornate indietro e ricontrollate gli indizi!
VERIFICA LE TUE CONOSCENZE
1 Tre amici in viaggio decidono di fermarsi per fare uno spuntino. Leggono i prezzi esposti in autogrill e decidono di ordinare ciascuno un trancio di pizza e una bibita in lattina. Quanto spenderanno complessivamente?
A. € 11,50 B. € 15,50 C. € 15,00 D. € 10,50
2 Una famiglia composta da papà, mamma, un bambino di 3 anni e una bambina di 7 anni sta organizzando una vacanza al mare. Un'agenzia online propone l'offerta che vedi a lato. Quanto spenderà la famiglia per la vacanza se deciderà di aderire all’offerta?
Scrivi la sequenza corretta di operazioni per trovare la risposta e riporta il risultato.
Risposta: Per la vacanza la famiglia spenderà €
3 Un automobilista deve percorrere il tratto autostradale Roma-Napoli.
• La distanza è di circa 225 km.
• È previsto un consumo totale di benzina di circa 17 litri.
• Il costo della benzina è di € 1,70 al litro.
• Il pedaggio autostradale è di € 16,00.
Quanto spenderà l’automobilista per il viaggio?
Indica con una ✘ l’espressione per calcolare il numero che risponde alla domanda.
A. 17 × (1,70 + 16,00) C. 225 × 17 × 1,70 + 16,00
B. 17 × 1,70 + 16,00 D. 225 : 17 × 1,70 + 16,00
Esegui il calcolo:
Risposta: Per il viaggio l’automobilista spenderà € ....................................
LISTINO PREZZI
€2,50 Panino
€1,50 Tranciodipizza
€2,50 Gelato
€2,00 Bibitainlattina
Hotel dei Sogni
OFFERTA SPECIALE
terza settimana di luglio
ALL INCLUSIVE + SPIAGGIA
€ 490,00 a persona SCONTI BAMBINI: fino a 6 anni B GRATIS; da 7 a 14 anni B Metà prezzo.
4 Un ciclista compie un percorso di 60 km in circa 2 ore e mezza. Quanti chilometri in media ha percorso in un’ora?
A. meno di 20 km C. più di 30 km
B. meno di 30 km D. non si può sapere
5 Giovanni ha nel portafoglio € 50,00. Va a fare la spesa e compra 10 pomodori, pagandoli € 0,70 l’uno, un pollo arrosto che costa € 7,00 e una bottiglia di olio che costa € 10,00. Quanto avrà Giovanni nel portafoglio dopo aver pagato alla cassa?
Indica con una X l’espressione per calcolare quanto resta a Giovanni nel portafoglio.
A. 50,00 – (0,70 × 10) + 7,00 + 10,00
B. 50,00 – (0,70 × 10) – 7,00 + 10,00
Esegui il calcolo:
C. (0,70 × 10) + 7,00 + 10,00 – 50,00
D. 50,00 – [(0,70 × 10) + 7,00 + 10,00]
Risposta: Dopo aver pagato alla cassa Giovanni avrà nel portafoglio €
6 Indica con una ✘ quale delle seguenti espressioni è eseguita correttamente. Poi rispondi.
Quale errore è stato commesso nell’espressione sbagliata?
7 Osserva il seguente schema logico e indica con una ✘ quale espressione lo rappresenta correttamente.
A. (728 + 754 + 442) : 52
B. 728 + 754 + (442 : 52)
C. (728 + 754 + 1 924) : 52
D. 728 + 754 + 442 + (1 924 : 52 )
• Ti è piaciuta questa unità?
• Quale argomento ti è piaciuto di più? Perché? ....................................................................................................
• Colora di il quadratino degli esercizi che hai trovato facili e di quello degli esercizi che hai trovato difficili.
I NUMERI NELLA STORIA
Pronti all'azione, assi della Matematica? I grandi numeri non vi spaventano più, ma prima di dominarli facciamo un salto nel tempo per scoprire il segreto delle loro antiche origini!
Gli antichi Romani usavano sette lettere per scrivere tutti i numeri.
Fu l’italiano Leonardo da Pisa, detto Fibonacci, che introdusse in Europa le cifre arabe.
Si utilizzavano l’abaco e delle pietruzze chiamate calculi: da questa parola latina derivano le parole italiane calcolo e calcolare.
METODO P O P
P RIMA O SSERVO P OI... RIFLETTO
Il sistema decimale posizionale, reso possibile dall'invenzione dello zero in India, fu diffuso dai mercanti arabi fino in Italia, dove venne adottato per la sua grande praticità nei calcoli.
Se dovessi dividere queste 4 immagini in due gruppi (Il "Vecchio Mondo" e il "Nuovo Mondo"), come le divideresti? L'abaco fa parte del passato o è servito da ponte per arrivare al futuro? Quale di queste 4 immagini rappresenta, secondo te, il momento esatto in cui la Matematica è cambiata per sempre? Motiva la tua scelta.
I NUMERI ROMANI
I Romani non utilizzavano lo zero e per scrivere i numeri combinavano i sette simboli sulla base di tre regole:
• non scrivere mai più di tre simboli uguali di seguito;
• le cifre scritte a destra di un’altra di valore superiore si devono addizionare;
• le cifre scritte a sinistra di un’altra di valore superiore si devono sottrarre.
Ecco come scrivere i numeri da 1 a 10:
• i numeri 2, 3, 6, 7, 8 sono scritti mediante un'addizione.
I = 1
V = 5
X = 10
L = 50
C = 100
D = 500
M = 1 000
• i numeri 4 e 9 sono scritti mediante una sottrazione.
PROVA TU!
1. Leggi e completa.
• Il numero II corrisponde a 1 + 1.
• Il numero III corrisponde a 1 + 1 + 1.
• Scrivi le addizioni che corrispondono a: VI , VII , VIII
• Il numero IV corrisponde a 5 – 1.
Scrivi la sottrazione che corrisponde al numero IX:
• Ecco i numeri da 11 a 19.
Scrivi sotto a ciascuno l’operazione che sottintende.
• Osserva le decine. Per ogni numero scrivi l’addizione o la sottrazione corrispondente.
Numeri
IL PERIODO DEI MILIONI E DEI MILIARDI
SULL’ABACO
Una pallina sulla settima asta rappresenta le unità di milioni.
A lato vedi rappresentato il numero 1 000 000 (un milione).
Una pallina sulla decima asta rappresenta le unità di miliardi.
A lato vedi rappresentato il numero 1 000 000 000 (un miliardo).
IN TABELLA
h da u h da u h da u milioni migliaia unità semplici
h da u h da u h da u h da u miliardi milioni migliaia unità semplici
Ogni asta dell’abaco corrisponde a una colonna della tabella.
miliardi h da u
milioni h da u
unità semplici h da u migliaia h da u
Il periodo delle migliaia si indica con k (kilo); il periodo dei milioni si indica con M (mega) e il periodo dei miliardi si indica con G (giga).
Per facilitare la lettura dei numeri in cifre, si usa separare i periodi con un puntino o un piccolo spazio.
PROVA TU!
1. Indica quanto vale ogni cifra evidenziata, come nell’esempio.
• 28 546 927 B 8 u di milioni B 8 000 000
• 169 843 932 000 B ...................................
• 61 745 836 491
• 273 504 691 472
• 7 586 954 170
• 637 172 395 806 B
2. Vero (V) o falso (F)? Indica con una ✘.
• I numeri naturali sono infiniti. V F
• Zero non è un numero naturale. V F
• 7 vale più di 9 nel numero 479 384 263. V F
CONFRONTO E ORDINAMENTO
Come si può stabilire velocemente qual è il maggiore o il minore tra due grandi numeri?
Ecco due dati statistici relativi alla popolazione residente in Italia raccolti nel 2001 e nel 2024.
Anno 2001
Anno 2024
milioni (M) h da u 5 6
milioni (M) h da u 5 8
migliaia (k) h da u 9 9 5
migliaia (k) h da u 9 9 1
unità semplici h da u 7 4 4
unità semplici h da u 3 1 0
Per stabilire un confronto tra grandi numeri occorre osservare le cifre partendo da quelle che valgono di più, cioè quelle più a sinistra. In questo caso sono le cifre del periodo dei milioni: 56 milioni < 58 milioni.
Possiamo affermare che la popolazione residente in Italia dal 2001 al 2024 è aumentata.
PROVA TU!
La popolazione è diminuita o aumentata?
1. Ecco il numero degli abitanti di tre regioni italiane secondo i dati Istat del 2024. Osserva con attenzione, completa ed esegui quanto richiesto.
(M)
abitanti di…
Piemonte
Veneto
Sicilia
(k)
semplici
• In questo caso non è significativo confrontare le cifre del periodo dei milioni poiché sono uguali.
• Bisogna proseguire verso destra e mettere a confronto le cifre del periodo delle
• Metti i tre numeri in ordine crescente:
• Metti i tre numeri in ordine decrescente:
L’ELEVAMENTO A POTENZA
L’elevamento a potenza è un’operazione che si può eseguire su qualsiasi numero moltiplicandolo per se stesso un certo numero di volte. Osserva.
× 7 = 72
Ognuna di queste moltiplicazioni presenta fattori tutti uguali e si può esprimere con una scrittura più breve.
Il fattore che viene ripetuto è la base.
L’esponente indica quante volte la base viene moltiplicata per se stessa.
Il risultato dell’operazione è il valore della potenza
72 = 49 Si legge sette alla seconda
Considera questi casi particolari.
• La base della potenza è 1. Qualunque sia l’esponente, il valore della potenza è sempre 1. 12 = 1
• L’esponente della potenza è 1. Il valore della potenza è sempre uguale alla base.
71 = 7 91 = 9 501 = 50
• La base della potenza è 0. Qualunque sia l’esponente, il valore della potenza è sempre 0.
Le potenze con esponente 3 si possono chiamare cubi e si leggono in due modi:
due alla terza • due al cubo
tre alla terza
tre al cubo
Costruiamo quadrati e cubi
1. In coppia scoprite altri “numeri quadrati”. Usando dei bottoni oppure rappresentando le moltiplicazioni con i quadretti sul quaderno, scoprite quali tra i numeri 18, 36, 48, 64, 81 sono quadrati.
2. In gruppo, usando dei comuni dadi da gioco, costruite il “cubo” di 4.
quattro alla terza
quattro al cubo
LE POTENZE DI 10
Il nostro sistema di numerazione è in base dieci e grazie alle potenze di 10 possiamo scrivere in forma abbreviata numeri molto grandi. Osserva le prime potenze di 10.
1. Osserva l’immagine e completa la tabella. Segui l’esempio.
DISTANZA DEI PIANETI DAL SOLE (in milioni di chilometri)
108
distanza dal Sole (in chilometri)
Mercurio
58
149
miliardi (G) h da u 1011 1010 109
228
1425
milioni (M) h da u 108 107 106 5 8
migliaia (k) h da u 105 105 104 0 0 0
2. Sul quaderno scomponi ogni numero della tabella dell'esercizio 1 come nell’esempio. 58 000 000 = 5 daM + 8 uM = 5 × 10
Mercurio:
Venere:
Terra:
Marte:
Giove: 778
Saturno:
Urano: 2870
Nettuno: 4497
I NUMERI RELATIVI
Con i numeri naturali è impossibile sottrarre un numero più grande da uno più piccolo. È invece possibile utilizzando i numeri relativi.
Osserva questa linea dei numeri: è orientata e la punta della freccia indica il verso positivo. Puoi immaginarla come una strada sulla quale a partire dallo zero si può camminare in due versi opposti.
Numeri relativi: hanno un valore che dipende dal segno che portano davanti.
numeri interi negativi
numeri interi positivi
• I numeri scritti a sinistra dello zero sono preceduti dal segno –e sono i numeri interi negativi.
• I numeri scritti a destra dello zero sono preceduti dal segno + e sono i numeri interi positivi.
Utilizziamo i numeri relativi in molte occasioni:
• per registrare le temperature sopra e sotto lo zero;
• per indicare la profondità o l’altitudine rispetto al livello del mare;
• per indicare i dislivelli tra i piani dei palazzi o dei parcheggi;
• per calcolare la differenza tra le entrate e le uscite di un conto bancario...
A Roma la temperatura è + 5°C. Il mercurio nella colonnina del termometro è sopra 0°C.
A Copenaghen la temperatura è – 5°C. Il mercurio nella colonnina del termometro è sotto 0°C.
NUMERI RELATIVI A CONFRONTO
Osserva ancora la linea dei numeri della pagina precedente, leggi e completa i confronti.
• I numeri negativi sono minori di zero e di tutti i numeri positivi. – 3 < 0 – 5 < + 2 – 6 + 4 – 9 + 9
• Tra due numeri positivi, è maggiore quello che si trova più a destra. + 3 > 0 + 2 < +
• Tra due numeri negativi, è maggiore quello che si trova più a destra.
3 < – 1 – 5 > – 7 –
ADDIZIONI E SOTTRAZIONI CON I NUMERI RELATIVI
+ 3 – 5 = – 2 Parti da + 3 e fai 5 salti verso sinistra.
– 6 – 2 = Parti da – 6 e fai 2 salti verso sinistra.
– 7 + 9 = Parti da – 7 e fai 9 salti verso destra.
PROVA TU!
1. Con i compagni e l’insegnante completa la tabella di sottrazione. Aiutati guardando la linea dei numeri relativi.
2. Confronta le coppie di numeri relativi usando i segni > oppure <. – 7 + 4 + 5 – 6 – 4 0 – 6 – 8
1 Avrai senz’altro sentito dire: “La temperatura è sotto lo zero”. Nella scala Celsius, comunemente usata in Italia per misurare la temperatura, lo zero è la temperatura del ghiaccio che fonde. Se la temperatura è sotto questo valore, si indica con un numero negativo; se è superiore, si indica con un numero positivo. Quale temperatura indica ciascuno dei tre termometri? Scrivi nei cartellini corrispondenti.
2 Leggi le temperature indicate dai due termometri. Poi rispondi e completa.
• Tra le temperature segnate qual è più bassa?
• Quale numero è minore?
• Metti il segno opportuno tra i due numeri – 4 °C – 10 °C
3 Le altitudini e le profondità sulla superficie terrestre si esprimono con i numeri relativi, usando come unità di misura il metro. Il livello del mare è considerato il punto 0. Osserva l’immagine ed esprimi con i numeri relativi:
• l’altezza più elevata
• la profondità maggiore
Immagina di percorrere il dislivello tra la cima più elevata e la profondità maggiore.
• Quanti metri dovresti percorrere?
4 Ordina i numeri dal maggiore al minore e completa.
delle Ande
Pacifico
Hai messo in ordine crescente decrescente
Chimborazo 6310 m
Aconcagua 6962 m Sajama 6421 m
Cordigliera
Oceano
Fossa delle Aleutine 7800 m
5440 m
1 Quale dei seguenti numeri è più vicino a un milione?
A. 900 000 B. 909 000 C. 990 000 D. 900 900
2 Scrivi il numero maggiore che puoi ottenere usando tutti i numeri dei cartellini.
3 Quale di queste disuguaglianze è falsa?
A. 7 daM > 7 uM
B. 1 uG > 1 hM
4 Osserva la seguente disuguaglianza.
C. 8 × 105 < 8 × 104
D. 15 daM > 15 uM
6 × 106 < < 6 × 107
Quale tra i seguenti numeri, messo al posto del triangolo, rende vera la disuguaglianza?
A. 7 000 000 C. 700 000 000
B. 70 000 000 D. 7 000 000 000
5 Ricomponi i seguenti numeri aggiungendo gli zeri necessari:
8 hM, 6 dak, 6 da
3 uG, 27 daM, 1 uk, 405 u
24 daG, 33 hM, 16 hk, 42 h
19 uM, 8 dak, 3 uk, 6h
5 hG, 7 daM, 8 uk, 4 da
8 uG, 38 uM,7 dak, 616 u
6 Aiutandoti con la linea dei numeri, esegui le operazioni.
• Ti è piaciuta questa unità?
• Quale argomento ti è piaciuto di più? Perché? ....................................................................................................
• Colora di il quadratino degli esercizi che hai trovato facili e di quello degli esercizi che hai trovato difficili.
L'ADDIZIONE
L’addizione serve per unire, mettere insieme due o più quantità oppure per aggiungere una quantità a un’altra.
Osserva la tabella a lato: non ci sono caselle vuote perché l’addizione tra numeri naturali si può sempre eseguire.
LA
PROPRIETÀ COMMUTATIVA
Osserva i risultati delle caselle simmetriche rispetto alla diagonale gialla: i risultati sono uguali. Ciò significa che cambiando l’ordine degli addendi, il risultato non cambia.
3 + 5 = 8 5 + 3 = 8
LA
PROPRIETÀ ASSOCIATIVA
Cerca in tabella le seguenti addizioni: 9 + 5 = 14 8 + 6 = 14
Perché il risultato è lo stesso? Nelle addizioni 9 + 5 e 8 + 6 si nasconde l’addizione di tre numeri 8 + 1 + 5, che si possono associare in modo diverso.
LO 0 NELL’ADDIZIONE
Osserva la riga e la colonna dello zero. I numeri che vi compaiono sono uguali a quelli dell’intestazione. Lo zero si comporta come se non ci fosse. Lo 0 è l’elemento neutro dell’addizione.
PROVA TU!
1. Nella tabella colora le caselle con i risultati delle operazioni qui sotto e verifica che i risultati siano disposti in modo simmetrico rispetto alla diagonale.
1 + 2 = 2 + 1 = 7 + 5 = 5 + 7 = 8 + 9 = 9 + 8 =
• Colora altre caselle simmetriche scelte da te.
2. Esegui le operazioni in colonna sul quaderno e verifica con la prova. Ricordi? Basta applicare la proprietà commutativa. A 4 560 + 8 548 = • 3 287 + 7 586 = • 5 413 + 6 842 =
LA SOTTRAZIONE
La sottrazione serve per calcolare il resto oppure per trovare la differenza.
Osserva la tabella a lato: ci sono delle caselle vuote perché la sottrazione tra numeri naturali non si può sempre eseguire.
LO 0 NELLA SOTTRAZIONE
Osserva le caselle della diagonale: compare sempre lo 0 perché sottraendo un numero da se stesso si ottiene sempre 0.
Individua e colora nella tabella le caselle in cui compare il risultato 8. Corrispondono alle sottrazioni:
8 – 0, 9 – 1 e 10 – 2.
Osserva a lato: nella sottrazione il risultato non cambia se sommi o sottrai lo stesso numero dal minuendo e dal sottraendo.
PROVA TU!
1. Che cosa sai dire di sottrazioni come queste? Sai trovare il risultato? Completa. 6 – 8 = 4 – 9 = 2 – 6 =
Attenzione: è scorretto dire che non si possono eseguire! Infatti è possibile calcolare il risultato, ma non è un numero naturale. Il risultato di queste sottrazioni è un numero e si deve scrivere con il segno davanti.
2. Calcola a mente. Evidenzia le sottrazioni in cui il risultato è un numero negativo.
3. Esegui le operazioni in colonna sul quaderno e verifica con la prova. Ricordi? Esegui l’operazione inversa, cioè l’addizione. A 5 729 – 1 883 = 7 928 – 1 592 =
LA MOLTIPLICAZIONE
La moltiplicazione serve per ripetere più volte la stessa quantità.
Osserva la tabella a lato: non ci sono caselle vuote perché la moltiplicazione tra numeri naturali si può sempre eseguire.
LA PROPRIETÀ COMMUTATIVA
Osserva i risultati delle caselle simmetriche rispetto alla diagonale gialla: i risultati sono uguali. Ciò significa che cambiando l’ordine dei fattori, il risultato non cambia.
2 × 8 = 16 8 × 2 = 16
LA PROPRIETÀ ASSOCIATIVA
Cerca in tabella le seguenti moltiplicazioni: 3 × 8 = 24 6 × 4 = 24
Perché il risultato è lo stesso? Perché, come per l’addizione, si possono associare i fattori in modo diverso.
L’1 NELLA MOLTIPLICAZIONE
I numeri dell’intestazione della tabella si ripetono nella riga e nella colonna dell’uno. L’1 è l’elemento neutro della moltiplicazione.
LO 0 NELLA MOLTIPLICAZIONE
Osserva ora la riga e la colonna dello zero. Qualsiasi numero moltiplicato per zero dà come risultato zero.
Lo 0 è l’elemento assorbente della moltiplicazione.
LA PROPRIETÀ DISTRIBUTIVA
Ricordi la proprietà distributiva? La moltiplicazione si “distribuisce” in due moltiplicazioni i cui prodotti vanno sommati.
PROVA TU!
1. Calcola a mente
2. Esegui in colonna sul quaderno e fai la prova applicando la proprietà commutativa.
LA DIVISIONE
La divisione serve per distribuire in parti uguali oppure per formare gruppi uguali. Osserva la tabella a lato: ci sono caselle vuote perché non è sempre possibile ottenere un numero naturale come risultato.
L’1 NELLA DIVISIONE
• Osserva la colonna dell’1. Ogni numero diviso per 1 dà come risultato il numero stesso.
• Osserva le caselle della diagonale: il risultato è sempre 1, tranne nella prima casella. Questo perché, escluso lo 0, un numero diviso per se stesso ha come risultato 1.
LO 0 NELLA DIVISIONE
• La casella 0 : 0 è vuota perché non è possibile determinare un risultato, è indeterminata.
Infatti: 0 : 0 = 0 perché 0 × 0 = 0
0 : 0 = 1 perché 1 × 0 = 0
0 : 0 = 2 perché 2 × 0 = 0...
• Osserva la riga dello zero.
Rifletti 0 : 1 = 0 perché 0 × 1 = 0
0 : 2 = 0 perché 0 × 2 = 0
Una divisione con dividendo 0 ha sempre come quoziente 0.
• Osserva la colonna dello zero. Non vi compare alcun risultato perché nessun numero moltiplicato per 0 ha come risultato un altro numero. In questi casi la divisione è impossibile.
LA PROPRIETÀ INVARIANTIVA
Individua e colora nella tabella le caselle in cui compare il risultato 4. Corrispondono alle divisioni: 4 : 1 e 8 : 2.
Osserva a lato: nella divisione il risultato non cambia se moltiplichi o dividi per lo stesso numero il minuendo e il sottraendo.
PROVA TU!
1. Scrivi alcuni esempi per dimostrare che la divisione 0 : 0 è indeterminata.
0 : 0 = perché
0 : 0 = perché
0 : 0 = perché
2. Scrivi alcuni esempi per dimostrare che una divisione con dividendo 0 dà sempre 0.
0 : = 0 perché
0 : = 0 perché
0 : = 0 perché
3. Completa la spiegazione per dimostrare che dividere per zero qualsiasi numero è impossibile.
2 : 0 = perché
DIVISIONI CON DUE CIFRE AL DIVISORE
Per eseguire una divisione con due cifre al divisore ricorda la procedura di calcolo completando le spiegazioni.
1° Caso
• Il 4 nell’8 è contenuto volte. Anche il 3 nel 6 è contenuto almeno volte? Sì. Allora scrivi al quoziente. Per vedere se c’è il resto, esegui la moltiplicazione: 2 × 43 = , all’86 resto
2° Caso
• Il 2 nel 6 è contenuto 3 volte. Anche il 6 nel 3 è contenuto volte? No. Allora prova una volta di meno. Il 2 nel 6 è contenuto 2 volte con il resto di ............., che messo davanti al 3 diventa .............. Anche il 6 nel 23 è contenuto volte? Sì. Allora scrivi al quoziente. Per vedere se c’è il resto, esegui la moltiplicazione: 2 × 26 = , al 63 resto
3° Caso
• L’1 nel 4 è contenuto 4 volte. Anche il 3 nel 6 è contenuto ............. volte? No. Allora prova una volta di meno. L’1 nel 4 è contenuto 3 volte con il resto di 1, che messo davanti al 6 diventa 16. Anche il 3 nel 16 è contenuto 3 volte? Sì. Allora scrivi al quoziente. Per vedere se c’è il resto, esegui la moltiplicazione: 3 × 13 = , al 46 resto .
• Abbassa il 9 vicino al resto e procedi nella divisione. L’1 nel 7 è contenuto 7 volte. Anche il 3 nel 9 è contenuto volte? No. Allora prova una volta di meno. L’1 nel 7 è contenuto 6 volte con il resto di 1, che messo davanti al 9 diventa 19. Anche il 3 nel 19 è contenuto 6 volte? Sì. Allora scrivi al quoziente. Per vedere se c’è il resto, esegui la moltiplicazione: 6 × 13 = , al 79 resto .
3 2 6 1 1 2 resto ➤
1. Esegui sul quaderno e verifica il calcolo con la prova: moltiplica il quoziente per il divisore e aggiungi l’eventuale resto.
A 238 : 19 = 225 : 75 = 832 : 26 = 425 : 27 =
: 32 = 3
:
: 24 =
DIVISIONI CON TRE CIFRE AL DIVISORE
La stessa procedura di calcolo usata per le divisioni con due cifre al divisore, puoi usarla per eseguire quelle con tre cifre al divisore. Osserva l’esempio.
• Il 5 nell’11 è contenuto 2 volte con il resto di 1, che messo davanti al 7 diventa 17. Il 4 nel 17 è contenuto 2 volte con il resto di 9, che messo davanti al 6 diventa 96. Anche il 2 nel 96 è contenuto 2 volte? Sì. Allora scrivi 2 al quoziente. Per vedere se c’è il resto, esegui la moltiplicazione: 2 × 542 = 1 084, al 1 176 resto 92.
6 6 5 4 2 9 2 6 2 1 3 8 4
➤
• Abbassa il 6 vicino al resto e procedi nella divisione. Il 5 nel 9 è contenuto 1 volta con il resto di 4, che messo davanti al 2 diventa 42. Anche il 4 nel 42 è contenuto 1 volta con il resto di 38, che messo davanti al 6 diventa 386. Anche il 2 nel 386 è contenuto 1 volta? Sì. Allora scrivi 1 al quoziente. Per vedere se c’è il resto, esegui la moltiplicazione: 1 × 542 = 542, al 926 resto 384.
PROVA TU!
1. Completa il calcolo e la spiegazione di questa divisione.
• Calcola quante volte il 693 è contenuto nel
• Il 6 nel è contenuto volte con il resto di , che messo davanti al 6 diventa
• Il 9 nel è contenuto 3 volte con il resto di , che messo davanti all’ diventa
• Il 3 nel è contenuto 3 volte? Sì.
• Scrivi al quoziente.
• Moltiplica il divisore per il B 693 × 3 =
➤
• Trascrivi il 9 vicino al resto che diventa 899 e segui la stessa procedura di calcolo.
• Calcola quante volte il 693 è contenuto nell’899.
2. Esegui sul quaderno e verifica il calcolo con la prova.
È difficile ricordare il numero esatto che esprime l’estensione di una regione oppure la distanza tra la Terra e il Sole. In queste circostanze non è indispensabile ricordare tutte le cifre che compongono il numero. È sufficiente conoscerlo in modo approssimato, cioè avvicinandosi al suo valore.
Ci sono due modi per approssimare un numero: per difetto oppure per eccesso.
per difetto: l'approssimazione
è inferiore alla realtà
Approssimiamo per difetto il numero 27 353:
Approssimato: dal verbo approssimare, che significa “accostare”, “avvicinare”. Un numero approssimato indica un numero vicino al valore reale.
per eccesso: l'approssimazione è superiore alla realtà
• alle decine → 27 350 (si sostituiscono con 0 le cifre prima delle decine)
• alle centinaia → 27 300 (si sostituiscono con 0 le cifre prima delle centinaia)
• alle unità di migliaia → 27 000 (si sostituiscono con 0 le cifre prima delle unità di migliaia)
Approssimiamo per eccesso lo stesso numero:
• alle decine → 27 360 (si aumentano le decine fino a quella successiva)
• alle centinaia → 27 400 (si aumentano le centinaia fino a quella successiva)
• alle unità di migliaia → 28 000 (si aumentano le unità di migliaia fino a quella successiva)
La differenza in più o in meno tra il numero di partenza e quello approssimato si dice scarto.
PROVA TU!
1. Arrotonda per eccesso e per difetto fino alla cifra delle unità di migliaia i numeri in tabella, poi evidenzia l’approssimazione che si avvicina di più al numero di partenza.
approssimazione per difetto numero approssimazione per eccesso
97 890
104 360
365 712
2. Arrotonda per eccesso o per difetto, poi calcola lo scarto.
scarto 12 499 29 990
138 311
STIMARE I RISULTATI DELLE OPERAZIONI
ADDIZIONI E SOTTRAZIONI
Non sempre è importante ottenere il risultato esatto in un calcolo.
Può essere utile eseguire un calcolo approssimato e avere una stima del risultato.
Ecco il numero di abitanti delle due province della Basilicata.
Matera: 60 404 abitanti
Potenza: 66 769 abitanti
Quanti sono in tutto gli abitanti della regione Basilicata?
La prima cosa da fare per eseguire il calcolo approssimato è arrotondare i numeri nel modo più opportuno, scegliendo la strategia più conveniente per approssimare i dati.
Nel caso del nostro esempio, il numero degli abitanti delle due province può essere arrotondato per difetto così:
Matera: 60 000 abitanti Potenza: 66 000 abitanti
Possiamo facilmente calcolare a mente che la somma dei due numeri sarà un po’ superiore a 126 000.
PROVA TU!
1. Qual è la differenza tra la superficie delle due maggiori isole italiane?
Superficie Sicilia: 25 832 km2 Superficie Sardegna: 24 100 km2
Fai l’approssimazione che ritieni opportuna su ciascuno dei dati. Prevedi che la differenza sia: maggiore di 1 000 km2 minore di 1 000 km2
Esegui sul quaderno il calcolo in colonna e verifica la tua stima.
2. Tra le seguenti addizioni cerchia quelle che, secondo te, hanno un risultato maggiore di 500, poi esegui i calcoli sul quaderno e verifica la tua stima.
4. In ogni terna di operazioni un risultato è clamorosamente errato. Quale? Evidenzialo. Poi esegui sul quaderno i calcoli. Le tue stime erano esatte?
1 127 + 2 746 = 3 873
12 960 + 15 840 = 50 000
66 700 + 128 200 = 194 900
1 942 – 628 = 500
12 624 – 1 540 = 11 084
8 500 700 – 2 300 000 = 6 200 700
MOLTIPLICAZIONI
È possibile prevedere in modo approssimato anche il risultato di una moltiplicazione.
Considera, per esempio, 45 × 8.
Il prodotto sarà minore di 45 × 10 = 450 e sarà maggiore di 40 × 8 = 320.
Sarà quindi compreso tra 450 e 320. In simboli scriviamo: 450 > > 320
Verifichiamo eseguendo il calcolo in colonna: 4 5 × 8 = 3 6 0
Come vedi il prodotto è 360 ed è compreso tra 450 e 320.
PROVA TU!
1. Per calcolare 23 × 42 quale strategia puoi utilizzare?
• Si possono moltiplicare prima le decine, cioè 20 × 40 = 800.
Il risultato non potrà essere inferiore a 800, quindi l’approssimazione è per difetto.
• Come si può ottenere un’approssimazione più precisa?
Esegui 23 × 40 =
• Discuti con i compagni e l’insegnante, poi esegui sul quaderno il calcolo esatto in colonna e verifica la stima.
2. Stima il risultato, poi esegui il calcolo sul quaderno e verifica la tua stima.
Nella moltiplicazione 75 × 40, il risultato sarà: minore di 2 000 compreso tra 2 000 e 2 500 maggiore di 2 800
Nella moltiplicazione 245 × 20, il risultato sarà: minore di 4 000 compreso tra 4 000 e 4 500 maggiore di 4 500
3. Stima e scrivi il secondo fattore mancante. Poi verifica con la calcolatrice.
2 250 × = 4 500
225 × = 4 500
550 × = 5 500
500 × = 5 500
4. Stima e scrivi il primo fattore mancante. Poi verifica con la calcolatrice.
× 5 000 = 20 000
× 10 000 = 20 000
× 500 = 20 000
× 1 000 = 20 000
USO DELLA CALCOLATRICE
La calcolatrice è una macchina elettronica usata per eseguire operazioni tra numeri. Rispetto a un computer è molto più limitata, in quanto è destinata solo a fare calcoli. Esistono anche calcolatrici più complesse, dette calcolatrici scientifiche. Osserva.
1 Display per visualizzare i dati immessi: può contenere molte cifre. Solitamente la virgola è rappresentata con un punto e i periodi sono separati con virgole o segni posti nella parte superiore dello schermo.
2 Tasto C: cancella tutto quello che è stato digitato e le scritte sullo schermo.
3 Tasto CA/AC: cancella solo l’ultimo dato digitato. Questo tasto può essere destinato anche all’accensione della calcolatrice (scritta ON)
RICORDA
Nei computer e negli smartphone esiste la App calcolatrice.
PROVA TU!
1. Esegui la divisione 1 688 : 14
Esegui prima sul quaderno, poi con la calcolatrice.
Il risultato trovato è lo stesso? SI NO
Prova a discuterne con l’insegnante e i tuoi compagni.
4 Pannello solare che alimenta la calcolatrice; solitamente è presente anche una batteria.
5 Tasti per le operazioni
6 Tastierino numerico: la virgola è rappresentata con un punto.
Non hai sotto mano una calcolatrice? Cercala sul computer o sul tablet. Puoi anche aprire google.it e digitare calcolatrice: te ne apparirà una!
2. Calcola le potenze.
Con la calcolatrice calcola il valore di: 95, 66, 27, 55
Come hai fatto per ottenere il risultato?
Ci sei riuscito al primo tentativo? SI NO
Prova a discuterne con l’insegnante e i tuoi compagni.
MULTIPLI E DIVISORI
Ogni numero naturale possiede dei multipli, cioè dei numeri che si ottengono moltiplicando quel numero per qualsiasi numero naturale.
Ad esempio 18 è multiplo di 6 perché contiene esattamente il 6 3 volte (3 × 6 = 18), ma è anche multiplo di 2 (9 × 2 = 18).
Ogni numero è multiplo di se stesso perché, moltiplicato per 1, dà come risultato il numero stesso.
0 è multiplo di tutti i numeri perché ogni numero moltiplicato per 0 dà sempre 0 come risultato.
Un numero è divisore di un altro se lo divide in un numero intero di volte, con resto 0. Ad esempio 3 è divisore di 18, perché 18 : 3 = 6 con resto 0. Anche 1, 2, 6, 9, 18 sono divisori di 18.
Ogni numero è divisibile sempre per se stesso e per 1.
Come sai, moltiplicazione e divisione sono operazioni inverse.
Se allora 18 è multiplo di 3 (6 × 3 = 18), allora 3 è anche divisore di 18 (18 : 3 = 6).
RICORDA
Il multiplo di un numero si ottiene moltiplicando il numero stesso per qualunque altro numero.
RICORDA
Il divisore di un numero è contenuto in esso esattamente.
1. Completa la tabella mettendo una ✘ solo dove la risposta è affermativa.
2. Scrivi negli insiemi, al posto giusto, i numeri della tabella precedente.
di 2
3. Un numero può essere multiplo di più numeri?
Discutine con i compagni e l’insegnante.
CRITERI DI DIVISIBILITÀ
Per individuare rapidamente i divisori di un numero si possono applicare alcune regole dette criteri di divisibilità.
UN NUMERO È…
RICORDA
I multipli di 100 sono anche multipli di 10. I multipli di 1 000 sono anche multipli di 10 e 100.
Divisibile per 2 se è pari, cioè se l’ultima cifra a destra è un multiplo di 2
Evidenzia nei multipli di 2 l’ultima cifra:
2, 10, 14, 16, 18, 98, 100, 102, 414, 426
Divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è 3 oppure un multiplo di 3
Verifica tu:
12 ➝ 1 + 2 = 3
153 ➝ + + =
PROVA TU!
Divisibile per 4 se le ultime due cifre formano un multiplo di 4 o sono due zeri
6 : 3 = 2 perché 2 × 3 = 6 • 35 : 7 = 5 perché • 90 : 10 = perché .
2. Scrivi la cifra finale in modo da rendere ogni numero divisibile per 2.
1 • 7 • 12 • 18 • 25 • 75 • 113
3. Scrivi la cifra finale in modo da rendere ogni numero divisibile per 5.
2 • 9 • 28 • 84 • 96 • 101 • 417
4. Scrivi la cifra o le cifre finali in modo da rendere ogni numero divisibile per 4.
3 • 7 • 2 • 9 • 13 • 25 • 37
5. Scrivi cinque numeri divisibili per 10 o per 100.
6. Evidenzia quali, tra questi numeri, sono divisibili per 3. 45 57 64 78 83 96 103 150 702 1 566 3 322
7. Evidenzia quali, tra questi numeri, sono divisibili per 9. 54 72 99 109 199 218 243 354 927 961 1728 5436
NUMERI PRIMI E NUMERI COMPOSTI
I numeri che hanno come divisori solo il numero 1 e se stessi sono i numeri primi. Sono numeri composti quelli che ammettono più di due divisori.
Ora scopriremo quali sono tutti i numeri primi compresi tra 1 e 100 utilizzando il crivello di Eratostene.
CRIVELLO DI ERATOSTENE
È un metodo per trovare i numeri primi. Fu ideato dall’antico matematico greco Eratostene, vissuto intorno al 200 a.C.
Crivello significa “setaccio”.
PROVA TU!
1. Lavora con i tuoi compagni sulla tabella che riporta i primi 100 numeri naturali. Sarà il vostro setaccio.
• Sul numero 1 c'è una ✘: non è considerato numero primo, perché è divisibile solo per se stesso.
• Cerchia il numero 2.
Cancella con una ✘ tutti i multipli di 2.
• Cerchia il numero 3.
Cancella con una ✘ tutti i multipli di 3 rimasti (alcuni li hai già cancellati perché anche multipli di 2).
• Cerchia il numero 5.
Cancella con una ✘ tutti i multipli di 5 rimasti (alcuni li hai già cancellati perché anche multipli di 2 o di 3).
• Cerchia il numero 7.
Cancella con una ✘ tutti i multipli di 7 rimasti (alcuni li hai già cancellati perché anche multipli di 2, di 3 o di 5).
• Nella tabella/setaccio sono rimasti solo i numeri primi. Cerchiali.
Tutti gli altri, cioè quelli che hai cancellato, si chiamano numeri composti.
2. In questo insieme identifica e cerchia tutti i numeri primi. Puoi aiutarti consultando la tabella.
1 Collega ogni proprietà all’affermazione corretta.
Se moltiplichi o dividi per lo stesso numero entrambi i termini della divisione, il risultato non cambia.
Se sommi o sottrai lo stesso numero a entrambi i termini della sottrazione, il risultato non cambia.
La somma non cambia pur cambiando l’ordine degli addendi.
Se scomponi uno dei due fattori in una somma di numeri, moltiplichi i due addendi per l'altro fattore e poi addizioni i prodotti ottenuti, il risultato non cambia.
Il prodotto non cambia pur cambiando l’ordine dei fattori.
Se a due o più addendi sostituisci la loro somma, il risultato non cambia.
Se a due o più fattori sostituisci il loro prodotto, il risultato non cambia.
2 Esegui le operazioni in colonna sul quaderno e verifica con la prova.
• Quali, tra questi numeri, sono i multipli comuni a 4 e 5? per difetto per eccesso 56 847 000 29 142 655 8 942 645 commutativa associativa invariantiva distributiva
C 27 × 39 = 421 × 85 = 540 × 963 =
D 374 : 15 = 2 384 : 38 = 48 564 : 169 =
3 Arrotonda alle centinaia di migliaia. Valuta quale approssimazione si avvicina di più al numero di partenza ed evidenziala.
4 Inserisci nel diagramma di Eulero-Venn i seguenti numeri, poi rispondi.
40 48 56 65 72 100
multipli di 5 multipli di 4
TELLING Story
POP E IL MISTERO DEI
FIORI SOLITARI
Nella Valle di Numerandia c’è una distesa infinita di giardini geometrici. Pop è l’aiutante ufficiale del Vecchio Tobia, il Giardiniere dei Numeri.
Questa mattina, Tobia è preoccupato. “Pop, oggi è la Festa degli Schieramenti! Ogni gruppo di fiori deve essere sistemato in un rettangolo perfetto, con file e colonne tutte uguali. Se abbiamo 12 rose, possiamo fare 2 file da 6, o 3 file da 4. Niente deve restare fuori!”
Pop si mette al lavoro con entusiasmo. Arriva un carico di 15 tulipani: “Facile!” pensa Pop. “Tre file da cinque!” Clack, fatto. Poi arrivano 20 margherite: “Quattro file da cinque!” Clack, fatto anche questo.
Ma all’improvviso, Pop si ferma davanti a un cestino che contiene 7 girasoli. Prova a fare due file... ma ne resta fuori uno (3+3+1). Prova a fare tre file... ma ne resta fuori uno (2+2+2+1). Prova in ogni modo, ma l’unico modo per metterli in ordine è metterli tutti in una sola, lunghissima fila indiana. “Tobia! Questi fiori sono ribelli!” esclama Pop, facendo roteare le antenne per la disperazione. “Non vogliono stare in un rettangolo!”
Tobia sorride, sedendosi su una sedia a forma di simbolo dell’infinito. “Oh Pop, hai incontrato i Numeri Primi. Sono i numeri più nobili e testardi della valle. Non sono fatti di altri pezzi, non si lasciano dividere in gruppi uguali, a meno che il gruppo non sia da uno... o che non siano tutti insieme in un unico grande gruppo.”
Pop rimane a bocca aperta. “Quindi sono numeri... solitari?” “No, sono numeri mattoni,” spiegò Tobia. “Tutti gli altri numeri, quelli che tu hai sistemato nei rettangoli, sono nati moltiplicando tra loro i Numeri Primi. Il 6 è nato da 2x3. Il 10 da 2x5. Ma il 7, l’11, il 13... loro non hanno genitori. Esistono e basta. Sono le gemme preziose della matematica.”
Pop guarda i suoi 7 girasoli con un nuovo rispetto. Non sono “sbagliati”, sono solo “speciali”. Decide di chiamarli i Numeri Atomici, perché sono l’essenza stessa di tutto il giardino.
LA SFIDA DEI RETTANGOLI DI POP
In questa attività lavorerete in coppia o in piccoli gruppi. Invece di usare una tabella, userete degli oggetti reali per toccare con mano la testardaggine dei Numeri Primi.
Che cosa serve?
● 20 piccoli oggetti uguali: fagioli secchi, pasta come pennette o maccheroni, bottoni o cubetti di plastica.
● Il quaderno di matematica.
● Una matita.
Regole del gioco
Pop vi sfida a testare i numeri da 2 a 20. Per ogni numero, dovete fare la “Prova del Rettangolo”.
1 La Regola di Tobia: Un numero è “rettangolare” se potete sistemare i vostri oggetti in un rettangolo che abbia almeno 2 righe e almeno 2 colonne.
2 Esempio con il 6: Prendete 6 fagioli. Potete fare 2 file da 3? Sì! Allora il 6 non è primo.
3 Esempio con il 5: Prendete 5 fagioli. Potete fare 2 file uguali? No (ne resta uno fuori).
Potete fare 3 file uguali? No. Potete fare solo una fila da 5. Allora il 5 è una Gemma di Pop (numero primo)!
Cosa fare:
1 Prendete il quaderno e create due colonne: “Numeri Rettangolo” e “Gemme di Pop”. Provate uno per uno tutti i numeri da 2 a 20:
2 Prendete il numero di oggetti corrispondente.
3 Provate a costruire un rettangolo pieno, senza buchi e senza pezzi che avanzano.
4 Se ci riuscite, scrivete il numero nella colonna dei Numeri Rettangolo.
5 Se l’unico modo per metterli in ordine è fare una sola, lunghissima fila, allora avete trovato una Gemma di Pop. Scrivetelo nella colonna giusta.
6 Alla fine del vostro lavoro, controllate la colonna delle Gemme di Pop. Se avete lavorato bene come dei veri robot di precisione, dovreste aver trovato queste 8 gemme: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19
DIVIDERE IN PARTI UGUALI
Frazionare significa dividere in parti uguali
Questo intero è stato diviso in 11 parti uguali.
Ogni parte è 1 11 , cioè una unità frazionaria.
Consideriamo 7 parti, cioè 7 11 .
RICORDA
numeratore ➤ 7 denominatore ➤ 11 linea di frazione ➤ 1 11 1 11 1
7 parti
FRAZIONI CHE COMPLETANO L’INTERO
Il numeratore indica il numero delle parti considerate.
La linea di frazione rappresenta la divisione, il frazionamento.
Il denominatore: indica in quante parti è stato diviso l’intero o un numero.
Ecco i termini delle frazioni.
Consideriamo la parte azzurra, 7 11 , e la parte bianca, 4 11 .
Possiamo scrivere 7 11 + 4 11 = 11 11 = 1
Le frazioni 7 11 e 4 11 sono complementari.
PROVA TU!
RICORDA
Due frazioni sono complementari quando si completano a vicenda per formare l’intero.
1. Per ogni frazione data indica quella complementare. Segui l’esempio.
2. Per ogni figura osserva la parte colorata e la parte non colorata. Poi scrivi le frazioni complementari. Segui l’esempio.
FRAZIONI MAGGIORI E MINORI DI 1 O UGUALI A 1
RICORDA
• Le frazioni minori di 1, dette proprie, indicano quantità minori dell’intero. Il loro numeratore è minore del denominatore.
• Le frazioni maggiori di 1, dette improprie, indicano quantità maggiori dell’intero.Il loro numeratore è maggiore del denominatore.
• Le frazioni uguali a 1 o più interi sono dette apparenti Il loro numeratore è uguale o multiplo del denominatore.
PROVA TU!
1. Rappresenta nello spazio quadrettato:
• la frazione propria 3 4
• la frazione impropria 7 4
• la frazione apparente 12 4
Ora confronta le coppie di frazioni usando i segni >, < oppure =. 3 4
2. Colora di azzurro le frazioni maggiori di 1, di giallo le frazioni minori di 1 e di verde le frazioni apparenti.
3. Confronta le coppie di frazioni usando i segni >, <, =.
FRAZIONI EQUIVALENTI
Le frazioni 1 3 , 2 6 , 3 9 , 4 12 rappresentano la stessa parte dell’intero, sono frazioni equivalenti.
Possiamo scrivere: 1 3 = 2 6 = 3 9 = 4 12 .
È possibile trovare frazioni equivalenti applicando la proprietà invariantiva: moltiplicando o dividendo per uno stesso numero entrambi i termini di una frazione, si ottiene una frazione equivalente a quella data.
RICORDA
Le frazioni equivalenti si equivalgono, cioè hanno lo stesso valore
1. Osserva e rispondi.
• È stata colorata la stessa parte dell’intero? SÌ NO
• Le frazioni 1 4, 2 8, 4 16, sono equivalenti? SÌ NO
2. Osserva e rispondi.
• È stata colorata la stessa parte dell’intero? SÌ NO
• Le frazioni 12 16 , 6 8, 3 4 , sono equivalenti? SÌ NO
3. Applica i comandi e scrivi le frazioni equivalenti.
4. Applica la proprietà invariantiva delle frazioni. Scrivi i comandi sulle frecce.
CONFRONTO TRA FRAZIONI
CONFRONTO TRA UNITÀ FRAZIONARIE
Chi mangia la parte maggiore di cioccolato?
Possiamo affermare: 1 3 > 1 4
RICORDA
Fra due unità frazionarie è maggiore l'unità frazionaria con il denominatore minore.
CONFRONTO TRA FRAZIONI
CON UGUALE NUMERATORE
Due ciclisti devono percorrere la stessa distanza.
Uno fa una sosta dopo 4 10 del percorso,
l’altro dopo 4 8 .
Chi ha percorso più strada prima della sosta?
RICORDA
Tra due frazioni che hanno uguale numeratore, è maggiore la frazione con il denominatore minore.
Possiamo
affermare: 4 8 > 4 10
Io mangio 1 3 di cioccolato
Io mangio 1 4 di cioccolato
CONFRONTO TRA FRAZIONI CON UGUALE DENOMINATORE
Leo ha risposto esattamente ai 3 5 delle domande nella verifica di Scienze e ha eseguito correttamente i 4 5 delle operazioni nella verifica di Matematica. In quale verifica è stato più bravo?
RICORDA
Tra due frazioni che hanno uguale denominatore, è maggiore la frazione con il numeratore maggiore.
Possiamo affermare: 4 5 > 3 5 3 5 4 5
PROVA TU!
1. Confronta le coppie di frazioni usando i segni >, < oppure =
OPERARE CON LE FRAZIONI
DALL’INTERO ALLA FRAZIONE
La tavoletta di cioccolato è stata divisa in 20 parti uguali.
Per sapere quante parti mangerà Laura, occorre calcolare 3 4 di 20. Ecco il procedimento:
20 5 15 : 4 × 3
Laura mangerà 15 parti.
3 4 di 20 = 15
La parte rimasta rappresenta la frazione
complementare di 3 4 , cioè 1 4 .
Quanto cioccolato resta?
Vorrei mangiare 3 4 di tavoletta di cioccolato
RICORDA
Se conosci l’intero e vuoi calcolare il valore di una frazione, procedi così:
• dividi l’intero per il denominatore;
• moltiplica il risultato per il numeratore.
20 5 : 4
RICORDA
Se conosci l’intero, per calcolare l’unità frazionaria dividi l’intero per il denominatore. Non è necessario moltiplicare per il numeratore, poiché è 1.
PROVA TU!
1. Calcola a mente come nell'esempio.
2 3 di 24 = B 24 : 3 = 8 B 8 × 2 = 16
5 8 di 72 = B : = B × = 3 7 di 56 = B : = B × = 4 9 di 81 = B : = B × =
2. Esegui i calcoli a mente e rispondi.
• Anna ha 15 anni. L’età di Sara è 3 5 di quella di Anna. Quanti anni ha Sara?
• In un parcheggio sostano 120 automobili.
2 10 di esse hanno targhe straniere.
Quante sono le auto straniere?
Quante sono le auto italiane?
DALLA FRAZIONE ALL’INTERO
Quanti sono in totale gli scalini della torre di Pisa?
Io ho percorso 185 scalini, cioè i 5 8 del totale.
Il numero totale degli scalini rappresenta l’intero: in questo caso 8 8 = 1.
Dobbiamo calcolare quanti scalini corrispondono a 8 8 .
Conosciamo il numero 185, che corrisponde ai 5 8 del totale.
Quindi procediamo così:
185 37 296 : 5 × 8
Gli scalini per arrivare in cima alla torre di Pisa sono in totale 296.
PROVA TU!
1. Calcola a mente come nell'esempio.
45 = 5 7 di? = B 45 : 5 = 9 B 9 × 7 = 63
72 = 8 10 di? = B : = B × =
40 = 4 9 di? = B : = B × =
21 = 7 8 di? = B : = B × =
33 = 3 5 di? = B : = B × =
RICORDA
Se conosci il valore di una frazione e devi calcolarne l’intero:
• dividi il numero che esprime il valore della frazione per il numeratore;
• moltiplica il risultato per il denominatore.
2. Esegui i calcoli a mente e rispondi.
• I 3 5 della lunghezza di un segmento sono
21 cm. Quanto è lungo il segmento? cm.
• I 4 6 dell’altezza di un campanile sono 24 m.
Quanto è alto il campanile? m.
• Una squadra di pallavolo ha vinto 15 partite, cioè i 5 7 delle partite giocate.
Quante sono le partite giocate in tutto?
1 Esegui i calcoli a mente, rispondi e completa.
DALL’INTERO ALLA FRAZIONE
A Un nastro è lungo 6 m. Sara ne utilizza 1 3 . Quanti metri utilizza? Quanti ne rimangono?
B Una classe è formata da 24 alunni. Oggi sono tutti presenti e, per l’ora di ginnastica, 5 6 sono venuti a scuola indossando la tuta. Quanti sono gli alunni in tuta? ............................
Quanti non indossano la tuta?
C Ricevo in regalo 100 euro. Ne spendo subito 3 4 per comprare una maglietta e un paio di pantaloni. Quanto spendo? Quanto mi rimane?
D Ogni minuto rappresenta 1 60 di un’ora. Esprimi l’intero in frazione
Segui l’esempio e completa la tabella.
2 Esegui i calcoli a mente, rispondi e disegna.
DALLA FRAZIONE ALL’INTERO
A In classe oggi sono assenti 4 alunni, che corrispondono a 1 6 degli iscritti. Quanti sono gli iscritti? Quanti sono presenti oggi?
B Un ragazzo ha percorso 2 3 del tragitto che deve compiere in bicicletta.
Sapendo che ha percorso 10 km, quanti chilometri deve percorrere in totale?
C La distanza tra Milano e Bologna è circa 224 km, pari ai 7 10 della distanza tra Milano e Firenze. Quanto distano Milano e Firenze?
D Il segmento AB è lungo 12 cm, che corrispondono a 3 4 della lunghezza del segmento CD e a 4 6 del segmento EF. Disegna i segmenti CD ed EF.
FRAZIONI DECIMALI E NUMERI DECIMALI
RICORDA
Tutte le frazioni che al denominatore hanno una potenza di 10, cioè i numeri 10, 100, 1 000, 10 000..., si dicono frazioni decimali
Qualsiasi frazione decimale si può trasformare in un numero decimale. Osserva.
25 10 = 2,5
1 zero 1 cifra decimale
RICORDA
25 100 = 0,25 2 zeri 2 cifre decimali
25 1000 = 0,025 3 zeri 3 cifre decimali
Per trasformare una frazione decimale in un numero decimale procedi così:
• scrivi il numeratore;
• separa con la virgola tante cifre decimali quanti sono gli zeri che compaiono al denominatore.
Qualsiasi numero decimale può trasformato in una frazione decimale. Osserva.
1 10 1 decimo 1 100 1 centesimo 1 1000 1 millesimo u d 0 , 1 u d c 0 , 0 1 u d c m 0 , 0 0 1 1 1000 1 millesimo
1,5 = 15 10 1 zero
1 cifra decimale
RICORDA
0,15 = 15 100 2 zeri 2 cifre decimali
0,015 = 15 1000 3 zeri 3 cifre decimali
Per trasformare un numero decimale in una frazione decimale procedi così:
• al numeratore scrivi il numero decimale dato senza la virgola;
• al denominatore scrivi 1 seguito da tanti zeri quante sono le cifre decimali del numero dato.
NUMERI DECIMALI
I numeri decimali sono composti da una parte intera e una parte decimale, separate da una virgola. Come per i numeri interi, è opportuno utilizzare una tabella per evidenziare il valore posizionale delle cifre.
h da u , d c m
PROVA TU!
1. Scrivi in cifre ed esegui le equivalenze come nell’esempio. Poi rispondi ed esegui quanto richiesto.
parte intera parte decimale da u d c m
7 centesimi
centesimi
1 534 millesimi
• Qual è il numero maggiore scritto in tabella?
E qual è il minore?
• Scegli due coppie di numeri tra quelli in tabella e scrivili nei riquadri in modo da rendere vera ogni relazione.
• Scrivi i numeri presenti in tabella in ordine decrescente
• Scrivi i numeri presenti in tabella in ordine crescente
2. Indica con una X se i seguenti numeri sono scritti in ordine crescente (C) o decrescente (D
ADDIZIONI E SOTTRAZIONI
CON I NUMERI DECIMALI
Eseguiamo l'addizione in colonna e verifichiamo la somma applicando la proprietà commutativa nella prova.
4 5 1 , 0 0 0 + 1 2 , 4 0 0 +
Eseguiamo la sottrazione e scrivi in colonna e verifichiamo la differenza trasformando la sottrazione nell’addizione corrispondente per eseguire la prova. h da u d c m
3 1 1 1 prova sottrazione 1 1
prova 1 1 h da u d
4 0 2 , 0 –2 5 1 , 2 = 1 5 0 , 8 h da u d 1 5 0 , 8 + 2 5 1 , 2 = 4 0 2 , 0
RICORDA
• Nelle addizioni e nelle sottrazioni incolonna correttamente le cifre e la virgola.
• Se la parte decimale non ha lo stesso numero di cifre, aggiungi gli 0 necessari a destra per pareggiare le cifre.
PROVA TU!
1. Esegui in colonna sul quaderno e verifica con la prova.
• A ogni passaggio dall’alto verso il basso si esegue : 10. I numeri diventano sempre più piccoli.
• A ogni passaggio dal basso verso l’alto si esegue × 10. I numeri diventano sempre più grandi.
Ecco gli stessi numeri in tabella.
PROVA TU!
2. Completa le seguenti tabelle.
RICORDA
• Moltiplicare un numero per 10, 100, 1 000 vuol dire aumentare il valore di ogni cifra spostandola verso sinistra rispettivamente di uno, due, tre posti.
• Dividere un numero per 10, 100, 1 000 vuol dire diminuire il valore di ogni cifra spostandola verso destra rispettivamente di uno, due, tre posti.
3. Esegui le operazioni.
1. Completa come nell'esempio.
MOLTIPLICAZIONI CON I NUMERI DECIMALI
Eseguiamo la moltiplicazione 2,3 × 6,5 e verifichiamo il prodotto applicando la proprietà commutativa nella prova.
Stamattina il negozio del signor Baffo è nel caos. Sta per cominciare la Festa del Saldo, ma l’anziano proprietario ha perso i suoi occhiali e non riesce a scrivere i nuovi prezzi sui cartellini.
“Pop, aiutami tu!” esclama il signor Baffo. “Su ogni scaffale ho messo un cartello con la percentuale di sconto, ma i clienti vogliono sapere il prezzo finale in euro, non in quadratini!”
Pop guarda il cartello degli zaini, euro 60, e accanto c’è un grande bollino: SCONTO 20%.
“Niente panico, signor Baffo!” dice Pop facendo brillare i suoi occhi. “La percentuale è come una torta tagliata sempre in 100 fette. Se lo sconto è del 20%, significa che ogni 100 euro ne risparmiamo 20. Ma siccome lo zaino costa 60 euro, dobbiamo applicare un piccolo trucco magico.”
Pop spiega ai clienti curiosi che intanto si sono avvicinati: “Immaginate di dividere il prezzo in 100 parti uguali. Ogni parte è l’1%. Poi ne prendiamo 20 per vedere quanto è grande lo sconto.”
Comincia allora ad eseguire i calcoli ad alta voce. Divide per 100 il pezzo originale; 60 : 100 = 0,60 (ecco l'1%). Moltiplica quel pezzettino per la percentuale di sconto: 0,60 × 20 = € 12. “Ecco qui!” trilla Pop. “Lo sconto è di € 12 quindi lo zaino costerà 60 – 12 = 48!”
I clienti applaudono e Pop passa tutto il pomeriggio a far “cadere” pezzi di prezzo dai cartellini. Capisce che la percentuale non è un mostro matematico, ma come un paio di forbici magiche che tagliano via una parte del costo per renderlo più leggero. Alla fine della giornata, il magazzino è vuoto e le tasche dei clienti piene di risparmi!
E il signor Baffo? Con i soldi che ha incassato è andato a comprare un paio di occhiali nuovi… in saldo!
IL MERCATINO DI POP
Questa attività va svolta a coppie o piccoli gruppi. Diventerete commessi e clienti del magazzino di Pop. Vi basta il vostro quaderno e un po’ di fantasia.
Che cosa serve?
● 5 oggetti del vostro zaino (un astuccio, un libro, una borraccia, ecc.).
● Foglietti di carta.
● Matita e righello.
Cosa fare?
1 Scegliete 5 oggetti e metteteli sul banco. Su ogni oggetto mettete un cartellino con un prezzo inventato (usate numeri “comodi” come 10, 20, 50 o 100 euro per facilitare i calcoli).
2 Preparate 5 bigliettini con le seguenti percentuali di sconto:
● 10%
● 20%
● 25%
● 50% (Lo sconto "Metà Prezzo")
● 5% (La sfida per i veri esperti)
Estraete a sorte un bollino per ogni oggetto e appoggiatelo vicino al prezzo.
3 Sul quaderno, create una tabella come questa per ogni oggetto:
Oggetto Prezzo Originale % Sconto Valore Sconto (in €) Prezzo Finale
Astuccio 20 € 10% ? ?
4 Scambiatevi il quaderno con un’altra coppia. Controllate i loro calcoli. Se trovate un errore, aiutateli a capire dove il robot si è inceppato!
RICORDA IL TRUCCO DI POP!
● Trova l’1%: Dividi il prezzo originale per 100.
● Trova lo Sconto: Moltiplica il risultato per la percentuale del bollino.
● Trova il Prezzo Finale: Sottrai lo sconto dal prezzo originale.
VERIFICA LE TUE CONOSCENZE
1 Scomponi i numeri come nell’esempio.
284 356 890 B 2 hM 8 daM 4 uM 3 hk 5 dak 6 uk 8 h 9 da
3 840 428 451 B
84 652 103 749 B
183 400 458 672 B
2 Ricomponi i numeri come nell’esempio.
3 uG 6 hM 4 daM 8 hk 5 dak 9 h B 3 640 850 900
6 hM 9 uM 4 dak 8 da 1 u B
8 uM 5 hk 3 dak 9 h 4 da B 9 daG 1 uG 7 hk 8 da B .............................................................. 4 uM 6 dak 3 uk 5 u B 2 hG 3 uG 9 daM 6 h B 3 459 238
3 Confronta le coppie di numeri usando i segni >, < oppure = .
4 Calcola il valore di ogni potenza. Usa la calcolatrice se occorre.
92 = 28 = 63 = 112 = 1241 = 3850 =
5 Osserva la linea e confronta le coppie di numeri relativi usando i segni > oppure <.
6 Esegui le operazioni in colonna sul quaderno e verifica con la prova.
846 349 + 83 431 =
623 845 900 + 632 840 586 =
523 000 485 + 2 637 488 = B
345 328 895 – 3 652 434 =
302 534 950 – 47 584 990 =
400 000 – 475 894 300 = C
× 45 =
× 91 =
× 297 = D
548 : 18 =
245 : 127 =
634 : 345 =
7 Sottolinea i numeri divisibili per 3 e cerchia i numeri primi.
8 Calcola a mente come negli esempi.
=
9 Esegui le operazioni in colonna sul quaderno e verifica con la prova.
• Quale argomento ti è piaciuto di più? Perché? ....................................................................................................
• Colora di il quadratino degli esercizi che hai trovato facili e di quello degli esercizi che hai trovato difficili.
LE MISURE
Ogni giorno usiamo le misure per conoscere la lunghezza, il peso, la capacità e il tempo. In questa nuova avventura matematica impareremo a misurare, confrontare e calcolare le grandezze usando strumenti precisi e regole chiare.
Il metro è uno strumento usato per la misurazione di lunghezze. Ne esistono di tipologie diverse, in base all’uso che se ne fa.
La bilancia è uno strumento antichissimo, con una storia ed evoluzione che segnano il progresso dell'ingegno umano. Serve a misurare la massa.
L'orologio è uno strumento che consente di misurare lo scorrere del tempo durante la giornata.
L'euro è stato introdotto il primogennaio 1999 ed è divenuto la valuta di oltre 300 milioni di cittadini europei. È una misura di valore.
Il misurino graduato è uno strumento utile per varie applicazioni ed è utilizzato solitamente per misurare il volume dei liquidi.
Osserva le immagini, poi rifletti e rispondi alle domande, confrontando infine le tue risposte con quelle dei compagni: “Che cosa hanno in comune tutti questi oggetti? Quale di questi strumenti usi più spesso nella tua giornata? E a scuola? Secondo te, perché per misurare servono strumenti precisi e uguali per tutti?”
METODO P O P
P RIMA O SSERVO P OI... RIFLETTO
LE MISURE DI LUNGHEZZA
L’unità di misura fondamentale per le lunghezze è il metro, con i suoi multipli e sottomultipli.
LE EQUIVALENZE
Ricordi come si eseguono le equivalenze?
• Per passare da un’unità di misura maggiore una minore si moltiplica per 10, 100, 1 000
5,8 hm = 58 dam 5,8 hm = 580 m
• Per passare da un’unità di misura minore a una maggiore si divide per 10, 100, 1 000 .
450 cm = 45 dm
PROVA TU!
450 cm = 4,5 m
1. Scrivi ogni misura in tabella, poi esegui le equivalenze richieste. Segui l’esempio. km hm dam m dm cm mm
2 785 m 2 7 8 5
m = 2,785 km = 27,85 hm
LE MISURE DI CAPACITÀ
L’unità di misura fondamentale per la capacità è il litro, con i suoi multipli e sottomultipli.
PROVA TU!
1. Spesso nelle ricette gli ingredienti sono espressi in tazze, cucchiai e cucchiaini. Scrivi in ordine crescente le capacità indicate sui contenitori qui a lato.
• Ora riscrivi ciascuna capacità secondo i campioni richiesti.
2. Uno dei contenitori raffigurati ha la capacità di 1 4 di litro. Cerchialo e rispondi.
• Quanti contenitori da 125 ml sono necessari per formare 1 litro?
3. Scrivi ogni misura in tabella, poi esegui le equivalenze richieste. Segui l’esempio. hl dal l dl cl ml
l 1 2 0
LE MISURE DI PESO O MASSA
La massa è la quantità di materia che costituisce un corpo, ma nel linguaggio comune usiamo il termine peso per indicare la massa. L’unità di misura fondamentale per la massa è il chilogrammo, con i suoi multipli e sottomultipli.
PROVA TU!
1. Ecco gli ingredienti per preparare dei biscotti alle mandorle. Completa la tabella.
Per esprimere quantità di peso molto piccole si usano i sottomultipli del grammo .
2. Scrivi ogni misura in tabella, poi esegui le equivalenze richieste. Segui l’esempio.
30 biscotti per 60 biscotti per 90 biscotti
g farina
PESO LORDO, PESO NETTO, TARA
• La tara è il peso del contenitore.
• Il peso netto è il peso del contenuto.
• Il peso lordo è il peso del contenuto e del contenitore insieme.
Il simbolo ℮ sulle confezioni garantisce il peso netto della merce preconfezionata secondo le norme europee.
PROVA TU!
1. Completa gli schemi.
200 g tara 500 g peso netto peso lordo 215 g peso lordo 30 g tara peso netto 4,94 hg peso lordo 0,4 hg tara peso netto
2. Analizza i testi dei seguenti problemi e inserisci nelle parentesi i termini appropriati: peso lordo, peso netto, tara. Poi risolvi sul quaderno.
A Per la consegna delle pizze a domicilio si utilizzano scatole di cartone del peso di 60 g l’una ( ). Se il peso di una pizza margherita è di 300 g ( ), quanto pesa una scatola contenente una pizza margherita ( )?
B Una compagnia aerea imbarca nella stiva dell’aereo un bagaglio per ogni passeggero per un peso massimo di 32 kg ( ). Luca vuole usare una valigia che pesa 3,5 kg ( ). Quale dovrà essere il peso massimo del contenuto della valigia ( ) in ettogrammi?
C Su una confezione di pastiglie per lavastoviglie c’è scritto: “35 pastiglie da 18 g” ( ).
Metto la confezione nuova sulla bilancia e vedo che pesa 715 g ( ).
Qual è il peso della scatola vuota ( )?
LE MISURE DEL TEMPO
L’unità di misura del tempo è il secondo.
Il simbolo del secondo è s. Talvolta viene indicato con sec o con ” .
I sottomultipli del secondo seguono il sistema decimale e si usano per misurare tempi molto brevi.
I multipli fino all'ora seguono invece il sistema sessagesimale (in base 60) e i multipli successivi raggruppamenti diversi.
anno mese giorno ora minuto secondo decimo di secondo centesimo di secondo millesimo di secondo d h min s
365 d 12 mesi 30 d
PROVA TU!
1. Completa le equivalenze.
180 min = h 5 h = min
5 min = s
120 s = min
min = h
= h
min = .......... h
min = s
s = min 1 2 min = s
2. Risolvi i seguenti problemi sul quaderno.
h = min
s = min 1 2 h = s
s = min e
A Giancarlo per arrivare a Roma in treno ha impiegato 5 ore e 10 minuti. Il treno è partito da Venezia alle ore 7.40 e a Bologna arriva con un ritardo di 50 minuti. A che ora arriva Giancarlo a Roma?
B In una gara podistica Marcel copre il percorso in 2 ore e 45 minuti; Artyom ha impiegato 175 minuti e Riccardo 1 ora e 100 minuti. Chi è arrivato primo?
C Giovanni, per raggiungere la casa al mare, parte in auto alle ore 11.45. Arriva alle ore 17.00, dopo aver fatto una sosta di 20 minuti. Quanto tempo è durato effettivamente il viaggio in auto?
SPAZIO, TEMPO, VELOCITÀ
Con la sua bicicletta Sara percorre 10 km in 1 ora. Con un passo regolare, invece, Sara compie 4 km in 1 ora.
Entrambe queste affermazioni esprimono un rapporto tra lo spazio percorso e il tempo impiegato a percorrerlo, cioè la velocità.
La velocità è generalmente espressa in metri al secondo (m/s) oppure in chilometri all’ora (km/h).
PROVA TU!
spazio percorso tempo impiegato velocità :
Rapporto: quoziente ottenuto dividendo un numero per un altro numero.
1. Qual è l'animale più veloce. Realizzate una classifica dei record di velocità degli animali.
L’antilocapra è il mammifero più veloce sulla lunga distanza: può raggiungere la velocità media di 56 km/h e mantenerla per alcuni chilometri.
L’animale terrestre più veloce è il ghepardo, che per alcune centinaia di metri può raggiungere la velocità di 120 km/h.
• Rifletti e discuti insieme ai compagni e all’insegnante: perché queste informazioni sembrano in contraddizione?
• Distinguete tra velocità media (M) e velocità istantanea (I).
– È registrata in un dato momento. M I
– Può essere mantenuta per breve tempo. M I
– Può essere mantenuta per un tempo prolungato. M I
• Raccogliete i dati sui record di velocità degli animali e realizzate due diverse classifiche: una per la velocità media e una per quella istantanea.
2. Calcola a mente la velocità media ed esprimila in km/h.
• Un treno ad alta velocità percorre 600 km in 3 ore. Velocità =
• Un’auto percorre l’autostrada tra Milano e Vicenza, pari a circa 200 km, in 2 ore. Velocità =
• Un ciclista allenato percorre 50 km in 2 ore. Velocità =
• Un aereo in rotta intercontinentale percorre 8 000 km in 10 ore. Velocità =
• Camminando, un adulto percorre 15 km in 3 ore. Velocità =
L'EURO
La moneta utilizzata in Italia dal 1° gennaio 2002 è l’euro. Il suo simbolo è € e viene scritto prima del numero. Anche l’euro ha i suoi multipli e i suoi sottomultipli.
L’OPERAZIONE DI CAMBIO
I Paesi che non adottano l’euro hanno altre monete nazionali. Per esempio, in Svizzera c’è il franco svizzero, nel Regno Unito c’è la sterlina e negli Stati Uniti il dollaro. Attraverso un’operazione di cambio è possibile effettuare la conversione tra monete differenti.
Il tasso di cambio, ovvero il numero di unità di moneta estera che possono essere acquistate con un’unità della propria moneta, cambia quotidianamente.
Lo schema evidenzia come passare dall’euro a un’altra moneta. L’operatore da applicare è il tasso di cambio. Ricorda che cambia quotidianamente! multipli unità fondamentale sottomultipli
Tasso di cambio: è il prezzo di una moneta rispetto a un’altra.
valore corrispondente in moneta estera euro
x tasso di cambio
PROVA TU!
1. Completa la tabella come nell’esempio.
Costruisci sul quaderno una tabella come questa e calcola, per quantità diverse di euro, il corrispettivo valore in monete estere. Informati sul tasso di cambio del giorno.
× 1,10 110,00 dollari USA
× 0,85 sterline inglesi
× 0,94 franchi svizzeri
COSTO UNITARIO E COSTO TOTALE
• Il valore di un singolo prodotto è il costo unitario
• Il valore complessivo della quantità di prodotti acquistati è il costo totale
• Conoscendo il valore totale e il valore unitario, è possibile calcolare la quantità di prodotti acquistati.
PROVA TU!
1. Completa gli schemi.
2. Completa le tabelle.
LA COMPRAVENDITA
Immagina di essere un negoziante.
• Il denaro che ricevi dal cliente è il ricavo.
• Il denaro che usi per pagare il fornitore è la spesa.
• La differenza tra ricavo e spesa è il guadagno.
• Se la spesa è maggiore del ricavo, non c’è guadagno ma perdita.
1. Completa gli schemi.
ricavo
€ 45,50 spesa
€ 29,50
ricavo
€ 15,99 guadagno
€ 5,00 spesa
€ 119,00
guadagno
€ 15,00 ricavo
2. Analizza i testi dei seguenti problemi e inserisci nelle parentesi i termini appropriati: spesa, guadagno, ricavo, perdita. Poi risolvi sul quaderno.
A In una vetrina è esposto un divano al prezzo di € 650,00 ( ). Se era stato acquistato dal negoziante a € 400,00 ( ), quale sarà il guadagno?
B Un negoziante acquista 50 paia di scarpe pagandole € 80,00 al paio ( ). Se le rivende a € 105,00 al paio ( ), quanto guadagnerà dalla vendita di tutte le scarpe?
C In una svendita la mamma acquista una tovaglia al prezzo di € 75,00 ( ). Il negoziante l’aveva acquistata a € 90,00 ( ). A quanto ammonta la perdita del negoziante?
D Un concessionario acquista un’auto usata a € 6 800,00 ( ). Vuole rivenderla a € 1 500,00 in più ( ). Quale dovrà essere il prezzo a cui mettere in vendita l’auto? ( ).
1 Per ogni coppia colora la durata maggiore. Se le durate sono uguali colorali entrambi.
2 Segna con una x se le affermazioni sono vere (V) o false (F).
• Una banconota da € 5,00 può essere cambiata con 2 monete da € 2,00 e 1 moneta da € 1,00.
• Per avere € 10,00 servono 10 monete da € 2,00.
• 5 centesimi equivalgono a mezzo euro.
• 4 banconote da € 5,00 equivalgono a € 30,00.
• 4 monete da 50 centesimi possono essere cambiate con 2 monete da € 1,00.
• 20 monete da 5 centesimi equivalgono a € 1,00.
• Per avere € 1,00 servono 5 monete da 20 centesimi.
• € 10,00 corrispondono a 1 banconota da € 5,00 e 2 monete da € 2,00.
3 Completa la tabella.
succhi di frutta
F
F
F
F
F
1,50
0,99
23,76
5,80
1,20
4 Risolvi i problemi.
A Un barista ricava dalla vendita di 50 caffè € 60,00. A quanto vende ogni caffè? Se ogni tazzina è costata al barista € 0,90 a quanto ammonta il guadagno totale?
B Un fruttivendolo spende € 18,50 per preparare una cesta di frutta. Se vuole guadagnare € 3,20 a quanto la deve rivendere? Quanto ricava dalla vendita di 12 ceste?
TELLING Story
POP AL CHIOSCO DEL BENVENUTO
Nella stazione internazionale di Mondopoli, Pop ha un compito davvero speciale: gestisce il “Chiosco del Benvenuto”.
Per l’occasione, Pop ha un grande visore sul petto che cambia bandiera a seconda della lingua che sente parlare. La sua missione? Aiutare i viaggiatori appena arrivati da paesi lontani a capire quanti euro hanno in tasca per poter comprare una spremuta o un biglietto dell’autobus.
Questa mattina è scesa dal treno una simpatica studentessa di nome Lucy, arrivata direttamente dagli Stati Uniti d'America. “Hello Pop!” esclama Lucy. “Ho una fame incredibile, ma nel portafoglio ho solo questi dollari. Quanti euro sono?”
Pop fa vibrare le sue antenne, attiva il visore multilingue e la funzione “Cambia-Valuta”. Sul suo schermo appare un numero: 0,90.
“Vedi Lucy,” spiega Pop con la sua voce gentile dalla perfetta pronuncia americana, “ogni moneta ha un suo valore di scambio. Oggi, a Mondopoli 1 Dollaro vale 0,90 Euro. È come se il tuo dollaro fosse un po’ più piccolo di un euro.”
Lucy gli tende una banconota da 20 dollari. Pop iniziò a far girare i suoi circuiti: “Per sapere quanti euro hai, dobbiamo moltiplicare i tuoi dollari per il tasso di cambio! 20 x 0,90 = 18. Ecco qui! Con i tuoi 20 dollari, riceverai 18 euro,” cinguetta Pop. Subito dopo si avvicina il signor Oliver, un elegante uomo d’affari arrivato da Londra. Nel suo portafogli ha un bel mucchio di sterline. “Caro Pop, il mio tasso di cambio oggi è 1,15,” dice Oliver orgoglioso. Pop sorride: “Oh, la sterlina è più ‘pesante’ dell’euro! Ogni tua sterlina vale 1,15 euro. Se mi dai 10 Sterline, io farò 10 x 1,15...”
“... E avrò 11,50 euro!” esclama Oliver, che è molto bravo in matematica e negli affari. Pop è felice. Capisce che le valute del mondo sono come tante lingue diverse: non importa che nome abbiano (dollari, sterline, yen), perché c’è sempre un modo per farle “parlare” tra loro. Tutto quello che serve è un numero magico chiamato Tasso di Cambio.
L’UFFICIO
CAMBI DI POP
In questa attività, lavorerete a gruppi di 3 o 4. Diventerete i “Robot Cambia-Valuta” della stazione di Mondopoli.
Che cosa serve?
● Foglietti di carta per simulare le banconote.
● Il vostro quaderno di matematica.
● La Tabella dei Cambi di Pop.
Cosa fare?
1 Ritagliate dei pezzetti di carta e scrivete le seguenti quantità “straniere”:
● 50 Dollari USA ($)
● 20 Sterline (£)
● 100 Franchi Svizzeri (CHF)
● 10 Dollari USA ($)
2 Consultate la Tabella. Ecco i tassi di cambio che Pop ha scaricato oggi per voi:
Valuta Straniera Simbolo Tasso di Cambio (Valore in Euro)
Dollaro USA $ 0,91 €
Sterlina Inglese £ 1,18 €
Franco Svizzero CHF 1,05 €
3 A turno, un compagno fa il viaggiatore e porge una banconota straniera al resto del gruppo (i “Robot Pop”). I Robot devono calcolare sul quaderno quanti Euro dare al viaggiatore usando la formula: Quantità Straniera x Tasso di Cambio = Valore in Euro
4 Confrontate i risultati nel gruppo. Se i risultati sono differenti, rifate la moltiplicazione insieme. Ricordatevi di posizionare bene la virgola nel risultato finale!
SFIDA FINALE DI POP: Il viaggiatore vuole comprare un libro che costa 25 Euro. Se ha in tasca 30 Dollari USA, riuscirà a comprarlo?
Sì perché No perché
VERIFICA LE TUE CONOSCENZE
1 Leggi il testo ed esegui quanto richiesto.
Le autostrade A24 e A25 offrono la possibilità di un viaggio straordinario tra il Lazio e l’Abruzzo, che interessa 6 parchi naturali e il massiccio del Gran Sasso.
Il percorso è caratterizzato da 153 ponti e viadotti, per un totale di circa 118,8 km.
Altro elemento che contribuisce a rendere uniche le due autostrade sono le 54 gallerie, con uno sviluppo complessivo di circa 70,74 km; ben otto di queste gallerie hanno lunghezze variabili fra 2 000 e 10 000 m.
• Individua l’equivalenza errata.
La lunghezza complessiva dei ponti e dei viadotti è pari a:
A. 118 800 m
B. 118 800 dam
C. 1 188 hm
D. 118 km + 800 m
• Calcola la lunghezza media di una galleria. Indica l’operazione, esegui il calcolo, scrivi la risposta ed esegui le equivalenze.
La lunghezza media di ogni galleria è: km = hm = dam = m
2 Le bottiglie che contengono lo spumante assumono nomi particolari a seconda della loro capacità standard. Tra le più diffuse, procedendo dalla piccola Demi al grande formato della Jeroboam, che prende il nome dal re fondatore del Regno di Israele, troviamo:
• Individua quali operatori permettono di passare da una capacità all'altra.
3 Un cane di taglia media a 2 mesi dalla nascita pesa circa 4 kg. Ogni mese successivo il peso aumenta in media di 2,5 kg. Quanto peserà a 6 mesi?
A. 1 400 g B. 1 500 g C. 14 000 g D. 15 000 g
4
Flavio ha tre coniglietti nani. Pippo pesa 2,5 kg, Pallo pesa 500 g meno di Olly che, a sua volta, pesa 3 kg. Se Flavio li mettesse tutti insieme sulla bilancia, quale peso leggerebbe? Scrivi i tuoi calcoli in riga e la risposta.
Se hai calcolato bene, avrai notato che due dei tre coniglietti hanno lo stesso peso. Quali?
A. Pippo e Olly B. Olly e Pallo C. Pallo e Pippo
5 Un negoziante vende 100 magliette, che aveva pagato in tutto € 350,00, incassando € 950,00. Quanto guadagna in tutto? Scrivi la formula esatta per risolvere il problema.
6 Un fruttivendolo acquista 80 kg di mele per un totale di € 120,00. Dopo averle vendute tutte, incassa € 280,00. Quanto guadagna in tutto? Scrivi la formula esatta per risolvere il problema.
7 Stefania parte in aereo da Palermo alle 17:40 e atterra a Milano alle 19:55. Quanti minuti dura il viaggio?
A. 205 minuti
B. 130 minuti
• Ti è piaciuta questa unità?
C. 135 minuti
D. 215 minuti
• Quale argomento ti è piaciuto di più? Perché? ....................................................................................................
• Colora di il quadratino degli esercizi che hai trovato facili e di quello degli esercizi che hai trovato difficili.
LA GEOMETRIA
Avete mai osservato con attenzione le cose che ci circondano? La geometria è il linguaggio che ci aiuta a comprenderle. Ogni forma ha caratteristiche precise e interessanti da scoprire. Con matita, righello e curiosità, iniziamo insieme il nostro viaggio nella geometria.
La spirale del guscio del nautilus cresce in modo costante e proporzionato. Sapevi che segue una regola matematica che si ritrova anche in galassie, cicloni e perfino nei semi di un girasole?
La celletta esagonale dell'ape, parte del favo, è una meraviglia di ingegneria naturale.
Sapevi che in geometria esiste il teorema della pizza?
P O P
P RIMA O SSERVO P OI... RIFLETTO
Osserva le tre immagini, poi confrontale, rifletti e rispondi alle domande: “Quali immagini hanno una forma regolare? Quali sembrano create dall’uomo e quali dalla natura? Secondo te, perché queste forme si trovano sia nella natura sia negli oggetti di uso quotidiano?”
METODO
IL PIANO CARTESIANO
Il piano cartesiano è un sistema di riferimento formato da due assi perpendicolari detti assi cartesiani, che si intersecano in un punto chiamato origine. Su di esso si possono rappresentare punti, linee, poligoni. Ogni punto è individuato attraverso una coppia ordinata di numeri, detti coordinate. Il primo numero si riferisce alla linea orizzontale, l’asse delle ascisse (x); il secondo numero si riferisce alla linea verticale, l’asse delle ordinate (y).
I due numeri della coppia si scrivono separati da una virgola e racchiusi dentro parentesi tonde. Ecco le coordinate dei tre punti rappresentati su questo piano cartesiano:
A (3,2) • B (7,2) • C (5,5)
PROVA TU!
CARTESIO
asse delle ascisse x asse delle ordinate y origine degli assi A B C
CURIOSITÀ POP
René Descartes (Cartesio), nato nel 1596 in Francia, è stato uno dei principali filosofi dell’età moderna, ma anche un importante scienziato, autore di opere sull’ottica e su altre scienze. Il suo contributo più noto è quello dato alla geometria con l’invenzione del sistema degli "assi cartesiani".
1. Lavora sul piano cartesiano sopra ed esegui quanto indicato
• Unisci i punti: A con B, B con C e C con A.
• Rappresenta i punti indicati, poi uniscili: D (8,2); E (10,4); F (10,9); G (8,7).
• Rappresenta i punti indicati, poi uniscili: H (1,7); I (4,7); L (4,10); M (1,10).
• Quali poligoni sono rappresentati nel piano cartesiano? Completa la tabella.
poligono ottenuto A, B, C D, E, F, G H, I, L, M
TRASLAZIONI
Traslare una figura significa “farla scivolare” lungo un percorso senza curve o ribaltamenti.
Le figure traslate mantengono inalterate le loro caratteristiche: sono congruenti.
La traslazione presenta tre elementi caratteristici:
• direzione • verso • lunghezza
Per esprimere queste tre caratteristiche si usa il vettore, un segmento orientato, cioè con la punta di una freccia.
Osserva il vettore rappresentato: trasla la figura ABCDEF nella figura A’B’C’D’E’F’ (si legge A primo, B primo e così via).
• La direzione della retta esprime la direzione della traslazione. Nel caso rappresentato la direzione è orizzontale.
• La punta della freccia esprime il verso della traslazione (in questo caso: verso destra).
• La sua lunghezza esprime la lunghezza della traslazione (6 quadretti).
RICORDA
Traslazioni, rotazioni, ribaltamenti sono isometrie, cioè movimenti che mantengono inalterata la lunghezza dei lati e l’ampiezza degli angoli di una figura.
PROVA TU!
1. Esegui quanto richiesto e rispondi.
• Quale comando esprime il vettore blu?
direzione verso lunghezza
• Quale comando esprime il vettore rosso?
direzione verso lunghezza
• Trasla la figura prima secondo il vettore blu, poi trasla la figura ottenuta secondo il vettore rosso.
• Scrivi sul quaderno le coordinate dei vertici delle tre figure.
• Le figure ottenute sono congruenti tra loro? SI NO
SIMMETRIE
La simmetria è il ribaltamento di una figura intorno ad una retta, detta asse di simmetria. L'asse può essere esterno o interno alla figura. Una figura può avere più assi di simmetria che si intersecano in un punto. In entrambi i casi le figure sono congruenti.
PROVA TU!
1. Osserva le immagini e completa.
asse di simmetria esterno
asse di simmetria interno esempio di più assi di simmetria
immagine 2
immagine 1 immagine 3
• Le figure dell’immagine 1 sono simmetriche rispetto a un asse: interno esterno
• Nell’immagine 2 puoi osservare un ponte riflesso nell’acqua. L’asse di simmetria è: interno esterno
• Nell’immagine 3 disegna l’asse di simmetria esterno rispetto a cui le note sono simmetriche.
2. Osserva: alcune lettere dell’alfabeto sono simmetriche rispetto a un asse interno.
• Traccia l’asse di simmetria, dove possibile.
• Ricopia sul quaderno le lettere in cui non esiste l’asse interno di simmetria e costruisci per ognuna una lettera simmetrica rispetto a un asse esterno scelto da te.
ROTAZIONI
La rotazione di figure presenta tre elementi caratteristici:
• il centro di rotazione, che è un punto fisso e si indica con O. Può essere esterno o appartenere alla figura;
• il verso, che può essere orario o antiorario. Per distinguerli pensa come girano le lancette dell’orologio: quello è il senso orario;
• l’ampiezza, che è l’angolo di rotazione.
Le figure ruotate sono congruenti.
PROVA TU!
1. Distingui gli elementi caratteristici della rotazione: compila la tabella.
1
senso antiorario senso orario
2
figura centro di rotazione interno /esterni verso orario/antiorario ampiezza dell'angolo
2. Considera il triangolo con il bordo nero e scrivi di quanti gradi è stato ruotato ogni volta per comporre la figura intera. Osserva l’esempio.
360° : 6 = 60° 360° : 4 =
• In ogni figura, disegna un pallino sul centro di rotazione dei triangoli. È importante, in questo caso, determinare il verso di rotazione?
SI NO
3. Disegna la figura ruotata rispetto al centro di rotazione O in senso orario di 90°. Poi rispondi.
3
• Quante rotazioni devi disegnare perché la figura ruoti di 360°?
figura
figura
figura
SIMILITUDINI
Metti a confronto le immagini: le due casette sono simili, cambiano solo le dimensioni di una rispetto all’altra. In geometria la similitudine è una trasformazione che mantiene ogni caratteristica della figura, cambiandone solo le dimensioni. Ogni parte della figura viene rimpicciolita o ingrandita secondo un rapporto preciso, cioè applicando un comando: la scala.
La riduzione o l’ingrandimento in scala sono usati per disegnare carte geografiche, mappe, piante di locali o appartamenti.
PROVA TU!
1. Con i compagni e l’insegnante osserva le figure e leggi.
Le dimensioni della figura A sono state dimezzate in modo che a 2 quadretti nella figura A ne corrisponda 1 nella figura B. La figura B risulta rimpicciolita secondo la scala 1:2 (leggi: uno a due).
figura A
figura A
figura B
Le dimensioni della figura A sono state raddoppiate. A 1 quadretto nella figura A ne corrispondono 2 nella figura B. La figura ottenuta risulta ingrandita secondo la scala 2:1 (leggi: due a uno).
figura B
2. Sui quadretti del quaderno riproduci:
• il pesce della figura B, poi ingrandiscilo in scala 3:1;
• il fiore della figura A, poi ingrandiscilo in scala 5:1.
3. Considera i due triangoli simili a lato, leggi le dimensioni indicate e rispondi.
• Il triangolo verde è stato rimpicciolito o ingrandito?
• Sapresti scrivere quale scala è stata utilizzata?
Scala
CHE COS’È UN POLIGONO
Un poligono è una figura piana delimitata da una linea spezzata chiusa non intrecciata.
spezzata non intrecciata
Un poligono è concavo quando contiene almeno un prolungamento dei suoi lati.
Un poligono è convesso quando non contiene nessuno dei prolungamenti dei suoi lati.
GLI ELEMENTI DI UN POLIGONO
Si chiama lato ogni segmento che costituisce il contorno del poligono. Due lati consecutivi hanno un estremo in comune.
angolo
L’angolo è una parte di piano compresa tra due lati consecutivi.
spezzata intrecciata
Poligono: deriva dalle due parole greche poli (tanti) e gono (angoli). Poligono è quindi una figura con tanti angoli.
Il vertice è il punto in comune a due lati consecutivi. Due vertici consecutivi appartengono allo stesso lato.
La diagonale è il segmento che congiunge due vertici non consecutivi. diagonale
In ogni poligono il numero dei vertici e degli angoli è uguale al numero dei lati.
PROVA TU!
1. Traccia il prolungamento dei lati, poi colora di giallo il poligono concavo e di verde il poligono convesso.
2. Traccia in ogni poligono tutte le diagonali possibili. Ricorda che da un vertice puoi tracciare più di una diagonale.
PERIMETRI E AREE
La misura del contorno di un poligono si chiama perimetro e si calcola sommando le lunghezze dei lati.
Il perimetro si indica, generalmente, con P e si misura con campioni lineari.
Il semiperimetro è la metà del perimetro.
La misura della superficie si chiama area e si indica con A.
Si misura con campioni di superficie.
PROVA TU!
1. Registra nella tabella il perimetro e l’area di ogni figura secondo il campione indicato .
• Utilizza lo stesso colore per evidenziare nella tabella il perimetro delle figure isoperimetriche.
• Evidenzia nella tabella le aree delle figure equivalenti, utilizza lo stesso colore per figure equiestese.
figura 2
figura 5
RICORDA
• Due figure con uguale perimetro si dicono isoperimetriche
• Due figure con uguale area si dicono equivalenti o equiestese.
figura 3
figura 1
figura 7
(lato quadretto)
(quadretto)
figura 4
figura 6
figura 8
figura 9
figura
LE MISURE DI SUPERFICIE
Per compiere misurazioni di superficie l’unità fondamentale è il metro quadrato.
I multipli del metro quadrato sono: I sottomultipli del metro quadrato sono:
a 1 100 di m2
a 1 000 000 di m2
Si passa da una unità di misura a un’altra moltiplicando o dividendo per 100.
PROVA TU!
1. Inserisci ogni cifra nella casella opportuna.
2. Ora esegui le equivalenze.
PERIMETRO E AREA DEL RETTANGOLO E DEL QUADRATO
rettangolo quadrato h b
Per calcolare il perimetro moltiplica per 2 la somma della base più l'altezza. Per calcolare l'area, moltiplica la base per l'altezza.
RICORDA
= (b + h) × 2
= b × h
Per calcolare il perimetro, moltiplica per 4 la misura del lato.
Per calcolare l'area, moltiplica il lato per se stesso. l
Le formule inverse ti permettono, conoscendo perimetro o area, di calcolare le misure di lato, base, altezza o diagonale che non conosci.
PROVA TU!
1. Rifletti con i compagni e l’insegnante e completa le tabelle come negli esempi. Esegui i calcoli necessari sul quaderno.
RETTANGOLO
• Se conosci il perimetro, ma non conosci una delle dimensioni del rettangolo, come puoi procedere?
b = (P : 2) – h h = (P : 2) – b
• Se conosci l’area, ma non conosci una delle dimensioni del rettangolo, come puoi procedere?
b = A : h h = A : b
QUADRATO
• Se conosci il perimetro, ma non conosci la lunghezza del lato del quadrato, come puoi ricavarla?
l = P : 4
• Se conosci l’area e vuoi calcolare la lunghezza del lato, devi cercare quel numero che moltiplicato per se stesso, cioè elevato alla seconda potenza, dà come risultato l’area.
PERIMETRO E AREA DEL ROMBOIDE
Il romboide si può trasformare in un rettangolo equiesteso. Calcolando l’area del rettangolo, otterremo l’area del romboide.
romboide
Per calcolare il perimetro, moltiplica per 2 la somma dei due lati disuguali.
Per calcolare l'area, moltiplica la base per l'altezza.
PROVA TU!
1. Rifletti con i compagni e l’insegnante e completa le formule. Poi completa le tabelle come negli esempi. Esegui i calcoli necessari sul quaderno.
• Se conosci il perimetro, ma non conosci una delle dimensioni del romboide, come puoi procedere?
l1 = (P : 2) – l2 = (P : 2) –
• Se conosci l’area, ma non conosci una delle dimensioni del romboide, come puoi procedere?
b = A : h = A :
2. Disegna sul quaderno un romboide con la base di 10 cm e l’altezza di 0,5 dm. Poi calcolane l’area.
PERIMETRO E AREA DEL ROMBO
La superficie del rombo è equiestesa alla metà di quella di un rettangolo avente per base e per altezza le diagonali del rombo.
rombo
Per calcolare il perimetro, moltiplica per 4 la misura del lato
Per calcolare l'area, moltiplica le diagonali e dividi il prodotto per 2. D d
PROVA TU!
1. Rifletti con i compagni e l’insegnante e completa le formule. Poi completa le tabelle come negli esempi. Esegui i calcoli necessari sul quaderno.
• Se conosci il perimetro, ma non conosci la lunghezza del lato del rombo, procedi come per il quadrato.
l = P
P = l × 4
A = (D × d) : 2
• Come puoi calcolare le misure delle diagonali, conoscendo l’area del rombo? Raddoppia l’area e procedi come per il rettangolo.
D = (A × 2) : d = (A × 2) :
2. Un rombo ha la diagonale minore che misura 7,2 dm. La diagonale maggiore ha lunghezza doppia della minore. Calcola l’area sul quaderno.
3. Misura le dimensioni del rombo a lato, poi calcolane il perimetro e l’area.
lato = cm D = cm d = cm
P =
=
PERIMETRO
E AREA DEL TRAPEZIO
L’area del trapezio è la metà di quella di un romboide la cui base è uguale alla somma delle due basi e l’altezza è la stessa del trapezio.
Per calcolare il perimetro del trapezio, somma le misure di tutti i lati. Per il trapezio isoscele, poiché i lati obliqui sono uguali, puoi calcolare il perimetro moltiplicandolo la misura del lato per 2 e sommandolo alle basi.
Per calcolare l'area, trova la somma delle basi, moltiplicala per l'altezza e dividi il prodotto per 2.
P = B + b + l1 + l2
Ptrap. isoscele = B + b + (l1 × 2) A = [(B + b) × h] : 2
PROVA TU!
1. Rifletti con i compagni e l’insegnante e completa le formule. • Se conosci il perimetro, ma non conosci una delledimensioni del trapezio, come puoi procedere?
B = P – ( + l1 + l2) b = P – ( + l1 + l2)
l1 = P – (B + b + ) l2 = P – (B + b + )
2. Completa la tabella. Esegui i calcoli necessari sul quaderno.
B = [(A × 2) : h] – b h = (A × 2) : (B + b)
b = [(A × 2) : h] – B
PERIMETRO E AREA DEL TRIANGOLO
I triangoli si classificano in base alle caratteristiche degli angoli e dei lati. rettangolo
Triangolo scaleno l1 = P – (l2 + ) l2 = P – (l1 + ) l3 = P – ( + )
• Se conosci l'area, ma non conosci una delle dimensioni del triangolo, come puoi procedere? b = (A × 2) : h = ( × ) :
IL DISEGNO GEOMETRICO
Il compasso è uno strumento che permette di tracciare linee curve con precisione. Con il compasso e altri strumenti, come la matita e il righello, puoi costruire figure geometriche in modo accurato e con facilità. Per disegnare, per esempio, un triangolo equilatero procedimento rappresentato nel diagramma di flusso
INIZIO
1 Scegli la lunghezza del lato. Visualizza la misura sul righello e disegna su un foglio di carta il lato che sarà la base del triangolo. Nomina gli estremi del segmento con le lettere A e B.
2 Prendi il compasso e aprilo della lunghezza della base: usa il righello per controllare l’apertura dello strumento.
3 Posiziona la punta del compasso sul punto A e premi leggermente affinché non si sposti. Ruota il compasso tracciando un piccolo arco, come in figura.
4 Sposta la punta del compasso su B, premi leggermente e disegna un altro arco che vada a tagliare quello già tracciato.
5 Con una matita, evidenza il punto di intersezione tra i due archi: sarà C, il terzo vertice della figura.
6 Unisci i punti A e B con C e otterrai un triangolo equilatero.
7 Controlla con il righello l’esattezza delle misure dei lati AC e BC.
1 Scrivi il nome degli elementi del poligono indicate dalle frecce.
3 Calcola perimetro e area delle seguenti figure. Esegui i calcoli necessari sul quaderno.
4 Risolvi i problemi sul quaderno. Ricordati di eseguire le equivalenze necessarie.
A Il tavolo di un salotto è rettangolare, con i lati rispettivamente di 0,9 m e 15 dm.
Calcola quanto misurano il perimetro e l'area del tavolo.
B Fatima ha disegnato un rombo con la diagonale maggiore di 20 cm e la diagonale minore di 12 cm. Calcola la sua area ed esprimila in centimetri quadrati e in decimetri quadrati.
C Un’aiuola a forma di trapezio scaleno ha l’area che misura 18 m2. Al suo interno viene posizionata una fontanella quadrata con il lato di 3 m. Calcola l’area della zona non occupata dalla fontanella.
D Il perimetro di un triangolo equilatero misura 45 cm e l’altezza misura 1,28 dm.
Calcola la sua area ed esprimila in centimetri quadrati e in millimetri quadrati.
POLIGONI REGOLARI
Osserva attentamente. Che cosa hanno in comune queste immagini?
1 2 3
Ogni immagine presenta poligoni regolari, cioè poligoni in cui tutti i lati sono della stessa lunghezza e tutti gli angoli hanno la stessa ampiezza.
I poligoni regolari sono equilateri ed equiangoli. I poligoni regolari sono infiniti. Più aumenta il numero dei loro lati, più si avvicinano al cerchio, come vedrai più avanti.
Per calcolare il perimetro di un poligono regolare si moltiplica la misura di un lato per il numero dei lati.
1. Osserva le immagini sopra ed esegui quanto richiesto.
• L’immagine 1 si riferisce a Castel del Monte in Puglia. Ogni suo elemento raffigura un ottagono regolare. Calcola e completa la tabella.
• Nell’immagine 2 sono raffigurate le celle delle api operaie. Ognuna ha la forma di un esagono regolare con il perimetro di 19,08 mm. Calcola sul quaderno quanto misura il lato.
• L’immagine 3 mostra una composizione di triangoli equilateri. Misura il lato con il righello e calcola sul quaderno il perimetro di uno di essi.
misura lato perimetro castello 16,3 m
cortile interno 8,65 m torrione 3,1 m
L’APOTEMA
Osserva le figure a lato.
DEI POLIGONI
• Tutti gli assi di simmetria si incontrano in un punto, il centro O del poligono, equidistante da tutti i lati.
• Partendo dal centro, ogni poligono regolare può essere suddiviso in tanti triangoli isosceli uguali tra loro quanti sono i lati.
• L’altezza di ogni triangolo, nelle figure indicata in rosso, si chiama di apotema e si indica con la lettera a.
Apotema segmento: perpendicolare condotto dal centro di un poligono regolare a uno dei suoi lati.
Tra il lato di un poligono regolare e l’apotema c’è un rapporto costante, cioè che non varia mai: è un numero fisso.
Il numero fisso è importante perché consente di calcolare la misura dell’apotema conoscendo la misura del lato. Viceversa, conoscendo l’apotema, si può calcolare la misura del lato del poligono.
1. Consulta la tabella dei numeri fissi e scrivi la formula per calcolare l’apotema di questi poligoni.
2. Calcola e completa la tabella.
poligono misura lato misura dell'apotema
ottagono regolare 10 cm
triangolo equilatero 4 dm
pentagono regolare
3,44 m quadrato 5,21 m apotemaquadrato = l × apotemaesagono = apotemapentagono = a a a
L’AREA DEI POLIGONI REGOLARI
Immagina di ritagliare tutti i triangoli che compongono il pentagono regolare e di allinearli come in figura. Per calcolare l’area del pentagono regolare si dovrà calcolare l’area dei triangoli.
Occorre quindi conoscere:
• la misura del lato (l), da cui ricavare la misuradel perimetro;
• la misura dell’apotema (a) che rappresenta l’altezza di ognuno dei triangoli.
Ciò è valido per tutti i poligoni regolari.
RICORDA
L’area si calcola ricordando la formula per calcolare l’area del triangolo. Si moltiplica il perimetro per l’apotema e si divide per 2.
A = (P × a) : 2
PROVA TU!
1. Osserva le due immagini che si riferiscono a un ottagono regolare. Usa il righello per ricavare i dati richiesti, calcola e completa.
Pottagono = mm
Aottagono = mm2
aottagono = mm
perimetro
a
2. Calcola l’area di un esagono regolare, sapendo che il lato misura 4 cm.
P esagono = mm
a esagono = mm
A esagono = mm2
l = 4 cm
3. Una piccola cornice esagonale ha le dimensioni riportate nella figura. Sul quaderno calcola:
• l'area occupata dal vetro.
• l'area occupata dalla cornice.
esterno
1 Ripassa di rosso solo i poligoni regolari.
2 In ogni poligono regolare disegna l’apotema con il righello e calcola la sua lunghezza usando il relativo numero fisso. Esegui i calcoli con la calcolatrice.
l = 8 cm
a = cm
l = 3,2 dm
a = dm
l = 6 m
a = m
3 Completa la tabella. Esegui i calcoli con la calcolatrice.
poligono
ottagono regolare 30 cm
triangolo equilatero 1,156 dm
pentagono regolare 6 mm
quadrato 8 m
esagono regolare 15 mm
4 Risolvi i problemi sul quaderno.
l = 20 mm
a = mm
A Calcola perimetro e area di una piastrella a forma di esagono regolare con il lato di 45 mm.
B Un ottagono regolare ha l’apotema lunga 24,14 cm. Calcola perimetro e area.
C Al centro di una stanza quadrata con il lato di 3 m è stato messo un tavolino pentagonale con il lato di 80 cm. Calcola l’area della zona non occupata dal tavolino.
CIRCONFERENZA E CERCHIO
Punta il compasso in un punto O e descrivi un giro completo, hai tracciato una linea chiusa che si chiama circonferenza e che si indica con la lettera C. Tutti i punti della circonferenza si trovano alla stessa distanza dal centro. La zona di piano interna alla circonferenza si chiama cerchio.
LE PARTI DELLA CIRCONFERENZA
La corda è il segmento che unisce due punti qualsiasi della circonferenza.
Il diametro (d) è una corda che passa per il centro della circonferenza. I punti estremi del diametro dividono la circonferenza in due archi congruenti, ciascuno dei quali si chiama semicirconferenza.
LE PARTI DEL CERCHIO
arco
diametro raggio corda
semicirconferenza
L’arco è la parte di circonferenza delimitata da due punti.
Il raggio (r) è la distanza fra un punto qualsiasi della circonferenza e il centro. È lungo la metà del diametro.
Un diametro divide il cerchio in due parti uguali, dette semicerchi.
Si chiama settore circolare ciascuna delle due parti in cui un cerchio è diviso da due raggi.
1. Usa un righello e traccia:
Si chiama segmento circolare ciascuna delle due parti in cui un cerchio viene diviso da una corda.
La corona circolare è la parte di piano limitata da due circonferenze concentriche, cioè con lo stesso centro.
2. Ripassa la circonferenza.
3. Colora il cerchio.
quattro raggi
LA LUNGHEZZA DELLA CIRCONFERENZA
Esiste un rapporto preciso tra il diametro e la lunghezza della circonferenza. Esso viene espresso con la lettera greca r (pi greco). Scopriamo quale numero si nasconde in r.
STEM LAB
Alla scoperta del pi greco
1. Procurati dello spago e un oggetto circolare, per esempio un piattino..
1 Disponi lo spago lungo la circonferenza.
2 Stendi lo spago: il segmento che ottieni rappresenta la circonferenza rettificata.
3 Con lo spago rappresenta anche la lunghezza del diametro e confrontala con quella della circonferenza. La circonferenza è un po’ più lunga di 3 diametri. circonferenza rettificata
L’ultimo pezzetto della circonferenza è un po’ più lungo di 1 10 di diametro, poi occorrono ancora tra 4 100 e 5 100 di diametro. È impossibile arrivare a un risultato preciso, per questo si usa il simbolo
r a cui si attribuisce il valore di 3,14.
Prova con altri oggetti circolari di dimensioni diverse, scoprirai che la circonferenza è sempre un po' più lunga di 3 diametri.
La misura della circonferenza si può calcolare in due modi: usando la misura del diametro, oppure quella del raggio, che è la metà del diametro.
1. Misura la lunghezza del diametro e del raggio, poi calcola la misura della circonferenza.
L'AREA DEL CERCHIO
Immagina un cerchio come un poligono regolare con un numero infinito di lati.
Che cosa succede se aumentiamo il numero dei lati all’infinito?
Il perimetro alla circonferenza
4 lati 8 lati 12 lati 16 lati
L'apotema
si approssima sempre di più al raggio
Dalla formula per calcolare l’area dei poligoni regolari, ricaviamo le formule per l’area del cerchio. Dato che la circonferenza è uguale al raggio per 6,28:
Apoligoni regolari = (P × a) : 2
Acerchio = (circonferenza × raggio) : 2
1. Esegui i calcoli sul quaderno e completa la tabella.
mm 4 cm
L'area del poligono all'area del cerchio
Acerchio = (raggio × 6,28) × (raggio : 2)
Acerchio = (raggio × raggio) × 3,14
2. Calcola le aree indicate sapendo che il diametro è lungo 16 m.
Acerchio = m2
Asemicerchio = m2
mm
dm
m
cm 6 dm
cm 3 140 mm
Acerchio1 = cm2
Acerchio2 = cm2
3. Calcola l’area della corona circolare conoscendo la lunghezza dei due raggi. r1 = 9 cm r2 = 5 cm r1 r2
Acorona circolare = cm2
1 Segna con una ✘ se l’affermazione è vera (V) o falsa (F).
Poi sul quaderno riscrivi le frasi "false" in modo che risultino vere.
1. Il raggio è una corda.
2. In un cerchio ci sono infiniti raggi e diametri.
3. La corda è il segmento che unisce due punti qualsiasi di un circonferenza.
4. Ogni diametro del cerchio è un asse di simmetria.
5. Il diametro è la metà del raggio. V F
6. Tutte le corde passano per il centro.
l = 24 cm
3 Calcola sul quaderno la misura della parte colorata della figura.
2 Completa la tabella.
Figura lato (l) raggio (r) apotema (a) n. fisso
I SOLIDI
Affrontiamo ora lo studio degli oggetti che occupano una parte di spazio. Gli oggetti che ci circondano hanno tre dimensioni:
• lunghezza • larghezza (o profondità) • altezza
In geometria si chiamano figure solide o, semplicemente, solidi. Possiamo classificarli in poliedri e non poliedri.
I POLIEDRI
I poliedri sono solidi delimitati esclusivamente da poligoni.
altezza larghezza lunghezza
Lo spigolo è il lato comune a due facce.
Il vertice è il punto di incontro di almeno tre spigoli.
Esistono diversi poliedri.
Le facce sono i poligoni che delimitano il poliedro.
I prismi sono delimitati da due facce parallele, dette basi, e da tanti parallelogrammi (facce laterali) quanti sono i lati delle basi.
Le piramidi sono delimitate da un poligono, detto base, e da tanti triangoli (facce laterali) quanti sono i lati della base e aventi tutti un vertice in comune.
piramide a base quadrata
cubo parallelepipedo prisma a base triangolare prisma a base esagonale
I NON POLIEDRI
I non poliedri sono solidi delimitati da almeno una superficie curva. Alcuni sono detti solidi di rotazione, perché ottenuti facendo ruotare di 360° una figura piana attorno a un asse di rotazione.
piramide a base triangolare
LO SVILUPPO DEI SOLIDI
Apri una scatola a forma di cubo, taglia lungo gli spigoli e distendila su un superficie piana: otterrai lo sviluppo del solido sul piano, ovvero lo sviluppo bidimensionale.
La superficie di tutte le facce è detta superficie totale e si indica con A t; la superficie delle sole facce laterali è detta superficie laterale e si indica con Al
Sviluppo del solido: rappresentazione della superficie di un solido sul piano.
PROVA TU!
1. Nello sviluppo del cubo raffigurato sopra, riconosci, le due basi e colorale di rosso. Poi colora di blu la superficie laterale.
2. Collega ogni solido al suo sviluppo. Poi colora di rosso la base o le basi e di blu la superficie laterale
IL CUBO “POP UP”
In questo laboratorio esploreremo come una figura piatta possa trasformarsi in un oggetto tridimensionale.
COSA FARE?
1
Disegna sul cartoncino lo sviluppo di un cubo.
Disegna 4 quadrati in verticale (lato 6 cm) e aggiungi 2 quadrati ai lati del secondo quadrato della fila.
2 Pratica dei piccoli fori negli angoli dei quadrati, usando la perforatrice per fogli. Osserva l’immagine di esempio.
COSA SERVE?
● Cartoncino di spessore medio
● Filo di lana o spago sottile lungo circa 80 cm
● Una perforatrice
COSA FARE?
3
4
Fissa un'estremità del filo con del nastro adesivo sul retro del quadrato centrale (la base). Passa il filo attraverso i fori di tutte le altre facce, seguendo il perimetro esternamente. Il filo deve "abbracciare" le facce in modo che, tirandolo, queste siano costrette a sollevarsi contemporaneamente.
Piega bene tutte le linee di giunzione tra i quadrati (gli spigoli) per ammorbidire il cartoncino.
Prendi l'estremità libera del filo e tira lentamente.
OSSERVAZIONE E ANALISI
● Quale faccia si muove per prima?
● Cosa succede se tiri troppo forte?
● Perché il cubo ritorna piatto se lasci il filo?
IDEA POP
Incolla la base del cubo su un foglio di quaderno. Potrai "chiudere" il tuo cubo ogni volta che aprirai il quaderno per studiare la geometria!
SFIDA STEM
Prova a realizzare altri solidi “pop up” partendo dal loro sviluppo.
LA SUPERFICIE DEL PARALLELEPIPEDO E DEL CUBO
Il parallelepipedo rettangolo è un prisma le cui facce sono tutte rettangoli congruenti a due a due e situati su piani paralleli.
I tre spigoli uscenti dallo stesso vertice indicano le dimensioni del parallelepipedo: lunghezza, larghezza e altezza
Calcolando l’area della superficie di tutti i poligoni che delimitano il parallelepipedo, si calcola l’area totale.
La superficie laterale costituisce un unico rettangolo che ha per base il perimetro della base e, per altezza, l’altezza del parallelepipedo.
Il cubo è un parallelepipedo rettangolo che ha le tre dimensioni congruenti. Osserva lo sviluppo del cubo: è composto da 6 quadrati congruenti.
Alaterale = Pbase × altezza
Abase = lunghezza × larghezza
Atotale = Alaterale + (Abase × 2)
Alaterale = (lato × lato) × 4
Abase = lato × lato
Atotale = (lato × lato) × 6
PROVA TU!
1. Completa la tabella che si riferisce ai parallelepipedi. Segui l’esempio.
2. Completa la tabella che si riferisce ai cubi. Segui l’esempio.
LE MISURE DI VOLUME
La misura dello spazio occupato da un solido è il suo volume, che si indica con la lettera V. Il volume è una grandezza e si può misurare.
Occorrono, però, campioni di misura tutti delle stesse dimensioni e adatti a occupare per intero il volume dei solidi.
CAMPIONI CONVENZIONALI
Osserva questo cubetto: ha lo spigolo di 1 cm.
Rappresenta 1 centimetro cubo.
Immagina di costruire un cubo più grande con lo spigolo di 1 dm.
Rappresenta 1 decimetro cubo.
Per formare un decimetro cubo occorrono 1 000 centimetri cubi.
Allo stesso modo puoi immaginare di costruire un cubo con lo spigolo di 1 m: rappresenta 1 metro cubo e conterrà 1 000 decimetri cubi.
I campioni per misurare i volumi si indicano con l’esponente 3, poiché sono tre le dimensioni dei solidi.
1. Per ottenere il volume di un cubo si moltiplica la misura del lato per se stessa per 3 volte. Quindi il volume di un cubo può essere espresso con una potenza con esponente 3.
Nel calcolo del valore di una potenza è utile ricorrere alla calcolatrice, poiché il valore della potenza aumenta in modo considerevole aumentando anche di una sola unità la base.
• Calcola il valore delle seguenti potenze. Usa una calcolatrice oppure esegui sul quaderno i calcoli necessari.
53 = 63 = 73 =
IL METRO CUBO
Per compiere misurazioni di volume l’unità fondamentale è il metro cubo.
Si passa da un’unità di misura a un’altra moltiplicando o dividendo per 1 000.
Per eseguire equivalenze è opportuno costruire e utilizzare tabelle in cui si indica la posizione delle unità, delle decine e delle centinaia di ogni marca.
Nei campioni di volume ricorda l’esponente 3: indica che il volume ha 3 dimensioni.
m3
I multipli del metro cubo sono: I sottomultipli del metro cubo sono:
dam3 equivale a 1 000 m3
hm3 equivale a 1 000 000 m3
km3 equivale a 1 000 000 000 di m3
dm3 equivale a 1 1 000 di m3 cm3 equivale a 1 1 000 000 di m3 mm3 equivale a 1 1 000 000 000 di m3
1. Inserisci ogni cifra nella casella opportuna. Poi esegui le equivalenze indicate. Segui l'esempio.
cm3 = dm3 0,013 m3
895 mm3
m3 = cm3
895 mm3 = cm3
IL VOLUME DEL PARALLELEPIPEDO E DEL CUBO
Vogliamo misurare il volume del parallelepipedo illustrato.
Immagina di riempirlo con cubetti da 1 cm3.
Si dovranno allineare tanti cubetti sulla base fino a ricoprirla. Poiché 4 × 3 = 12, occorreranno cubetti, cioè cm3.
Poi si dovranno sovrapporre i cubetti necessari per formare un altro strato in modo da completare l’altezza (2 cm).
Il numero totale dei campioni necessari sarà quindi: 12 × 2 = 24 cm3.
Lo stesso procedimento si applica al cubo. Ricorda, però, che il cubo ha lunghezza, larghezza e altezza congruenti.
1. Osserva le dimensioni e calcola i volumi del parallelepipedo e dei cubi raffigurati.
2. Calcola il volume della scatola sapendo che il suo spigolo misura 12 cm. Usa la calcolatrice.
TELLING Story
IL CORTILE DELL’ARMONIA
Nel cuore di un antico monastero di pietra, dove il tempo sembra essersi fermato, è stato invitato Pop per affidargli un compito speciale: prendersi cura del Cortile del Silenzio. Al centro del cortile non ci sono statue, né fontane, ma un enorme disegno circolare tracciato sul pavimento con sabbie colorate: un mandala.
“Vedi, Pop,” gli dice spesso il vento che soffia tra le colonne, “un mandala non è solo un disegno. È l’universo che danza seguendo le regole della Geometria.”
Un mattino, un temporale improvviso scompiglia la sabbia, cancellando metà del disegno. Pop non si scoraggia. Sa che per ricostruirlo non serve la memoria, ma la logica. Si posiziona esattamente nel centro del cerchio. “Tutto parte da qui,” pensa.
Prende una cordicella e la tende: è il suo raggio. Ruotando su se stesso, traccia una circonferenza perfetta. Poi, inizia a osservare le forme rimaste. “Qui c’è la simmetria radiale,” nota Pop. “Se metto un triangolo a Nord, devo metterne uno identico a Sud, a Est e a Ovest. Ogni forma deve ruotare attorno al centro come le lancette di un orologio.”
Usando la sua precisione robotica, Pop inizia a incastrare esagoni regolari che sembrano nidi d’ape e quadrati ruotati di 45 gradi che somigliano a diamanti. Scopre che la geometria del mandala è come una musica silenziosa: i poligoni si ripetono in sequenze ordinate, creando un equilibrio perfetto che dona pace a chiunque lo guardi.
Quando ha finito, il mandala brilla di nuovo. Pop si rende conto che la geometria non è solo una materia da studiare sui libri, ma la forza invisibile che tiene insieme la bellezza e l’armonia del mondo.
L’OFFICINA DEI MANDALA
Siete pronti a costruire un Mandala perfetto usando solo le regole della geometria? Questa attività è una sfida di precisione e creatività. Seguite i passaggi e create il vostro universo ordinato!
Che cosa serve?
● Un foglio bianco
● Compasso, righello e goniometro.
● Matita e gomma.
● Colori (pastelli o pennarelli a punta fine).
Cosa fare?
1 Usa il righello per tracciare le due diagonali del foglio. Il punto dove si incrociano è il tuo centro.
2 Punta il compasso lì e traccia tre cerchi di dimensioni diverse (piccolo, medio e grande). Questi sono i tuoi cerchi concentrici.
3 Crea la griglia. Usa il goniometro e il righello per dividere il cerchio in “fette” uguali. Se segni un punto ogni 45° (avrai 8 fette) o ogni 60° (avrai 6 fette). Traccia delle linee leggere dal centro verso il bordo.
4 Ora inizia la costruzione. Nel cerchio più piccolo, disegna un poligono che si ripeta in ogni “fetta”. Nel cerchio medio, prova a inserire dei triangoli o dei rombi. Ricorda! Ogni forma che disegni in una fetta deve essere identica e alla stessa distanza dal centro in tutte le altre fette. Questa è la simmetria radiale!
5 Una volta completata la struttura a matita, ripassa i contorni. Quando colori, usa lo stesso colore per le forme che occupano la stessa posizione in fette diverse. Questo renderà il tuo mandala equilibrato.
6 Quando avrete finito, appendete i vostri Mandala in classe: vedrete come la geometria possa trasformare un semplice foglio in un capolavoro di armonia!
SFIDA FINALE DI POP:
Guarda il tuo lavoro e rispondi a queste domande sul retro del foglio:
● Quante fette di simmetria ha il tuo Mandala?
● Quali poligoni hai utilizzato? Sono regolari o irregolari?
● Riesci a trovare degli angoli retti o degli angoli acuti nascosti nelle tue decorazioni?
1 Riduci e ingrandisci le figure come indicato.
scala 1:2
scala 3:1
2 Collega ogni poligono alla misura del suo perimetro e della sua area.
= 8 cm
= 5 cm2
= 3,6 cm2
3 Esegui i calcoli sul quaderno e completa le tabelle.
Poligoni regolari
esagono regolare
l = 8 cm • n. f. = 0,866
a = cm P = cm
A = cm2
triangolo equilatero
l = 4 cm • n. f. = 0,289
a = cm P = cm
A = cm2
= 4,2 cm2
pentagono regolare
l = 6 cm • n. f. = 0,688
a = cm P = cm
A = cm2
quadrato
l = 5 cm • n. f. = 0,5
a = cm P = cm
A = cm2
4 Colora di giallo i prismi e di verde le piramidi.
CERCHIO
5 Esegui le equivalenze con le misure di volume.
4 690 m3 = dam3
37 000 mm3 = cm3
4,962 dm3 = cm3
85,67 m3 = dm3
0,008 hm3 = m3
48 500 000 mm3 = dm3
6 Risolvi i problemi sul quaderno.
A. Un quadro di una galleria d’arte ha la forma di un quadrato, con il lato di 2,4 m. Calcolane perimetro e area.
B. La cucina di Leo è a forma di esagono regolare, con il lato di 2 m. Calcolane perimetro e area.
C. Ogni giorno Anna corre su una pista circolare con il diametro di 90 m. Quanto misura la circonferenza della pista? E l’area?
D. La piazza di una città è formata da un pentagono regolare con il lato di 10 m e da otto quadrati con il lato che misura la metà di quello del pentagono. Quanto misura l’area della piazza?
E. Calcola l’area totale di un parallelepipedo lungo 8 cm, largo 2,6 cm e alto 4,2 cm.
F. Calcola il volume di un cubo con lo spigolo di 50 mm.
• Ti è piaciuta questa unità?
• Quale argomento ti è piaciuto di più? Perché? ....................................................................................................
• Colora di il quadratino degli esercizi che hai trovato facili e di quello degli esercizi che hai trovato difficili.
LA STATISTICA
La statistica è una scienza che ci aiuta a raccogliere, organizzare e capire i numeri e le informazioni. Avete mai fatto un sondaggio in classe, per esempio per scoprire quanti di voi preferiscono il calcio o il tennis? Beh, quella è un’attività statistica!
Il primo passo di un’indagine statistica è raccogliere informazioni
L’analisi dei dati ci aiuta a interpretare le informazioni e dà risposte alle nostre domande, come “quale squadra di calcio ha più tifosi nel mondo?”
L’insieme delle informazioni sono i dati che vanno organizzati in grafici o tabelle
P RIMA O SSERVO P OI... RIFLETTO
Osserva le fasi dell’indagine statica e rispondi: “Se facessimo la stessa indagine ogni anno per i prossimi 10 anni, vedremmo il grafico cambiare forma? Possiamo usare la statistica per prevedere il futuro?"
METODO P O P
AREOGRAMMI
Gli areogrammi mettono a confronto il tutto e le parti.
IDEOGRAMMI
Gli ideogrammi rendono visibile l’informazione in modo chiaro e immediato, danno subito l’idea di ciò che si vuole trasmettere.
GRAFICI CARTESIANI
I grafici cartesiani rendono evidente l’andamento di un fenomeno, cioè il suo modo di variare.
DIAGRAMMI A BLOCCHI E ISTOGRAMMI
I diagrammi a blocchi e gli istogrammi rendono evidente la frequenza di un evento, cioè quante volte accade.
Genere
Libri letti = 2 libri
avventura fantasy di paura a fumetti
Luigi
Marta Pietro Cecilia
L’AREOGRAMMA E LE PERCENTUALI
Quando raccogliamo dei dati, possiamo visualizzarli con rappresentazioni di vario tipo.
Gli areogrammi prendono il nome dalla parola area.
Questo tipo di rappresentazione, infatti, utilizza parti dell’area di una figura.
Osserva l’areogramma quadrato a fianco: è composto da 100 quadratini uguali.
I quadratini verdi sono 70. L’area verde rappresenta 70 100 , cioè il 70 per 100. Si scrive 70%.
I quadratini rosa sono 30. L’area rosa rappresenta 30 100 , cioè il 30 per 100. Si scrive 30%.
Esistono anche areogrammi circolari, in cui vengono utilizzate parti di un cerchio.
La composizione delle ossa
30% osseina
70% sali minerali
Le ossa sono costituite da:
• osseina, una sostanza che rende elastiche le ossa;
• altre sostanze minerali come calcio, fosforo e acqua.
PROVA TU!
1. Nell’areogramma circolare sono rappresentati i giochi scelti dai bambini in un parco di divertimenti.
• Traduci ogni percentuale indicata nell’areogramma in una frazione con denominatore 100 e verifica la somma.
Il risultato della somma rappresenta l’intero.
• Trasforma sul tuo quaderno l'areogramma circolare in quadrato e colora rispettando le percentuali.
2. Scrivi quale percentuale è rappresentata dai quadratini di ciascun colore.
ottovolante montagne russe autoscontro tunnel della paura giostra a catene
IL GRAFICO CARTESIANO
Osserva la rappresentazione: è un grafico cartesiano e prende il nome da Cartesio, lo studioso che hai già conosciuto nelle pagine precedenti. La linea spezzata, che collega i punti tra loro, rappresenta l’andamento della temperatura nel corso di una giornata di aprile.
Ogni punto su cui si snoda la linea spezzata rappresenta una coppia ordinata di numeri.
Per esempio, la coppia (10,15) indica che alle ore 10 la temperatura era di 15 °C.
• Il primo numero si indica su una linea orizzontale, l’asse delle ascisse.
• Il secondo numero si indica su una linea verticale, l’asse delle ordinate.
PROVA TU!
1. Osserva il grafico, analizza i dati e rispondi con i compagni.
A Sull’asse delle ascisse sono indicate le ore della giornata.
• A che ora è stata fatta la prima rilevazione?
• Ogni quante ore è stata registrata la temperatura?
• A che ora è stata fatta l’ultima rilevazione?
B Sull’asse delle ordinate sono indicate le temperature espresse in gradi Celsius.
• A che ora è stata rilevata la temperatura massima?
• E la minima?
• Alle ore 12 qual era la temperatura? E alle ore 18?
C La linea che unisce i punti è una linea spezzata che evidenzia l’andamento della temperatura durante la giornata. Prova a descriverlo oralmente con parole tue.
L’IDEOGRAMMA
Gli ideogrammi prendono il loro nome dalla scelta di un’illustrazione che trasmette un’idea del fenomeno che si vuole rappresentare.
L’ideogramma a fianco rappresenta il numero di biciclette noleggiate in una località di villeggiatura nei mesi estivi.
Ogni immagine corrisponde a una quantità, in questo caso 20 biciclette. L’immagine, ripetuta più volte, indica la ripetizione della quantità indicata.
MESE BICICLETTE NOLEGGIATE = 20 biciclette giugno
luglio agosto
settembre
1. Ricava i dati dall’ideogramma qui sopra e completa la tabella.
MESE numero di biciclette noleggiate
giugno luglio agosto settembre
2. La tabella a lato riassume i dati raccolti sul consumo giornaliero di pasti in 5 scuole primarie.
• Costruisci tu un ideogramma.
• Utilizza il disegno di un piatto per rappresentare 10 pasti.
• Come puoi rappresentare 5 pasti?
A quale quantità corrisponde l’immagine di mezza bicicletta?
pasti consumati = pasti
IL DIAGRAMMA A BLOCCHI E L’ISTOGRAMMA
Nei diagrammi a blocchi i dati vengono rappresentati su colonne, una di fianco all’altra.
Ogni “blocco” rappresenta un dato.
I ragazzi di una classe quinta hanno risposto alla domanda “Quale regalo vorresti ricevere per il tuo compleanno?” scegliendo tra: videogiochi
capi d’abbigliamento giochi di società, altri regali non specificati
Con i dati raccolti è stato costruito un istogramma: i blocchi, messi uno sopra l’altro, formano delle colonne.
L’altezza di ogni colonna rappresenta il numero di risposte relative a una scelta.
1. Completa la tabella con i dati che ricavi dall’istogramma qui sopra, poi rispondi.
tipo di regalo numero di preferenze
videogiochi
abbigliamento
giochi di società
2. L’istogramma a fianco rappresenta le vendite di un centro commerciale, in quattro anni diversi, relative ai tre dispositivi elettronici indicati nella legenda. Completa le frasi.
• Crescono le vendite di
• Diminuiscono le vendite di
• Negli anni 2024 e 2025 sono rimaste invariate le vendite di
• Quanti alunni complessivamente hanno risposto alla domanda?
• Qual è il regalo preferito?
MEDIA, MODA E MEDIANA
Una maestra ha chiesto ai suoi alunni quanti libri hanno letto durante le vacanze. Nella tabella sono riportati i nomi degli alunni e le loro risposte.
I bambini sono 8. I libri letti sono in totale 24. Infatti 1 + 3 + 4 + 3 + 2 + 3 + 7 + 1 = 24.
Se dividiamo il numero totale di libri letti per il numero dei bambini otteniamo la media. 24 : 8 = 3. Possiamo affermare che ogni bambino ha letto in media 3 libri durante le vacanze. Osserviamo ancora i dati nella tabella: possiamo scoprire che il dato più frequente, cioè il numero di libri letti da più bambini, è 3 poiché ricorre per Anna, Mara e Lucia. Possiamo affermare che la moda tra questi bambini è stata di leggere 3 libri a testa.
Trascriviamo ora i dati della tabella in ordine crescente. La linea rossa indica la posizione centrale: cade tra due dati che valgono 3. Possiamo affermare che la mediana è 3.
RICORDA
La media si calcola sommando tutti i dati e dividendo il risultato per il numero dei casi esaminati.
La moda è il dato che si presenta con maggiore frequenza.
La mediana, in una successione ordinata, è il dato che rappresenta il valore centrale.
La media, la moda e la mediana sono valori statistici. In questa indagine coincidono, ma non sempre è così!
alunno Pietro Anna Leo Mara Chiara Lucia Micky Marco ho letto…
PROVA TU!
1. Risolvi i problemi sul quaderno calcolando la media.
A Chiara riconsegna in biblioteca due libri che aveva in prestito. Uno ha 156 pagine, l’altro 144. Quante pagine ha letto in media ogni giorno se il prestito ha avuto la durata di 30 giorni?
B Un’automobile ha percorso 420 km in 6 ore. In media quanti chilometri ha percorso in un’ora?
2. Considera l’età di questi bambini e rispondi.
• Qual è la moda tra le età di questi bambini?
• Qual è l’età che rappresenta la mediana?
• Calcola l’età media:
• I tre valori coincidono? SÌ NO
LA PROBABILITÀ
In un ospedale nella stessa notte nascono due bambini. Questo diagramma ad albero rappresenta tutti i casi possibili.
1° nato maschio
2° nato maschio
2° nato femmina
1° nato femmina
Quante probabilità ci sono che nascano un maschio e una femmina?
2° nato maschio
2° nato femmina nati
Osservando il diagramma, possiamo affermare che tutti i casi possibili sono 4. Indipendentemente dall’ordine di nascita, abbiamo colorato le caselle che evidenziano tutti i casi che rispondono alla domanda. Possiamo affermare che ci sono 2 probabilità su 4 che nascano un maschio e una femmina. In matematica ciò si scrive con una frazione: 2 4 .
In questo caso si legge: 2 su 4.
PROVA TU!
1. Osserva il dado e rispondi alle domande.
• Quante probabilità ci sono che nascano due maschi ..........
• Quante probabilità ci sono che nascano due femmine ..........
RICORDA
La probabilità un evento è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli (desiderati) e il numero di tutti i casi possibili. Il rapporto si esprime con una frazione.
• Qual è l’evento più probabile, indipendentemente dall’ordine di nascita?
2. Considera la situazione in cui nella stessa notte nascano tre bambini. Costruisci sul quaderno il diagramma ad albero in cui sono rappresentate tutte le possibilità, poi rispondi.
• Quanti sono tutti i casi possibili?
• Quante probabilità ci sono che nascano tre femmine?
• E tre maschi?
• Quante probabilità ci sono che nascano due maschi e una femmina?
1 Come si chiamano questi grafici? Scrivi il loro nome.
giugno
luglio
agosto
2 Svolgi con i tuoi compagni un'indagine sulle squadre di calcio preferite rispettando le seguenti indicazioni:
• scegli 4 squadre;
settembre squadra preferita Frequenza (n. preferenze)
• l'indagine deve essere svolta in una sola classe;
• gli intervistati devono dare una sola preferenza;
• raccogli i dati nella seguente tabella:
Con i dati raccolti costruisci i seguenti grafici: istogramma • ideogramma • areogramma quadrato.
3 Osserva il diagramma cartesiano alla pagina accanto, che mostra le temperature registrate a Genova nei primi 15 giorni di gennaio, e rispondi.
• In quali giorni è stata rilevata la temperatura massima?
• In quale giorno è stata rilevata la temperatura minima?
• Quale temperatura è stata rilevata il giorno 6?
• E il giorno 11?
MESE
Ora scrivi i dati in ordine crescente ed evidenzia la mediana.
Calcola la media.
4 Osserva l’ideogramma che rappresenta i colori preferiti da un gruppo di bambini e realizza un istogramma con gli stessi dati.
colore preferito
rosso J J J J J J J
verde J J J J J J J J J
giallo J J J J
blu J J J J J
5 In un sacchetto ci sono le palline che vedi a lato. Esprimi con una frazione la probabilità di pescare...
• una pallina gialla: • una pallina blu:
• una pallina rosa: .......... • una pallina verde: ..........
• Ti è piaciuta questa unità?
• Quale argomento ti è piaciuto di più? Perché? ....................................................................................................
• Colora di il quadratino degli esercizi che hai trovato facili e di quello degli esercizi che hai trovato difficili.
1 Unendo due cubi da 1 m di lato, quale solido si ottiene e qual è il suo volume?
Indica con una ✘ la risposta sbagliata.
Si ottiene:
A un poliedro con volume di 2 m3.
B un cubo con volume di 2 m3
C un prisma con volume doppio rispetto al cubo.
D un parallelepipedo con volume doppio rispetto al cubo.
2 Si vuole costruire un cubo con lo spigolo di 4 cm.
Sono già stati posizionati i mattoncini che vedi nell’immagine. Quanti mattoncini da 1 cm3 devono ancora essere posizionati?
3 Viene comprata una scatola di cartone da montare. Sulla confezione si legge:
SCATOLA PER ARMADI
dimensioni 34 × 50 × 25
• Con quale campione sono espresse le misure riportate?
Indica con una ✘ la risposta corretta.
A metri B millimetri C decimetri D centimetri
• Ogni misura a quale dimensione si riferisce? Riportala accanto alla figura.
• Il volume della scatola sarà:
A più di 1 m3 B tra mezzo m3 e 1 m3 C meno di mezzo m3 D più di 1 m3 e mezzo
4 La piccola scatola cubica ha il lato che misura 5 cm. Disegna il suo sviluppo in scala 1:5.
1 cm
5 Esegui seguendo le indicazioni.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 asse delle ascisse x asse delle ordinate y origine degli assi
Costruisci sul piano cartesiano la Figura 1, ottenuta unendo le coordinate riportate in tabella.
Figura 1
A (1, 5)
B (3, 5)
C (3, 8)
D (1, 8)
Disegna poi la Figura 2 applicando alla Figura 1 due traslazioni successive indicate dai vettori seguenti: 5 quadretti; 5 quadretti.
6 Colora di giallo la casella con il risultato corretto.
7 Collega i numeri ai cartellini. Osserva l'esempio.
per 2 è divisibile per 3 è divisibile per 5
è un numero primo
8 Leggi il problema e completa. Esegui i calcoli usando i quadretti in basso.
Per la gita di fine anno la maestra ha acquistato una confezione da 24 bottigliette di aranciata. Il peso lordo della confezione è 134,64 hg, il peso netto è 12 720 g.
Qual è la sua tara in kg? Qual è la tara in dag di una singola bottiglietta?
Tara della confezione = = kg
Tara della bottiglietta = = dag
In riferimento ai dati dell'esercizio precedente, calcola il costo di una bottiglietta, se il costo della confezione è € 13,20. Esegui i calcoli mostrando le espressioni usate.
Costo della bottiglietta = =
9 La tabella a lato rappresenta le pizzette cucinate in un mese da un gruppo di amici.
Persona pizzette
Anna 36
Franco 30
Roberto 31
Gaia 20
Luisa 20
Filippo 28
Erica 21
Mario 22
• Quante sono le pizzette cucinate in totale?
• Qual è la moda tra i valori in tabella?
• Qual è la media?
10 Nell’areogramma circolare sono rappresentati gli articoli venduti in un mese in una cartoleria. In tutto essi sono stati 200.
penne 23%
matite 35%
squadrette 4%
righelli 8%
gomme 10%
quaderni 20%
• Quanti sono stati i righelli?
• Quante le matite?
11 In un sacco sono raccolti tappi da bottiglie riciclate.
Ce ne sono 5 rossi, 8 blu, 4 neri, 7 gialli.
• Qual è la probabilità di pescare un tappo nero?
12 Quale tra i seguenti numeri corrisponde alla scomposizione: 3 centinaia di migliaia, 5 unità di migliaia, 2 decine e 7 unità?
A 350.027
B 305.027
C 35.027
D 305.207
13 Osserva la seguente sequenza di numeri:
1,5 — 3 — 4,5 — 6 — ...
Quale sarà il quinto numero della sequenza?
A 7,5
B 8
C 9
D 10,5
14 Un rettangolo ha la base di 12 cm e l’altezza che è la metà della base. Qual è il suo perimetro?
A 18 cm
B 36 cm
C 24 cm
D 72 cm
15 Quale tra queste affermazioni sulle proprietà delle figure piane è VERA?
A Tutti i rombi sono anche quadrati.
B Un triangolo scaleno ha due lati uguali.
C Il cerchio è un poligono regolare.
D In un parallelogramma i lati opposti sono paralleli tra loro.
16 Marco vuole acquistare una bicicletta che costa € 150. Ha già risparmiato € 45 e riceve in regalo € 15 dai nonni. Quale espressione permette di calcolare correttamente quanto denaro gli manca?
A 150 – 45 + 15
B 150 – (45 + 15)
C 150 + 45 – 15
D (150 – 45) + 15
17 In un sacchetto ci sono 10 palline rosse, 5 palline blu e 5 palline verdi. Qual è la probabilità di estrarre una pallina che NON sia rossa?
A 1 su 2
B 5 su 20
C 10 su 20
D 1 su 4
18 Per la festa della scuola vengono comprate 12 confezioni di succhi di frutta. Ogni confezione contiene 6 succhi. Se i succhi vengono distribuiti equamente tra 9 tavoli, quanti succhi finiscono su ogni tavolo?
A 6 succhi
B 8 succhi
C 9 succhi
D 12 succhi
19 Un cubo ha lo spigolo di 3 cm. Quanti cubetti da 1 cm di lato servono per costruirlo interamente (senza lasciare buchi all'interno)?
A 9
B 12
C 18
D 27
20 Quale valore deve avere la x perché l’uguaglianza sia corretta?
25 x 4 = x + 30
A 100
B 70
C 130
D 60
21 Un gruppo di 5 amici confronta il numero di libri letti durante le vacanze di Natale. Questi sono i dati raccolti:
• Giulia: 4 libri
• Luca: 2 libri
• Sara: 5 libri
• Matteo: 2 libri
• Elena: 7 libri
Qual è la moda di questa indagine statistica?
A 4 libri
B 2 libri
C 7 libri
D 20 libri
22 Osserva questa sequenza di numeri: 2 — 5 — 11 — 23 — ...
Quale numero deve essere inserito al posto dei puntini seguendo la stessa regola logica?
A 35
B 46
C 47
D 34
Spiega la regola che hai trovato:
23 Hai tre scatole: A, B e C.
• La scatola A pesa il doppio della scatola B
• La scatola B pesa 5 kg in più della scatola C.
• La scatola C pesa 10 kg.
Quanto pesa la scatola A?
A 15 kg
B 20 kg
C 25 kg
D 30 kg
24 In un codice segreto ogni simbolo corrisponde a una cifra:
Δ + Δ = 10 × Δ = 40 - O = 6
Qual è il valore del cerchio (O)?
A 5
B 8
C 13
D 2
25 Marco dice: "Se moltiplico un numero per 0,5, ottengo lo stesso risultato che avrei dividendo quel numero per 2". Marco ha ragione?
A Sì, perché 0,5 è la metà di 1.
B No, perché la moltiplicazione aumenta sempre il valore.
C Sì, solo se il numero è pari.
D No, perché 0,5 è un numero decimale.
26 Una figura è composta da 4 quadrati uguali accostati tra loro a formare un quadrato più grande. Se il lato di un quadratino misura 5 cm, qual è il perimetro della figura totale?
A 20 cm
B 40 cm
C 80 cm
D 100 cm
27 Se pieghi correttamente uno sviluppo composto da un rettangolo centrale e due cerchi identici attaccati ai lati opposti, quale solido otterrai?
A Un cono
B Una piramide
C Un cilindro
D Un prisma a base triangolare
28 In una classe di 24 alunni, i 2 3 degli studenti hanno un cane. Tra chi ha un cane, la metà ha anche un gatto. Quanti alunni hanno sia un cane che un gatto?
A 16
B 12
C 8
D 4
29 In un sacchetto ci sono 10 caramelle alla fragola, 5 al limone e 5 all'arancia. Qual è la probabilità di estrarre, senza guardare, una caramella che NON sia alla fragola?
A 1 su 2 (50%)
B 1 su 4 (25%)
C 10 su 10 (100%)
D 1 su 20 (5%)
30 Osserva un quadrato diviso in due triangoli uguali da una diagonale. Uno dei due triangoli è a sua volta diviso esattamente a metà da una linea che parte dal vertice. Quale frazione dell'intero quadrato rappresenta questo triangolo più piccolo?
A 1 2 B 1 3
C 1 4
D 1 8
31 Hai costruito una torre usando 6 cubetti uguali. Se guardi la torre dall'alto, vedi solo un quadrato. Se la guardi di fronte, vedi una colonna alta 6 cubetti. Quale forma vedresti se la guardassi dal lato destro?
A Un quadrato singolo.
B Una riga orizzontale di 6 cubetti.
C Una colonna verticale di 6 cubetti.
D Una forma a "L".
POP VERSO NUOVI
ORIZZONTI
Pop ha trascorso cinque anni bellissimi nell’Officina del grande villaggio della Primaria, dove ha imparato a contare i petali dei fiori, a dividere le provviste per le merende e a misurare l’altezza degli alberi.
Ma una mattina di giugno, un vento nuovo soffia tra i suoi ingranaggi. Davanti a lui, oltre il ruscello dei Calcoli Semplici, si staglia una nebbia dorata che nasconde la Montagna della Secondaria.
“Pop, è ora di andare,” dice il vecchio Abacus, il saggio maestro che lo ha accompagnato per cinque anni. “I tuoi circuiti e le tue valvole sono pieni di tesori: frazioni, perimetri e numeri primi. Ma per attraversare il Ponte dell’Infinito, che ti condurrà a nuovi orizzonti, dovrai imparare a guardare ciò che non si vede.”
Pop è un po’ spaventato. “Maestro, dicono che lassù i numeri diventino lettere, che le figure diventino solidi giganti e che il tempo scorra in modo diverso!” “È vero,” sorride Abacus. “Passerai dal mondo delle cose che si toccano al mondo dei pensieri che volano. Ma ricorda: il ponte si regge su quello che hai costruito qui. Ogni operazione che hai imparato è un mattone. Ogni errore che hai corretto è il cemento che lo tiene insieme.”
Pop si incammina. Arrivato all’inizio del ponte, trova un cartello misterioso: “Qui il valore non dipende da quanto sei grande, ma dalla tua posizione. Qui l’ignoto ha il nome di una lettera: x.”
Pop sorride. Capisce che la matematica della Scuola Secondaria non è un nemico, ma un nuovo linguaggio. Non avrebbe più contato solo le dita, ma avrebbe iniziato a misurare l’universo. Con un balzo e un giro di molla, Pop mette il primo piede sul ponte. Il passaggio non è una fine, ma l’inizio di una grandissima avventura logica. Si guarda indietro e scorge la rassicurante figura di Abacus che lo accompagna con lo sguardo.
“Grazie mio caro maestro, non dimenticherò mai tutto ciò che mi hai insegnato.”
IL CODICE DI LANCIO VERSO LA SECONDARIA
Per passare alla scuola secondaria serve un “Codice di Lancio” speciale. Questa attività va fatta in piccoli gruppi di 3 o 4 persone. Dovete cavarvela da soli, usando solo la vostra testa e la collaborazione. Siete pronti?
Che cosa serve?
● Un foglio di carta grande. ● Matita, gomma e righello. ● Un pizzico di coraggio!
SFIDA 1 La Logica della Posizione
Nella scuola primaria abbiamo usato i numeri. Alla secondaria useremo spesso le coordinate.
Disegnate sul foglio un piano cartesiano semplice (una linea orizzontale x e una verticale y che partono da 0). Trovate il punto A (3, 5) e il punto B (7, 5). Se unissimo questi punti per formare un quadrato, quanto dovrebbe essere lungo il lato?
● La lunghezza del lato è la vostra PRIMA CIFRA del codice.
SFIDA 2 L’Insegna dell’Ignoto (x)
Alla scuola secondaria incontrerete spesso la x. È un numero che gioca a nascondino!
Risolvete questo indovinello logico: “Pop ha comprato 3 libri di avventure matematiche. Ha pagato con una banconota da 20 Euro e ha ricevuto 5 euro di resto. Quanto costa ogni libro (x)?”
● Il costo di un singolo libro è la vostra SECONDA CIFRA del codice.
SFIDA 3 Il Peso della Probabilità
Nella nuova scuola imparerete che non tutto è certo, ma tutto è prevedibile.
Immaginate che nello zaino di Pop ci siano:
● 4 penne blu
● 2 penne rosse
● 2 matite
● 2 gomme
Se Pop infila la mano nello zaino senza guardare, quante possibilità ha su 10 di pescare una penna di qualsiasi colore?
● Il numero di possibilità è la vostra TERZA CIFRA del codice.
CONCLUSIONE Il Verdetto Finale
Ora unite le tre cifre per formare un numero di tre cifre (es: 458).
Per controllare se il vostro codice è corretto, sommate le tre cifre tra loro. Se il risultato della somma è 15, allora il vostro Codice di Lancio è perfetto e siete pronti per la Scuola Secondaria!
Domanda bonus per il gruppo
Qual è la cosa che vi incuriosisce di più della matematica che farete l’anno prossimo?
Scrivetela in un angolo del foglio e scambiatela con un altro gruppo!
la MATEMATICA
AUTOVALUTAZIONE
Fai una valutazione del percorso che hai svolto durante l’anno. Quanto nei sai degli argomenti affrontati? Hai acquisito un buon metodo di studio?
Quali competenze hai sviluppato?
ARGOMENTI
ESERCIZIARIO
PROBLEMI
144 Risolvere i problemi
145 Dai dati al testo del problema
146 Tutti problemi!
147 Problemi con i segmenti
148 Le espressioni
149 Espressioni con le parentesi • 1
150 Espressioni con le parentesi • 2
151 Schemi logici ed espressioni
152 Problemi con schemi ed espressioni
NUMERI
154 I numeri romani • 1
155 I numeri romani • 2
156 I milioni
158 I miliardi
160 Confronto e ordinamento
161 Le potenze
162 Le potenze di 10 e il valore posizionale
164 I numeri relativi
OPERAZIONI
166 L’addizione
167 Le proprietà dell’addizione
168 La sottrazione
169 La proprietà della sottrazione
170 Calcoli veloci
171 La moltiplicazione
172 Le proprietà della moltiplicazione
173 Moltiplicare per 10, 100, 1 000
174 La divisione
175 La proprietà della divisione
176 Dividere per 10, 100, 1 000
177 Divisioni con due cifre al divisore
178 Divisioni con tre cifre al divisore
179 Problemi con le 4 operazioni • 1
180 Problemi con le 4 operazioni • 2
181 Stimare i risultati di addizioni e sottrazioni
182 Stimare i risultati delle moltiplicazioni
183 Stimare i risultati delle divisioni
184 Multipli e divisori
185 Criteri di divisibilità
186 Numeri primi e numeri composti • 1
187 Numeri primi e numeri composti • 2
FRAZIONI
188 Le frazioni
189 Frazioni complementari • 1
190 Frazioni complementari • 2
191 Frazioni maggiori e minori di 1 o uguali a 1
192 Frazioni equivalenti
193 Confronto tra frazioni
194 Il valore della frazione e dell’intero
195 Operare con le frazioni • 1
196 Operare con le frazioni • 2
197 Problemi con le frazioni • 1
198 Problemi con le frazioni • 2
199 Dalle frazioni decimali ai numeri decimali e viceversa
NUMERI DECIMALI
200 Numeri decimali e frazioni
201 Numeri decimali
202 Addizioni e sottrazioni con i decimali in colonna
203 Addizioni e sottrazioni con i decimali
204 Moltiplicazioni e divisioni per 10, 100, 1 000
205 Moltiplicazioni con i numeri decimali
206 Divisioni con i numeri decimali
207 Divisioni particolari
208 La percentuale
209 Calcolare la percentuale e lo sconto
210 Problemi con la percentuale
211 Black friday e prezzi pazzi • 1
212 Black friday e prezzi pazzi • 2
MISURE
213 Le misure di lunghezza
215 Le misure di capacità
217 Le misure di peso-massa
219 Peso lordo, peso netto, tara
220 Le misure di tempo • 1
221 Le misure di tempo • 2
222 Le misure di valore
223 Costo unitario e costo totale
224 La compravendita • 1
225 La compravendita • 2
226 Le misure di superficie
228 Problemi sulle misure • 1
229 Problemi sulle misure • 2
GEOMETRIA
230 I poligoni
232 Perimetro e area del rettangolo
233 Perimetro e area del quadrato
234 Perimetro e area del romboide
235 Perimetro e area del rombo
236 Perimetro e area del trapezio
238 Perimetro e area del triangolo
240 Poligoni regolari
242 Problemi con i poligoni regolari • 1
243 Problemi con i poligoni regolari • 2
244 Circonferenza e cerchio
245 La circonferenza
246 L’area del cerchio
247 Problemi con il cerchio
248 I solidi
249 Poliedri e non poliedri • 1
250 Poliedri e non poliedri • 2
251 Lo sviluppo dei solidi
252 La superficie del parallelepipedo e del cubo
253 Problemi con i solidi
254 Le misure di volume • 1
255 Le misure di volume • 2
256 Il volume del parallelepipedo e del cubo
RELAZIONI, DATI E PREVISIONI
258 Areogrammi e percentuali
259 Il grafico cartesiano
260 L’ideogramma e l’istogramma
261 Media, moda, mediana
262 Casi possibili e casi favorevoli
263 POP PODCAST
A VOI IL MICROFONO!
Risolvere i problemi
Ricordi il procedimento per risolvere un problema matematico?
RICORDA
INIZIO
Leggi attentamente il testo del problema.
Sottolinea la domanda, cioè quello che vuoi sapere.
Individua e cerchia i dati necessari alla risoluzione.
Pensa al procedimento di risoluzione.
• In un problema puoi trovare dati utili, inutili nascosti e mancanti.
• Inoltre, ci possono essere domande espresse domande nascoste.
1. Per ogni problema, scrivi il dato inutile, esegui i calcoli sul quaderno e rispondi. Fai attenzione: in uno dei due problemi c’è un dato nascosto.
A Mattia, che ha 10 anni, ha preso in prestito dalla biblioteca un libro di avventure di 240 pagine. Ne ha lette 20 e tra 11 giorni dovrà restituire il libro. Quante pagine al giorno dovrà leggere per restituire in tempo il libro?
Dato inutile:
Risposta:
B Martina ha riordinato la scarpiera. Ha contato 12 paia di scarpe da ginnastica e 8 paia di ballerine. Sapendo che possiede 6 cappelli, quante scarpe ha in tutto Martina?
Dato inutile:
Risposta:
Scrivi ed esegui le operazioni.
Scrivi la risposta.
2. Leggi, scopri il dato mancante e riscrivi correttamente il testo del problema. Poi risolvilo sul quaderno.
Un pasticciere ha sfornato 132 pasticcini. Durante il giorno ne vende la maggior parte. Quanti pasticcini rimangono a fine serata?
Testo corretto:
Dai dati al testo del problema
1. Leggi attentamente i dati e le domande. Poi scrivi un problema adatto e risolvilo.
Dati
26 euro = costo maglia 34 euro = costo pantaloni 48 euro = costo felpa 10 euro = costo berretto
Domande
• Quanto ha speso in tutto Luca?
• Quanto ha ricevuto di resto se ha pagato con due banconote da 100 euro?
Testo del problema:
Risposta:
Dati
56 = numero bambini 6 = numero insegnanti
6 euro = costo di 1 biglietto bambini 10 euro = costo di 1 biglietto adulti
Domande
• Quanto spenderanno in tutto?
Testo del problema:
Risposta:
Tutti problemi!
Risolvi i seguenti problemi sul quaderno. Poi scrivi qui le risposte.
Due domande e due operazioni
1 Quest’estate Davide ha cominciato a leggere un libro giallo di 175 pagine. Ha letto 24 pagine il primo giorno, 20 pagine il secondo giorno e 31 pagine il terzo giorno. Quante pagine ha letto in tutto? Quante pagine deve ancora leggere?
Risposte:
2 Ilaria sta facendo il trasloco e vuole mettere tutti i suoi 175 fumetti e 50 raccoglitori ad anelli, in scatole che ne contengono 25 ciascuna. Quanti oggetti deve conservare in tutto? Di quante scatole avrà bisogno?
Risposte:
3 Giovanni riceve dai propri genitori una paga settimanale di € 5,00. Dopo 8 settimane, quanti soldi avrà conservato? Quanti euro deve ancora aggiungere per acquistare un maglione che costa € 44,00?
Risposte:
4 Alex ha comprato 12 bustine di figurine. Ogni bustina ne contiene 5. Quante figurine ha comprato in tutto? Quando le apre, si accorge che 9 sono doppioni. Quante figurine utili rimangono ad Alex?
Risposte:
Una domanda e più operazioni
5 Silvia deve comprare del materiale per l’inizio del nuovo anno scolastico. Va in cartoleria e spende € 25,00 per un nuovo astuccio, € 7,00 per le matite colorate. Compra anche 6 quaderni da € 2,50 l’uno e 5 penne da € 1,80 l’una. Quanto spende in tutto?
Risposta:
6 Per il suo compleanno Mattia ha ricevuto € 150,00 dalla nonna ed € 85,00 dal nonno. Mattia aveva anche risparmiato € 98,00 grazie alle paghette settimanali. Decide di comprare delle scarpe che costano € 110,00 e una maglia che costa € 35,00. Quanto denaro resta a Mattia?
Risposta:
7 Per il suo compleanno Luca ha portato a scuola 3 pacchetti da 20 caramelle ciascuno e 60 cioccolatini. I suoi compagni di classe sono 25, ma oggi 5 sono assenti. Quanti dolcetti riceverà ciascun bambino della sua classe?
Risposta:
8 Il papà ha versato un acconto di € 9 700,00 per l’acquisto di una macchina. Si è impegnato a pagare il resto in 30 rate da € 290,00 ciascuna. A quanto ammonta il prezzo dell’automobile?
Risposta
Problemi con i segmenti
Risolvi i problemi sul quaderno, rappresentando i dati con i segmenti.
1 Samuele e Luca mettono insieme i loro risparmi per comprare un gioco. In totale hanno 120 euro. Sappiamo che Samuele ha risparmiato il doppio dei soldi di Luca. Quanto ha risparmiato Luca? Quanto ha risparmiato Samuele?
Risposte:
2 Arianna sta leggendo un libro di 180 pagine. Ha già letto una parte del libro, ma le restano da leggere ancora 40 pagine in più di quelle che ha già completato. Quante pagine ha letto Arianna finora? Quante pagine le mancano per finire il libro?
Risposte:
3 Matteo e Giulia hanno 200 figurine. Matteo ne ha il triplo di quelle di Giulia. Quante figurine ha Matteo? E Giulia?
Risposte:
4 Il fruttivendolo ha due cassette di mele che pesano complessivamente 56 kg. La cassetta più grande pesa 12 kg in più della cassetta più piccola. Quanto pesa la cassetta più piccola? E quella più grande?
Risposte:
5 La mamma ha comprato un sacco di patate e un sacco di farina che pesano in totale 15 kg. Il sacco di patate pesa il quadruplo del sacco di farina. Quanto pesa il sacco di farina? Quanto pesa il sacco di patate?
Risposte:
6 In un pollaio sono nati in tutto 45 pulcini. I pulcini gialli sono 15 in più di quelli neri. Quanti sono i pulcini neri? Quanti sono i pulcini gialli?
Risposte:
8 In un astuccio ci sono in tutto 36 matite tra rosse e blu. Le matite rosse sono il triplo di quelle blu. Quante sono le matite blu? Quante sono le matite rosse?
Risposte:
8 La somma delle età di un papà e di suo figlio è di 48 anni. Il papà ha il quintuplo dell’età del figlio. Quanti anni ha il figlio? Quanti anni ha il papà?
Risposte:
Le espressioni
Per risolvere un’espressione devi seguire delle regole precise.
• Se l’espressione contiene solo addizioni e sottrazioni o solo moltiplicazioni e divisioni, esegui le operazioni nell’ordine in cui sono scritte.
+ 5 – 97 =
1. Esegui le seguenti espressioni sul quaderno.
68 – 54 + 10 – 21 + 8 =
24 × 5 : 2 × 5 : 4 =
98 – 72 + 24 + 50 – 85 =
• Se l’espressione contiene tutte le operazioni, esegui prima le moltiplicazioni e le divisioni nell’ordine in cui sono scritte e poi le addizioni e le sottrazioni nell’ordine in cui sono scritte.
49 – 12 + 21 – 34 =
: 11 + 25 × 3 – 168 : 12 =
– 7 × 8 + 1780 =
2. Risolvi i seguenti problemi sul quaderno utilizzando l’espressione.
× 10 : 5 × 3 =
: 25 – 95 + 167 =
: 5 + 44 : 2 – 98 =
A Anna ha ristrutturato il bagno della sua abitazione. Ha speso € 2 780,00 per il box doccia, € 2 130,00 per i sanitari, € 800,00 per la rubinetteria ed € 350,00 per la manodopera. Quanto è costata ad Anna la ristrutturazione del bagno?
B La mamma di Pedro compera 3 vassoi con 16 pizzette ciascuno. Ogni pizzetta costa € 1,00. Se paga con una banconota da € 100,00, quanto riceverà di resto?
C Al supermercato sono esposti i seguenti tipi di olio a prezzo speciale:
• olio di semi a € 2,00 al litro;
• olio extravergine a € 7,00 a litro;
• olio d’oliva che costa € 2,00 euro in meno al litro dell’extravergine. Una trattoria acquista 24 litri di olio per tipo. Quanto spende in tutto?
D Corrado prenota nell’agenzia “Vololibero” una vacanza di 15 giorni in America Latina. Il pacchetto vacanza comprende: € 120,00 al giorno per la pensione, € 1 200,00 per il volo aereo di andata e ritorno. L’agenzia chiede un acconto di € 750,00. Quanto dovrà versare ancora Corrado?
Espressioni con le parentesi • 1
Le espressioni possono contenere anche le parentesi, che sono di tre tipi:
• tonde ( )
• quadre [ ]
• graffe { }
Se devi risolvere un’espressione con le parentesi, esegui prima le operazioni nelle parentesi tonde, poi quelle nelle parentesi quadre e infine quelle nelle parentesi graffe, rispettando sempre le precedenze tra le operazioni.
3. Risolvi le seguenti espressioni a coppie sul quaderno e traduci ognuna nello schema opportuno. Poi spiega a voce perché si ottiene un risultato diverso.
• 90 : 2 + 8 = (16 + 24) : 2 = 12 × 10 – 4 =
• 90 : (2 + 8) = 16 + 24 : 2 = 12 × (10 – 4) =
Problemi con schemi ed espressioni
Risolvi i problemi con il diagramma e con l’espressione.
1 Un’autorimessa di 5 piani ha posto per 125 auto su ogni piano. Se ci sono già 498 auto, quanti sono i posti ancora a disposizione?
( × ) – = – =
Risposta: I posti a disposizione sono ancora
2 Simona ha 87 biglie rosse e 91 biglie azzurre. Decide di regalarne la metà alla sua amica Silvia. Quante biglie riceverà Silvia?
( + ) : =
Risposta: Silvia riceverà biglie.
3 Il vigneto del nonno di Luigi quest’anno ha prodotto 5 botti di vino. Con ogni botte vengono riempite 68 bottiglie. A fine anno sono state vendute 175 bottiglie. Quante bottiglie ci sono ancora? Il nonno, poi, ha riposto le bottiglie restanti su ripiani che contengono 5 bottiglie ciascuno. Quanti ripiani ha utilizzato il nonno?
( × – ) : =
( – ) : = : =
Risposta: Ci sono ancora bottiglie.
Il nonno ha utilizzato ripiani.
4 La mamma ha comprato 7 pacchi da 12 merendine l’uno.
Suo figlio Giovanni mangia 2 merendine al giorno. In quante settimane mangerà tutte le merendine?
( × ) : : = : : = : =
Risposta: Mangerà tutte le merendine in settimane.
6 Per una festa in ufficio Federico ha comprato 35 tramezzini con prosciutto e formaggio e 50 con tonno e insalata. Ogni tramezzino costa € 2,00 e Federico paga con una banconota da € 200,00. Quanto riceve di resto?
– [( + ) × ] = – [ × ] = – =
Risposta: Riceve di resto €
5 Lisa sta facendo un puzzle di 500 pezzi. Il primo giorno ha composto i primi 23 pezzi, il secondo giorno 27. Se dei pezzi restanti ne inserisce 25 al giorno, in quanti giorni Lisa finirà il puzzle?
[ – ( + )] : =
[ – ] : = : =
Risposta: Lisa finirà il puzzle in giorni.
I numeri romani • 1
I Romani usavano le lettere per scrivere i numeri. Osserva la tabella e ricorda le regole:
I = 1
V = 5
X = 10 L = 50
C = 100
D = 500 M = 1 000
1. Converti i seguenti numeri romani in numeri arabi. Osserva l’esempio.
XVI = 10 + 5 + 1 =
XL= = CCIX = = DCLV = =
2. Confronta le coppie di numeri usando i simboli >, < o =.
LXX XC
3. In ogni riga c’è un numero scritto in modo errato secondo le regole romane. Trovalo, cerchialo e scrivi la versione corretta. Ricorda: non si può ripetere un simbolo più di 3 volte!
IIII • VIII • IX • XXX
VV • X • XV • CL
LL • C • D • MC
STEM LAB
1. Con gli stuzzicadenti rappresenta i simboli I, V e X.
2. Componi il numero 12. Quanti stuzzicadenti hai usato?
Errato: Corretto:
Errato: Corretto:
Errato: Corretto:
3. Componi il numero 19. Quanti stuzzicadenti hai usato?
4. Sposta un solo stuzzicadenti nell’operazione VI - I = V per trasformarla in V + I = VI. Disegna lo spostamento.
I numeri romani • 2
1. Scrivi in numeri romani i seguenti valori. Ricorda di usare la sottrazione per i numeri come 4, 9, 40, 90, 400, 900.
48 = 75 = 142 = 490 = 999 = 2 025 = 1
=
2. Risolvi le operazioni scrivendo il risultato sia in numeri arabi che in numeri romani. Osserva l’esempio.
XXXIV + VI= 34 + 6 = XL - 40
XXV + XV = + =
L – X = - =
C : IV = : .=
IX x V = x =
3. Cerca intorno a te o sui libri cinque esempi di numeri romani. Dove lo hai trovato? Numero romano Numero arabo Facciata chiesa MDCCCLXXX 1880
4. Un antico monumento riporta questa data di fine costruzione: MDCCXLIV.
• In che anno è stato finito?
• Quanti anni fa rispetto ad oggi? Scrivilo in numeri romani.
Conoscere i numeri romani e operare con essi.
I milioni
RICORDA
I numeri naturali sono suddivisi in periodi e ogni periodo è suddiviso in: Quest’anno hai conosciuto un nuovo periodo: quello dei milioni
periodo dei milioni (M) periodo delle migliaia (k) periodo delle unità semplici
1. Aggiungi i numeri che mancano per raggiungere il milione.
999 990 + +
u = unità da = decine h = centinaia
u = unità da = decine h = centinaia
150 000 + + 999 999
1 000 000
999 000 + + 750 000
2. Scrivi in parola i seguenti numeri.
1 987 000
487 009
900 167
53 000 521
792 134 000
13 002 500
3. Scrivi in cifre i seguenti numeri. settemilioninovecentotrentaduemilasettecentottantadue ottantanovemilionitrecentoventunmilasettecento trecentoventimilioniottocentoundicimilaquattrocentoquaranta
4. Con le seguenti cifre scrivi il numero maggiore e quello minore.
5. Indica il valore di ogni cifra evidenziata come nell’esempio.
5 397 089 3 hk 300 000
126 329
4 219 056
1 087 061
54 387 976 797 245 8 321 210
549 543 749 279 642 081 080 23 000 000
348 750
6. Scomponi i numeri come nell’esempio.
8 963 540 8 uM 9 hk 6 dak 3 uk 5 h 4 da
153 090 23 195 000
000 276 176 000 000
834 500 17 000 328
000 976
7. Inserisci il segno >, < oppure = tra le seguenti coppie di numeri.
8. Completa la tabella.
I miliardi
RICORDA
Quest’anno, oltre al periodo dei milioni, hai conosciuto anche il periodo dei miliardi.
periodo dei miliardi (G)
periodo dei milioni (M)
periodo delle migliaia (k)
periodo delle unità semplici h da u h da u h da u h da u
1. Aggiungi i numeri che mancano per raggiungere il miliardo.
999 999 000 +
850 000 000 +
999 999 999 +
2. Scrivi in parola i seguenti numeri.
7 801 000 500
12 900 400 026
875 999 099
653 120 000 000
1 645 847 000
34 000 937 415
1 000 000 000
3. Scrivi in cifre i seguenti numeri. novemiliardiquattrocentomilioniventisettemilanove centonovantaseimilardiduecentoventisettemilioni ventiquattromiliarditrecentosettantacinquemilanovecentodue
4. Indica il valore di ogni cifra evidenziata come nell’esempio.
913 605 439 567 1 daG 10 000 000 000
27 254 000 193
8 962 157 000
118 357 942 176
48 936 000 000
748 136 503 214
28 532 000 000
8 139 587 000
316 452 007 196
26 400 000 972
500 000 000
900 000 000 + 999 000 000
5. Inserisci i numeri in tabella come nell’esempio.
235 843 974
186 235 843 974
41 659 137
38 912 500 000
9 872 168 506
7 000 496
2 734 329 621
263 175 217 000
17 268 413 168
6. Ricomponi i numeri come nell’esempio.
6 daG 8 uG 4 hM 9 daM 7 uM 5 hk 2 dak 1 da 68 497 520 010
4 hG 1 daG 3 uG 9 hM 6 daM 8 uM 4 hk 7 dak 6 uk 3 h
2 hG 9 daG 6 hM 5 daM 4 uM 8 h 5 da 7 u
1 hG 6 uG 3 hM 5 daM 4 uM 6 hk 1 dak 7 h 3 da
8 hG 5 hM 3 daM 7 uM 9 hk 6 dak 4 uk 3 da 7 u
7. Scomponi i numeri come nell’esempio.
158 694 507 960 1 hG 5 daG 8 uG 6 hM 9 daM 4 uM 5 hk 7 uk 9 h 6 da
203 789 145 308
715 006 532 952
989 460 523 007
8. Inserisci il segno >, < oppure = tra le seguenti coppie di numeri.
Confronto e ordinamento
1. In ogni gruppo di numeri sottolinea di blu il numero minore e di rosso il numero maggiore.
6 367 425 767 7 373 765 250 647 035 125
5 768 298 576 36 467 587 130
5 696 267 656
36 013 078 136
350 347
035 134
6 548 876 765 7 874 316 543 674 025 147
2. In tabella sono elencati, in ordine alfabetico, i dieci Paesi più popolosi del mondo nel 2024. Osserva i dati registrati e rispondi alle domande.
• Qual è il Paese con il maggior numero di abitanti?
• Qual è il Paese con il minor numero di abitanti?
• Quali Paesi superano il miliardo di abitanti?
Sul quaderno costruisci una tabella simile ed elenca i nomi dei Paesi in ordine crescente rispetto al numero degli abitanti. Riscrivi ciascun numero in parola.
3. Completa la tabella.
534 122
455 567
485 658
Uniti
Le potenze
RICORDA
L’elevamento a potenza è un’operazione che si può eseguire su qualsiasi numero moltiplicandolo per se stesso un certo numero di volte.
4 × 4 × 4 = 4 ³ esponente: indica quante volte la base viene moltiplicata per se stessa base: è il numero da moltiplicare
Si legge: “4 alla terza”.
1. Scrivi sotto forma di potenza come nell’esempio.
7 × 7 × 7 = 7³ sette alla terza
5 × 5 × 5 × 5 =
9 × 9 =
2 × 2 × 2 × 2 × 2 =
3 × 3 × 3 × 3 =
6 × 6 × 6 =
3. Indica se è vero (V) o falso (F).
• 33 = 3 × 3 × 3 V F
• 42 = 4 × 4 V F
• 74 = 7 × 4 V F
• 105 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 V F
2. Trasforma le potenze come nell’esempio.
53 = cinque alla terza = 5 × 5 × 5
=
=
• 52 = 5 × 2 V F
• 88 = 8 × 8 V F
• 64 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 V F
• 93 = 9 × 9 × 9 V F
4. Risolvi i seguenti quesiti con una potenza e calcola il risultato.
• Nell’armadio della scuola ci sono 12 scatole.
Ogni scatola contiene 12 pennarelli.
Quanti pennarelli in tutto?
• In un giardino ci sono 4 alberi. Su ogni albero ci sono 4 nidi. In ogni nido vivono 4 uccellini.
Quanti uccellini in tutto?
5. Scrivi ogni prodotto sotto forma di potenza e calcola il risultato. Se occorre, usa la calcolatrice.
6 × 6 = 62 = 36 3 × 3 × 3 × 3 = =
2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = =
5 × 5 × 5 = = 8 × 8 × 8 = =
7 × 7 = = 9 × 9 × 9 = =
6. Calcola il valore di queste potenze particolari.
15 = 151 = 08 = 1370 = 840 = 115 = 03 =
Le potenze di 10 e il valore posizionale
1. Calcola le potenze di 10 come negli esempi.
100 = 1
101 = 10 102 = 10 × 10 = 100
2. Inserisci in tabella i seguenti numeri.
3. Per ciascuno dei seguenti numeri indica il valore della cifra 5 in diversi modi. Segui l’esempio.
Lo zero separa i numeri positivi dai numeri negativi.
1. Indica con ✘ la scelta corretta.
• Un alpinista è salito su una montagna a
– 3157 metri.
+ 3157 metri.
• D’estate a Roma la temperatura può raggiungere
+ 32 gradi.
– 32 gradi.
• Un sub può scendere a una profondità di
– 20 metri.
+ 20 metri.
STEM LAB
• D’inverno, in montagna, la temperatura può raggiungere
– 15 gradi.
+ 15 gradi.
• Marco ha la febbre, ha + 38 gradi.
– 38 gradi.
• L’ascensore di un grattacielo è salito al piano – 12.
+ 12.
1. Prendi una striscia di carta e traccia su di essa una linea retta come quella raffigurata.
• In corrispondenza dello zero piega la striscia su se stessa. Con una matita appuntita o la punta di un compasso fai un forellino in corrispondenza di ogni tacca che vedi in trasparenza.
• Riapri la striscia: sulla semiretta priva di numeri si sono formati dei fori. Sono le posizioni corrispondenti ai numeri negativi. Attribuisci il numero a ciascun foro.
• Contrassegna con i segni opportuni i numeri negativi e positivi.
2. Ora rispondi alle domande.
• A ogni numero positivo corrisponde un numero negativo? SI NO
• Numeri positivi e negativi sono simmetrici? SI NO
• Quale numero è rimasto senza segno?
2. Leggi le temperature medie minime registrate in alcune regioni italiane nel mese di gennaio 2025 e poi completa le frasi.
• La regione più calda è
• La regione più fredda è
• Le regioni con temperatura più vicina allo zero sono
• Le regioni con temperature sotto lo zero sono
RICORDA
• Un numero positivo è sempre maggiore di uno negativo.
• Un numero negativo è sempre minore di 0, un numero positivo è sempre maggiore di 0.
• Tra due numeri positivi è maggiore quello più lontano dallo 0.
• Tra due numeri negativi è maggiore quello più vicino dallo 0.
3. Aiutati con la linea dei numeri e inserisci il segno > oppure < tra le seguenti coppie di numeri.
4. Aiutati con la linea dei numeri ed esegui le operazioni.
5. Calcola a mente e rispondi.
Oggi la temperatura è stata di giorno + 6 °C e di notte – 1 °C. Di quanti gradi si è abbassata la temperatura?
Risposta:
Comprendere e operare con i numeri relativi.
Un atleta si tuffa dal trampolino di 3 metri. Scende di 6 metri. Quale profondità raggiunge?
Risposta:
L’addizione
RICORDA
L’addizione è l’operazione utilizzata per unire, mettere insieme due o più quantità oppure per aggiungere una quantità a un’altra.
1. Leggi, esegui i calcoli a lato e scrivi la risposta.
Alex per andare al lavoro ogni giorno percorre 45 km in treno, 17 km in autobus e 2 km a piedi. Quanti chilometri percorre in tutto?
Risposta:
2. Esegui le addizioni in colonna.
3. Esegui le addizioni in colonna con la prova sul quaderno.
Le proprietà dell’addizione
RICORDA
La proprietà commutativa
La somma non cambia pur cambiando l’ordine degli addendi.
1350 + 430 = 1780 430 + 1350 = 1780
Puoi utilizzare questa proprietà anche per provare se il risultato dell’addizione è corretto.
1. Applica la proprietà commutativa in modo da facilitare il calcolo.
addizione Proprietà commutativa
9 + 25 + 376 =
85 + 2 000 + 7 =
450 + 25 000 + 15 =
42 + 120 + 8 =
2. Esegui in colonna sul quaderno, poi applica la proprietà commutativa per verificare il risultato.
5 678 + 52 036 =
43 098 + 1 866 + 7 587 =
RICORDA
La proprietà associativa
25 174 + 6 891 + 364 = 9 185 + 769 847 + 12 408 =
Il risultato non cambia se a due o più addendi sostituisci la loro somma.
230 + 170 + 415 = 815 400 + 415 = 815
3. Evidenzia gli addendi da associare, poi calcola a mente applicando la proprietà associativa.
64 + 92 + 46 + 90 = + =
38 + 67 + 42 + 33 = + =
41 + 75 + 65 + 59 = + =
RICORDA
Dissociare gli addendi
49 + 61 + 50 + 23 = + =
52 + 20 + 55 + 88 = + =
86 + 95 + 44 + 75 = + =
Scomponi un addendo in due o più addendi e poi associa gli addendi diversamente: il risultato non cambia.
75 + 35 = 110 50 + 25 + 35 = 50 + 60 = 110
4. Calcola dissociando gli addendi e poi associandoli nel modo più veloce.
130 + 70 = (
425 + 25 =
520 + 80 = (
45 + 355 = + (
63 + 737 = + ( + ) =
+ 142 = + ( + ) = +
La sottrazione
RICORDA
La sottrazione è l’operazione utilizzata per calcolare il resto o quanto manca oppure per trovare la differenza.
1. Leggi, esegui i calcoli a lato e scrivi la risposta.
Antonella ha ricevuto in dono € 356. Decide di dare in beneficenza ad un’associazione di volontariato
€ 125. Quanti euro le restano?
Risposta:
2. Esegui le sottrazioni in colonna.
3. Esegui le sottrazioni in colonna con la prova sul quaderno.
La proprietà della sottrazione
RICORDA
La proprietà invariantiva
La differenza non cambia se addizioni o sottrai lo stesso numero sia al minuendo sia al sottraendo.
1. Calcola in riga aggiungendo al minuendo e al sottraendo il numero tra parentesi. Segui l’esempio.
• Se devi aggiungere 9, 99, 999... prima aggiungi 10, 100, 1 000... e poi togli 1.
• Se devi togliere 9, 99, 999... prima togli 10, 100, 1 000... e poi aggiungi 1.
• Se devi aggiungere 11, 101, 1 001... prima aggiungi 10, 100, 1 000... e poi 1.
• Se devi togliere 11, 101, 1 001... prima togli 10, 100, 1 000... e poi 1.
2. Completa le tabelle. + 9 99
La moltiplicazione
RICORDA
La moltiplicazione è l’operazione utilizzata per contare quantità tutte uguali e per trovare il totale, quanti in tutto.
1. Leggi, esegui i calcoli a lato e scrivi la risposta.
Al supermercato sono esposte 12 ceste contenenti ciascuna 650 ciliegie. Quante ciliegie ci sono in tutto? Risposta:
2. Esegui le moltiplicazioni in colonna.
278 × 26 =
398 × 92 =
705 × 25 =
682 × 25 =
223 × 54 =
3. Esegui le moltiplicazioni in colonna sul quaderno.
432 × 27 = 159 × 12 =
265 × 24 =
307 × 36 =
144 × 46 =
416 × 30 =
365 × 45 = 830 × 29 =
Eseguire moltiplicazioni in colonna.
713 × 543 = 367 × 132 =
194 × 207 = 168 × 431 =
592 × 36 =
168 × 257 = 506 × 264 =
372 × 146 = 574 × 301 =
Le proprietà della moltiplicazione
La proprietà commutativa
Il prodotto non cambia pur cambiando l’ordine dei fattori. Puoi utilizzare questa proprietà per provare se il risultato della moltiplicazione è corretto. 135 × 27 = 3 645 27 × 135 = 3 645
1. Esegui le moltiplicazioni in colonna sul quaderno. Poi applica la proprietà commutativa per eseguire la prova.
La divisione è l’operazione utilizzata per distribuire in parti uguali oppure per formare gruppi uguali.
1. Leggi, esegui i calcoli a lato e scrivi la risposta.
Gli organizzatori di una marcia, per il ristoro, hanno preparato 450 panini sistemandoli in 5 vassoi. Quanti panini in un vassoio?
Risposta:
2. Esegui le divisioni in colonna.
3. Esegui le divisioni in colonna sul quaderno.
836 : 2 = 695 : 5 = 843 : 7 = 917 : 4 =
358 : 9 =
187 : 7 =
La proprietà della divisione
La proprietà invariantiva Il quoto di due numeri non cambia se dividi o moltiplichi entrambi per uno stesso numero.
: 4 =
:2 :2
:
:
1. Calcola in riga: dividi il dividendo e il divisore per il numero tra parentesi. Segui l’esempio.
315 : 15 (: 5) (315 : 5) : (15 : 5) = 63 : 3 = 21
480 : 24 (: 6)
372 : 12 (: 2)
620 : 10 (: 5)
2 184 : 21 (: 3)
2 880 : 48 (: 8)
2. Calcola in riga: moltiplica il dividendo e il divisore per il numero tra parentesi. Segui l’esempio.
256 : 4 (× 2) (256 × 2) : (4 × 2) = 512 : 8 = 64
268 : 2 (× 5)
172 : 2 (× 3)
369 : 3 (× 2)
400 : 25 (× 4)
6 500 : 2 (× 5)
3. Calcola in riga applicando la proprietà invariantiva. Decidi tu per quale numero dividere o moltiplicare.
315 : 15 =
864 : 8 =
8 640 : 2 =
9 576 : 9 = RICORDA
Dividere per 10, 100, 1 000
RICORDA
Quando esegui una divisione per 10, 100 o 1 000, devi togliere rispettivamente uno, due o tre zeri al dividendo.
1. Esegui le divisioni in riga.
46 810 : 10 =
400 : 100 =
000 : 1 000 =
000 : 10 = 48 100 : 100 =
000 : 1 000 = 8 250 : 10 =
600 : 100 =
2. Completa con il numero mancante.
000 : 1 000 =
3. Completa le tabelle.
Divisioni con due cifre al divisore
1. Esegui le divisioni in colonna.
363 : 33 =
: 26 =
710 : 19 = 8 537 : 14 =
: 18 = 3 705 : 95 =
2. Esegui in colonna sul quaderno.
8 576 : 64 =
64 359 : 78 =
25 349 : 53 =
747 911 : 81 =
462 493 : 34 =
356 728 : 47 =
26 432 : 95 =
76 843 : 29 =
512 389 : 64 =
879 609 : 94 =
604 532 : 58 =
734 890 : 47 =
: 38 =
: 15 =
:
: 42 =
496 : 38 =
880 : 64 =
458 : 36 =
346 : 51 =
816 : 32 =
278 : 36 =
039 : 37 =
843 : 67 = 91 032 : 26 =
395 : 43 =
211 : 39 = 761 920 : 88 = 36 752 : 64 =
591 438 : 59 =
Divisioni con tre cifre al divisore
9 785 : 125 =
605 : 145 =
895 : 248 =
3969 : 123 =
518 : 234 =
864 : 236=
1 602 : 134 =
946 : 834=
806 : 348=
1 784 : 151 =
8 180 : 682=
6 508 : 126=
9 408 : 234=
3 258 : 106=
6 407 : 324= 3995 : 325 =
951 : 129=
443 : 308=
451 : 209=
207 : 258 =
802 : 453=
562 : 752 =
789 : 856=
058 : 648= 327 450 : 955=
1. Esegui le divisioni in colonna.
2. Esegui in colonna sul quaderno.
Problemi con le 4 operazioni • 1
Risolvi i problemi: esegui i calcoli sul quaderno e scrivi le risposte.
1 Un cartolaio, per l’inizio dell’anno scolastico, ha comprato 8 650 penne. A fine anno ne ha vendute 6 538. Quante penne sono rimaste invendute?
Risposta:
2 Maddalena e Marco hanno acquistato una casa, pagandola € 280 000,00. Per comprare una nuova cucina hanno speso altri € 7 250,00 e per l’arredo del bagno € 2 780,00. Quanto hanno speso in tutto?
Risposta:
3 Una biblioteca comunale possiede in tutto 15 860 volumi, di cui al momento 5 927 sono fuori per prestito e altri 730 sono stati prestati a un’altra biblioteca. Quanti libri ci sono attualmente in biblioteca?
Risposta:
4 In una gelateria, nel periodo estivo, sono stati venduti 3 750 coni e 4 207 coppette. Quanti gelati sono stati venduti in tutto?
Risposta: 5 Per costruire un palazzo l’impresa edile ha acquistato 36 750 mattoni. A palazzo ultimato sono avanzati 978 mattoni, e 52 mattoni si sono rotti durante i lavori. Quanti mattoni sono stati utilizzati?
Risposta:
6 Per il rifornimento annuale, un ufficio ha acquistato 9 580 fogli bianchi, 8 900 fogli lucidi, 7 530 fogli colorati. 572 fogli si sono rovinati nel trasporto. Quanti fogli sono utilizzabili?
Risposta:
7 Un pasticciere ha sfornato 12 teglie con 14 cornetti alla crema l’una e 14 teglie con 16 cornetti al cioccolato ciascuna. Quanti cornetti ha sfornato in tutto?
Risposta:
8 Per confezionare una maglia di lana la nonna di Lidia ha bisogno di 680 g di lana. Ogni gomitolo pesa 40 g. Quanti gomitoli le occorrono? Se ogni gomitolo costa € 3,00. quanto spenderà in tutto?
Risposte:
9 Un panettiere ha acquistato 375 kg di farina. Ogni sacchetto pesa 15 kg. Quanti sacchetti ha acquistato? Se in una settimana consuma 12 sacchetti di farina, quanti ne restano?
Risposte:
10 Il magazziniere di un supermercato carica sullo scaffale 84 confezioni di acqua. Ogni confezione contiene 6 bottiglie. Quante bottiglie ha caricato sullo scaffale? Se vengono vendute 288 bottiglie d’acqua, quante ne restano da vendere?
Risposte:
Problemi con le 4 operazioni • 2
Risolvi i problemi: esegui i calcoli sul quaderno e scrivi le risposte.
1 In una biblioteca ci sono 245 libri di narrativa e 187 libri di avventura. I libri vengono sistemati in scatole da 6 libri ciascuna. Quante scatole complete si possono riempire in totale?
Risposta:
2 Una cartoleria riceve 48 pacchi di quaderni. In ogni pacco ci sono 25 quaderni. Dopo averne venduti 386, quanti quaderni restano in magazzino?
Risposta:
3 Una scuola organizza una visita al museo con 9 classi, ciascuna composta da 23 alunni. Se ogni pullman può trasportare al massimo 50 persone, quanti pullman servono per portare tutti gli alunni?
Risposta:
4 Lidia compra 4 scatole di pennarelli. Ogni scatola contiene 18 pennarelli. Ne regala 15 alle amiche e divide quelli rimasti in parti uguali in 3 astucci. Quanti pennarelli mette in ogni astuccio?
Risposta:
5 In un frutteto ci sono 36 filari di meli. Ogni filare è formato da 14 alberi. Se ogni albero produce 25 mele, quante mele vengono raccolte in tutto?
Risposte:
6 Un panificio prepara 720 panini in una mattina. I panini vengono sistemati in sacchetti da 8 panini ciascuno. Dopo aver venduto 54 sacchetti, quanti panini restano?
Risposta:
7 Luca ha risparmiato 350 euro. Spende 128 euro per un videogioco e 96 euro per dei libri. Con i soldi rimasti vuole comprare dellebpenne che costano 4 euro ciascuna. Quante penne può comprare?
Risposta:
8 Una fabbrica produce 1 250 pacchi di pasta al giorno. In una settimana di 5 giorni lavorativi, i pacchi vengono sistemate in scatole da 25 pacchi ciascuna. Quante scatole servono in tutto?
Risposta:
9 Ad un torneo sportivo partecipano 18 squadre. Ogni squadra ha 12 giocatori. I giocatori vengono divisi in gruppi da 9 per l’allenamento. Quanti gruppi si formano?
Risposta:
10 Un supermercato riceve 96 casse di succo di frutta. Ogni cassa contiene 24 bottiglie. Dopo aver venduto 1 458 bottiglie, quante bottiglie restano invendute?
Risposte:
Stimare i risultati di addizioni e sottrazioni
1. Scrivi in tabella il numero degli abitanti approssimato per eccesso e per difetto alle unità di migliaia. Valuta quale approssimazione si avvicina di più al numero di partenza ed evidenziala.
città abitanti approssimazione per difetto approssimazione per eccesso
Roma 2 749 031
Milano 1 349 930
Napoli 921 142
Torino 848 748
Palermo 848 748
Genova 561 203
Bologna 387 842
Firenze 361 619
Bari 315 948
Venezia 251 944
2. Colora il numero che prevedi possa essere la somma approssimata di ciascuna terna di numeri. Poi esegui i calcoli in colonna sul quaderno e verifica se la tua stima era esatta.
3. Colora il numero che prevedi possa essere la differenza approssimata di ciascuna coppia di numeri. Poi esegui i calcoli in colonna sul quaderno e verifica se la tua stima era esatta.
Stimare i risultati delle moltiplicazioni
1. Stima il risultato indicando con una ✘ l’affermazione che ritieni corretta. Poi esegui sul quaderno per verificare la tua stima.
825 × 5
Il prodotto è un numero minore di 4 000 compreso tra 4 000 e 5 000 maggiore di 5 000
422 × 9
Il prodotto è un numero minore di 3 000 compreso tra 3 000 e 4 000 maggiore di 4 000
2. Considera la moltiplicazione 423 × 200 e osserva le due registrazioni a lato.
Come puoi notare, nella prima registrazione, il 1° e il 2° prodotto parziale sono composti solo da zeri. In questo caso è più pratico moltiplicare direttamente 423 per 2 centinaia, cioè registrare subito il 3° prodotto parziale, purché vengano aggiunti due zeri a destra prima di eseguire il calcolo.
Allo stesso modo puoi saltare i prodotti parziali composti da zeri, quando si presentano, purché, nel calcolo del prodotto totale vengano aggiunti gli zeri opportuni.
150 × 14
Il prodotto è un numero minore di 2 000 compreso tra 2 000 e 3 000 maggiore di 3 000
1° prodotto parziale
2° prodotto parziale
3° prodotto parziale prodotto totale prodotto totale
3. Calcola a mente il prodotto, poi esegui sul quaderno prevedendo di volta in volta i prodotti parziali che puoi saltare. Verifica i prodotti eseguendo la prova.
1. Stima il risultato indicando con una ✘ l’affermazione che ritieni corretta. Poi esegui sul quaderno per verificare la tua stima.
• 5 096 : 49 = 104 204 304
• 7 500 : 25 = 400 300 200
• 7 770 : 70 = 111 211 311
• 9 400 : 47 = 200 300 400
• 1 500 : 125 = 12 24 30
• 31 500 : 350 = 100 90 150
• 6 660 : 111 = 6 60 66
• 94 500 : 90 = 105 305 205
2. Fai attenzione al divisore e prova a stimare il risultato di queste divisioni. Poi esegui sul quaderno e fai anche la prova.
7 056 : 99 =
5 321 : 51 =
2 945 : 19 =
6 015 : 31 =
5 689 : 11 =
9 135 : 29 =
45 100 : 41 =
29 700 : 99 =
3. Risolvi i problemi sul quaderno: prima prova a stimare il risultato.
• Michele ha 594 figurine da incollare su un album di 99 pagine. Quante figurine incollerà su ogni pagina?
• Una ditta prepara 6 500 torroncini. Per la spedizione utilizza 50 scatoloni delle stesse dimensioni. Quanti torroncini vengono sistemati in ogni scatolone?
• Un fioraio dispone nel suo vivaio 1 920 piantine grasse su 24 scaffali. Quante piantine disporrà su ogni scaffale?
• A uno spettacolo teatrale assistono 450 persone. L’incasso totale è stato di 9 450 euro. Quanto costava il biglietto?
• La mamma di Luca guadagna 1 540 euro al mese. Se in un mese lavora 22 giorni quanto guadagna al giorno la mamma di Luca?
• In un ufficio si spediscono in 27 giorni 2 430 lettere. Quanto lettere vengono spedite in un giorno?
Multipli e divisori
RICORDA
I multipli sono tutti quei numeri che si ottengono moltiplicando un numero dato per qualsiasi altro numero. I multipli di un numero sono infiniti.
Multipli di 2 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16…
I divisori sono tutti quei numeri, diversi da 0, che dividono un numero dato avendo sempre come resto 0.
di 15 1, 3, 5, 15
1. Completa.
36 è multiplo di 27 è multiplo di 24 è multiplo di
45 è multiplo di 84 è multiplo di 90 è multiplo di
2. Per ogni numero scrivi tutti i suoi divisori.
3. Colora solo le caselle dei numeri intrusi.
di 3
18 è multiplo di 39 è multiplo di 25 è multiplo di
Criteri di divisibilità
1. Completa seguendo le istruzioni.
• Un numero è divisibile per 2 quando è pari, cioè se l’ultima cifra a destra è un multiplo di 2. Scrivi tre numeri divisibili per 2.
• Un numero è divisibile per 9 quando la somma delle sue cifre è 9 oppure un multiplo di 9. Scrivi tre numeri divisibili per 9.
• Un numero è divisibile per 3 quando la somma delle sue cifre è 3 oppure un multiplo di 3. Scrivi tre numeri divisibili per 3.
• Un numero è divisibile per 10, 100, 1 000 quando termina rispettivamente con 1, 2 o 3 zeri. Scrivi tre numeri divisibili per 10, 100, 1 000.
• Un numero è divisibile per 4 quando le sue ultime due cifre formano un multiplo di 4 o sono due zeri. Scrivi tre numeri divisibili per 4.
• Un numero è divisibile per 5 quando la sua ultima cifra è uguale a 0 oppure a 5. Scrivi tre numeri divisibili per 5.
2. Completa la tabella mettendo una ✘ solo dove la risposta è affermativa, poi rispondi.
3?
• Quale numero, tra quelli in tabella, è divisibile per 2, 3, 5 e 10?
per 5?
per 10?
Numeri primi e numeri composti • 1
RICORDA
I numeri che hanno solo 1 e se stessi come divisore vengono detti numeri primi. Sono numeri composti quelli che hanno più di due divisori.
1. Colora la tabella seguendo le indicazioni, poi rispondi alle domande.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
• Cerchia di giallo tutti i multipli di 2 escluso il 2.
• Cerchia di arancione tutti i multipli di 3 escluso il 3.
• Cerchia di azzurro tutti i multipli di 5 escluso il 5.
• Cerchia di viola tutti i multipli di 7 escluso il 7.
Ci sono numeri che non sono divisibili per nessun numero se non per se stessi? Quali sono?
2. Usa i criteri di divisibilità poi cerchia di i numeri primi e di i numeri composti.
3. Scrivi i numeri composti compresi tra 20 e 40.
4. Leggi gli indizi e indovina il numero.
È un numero composto minore di 30.
È divisibile per 6.
Diviso per 5 dà resto 4.
È il numero
È un numero primo minore di 30.
La somma delle sue cifre è 11.
È il numero
È un numero composto compreso tra 30 e 50.
È divisibile per 2 ed è multiplo di 3.
Se sommi le sue cifre, ottieni 12.
È il numero
È un numero primo compreso tra 70 e 80.
La somma delle sue cifre è 10.
È il numero
Numeri primi e numeri composti • 2
1. Indica con una ✘ se è V (vero) o F (falso).
• Un numero primo maggiore di 2 è sempre dispari.
• Esiste un numero composto con solo due divisori.
• Il prodotto di due numeri primi è sempre un numero composto.
• Tutti i numeri dispari sono primi.
• Il numero 1 è un numero primo.
• Tutti i numeri pari sono numeri composti.
• Il numero 9 è un numero composto.
• Il numero 11 ha solo due divisori.
2. In ogni gruppo c’è un intruso. Cerchialo. 3– 5 – 7 – 9 – 11 4 – 6 – 7 – 9 – 10
3. Scomponi i numeri in numeri primi e poi indica se sono primi o composti.
11 = 1 x 11 = numero primo
4. Rispondi.
• Pensa a un numero compreso tra 30 e 50 che ha esattamente tre divisori. Qual è?
• Pensa a due numeri diversi che hanno gli stessi divisori tranne l’1 e se stessi. Quali sono?
• Trova un numero composto che, se diviso per 2, 3 e 5, dà sempre un resto diverso da zero. Qual è?
• Qual è il numero più piccolo che è maggiore di 1 e che non è primo, ma nemmeno multiplo di 4?
Le frazioni
RICORDA
Frazionare vuol dire dividere in parti uguali un intero o un numero. indica la divisione indica il numero delle parti considerate indica il numero delle parti uguali in cui è stato diviso l’intero 2 7 numeratore linea di frazione denominatore
1. Scrivi la frazione corrispondente alla parte colorata di ogni figura.
2. Colora la parte di intero corrispondente a ogni frazione.
3. Rappresenta con i disegni le seguenti frazioni.
Frazioni complementari • 1
Le frazioni 3 4 e 1 4 sono complementari perché la loro somma forma l’intero. 3 4 + 1 4 = 4 4
1. Osserva l’esempio: per ogni intero scrivi la frazione che corrisponde alla parte colorata, poi scrivi la frazione complementare ed esegui l’addizione.
2. Collega le frazioni complementari come nell’esempio. 5 8 + 3 8 = 8 8 = 1
Frazioni complementari • 2
1. Per ogni intero colora la parte indicata dalla prima frazione, poi scrivi la frazione complementare ed esegui l’addizione.
2. Completa ogni uguaglianza come nell’esempio.
3. Trova la frazione complementare.
Frazioni maggiori e minori di 1 o uguali a 1
2
3 una frazione minore di 1, dell’intero. Si chiama anche propria. Il numeratore è minore del denominatore.
4 3 una frazione maggiore di 1, dell’intero. È detta anche impropria. Il numeratore è maggiore del denominatore.
1. Cerchia di le frazioni minori dell’intero.
2. Cerchia di le frazioni maggiori dell’intero.
3. Cerchia di le frazioni uguali o multiple dell’intero.
3 3 e 6 3 frazioni uguali a 1 o multipli
dell’intero. Sono dette anche frazioni apparenti. Il numeratore è uguale o multiplo del denominatore.
4. Rappresenta con un disegno le seguenti frazioni, poi scrivi se sono minori, maggiori, uguali o multiple dell’intero:
Frazioni equivalenti
RICORDA
Le frazioni che rappresentano la stessa parte dell’intero sono dette equivalenti. Si ottengono moltiplicando o dividendo per lo stesso numero sia il numeratore sia il denominatore.
1. Applica la proprietà invariantiva e trova le frazioni equivalenti a quelle date. Segui gli esempi.
2. Per ogni frazione scrivi una sua equivalente.
3. Rappresenta con un disegno la frazione 3 4 e due sue frazioni equivalenti.
Confronto tra frazioni
RICORDA
Tra due frazioni che hanno lo stesso numeratore, è maggiore la frazione che ha il denominatore minore.
Tra due frazioni che hanno lo stesso denominatore, è maggiore la frazione che ha il numeratore maggiore.
1. Scrivi le frazioni corrispondenti alle parti colorate. Poi completa con i segni >, <, =.
2. Inserisci i segni > oppure < tra le coppie di frazioni.
3. Scrivi le frazioni in ordine crescente.
4. Scrivi le frazioni in ordine decrescente.
Il valore della frazione e dell’intero
RICORDA
Se conosci l’intero e vuoi calcolare il valore di una frazione, procedi così:
• dividi il numero dell’intero per il denominatore, per ottenere il valore della frazione unitaria;
• moltiplica il risultato della divisione per il numeratore, per ottenere il valore della frazione indicata.
RICORDA
1. Calcola il valore della frazione e colora come nell’esempio.
Se conosci l’intero e vuoi calcolare il valore di una frazione, procedi così:
• dividi il numero dell’intero per il denominatore, per ottenere il valore della frazione unitaria;
• moltiplica il risultato della divisione per il numeratore, per ottenere il valore della frazione indicata.
2. Calcola sul quaderno.
3. Calcola il valore dell’interno come nell’esempio.
La frazione 2 5 vale 18 45 è l’intero : 2 ×5 18 9
La frazione 4 9 vale 32 è l’intero : ×
La frazione 6 10 vale 24 è l’intero : ×
La frazione 2 9 vale 8 è l’intero : × 8 4
La frazione 5 9 vale 35 è l’intero : ×
La frazione 7 8 vale 28 è l’intero : ×
Operare con le frazioni • 1
1. Calcola il valore della frazione come nell’esempio.
4 25 di 275 = 275 : 25 = 11 × 4 = 44
7 10 di 320 = 5 9 di 189 =
9 20 di 400 = 6 10 di 360 = 12 15 di 150 = 11 35 di 700 =
2. Calcola il valore dell’intero come nell’esempio.
42 sono i 2 5 del totale = 42 : 2 = 21 × 5 = 105
72 sono i 9 10 del totale =
85 sono i 5 7 del totale =
88 sono i 8 9 del totale =
200 sono i 10 15 del totale =
600 sono i 12 30 del totale =
400 sono i 20 22 del totale =
3. Calcola sul quaderno il valore dell’intero conoscendo il valore della frazione. Ripeti lo schema dell’esempio.
La frazione 4 5 vale 20 25 è l’intero : 4 ×5 20 5
• La frazione 7 11 vale 357. Quanto vale la frazione complementare? 2 6 vale 100
4. Ripeti lo schema dell’esempio sul quaderno e calcola il valore di ogni frazione complementare.
Operare con le frazioni • 2
1. Completa le addizioni per ottenere l’intero.
2. Osserva le immagini e completa le frasi.
Ogni parte della figura corrisponde a
La parte colorata corrisponde a
La parte non colorata corrisponde a
Le frazioni complementari sono e , perché + = 6 6 =1
Ogni parte della figura corrisponde a
La parte colorata corrisponde a
La parte non colorata corrisponde a Le frazioni complementari sono
3. Jacopo ha tanti impegni e ha creato una tabella per organizzare la sua giornata tipo. Osserva la tabella e la legenda, poi completa.
4. Domande flash!
• Luca mangia 3 8 di una torta. A quale frazione corrisponde la torta rimasta?
• Una bottiglia contiene 1 litro d’acqua. Anna beve 2 5 del contenuto. Quanta acqua resta?
• Giulio spende 2 3 dei suoi risparmi. Quanto gli resta?
Problemi con le frazioni • 1
Risolvi i problemi: esegui i calcoli sul quaderno e scrivi qui le risposte.
1 Per il concerto di un famoso cantante sono stati occupati i 36 38 dei posti a disposizione. I posti a disposizione sono 45 600. Quanti sono i posti ancora liberi?
Risposta:
2 Alessandra ha comprato casa, pagandola 280 000 euro. Ha pagato i 22 40 come acconto e la restante parte la pagherà contraendo un mutuo. Quanto ha pagato come acconto? Quanto le resta da pagare con il mutuo?
Risposte:
3 Carlo è al supermercato a fare la spesa. Nel portafoglio gli sono rimasti 165 euro, cioè i 25 55 di quanto ha speso. Quanto aveva inizialmente? Quanto ha speso?
Risposte:
4 Un fruttivendolo ha acquistato 126 kg di mele. Dopo alcune settimane ne elimina 3 9 perché troppo mature. Quanti chilogrammi gli rimangono da vendere?
Risposta:
5 Francesca deve percorrere in auto 210 km per andare a trovare la nonna. Fa una sosta dopo i 4 7 del percorso. Quanti chilometri le mancano per arrivare dalla nonna?
Risposta:
6 Per la festa di compleanno di Michele la mamma ha comprato 320 palloncini. 3 8 sono rossi, 80 sono blu e il resto verdi. Quanti sono i palloncini rossi? Quanti sono i palloncini verdi?
Risposte:
7 Un ciclista ha percorso 24 km, cioè i 3 8 dell’intero tragitto. Quanti chilometri deve percorrere in tutto? Quanti ne mancano al traguardo?
Risposte:
8 Luisa acquista uno smartphone. Paga subito 90 euro, pari ai 2 5 del prezzo totale. Quanto costa lo smartphone? Versa la rimanenza in tre rate uguali. Qual è il valore di ogni rata?
Risposte:
Problemi con le frazioni • 2
Risolvi i problemi: esegui i calcoli sul quaderno e scrivi qui le risposte.
1 Lucrezia acquista un abito da 390 euro spendendo i 3 4 del denaro che ha portato con lei. Fa poi altri acquisti, spendendo in tutto 1 5 del residuo. Con quanto denaro rimane?
Risposta:
2 Mimmo pianta tra pini e abeti 280 alberi. Sapendo che i pini sono i 3 8 degli alberi, quanti abeti ha piantato Mimmo?
Risposta:
3 Carmen sta leggendo un libro della saga di Harry Potter di 623 pagine. Ne ha già letto i 4 7 Quante pagine mancano per finire il libro?
Risposta:
4 Gianluca ha in tasca 188 euro. Spende 1 4 dei soldi per acquistare un videogioco per sua sorella Laura. Quanto è costato il videogioco, quanti euro gli restano?
Risposta:
5 Francesco possiede una collezione di 915 francobolli. I 3 5 sono francobolli italiani. Quanti sono quelli esteri?
Risposta:
6 Un filo metallico, lungo 85 cm, viene tagliato in due parti. Una parte è i 3 5 dell’altra. Quanto sono lunghe le due parti di filo?
Risposta:
7 Marco ha letto 45 pagine di un romanzo, che corrispondono ai 5 9 del totale delle pagine del libro. Da quante pagine è composto il libro intero?
Risposta:
8 Un ciclista ha percorso 28 km, ovvero i 4 7 della tappa. Quanto è lunga in tutto la tappa?
Risposta:
Dalle frazioni decimali ai numeri decimali e viceversa
RICORDA
Sono dette frazioni decimali quelle frazioni che hanno al denominatore 10, 100, 1 000…
Queste frazioni possono essere trasformate in numeri decimali.
Per trasformare una frazione decimale in un numero decimale scrivi il numeratore, poi separa con la virgola tante cifre decimali quanti sono gli zeri che compaiono al denominatore. Per trasformare un numero decimale in una frazione decimale scrivi al numeratore il numero decimale senza la virgola e al denominatore scrivi 1 seguito da tanti zeri quante sono le cifre decimali del numero.
1. Trasforma ogni frazione decimale nel numero decimale corrispondente. Segui l’esempio.
2. Trasforma ogni numero decimale nella frazione decimale corrispondente. Segui l’esempio.
Numeri decimali e frazioni
RICORDA
I numeri decimali sono formati da due parti separate dalla virgola: una parte intera e una parte decimale (decimi, centesimi, millesimi).
1. Indica in tre modi ogni frazione rappresentata, poi inserisci i numeri decimali in tabella. Segui gli esempi.
, 4
parte intera parte decimale
d c m
, 2
parte intera parte decimale
d c m
parte intera parte decimale
d c m
parte intera parte decimale
d c m
, 2 5
parte intera parte decimale
d c m
parte intera parte decimale
d c m
Numeri decimali
1. Scrivi in cifre, come nell’esempio.
465 millesimi 0,465
83 centesimi
9 decimi
72 millesimi
8 millesimi
6 centesimi
25 millesimi
94 centesimi
86 centesimi
9 millesimi
34 unità
287 millesimi
2. Scrivi il valore della cifra evidenziata come nell’esempio.
3. Completa le uguaglianze come nell’esempio.
2 u = 20 d = 200 c = 2 000 m 680 d = u =
4. Componi i seguenti numeri come nell’esempio.
4 uk 5 h 4 d 9 m = 4 500,409 2 h 3 u 8 m = 7 hk 7 h 3 d 6 c 3 m = 16 c 5 m =
4 uk 4 m = 28 h 4 d = 3 dak 3 da 4 d = 6 h 45 u 43 c =
5. Scomponi i seguenti numeri come nell’esempio.
4 325,201 = 4 uk 3 h 2 da 5 u 2 d 1 m
123 684,23 =
9 743,125 =
1 896 730,198 =
scrivere, comporre e scomporre i numeri decimali.
Addizioni e sottrazioni con i decimali in colonna
1. Esegui le operazioni nelle tabelle.
h da u , d c m
4 7 8 , 2 4 2 + 3 1 1 , 3 5 4 =
h da u , d c m
2 4 7 , 8 9 0 + 6 2 4 , 4 3 3 =
h da u , d c m 7 2 6 , 7 8 0 –5 4 9 , 9 3 2 =
h da u , d c m
4 5 8 , 6 2 0 + 3 9 9 , 0 4 5 =
h da u , d c m
3 6 4 , 0 0 0 –1 8 5 , 0 6 7 = h da u , d c m 1 8 6 , 4 9 8 –5 3 , 2 5 3 = h da u , d c m 6 9 , 0 3 7 + 8 1 2 , 5 7 0 = h da u , d c m 9 2 4 , 0 5 6 –7 6 0 , 3 7 0 = h da u , d c m 9 2 4 , 7 0 0 –8 6 7 , 8 9 9 = h da u , d c m 3 4 8 , 5 9 0 + 2 5 3 , 6 4 1 =
Eseguire addizioni e sottrazioni con i numeri decimali.
Eseguire addizioni e sottrazioni con i numeri decimali.
000
Moltiplicazioni e divisioni per 10, 100, 1
RICORDA
Quando esegui una moltiplicazione per 10, 100, 1000 con un numero decimale, devi spostare la virgola verso destra di una, due o tre posizioni, tante quanti sono gli zeri del moltiplicatore.
1. Esegui le moltiplicazioni indicate nella tabella.
Quando esegui una divisione per 10, 100, 1000 con un numero decimale, devi spostare la virgola verso sinistra di una, due o tre posizioni, tante quanti sono gli zeri del divisore.
La divisione presenta resto 5: ciò significa che il risultato non è esatto ma approssimato. Si può ricercare il risultato esatto? Con i numeri naturali no, ma con i numeri decimali è possibile.
Il resto è 5 unità: trasformiamole in 50 decimi e continuiamo la divisione dividendo il resto. Nel calcolo mettiamo la virgola al quoziente per indicare la parte decimale. Proseguiamo la divisione dividendo i resti e registrando al quoziente il risultato, fino a trovare resto 0.
1. Esegui fino a trovare il resto 0. Poi verifica con la prova.
21 : 4 = 273 : 2 = 137 : 4 =
: 24 = 962 : 5 = 13 : 5 = 820 : 8 =
: 25 = 317 : 8 = 243 : 6 = 1 521 : 5 =
1 3 4 3 1 4 4 4 6 6 6 2 0 2 0 2 0 2 , resto
1 3 2 0 1 3 0 0 6 5 1 0 0 0 ,
: 30 =
Anche in questo caso prosegui la divisione trasformano le 2 unità di resto in 20 decimi. Come puoi vedere, la divisione non finisce mai: è impossibile arrivare al resto 0. Il quoziente è un numero decimale illimitato.
2. Esegui fino a calcolare i millesimi. Poi verifica con la prova.
Il divisore è maggiore del dividendo. La divisione si esegue scrivendo 0 al quoziente. Poi si continua la divisione dividendo i resti e registrando al quoziente dopo la virgola.
3. Esegui fino al resto 0, oppure calcola fino ai millesimi. Poi verifica con la prova.
La percentuale corrisponde a una frazione con denominatore 100. Per indicare la percentuale, accanto al numero si aggiunge il simbolo %.
1. Scrivi la frazione decimale e la percentuale corrispondente alla parte colorata. Segui l’esempio.
2. In due scuole è stata condotta un’indagine sulle letture preferite dagli alunni. Colora l’areogramma utilizzando il colore verde per la narrativa, il rosso per i fumetti e il blu per i gialli. Trasforma poi le percentuali in frazioni sul quaderno.
Scuola Leopardi
• narrativa 23%
• gialli 68%
• fumetti 9%
Scuola Manzoni
• narrativa 37%
• gialli 20%
• fumetti 43%
Calcolare la percentuale e lo sconto
RICORDA
Per calcolare la percentuale di un numero bisogna:
• dividere l’intero per il denominatore;
• moltiplicare il risultato per il numeratore.
1. Collega ogni percentuale al suo valore.
Giovanni ha mangiato il 65% dei 20 cioccolatini nel vassoio. Quanti cioccolatini ha mangiato?
65% di 20 = 65
100 di 20
20 : 100 = 0,2
0,2 × 65 = 13 Ha mangiato 13 cioccolatini.
2. Calcola il valore delle percentuali come nell’esempio.
25% di 280 280 : 100 × 25 = 2,80 × 25 = 70
5% di 80
9% di 300
6% di 120
10% di 470
2% di 260
3. Completa la tabella come nell’esempio.
10% di 750
2% di 1 000
30% di 6 400
40% di 2 800
50% di 1 200
66% di 8 650 importo in euro percentuale di sconto sconto in euro prezzo scontato in euro
:
×
= 1,50 ×
=
–
=
Problemi con la percentuale
Risolvi i problemi: esegui i calcoli sul quaderno e scrivi qui le risposte.
1 Maria ha comprato una camicia. Leggendo l’etichetta, scopre che contiene il 75% di cotone e la restante parte è di lino. Qual è la percentuale di lino contenuta nella camicia?
Risposta:
2 Gli abitanti di un paesino di montagna sono 1200, il 48% sono maschi. Quanti sono i maschi? Quante sono le femmine?
Risposte:
3 Per la prima settimana di luglio un hotel con 260 stanze ha ricevuto prenotazioni per l’80% delle stanze. Quante stanze saranno occupate? Quante saranno libere?
Risposte:
4 Un negozio effettua una vendita promozionale con lo sconto del 30% su tutta la merce. Qual è il prezzo scontato di un cellulare che costava € 386,00?
Risposta:
5 Manuela acquista un divano del costo di € 1650,00 e versa il 20% come acconto. Quanto ha versato di acconto? Quanto le resta ancora da pagare?
Risposte:
6 La squadra di calcio di Matteo a fine campionato fa il bilancio delle partite vinte. Su 25 partite disputate il 60% sono state vinte e il 28% pareggiate. Quante partite sono state vinte? Quante pareggiate?
Risposte:
7 Si va a scuola per 200 giorni circa all’anno. Luca vorrebbe che i giorni di vacanza aumentassero del 20%. Quanti giorni di vacanza vorrebbe in più Luca?
Risposta:
8 Un giocatore di pallacanestro, durante un allenamento, ha tentato 250 tiri a canestro. Se è andato a segno il 70% delle volte, quanti tiri si sono trasformati in canestro? Quanti ne ha sbagliati?
Risposte: 9 Un pasticciere ha disposto sul bancone tutti i 525 pasticcini prodotti. Li ha disposti in vassoi che contengono:
• il 36% di bignè;
• il 24% di cannoli siciliani;
• il 32% di crostatine di frutta;
• l’8% di sfogliatine.
A quali numeri corrispondono le percentuali?
Risposta:
Black friday e prezzi pazzi • 1
In questa frenetica giornata di acquisti, il Black Friday, i negozianti hanno commesso degli errori nei cartellini o nei ragionamenti. Non lasciarti ingannare dalle apparenze! Leggi bene ogni situazione, scova l’errore nascosto e risolvi i problemi.
1 Ad un acquirente interessato al giubbotto, il commesso dice: “Visto che lo sconto è di € 20, per conoscere il prezzo intero basta fare 20 x 4. Il giubbotto dunque costava € 80.”
Trova l’errore: Il ragionamento sembra corretto, ma osserva bene i dati. Qualcosa non funziona. Riscrivi il calcolo corretto e il prezzo esatto del giubbotto.
Prezzo:
2 Un cliente dice: “Se lo sconto è 2 6 , allora devo dividere 120 per 2 e poi moltiplicare per 6 per sapere quanto risparmio!”
Trova l’errore: Il cliente sta cercando di calcolare lo sconto partendo dall’intero. Sta usando la procedura corretta per trovare il valore della frazione o quella per trovare l’intero? Scrivi la procedura corretta e il reale valore dello sconto.
Sconto:
Black friday e prezzi pazzi • 2
1 L’influencer del momento ha postato un video sui social dicendo: “Incredibile! Comprate lo smartphone, risparmierete ben € 300!”
Trova l’errore: L’influencer ha calcolato quanto pagherai o quanto risparmierai? Attenzione: se paghi i 2 3 del prezzo, qual è la frazione che rappresenta lo sconto? Rispondi e calcola il risparmio reale.
Il risparmio reale non è di € 300, ma di €
2 Il magazziniere del negozio ha scritto sul registro: “Rimangono in magazzino ancora 100 console.”
Trova l’errore: Se 40 console corrispondono alla frazione 5 8 , quante erano in tutto le console all’inizio del Black Friday? Il magazziniere ha calcolato bene l’intero o ha inventato il numero? Rispondi e calcola il numero corretto di console rimaste invendute.
Scorta totale
Le misure di lunghezza
1. Indica con una ✘ la misura corretta.
Lunghezza di una formica 7 dm 7 mm
Altezza del Monte Bianco 4 810 hm 4 810 m
Distanza Roma-Milano 573 km 573 m
2. In ogni misura cerchia la cifra che corrisponde alla marca, poi scomponi. Segui l’esempio.
10,47 hm 1 km 0 hm 4 dam 7 m 6,73 dm
12,4 cm
2 008 m 0,134 km 123,5 dam
3. Scrivi il valore della cifra evidenziata come nell’esempio.
354 cm 3 m 0,05 dam 5 739 m 645,5 dam
4. Scomponi le misure come nell’esempio.
525 m 5 hm 2 dam 5 m
256 dam
6 789 mm
34 hm
1 567 dm
19 231 cm
5 474 m
5. Componi le misure come nell’esempio. Fai attenzione all’unità di misura.
9 km 5 dam 905 dam 4 m 5 dm 36 mm m
15 hm 5 dam m 24 dm 6 mm mm
7 m 9 dm 6 cm 2 mm dm 7 km 3 hm 9 m km
12 dam 4 dm m 7 hm 28 m dam
6. Completa le tabelle eseguendo le equivalenze.
7. Esegui le equivalenze.
760 cm = m
13 569 mm = m
165 km = m
75 012 dm = hm 0,002 hm = dm
24 730 dam = m 273,019 m = cm 0,001 km = dam 3,025 km = m
8. Esegui le operazioni e le equivalenze come nell’esempio.
12,7 dam = m 5 838 cm = m 69,72 hm = km
45 cm + 254 cm = 299 cm = 2,99 m 4,124 m + 215 m = m = dm
2 671 m – 158 m = m = cm 21 463 dm – 9 136 dm = dm = dam
402 hm + 615 hm = hm = m 628 m + 218 m = m = hm
10 245 m – 1 987 m = m = dam 2 897 cm – 899 cm = cm = m
Risolvi i problemi sul quaderno e scrivi qui le risposte. Fai attenzione alle equivalenze necessarie!
9 Il percorso di una gara ciclistica è formato da quattro tappe, la prima è lunga 55 km, la seconda 370 hm, la terza 3600 dam e la quarta 23 000 m.
Quanti chilometri è lungo l’intero percorso?
Risposta:
10 Per andare a scuola Marco percorre 4745 m con lo scuolabus. Oggi, a causa di una deviazione, il percorso si allunga di 1 5
Quanto misura la lunghezza del percorso di oggi in metri e in chilometri?
Risposta:
Le misure di capacità
l dal l dl
100 l 10 l 1 l
1. Indica con una ✘ la capacità corretta.
Un bicchiere
2 dl 2 ml
Una lattina di bibita
Una bottiglia
2. In ogni misura cerchia la cifra che corrisponde alla marca, poi scomponi. Segui l’esempio.
57,34 dal 5 hl 7 dal 3 l 4 dl
34,48 l 5623 cl 690 dl 7,41 hl 0,33 l 0,75 dal 1 250 ml
3. Scrivi il valore della cifra evidenziata come nell’esempio.
264 ml 2 dl
58,215 dal 0,476 hl
186 l
376,9 cl 1439 cl
4. Scomponi le misure come nell’esempio.
1709 dl 1 hl 7 dal 9 dl
47,9 cl 0,583 dal 8473 ml
145,87 l 9,63 hl
0,934 hl 0,03 dl 0,851 dal
5. Completa le tabelle eseguendo le equivalenze.
6. Esegui le equivalenze.
217 l = dal
2 512 cl = dl
1428,3 l = hl 1986 dal = cl
dal = l
7. Inserisci i segni >, < oppure = tra le coppie di misure.
l
hl
dl
cl
Risolvi i problemi sul quaderno e scrivi qui le risposte. Fai attenzione alle equivalenze necessarie!
8 Un produttore di vino deve travasare il contenuto di una botte da 3 hl in bottiglioni della capacità di 1,5 l. Quanti bottiglioni saranno necessari? Il vino imbottigliato sarà poi confezionato in scatole da 4 bottiglioni ciascuna. Quante scatole saranno confezionate?
Risposte:
9 Al supermercato devo acquistare del succo di frutta. Vedo indicato il prezzo al litro: € 4,20. A quanto verrà messa in vendita una confezione da 500 ml? Quanto pagherò per 4 confezioni?
Risposte:
Le misure di peso-massa
1. Indica con una ✘ il peso corretto.
Un bambino della tua età 35 kg 35 hg Una gomma per cancellare 15 g 15 mg Un’automobile 2 Mg 2 kg
2. In ogni misura cerchia la cifra corrisponde alla marca, poi scomponi. Segui l’esempio.
4,56 kg 4 kg 5 hg 6 dag
34,63 hg
0,21 dg 35 cg 0,543 g 7 134 mg
3. Scomponi le misure come nell’esempio.
6,47 g 6 g 4 dg 7 cg
635,2 dg
29,89 dag
5766 g
4,52 kg
78,6 hg
0,95 dag
125,8 cg
9,07 hg
3,4 kg
45,3 g 8,99 dag
567,2 dg 23,45 kg 104,8 hg 0,76 dag 89,01 g 6,32 kg
543,5 dg 32,9 dag
4. Completa le tabelle eseguendo le equivalenze.
5. Esegui le equivalenze.
4 500 mg = dg
655,9 mg = dg
465 kg = dag
3 557 dag = kg
201 dg = hg
5,05 g = mg
086 kg = Mg 51 Mg = kg 1 643,07 g = dag
dag = mg
cg = g 45,23 g = dag
dag = g
g = hg 18,9 hg = kg 8,7 hg = dag
cg = g 1790 g = kg
6. Risolvi i problemi sul quaderno e scrivi qui le risposte. Fai attenzione alle equivalenze necessarie!
a Sull’ascensore di un edificio si legge:
Portata massima 450 kg
Capienza 6 persone
Qual è il peso medio previsto per ciascuna persona?
Risposta:
b Per fare la focaccia, Luigi impasta 600 g di farina, 150 g di patate, 650 g di acqua, 20 g di olio d’oliva e 2,5 dg di lievito. Quanto pesa l’impasto? Se aggiunge 12 pomodori da 20 g l’uno e altri 100 g di olio, quanto peserà l’impasto?
Risposte:
Peso lordo, peso netto, tara
1. Completa la tabella con il peso mancante.
astuccio con matite
cassa di pere
scatola di pasta
vaschetta di gelato 1 kg 0,15 kg
busta di caramelle 2 hg 1,75 hg
2. Esegui i calcoli a mente e rispondi.
a Su una confezione di pasta è scritto: 500 g
La tara è 7 g. Qual è il peso netto della confezione in chilogrammi?
Qual è il peso lordo in chilogrammi?
b Una scatoletta di cartone pesa 13 g e contiene 20 filtri di tè. Il peso netto complessivo è 40 g.
Qual è il peso lordo della confezione?
Quanto pesa un filtro di tè?
3. Risolvi i problemi sul quaderno e scrivi qui le risposte. Fai attenzione alle equivalenze necessarie!
a In un’azienda agricola sono stati raccolti
5 Mg di mele con le quali si sono riempite 250 cassette che hanno la tara di 1,5 kg ciascuna.
Qual è il peso lordo di ciascuna cassetta?
Risposta:
c Una scatola di caramelle ha la tara di 60 g. La scatola confezionata pesa 0,540 kg.
Quanti grammi di caramelle contiene in tutto la scatola?
Risposta:
b Una scatola di riso pesa 565 g, la tara è di 65 g. Qual è il peso netto del riso?
Risposta:
d In un supermercato ci sono 135 tavolette di cioccolato, ciascuna ha il peso lordo di 2,75 hg. Se la tara di ogni tavoletta è 0,15 g, quanti grammi di cioccolato ci sono in tutto?
Risposta:
Le misure di tempo • 1
1. Esegui le equivalenze come nell’esempio.
300 secondi 5 minuti 72 ore giorni
minuti ore
4 minuti secondi 720 secondi ore 1 ora e mezza minuti
secondi minuti 120 ore giorni
2. Quanto manca? Calcola a mente e rispondi.
• all’ora di pranzo (ore 13:00),
• se l’orologio segna: 12:45 10:25 11:55 ................................................. 12:55
minuti secondi
all’uscita da scuola (ore 16:30), se l’orologio segna: 12:30
14:30 16:15 16:25
Le misure di tempo • 2
1. Da quanto tempo si sono svegliati? Calcola a mente e rispondi.
3. Procurati i dati che il testo sottintende, poi risolvi i problemi sul quaderno e scrivi qui le risposte.
a In una partita di calcio sono stati giocati due tempi regolamentari e due tempi supplementari. Considera un intervallo di 15 minuti. Quale è stata la durata complessiva della partita?
Risposta:
4. Esegui i calcoli a mente e rispondi.
b Quanti giorni sono trascorsi dal giorno della tua nascita? Non dimenticare il giorno in più negli anni bisestili (ogni 4 anni): come riferimento, ricorda che il 2024 è stato bisestile.
Risposta:
a Per percorrere 45 km tre ragazzi usano mezzi diversi. Luca ha impiegato un’ora, Laura 5 ore e Anna mezz’ora. A quale velocità media si sono mossi i tre ragazzi?
Luca ........... km/h Laura ........... km/h Anna ........... km/h
b Un treno ad alta velocità viaggia a 240 km/h. Quanti chilometri percorre in mezz’ora? km E in 2 ore? km
Le misure di valore
1. Componi le somme richieste scegliendo la combinazione con il minor numero di monete e banconote. Segui l’esempio.
patatine € 2,45
astuccio € 13,65
scarpe € 78,99
cellulare € 358,89
2. Converti le somme in euro con altre monete. Puoi usare i tassi di cambio scritti in tabella, oppure puoi ricercare dati più aggiornati. Esegui i calcoli sul quaderno.
tasso di cambio
Dollaro USA 1,10
Sterlina inglese 0,85
Franco svizzero 0,95
Yen giapponese 158,00
Rublo russo 91,50
Rubli russi multipli
3. Risolvi i problemi sul quaderno.
somma in euro corrispettivo valore in moneta estera
€ 400,00
€ 500,00
€ 200,00
€ 100,00
€ 300,00
a Per festeggiare il suo compleanno Michela spende € 25,00 per i pasticcini, € 30,00 per le pizzette, € 18,50 per le bibite, € 12,70 per salatini e patatine ed € 11,40 per piatti, bicchieri e tovaglioli.
Quanto spende in tutto? Quanto le resta se ha pagato con una banconota da € 100,00?
b La mamma va a fare la spesa e compra: 200 g di prosciutto cotto a € 24,00 al kg, 3 pacchi di pasta da € 0,75 l’uno, 5 kg di patate a € 1,20 al kg, 2 confezioni di latte a € 1,20 l’una, 500 g di panini a € 1,80 al kg, 2 confezioni di tonno a € 2,90 l’una. Quanto spende in tutto? 1
Yen giapponese .............................................
Costo unitario e costo totale
:
1. Completa le tabelle.
costo unitario quantità costo totale
€ 15,00 12
€ 56,00 26
€ 32,00 14
€ 4,50 38
€ 1,50 165
costo totale quantità costo unitario
€ 600,00 25
€ 189,00 21
€ 3,50 14
€ 325,00 65
€ 1 200,00 150
costo totale costo unitario quantità
€ 120,00 € 1,50
€ 175,00 € 5,00
€ 60,00 € 0,25
€ 25,00 € 2,50
€ 154,00 € 7,00
:
2. Leggi, esegui i calcoli sul quaderno e completa le risposte.
a La mamma ha comprato 6 pacchi di pasta a
€ 0,60 l’uno e 4 bottiglie di polpa di pomodoro a
€ 1,80 l’una. Quanto ha speso in tutto?
Risposta: La mamma ha speso in tutto
€
b Giulio ha comprato una scatola di tempere da 36 pezzi, che gli è costata € 27,00.
Ha comprato anche 4 pennelli da € 1,60 l’uno. Quanto è costato ogni tubetto?
Quanto ha speso Giulio in tutto?
Risposte: Ogni tubetto è costato €
Giulio ha speso in tutto €
c Ho acquistato 4 videogiochi, spendendo in tutto
€ 140,00. Qual è il costo di ogni videogioco?
Risposta: Ogni videogioco è costato
€ d Samuele e i suoi amici hanno acquistato i biglietti per una partita di calcio. Hanno speso in tutto
€ 185,00. Ogni biglietto è costato € 37,00, comprensivo del costo di prevendita. Quanti biglietti sono stati acquistati?
Risposta: Sono stati acquistati
La compravendita • 1
1. Completa la tabella. Barra le caselle che restano vuote.
spesa ricavo guadagno perdita € 35,80
€ 72,90
22,70
43,50
€ 53,60 € 90,20
€ 410,70
€ 534,70
2. Risolvi i problemi sul quaderno.
1 Un fruttivendolo compra 25 kg di mele e spende € 30,25. Se rivende le mele a € 1,75 al chilogrammo, quanto guadagna?
2 Un fioraio ha acquistato dei fiori per un valore complessivo di € 1500,00. In una settimana ha ricavato € 5300,00 dalla vendita di tutti i fiori. Qual è stato il guadagno? Se ha pagato ogni fiore € 0,15, quanti fiori ha acquistato?
Qual è stato il guadagno unitario?
3 Un negoziante non riesce a vendere dei cellulari che aveva pagato € 145,50 l’uno. Decide di abbassare il prezzo perdendo dalla vendita € 15,00 su ciascuno. Qual è il nuovo prezzo di vendita? Se riesce a vendere 14 cellulari, qual è il ricavo totale? A quanto ammonta la perdita complessiva?
190,40
226,40
4 Un commerciante acquista 119 m di stoffa pagandola a € 3,25 al metro. Quanto sarà il suo guadagno per tutto il tessuto se lo rivende a € 7,50 al metro? Quale sarà il guadagno unitario per ogni metro di stoffa venduto?
5 Un videogioco viene messo in vendita a € 29,00. Qual è il ricavo dalla vendita di 38 videogiochi? Se il negoziante aveva speso, per ognuno di essi, € 23,40 qual è stato il guadagno complessivo?
6 Dalla vendita di 12 chiavette USB, un negoziante ha guadagnato complessivamente € 30,00. Se per comprarle aveva speso € 138,00, qual è il prezzo di vendita di ciascuna chiavetta USB?
La compravendita • 2
Risolvi i problemi e scrivi qui le risposte.
1 Un fiorista acquista dal grossista 50 rose spendendo complessivamente € 75. Rivende ogni singola rosa al prezzo di € 3. Calcola il ricavo totale e il guadagno del fiorista.
Risposte:
2 Per preparare una torta monumentale, un pasticciere spende € 42 di ingredienti. Decide di rivenderla a un cliente a € 65. Quanto ha guadagnato il pasticciere?
Risposta:
3 Il titolare di un negozio compra un tablet a € 280. A causa di un piccolo graffio sulla scocca, è costretto a rivenderlo a € 245. In questa operazione il negoziante ha avuto un guadagno o una perdita? A quanto ammonta?
Risposte:
4 Un edicolante compra 100 bustine di figurine spendendo € 60. Se rivende tutte le bustine e ottiene un guadagno totale di € 40, a quale prezzo ha rivenduto ogni singola bustina?
Risposta:
5 Un negoziante acquista una partita di 20 tute al prezzo di € 35 l’una. Le rivende tutte ricavando in totale € 1.000. Qual è stato il suo guadagno complessivo?
Risposta:
6 Un libraio acquista dei libri d’arte spendendo € 120. Il suo guadagno corrisponde a 1 4 della spesa. A quanto ammonta il guadagno? Qual è il ricavo totale?
Risposte:
7 Un commerciante compra una cassetta di mele a € 15. Purtroppo, alcune mele sono marce e il suo ricavo finale è di soli € 12. Qual è la frazione della spesa che rappresenta la perdita?
Risposta:
8 Il proprietario di un negozio di giocattoli vende una casa delle bambole a € 80. Sapendo che la spesa per acquistarla era stata 3 5 del ricavo, calcola quanto ha guadagnato il negoziante.
Risposta:
9 Un grossista vende 12 confezioni di caffè a un bar. Il ricavo totale è di € 72. Se il guadagno totale è stato di € 12, quanto aveva speso il grossista per ogni singola confezione?
Risposta:
10 Un ferramenta acquista un trapano a € 110. Per errore lo rivende a un prezzo che gli causa una perdita pari a 1 10 della spesa originale. A quale prezzo è stato venduto il trapano?
Risposta:
Le misure di superficie
1. Indica con una ✘ la misura della grandezza corretta.
La superficie di un appartamento
110 m2
11 m2
10 dam2
La superficie della Lombardia
23 844 km2
23 844 hm2
23 844 dam2
La superficie di un campo di calcio
7 500 hm2
7 500 m2
7 500 dam2
La superficie di una piastrella
4 m2
40 mm2
400 cm2
2. In ogni misura evidenzia la cifra o le cifre che indicano i metri quadrati, poi scomponi. Segui l’esempio.
37,05 m² 3 da di m² 7 u di m² 5 u di dm²
3382,76 dam²
45623,1 cm²
65465000 mm²
0,365 dam²
1769,45 m²
543,68 dm²
382163,465 dam²
72,94 m²
3. Scrivi il valore della cifra evidenziata come nell’esempio.
7. Collega con una linea gli elementi dell’insieme A equivalenti a quelli dell’insieme B. 21,52 m²
750 hm² 7 hm² 870 cm² 200 000 mm²
700 m² 0,12 dam² 1 200 dm² 0,2152 dam² 0,07 km² 0,20 m² 87 000 mm² 7,50 km² 7 dam²
Problemi sulle misure • 1
RICORDA
Per risolvere questi problemi, controlla se le unità di misura sono le stesse. Se sono diverse, la prima cosa da fare è un’equivalenza!
Risolvi i problemi sul quaderno.
1 Un escursionista percorre un sentiero lungo 4,5 km. Se ha già camminato per 2 800 m, quanti metri gli mancano per arrivare alla fine del percorso?
2 Una sarta ha una pezza di stoffa lunga 15 m. Deve tagliare dei nastri lunghi 30 cm ciascuno. Quanti nastri riuscirà a ricavare in totale?
3 Durante le olimpiadi della scuola, Marco ha saltato 1,25 m, mentre la sua amica Sara ha saltato 135 cm. Chi ha effettuato il salto più alto? Di quanti centimetri?
4 Per la sua festa, Giulia ha comprato 6 bottiglie di aranciata da 1,5 ciascuna. Se serve l’aranciata in bicchieri della capacità di 200 m , quanti bicchieri riuscirà a riempire?
5 L’acquario della classe quinta A contiene 45 d’acqua. Durante la pulizia ne vengono tolti 120 d . Quanti litri d’acqua rimangono nell’acquario?
6 Una bottiglia di sciroppo per la tosse contiene 2 d di medicinale. Se ogni dose è di 5 m , quante dosi si possono somministrare prima che lo sciroppo finisca?
7 Nel carrello di un cliente ci sono: un pacco di pasta da 500 g, una confezione di mele da 1,2 kg e un pezzo di formaggio da 350 g. Qual è il peso totale della spesa espresso in chilogrammi?
8 Una cassetta di legno piena di pesche pesa in tutto 6,5 kg. Se la tara è di 400 g, qual è il peso netto delle pesche in chilogrammi?
9 Un camion può trasportare un carico massimo di 3,5 Mg. Se deve trasportare dei pallet di mattoni che pesano 700 kg l’uno, quanti pallet può caricare al massimo senza superare il limite?
10 Per preparare una torta, la nonna usa 0,25 kg di farina, 120 g di zucchero e 80 g di burro. Qual è il peso totale dell’impasto espresso in grammi?
11 Per prepararsi ad una gara di corsa, Luca corre 2,350 km al mattino e 1,650 km al pomeriggio. Quanti metri ha percorso in totale Luca durante la giornata?
12 Una corda lunga 5 m viene tagliata in due parti: la prima è lunga 2,75 m. Quanto è lunga la seconda parte della corda?
13 In una bottiglia ci sono 1,250 di succo. In un’altra bottiglia ci sono 750 m di succo. Quanti millilitri di succo in totale?
Problemi sulle misure • 2
Risolvi i problemi sul quaderno.
1 Una pista ciclabile è lunga 2,4 km. Lungo il percorso, il comune decide di installare una fontanella ogni 400 m. Quante fontanelle verranno installate in totale (partendo dall’inizio della pista)?
2 Il papà di Mauro vuole recintare il giardino di forma quadrata che ha il perimetro di 60 m. Al negozio vendono i rotoli di rete metallica da 500 cm l’uno. Quanti rotoli dovrà comprare il papà?
3 Un tunnel stradale è lungo 1,8 km. Un’auto lo percorre a velocità costante e, dopo aver percorso 95 dam, si ferma per un controllo. Quanti metri mancano all’uscita del tunnel?
4 Una scatola di biscotti ha un peso lordo di 0,5 kg. Se la scatola vuota pesa 45 g, qual è il peso netto dei biscotti espresso in grammi?
5 Un furgone può trasportare al massimo 1,2 Mg di carico. Gli operai caricano 15 scatoloni che pesano 60 kg l’uno. Il furgone ha superato il carico massimo o può aggiungere altro peso? Quanto?
6 La mamma compra 1,5 kg di patate, 800 g di zucchine e 12 hg di pomodori. Qual è il peso totale della verdura espresso in chilogrammi?
7 La marmellata in un barattolo pesa 320 e la sua tara è di 0,8 hg. Qual è il peso lordo del barattolo espresso in grammi?
8 Damiano vuole travasare una damigiana di vino da 0,5 h in bottiglie da 750 m l’una. Quante bottiglie riuscirà a riempire completamente?
9 Una piccola piscina per bambini contiene 12 h d’acqua. Se ogni ora evaporano a causa del sole circa 15 d’acqua, quanta acqua rimarrà nella piscina dopo 4 ore? Esprimi il risultato in litri.
10 Un chimico deve preparare una soluzione mescolando 25 c di un liquido blu, 150 m di un liquido rosso e 0,2 di acqua distillata. Qual è la capacità totale della soluzione espressa in decilitri?
11 Un sacco di patate pesa 12,500 . Un altro sacco pesa 9,750 kg. Qual è il peso totale dei due sacchi espresso in ettogrammi?
12 Una tanica contiene 5 litri d’acqua. Se vengono utilizzati 1,800 , quanti decalitri di acqua restano nella tanica?
13 Per realizzare una staccionata, un contadino usa 18 m di rete metallica. In seguito aggiunge altri 2,75 m di rete. Quanti centimetri di rete metallica ha usato in totale?
I poligoni
RICORDA
Il poligono è una figura piana delimitata da una linea spezzata chiusa non intrecciata.
1. Completa inserendo il nome del poligono come nell’esempio. Scegli tra: ennagono • pentagono • triangolo • esagono • ottagono • quadrilatero • ettagono • decagono
• Ha 3 lati e 3 angoli triangolo
• Ha 4 lati e 4 angoli
• Ha 5 lati e 5 angoli ................................................
• Ha 6 lati e 6 angoli ................................................
• Ha 7 lati e 7 angoli
• Ha 8 lati e 8 angoli
• Ha 9 lati e 9 angoli
• Ha 10 lati e 10 angoli ........................................
2. Osserva i disegni e completa le frasi.
• Ognuno dei segmenti della linea spezzata che delimita un poligono si chiama
• La parte di piano compresa tra due lati consecutivi determina .....................................................................................................
• Il segmento che unisce due vertici non consecutivi si chiama
• Il segmento che cade perpendicolarmente da un vertice al lato opposto è
3. Indica con le ✘ le proprietà dei poligoni in base ai lati.
solo due lati congruenti
solo i lati opposti congruenti
tutti i lati congruenti nessun lato congruente
triangolo equilatero
triangolo isoscele
triangolo scaleno
quadrato rombo rettangolo romboide
trapezio isoscele
trapezio scaleno
trapezio rettangolo
4. Indica con le ✘ le proprietà dei poligoni in base agli angoli.
solo due angoli congruenti
triangolo equilatero
triangolo isoscele
triangolo scaleno
quadrato rombo rettangolo romboide
trapezio isoscele
trapezio scaleno
trapezio rettangolo
gli angoli congruenti a 2 a 2
tutti gli angoli congruenti nessun angolo congruente
Perimetro e area del rettangolo
RICORDA
Il rettangolo ha i lati opposti paralleli e di uguale lunghezza.
I 4 angoli sono di uguale ampiezza e retti.
Le diagonali hanno la stessa lunghezza e si dividono a metà.
Perimetro Area
P = (b + h) × 2 A = b × h
h = (P : 2) – b h = A : b
b = (P : 2) – h b = A : h
1. Misura con il righello, poi calcola perimetro e area secondo il campione indicato.
b = mm P = mm h = mm A = mm²
b = cm P = cm h = cm A = cm²
2. Completa la tabella.
Esegui i calcoli necessari sul quaderno.
3. Risolvi i problemi sul quaderno.
a Si deve recintare un’aiuola rettangolare con i lati di 21 m e 15 m. La rete da usare costa € 25,00 al metro. Quanto si spenderà in tutto?
b Calcola il perimetro e l’area di un rettangolo che ha la base di 45 m e l’altezza di 22 m.
c Il quaderno è di forma rettangolare e ha un lato di 30 cm e l’altro lato di 16 cm.
Qual è il suo perimetro? Qual è la sua area?
d Un orto ha la forma di un rettangolo lungo 11,2 m e largo 8,4 m. Viene recintato con una rete metallica. Quanta rete viene utilizzata sapendo che c’è una apertura di 180 cm per il cancello?
Qual è l’area dell’orto?
e È stata organizzata una gara ciclistica lungo il bordo di un campo rettangolare che ha i lati di 15,5 hm e 30,5 hm. Si dovranno compiere 12 giri del campo. Quanti chilometri verranno percorsi?
Perimetro e area del quadrato
RICORDA
Il quadrato ha i lati opposti paralleli e tutti di uguale lunghezza. I 4 angoli sono di uguale ampiezza e retti. Le diagonali sono perpendicolari, hanno la stessa lunghezza e si dividono a metà.
Perimetro Area
P = l × 4 A = l × l
l = P : 4
1. Molti sport si praticano su quadrati. Completa.
2. Completa la tabella. Esegui i calcoli necessari sul quaderno.
Pring da boxe = Aring da boxe =
Ptappeto da judo = Atappeto da judo =
3. Risolvi i problemi sul quaderno.
a Una palestra di forma quadrata ha un lato di 45 m. Qual è il suo perimetro? E la sua area?
b Un tavolino quadrato ha il lato di 0,95 m. Qual è il suo perimetro? E la sua area?
c Calcola la lunghezza in centimetri del lato di un quadrato che ha lo stesso perimetro di un rettangolo che ha le seguenti dimensioni: base 7,2 m, altezza 2,3 m.
d Giovanni deve mettere il battiscopa in una camera da letto a forma di quadrato, il cui lato misura 4,5 m. Di quanti metri di battiscopa avrà bisogno Giovanni per contornare tutta la camera da letto tenendo conto che non dovrà calcolare i 90 cm per l’apertura della porta?
Perimetro e area del romboide
RICORDA
Il romboide ha i lati opposti paralleli e di uguale lunghezza. Gli angoli opposti sono di uguale ampiezza (due acuti e due ottusi).
Le diagonali hanno lunghezze diverse e si dividono a metà.
Perimetro Area
P = (l1+ l2) × 2 A = b × h
l1 = (P : 2) − l2 b = A : h
l2 = (P : 2) − l1 h = A : b
h b l2 l1
1. Misura con il righello, poi calcola perimetro e area secondo il campione indicato.
b = mm P = mm h = mm A = mm²
l = mm
b = cm P = cm h = cm A = cm²
l = cm
2. Completa le tabelle. Esegui i calcoli necessari sul quaderno.
3. Risolvi i problemi sul quaderno.
a Calcola il perimetro di un romboide i cui lati misurano rispettivamente 16,5 cm e 13 cm.
b Un’aiuola a forma di romboide ha l’altezza che misura 0,8 m. Il lato obliquo misura 1,5 m e la base misura 2,5 m. Calcola il perimetro e l’area.
c La base di un romboide misura 5,6 m e l’altezza 4 m. Calcola l’area in centimetri quadrati.
d Un giardino a forma di romboide ha la base di 86 m e l’altezza di 57 m. I 2 6 del giardino vengono destinati alle giostrine. Quanti metri quadrati di giardino restano?
Perimetro e area del rombo
RICORDA
Il rombo ha tutti i lati della stessa lunghezza e i lati opposti paralleli. Gli angoli opposti sono di uguale ampiezza (due acuti e due ottusi).
Le diagonali sono perpendicolari, hanno lunghezze diverse e si dividono a metà.
Perimetro Area
P = l × 4 A = (D × d) : 2
l = P : 4 D = (A × 2) : d
d = (A × 2) : D
1. Misura con il righello, poi calcola perimetro e area secondo il campione indicato.
D = mm P = mm
d = mm A = mm²
l = mm D = cm P = cm d = cm A = cm²
l = cm
2. Completa le tabelle. Esegui i calcoli e le equivalenze necessari sul quaderno.
10 dm m
mm 80 cm
12 m dm
3. Risolvi i problemi sul quaderno.
148 cm 9,3 dm dm²
30 m dm 315 m²
mm 15 cm 195 cm²
a L’aquilone di Alessandro ha la forma di un rombo le cui diagonali misurano rispettivamente 1,5 m e 90 cm. Calcola l’area in metri quadrati e in centimetri quadrati.
b Luisa ha comprato delle caramelle a forma di rombo. La loro area misura 15 cm² e la diagonale minore misura 3 cm. Quanto misura la diagonale maggiore?
c Un tappeto ha la forma di rombo, con il lato lungo 2,4 m. Qual è il perimetro del tappeto? La diagonale maggiore e quella minore misurano rispettivamente 4 m e 2,5 m. Quanto misura l’area del tappeto?
Perimetro e area del trapezio
RICORDA
I trapezi sono quadrilateri con una coppia di lati paralleli: la base maggiore e la base minore. Gli altri due si chiamano lati.
1. Completa le caratteristiche di ogni trapezio.
TRAPEZIO SCALENO
• lati di lunghezze
• angoli di ampiezze
• diagonali di diverse
Perimetro
P = B + b + l1 + l2
Ptrap. isocele = B + b + (l1 × 2)
B = P – (b + l1 + l2)
b = P – (B + l1 + l2)
l1 = P – (B + b + l2)
l2 = P – (B + b + l1)
TRAPEZIO ISOSCELE
TRAPEZIO RETTANGOLO
• lati di uguale lunghezza
• angoli alla base minore e angoli alla base maggiore di ampiezza
• di lunghezza uguale
Area
A = [(B + b) × h] : 2
B = [(A × 2) : h] – b
b = [(A × 2) : h] – B
h = (A × 2) : (B + b)
• un lato perpendicolare alle
• due angoli
• diagonali di lunghezze
base minore h
base maggiore
2. Misura con il righello, poi calcola perimetro e area secondo il campione indicato.
B = mm l = mm
b = mm P = mm
h = mm A = mm²
B = cm l = cm b = cm P = cm h = cm A = cm² b h B l2 l1
3. Calcola perimetro e area di questi trapezi. Esegui i calcoli necessari sul quaderno.
4. Completa la tabella. Esegui i calcoli e le equivalenze necessari sul quaderno.
5. Risolvi i problemi sul quaderno.
a La base maggiore di un trapezio isoscele è il doppio di quella minore, che misura 24 m. Il lato è di 22 m. Quanto misura il perimetro?
a Il tetto della casa di campagna di Licia ha la forma di un trapezio. La base maggiore è di 6,5 m, la base minore è di 3,5 m e l’altezza è uguale alla base minore. Calcola l’area.
c Si vuole pavimentare un terrazzo che ha la forma di un trapezio isoscele con le seguenti misure: base maggiore 5,75 m, base minore 3,4 m, altezza 3 m. Quanto verrà a costare la pavimentazione se il costo di ogni metro quadrato è di € 18,00?
d In un trapezio le basi misurano 29 cm e 25 cm. L’altezza è uguale ai 2 9 della somma delle basi. Calcola l’area del trapezio.
Perimetro e area del triangolo
STEM LAB
1. Osserva le immagini che mostrano come tracciare l’altezza in un triangolo.
• L’altezza può essere interna al triangolo.
• L’altezza può essere esterna al triangolo.
• L’altezza può coincidere con un lato del triangolo.
2. Con righello e squadra traccia per ogni triangolo l’altezza relativa alla base indicata.
1. Osserva i disegni e completa i nomi dei triangoli in base agli angoli e ai lati.
RICORDA
Perimetro
P = l1 + l2 + l3
l1 = P – (l2 +l3)
l2 = P – (l1 + l3)
l3 = P – (l1 + l2)
2. Completa la tabella. Esegui le equivalenze e i calcoli necessari sul quaderno.
a Un triangolo equilatero ha il perimetro di 19,5 m. Quanto misura il lato?
b La bandiera del castello medioevale di Marco è a forma di triangolo isoscele. La base misura 1,5 cm e l’altezza è quattro volte la base. Quanto misura l’area?
c Il portatovaglioli di zia Ida è a forma di triangolo equilatero. La base è di 12 cm e l’altezza è di 10,4 cm. Quanto misurano perimetro e area?
Perimetro
P = l × 3
l = P : 3
25 cm 3 dm cm² dm 14 dm 4900 cm² 10 m m 3200 dm²
d L’altezza di un triangolo misura 64 cm; la base è i 3 8 dell’altezza. Calcola l’area del triangolo.
e Calcola l’area di un triangolo con la base di 12 cm e l’altezza di 10 cm. Sapendo che il triangolo è equivalente a un rettangolo avente la base lunga 6 cm, calcola l’altezza del rettangolo.
f Un triangolo equilatero ha il perimetro di 9 m; l’altezza misura 2,5 m. Calcola l’area ed esprimila in decimetri quadrati.
Poligoni regolari
1. Completa la definizione, poi collega ogni poligono regolare al suo nome. I poligoni regolari sono poligoni in cui tutti i sono della stessa lunghezza e tutti gli angoli hanno la stessa
ettagono
ottagono ennagono
triangolo equilatero
decagono dodecagono
quadrato pentagono esagono
RICORDA
L’apotema (a) è il segmento perpendicolare condotto dal centro di un poligono regolare a uno dei suoi lati. a
Apotema
a = l × numero fisso
l = a : numero fisso
Perimetro
P = l × numero lati
l = P : numero lati
A = (P × a) : 2
2. Esegui i calcoli sul quaderno e calcola l’apotema di ogni poligono regolare. Per il numero fisso utilizza la tabella.
3. Esegui i calcoli con la calcolatrice e completa la tabella.
4. Calcola sul quaderno e trova:
• la misura dell’apotema di un triangolo equilatero che ha il perimetro di 18 cm.
• la misura dell’apotema di un pentagono regolare che ha il perimetro di 25 cm.
• la misura dell’apotema di un ottagono regolare che ha il perimetro di 72 cm.
5. Risolvi i problemi sul quaderno. Ricorda di disegnare le figure.
a Si vuole pavimentare una sala ottagonale con il lato di 3 m con piastrelle quadrate di 30 cm di lato. Quanti metri quadrati misura la sala?
Quante piastrelle occorrono?
b Il lato di un esagono regolare misura 12 cm. Qual è la sua area?
c Al centro di una piazza quadrata, con il lato di 35 m, c’è un’edicola avente la forma di esagono regolare il cui lato misura 2 m. Qual è l’area libera della piazza?
d Un falegname deve costruire 6 ripiani con la forma di pentagoni regolari. Ogni ripiano ha il lato di 45 cm. Quanti metri quadrati di legno occorrono per preparare tutti i ripiani?
e Un’aiuola a forma di ottagono regolare ha il lato di 10 m. Se in ogni metro quadrato della sua superficie vengono piantati 4 cespugli di rose, quanti cespugli di rose saranno necessari? Considera solo il numero dei metri quadrati interi.
Problemi con i poligoni regolari • 1
Risolvi i problemi sul quaderno. Ricorda di disegnare le figure.
1 Una piastrella a forma di esagono regolare ha il lato di 15 cm. Qual è il suo perimetro. E la sua area?
2 Un ottagono regolare ha il lato di 6 cm. Calcola la sua area in m2
3 In un esagono regolare il lato misura 15 cm. Qual è la misura del suo apotema?
4 In un triangolo equilatero il lato misura 12 cm e l’apotema 3,456 cm. Calcola l’area.
5 Una medaglia a forma di ottagono regolare ha il lato di 3 cm. Se viene bordata con un filo d’oro, quanto deve essere lungo il filo? Se viene coperta di smalto, quanta superficie occupa lo smalto?
6 Calcola l’area di un giardino a forma di pentagono regolare il cui lato misura 20 m.
7 Un pentagono regolare ha il lato di 12 cm. Calcola il perimetro. Sapendo che l’apotema misura 9 cm, calcola l’area.
8 Una cornice a forma di triangolo equilatero ha il perimetro di 30 cm e l’apotema misura 4 cm. Calcola l’area.
9 Un finestrone quadrato ha il perimetro di 120 cm e l’apotema di 8 cm. Calcola l’area.
10 Un poligono regolare ha perimetro 100 cm e apotema 12 cm. Calcola l’area. Spiega perché il numero dei lati non serve per calcolare l’area in questo caso.
11 Una piccola piazza ha la forma di un triangolo equilatero. Ogni lato è lungo 1,5 dam e l’apotema misura 4,3 metri. Calcola il perimetro e l’area della piazza.
12 Un cartellone pubblicitario ha la forma di un esagono regolare. Ogni lato misura 0,08 m e l’apotema misura 7 cm. Calcola il perimetro e l’area dell’esagono.
13 Un’aiuola ha la forma di un pentagono regolare. Il perimetro dell’aiuola è di 50 metri. Calcola l’area.
Problemi con i poligoni regolari • 2
Risolvi i problemi sul quaderno. Ricorda di disegnare le figure.
1 Un triangolo equilatero ha il lato di 30 cm.
Calcola l’apotema e l’area.
2 Un esagono regolare ha l’apotema che misura 17,32 cm. Quanto misura il suo lato? E la sua area?
3 Calcola l’area della base di una giostrina a forma di pentagono regolare che ha il lato di 2 m e l’apotema di 5,504 cm.
4 Quale figura ha l’area maggiore tra un quadrato con il lato di 10 cm e un pentagono regolare con lo stesso lato?
5 Un tavolo a forma di esagono regolare ha l’apotema di 43,3 cm. Calcola l’area del tavolo sapendo che il lato è di 50 cm.
6 Un cartello stradale dello STOP ha la forma di un ottagono regolare. Ogni lato del cartello misura 30 cm. Per renderlo più visibile di notte, il Comune vuole applicare una striscia riflettente lungo tutto il suo bordo e coprire l’intera superficie con una vernice speciale. Quanto deve essere lunga la striscia riflettente? Qual è l’area della superficie da verniciare?
7 Il pavimento di un gazebo ha la forma di un esagono regolare. Sappiamo che il suo perimetro è di 12 m. Il proprietario vuole calcolare l’area per sapere quante mattonelle deve acquistare. Calcola l’area totale del pavimento
8 Un’ape costruisce la sua cella a forma di esagono regolare. Il lato di una singola celletta misura circa 3 mm. Calcola quanta superficie occupa un gruppo di 10 cellette vicine tra loro.
9 Una medaglia sportiva ha la forma di un pentagono regolare. Sappiamo che il suo apotema misura 2,752 cm. L’atleta che l’ha vinta vuole sapere quanto misura il lato della medaglia per poter costruire una scatolina su misura. Una volta trovato il lato, calcola il perimetro della medaglia.
10 Osservando un ombrello dall’alto quando è completamente aperto, notiamo che ha la forma di un ottagono regolare. La distanza dal centro a metà di uno dei bordi (l’apotema) è di circa 48 cm, mentre ogni lato del tessuto misura 40 cm. Calcola l’area totale del tessuto necessario per coprire l’ombrello.
Circonferenza e cerchio
RICORDA
La circonferenza è una linea curva chiusa, formata da punti tutti equidistanti dal centro.
Il cerchio è la figura delimitata dalla circonferenza.
1. Leggi le definizioni; disegna e colora nel cerchio gli elementi descritti utilizzando i colori indicati.
Il raggio (r) è la distanza di tutti i punti della circonferenza dal centro.
L’arco è la parte di circonferenza delimitata da due punti.
Il segmento circolare è ciascuna delle due parti di un cerchio tagliato da una corda.
La semicirconferenza è una delle due metà in cui un diametro divide una circonferenza.
La corda è il segmento che unisce due punti della circonferenza.
Il diametro (d) è la corda più lunga, passa per il centro ed è il doppio del raggio.
Il semicerchio è ciascuna delle due metà di un cerchio tagliato da un diametro.
Il settore circolare è una parte di cerchio compresa tra due raggi. cerchio centro circonferenza
La circonferenza
RICORDA
Per calcolare la circonferenza (C) possiamo utilizzare due formule:
C = r × 6,28 r = C : 6,28 oppure C = d × 3,14 d = C : 3,14
1. Misura il raggio o il diametro e calcola la misura di ogni circonferenza.
diametro = cm
circonferenza = cm
raggio = cm
raggio = cm
circonferenza = cm
diametro = cm
diametro = cm
circonferenza = cm
raggio = cm
2. Calcola la misura del raggio o del diametro, poi con il compasso disegna le circonferenze.
circonferenza = 6,28 cm
raggio = cm
circonferenza = 9,42 cm
diametro = cm
3. Risolvi i problemi sul quaderno.
a L’orologio a muro della cameretta di Giovanni è di forma circolare. Il diametro è di 26 cm. Calcola il raggio e la circonferenza.
Calcolare la lunghezza della circonferenza.
b Il piattino tondo della tazza in cui Lucia sta bevendo il latte ha il raggio di 5 cm. Calcola il diametro e la circonferenza.
circonferenza = 12,56 cm
diametro = cm
c Il vassoio in cui la nonna ha riposto i biscotti è di forma rotonda. La circonferenza è di 125,6 cm. Calcola il raggio e il diametro.
L’area del cerchio
RICORDA
Per calcolare l’area del cerchio possiamo utilizzare due formule:
Area = raggio × raggio × 3,14 = r2 × 3,14
A = C × r : 2
1. Misura il raggio o il diametro e calcola l’area di ogni cerchio.
diametro = cm
raggio = cm
area = cm2
2. Completa la tabella.
raggio (r)
35 cm
raggio = cm
diametro = cm
area = cm2
diametro = cm
raggio = cm
area = cm2
diametro (d) circonferenza (C) area (A)
128 mm
56 dam
8 m
7,5 cm
3. Risolvi i problemi sul quaderno.
a Un cartello circolare ha la circonferenza di 15,7 dm. Calcola l’area del cartello.
29 cm
182,12 dm
28,26 cm
b Il tavolo di Camilla è rotondo e ha il raggio di 55 cm. Calcola l’area del tavolo.
c Lo specchio del bagno di Giorgio è di forma rotonda. Il diametro misura 1,2 m. Calcola l’area dello specchio.
Calcolare l’area del cerchio.
Problemi con il cerchio
Risolvi i problemi sul quaderno. Ricorda di disegnare le figure.
1 Un tavolo rotondo ha un raggio di 0,9 m.
Quanto misura il bordo del tavolo?
2 Un’aiuola circolare in un giardino ha il raggio di 5 m. Qual è la superficie dell’aiuola?
3 Un coperchio rotondo ha il diametro di 14 cm. Quanto misura il raggio? Quanto è lungo il bordo del coperchio?
4 Una fontana circolare ha il diametro di 20 m.
Qual è l’area occupata dalla fontana?
5 Una piccola pista circolare ha una lunghezza di 62,8 m. Qual è il raggio della pista?
6 Il bordo di un piatto rotondo misura 31,4 cm.
Qual è il diametro del piatto? E la sua area?
7 Un tappeto rotondo copre una superficie di 78,5 m². Quanto misura il raggio del tappeto?
8 Due modellini di bicicletta hanno le ruote con il raggio rispettivamente di 4 cm e 8 cm. Calcola la circonferenza e l’area di entrambe le ruote.
9 La ruota di un carrello ha il diametro di 70 cm. Quanti centimetri percorre con un giro completo?
10 Un laghetto artificiale di forma circolare ha un perimetro di 94,2 m. Calcola il raggio del laghetto e la sua area.
11 Una pista ha la forma di un cerchio e la sua circonferenza misura 62,8 metri. Calcola la misura del raggio e del diametro e l’area della pista.
12 Un tappeto elastico in un parco giochi ha la forma di un cerchio con area di 314 m². Calcola la misura del raggio del tappeto.
13 Una pedana di forma circolare ha il raggio di 7 metri. Calcola la circonferenza e l’area.
I solidi
1. Collega ogni solido alla base su cui poggia. Poi rispondi.
Hai collegato tutti i solidi? SÌ NO Perché?
2. Scrivi il nome corretto sotto ogni solido. Scegli tra: parallelepipedo • piramide • sfera • cono • cubo • prisma • cilindro
Poliedri e non poliedri • 1
I solidi si dividono in:
• poliedri, con facce, spigoli e vertici;
• non poliedri (o solidi di rotazione), che hanno almeno una superficie curva.
I poliedri si distinguono in prismi e piramidi.
I prismi hanno:
• due facce uguali e parallele, chiamate basi;
• tante facce laterali quanti sono i lati del poligono di base.
Le piramidi hanno:
• una sola base;
prisma a base esagonale
• tante facce laterali, tutte triangolari, quanti sono i lati del poligono di base.
Le facce laterali delle piramidi s’incontrano in un vertice comune.
1. Completa con le parole mancanti.
Gli sono i lati comuni a due facce.
I sono i punti di incontro di almeno tre spigoli.
sfera non poliedro
piramide a base quadrata
Le sono i poligoni che delimitano il poliedro.
2. Completa la classificazione scrivendo la lettera di ogni solido al posto giusto.
A cubo
B piramide a base quadrata
C sfera
D parallelepipedo
E cilindro
F prisma a base esagonale
G cono
H piramide a base triangolare
I prisma a base pentagonale
prismi piramidi
SOLIDI
non poliedri poliedri
Poliedri e non poliedri • 2
1. Indica con una ✘ le caratteristiche di poliedri e non poliedri. Poi rispondi alle domande.
Caratteristica
POLIEDRI
NON POLIEDRI
• Hanno caratteristiche in comune? SÌ NO
• Se sì, quali ............................................................................................................................................................................................................................................
2. Scrivi V (vero) o F (falso). Se è falso, correggi.
• Tutti i solidi con facce piane sono poliedri. V F .................................................................................................................................
• Il cono ha spigoli.
F
• La piramide è un poliedro. V F
• La sfera ha superficie curva. V F
• Il cilindro è un non poliedro. V F .................................................................................................................................
• La sfera ha almeno una base. V F
• Il cubo è un non poliedro. V F
• La piramide è un altro nome del cono. V F
3. Rispondi con una frase completa.
• Perché il cono non è un poliedro?
• Qual è una differenza tra un cono e un cilindro? ...............................................................................................................................................
4. Disegna un poliedro e un non poliedro. Per ogni figura, scrivi il nome e indica con una freccia una faccia piana e una superficie curva.
Lo sviluppo dei solidi
1. Osserva le figure, ricopiale su un foglio, ritagliale e componi il solido che rappresentano. Poi rispondi alle domande.
• Quali figure vedi?
• Quale figura vedi?
• Quale solido ottieni?
• Quali figure vedi?
• Quale solido ottieni?
• Quale solido ottieni?
• Quali figure vedi?
• Quale solido ottieni?
• Quali figure vedi?
• Quale solido ottieni?
La superficie del parallelepipedo e del cubo
1. Colora come indicato.
la superficie laterale del parallelepipedo
la superficie laterale del cubo
le superfici delle basi del parallelepipedo le superfici delle basi del cubo
PARALLELEPIPEDO CUBO
L’area laterale del parallelepipedo è formata da un rettangolo, che ha per base il perimetro di base (Pb) del parallelepipedo e per altezza l’altezza del parallelepipedo.
L’area totale del parallelepipedo è la somma della superficie laterale e della superficie delle due basi. Le formule sono:
Al = Pb × h
At = Al + (area di base × 2)
La superficie laterale del cubo è costituita dalle sole facce laterali.
La superficie totale del cubo è costituita dalle facce laterali più le due basi.
Al = (l × l) × 4
At = (l × l) × 6
2. Calcola l’area laterale e l’area totale di questi solidi. Esegui i calcoli sul quaderno.
Area laterale =
Area totale =
lato 80 mm
lunghezza 40 cm
larghezza 20 cm
altezza 10 cm
Area laterale =
Area totale =
Problemi con i solidi
Risolvi i problemi sul quaderno. Ricorda di disegnare le figure.
PROBLEMI SUL CUBO
1 Un dado da gioco ha lo spigolo lungo 3 cm. Calcola l’area laterale del dado.
2 Una scatola regalo a forma di cubo ha il lato di 10 cm. Quanta carta colorata serve per rivestirla completamente?
3 Un grande cubo di ghiaccio ha lo spigolo lungo 25 cm. Calcola la superficie esterna del cubo.
4 Un mattoncino decorativo a forma di cubo ha il lato di 6 cm. Qual è l’area totale di 10 mattoncini uguali?
5 Un contenitore a forma di cubo ha lo spigolo di 40 cm. Calcola l’area di una base e l’area totale del contenitore.
PROBLEMI SUL PARALLELEPIPEDO
6 Un frigorifero ha forma di parallelepipedo ed è alto 180 cm, largo 60 cm e profondo 60 cm. Qual è l’area totale della sua superficie esterna?
7 Un libro ha le dimensioni di 24 cm × 18 cm × 4 cm. Calcola l’area totale.
8 Un pacco rettangolare misura è lungo 50 cm, largo 30 cm e alto 20 cm. Quanta carta serve per rivestirlo completamente?
9 Un acquario ha forma di parallelepipedo con base 80 cm × 40 cm e altezza 50 cm. Calcola l’area totale delle pareti e del fondo.
10 Una scatola da scarpe misura 30 cm di lunghezza, 20 cm di larghezza e 12 cm di altezza. Calcola l’area totale della scatola.
Le misure di volume • 1
Ogni solido occupa uno spazio, detto volume
L’unità fondamentale di misura del volume è il metro cubo (m³), cioè un cubo con lo spigolo di un metro.
1. Cancella con una linea la parte scorretta di ogni affermazione.
• Il metro cubo/quadro è l’unità fondamentale per compiere misurazioni di volumi.
• Il volume dei cubi è espresso attraverso una potenza di 2/3
• I campioni di misura dei volumi si indicano con l’esponente 3/2
• Si passa da una unità di misura di volume a un’altra moltiplicando o dividendo per 100/1 000
2. Cerchia la cifra o le cifre che indicano i metri cubi, poi scomponile come negli esempi.
576,6 m³ 5 h di m3 7 da di m3 6 u di m3
37 245 dm³ 3 da di m3 7 u di m3
1,035 dam³
105,3 dam³
3. Esegui le equivalenze e completa le tabelle
415 804 dm³
1 345,16 dam³
1 370 545 cm³
231,275 dam³
Le misure di volume • 2
1. Scomponi le misure di volume in tabella, come nell’esempio.
8,765 m3 8 765 7000
0,004 dm3
10 000 045 cm3
990 cm3
124,534 dm3
358,014 dam3 m3 dm3 cm3
165 008 dam3 165 008 4,018 hm3
20 100 m3
4 520 m3
2. Scrivi a cosa corrispondono le cifre evidenziate. Osserva l’esempio.
1. Usa come unità di misura il m3 (un cubo con lo spigolo di 1 m). Conta i cubi che formano ciascun solido e scrivi la misura del volume.
Volume = m3
Volume = m3
Volume = m3
Volume = m3
Volume = m3
2. Se il volume di ogni cubo è di 5 m3, qual è il volume di questi solidi?
Cubi n. =
Volume =
Cubi n. = Volume =
Cubi n. = Volume =
Cubi n. =
Volume =
Cubi n. = Volume =
Il volume del parallelepipedo si ottiene moltiplicando tra loro le misure delle tre dimensioni:
V = lunghezza × larghezza × altezza
V = area di base × altezza
Il volume del cubo si ottiene moltiplicando tra loro le misure delle tre dimensioni uguali:
V = spigolo × spigolo × spigolo oppure
V = spigolo3
3. Calcola il volume di questi solidi. Esegui i calcoli con la calcolatrice.
lato 43 dm
V =
lunghezza 132 mm • larghezza 60 mm altezza 20 mm
V =
4. Completa le tabelle come negli esempi.
PARALLELEPIPEDI
lato 14 cm
V =
Areogrammi e percentuali
1. Rappresenta i dati nell’areogramma quadrato utilizzando colori diversi, poi rispondi.
Dati
11% cannoli
19% bignè
25% paste alla crema
45% crostatine alla frutta
Quale indagine è stata svolta, secondo te?
2. Completa la tabella e l’areogramma quadrato. Segui l’esempio.
frazione numero decimale percentuale
3. Esegui i calcoli necessari con la calcolatrice, come nell’esempio, e rappresenta i dati nell’areogramma circolare. Poi rispondi.
Dati
50% mare 50 × 3,6° = 180°
30% montagna × 3,6° =
20% città
Quale indagine è stata svolta, secondo te?
Il grafico cartesiano
I
1. Un sindaco ha rilevato i seguenti dati dall’anagrafe del suo paese, per vedere quanti bambini sono nati nel 2024. Inserisci i dati della tabella nel grafico, come nell’esempio, e collegali con una linea. Poi rispondi.
• Qual è il mese con più nascite?
• Qual è il mese con meno nascite?
• Tra ottobre, novembre e dicembre le nascite sono aumentate o diminuite?
• Tra marzo, aprile e maggio le nascite sono aumentate o diminuite?
L’ideogramma e l’istogramma
1. In una scuola è stata svolta un’indagine sull’attività prevalentemente praticata dagli alunni nel tempo libero. L’altezza di ogni colonna rappresenta il numero di risposte relative a una scelta. Ricava i dati dall’istogramma e completa la tabella. Poi rispondi.
numero di alunni
calcio
nuoto
basket
tennis
pallavolo
judo
• Quanti alunni hanno complessivamente risposto all’indagine?
• Secondo te, è corretto affermare che circa 1 3 degli alunni pratica il calcio? Perché? Rispondi a voce.
2. Rappresenta con un ideogramma i dati dell’esercizio precedente. Utilizza la sagoma di un bambino alla quale fai corrispondere la quantità 10.
calcio
nuoto
basket
tennis
pallavolo
judo
tennis basket nuoto calcio judo pallavolo
Media, moda, mediana
1. Calcola sul quaderno e rispondi.
• Qual è l’altezza media dei bambini?
• Qual è il prezzo medio delle magliette?
• Qual è il peso medio di una mela?
2. All’arrivo di una gara di corsa si registrano i tempi in secondi dei primi 4 concorrenti. Calcola sul quaderno e rispondi.
• Qual è il tempo medio registrato? 32 s
3. Ecco i numeri di scarpa delle ragazze di una squadra di volley under 13.
Jasmine Lea Lucia Sara Maria Fatima Rosa Clara Luisa Velesa Viola
• Trascrivi in ordine i dati e indica la mediana.
• Qual è la moda?
• Calcola la media:
• In questo caso moda, mediana e media coincidono? SÌ NO
Olga
Casi possibili e casi favorevoli
1. Quanti e quali sono tutti i numeri possibili di tre cifre che si possono formare usando le cifre 3 e 4 ? Osserva e completa il diagramma che rappresenta tutti i casi possibili.
Ora rispondi alle domande.
• Quanti numeri di tre cifre si possono formare con le cifre 3 • 4?
• Qual è il numero minore?
• E il numero maggiore?
Esprimi con una frazione la probabilità di formare un numero:
• pari • dispari
2. Immagina di lanciare una moneta per due volte. Completa il diagramma, poi rispondi usando le percentuali.
• composto da cifre tutte uguali
testa croce
testa croce
• Quante possibilità ci sono che esca due volte testa?
• Quante possibilità ci sono che esca due volte croce?
• Quante possibilità ci sono che esca un risultato misto?
POP PODCAST
A VOI IL MICROFONO!
Siete pronti a diventare dei veri divulgatori scientifici e a raccontare a tutti come la matematica non sia così noiosa come tutti dicono? Create insieme il vostro podcast, lavorando in piccoli gruppi. Ecco le 4 fasi del nostro lavoro:
1 FASE
ORGANIZZAZIONE DEL LAVORO
Da svolgere collettivamente
In questa prima fase, il vostro gruppo dovrà scegliere un argomento di matematica che vi sembrava particolarmente difficile e che pensate faccia paura a tanti studenti come voi. Pensate alle difficoltà che avete incontrato ma soprattutto a come le avete superate. Cosa fare?
● Brainstorming di gruppo: discutete tra voi e dite quali cose vi vengono in mente. Potrebbe essere la divisione a due cifre, le formule di geometria, la simmetria o le equivalenze. Votate o decidete insieme quale vostra esperienza volete raccontare.
● Ricerca semplice: una volta scelto l’argomento, cercate informazioni su di esso: perché sembra difficile? Perché è importante non scoraggiarsi? Come siete riusciti a superare gli ostacoli? C’è qualcosa di strano o divertente legato a questa esperienza?
● Scelta degli strumenti utili: libri di matematica per bambini, siti web sicuri (con l’aiuto di un adulto), disegni e appunti (usate fogli e matite per prendere appunti e fare piccoli disegni che vi aiutino a ricordare le informazioni).
2 FASE Da svolgere collettivamente
SCRITTURA DEL TESTO
Ora che avete tutte le informazioni, è il momento di trasformarle in un testo che potrete leggere nel vostro podcast. Immaginate di parlare ai vostri amici! Cosa fare?
● Suddivisione dei compiti: decidete chi racconterà cosa. Magari uno introduce l’argomento, un altro parla di emozioni e curiosità e un altro ancora spiega agli ascoltatori perché è importante non arrendersi.
● Scrittura delle frasi: scrivete frasi brevi e chiare. Usate parole che conoscete bene.
● Ripetizioni e prove: leggete il testo ad alta voce più volte per vedere se suona bene e se è facile da capire. Chiedete l’aiuto dell’insegnante per correggere eventuali errori.
● Strumenti utili: quaderno e penna/matita, per scrivere la bozza del testo. Se preferite utilizzate tablet o computer, usando un programma di scrittura semplice (come Blocco Note o Google Documenti).
REGISTRAZIONE DEL PODCAST 3 FASE Da svolgere collettivamente
È il momento di registrare le vostre voci! Non preoccupatevi se non siete perfetti, l’importante è divertirsi e far sentire la vostra curiosità per la matematica. Cosa fare?
● Trovare un posto tranquillo: cercate un angolo della classe o della scuola dove non ci sia troppo rumore.
● Parlare chiaro: parlate a voce alta e chiara, come se steste raccontando una storia a qualcuno.
● Alternarsi: ricordatevi di alternarvi nel parlare, come avevate deciso nella Fase 2.
● Registrazione: registrate il vostro podcast. Potete fare più tentativi e scegliere la registrazione che vi piace di più.
● Strumenti utili: smartphone o tablet (la maggior parte dei telefoni e tablet ha un’app per registrare la voce, spesso si chiama “Registratore Vocale” o “Memo Vocali”), microfono esterno (è facoltativo, ma se avete anche un piccolo microfono per computer, la qualità dell’audio sarà migliore).
ASCOLTO E CONDIVISIONE 4 FASE Da svolgere collettivamente
Finalmente, il vostro podcast è pronto! Ora potete ascoltarlo e condividerlo con gli altri. Cosa fare?
● Ascoltare insieme: ascoltate il vostro podcast di gruppo. Cosa vi piace di più? C’è qualcosa che avreste potuto fare diversamente?
● Condivisione: presentate il vostro podcast agli altri gruppi. Saranno curiosi di conoscere la vostra esperienza con la matematica!
● Feedback: ascoltate i commenti dei vostri compagni e dell’insegnante. Ogni consiglio è utile per migliorare la prossima volta.
● Strumenti utili: dispositivo di riproduzione (lo stesso smartphone o tablet che avete usato per registrare, un computer con delle casse, una LIM).
AUTOVALUTAZIONE 5 FASE Da svolgere individualmente
Ho lavorato con i compagni bene e volentieri bene solo in alcune occasioni con difficoltà
Ho rispettato le regole (tempi, attenzione, impegni) sempre qualche volta mai
Ho ascoltato le opinioni dei compagni sempre con attenzione quasi sempre con attenzione con scarsa attenzione
Leggere e comprendere i testi è stato facile a volte faticoso difficile
Ho partecipato al lavoro cercando di svolgere i miei compiti da solo/a chiedendo aiuto solo se in difficoltà con l’assistenza continua dell’insegnante
Sono soddisfatto/a del lavoro molto abbastanza poco
